SKKN Một số phương pháp tính góc giữa hai mặt phẳng
Các thầy cô cần file liên hệ với chúng tôi tại fanpage facebook O2 Education
Hoặc xem nhiều SKKN hơn tại: Tổng hợp SKKN luận văn luận án O2 Education
Điều kiện hoàn cảnh tạo ra sáng kiến
Trong nhà trường phổ thông môn Toán giữ một vị trí quan trọng và phần nội
dung kiến thức về “Góc và khoảng cách trong hình học không gian ” là một trong
những nội dung khó không chỉ đối với học sinh mà còn cả không ít giáo viên. Học
sinh có tư tưởng ngại và sợ bài tập hình không gian. Học sinh thường gặp khó khăn
khi phải tư duy tưởng tượng không gian, tư duy logic, chưa biết vận dụng lí thuyết
đã học để giải quyết các bài tập…. Giáo viên thiếu sách tham khảo, tài liệu hướng
dẫn, sách hướng dẫn giảng dạy, phương tiện giảng dạy chưa đáp ứng đủ và không
có quy trình giảng dạy cụ thể mà chủ yếu là do kinh nghiệm giảng dạy của bản thân
giáo viên.
Học sinh khó tiếp thu kiến thức đó và vận dụng nó để giải bài tập vì lượng
bài tập nhiều và rất phong phú nhưng thường nằm trong các bài tập lớn, các cách
giải đa dạng. Trong các kì thi đề thường hay có nội dung “Các bài toán về góc,
khoảng cách” trong hình học không gian, dẫn đến nhiều học sinh khi gặp bài tập
dạng này thường là các em nản chí bỏ qua, còn có một số em làm nhưng không
hoàn chỉnh, rất ít các em được điểm tối đa ở Ví dụ này. Trong kì thi tốt nghiệp
THPT dù đề ra dưới dạng hình thức trắc nghiệm nhưng nếu học sinh không nắm
được bản chất, không hiểu sâu sắc thì khó có thể đưa ra được đáp án đúng bởi lẽ
riêng nội dung này không có cách nào “mò” hay có một công thức tổng quát nào
cả. Thực tiễn dạy học cho thấy nếu học sinh không có phương pháp để xác định,
tính góc giữa hai mặt phẳng thì học sinh khó có thể vận dụng vào giải toán được,
nhất là những học sinh không tưởng tượng được hình hay cảm thấy khó khăn với
hình học không gian. Chính vì vậy, việc xây dựng “Một số phương pháp tính góc
giữa hai mặt phẳng” áp dụng trên các mô hình từ các mô hình cơ bản thường gặp
đến một số mô hình phức tạp hơn sẽ giúp học sinh hiểu, nắm chắc các phương pháp
là điều rất cần thiết. Từ đó khi gặp những bài toán liên quan đến góc giữa hai mặt
phẳng học sinh cũng không quá lo ngại, dè dặt, gạt bỏ được tư tưởng ngại và sợ
hình học không gian làm cho hình học không gian trở thành một môn học gần gũi
và thiết thực đối với học sinh.
II. Mô tả giải pháp
- Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến
Qua nhiều năm giảng dạy bộ môn Toán ở trường phổ thông, tôi nhận thấy kiến
thức về góc và khoảng cách, thể tích khối đa diện là các bài toán thường gặp trong
các kỳ thi tốt nghiệp THPT quốc gia . Trong đó, rèn luyện cho học sinh có kỹ năng
xác định góc và tính góc giữa hai mặt phẳng là nhiệm vụ đặc biệt quan trọng.
Trong quá trình dạy học hình học không gian nói chung và dạy bài tập về tính góc
giữa hai mặt phẳng trong chương trình toán 11 nói riêng học sinh thường lúng túng,
3
dễ nhầm lẫn và mất thời gian khi xác định và tính góc giữa hai mặt phẳng. Vì vậy,
để giúp các em tự tin hơn, tôi có rút ra “Một số phương pháp tính góc giữa hai
mặt phẳng” áp dụng trong một số trường hợp từ những mô hình cơ bản đến một
số mô hình phức tạp hơn nhằm giúp các em học sinh lớp 11 xác định góc và tính
góc giữa hai mặt phẳng dễ dàng và nhanh chóng hơn. Đồng thời là nền tảng cho
việc tính thể tích khối đa diện trong chương trình toán 12 ở một số bài toán thường
gặp. Vì nếu các em không xác định được góc giữa hai mặt phẳng thì có thể dẫn tới
không giải quyết được bài toán thể tích khối đa diện trong một số trường hợp. - Mô tả giải pháp sau khi có sáng kiến
2.1. Vấn đề cần giải quyết
Sáng kiến kinh nghiệm này nhằm mục đích tập hợp một số phương pháp xác định
và tính góc giữa hai mặt phẳng giúp học sinh nắm vững một số phương pháp tính
góc giữa hai mặt phẳng từ các mô hình cơ bản và một số mô hình phức tạp hơn.
