O₂ Education

  • Phương pháp tìm thiết diện bằng phép chiếu xuyên tâm

    Phương pháp tìm thiết diện bằng phép chiếu xuyên tâm

    Phương pháp tìm thiết diện bằng phép chiếu xuyên tâm

    Khi mà học sinh chưa được học về quan hệ song song trong không gian thì bài toán xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi một mặt phẳng khá hạn chế. Lúc đó, để giải quyết các bài toán mà đáy là hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhật… chúng ta phải sử dụng đến phương pháp phép chiếu xuyên tâm (còn được gọi là Phương pháp đường gióng – đường dóng).

    Xem thêm:

    1. Phép chiếu xuyên tâm là gì?

    Phép chiếu xuyên tâm (còn được gọi là phép phối cảnh, tiếng Anh: inner projection) được giới thiệu ngay từ lớp 8, trong chương trình công nghệ – vẽ kỹ thuật.

    Trong không gian, cho một điểm S và một mặt phẳng (P) không đi qua S. Quy tắc biến mỗi điểm M trong không gian thành điểm M’ là giao điểm của mặt phẳng (P) và đường thẳng SM được gọi là phép chiếu xuyên tâm (tâm S) xuống mặt phẳng (P).

    định nghĩa khái niệm phép chiếu xuyên tâm là gì

    • Trong phép chiếu này, các điểm M nằm trong mặt phẳng (Q) đi qua S và song song với (P) thì không có ảnh. Trong chương trình vẽ kỹ thuật, để cho mọi điểm trong không gian đều có ảnh, người ta bổ sung cho (P) một đường thẳng ở vô tận, coi như giao của (P) và (Q).
    • Nếu ta hạn chế chỉ xét phép chiếu trên một mặt (R) nào đó trong không gian thì phép chiếu xuyên tâm nói trên gọi là phép chiếu xuyên tâm (tâm S) từ mặt (R) xuống mặt phẳng (P).
    • Phép chiếu xuyên tâm bảo toàn tỉ số kép.

    2. Các ví dụ xác định thiết diện bằng phép chiếu xuyên tâm

    Bài toán. Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng $(\alpha)$.

    Phương pháp phép chiếu xuyên tâm (Inner Projection Method)

    • Chọn một tam giác trên mặt phẳng $(\alpha)$, gọi là tam giác cơ sở và xác định hình chiếu của tam giác cơ sở đó lên mặt đáy qua phép chiếu xuyên tâm với tâm là đỉnh của hình chóp.
    • Xác định các giao điểm của tam giác hình chiếu với các cạnh, đường chéo của đáy.
    • Dựa vào quan hệ liên thuộc, tìm các điểm trên mặt phẳng $(\alpha)$ tương ứng với các điểm ở dưới mặt đáy.

    Ví dụ 1. Cho hình chóp $S.ABCD$ có $ C’ $ là một điểm trên cạnh $ SC. $ Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng $ (ABC’). $

    giao tuyen phep chieu xuyen tam

    Hướng dẫn.

    • Rõ ràng vì đáy là một tứ giác bất kỳ, nên có nhiều khả năng kéo dài các cạnh đáy chúng sẽ không thể cắt nhau. Do đó ta không thể sử dụng phương pháp giao tuyến gốc.
    • Trong mặt phẳng $(ABC’)$, ta chọn một tam giác làm tam giác cơ sở, chính là tam giác $ABC’$  luôn. Ta tìm ảnh của nó qua phép chiếu xuyên tâm $S$ lên mặt phẳng đáy, chính là tam giác $ABC$.
    • Tiếp theo, ta xác định giao điểm của tam giác $ABC$ này với các cạnh và đường chéo của đáy. Ta tìm thấy $ O$ là giao điểm của $AC$ và $BD $.
      Lưu ý rằng, điểm $O$ trên mặt phẳng đáy, mà $ O$ thuộc vào cạnh $ AC$, cạnh $ AC$ lại là ảnh của cạnh $ AC’$ qua phép chiếu. Điều này chứng tỏ phải có một điểm nào đó (tạm đặt tên là $ I$), mà qua phép chiếu thì tạo thành điểm $ O$. Mục đích của ta là đi tìm điểm $ I$ này.
    • Trong mặt phẳng $ (SAC) $ giao điểm của $SO$ và $AC’ $ chính là điểm $I$ nói trên. Lúc này, mặt phẳng $ (ABC,)$ xuất hiện một đường thẳng mới là đường thẳng $ BI$, mà đường thẳng này có thể cắt được $ SD.$
    • Trong mặt phẳng $ (SBD) $ gọi $ D’$ là giao điểm của $BI$ và $ SD. $
    • Dễ dàng chỉ ra thiết diện cần tìm là tứ giác $ ABC’D’. $

    Ví dụ 2. Cho hình chóp $S.ABCD$ có ba điểm $ M,N,P $ lần lượt thuộc $ SA,SB,SC. $ Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng $ (MNP). $

    Ví dụ 3. Cho hình chóp $S.ABCD$ có $ M $ là một điểm thuộc miền trong tam giác $ SCD. $ Tìm thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng $ (ABM). $

    Ví dụ 4. Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy là hình bình hành và $ M $ là trung điểm $ SB. $ Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng $ (AMD). $

    Ví dụ 5. Cho hình chóp $S.ABCD$ có $ M $ là một điểm thuộc miền trong tam giác $ SCD. $ Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng $ (ABM). $
    Hướng dẫn.
    Trong mặt phẳng $ (SCD) $ gọi $ E=SM\cap CD, $ trong mặt phẳng $ (ABCD) $ gọi $ F=AC\cap BE, $ trong mặt phẳng $ (SBE) $ gọi $ I=BM\cap SF, $ trong mặt phẳng $ (SAC) $ gọi $ N=AI\cap SC, $ trong mặt phẳng $ (SCD) $ gọi $ H=MN\cap SD. $ Thiết diện là tứ giác $ ABNH. $

    3. Bài tập tìm thiết diện sử dụng phép chiếu xuyên tâm

  • Xác định thiết diện bằng phương pháp giao tuyến gốc

    Xác định thiết diện bằng phương pháp giao tuyến gốc

    Xác định thiết diện bằng phương pháp giao tuyến gốc

    Để xác định thiết diện của một hình chóp khi cắt bởi một mặt phẳng, chúng ta có hai phương pháp là phương pháp xác định thiết diện bằng giao tuyến gốc và xác định thiết diện bằng phép chiếu xuyên tâm. Bài viết này xin trình bày chi tiết phương pháp giao tuyến gốc và các ví dụ vận dụng.

    1. Phương pháp giao tuyến gốc là gì?

    Bài toán. Xác định thiết diện của một hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng $(\alpha)$.

    Phương pháp giao tuyến gốc (Trace method).

    phuong phap giao tuyen goc

    • Xác định giao tuyến $ d $ của mặt phẳng $(\alpha)$ với một mặt $ \mathcal{H} $ của hình chóp (thường là với mặt đáy).
    • Tìm các giao điểm của giao tuyến $ d $ với các cạnh, đường chéo của mặt $ \mathcal{H} $.
    • Dựa vào các giao điểm này và giao tuyến $ d, $ tìm tiếp các giao tuyến của mặt phẳng $(\alpha)$ với những mặt còn lại của hình chóp.

    2. Ví dụ tìm thiết diện bằng phương pháp giao tuyến gốc

    Ví dụ 1. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy không là hình thang. Giả sử $ M $ là một điểm trên $ SD $, xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng $ (ABM).$

    thiet dien dung giao tuyen goc

    Hướng dẫn.

    • Rõ ràng rằng giao tuyến của mặt phẳng $ (ABM)$ với mặt đáy $ (ABCD)$ là đường thẳng $AB$, nên chúng ta lựa chọn đường thẳng $AB$ làm giao tuyến gốc.
    • Tiếp theo, ta xác định các giao điểm của đường thẳng $AB$ với các cạnh của đáy, nếu không được thì sẽ sử dụng đến giao điểm với đường chéo. Vì tứ giác $ ABCD$ không là hình thang nên kéo dài hai đường thẳng $ AB$ và $ CD$ thì chúng sẽ cắt nhau, giả sử là điểm $ I$.
    • Lúc này, đường thẳng $ IM$ nằm trong mặt phẳng $ (SCD)$ nên nó sẽ cắt được đường thẳng $ SC$, giả sử cắt tại điểm $ N$.
    • Rõ ràng, mặt phẳng $ (ABM)$ lần lượt cắt các mặt của hình chóp $S.ABCD$ theo các giao tuyến tạo thành một tứ giác là $ AMNB$ nên thiết diện chính là tứ giác $ AMNB.$

    Ví dụ 2. Cho tứ diện $ ABCD $ có $ M,N $ là trung điểm của $ AB,CD. $ Giả sử $ P $ là một điểm nằm trên cạnh $ AD $ nhưng không là trung điểm. Xác định thiết diện của mặt phẳng $ (MNP) $ và tứ diện.

    Ví dụ 3. Cho tứ diện $ ABCD $ có $ I,J $ lần lượt là trọng tâm các tam giác $ ABC $ và $ ACD. $ Trên cạnh $ AB $ lấy điểm $ K $ sao cho $ AK>BK. $ Xác định thiết diện của tứ diện khi cắt bởi mặt phẳng $ (IJK). $

    Ví dụ 4. Cho hình chóp $ S.ABCD $ có điểm $ M $ là trung điểm $ SC,N $ là một điểm trên cạnh $ SD $ sao cho $ SN<DN. $ Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng $ AMN $.

    Ví dụ 5. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Gọi $ M,N,P $ lần lượt là trung điểm của $ BC,CD $ và $ SA. $ Xác định thiết diện của hình chóp và mặt phẳng $ (MNP) $.

    Ví dụ 6. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Gọi $ M,N,P $ lần lượt là trung điểm của $ CD,BC $ và $ SB. $ Xác định thiết diện của hình chóp và mặt phẳng $ (MNP) $.

    Hướng dẫn. Trong mặt phẳng $ (ABCD) $ gọi $ E,F $ lần lượt là giao điểm của $ MN $ với $ AB $ và $ AD. $ Trong mặt phẳng $ (SAB) $ gọi $ Q=PE\cap SA, $ trong mặt phẳng $ (SAD) $ gọi $ R=QF\cap SD. $ Thiết diện là ngũ giác $ MNPQR. $

    Ví dụ 7. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành tâm $ O. $ Gọi $ M,N $ lần lượt là trung điểm của $ BC,CD. $ Trên đoạn $ SO $ lấy điểm $ P $ sao cho $ SP>OP. $ Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng $ (MNP)$.

    Hướng dẫn. Trong mặt phẳng $ (ABCD) $ gọi $ E,F,G $ lần lượt là giao điểm của $ MN $ với $ AB,AD,AC. $ Trong mặt phẳng $ (SAC) $ gọi $ J= GP\cap SA, $ trong $ (SAB) $ gọi $ K=JE\cap SB, $ trong $ (SAD) $ gọi $ I=JF\cap SD. $ Thiết diện là ngũ giác $ MNIJK. $

    Ví dụ 8. Cho hình chóp $ S.ABCD $ có $ G $ là trọng tâm tam giác $ SCD $ và $ M $ là trung điểm cạnh $ SD. $ Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng $ (AGM)$.

    Ví dụ 9. Cho hình chóp $S.ABCD$ có $ G $ là trọng tâm tam giác $ SCD, H$ là một điểm thuộc cạnh $ SA $ sao cho $ SH>AH. $ Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng $ (CGH). $

    Hướng dẫn. Gọi $ M $ là trung điểm $ SD,E=HM\cap AD,K=CE\cap AB. $ Thiết diện là tứ giác $ CMHK. $

    Ví dụ 10. Cho hình chóp $S.ABCD$ có $ G $ là trọng tâm tam giác $ SCD, H$ là một điểm thuộc cạnh $ SA $ sao cho $ SH<AH. $ Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng $ (CGH). $

    Hướng dẫn. Gọi $ M $ là trung điểm $ SD,E=HM\cap AD,F=CE\cap AB,K=HF\cap SB. $ Thiết diện là tứ giác $ CMHK. $

  • Hướng dẫn chuyển dòng thành cột trong Excel

    Hướng dẫn chuyển dòng thành cột trong Excel

    Hướng dẫn cách chuyển dòng thành cột trong Excel

    Cách chuyển dòng thành cột (chuyển đổi, hoán vị dòng thành cột, chuyển hàng thành cột) trong Excel bằng tính năng Paste Transpose hoặc sử dụng hàm TRANSPOSE().

    Xem thêm Sửa lỗi font tiếng Việt file CSV Google Microsoft Forms

    1. Các bước chuyển dòng thành cột trong Excel

    Để chuyển đổi hàng (row) thành cột (col – column) ta sử dụng tính năng Paste Transpose, cụ thể như sau:

    1️⃣ Mở file Excel có nhu cầu chuyển đổi cột thành hàng hoặc ngược lại.

    2️⃣ Bôi đen (chọn) những hàng muốn chuyển đổi sang cột, hoặc ngược lại. Nhấn chuột phải và chọn Copy hoặc sử dụng tổ hợp phím Ctrl + C.

    3️⃣ Di chuyển con trỏ chuột (dấu nhắc) đến vị trí muốn tạo bảng mới. Lúc này có 2 trường hợp:

    • Đối với Excel 2019, 2016 và 2013: Nhấn chuột phải và chọn Paste Transpose ở hàng Paste Options như trong hình vẽ sau.

    Hướng dẫn cách chuyển dòng thành cột, chuyển đổi hàng sang cột Paste Transpose trong Excel

    • Đối với Office cũ (như Excel 2003) thì bấm chuột phải và chọn Paste Special. Lúc này, hộp thoại Paste Special xuất hiện. Bạn tích chọn vào ô Transpose. Cuối cùng, nhấn OK để hoàn thành.

    chuyen dong thanh cot trong excel 2003

    2. Hướng dẫn chi tiết cách chuyển dòng thành cột trong Excel

    https://youtu.be/6tJkmf27L1o

    3. Chuyển dòng thành cột bằng hàm TRANSPOSE()

    1. Đếm các hàng và cột của bảng (vùng dữ liệu) mà bạn muốn chuyển đổi. Giả sử bảng của chúng ta là 6 cột và 9 hàng.
    2. Sử dụng chuột để chọn (bôi đen) một các ô trống trong sheet Excel của bạn có kích thước đúng bằng kích thước của bảng sau khi chuyển đổi. Vì hàm TRANSPOSE chuyển hướng dọc và ngang (chuyển hàng thành cột và cột thành hàng) của một bảng đã chọn nên bạn cần phải chọn một vùng trống vừa đủ cho số hàng và cột của bạn. Trong ví dụ ở trên, bảng của chúng ta có 6 cột và 9 hàng nên khoảng trống phải có đủ chỗ cho 9 cột và 6 hàng.
    3. Nhấn F2 (hoặc bấm chuột vào ô nhập công thức f(x)) để vào chế độ chỉnh sửa.
    4. Nhập hàm TRANSPOSE và nhập dải dữ liệu mà bạn muốn chuyển đổi vào trong cặp ngoặc đơn.
      Ví dụ, bảng của chúng ta bắt đầu từ ô A1 và kết thúc ở ô F9 (hình vẽ) thì nhập =TRANSPOSE(A1:F9).

    chuyen dong thanh cot trong excel bang ham transpose

    1. Nhấn Ctrl + Shift + Enter .

    Lưu ý: Bạn cần nhấn Ctrl + Shift + Enter vì đây là một công thức mảng, nhấn Enter  nó sẽ không hoạt động.

    Lúc này, bảng của chúng ta đã xuất hiện và cách dòng đã chuyển thành cột, các cột đã chuyển thành dòng như trong hình dưới đây.

    chuyen dong thanh cot trong excel bang ham transpose khong giu dinh dang

     

    Ưu điểm của hàm TRANSPOSE:

    • Bảng mới tạo thành giữ lại kết nối với bảng nguồn và bất cứ dữ liệu nguồn nào bị thay đổi thì bảng mới cũng tự động thay đổi theo.

    Nhược điểm của hàm TRANSPOSE:

    • Định dạng bảng ban đầu không được lưu trong bảng chuyển đổi.
    • Nếu có bất kỳ ô trống nào trong bảng nguồn, các ô tương ứng trong bảng chuyển đổi sẽ chứa giá trị 0 mặc định, không thể sửa được.
    • Không thể chỉnh sửa bất kỳ ô nào trong bảng chuyển đổi, vì mỗi ô là một phần tử của mảng, bạn chỉ có thể thay đổi toàn bộ bảng chuyển đổi bằng cách gõ lại công thức của cả mảng hoặc sửa các ô ở bảng ban đầu.
  • Toán 9 – Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

    Toán 9 – Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

    Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình lớp 9

    Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình lớp 9 là một dạng toán quan trọng, thường xuyên xuất hiện trong các đề thi học kì, bài kiểm tra, đề thi tuyển sinh vào lớp 10. Để giải được dạng toán lập hệ phương trình ở lớp 9, học sinh cần nắm được 2 cách giải hệ phương trình bậc nhất là phương pháp cộng đại số và phương pháp thế. Ngoài ra, kỹ năng quan trọng là cách đặt ẩn và biểu thị mối quan hệ giữa các ẩn để có được một hệ phương trình.

    1. Phương pháp giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

    Cách giải một bài toán bằng cách lập hệ phương trình, chúng ta thực hiện các bước sau:

    • Bước 1: Lập hệ phương trình.
      • Biểu diễn hai đại lượng phù hợp bằng ẩn số $x$ và $y$ (thường đặt ẩn số là những đại lượng đề bài yêu cầu cần tìm, ví dụ yêu cầu tính chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn thì chúng ta sẽ đặt $x$ là chiều dải mảnh vườn, $y$ là chiều rộng mảnh vườn…). Sau đó, đặt đơn vị và điều kiện của ẩn một cách thích hợp (ví dụ độ dài, thời gian hoàn thành công việc thì không thể là số âm…).
      • Biểu thị các đại lượng chưa biết còn lại qua ẩn.
      • Lập hai phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng và thành lập hệ hai ẩn từ các phương trình vừa tìm.
    • Bước 2: Giải hệ phương trình nói trên.
    • Bước 3: Kiểm tra nghiệm tìm được thỏa mãn điều kiện của bài toán và nêu kết luận của bài toán.

    2. Các dạng toán giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình thường gặp:

    Dạng 1: Chuyển động (trên đường bộ, trên đường sông có tính đến dòng nước chảy)

    Đối với dạng toán này, cần chú ý đến điều kiện của ẩn:

    • Nếu gọi $x$ là vận tốc của chuyển động thì điều kiện là $x>0$.
    • Đặt thời gian chuyển động là $y$ thì điều kiện là $y \ge 0$.
    • Một số công thức:
      • Quãng đường bằng vận tốc nhân thời gian, s=v.t;
      • Vận tốc khi nước đứng yên = vận tốc riêng;
      • Vận tốc xuôi dòng = vận tốc riêng + vận tốc dòng nước;
      • Vận tốc ngược dòng = vận tốc riêng – vận tốc dòng nước.
    • Nếu hai xe đi ngược chiều nhau cùng xuất phát khi gặp nhau lần đầu:
      • Thời gian hai xe đi được là như nhau,
      • Tổng quãng đường 2 xe đi được bằng đúng quãng đường cần đi của 2 xe.
    • Cách đổi đơn vị thời gian, vận tốc:
      • 1 h (1 giờ) = 60 phút.
      • 1 (m/s) = 3,6 (km/h), vì 1 m = 1/1000 km và 1 s = 1/3600 giờ.
      • 1 (km/h) = 5/18 (m/s).

    Ví dụ 1. Hai thị xã A và B cách nhau 90 km. Một chiếc ô-tô khởi hành từ A và một xe máy khởi hành từ B cùng một lúc ngược chiều nhau. Sau khi gặp nhau ô-tô chạy thêm 30 phút nữa thì đến B, còn xe máy chạy thêm 2 giờ nữa mới đến A. Tìm vận tốc của mỗi xe.

    Hướng dẫn. Gọi vận tốc của ô-tô và xe máy lần lượt là $x$ và $y$ (đơn vị km/h, điều kiện $x > 0, y > 0$). Giả sử hai xe gặp nhau tại C. Do ô-tô đi hết quãng đường BC trong 30 phút (bằng 0,5 giờ) và xe máy đi hết quãng đường CA trong 2 giờ nên ta có:

    • Quãng đường AC dài $2y$ (km), quãng đường BC dài $0,5x$ (km).
    • Thời gian ôtô đi hết quãng đường AC là $\frac{2y}{x}$ (km/h).
    • Thời gian xe máy đi trên quãng đường BC là $0,5\frac{x}{y}$ (km/h).
    • Do tổng quãng đường AB dài 90km và thời gian hai xe từ lúc xuất phát tới C bằng nhau nên ta có hệ phương trình \[\begin{array}{l} \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {0,5x + 2y = 90}\\ {\frac{{0,5x}}{y} = \frac{{2y}}{x}} \end{array}} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {0,5x + 2y = 90}\\ {{x^2} = 4{y^2}} \end{array}} \right. \end{array}\] Vì \( x,y>0 \) nên từ phương trình \( {{x^2} = 4{y^2}} \) suy ra $x = 2y$. Thay vào phương trình còn lại của hệ, ta được $$3y = 90 \Leftrightarrow y = 30$$ Suy ra, $x = 60$ (thỏa mãn điều kiện $x, y > 0$).
    • Vậy, vận tốc của ôtô là 60km/h và vận tốc của xe máy là 30km/h.

    Dạng 2: Toán làm chung – làm riêng (Bài toán vòi nước)

    Ví dụ 1. Hai vòi nước cùng chảy đầy một bẻ không có nước trong 3h 45ph . Nếu chảy riêng rẽ , mỗi vòi phải chảy trong bao lâu mới đầy bể? biết rằng vòi chảy sau lâu hơn vòi trước 4 h.

    Hướng dẫn. 

    • Gọi thời gian vòi đầu chảy chảy một mình đầy bể là x (điều kiện x > 0 , x tính bằng giờ)
    • Gọi thời gian vòi sau chảy chảy một mình đầy bể là  y (điều kiện y > 4 , y tính bằng giờ)
    • Suy ra, trong 1 giờ vòi đầu chảy được $\frac{1}{x}$ bể, vòi sau chảy được $\frac{1}{y}$ bể.
    • Sau 1 giờ, cả hai vòi chảy được

    $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$ bể

    • Hai vòi cùng chảy thì đầy bể trong 3h 45ph = 15/4 h, nên trong 1 giờ thì cả hai vòi chảy được

    $1 : \frac{15}{4} = \frac{4}{15} $ bể.

    • Suy ra, ta có phương trình

    $\frac{1}{x}+\frac{1}{y} = \frac{4}{15}$

    • Mặt khác, nếu chảy một mình thì vòi sau chảy lâu hơn vòi trước 4 giờ tức là $y – x = 4$ nên ta có hệ phương trình $$\begin{cases} \frac{1}{x}+\frac{1}{y} = \frac{4}{15}\\ y – x = 4 \end{cases}$$
    • Giải hệ phương trình này tìm được $x=6,y=10$.
    • Vậy, vòi đầu chảy một mình đầy bể trong 6 h; vòi sau chảy một mình đầy bể trong 10 h.