2.2. Biện pháp thực hiện
2.2.1. Hướng dẫn học sinh tìm hiểu và ghi nhớ kiến thức cơ bản
- Học sinh vẽ được các mô hình cơ bản và một số mô hình phức tạp.
- Giáo viên đưa ra một số phương pháp tính góc giữa hai mặt phẳng từ các mô
hình cụ thể. - Giáo viên đưa ra các bài toán áp dụng cho mỗi phương pháp.
- Học sinh vận dụng kiến thức đã học để giải quyết các bài toán liên quan đến
góc giữa hai mặt phẳng. - Giúp đỡ, hướng dẫn cho học sinh khi học sinh gặp khó khăn trong khi vận
dụng giải quyết bài toán.
2.2.2. Rèn cho học sinh về mặt tư duy, kĩ năng, phương pháp tự học - Thao tác tư duy: phân tích, tổng hợp, so sánh,…
- Kỹ năng:
- Giáo viên đưa ra một số phương pháp tính góc giữa hai mặt phẳng.
- Sau mỗi phương pháp, giáo viên cần có nhận xét, củng cố và phát triển bài
toán, suy ra kết quả mới, bài toán mới. Như vậy học sinh sẽ có tư duy linh hoạt và
sáng tạo cho các bài toán khác.
4 - Học sinh nắm vững các phương pháp để giải toán và tự tập hợp thêm các
bài tập tính góc giữa hai mặt phẳng để củng cố kiến thức.
2.2.3. Đổi mới việc kiểm tra, đánh giá - Ra đề với 4 mức độ nhận thức: nhận biết – thông hiểu – vận dụng – vận dụng
cao, trong đó có sử dụng các bài toán về xác định và tính góc giữa hai mặt phẳng. - Giáo viên đánh giá học sinh.
- Học sinh đánh giá học sinh.
2.3. Nội dung giải pháp
Sau đây tôi xin đề xuất một số phương pháp tính góc giữa hai mặt phẳng tôi đã tổng
hợp, sưu tầm được và đã áp dụng cho học sinh có hiệu quả.
2.3.1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Định nghĩa: Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông
góc với hai mặt phẳng đó.
Chú ý: - Nếu hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhau thì góc giữa hai mặt phẳng
bằng 0 0 . - Nếu hai mặt phẳng vuông góc thì góc giữa chúng bằng 0 90 .
2.3.2. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP
2.3.2.1. Sử dụng định nghĩa
Muốn sử dụng phương pháp này thì ta phải xét xem hai mặt phẳng có rơi vào
trường hợp song song hay vuông góc hay không? Nếu không rơi vào hai trường
hợp đó ta phải quan sát, phán đoán xem với đặc điểm đã cho của bài toán thì ta
có thể xác định được hoặc dựng được hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai
mặt phẳng mà bài toán yêu cầu tính góc giữa chúng hay không?
Ví dụ 1. Cho hình lập phương ABCD A B C D . . Tính góc giữa các cặp mặt phẳng
a, ABCD và A B C D ;
b, ABCD và ACC A .
Hướng dẫn:
5
a, Ta thấy hai mặt phẳng ABCD và ( ) A B C D là
hai mặt đáy của hình lập phương nên chúng song
song với nhau.
Vậy góc giữa ABCD và ( ) A B C D bằng 0 0 .
b, Do AA ABCD ACC A ABCD nên
góc giữa ABCD và ACC A bằng 90.
Ví dụ 2. Cho hình lập phương ABCD A B C D . . Tính góc giữa hai mặt phẳng
A B CD và ABC D .