    Ví dụ 2.  Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể không có nước thì trong 5 giờ sẽ đầy bể. Nếu vòi thứ nhất chảy trong 3 giờ và vòi thứ 2 chảy trong 4 giờ thì được $\frac{2}{3}$ bể nước. Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình thì trong bao lâu mới đầy bể.

    Hướng dẫn. 

    • Gọi thời gian vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể là $x$ (giờ), thời gian vòi thứ hai chảy một mình đầy bể là $y$ (giờ). Điều kiện x, y>5.
    • Suy ra, trong 1 giờ vòi đầu chảy được $\frac{1}{x}$ bể, vòi sau chảy được $\frac{1}{y}$ bể. Sau 1 giờ, cả hai vòi chảy được

    $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$ bể

    • Mà theo đề bài, cả hai vòi nước cùng chảy vào bể không có nước thì trong 5 giờ sẽ đầy bể nên trong một giờ cả hai vòi chảy được $\frac{1}{5}$ bể. Do đó ta có phương trình $$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{5}$$
    • Mặt khác, nếu vòi thứ nhất chảy trong 3 giờ và vòi thứ 2 chảy trong 4 giờ thì được $\frac{2}{3}$ bể nên ta
      có phương trình $$3.\frac{1}{x}+4.\frac{1}{y}=\frac{2}{3}$$
    • Do đó, ta có hệ phương trình $$\begin{cases} \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{5}\\ \frac{3}{x}+\frac{4}{y}=\frac{2}{3} \end{cases}.$$
    • Giải hệ phương trình này tìm được $x=7,5$ và $y=15$ (thỏa mãn điều kiện).
    • Vậy thời gian vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể là 7,5 giờ, thời gian vòi thứ hai chảy một mình đầy bể là 15 giờ.

    Ví dụ 3. Lớp 9A và lớp 9B cùng lao động tổng vệ sinh sân trường thì sau 6 giờ sẽ hoàn thành xong công việc. Nếu làm riêng thì lớp 9A mất nhiều thời gian hơn lớp 9B là 5 giờ mới hoàn thành xong công việc. Hỏi nếu làm riêng, mỗi lớp cần bao nhiêu thời gian để hoàn thành xong công việc?

    Hướng dẫn. 

    • Gọi thời gian lớp 9A, 9B hoàn thành xong công việc là $x$ (giờ) và $y$ (giờ), điều kiện $x>5,y>0$.
    • Trong 1 giờ, lớp 9A làm được: $\frac{1}{x}$ (công việc), lớp 9B làm được $\frac{1}{y}$ (công việc). Nên trong 1 giờ, cả 2 lớp làm được

    $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$ công việc.

    • Mà theo đề bài, cả hai lớp cùng lao động tổng vệ sinh sân trường thì sau 6 giờ sẽ hoàn thành xong công việc nên ta có phương trình $$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{6}$$
    • Nếu làm riêng thì lớp 9A mất nhiều thời gian hơn lớp 9B là 5 giờ mới hoàn thành xong công việc. Tức là $x-y=5$.
    • Do đó, ta có hệ phương trình $$\begin{cases} \frac{1}{x}+\frac{1}{y} = \frac{1}{6}\\ x-y=5 \end{cases}$$
    • Giải hệ phương trình này bằng phương pháp thế, tìm được $y=-3$ (loại) hoặc $y=10$ (thỏa mãn). Từ đó tìm được $x=15$.

    Dạng 3: Toán liên quan đến tỉ lệ phần trăm.

    Chú ý cách tính tỉ lệ phần trăm.

    Ví dụ 1.  Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Do áp dụng kĩ thuật mới nên tổ I đã vượt mức 18% và tổ II đã vượt mức 21%. Vì vậy trong thời gian quy định họ đã hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm. Hỏi số sản phẩm
    được giao của mỗi tổ theo kế hoạch?

    Hướng dẫn. 

    • Gọi $x,y$ là số sản phẩm của tổ I, II theo kế hoạch, điều kiện x, y nguyên dương và x < 600; y < 600.
    • Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm nên ta có phương trình: $$x+y=600.$$
    • Số sản phẩm tăng thêm của tổ I là: $ \frac{18}{100} x$ sản phẩm. Số sản phẩm tăng của tổ II là: $ \frac{18}{100} y$ sản phẩm.
    • Do số sản phẩm của hai tổ vượt mức 120 (sản phẩm) nên ta có phương trình $$\frac{18}{100}x + \frac{21}{100}y = 120. $$
    • Từ đó ta có hệ phương trình $$\left\{\begin{array}{l} x+y=600 \\ \frac{18}{100} x+\frac{21}{100} y=120 \end{array}\right.$$
    • Giải hệ này tìm được $x=200, y=400$ (thỏa mãn điều kiện).

    Ví dụ 3. Trong tháng giêng hai tổ sản xuất được 720 chi tiết máy. Trong tháng hai, tổ I vượt mức 15%, tổ II vượt mức 12% nên sản xuất được 819 chi tiết máy. Tính xem trong tháng giêng mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy?

    Hướng dẫn. 

    Ví dụ 4. Năm ngoái tổng số dân của hai tỉnh A và B là 4 triệu người. Dân số tỉnh A năm nay tăng 1,2%, còn tỉnh B tăng 1,1%. Tổng số dân của cả hai tỉnh năm nay là 4 045 000 người. Tính số dân của mỗi tỉnh năm ngoái và năm nay?

    Hướng dẫn. 

    Dạng 4: Toán có nội dung hình học.

    • Khi đặt ẩn là độ dài các đoạn thẳng, độ dài các cạnh thì điều kiện của ẩn là không âm.
    • Diện tích hình chữ nhật $S = x.y$, với $ x$ là chiều rộng; $y$ là chiều dài.
    • Diện tích tam giác $S=\frac{1}{2}a.h_a$ với $a$ là độ dài một cạnh tam giác và $h_a$ là chiều cao ứng với cạnh đó.
    • Định lý Pitago trong tam giác vuông với độ dài cạnh huyền là $c$, độ dài hai cạnh góc vuông là $a,b$ thì $$a^2+b^2=c^2.$$

    Ví dụ 1.  Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi 34 m. Nếu tăng chiều dài thêm 3 m và tăng chiều rộng thêm 2 m thì diện tích tăng thêm 45m2. Hãy tính chiều dài, chiều rộng của mảnh vườn.

    Hướng dẫn.

    • Gọi chiều rộng và chiều dài của mảnh vườn là lần lượt là $x$ và $y$ (đơn vị m, điều kiện $x > 0, y > 0$).
    • Theo đề bài ta có, chu vi hình chữ nhật là: $$2(x + y) = 34$$
    • Khi tăng chiều dài thêm 3 m và tăng chiều rộng thêm 2 m thì ta được một hình chữ nhật mới có chiều dài $(y + 3)$ m, chiều rộng $(x +2)$ m nên có diện tích là $(x + 2)(y + 3)$.
    • Do hình chữ nhật mới có diện tích tăng thêm 45 m2 nên ta có phương trình: $$(x+2)(y+3)= xy + 45 $$ Từ đó, ta có hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l} 2\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}y} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}34\\ \left( {x + 2} \right)\left( {y + 3} \right) = {\rm{ }}xy{\rm{ }} + {\rm{ }}45 \end{array} \right.\] Giải hệ phương trình này tìm được $x=5$ và $y=12$.
    • Vậy, hình chữ nhật đã cho có chiều dài $12$ m và chiều rộng $5$ m.

    Ví dụ 2. Cho một hình chữ nhật. Nếu tăng chiều dài lên 10 m, tăng chiều rộng lên 5 m thì diện tích tăng 500 m2. Nếu giảm chiều dài 15 m và giảm chiều rộng 9 m thì diện tích giảm 600 m2. Tính chiều dài, chiều rộng ban đầu.

    Hướng dẫn. 

    Ví dụ 3. Cho một tam giác vuông. Nếu tăng các cạnh góc vuông lên 2 cm và 3 cm thì diện tích tam giác tăng 50 cm2. Nếu giảm cả hai cạnh đi 2 cm thì diện tích sẽ giảm đi 32 cm2. Tính hai cạnh góc vuông.

    Hướng dẫn. 

    Dạng 5: Toán về tìm số.

      • Số có hai, chữ số được ký hiệu là $\overline{ab} $, điều kiện $1 \le q \le 9; 0\le b \le 9; a,b \in \mathbb{N}$.
      • Giá trị của số: $\overline{ab} = 10a+b$.
      • Số có ba, chữ số được ký hiệu là $\overline{abc}$ thì $\overline{abc} = 100a +10b + c$,  điều kiện $1 \le q \le 9; 0\le b,c \le 9; a,b,c \in \mathbb{N}$.
      • Tổng hai số $x; y$ là: $x+ y$.
      • Tổng bình phương hai số $x, y$ là: $x^2+y^2$.
      • Bình phương của tổng hai số $x, y$ là: $(x+y)^2$.
      • Tổng nghịch đảo hai số $x, y$ là: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$.

    Ví dụ 1.  Cho số tự nhiên có hai chữ số, tổng của chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị bằng 14. Nếu đổi chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị cho nhau thì được sốmới lớn hơn số đã cho 18 đơn vị. Tìm số đã cho.

    Hướng dẫn.

    • Gọi chữ số số cần tìm là $\overline{xy}$, điều kiện $x ,y\in \mathbb{N}, 0 < x \le  9, 0 \le y \le 9$.
    • Tổng chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị bằng 14 nên có phương trình: $$x+y=14.$$
    • Đổi chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị cho nhau thì được số mới lớn hơn số đã cho 18 đơn vị nên có phương trình: $\overline{yx}-\overline{xy}=18$ hay  chính là $$10y+x-(10x+y)=18$$
    • Do đó, ta có hệ phương trình $$\begin{cases} x+y=14 \\ 10y+x-(10x+y)=18 \end{cases}$$
    • Giải hệ này, tìm được $x=6,y=8$ (thỏa mãn điều kiện) nên số cần tìm là $68$.

    Ví dụ 2. Tìm một số tự nhiên có hai chữ số. Biết rằng chữ số hàng đơn vị hơn chữ số hàng chục là 5 đơn vị và khi viết chữ số 1 xen vào giữa hai chữ số của số đó thì ta được số mới lớn hơn số đó là 280 đơn vị .

    Hướng dẫn.

    • Gọi chữ số hàng chục là $a$, chữ số hàng đơn vị là $b$, điều kiện $a,b\in \mathbb{N}; 1\le a\le 9; 0\le b\le 9$.
    • Số cần tìm là $\overline{ab}$ có giá trị $\overline{ab}=10a+b$.
    • Ta có chữ số hàng đơn vị hơn chữ số hàng chục là 5 đơn vị nên ta có phương trình: $$ b-a=5$$
    • Lại có, khi viết chữ số 1 xen vào giữa hai chữ số của số đó thì ta được số mới là $\overline{a1b}$ có giá trị $\overline{a1b}=100a+10+b$.
    • Do số mới lớn hơn số ban đầu là 280 đơn vị nên ta có phương trình: $$100a+10+b-(10a+b)=280$$
    • Ta có hệ phương trình $$\left\{\begin{array}{l} -a+b=5 \\ (100 a+10+b)-(10 a+b)=280\end{array}\right.$$
    • Giải hệ này, tìm được $a=3,b=8$ đều thỏa mãn điều kiện nên số cần tìm là $38$.

    Ví dụ 3. Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, tổng các chữ số bằng 11, nếu đổi chỗ hai chữ số hàng chục và hàng đơn vị cho nhau thì số đó tăng thêm 27 đơn vị.

    Hướng dẫn.

    Ví dụ 4.  Tìm một số có hai chữ số, biết rằng số đó gấp 7 lần chữ số hàng đơn vị của nó và nếu số cần tìm chia cho tổng các chữ số của nó thì được thương là 4 và số dư là 3.

    Hướng dẫn.

    3. Bài tập giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình

    Bài 1. Nếu tử số của một phân số được tăng gấp đôi và mẫu số thêm 8 thì giá trị của phân số bằng $\frac{1}{4}$. Nếu tử số thêm 7 và mẫu số tăng gấp 3 thì giá trị phân số bằng $\frac{5}{24}$. Tìm phân số đó.

    Bài 2. Nếu thêm 4 vào tử và mẫu của một phân số thì giá trị của phân số giảm 1. Nếu bớt 1 vào cả tử và mẫu, phân số tăng $\frac{3}{2}$. Tìm phân số đó.

    Bài 3: Tìm hai số có tổng bằng $31$ và có hiệu bằng $9$.

    Bài 4: Tìm một số tự nhiên có hai chữ số. Biết rằng số đó gấp bảy lần chữ số hàng đơn vị và nếu đem số đó chia cho tổng các chữ số của nó thì được thương là $4$ và dư là $3$.

    Bài 5: Một người đi xe đạp từ A đến B gồm đoạn lên dốc AC và đoạn xuống dốc CB. Thời gian đi AB là 4 giờ 20 phút, thời gian về BA là 4 giờ. Biết vận tốc lên dốc là 10 km/h và vận tốc xuống dốc là 15 km/h. Tính AC, CB.

    Bài 6: Hai ôtô khởi hành cùng một lúc trên quãng đường từ A đến B dài 120 km. Mỗi giờ ôtô thứ nhất chạy nhanh hơn ôtô thứ hai là 10 km nên đến B trước ôtô thứ hai là 2/5 giờ. Tính vận tốc của mỗi ôtô?

    Bài 7: Lúc 7 h, một người đi xe máy khởi hành từ A với vận tốc 40 km/h. Sau đó, lúc 8h30’ một người khác cũng đi xe máy từ A đuổi theo với vận tốc 60 km/h. Hỏi hai người gặp nhau lúc mấy giờ?

    Bài 8: Một tàu thủy chạy trên khúc sông dài 80 km, cả đi lẫn về mất 8h20’. Tính vận tốc của tàu thủy khi nước yên lặng, biết rằng vận tốc của dòng nước là 4 km/h.

    Bài 9: Hai ca nô cùng khởi hành từ hai bến A và B cách nhau 85 km đi ngược chiều nhau. Sau 1 giờ 40 phút thì gặp nhau. Tính vận tốc riêng của mỗi ca nô, biết rằng vận tốc ca nô đi xuôi lớn hơn vận tốc ca nô đi ngược 9km/h và vận tốc dòng nước là 3 km/h.

    Bài 10: Một ca nô xuôi từ bến A đến bến B với vận tốc trung bình 30 km/h, sau đó lại ngược từ B trở về A. Thời gian đi xuôi ít hơn thời gian đi ngược là 40 phút. Tính khoảng cách giữa hai bến A và B, biết rằng vận tốc dòng nước là 3 km/h và vận tốc riêng của ca nô không đổi.

    Bài 11: Một canô chạy trên sông trong 8 giờ, xuôi dòng 81km và ngược dòng 105km. Một lần khác cũng trên dòng sông đó, canô này chạy trong 4 giờ,xuôi dòng 54km và ngược dòng 42km. Hãy tính vận tốc khi xuôi dòng và vận tốc khi ngược dòng của ca nô, biết vận tốc dòng nước và vận tốc riêng của ca nô không đổi.

    Bài 12: Một ô tô dự định đi từ A đến B trong một thời gian đã định. Nếu ô tô tằng vận tốc thêm 3km/h thì đến B sớm hơn 2 giờ. Nếu ô tô giảm vận tốc đi 3km/h thì sẽ đến B chậm hơn 3 giờ. Tính quãng đường AB.

    Bài 13: Để hoàn thành một công việc, hai tổ phải làm chung trong 6 giờ. Sau 2 giờ làm chung thì tổ hai được điều đi làm việc khác, tổ một đã hoàn thành công việc còn lại trong 10 giờ. Hỏi nếu mỗi tổ làm riêng thì sau bao lâu sẽ làm xong công việc đó?

    Bài 14: Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm. Do áp dụng kĩ thuật mới nên tổ I đã vượt mức 18% và tổ II đã vượt mức 21%. Vì vậy trong thời gian quy định họ đã hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm. Hỏi số sản phẩm được giao của mỗi tổ theo kế hoạch?

    Bài 15: Hai đội công nhân cùng làm chung một công việc. Thời gian để đội I làm một mình xong công việc ít hơn thời gian đội II làm một mình xong công việc đó là 4 giờ. Tổng thời gian này gấp 4,5 lần thời gian hai đội cùng làm chung để xong công việc đó. Hỏi mỗi đội nếu làm một mình thì phải bao lâu mới làm xong công việc?

    Bài 16: Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài bằng 7/4 chiều rộng và có diện tích bằng 1792m2. Tính chu vi của khu vườn ấy.

    Bài 17: Có hai loại dung dịch chứa cùng một thứ axit, loại thứ nhất chứa 30% axit, loại thứ hai chứa 5% axit. Muốn có 50 lit dung dịch chứa 10% axit thì cần phải trộn lẫn bao nhiêu lít dung dịch của mỗi loại?

    Bài 18: Giải hệ phương trình $$\left\{ \begin{array}{l} \left( {3x – 1} \right)\left( {2y + 3} \right) = \left( {2x – 1} \right)\left( {3y + 4} \right)\\ {x^2} – {y^2} = 2x – 5 \end{array} \right.$$

    Bài 19: Giải phương trình: $\left| {x + 1} \right| + 2\left| {x – 1} \right| = x + 2 + \left| x \right| + 2\left| {x – 2} \right|$.

    Bài 20: Với giá trị nào của $k$, hệ phương trình sau có nghiệm $$\left\{ \begin{array}{l} x + \left( {1 + k} \right)y = 0\\ \left( {1 – k} \right)x + ky = 1 + k \end{array} \right.$$

  • Tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số đó lớp 4

    Tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số đó lớp 4

    Tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số đó

    Cùng với bài toán tìm hai số khi biết tổng và tỉ, biết hiệu và tỉ, bài toán về trung bình cộng thì bài toán Tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số đó là những dạng toán quan trọng nhất ở bậc tiểu học.

    Mời thầy cô và các em học sinh xem thêm:

    1. Cách giải dạng toán tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số lớp 4

    Chúng ta sử dụng một trong hai cách:

    • Cách 1. Số lớn = (tổng + hiệu): 2, Số bé = số lớn – hiệu (hoặc tổng – số lớn)
    • Cách 2. Số bé = (tổng – hiệu) : 2, Số lớn = số bé + hiệu (hoặc tổng – số bé)

    2. Các dạng toán tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số đó

    • Dạng 1: Cho biết cả tổng lẫn hiệu
    • Dạng 2: Cho biết tổng nhưng không cho biết hiệu
    • Dạng 3: Cho biết hiệu nhưng không cho biết  tổng
    • Dạng 4: Không cho biết cả tổng lẫn hiệu
    • Dạng 5: Dạng tổng hợp

    Ví dụ 1. Tuổi bố và tuổi con cộng lại được 58 tuổi. Bố hơn con 38 tuổi. Hỏi bố bao nhiêu tuổi, con bao nhiêu tuối?

    Lời giải.

    • Tuổi con là: (58 – 38) : 2 = 10 (tuổi)
    • Tuổi bố là: 58 – 10 = 48 (tuổi)
    • Đáp số: Bố 48 tuổi, con 10 tuổi.

    Ví dụ 2. Một lớp học có 28 học sinh. Số học sinh trai hơn số học sinh gái là 4 em. Hỏi lớp học đó có bao nhiêu học sinh trai, bao nhiêu học sinh gái?

    Lời giải.

    • Hai lần số học sinh trai là: 28 + 4 = 32 (học sinh)
    • Số học sinh trai là: 32 : 2 = 16 (học sinh)
    • Số học sinh gái là: 16 – 4 = 12 (học sinh)

    Đáp số: 16 học sinh trai, 12 học sinh gái.

    Ví dụ 3. An và Bình có 70 viên bi. Biết nếu Bình có thêm 16 viên bi thì 2 bạn có số bi bằng nhau. Hỏi ban đầu mỗi bạn có bao nhiêu viên bi?

    Lời giải.

    • Hai lần số bi của An là: 70 + 16 = 86 (viên bi)
    • Số bi của An là: 86 : 2 = 43 (viên bi)
    • Số bi của Bình là: 43 – 16 = 27 (viên bi)
    • Đáp số: An: 43 viên bi; Bình: 27 viên bi.

    Ví dụ 4. Hai bao gạo cân nặng tổng cộng 147 kg. Biết rằng nếu lấy ra ở bao thứ nhất 5kg và bao thứ hai 22 kg thì số gạo còn lại ở 2 bao bằng nhau. Hỏi mỗi bao có bao nhiêu ki-lô-gam gạo?

    Ví dụ 5. Một trại chăn nuôi có 200 con vịt, ngan và ngỗng. Số vịt bằng tổng số ngan và ngỗng, số ngan nhiều hơn số ngỗng là 40 con. Hỏi trang trại đó có bao nhiêu con ngan, vịt, ngỗng?

    Ví dụ 6. Hai tổ trồng được 30 cây. Sau đó tổ 1 trồng thêm 5 cây nữa, tổ hai trồng thêm 3 cây nữa nên số cây tổ 1 nhiều hơn số cây tổ 2 trồng được là 8 cây. Hỏi lúc đầu mỗi tổ trồng được bao nhiêu cây?

    Ví dụ 7. Cách đây 5 năm tổng số tuổi 2 mẹ con là 34 tuổi. Biết rằng mẹ sinh con năm 26 tuổi. Tính tuổi mỗi người hiện nay?

    Ví dụ 8. Học kì 1, Huy có nhiều hơn Hoàng 6 quyển vở. Sau đó Huy mua thêm 5 quyển, Hoàng mua thêm 9 quyển thì tổng số vở 2 bạn lúc này là 10 quyển. Hỏi:

    • a) Lúc đầu mỗi bạn có bao nhiêu quyển vở?
    • b) Nếu sau kì 1 Huy viết hết số vở ít hơn Hoàng là 5 quyển thì sau kì 1 bạn nào sẽ còn nhiều vở hơn và nhiều hơn bao nhiêu quyển?

    Ví dụ 9. Hai thùng có tổng cộng 82 lít dầu. Nếu chuyển 7 lít dầu từ thùng thứ nhất sang thùng thứ hai thì 2 thùng có số dầu bằng nhau. Hỏi mỗi thùng có bao nhiêu lít dầu?

    Ví dụ 10. An và Bình có 120 viên bi. Nếu Bình cho An 25 viên thì Bình còn hơn An 10 viên bi. Hỏi lúc đầu mỗi bạn có bao nhiêu viên bi?

    Ví dụ 11. Huy và Hoàng có tất cả 25 viên bi. Nếu như Huy cho Hoàng 5 viên, rồi Hoàng cho lại Huy 3 viên thì số bi của Huy nhiều hơn của Hoàng là 1 viên. Hỏi:

    • a) Mỗi bạn có bao nhiêu viên bi?
    • b) Huy phải cho Hoàng mấy viên để Hoàng có nhiều hơn Huy 1 viên?

    Ví dụ 12. Tìm 2 số lẻ liên tiếp có tổng bằng 4020.