Hướng dẫn:
Ta có CD ADD A CD A D
A D AD
AD A B CD
CD AD
Mà AD ABC D ABC D A B CD
Do đó, góc giữa ( ) A B CD và ( ) ABC D bằng 90.
Ví dụ 3. Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD . có các mặt bên là các tam giác đều có
diện tích bằng
2 3 3
4
a
. Gọi ( ) P là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với SC . Tính
góc giữa hai mặt phẳng ( ) P và ( ) ABCD .
Hướng dẫn:
Gọi O AC BD , ta có: SO ABCD ( ).
D’ B’ C’ A’ D
B C
A
C’ B’ A’ D’ C
A B D
SO
D
B C
A
6
Giả thiết ( ) P SC nên góc giữa hai mặt phẳng ( ) P và ( ) ABCD là góc giữa SC
và SO là góc CSO .
Vì các mặt bên là các tam giác đều có diện tích bằng
2 3 3
4
a
nên các cạnh của hình
chóp có độ dài bằng a 3 .
Trong SCO , ta có: 2 0
sin 45 .
2
OC CSO CSO
SC
- Nhận xét: Việc đi dựng mặt phẳng ( ) P khá phức tạp và mất thời gian, học sinh
chỉ cần chú ý phân tích kĩ giả thiết của bài toán và từ việc cho hình chóp tứ giác
đều ta dễ tìm được đường thẳng vuông góc với mặt đáy. Từ đó áp dụng định nghĩa
có thể giải quyết nhanh bài toán.
Ví dụ 4. Cho hình chóp S ABCD . có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và
SA ABCD , SA x . Xác định x để hai mặt phẳng SBC và SDC tạo với
nhau một góc 0 60 .
Hướng dẫn:
Ta có SCD SAD , kẻ AN SD tại N AN SCD .
SAB SBC , kẻ AM SB tại M AM SBC .
Suy ra góc giữa SBC và SDClà góc giữa AM và AN .
Ta có SB SD
2 2 x a , AM AN
2 2
ax
x a
,
SM MN
SB BD
SM BD . MN
SB
2
2 2
x
SM
x a
2
2 2
2 2
. 2 x
a
x a MN
x a
2
2 2
x a 2 MN
x a
.
a
x N M
D
C
B A
S
7
Từ giả thiết ta có AMN đều, suy ra MN AM
2
2 2 2 2
xa x a 2
x a x a
2 2 x a x 2 x a . *Nhận xét: Trong bài toán trên, ta dễ dàng dựng được hai đường thẳng lần lượt
vuông góc với hai mặt phẳng SBC và SDC nên việc sử dụng định nghĩa để
vận dụng giải quyết bài toán này là hợp lý.
Ví dụ 5. Cho hình chóp S ABC . có cạnh bên SA vuông góc với đáy, SA BC a
và 0 BAC 60 . Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB và
SC . Tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng ( ) AHK và ( ) ABC . Hướng dẫn:
Ta có SA ABC ( ) (1)
Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC , kẻ đường kính AD.
( )
BD SA
BD SAB BD AH
BD AB
( )
AH SB
AH SBD AH SD
AH BD
Chứng minh tương tự, ta có AK SD . Từ đó suy ra SD AHK ( ) (2)
Từ (1) và (2), suy ra góc giữa ( ) AHK và ( ) ABC là góc giữa SA và SD là DSA
8
Trong ABC , ta có: 0
2
2
60 3
BC a a AD R
sinA sin Trong SAD, ta có: 2 2 21
3
a
SD SA AD . Từ đó suy ra 21
cos .
7
SA DSA
SD
*Nhận xét: Trong bài toán trên việc xác định giao tuyến của hai mặt phẳng
( ) AHK và ( ) ABC , từ đó dựng mặt phẳng với giao tuyến là phức tạp. Mặt khác, ta
đã có SA vuông góc với mặt phẳng đáy và việc dựng đường thẳng vuông góc với
( ) AHK đơn giản hơn.
Ví dụ 6. Cho hình chóp S ABC . có đáy ABC là tam giác vuông tại A, SA vuông
góc với ( ), , 2 . ABC SA AB a AC a Gọi H K, lần lượt là hình chiếu của A lên
SB SC , . Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng ( ) AHK và ( ) ABC (tương tự như Ví
dụ 5).