    Ví dụ 13. Tìm 2 số chẵn có tổng bằng 1000, biết giữa chúng có đúng 2 số lẻ.

    Ví dụ 14. Tổng 2 số chẵn bằng 480. Tìm 2 số đó, biết giữa chúng có 6 số lẻ liên tiếp.

    Ví dụ 15. Tìm 2 số lẻ có tổng bằng 2010, biết giữa chúng có đúng 10 số chẵn.

    Ví dụ 16. Tìm 2 số có tổng bằng 2016, biết giữa chúng có đúng 10 số tự nhiên khác.

    Ví dụ 17. Tìm 2 số tự nhiên biết tổng của chúng bằng 2003 và giữa chúng có tất cả 15 số chẵn.

    Ví dụ 18. Trung bình cộng của hai số tự nhiên bằng 2375. Tìm số bé biết, nếu viết thêm chữ số 3 vào bên trái số bé ta được số lớn. Tìm số bé.

    Ví dụ 19. Một số có hai chữ số mà tổng của hai chữ số bằng 11.Nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau thì số đó tăng lên 27 đơn vị. Tìm số có hai chữ số đó.

    3. Bài tập tìm hai số khi biết tổng và hiệu của hai số đó lớp 4

    Dạng 1: Tìm hai số khi biết tổng và hiệu cho biết cả tổng lẫn hiệu

    Bài 1. Tuổi bố và tuổi con cộng lại được 58 tuổi. Bố hơn con 38 tuổi. Hỏi bố bao nhiêu tuổi, con bao nhiêu tuổi?

    Bài 2. Một lớp học có 28 học sinh. Số hs nam hơn số hs nữ là 4 em. Hỏi lớp học đó có bao nhiêu học sinh nam, bao nhiêu học sinh nữ?

    Bài 3. Một hình chữ nhật có hiệu hai cạnh liên tiếp là 24 cm và tổng của chúng là 92 cm. Tính diện tích của hình chữ nhật đã cho.

    Bài 4. Tìm hai số biết tổng của hai số bằng 42, hiệu của hai số bằng 10.

    Bài 5. Hai lớp 4A và 4B trồng được 600 cây. Lớp 4A trồng được ít hơn lớp 4B là 50 cây. Hỏi mỗi lớp trồng được bao nhiêu cây?

    Bài 6. Tính nhẩm: Tổng của hai số bằng 8. Hiệu của chúng cũng bằng 8. Tìm hai số đó.

    Bài 7. Tìm 2 số biết tổng và hiệu của chúng lần lượt là:

    a) 24 và 6; b) 60 và 12; c) 325 và 99.

    Bài 8. Tuổi chị và tuổi em cộng lại được 36 tuổi. Em kém chị 8 tuổi. Hỏi chị bao nhiêu tuổi, em bao nhiêu tuổi?

    Bài 9. Một thư viện trường học cho HS mượn 65 quyển sách gồm 2 loại: Sách giáo khoa và sách đọc thêm. Số sách giáo khoa nhiều hơn số sách đọc thêm 17 quyển. Hỏi thư viện đó đã cho học sinh mượn mỗi loại bao nhiêu quyển sách?

    Bài 10. Hai phân xưởng làm được 1200 sản phẩm. Phân xưởng thứ nhất làm được ít hơn phân xưởng thứ hai 120 sản phẩm. Hỏi mỗi phân xưởng làm được bao nhiêu sản phẩm?

    Bài 11. Thu hoạch từ hai thửa ruộng được 5 tấn 2 tạ thóc. Thu hoạch được ở thửa ruộng thứ nhất được nhiều hơn ở thửa ruộng thứ hai 8 tạ thóc. Hỏi thu hoạch được ở mỗi thửa ruộng bao nhiêu ki-lô-gam thóc?

    Bài 12. Hai thùng chứa được tất cả 600 lít nước. Thùng bé chứa được ít hơn thùng to 120l nước. Hỏi mỗi thùng chứa được bao nhiêu lít nước?

    Dạng 2: Tìm hai số khi biết tổng và hiệu cho biết tổng nhưng dấu hiệu

    Bài 1. Tìm hai số chẵn có tổng là 210, biết giữa chúng có 18 số chẵn khác.

    Bài 2. Tìm hai số biết tổng của chúng là 198 và nếu xóa đi chữ số bên trái của số lớn thì được số bé. Nếu xóa chữ số 1 thì số đó giảm 100 đơn vị).

    Bài 3. Hai lớp 4A và 4B có tất cả 82 học sinh. Nếu chuyển 2 học sinh ở lớp 4A sang lớp 4B thì số học sinh 2 lớp sẽ bằng nhau. Tính số học sinh của mỗi lớp.

    Bài 4. Tìm hai số lẻ có tổng là 186. Biết giữa chúng có 5 số lẻ.

    Bài 5. Hai ông cháu hiện nay có tổng số tuổi là 68, biết rằng cách đây 5 năm cháu kém ông 52 tuổi. Tính số tuổi của mỗi người.

    Bài 6. Hùng và Dũng có tất cả 45 viên bi. Nếu Hùng có thêm 5 viên bi thì Hùng có nhiều hơn Dũng 14 viên. Hỏi lúc đầu mỗi bạn có bao nhiêu viên bi.

    Bài 7. Lớp 4A có 32 học sinh. Hôm nay có 3 bạn nữ nghỉ học nên số nam nhiều hơn số nữ là 5 bạn. Hỏi lớp 4A có bao nhiêu học sinh nữ, bao nhiêu học sinh nam?

    Bài 8. Hùng và Dũng có tất cả 46 viên bi. Nếu Hùng cho Dũng 5 viên bi thì số bi của hai bạn bằng nhau. Hỏi lúc đầu mỗi bạn có bao nhiêu viên bi.

    Bài 9. Hai thùng dầu có tất cả 116 lít. Nếu chuyển 6 lít từ thùng thứ nhất sang thùng thứ hai thì lượng dầu ở hai thùng bằng nhau. Hỏi mỗi thùng có bao nhiêu lít dầu?

    Bài 10. Tìm hai số có tổng là 132. Biết rằng nếu lấy số lớn trừ đi số bé rồi cộng với tổng của chúng thì được 178.

    Bài 11. Tìm hai số có tổng là 234. Biết rằng nếu lấy số thứ nhất trừ đi số thứ hai rồi cộng với hiệu của chúng thì được 172.

    Bài 12. An và Bình có tất cả 120 viên bi. Nếu An cho Bình 20 viên thì Bình sẽ có nhiều hơn An 16 viên. Hỏi mỗi bạn có bao nhiêu viên bi?

    Bài 13. Hai kho gạo có 155 tấn. Nếu thêm vào kho thứ nhất 8 tấn và kho thứ hai 17 tấn thì số gạo ở mỗi kho bằng nhau. Hỏi lúc đầu mỗi kho có bao nhiêu tấn gạo?

    Bài 14. Ngọc có tất cả 48 viên bi vừa xanh vừa đỏ. Biết rằng nếu lấy ra 10 viên bi đỏ và hai viên bi xanh thì số bi đỏ bằng số bi xanh. Hỏi có bao nhiêu viên bi mỗi loại?

    Bài 15. Hai người thợ dệt dệt được 270 m vải. Nếu người thứ nhất dệt thêm 12m và người thứ hai dệt thêm 8 m thì người thứ nhất sẽ dệt nhiều hơn người thứ hai 10 m. hỏi mỗi người đã dệt được bao nhiêu m vải?

    Bài 16. Tổng của 3 số là 1978. Số thứ nhất hơn tổng hai số kia là 58 đơn vị. Nếu bớt ở số thứ hai đi 36 đơn vị thì số thứ hai sẽ bằng số thứ ba. Tìm 3 số đó.

    Dạng 3: Tìm hai số khi biết tổng và hiệu cho biết hiệu nhưng không cho biết tổng

    Bài 1. Tất cả học sinh của lớp xếp hàng 3 thì được 12 hàng. Số bạn gái ít hơn số bạn trai là 4. Hỏi lớp đó có bao nhiêu bạn trai, bao nhiêu bạn gái? (Dấu tổng)

    Bài 2. Bố hơn con 28 tuổi; 3 năm nữa số tuổi của cả hai bố con tròn 50. Tính tuổi hiện nay của mỗi người.

    Hướng dẫn.

    • Cách 1: Hiệu giữa tuổi bố và con luôn không đổi nên 3 năm nữa bố vẫn hơn con 28 tuổi. Tổng số tuổi của bố và con 3 năm nữa là 50 tuổi.
    • Cách 2: Hiệu giữa tuổi bố và con hiện tại là 28. Tổng số tuổi bố và con hiện tại là 50 – 3 × 2 = 44 (tuổi).

    Bài 3. Mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi 48m, chiều dài hơn chiều rộng 4m. Hỏi diện tích của mảnh vườn là bao nhiêu m2?

    Bài 4. Bố hơn con 30 tuổi. Biết 5 năm nữa tổng số tuổi của 2 bố con là 62 tuổi. Tính tuổi 2 bố con hiện nay.

    Bài 5. Cha hơn con 32 tuổi. Biết 4 năm nữa tổng số tuổi của 2 cha con là 64 tuổi. Tính tuổi 2 cha con hiện nay.

    Bài 6. Tổng của hai số là một số lớn nhất có 3 chữ số chia hết cho 5. Biết nếu thêm vào số bé 35 đơn vị thì ta được số lớn. Tìm mỗi số.

    Bài 7. Trên một bãi cỏ người ta đếm được 100 cái chân vừa gà vừa chó. Biết số chân chó nhiều hơn chân gà là 12 chiếc. Hỏi có bao nhiêu con gà, bao nhiêu con chó?

    Bài 8. Trên một bãi cỏ người ta đếm được 100 cái mắt vừa gà vừa chó. Biết số chó nhiều hơn số gà là 12con. Hỏi có bao nhiêu con gà, bao nhiêu con chó?

    Bài 9. Tìm hai số có hiệu là 129. Biết rằng nếu lấy số thứ nhất cộng với số thứ hai rồi cộng với tổng của chúng thì được 2010.

    Bài 10. Một phép trừ có tổng của số bị trừ, số trừ và hiệu là 7652. Hiệu lớn hơn số trừ 798 đơn vị. Hãy tìm phép trừ đó.

    Bài 11. Tìm hai số có hiệu là 22. Biết rằng nếu lấy số lớn cộng với số bé rồi cộng với hiệu của chúng thì được 116.

    Bài 12. Tìm hai số có hiệu là 132. Biết rằng nếu lấy số lớn cộng với số bé rồi trừ đi hiệu của chúng thì được 548.

    Bài 13. Lan đi bộ vòng quanh sân vận động hết 15 phút, mỗi phút đi được 36 m. Biết chiều dài sân vận động hơn chiều rộng là 24 m. Tính diện tích của sân vận động.

    Bài 14. Hồng có nhiều hơn Huệ 16000 đồng. Nếu Hồng có thêm 5000 đồng và Huệ có thêm 11000 đồng thì cả hai bạn sẽ có tất cả 70000 đồng. Hỏi lúc đầu mỗi bạn có bao nhiêu tiền?

    Bài 15. Hồng có nhiều hơn Huệ 16000 đồng. Nếu Hồng cho đi 5000 đồng và Huệ cho 11000 đồng thì cả hai bạn sẽ có tất cả 70000 đồng. Hỏi lúc đầu mỗi bạn có bao nhiêu tiền?

    Bài 16. Anh hơn em 5 tuổi. Biết rằng 5 năm nữa thì tổng số tuổi của hai anh em là 25. Tính số tuổi của mỗi người hiện nay?

    Bài 17. Tính diện tích của miếng đất hình chữ nhật có chu vi là 256 m và chiều dài hơn chiều rộng 32m.