2.3.2.2. Tính góc giữa hai mặt phẳng theo phương pháp gián tiếp
Phương pháp này gồm một số cách sau
Cách 1. Tính góc giữa hai mặt phẳng bằng cách xác định góc cụ thể giữa hai
mặt phẳng.
Cách này thường sử dụng khi việc xác định giao tuyến của hai mặt phẳng
dễ dàng và có các yếu tố vuông góc, cụ thể có các bước sau
Bước 1. Xác định ( ) ( ) P Q
Bước 2. Dựng ( ) R . Tìm
( ) ( ) , ( ) ( ) R P p R Q q
Bước 3. Góc giữa ( ) P và ( ) Q là góc giữa p
và q . Việc tính góc giữa hai mặt phẳng trong không gian ta thường gặp hai loại cơ bản
sau
LOẠI 1. Tính góc giữa mặt bên và mặt đáy của hình chóp, hình lăng trụ
9
Phân tích: Giao tuyến của mặt bên và mặt đáy là cạnh đáy. Khi đó có ít nhất
một đường thẳng vuông góc với cạnh đáy. Dễ dựng được mặt phẳng vuông góc với
giao tuyến.
Bài toán gốc: Cho hình chóp 1 2 . … n S A A A có đường cao SH . Xác định góc
giữa mặt bên ( ) i j SA A và mặt đáy.
Hướng dẫn
- Bước 1: Xác định giao tuyến: 1 2 ( ) ( … ) i j n i j SA A A A A A A
- Bước 2: Ta có:
Trong 1 2 ( … ) A A An
kẻ HK A A i j . Chứng minh được ( ) A A SHK i j - Bước 3: Tìm các giao tuyến của mặt phẳng ( ) SHK với các mặt phẳng
( ) i j SA A và 1 2 ( … ). A A An - Bước 4: Tính góc giữa hai giao tuyến, từ đó suy ra góc giữa hai mặt phẳng.
Mô hình 1: Hình chóp đều
Đối với mô hình này, học sinh phải nắm vững định nghĩa hình chóp đều là
hình chóp có đáy là một đa giác đều và có chân đường cao trùng với tâm của
đa giác đáy.
Ví dụ 7. Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD . có cạnh đáy bằng a , chiều cao
hình chóp bằng 3
2
a
. Tính góc giữa mặt bên và mặt đáy.
Hướng dẫn:
Vì S ABCD . là hình chóp đều nên góc giữa mặt các mặt bên với mặt đáy bằng
nhau.
Tính góc là giữa hai mặt phẳng ( ) SCD và ABCD.
HD:
O I
D
B C
A
S
10
ABCD SCD CD
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD và I là trung điểm của CD
Tam giác có I O, lần lượt là trung điểm của CD BD , nên IO là đường trung
bình của tam giác BCD
/ /
1
2 2
IO BC
a
IO BC
Mà BC CD IO CD
Lại có ( )
, ( )
CD SO
CD OI CD SIO
SO OI SIO
Ta có
SIO ABCD IO
SIO SCD SI
Suy ra góc giữa ( ) SCD và ( ) ABCD là góc giữa IO và SI là góc nhọn SIO
Xét SIO vuông tại O, ta có: 0
3
2 tan 3 60 .
2
a
SI SIO SIO
IO a
Vậy góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 0 60 .
Mô hình 2: Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy
Tương tự như trong hình chóp đều, trong hình chóp có cạnh bên vuông góc
với mặt đáy khi tính góc giữa mặt bên và mặt đáy ta dễ dàng dựng được mặt
phẳng vuông góc với giao tuyến bằng cách từ chân đường cao kẻ đường thẳng
vuông góc với giao tuyến.
Ví dụ 8. Cho hình chóp S ABC . có cạnh đáy là tam giác vuông cân tại B,
BA BC a , SA vuông góc với mặt phẳng ( ), ABC SA a . Tính góc giữa các
mặt bên và mặt đáy.
Hướng dẫn:
11
- TH mặt bên chứa SA
SA ABC
SAB ABC
SA SAB
SA ABC
SAC ABC
SA SAC
Vậy góc giữa mặt bên chứa đường cao SA với mặt đáy bằng 0 90 . - Trường hợp mặt bên không chứa SA
Ta có SBC ABC BC
,
BC BA
BC SA BC SAB
SA BA SAB
Mà
SAB ABC AB
SAB SBC SB
Suy ra góc giữa ( ) SBC và ( ) ABC là góc giữa AB và SB là góc nhọn SBA
(SAB vuông tại A)
Lại có AB SA SAB vuông cân tại 0 A SBA 45 .