    Bài 18. Tìm hai số có hiệu bằng 129, biết rằng nếu lấy số thứ nhất cộng với số thứ hai rồi cộng tổng của chúng thì được 2010.

    Bài 19. Hiệu hai số là 705. Tổng 2 số gấp 5 lần số bé. Tìm 2 số đó.

    Dạng 4: Tìm hai số khi biết tổng và hiệu không cho biết cả tổng lẫn hiệu

    Bài 1. Hai số lẻ có tổng là số nhỏ nhất có 4 chữ số và ở giữa hai số lẻ đó có 4 số lẻ. Tìm hai số đó.

    Bài 2. Tìm hai số biết tổng của chúng gấp 5 lần số lớn nhất có hai chữ số và hiệu của chúng kém số lớn nhất có ba chữ số 9 lần.

    Bài 3. Một thửa ruộng hình chữ nhật có chu vi là 120m. Tính diện tích thửa ruộng đó, biết nếu tăng chiều rộng 5m và giảm chiều dài 5m thì thửa ruộng đó trở thành hình vuông.

    Bài 4. Tìm hai số biết tổng gấp 9 lần hiệu của chúng và hiệu kém số bé 27 đơn vị.

    Bài 5. Tổng 2 số là số lớn nhất có 3 chữ số. Hiệu của chúng là số lẻ nhỏ nhất có 2 chữ số. Tìm mỗi số.

    Bài 6. Tìm hai số có tổng là số lớn nhất có 4 chữ số và hiệu là số lẻ bé nhất có 3 chữ số.

    Bài 7. Tìm hai số có tổng là số bé nhất có 4 chữ số và hiệu là số chẵn lớn nhất có 2 chữ số.

    Bài 8. Tìm hai số có hiệu là số bé nhất có 2 chữ số chia hết cho 3 và tổng là số lớn nhất có 2 chữ số chia hết cho 2.

    Bài 9. Tìm hai số, biết tổng hai số là số lớn nhất có hai chữ số. Hiệu hai số là số lẻ bé nhất có hai chữ số.

    Bài 10. Tìm hai số biết hiệu hai số là số lớn nhất có 1 chữ số và tổng hai số là số lớn nhất có ba chữ số.

    Bài 11. Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi bằng chu vi thửa ruộng hình vuông cạnh 80m. Nếu giảm chiều dài mảnh vườn đi 30m và tăng chiều rộng thêm 10m thì mảnh vườn sẽ có hình vuông. Tính diện tích mảnh vườn.

    Dạng 5: Tìm hai số khi biết tổng và hiệu tổng hợp

    Bài 1. Lớp 5A và 5B trồng cây. Biết trung bình cộng số cây của hai lớp là : 235 cây. Và nếu lớp 5A trồng thêm 80 cây và lớp 5B trồng thêm 40 cây thì số cây của hai lớp bằng nhau. Tìm số cây của mỗi lớp đã trồng.

    Bài 2. Hiệu của hai số bằng 520. Nếu bớt số bé đi 40 đơn vị thì số bé bằng số lớn. số bé là:
    A. 880
    B. 88
    C. 800
    D. 80

    Bài 3. Tìm hai số biết số thứ nhất bằng số thứ hai. Biết rằng nếu bớt ở số thứ nhất đi 28 đơn vị và thêm vào số thứ hai là 35 đơn vị thì được tổng mới là 357.

    Bài 4. Lớp 4A, 4B, 4C của một trường tiểu học có 95 học sinh. Biết rằng nếu thêm 7 học sinh nữa vào lớp 4C thì sẽ bằng số học sinh lớp 4B và số học sinh lớp 4A là 32 em. Hỏi lớp 4B và 4C mỗi lớp có bao nhiêu học sinh?

    Bài 5. An và Bình mua chung 45 quyển vở và phải trả hết số tiền là 72000 đồng. Biết An phải trả nhiều hơn Bình 11200. Hỏi mỗi bạn đã mua bao nhiêu quyển vở.

    Bài 6. Ba bạn Lan, Đào, Hồng có tất cả 27 cái kẹo. Nếu Lan cho Đào 5 cái, Đào cho Hồng 3 cái, Hồng lại cho Lan 1 cái thì số kẹo của ba bạn bằng nhau. Hỏi lúc đầu mỗi bạn có bao nhiêu cái kẹo?

    Bài 7. Trung bình cộng số tuổi của bố, tuổi An và tuổi Hồng là 19 tuổi, tuổi bố hơn tổng số tuổi của An và Hồng là 2 tuổi, Hồng kém An 8 tuổi. Tính số tuổi của mỗi người.

    Bài 9. Tìm hai số có hiệu là 603, biết rằng khi thêm một chữ số 0 vào bên phải số bé thì được số lớn.

    Bài 10. Tìm hai số, biết rằng khi xoá chữ số 7 của số lớn thì được số bé.

     

     

  • Phương pháp giả thiết tạm giải toán tiểu học

    Phương pháp giả thiết tạm giải toán tiểu học

    Phương pháp giả thiết tạm giải toán 5, toán 4

    Phương pháp giả thiết tạm là một trong những phương pháp giải toán quan trọng ở bậc tiểu học, và cả THCS, khi mà các em học sinh chưa được học khái niệm hệ phương trình.

    Xem thêm

    1. Phương pháp giả thiết tạm là gì?

    Phương pháp giả thiết tạm thường dùng đối với các bài toán cần tìm 2 đại lượng chưa biết, mà giữa 2 đại lượng này có mối liên hệ hơn kém nhau một số đơn vị (như vận tốc của hai đối tượng chuyển động, năng suất của hai máy/người khác nhau, hai loại vé giá tiền khác nhau, số chân gà và chân chó…)

    Để sử dụng phương pháp giả thiết tạm, chúng ta thử đặt ra một trường hợp không xảy ra, không phù hợp với điều kiện bài toán, một khả năng không có thật thậm chí một tình huống vô lí (chính vì vậy mà phương pháp này đòi hỏi người giải toán sức tưởng tượng phong phú, óc suy luận linh hoạt… ) Tất nhiên giả thiết ấy chỉ tạm thời, nhưng phải tìm được giả thiết ấy, nhằm đưa bài toán về một tình huống quen thuộc, đã biết cách giải hoặc dựa trên cơ sở đó để tiến hành lập luận mà suy ra được cái phải tìm.

    2. Các ví dụ về phương pháp giả thiết tạm

    Ví dụ 1. Xét bài toán cổ sau đây:

    “Vừa gà vừa chó,
    Ba mươi sáu con,
    Bó lại cho tròn,
    Một trăm chân chẵn”

    Hỏi có bao nhiêu con gà và bao nhiêu con chó?

    vua-ga-vua-cho-phuong-phap-gia-thiet-tam

    Phân tích. Đây là bài toán cổ quen thuộc ở nhiều nước. Rõ rằng là 36 con không thể là toàn chó cả hay toàn là gà cả. Bởi vì, nếu như thế, thì số chân sẽ là $4 \times 36= 144$ (chân) hoặc $2 \times 36 = 72$ (chân), đều không phù hợp với giả thiết bài toán.

    Nhưng ta lại giả thiết rằng có trường hợp ấy, để từ chênh lệch về số chân của toàn bộ tổng số các con vật với sự chênh lệch về số chân của từng con chó với gà, ta suy ra số con vật mỗi loại.

    Lời giải.

    • Giả sử 36 con toàn là gà cả. Như vậy, số chân chỉ có là:

    $2 x 36 = 72$ (chân)

    • Số chân bị hụt đi là: $100 – 72 = 28$ (chân).
    • Sở dĩ bị hụt như vậy là do mỗi con chó không được tính đủ 4 chân mà bị tính hụt đi:

    $4 – 2 = 2$ (chân)

    • Ta thấy cứ mỗi một con chó bị tính thiếu đi 2 chân, mà tất cả bị thiếu $28$ chân so với giả thiết, tức là có $28 : 2 = 14$ con chó.
    • Suy ra, số con gà là $36 – 14 = 22$ (con).

    Các em học sinh có thể giả sử 36 con toàn là chó cả, thì cũng tìm được đáp số tương tự.

    Ví dụ 2. Lớp có 32 bạn tham gia chuyển gạch vụn làm kế hoạch nhỏ bằng xe cải tiến và quang gánh. Xe cải tiến cần bốn người một xe, còn quang gánh thì hai bạn khiêng một chiếc. Vừa xe cải tiến vừa quang gánh có tất cả 13 dụng cụ. Hỏi có mấy xe cải tiến và mấy chiếc quang gánh?

    Hướng dẫn.

    • Giả sử 13 dụng cụ đều là xe cải tiến cả. Khi đó số người cần có là bao nhiêu?
    • Tính số người dôi ra, tính số người theo một quang gánh được tính dôi ra. Từ đó, tính số dụng cụ mỗi loại.

    Ví dụ 3. Một quầy bán hàng có 48 gói kẹo gồm loại 0,5 kg; loại 0,2 kg và loại 0,1 kg. Khối lượng cả 48 gói là 9 kg. Hỏi mỗi loại có bao nhiêu gói (biết số gói loại 0,1 kg gấp 3 lần số gói loại 0,2 kg).

    Hướng dẫn.

    • Vì số gói loại 0,1 kg gấp 3 lần số gói loại 0,2 kg nên cứ có 1 gói loại 0,2 kg thì có 3 gói loại 0,1 kg.
    • Tổng khối lượng 1 gói 0,2 kg và 3 gói 0,1 kg là

    $0,2 + 0,1 x 3 = 0,5$(kg)

    • Giả sử tất cả các gói kẹo đều là loại mới 0,5 kg thì sẽ có tất cả:

    $9 : 0,5 = 18$(gói)

    • Nếu như vậy sẽ còn thiếu:

    $48 – 18 = 30 $(gói)

    • Còn thiếu 30 gói là do ta đã tính 4 gói (1 gói loại 0,2 kg và 3 gói loại 0,1 kg) thành 1 gói. Mỗi lần như vậy số gói sẽ thiếu đi:

    $4 – 1 = 3$ (gói)

    • Số gói cần phải thay là: $30 : 3 = 10 $(gói)
    • Suy ra số gói 0,5 kg là $18 – 10 = 8$ (gói 0,5kg)
    • Cứ 10 gói 0,2 kg thì có số gói 0,1 kg là $10\times 3 = 30$ (gói 0,1kg)
    • Đáp số: 0,5kg có 8 gói; 0,2kg có 10 gói; 0,1kg có 30 gói.

    Ví dụ 4. Có một số lít dầu hỏa, nếu đổ vào các can 6 lít thì vừa hết. Nếu đổ vào các can 10 lít thì thừa 2 lít và số can giảm đi 5 can. Hỏi có bao nhiêu lít dầu?

    Hướng dẫn. 

    • Nếu đổ đầy số can 10 lít bằng với số can 6 lít thì còn thiếu:

    $10 \times 5 – 2 = 48$ (lít)

    • Thiếu 48 lít này do mỗi can 6 lít ít hơn $10 – 6 = 4$ lít so với can 10 lít.
    • Suy ra, số can 6 lít là:

    $48 : 4 = 12$ (can)

    • Số lít dầu là

    $6 \times 12 = 72$ (lít)

    Ví dụ 5. Một cái sọt có thể đựng đầy 14 kg táo hoặc đựng đầy 21 kg mận. Người ta đã đổ đầy sọt cả táo lẫn mận. Tính ra sọt nặng 18 kg và giá tiền cả sọt là 30.000 đồng. Hãy tính giá tiền 1 kg táo và 1 kg mận, biết trong 18 kg đó số tiền táo và mận bằng nhau.

    3. Bài tập sử dụng phương pháp giả thiết tạm

    Bài 1. Huy mua 15 quyển vở gồm 2 loại hết tất cả 100 000 đồng. Biết giá vở dày là 8000 đồng một quyển và giá vở mỏng là 6000 đồng một quyển. Tính số vở mỗi loại Huy đã mua.

    Bài 2. Trong 1 bài kiểm tra, tất cả học sinh trong lớp đều được điểm 7 hoặc 8. Tổng số điểm của lớp là 336. Tính số học sinh được điểm 7, số học sinh được điểm 8. Biết tổng số học sinh là số chia hết cho 5.

    Bài 3. Có 18 ô tô gồm 3 loại: Loại 4 bánh chở được 5 tấn, loại 6 bánh chở được 6 tấn và loại 8 bánh chở được 6 tấn. 18 xe đó chở được tất cả 101 tấn hàng, và có tất cả 106 bánh xe. Hỏi mỗi loại có bao nhiêu xe?

    Bài 4. Có 1120 quả vừa cam vừa quýt được đựng trong các sọt. Biết mỗi sọt cam đựng 75 quả, mỗi sọt quýt đựng 179 quả và số sọt cam ít hơn số sọt quýt là 2 sọt. Hỏi có bao nhiêu sọt cam, bao nhiêu sọt quýt?

    Bài 5. Một người đã mua cho cơ quan 30 vé xem đá bóng hết tất cả 2 150 000 đồng, gồm 3 loại: 50 000 đồng, 80 000 đồng và 120 000 đồng. Hỏi mỗi loại người đó đã mua bao nhiêu vé? Biết số vé loại 50 000 đồng gấp 3 lần số vé loại 120 000 đồng.

    Bài 6. Vòi thứ nhất chảy một mình trong 4 giờ thì đẩy bể, vòi thứ hai chảy một mình trong 6 giờ thì đầy bể. Người ta vặn vòi thứ nhất chảy trước, sau đó khóa lại để vòi thứ hai chảy tiếp thì hết tổng cộng 5 giờ. Hỏi mỗi vòi đã chảy hết bao lâu?

    Bài 7. Trong một giải bóng đá có bốn đội bóng (mỗi đội đều đá 1 trận với các đội còn lại để tính điểm), tổng số điểm của bốn đội là 16 điểm. Hỏi có mấy trận phân biệt thắng – thua, mấy trận hòa biết mỗi trận đấu thì đội thắng được 3 điểm, thua 0 điểm, trận hòa mỗi đội được 1 điểm?

    Bài 8. Khối học sinh lớp 5 gồm 480 em đi tham quan bằng 2 loại xe ô tô: loại chở được 50 người và loại chở được 40 người. Các em đã ngồi trên 10 xe ô tô thì vừa đủ chỗ. Hỏi có bao nhiêu xe mỗi loại?

    Bài 9. Trong một cuộc thi có 60 câu hỏi, mỗi câu trả lời đúng được 1/6 điểm, mỗi câu trả lời sai trừ 1/2 điểm. Một bạn học sinh được tổng điểm là 8. Hỏi học sinh đó trả lời đúng mấy câu?

    Bài 10. Có 22 ô tô gồm 3 loại: loại 4 bánh chở được 6 tấn, loại 6 bánh chở được 8 tấn, loại 8 bánh chở được 8 tấn. Số xe đó có tất cả 126 bánh và có thể chở cùng một lúc được 158 tấn. Hỏi mỗi loại có bao nhiêu xe?

    Bài 11. Lớp 5A có 5 tổ trồng cây, số người mỗi tổ đều bằng nhau. Mỗi bạn trồng được 4 hoặc 6 cây. Cả lớp trồng được tất cả 220 cây. Hỏi có bao nhiêu bạn trồng được 4 cây? Bao nhiêu bạn trồng được 6 cây? Biết số học sinh ít hơn 50, nhiều hơn 40.

    Bài 12. Có 1920 quả cam, quýt và chanh được đựng trong 15 sọt. Biết mỗi sọt cam đựng 75 quả, mỗi sọt quýt đựng 180 quả và mỗi sọt chanh đựng 150 quả, và số sọt cam nhiều gấp rưỡi số sọt quýt. Hỏi mỗi loại có bao nhiêu quả?

    Bài 13. Có hai vòi bơm nước chảy vào bể có sức chứa 1230l. Vòi thứ nhất bơm được 80l trong một phút, vòi thứ hai bơm được 50 lít trong một phút. Người cho vòi thứ nhất bơm một số phút thì dừng lại để cho vòi thứ hai bơm tiếp cho đầy bể, tổng số thời gian bơm của vòi thứ nhất và vòi thứ hai là 21 phút. Hỏi mỗi vòi nước bơm trong bao nhiêu phút?

    Bài 14. Một đội công nhân sử dụng tất cả 28 ống nước loại ống 8m và 5m để lắp đoạn ống dài 188m. Hỏi có bao nhiêu ống (nguyên) mỗi loại để lắp đủ đoạn đường ống đó?

    Bài 15. Một ô tô đi với vận tốc 70km/giờ đi từ tỉnh A đến tỉnh B có độ dài 300km. Ô tô đi một số giờ thì dừng lại và một xe máy đi với vận tốc 40km/giờ ngược chiều từ B đến A. Biết rằng tổng số thời gian của đi của cả ô tô và xe máy là 6 giờ. Tính thời gian đi của mỗi loại xe.

    .

  • Cách chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng

    Cách chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng

    Phương pháp chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng

    Thành thạo cách chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng sẽ giúp các em học sinh có thể chứng minh được hai mặt phẳng song song với nhau.

    Xem thêm 3 cách chứng minh hai mặt phẳng song song

    1. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng

    duong thang va mat phang song song

    Trong không gian, xét một đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(\alpha)$ thì có ba khả năng về vị trí giữa chúng:

    • Đường thẳng $d$ cắt $ (\alpha) $: có một điểm chung.
    • Đường thẳng $d$ nằm trên $ (\alpha) $: có vô số điểm chung.
    • Đường thẳng $ d $ song song $ (\alpha) $: không có điểm chung.

    Định nghĩa đường thẳng và mặt phẳng song song.

    Đường thẳng và mặt phẳng được gọi là song song nếu chúng không có điểm chung.

    Tính chất của đường thẳng và mặt phẳng song song.

    • Nếu một đường thẳng không nằm trên mặt phẳng mà song song với một đường thẳng của mặt phẳng đó thì đường thẳng đã cho song song với mặt phẳng đó. $$ \begin{cases} d\not\subset (\alpha)\\ d\parallel a\\ a\subset (\alpha) \end{cases} \Rightarrow d \parallel (\alpha)$$

    cách chứng minh đường thẳng so sánh với mặt phẳng

    • Nếu mặt phẳng $(\alpha)$ chứa đường thẳng $d$ mà $ d\parallel(\beta) $ thì giao tuyến của hai mặt phẳng $(\alpha)$ và $ (\beta) $ cũng song song với đường thẳng $ d. $ $$ \begin{cases} d \subset (\alpha)\\ d \parallel (\beta)\\ b=(\alpha) \cap (\beta) \end{cases} \Rightarrow d \parallel b$$
      giao tuyen cua mot mat phang chua duong thang song songĐặc biệt, nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng cũng song song với đường thẳng đó. $$ \begin{cases} (P) \parallel a\\ (Q) \parallel a\\ \Delta=(P) \cap (Q) \end{cases} \Rightarrow a \parallel \Delta$$

    giao tuyen của hai mat phang cung song song voi mot duong thang

    • Cho hai đường thẳng chéo nhau thì có duy nhất mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.

    2. Phương pháp chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng

    Để chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng ta chứng minh đường thẳng đó không nằm trên mặt phẳng đã cho và song song với một đường thẳng của mặt phẳng đó.

    cách chứng minh đường thẳng so sánh với mặt phẳng

    3. Ví dụ cách đường thẳng song song với mặt phẳng

    Ví dụ 1. Cho hình chóp $S.ABCD$ có $ M,N $ lần lượt là trung điểm của $ SA$ và $SB. $ Chứng minh rằng $ MN\parallel(ABCD). $

    Hướng dẫn. Vì $ MN $ là đường trung bình trong tam giác $ SAB $ nên $ MN\parallel AB. $ Như vậy ta có \[ \begin{cases}
    MN\not\subset (ABCD)\\ MN\parallel AB\subset (ABCD) \end{cases} \] Suy ra $ MN\parallel(ABCD). $

    Ví dụ 2. Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy là hình bình hành. Gọi $ M,N $ lần lượt là trung điểm của $ AB,CD $. Chứng minh rằng $ MN\parallel(SBC),MN\parallel(SAD). $ Gọi $ P $ là trung điểm $ SA, $ chứng minh rằng $ SB,SC $ cùng song song với mặt phẳng $ (MNP). $ Gọi $ G_1,G_2 $ lần lượt là trọng tâm tam giác $ ABC $ và $ SBC. $ Chứng minh rằng $ G_1G_2\parallel(SAB).$

    Hướng dẫn. Gọi $ O $ là tâm hình bình hành thì $ SC\parallel PO. $ Gọi $ I $ là trung điểm $ BC $ và xét tam giác $ SAI $ có $ G_1G_2\parallel SA. $

    Ví dụ 3. Cho tứ diện $ABCD$ có $ G $ là trọng tâm tam giác $ ABD. $ Lấy điểm $ M $ thuộc cạnh $ BC $ sao cho $ MB=2MC. $ Chứng minh rằng $ MG\parallel (ACD) $.

    Hướng dẫn. Kéo dài $ BG $ cắt $ AD $ tại $ E $ thì $ (BMG)\cap(ACD)=CE. $ Đi chứng minh $ MG\parallel CE $ và suy ra điều phải chứng minh.

    Ví dụ 4. Cho hai hình bình hành $ ABCD $ và $ ABEF $ không đồng phẳng. Chứng minh rằng bốn điểm $ C, D, E, F $ đồng phẳng. Gọi $ O, I $ là tâm các hình bình hành $ ABCD, ABEF $. Chứng minh rằng $ OI\parallel (BCE), OI \parallel (ADF). $ Gọi $ M, N $ lần lượt là trọng tâm tam giác $ ABD, ABF $. Chứng minh rằng $ MN\parallel (CDFE) $.

    Hướng dẫn. Chỉ ra $ MN\parallel DF $ nên….

    Ví dụ 5. Hai hình bình hành $ ABCD,ABEF $ có chung cạnh $ AB $ và không đồng phẳng. Trên các cạnh $ AD, BE $ lần lượt lấy các điểm $ M, N $ sao cho $\frac{AM}{AD}=\frac{BN}{BE}$. Chứng minh đường thẳng $ MN $ song song với mặt phẳng $ (CDFE) $.

    Hướng dẫn. Trên $ CE $ lấy điểm $ P $ sao cho $ \frac{CP}{CE}=\frac{BN}{BE} $. Chứng minh tứ giác $ DMNP $ là hình bình hành. Từ đó suy ra $ MN\parallel DP $ và có điều phải chứng minh.

    Ví dụ 6. Cho hình chóp $ S.ABCD $ có $ ABCD $ là hình bình hành, $ G $ là trọng tâm của tam giác $ SAB $ và $ E $ là điểm trên cạnh $ AD $ sao cho $ DE = 2EA $. Chứng minh rằng $ GE\parallel(SCD)$.

    Hướng dẫn. Gọi $ H $ là trọng tâm tam giác $ SCD $ thì chứng minh được $ GE\parallel HD. $

    4. Bài tập chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng

    Bài 1. Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình bình hành. Gọi $M, N, P$ lần lượt là trung điểm $AB, CD, SA.$ Chứng minh: $MN \parallel (SBC); MN \parallel (SAD)$; $SB \parallel (MNP); SC \parallel (MNP)$. Gọi $I, J$ là trọng tâm tam giác $ ACD,SCD $. Chứng minh: $IJ \parallel (SAB), IJ \parallel (SAD), IJ \parallel (SAC).$

    Bài 2. Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình bình hành tâm $O.$ Gọi $I, J$ là trung điểm $BC, SC$ và $ K\in SD$ sao cho $KD=2SK.$ Chứng minh: $OJ \parallel (SAD), OJ \parallel (SAB) $; $IO \parallel (SCD), IJ \parallel (SBD)$. Gọi $M$ là giao điểm của $AI$ và $BD$. Chứng minh: $MK \parallel (SBC)$.

    Bài 3. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thoi tâm $O$ và $M, N, P$ là trung điểm $SB, SO, OD.$ Chứng minh: $MN \parallel (ABCD), MO \parallel (SCD)$; $NP \parallel (SAD),$ tứ giác $ NPOM$ là hình gì? Gọi $I\in SD$ sao cho $SD = 4ID$. Chứng minh $PI \parallel (SBC), PI \parallel (SAB)$.

  • 3 cách chứng minh hai mặt phẳng song song

    3 cách chứng minh hai mặt phẳng song song

    3 cách chứng minh hai mặt phẳng song song trong không gian

    Để biết cách chứng minh hai mặt phẳng song song, chúng ta cần phải xem thế nào là hai mặt phẳng song song, và từ đó sẽ có các phương pháp chứng minh 2 mặt phẳng song song trong không gian.

    1. Thế nào là hai mặt phẳng song song?

    1.1. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng.

    Trong không gian, cho hai mặt phẳng $(\alpha)$ và $ (\beta) $ thì có ba khả năng về vị trí của chúng:

    • Mặt phẳng $(\alpha)$ và mặt phẳng $ (\beta) $ trùng nhau. Khi đó, hai mặt phẳng có vô số điểm chung.

    hai mặt phẳng trùng nhau

    • Mặt phẳng $(\alpha)$ và mặt phẳng $ (\beta) $ cắt nhau theo giao tuyến là một đường thẳng. Khi đó, hai mặt phẳng có vô số điểm chung.

    hai mat phang cat nhau

    • Mặt phẳng $(\alpha)$ và mặt phẳng $ (\beta) $ song song. Khi đó, hai mặt phẳng không có điểm chung.

    cách chứng minh hai mặt phẳng song song trong không gian

    Từ đó, người ta định nghĩa hai mặt phẳng song song như sau:

    Hai mặt phẳng gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung

    1.2. Định lý về hai mặt phẳng song song

    cach chung minh hai mat phang song song

    Xem thêm: Cách chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng.

    • Nếu một mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau mà hai đường thẳng này lần lượt song song với hai đường thẳng của mặt phẳng còn lại thì hai mặt phẳng đó song song với nhau.

    cach chung minh hai mat phang song song trong khong gian

    1.3. Tính chất hai mặt phẳng song song

    • Cho hai mặt phẳng song song, mọi đường thẳng nằm trên mặt phẳng thứ nhất đều song song với mặt phẳng thứ hai.
    • Hai mặt phẳng cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.

    hai mat phang cung song song voi mat phang thu ba

    • Hai mặt phẳng song song bị cắt bởi mặt phẳng thứ ba thì hai giao tuyến song song với nhau.

    giao tuyen cua mot mat phang voi hai mat phang song song

    • Định lý Thales trong không gian: Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến bất kì những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

    1.4. Hình lăng trụ, hình chóp cụt

    • Hình lăng trụ là hình gồm có hai đáy là hai đa giác bằng nhau đồng thời nằm trên hai mặt phẳng song song và các mặt bên là các hình bình hành.
    • Hình lăng trụ có đáy là hình bình hành thì gọi là hình hộp. Như vậy, hình hộp là hình có tất cả các mặt đều là hình bình hành.
    • Cắt hình chóp bởi một mặt phẳng song song với đáy thu được một hình chóp mới và một hình chóp cụt.

    2. Cách chứng minh hai mặt phẳng song song

    Phương pháp chứng minh hai mặt phẳng song song: Để chứng minh hai mặt phẳng song song chúng ta có thể sử dụng một trong ba cách:

    • Chỉ ra trong mặt phẳng thứ nhất chứa hai đường thẳng cắt nhau, mà hai đường thẳng này lần lượt song song với mặt phẳng thứ hai.
    • Chỉ ra trong mặt phẳng thứ nhất chứa hai đường thẳng cắt nhau, mà hai đường thẳng này lần lượt song song với hai đường thẳng của mặt phẳng thứ hai.
    • Chứng minh chúng cùng song song với một mặt phẳng thứ ba.

    3. Ví dụ về cách chứng minh hai mặt phẳng song song

    Ví dụ 1. Cho hai hình bình hành $ ABCD $ và $ ABEF $ nằm trong hai mặt phẳng khác nhau.

    1. Chứng minh rằng $ (ADF)\parallel(BCE) $;
    2. Gọi $ I,J,K $ là trung điểm của các cạnh $ AB,CD,EF $. Chứng minh rằng $ (DIK)\parallel(JBE) $.

    Ví dụ 2. Cho tứ diện $ ABCD $ có $ M,N,P $ lần lượt là trọng tâm của các tam giác $ ABC, ABD, ACD $. Chứng minh rằng $ (MNP)\parallel(BCD) $.

    Ví dụ 3. Cho hình bình hành $ ABCD.$ Từ $ A $ và $ C $ kẻ hai tia $ Ax $ và $ Cy $ song song, cùng chiều và không nằm trong mặt phẳng $ (ABCD). $ Chứng minh mặt phẳng $ (BAx)\parallel (DCy). $

    Ví dụ 4. Cho hình chóp $ S.ABCD $ với $ ABCD $ là hình bình hành. Gọi $ I $ là trung điểm của $ SD. $

    1. Xác định giao điểm $K$ của $BI $ và $(SAC)$.
    2. Trên $ IC $ lấy điểm $ H $ sao cho $ HC=2HI $. Chứng minh $ KH\parallel(SAD)$.
    3. Gọi $ N $ là điểm trên $ SI $ sao cho $ SN=2NI $. Chứng minh $ (KHN)\parallel(SBC) $.
    4. Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng $ (KHN). $

    Hướng dẫn. Chỉ ra $ K $ là trọng tâm tam giác $ SBD. $

    Ví dụ 5. Cho lăng trụ tam giác $ ABC.A’B’C’ $ có $ I ,K ,G $ lần lượt là trọng tâm của các tam giác $ ABC, A’B’C’ $ và $ ACC’ $. Chứng minh rằng: $ (IKG) \parallel (BB’C’C), (A’KG)\parallel(AIB’) $.

    Hướng dẫn. Gọi $ M,N $ lần lượt là trung điểm của $ BC $ và $ B’C’ $ thì mặt phẳng $ (A’KG) $ chính là mặt phẳng $ (A’CN) $, còn mặt phẳng $ (AIB’) $ chính là mặt phẳng $ (AMB’). $ Hai mặt phẳng này song song vì có $ AM\parallel A’N $ và $ B’M\parallel CN. $

    4. Bài tập chứng minh 2 mặt phẳng song song

    Bài 1. Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình bình hành tâm $O$. Gọi $M, N, P, Q$ là trung điểm $SA, SD, AB, ON.$ Chứng minh: $(OMN) \parallel (SBC)$. Chứng minh: $PQ \parallel (SBC)$.

    Bài 2. Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình bình hành tâm $O$. Gọi $M, N, P$ là trung điểm $SA, CD, AD.$ Chứng minh $(OMN) \parallel (SBC)$. Gọi $I$ là điểm trên $MP$. Chứng minh: $OI \parallel (SCD)$.

    Bài 3. Cho hình chóp $S.ABCD$, đáy là hình bình hành. Gọi $M, N, P, Q$ là trung điểm $BC, AB, SB, AD.$ Chứng minh $(MNP) \parallel (SAC)$, $PQ \parallel (SCD)$. Gọi $I$ là giao điểm $AM$ và $BD, JSA$ sao cho $AJ = 2JS$, chứng minh $IJ \parallel (SBC)$. Gọi $K$ là một điểm trên $AC$, tìm giao tuyến $(SKM)$ và $(MNC)$.

    Bài 4. Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình bình hành. Gọi $I, J, G, P, Q$ là trung điểm $DC, AB, SB, BG, BI.$ Chứng minh $(IJG) \parallel (SAD)$, $PQ \parallel (SAD)$. Tìm giao tuyến của $(SAC)$ và $(IJG)$; $(ACG)$ và $(SAD)$.

    Bài 5. Cho hai hình bình hành $ABCD$ và $ABEF$ không đồng phẳng. Gọi $I, J, K$ là trung điểm $AB, CD, EF.$ Chứng minh $(ADF) \parallel (BCE)$; $(DIK) \parallel (JBE)$.

  • Đề thi giữa kì 1 toán 10 năm 2020 – THPT Nguyễn Công Trứ TP HCM

    Đề thi giữa kì 1 toán 10 năm 2020 – THPT Nguyễn Công Trứ TP HCM

    ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ I NĂM 2020 – THPT NGUYỄN CÔNG TRỨ HCM

    O2 Education xin giới thiệu các đề thi giữa kì 1 Toán 10 để Quý thầy cô và các em học sinh tham khảo. Câu 1. (2,0 điểm)
    1. Cho mệnh đề: “$\forall n\in \mathbb{N}, n^2 >2$”. Hãy xét tính đúng sai (có giải thích) và lập mệnh đề phủ định của mệnh đề đã cho.
    2. Cho mệnh đề: “Nếu $ABCD$ là hình bình hành thì $ \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$”. Phát biểu mệnh đề đảo của mệnh đề trên và xét tính đúng – sai của mệnh đề đảo này.
    Câu 2. (1,0 điểm) Cho $ A=\left(-\infty;1\right), B=[-3;5)$. Tìm các tập hợp $ A\cup B, A\cap B, B\setminus A$ và $ \mathrm{C}_R A$.
     
    Câu 3. (2,0 điểm)
    1. Tìm tập xác định của hàm số $$ y=\frac{x^3+3}{\sqrt{x+2}}-\sqrt{1-x}+\frac{x^2+2}{x}. $$
    2. Xét tính chẵn lẻ của hàm số $$ f(x)=\frac{|4x+1|-|4x-1|}{x^2-4}. $$
    Câu 4. (1,25 điểm) Xét tính đồng biến nghịch biến của hàm số $ f(x)=\dfrac{4}{x-2}$ trên khoảng $ (-\infty;2).$
     
    Câu 5. (1,25 điểm) Cho hàm số $ y=ax^2+bx+c$ có đồ thị là một parabol $ (\mathcal{P})$. Tìm hệ số $ a,b,c$ biết $ (\mathcal{P})$ có đỉnh là $ I(1;-4)$ và đi qua điểm $ A(2;-3)$.
     
    Câu 6.(2,5 điểm) Cho tam giác $ABC$ vuông cân tại định $ A$, có $ AB=4$. Gọi $ I$ là điểm thỏa mãn $ \overrightarrow{AI}=\frac{3}{4} \overrightarrow{AB}$ và $ E$ là trung điểm $ AC$.
    1. Tính $ \overrightarrow{IE}$ theo hai véc-tơ $ \overrightarrow{AB}$ và $ \overrightarrow{AC}$.
    2. Điểm $ M$ thỏa mãn $3\overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{BA}$. Chứng minh $ MA$ song song với $ BC$.
    3. Tính $ \left|\overrightarrow{EA}+3\overrightarrow{EB}\right|.$