Vậy góc giữa ( ) SBC và ( ) ABC bằng 0 45 .
Ví dụ 9. Cho hình chóp S ABCD . có đáy ABCD là hình vuông tâm O , SA 2 và
SA vuông góc với mặt phẳng đáy ABCD, biết AC 2 2 . Tính tan góc giữa mặt
phẳng SOD và mặt phẳng BCO.
Hướng dẫn:
C
B
A
S
12
SOD BCO BD , BD SAC . Góc giữa SOD và BCO là góc nhọn SOA ( SAO vuông tại O )
Ta có tan 2 SA SOA
AO
. Ví dụ 10. Cho hình chóp S ABCD . có đáy là hình thoi, 0 AB a BAD 2 , 120 , SA
vuông góc với đáy. Biết góc giữa đường thẳng SC và ( ) ABCD bằng 0
45 . Tính góc
giữa các mặt bên và mặt đáy.
Hướng dẫn - TH mặt bên chứa SA
SA ABCD
SAB ABCD
SA SAB
J
I
D
B C
A
S
13
SA ABCD
SAD ABCD
SA SAD
Vậy góc giữa mặt bên chứa đường cao SA với mặt đáy bằng - Trường hợp mặt bên không chứa SA
- Góc giữa mặt phẳng SBC và ABCD
Vì ABCD là hình thoi có 0 BAD 120 nên 0
2
60
BC BA a
ABC
ABC
đều
Gọi I là trung điểm của BC AI BC
Mà
,
BC SA
BC AI BC SIA
SA AI SIA
( ) ( )
( ) ( )
SIA SBC SI
SIA ABCD AI
nên góc giữa mặt phẳng SBC và ABCD là góc nhọn SIA
Từ giả thiết ta có 0 SCA 45 nên SAC vuông cân tại A SA a 2 .
Xét ABC đều có trung tuyến AI AI a 3
Xét SIA vuông tại 2 3
, tan
3
SA I SIA
AI
Vậy góc giữa ( ) SBC và ( ) ABCD là góc sao cho 2 3
tan .
3
Tương tự góc giữa ( ) SCD và ( ) ABCD là góc sao cho 2 3
tan .
3
Ví dụ 11. Cho hình chóp S ABCD . có đáy là hình thang vuông tại A và B,
AB BC a , AD a 2 ; SA ABCD và SA a 2 .Tính tan của góc giữa hai mặt
phẳng SCD và ABCD.
Hướng dẫn:
0 90
14
Ta có SCD ABCD CD
Gọi M là trung điểm của AD. Từ giả thiết ta có ABCM là hình vuông
Xét ACD có CM là trung tuyến,
2
AD CM nên tam giác ACD vuông tại C. Do
đó CD AD . CD AD
CD SAC
CD SA
SAC SCD SC
SAC ABCD AC
Suy ra góc giữa SCD và ABCD là góc giữa SC và AC là góc nhọn SCA
Ta có t 2
2
an
2
SA a SCA
AC a
.
Mô hình 3: Hình chóp có mặt bên vuông góc với đáy – Hình chiếu vuông góc
Trong mô hình này, học sinh phải nắm vững nội dung kiến thức sau
“Nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng nào nằm trong
mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia”( Hệ
quả 1 của Định lý 1 bài Hai mặt phẳng vuông góc)
M D
C
B
A
S
15
Như vậy, từ giả thiết mặt bên vuông góc với mặt đáy ta dễ dàng dựng được
hình chiếu của đỉnh xuống mặt phẳng đáy, từ đó ta dựng được mặt phẳng vuông
góc với giao tuyến bằng cách từ chân đường cao kẻ vuông góc với giao tuyến.
Ví dụ 12. Cho hình chóp S ABCD . có đáy ABCD là hình vuô
Xem bản đầy đủ trên google drive: TẠI ĐÂY
Các thầy cô cần file liên hệ với chúng tôi tại fanpage facebook O2 Education
Hoặc xem nhiều SKKN hơn tại:
