dàn âm thanh hội trường, âm thanh lớp học, âm thanh phòng họp, loa trợ giảng

SKKN Một số bài toán về cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối trong ôn thi học sinh giỏi và tốt nghiệp trung học phổ thông

SKKN Một số bài toán về cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối trong ôn thi học sinh giỏi và tốt nghiệp trung học phổ thông

SGK, sách ôn thi, sách tham khảo giá rẻ

Các thầy cô cần file liên hệ với chúng tôi tại fanpage facebook O2 Education

Hoặc xem nhiều SKKN hơn tại:  Tổng hợp SKKN luận văn luận án O2 Education

SGK, sách ôn thi, sách tham khảo giá rẻ

ĐIỀU KIỆN HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN
Trong kỳ thi trung học phổ thông quốc gia từ năm 2017 đến năm 2020 và
kì thi tốt nghiệp năm 2021, năm 2022 đề thi môn Toán thay đổi từ hình thức tự
luận sang hình thức trắc nghiệm khách quan. Chính điều này đã tạo ra một sự
chuyển biến lớn trong cả dạy và học. Để đạt được điểm số cao trong kỳ thi này,
học sinh không cần chỉ nắm vững kiến thức cơ bản, làm thuần thục các dạng toán
quan trọng mà cần có khả năng logic cao để tiếp cận vấn đề một cách nhanh nhất,
chọn được cách giải quyết tốt nhất đến đáp án. Đây thực sự là một thách thức lớn.
Để làm được điều đó, giáo viên cần trang bị cho học sinh đầy đủ kiến thức cơ bản,
kỹ năng tổng hợp phân tích các dạng toán để có thể giải quyết các bài tập ở cả 4
cấp độ tư duy.
Với chương trình toán 12, phần kiến thức về chủ đề hàm số luôn luôn chiếm
tỷ lệ cao trong các đề thi tốt nghiệp, đề thi học sinh giỏi và đánh giá năng lực của
Đại học quốc gia hay đề thi tư duy của Đại học Bách khoa. Các kiến thức của từng
bài trong chương Hàm số luôn có sự lôgic có nhiều dạng bài, trong đó có câu hỏi
về cực trị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối thường xuyên xuất hiện trong đề HSG,
đề thi thử của các trường trong cả nước và có trong đề thi tham khảo năm 2018;
đề minh họa 2021 và đề thi tốt nghiệp năm 2021; năm 2022 của Bộ giáo dục đều
ở mức vận dụng, vận dụng cao. Các bài tập về chủ đề này giúp học sinh ôn tập
kiến thức tổng thể về chương hàm số, trang bị cho học sinh các kĩ năng: tính toán,
tổng hợp; học sinh được phát triển các năng lực một cách toàn diện: năng lực tính
toán, năng lực hợp tác, năng lực phân tích, tổng hợp, so sánh….từ đó học sinh mới
có thể giải quyết được các bài tập tổng hợp mức vận dụng, vận dụng cao trong đề
thi. Vì vậy, qua nhiều năm nghiên cứu và giảng dạy lớp 12, tôi xin đưa ra sáng
kiến “MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ
TUYỆT ĐỐI TRONG ÔN THI HỌC SINH GIỎI VÀ THI TỐT NGHIỆP
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG” để giúp học sinh đạt kết quả cao trong các kỳ thi
3
Sáng kiến kinh nghiệm Vũ Thị Thoa
năm học 2022-2023 và các năm tiếp theo. Hy vọng chuyên đề này sẽ đồng hành
với các em học sinh, hỗ trợ phần nào đó trên con đường tìm hiểu khoa học, tìm
đến cái hay của Toán học. Tuy nhiên, do nhiều điều kiện khách quan khác nhau
nên sáng kiến không tránh khỏi thiếu sót. Tôi rất mong nhận được ý kiến đóng
góp của quý Thầy cô để sáng kiến ngày càng được bổ sung và hoàn thiện góp
phần vào sự nghiệp giáo dục chung của tỉnh nhà.
II. MÔ TẢ GIẢI PHÁP

  1. Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến
    Các bài toán về chủ đề hàm số là mảng kiến thức quan trọng trong chương
    trình toán học phổ thông, nó thường gặp trong tất cả các kì thi: tốt nghiệp; đánh
    giá năng lực, đánh giá tư duy; thi học sinh giỏi các cấp. Mặc dù học sinh được cọ
    sát phần này khá nhiều song phần lớn các em vẫn thường lúng túng trong quá trình
    tìm ra cách giải trong các bài toán vận dụng và vận dụng cao. Nguyên nhân là:
    Thứ nhất, các bài toán về cực trị, tương giao…trong chủ đề hàm số là mảng
    kiến thức phong phú và khó, đòi hỏi người học phải có tư duy sâu sắc, có sự kết
    hợp nhiều mảng kiến thức khác nhau, có sự nhìn nhận trên nhiều phương diện.
    Thứ hai, sách giáo khoa cơ bản trình bày phần này khá đơn giản, các tài
    liệu tham khảo đề cập đến phần này khá nhiều song sự phân loại chưa dựa trên
    cái gốc của bài toán nên khi học, học sinh chưa có sự liên kết, định hình và chưa
    có cái nhìn tổng quát về các dạng toán.
    Thứ ba, đa số học sinh đều học một cách máy móc, chưa có thói quen tổng
    quát bài toán và tìm ra bài toán xuất phát, chưa biết được bài toán trong các đề thi
    do đâu mà có nên khi người ra đề chỉ cần thay đổi một chút là đã gây khó khăn
    cho các em.
  2. Mô tả giải pháp sau khi có sáng kiến
    Sáng kiến kinh nghiệm của tôi là một chủ đề quan trọng trong những năm
    gần đây khi thực hiện thi tốt nghiệp THPT, thi đánh giá năng lực, đánh giá tư duy
    môn Toán bằng hình thức trắc nghiệm . Cái mới ở đây chính là sự phân loại các
    4
    Sáng kiến kinh nghiệm Vũ Thị Thoa
    dạng bài có tính chất xuyên suốt chương trình nhưng vẫn bám vào các kĩ thuật
    quen thuộc, phù hợp với tư duy của học sinh. Thêm vào đó, với mỗi bài toán đều
    có sự phân tích lôgic, có sự tổng quát và điều đặc biệt là cho học sinh tìm ra cái
    gốc của bài toán, các bài toán từ đâu mà có, người ta đã tạo ra chúng bằng cách
    nào và trang bị cho các em một số kỹ thuật suy luận nhanh khi các em đã hiểu
    được bản chất bài toán.
    Thông qua các việc làm thường xuyên này, học sinh đã dần thích nghi một
    cách rất tốt, có tư duy sáng tạo, có năng lực làm toán và tạo ra các bài toán mới.
    Học sinh thường hiểu sâu và thích nghi khi học phần này, rút ngắn được thời gian
    làm một câu trắc nghiệm.
    Sau đây tôi xin trình bày nội dung chính của sáng kiến:
  • Phần 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT
  • Phần 2: CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP
    DẠNG 1: SỐ ĐIỂM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ y f x   
    DẠNG 2: SỐ ĐIỂM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ y f x   
    DẠNG 3: MỘT SỐ BÀI TOÁNCỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ CHỨA DẤU GTTĐ KHÁC
    PHẦN 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
  1. Định nghĩa hàm số chẵn, hàm số lẻ
    1.1. Định nghĩa
    Hàm số y f x    với tập xác định D và gọi là hàm số chẵn nếu
     x D thì   x D và  x D thì f x f x    .
    Hàm số y f x    với tập xác định D và gọi là hàm số lẻ nếu
     x D thì   x D và  x D thì f x f x      .
    1.2. Nhận xét
    5
    Sáng kiến kinh nghiệm Vũ Thị Thoa
    Đồ thị của một hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.
    Đồ thị của một hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.
  2. Đạo hàm hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối
  •     
       
     
    2
    .
    .
    f x f x
    y f x y f x
    f x
     
        
  •      . .  
    x
    y f x y f x f x
    x

         
  1. Khái niệm cực trị của hàm số
    3.1. Khái niệm
    Cho hàm số y f x    xác định và liên tục trên khoảng a b;  (có thể a là ;
    b là ) và điểm x a b 0   ; .
  • Nếu tồn tại số h  0sao cho 0
    f x f x ( ) ( )  với mọi x x h x h     0 0 ; và
    0
    x x  thì ta nói hàm số f x  đạt cực đại tại 0
    x và 0
    x gọi là điểm cực đại của
    hàm số; f x 0  gọi là giá trị cực đại của hàm số.
  • Nếu tồn tại số h  0sao cho 0
    f x f x ( ) ( )  với mọi x x h x h     0 0 ; và
    0
    x x  thì ta nói hàm số f x  đạt cực tiểu tại 0
    x và 0
    x gọi là điểm cực tiểu của
    hàm số; f x 0  gọi là giá trị cực tiểu của hàm số.
    3.2. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị
    Nếu hàm số y f x    có đạo hàm tại 0
    x và đạt cực trị tại điểm đó thì f x ‘ 0.  0  
    3.3. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị
    6
    Sáng kiến kinh nghiệm Vũ Thị Thoa
    Giả sử hàm số y f x    liên tục trên khoảng K x h x h     0 0 ;  và có đạo
    hàm trên K hoặc trên K x \ ,  0  với h  0.
  • Nếu 0 0 f x x x h x ( ) 0, ( ; )     và 0 0 f x x x x h ( ) 0, ( ; )     thì hàm số đạt
    cực đại tại điểm 0
    x .
  • Nếu 0 0 f x x x h x ( ) 0, ( ; )     và 0 0 f x x x x h ( ) 0, ( ; )     thì hàm số đạt
    cực tiểu tại điểm 0
    x .
    x
    0
    x h  0
    x 0
    x h  x
    0
    x h  0
    x 0
    x h 
    f x  
      f x  
     
    f x 
    CD f

f x 

CT f

  1. Giao điểm của hai đồ thị hàm số
    4.1. Định lí
    Cho hàm số y f x    có đồ thị C1 và hàm số y g x    có đồ thị C2 .
    Hoành độ giao điểm củaC1 và C2 là nghiệm của phương trình f x g x     .
    Số nghiệm của phương trình trên bằng số giao điểm của đồ thị C1 và C2 .
    4.2. Nhận xét
    7
    Sáng kiến kinh nghiệm Vũ Thị Thoa
    Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y f x    và trục Ox là nghiệm của
    phương trình f x   0.
    Ví dụ: Cho hàm số y f x    có đồ thị (C) là đường cong
    như hình vẽ bên. Suy ra phương trình f x   0 có 3
    nghiệm phân biệt là x x x     1, 1, 3. 4.3. Chú ý về nghiệm đơn, nghiệm kép với bài toán đồ thị hàm số
    Cho hàm số y f x    có đồ thị ( ) C cho trước. Khi xác định giao điểm của đồ thị
    ( ) C và trục Ox ta cần lưu ý:
  • Đồ thị ( ) C tiếp xúc với trục hoành thì hoành độ giao điểm của đồ thị ( ) C với
    trục Ox là nghiệm bội chẵn (thường là nghiệm kép).
  • Đồ thị ( ) C cắt trục hoành thì:
  • Tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị ( ) C với trục Ox trùng với trục Ox thì hoành
    độ giao điểm của đồ thị ( ) C với trục Ox là nghiệm bội lẻ.
  • Tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị ( ) C với trục Ox cắt trục Ox thì hoành độ
    giao điểm của đồ thị ( ) C với trục Ox là nghiệm đơn.
    Hình ảnh minh họa
     x  1 là nghiệm đơn.
     x  1 là nghiệm kép.
     x  2 là nghiệm bội lẻ.
    8
    Sáng kiến kinh nghiệm Vũ Thị Thoa
    Ví dụ: Cho hàm số y f x    có đồ thị (C) là đường cong như
    hình vẽ bên. Suy ra phương trình f x   0 có 2 nghiệm x  0
    ( nghiệm kép) và x a a   , 2 (nghiệm đơn).
    4.4. Phương pháp xét dấu biểu thức f x  
  • Nếu hàm y f x  ( ) liên tục trên     a b f x ; , ( ) 0     vô nghiệm trên khoảng a b; 
    thì f x( ) luôn dương hoặc luôn âm trên khoảng a b; .
    Khi đó chọn x a b 0   ; , ta có : Nếu 0
    f x( ) 0  thì f x x a b ( ) 0, ;     .
    Nếu 0
    f x( ) 0  thì f x x a b ( ) 0, ;     .
    *Quy tắc xét dấu bằng phương pháp khoảng: qua nghiệm đơn thì biểu thức đổi
    dấu, qua nghiệm kép thì biểu thức không đổi dấu (nghiệm bội lẻ được xét như
    nghiệm đơn, nghiệm bội chẵn được xét như nghiệm kép).
  1. Phép tịnh tiến đồ thị
    Cho hàm số y f x    có đồ thị (C) và số thực a  0
  • Tịnh tiến đồ thị (C) lên trên a đơn vị theo phương song song với trục Oy ta
    được đồ thị hàm số y f x a     .
  • Tịnh tiến đồ thị (C) xuống dưới a đơn vị theo phương song song với trục Oy
    ta được đồ thị hàm số y f x a     .
  • Tịnh tiến đồ thị (C) sang trái a đơn vị theo phương song song với trục Ox ta
    được đồ thị hàm số y f x a    .
  • Tịnh tiến đồ thị (C) sang phải a đơn vị theo phương song song với trục Ox ta
    được đồ thị hàm số y f x a    .
    9
    Sáng kiến kinh nghiệm Vũ Thị Thoa
    PHẦN II. MỘT SỐ DẠNG TOÁN
    DẠNG 1: SỐ ĐIỂM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ y f x   
    1.1. Phương pháp
    Cách 1:
    Để tìm số điểm cực trị của hàm số y f x    ta đi vẽ đồ thị hàm số đó dựa trên
    bảng biến thiên và đồ thị hàm số y f x   như sau:
  • Giữ nguyên phần đồ thị hàm số y f x    nằm trên trục hoành ( trục Ox ).
  • Phần đồ thị hàm số y f x    nằm dưới trục hoành lấy đối xứng qua trục đó.
    Cách 2:
    Ta có:     
       
     
    2
    .
    .
    f x f x
    y f x y f x
    f x
     
        
    Do đó, số điểm cực trị của hàm số y f x    bằng tổng số điểm cực trị của hàm
    số y f x    và số nghiệm đơn hay bội lẻ của phương trình f x   0 .
  • Chú ý: Với dạng toán này giả thiết có thể cho biểu thức f x , biểu thức f x  ,
    hoặc đồ thị hàm số y f x   ; đồ thị hàm số y f x   . Căn cứ vào giả thiết để
    sử dụng 1 trong 2 cách giải trên cho phù hợp.
    1.2. Ví dụ
    Ví dụ 1: Cho hàm số y f x    có đồ thị là đường cong như hình vẽ sau:
    10
    Sáng kiến kinh nghiệm Vũ Thị Thoa
    Số điểm cực trị của hàm số y f x    bằng
    A. . B. 3. C. 4 . D. 5.
    Lời giải
    Cách 1: Từ đồ thị hàm số y f x    suy ra đồ thị hàm số y f x    như sau:
  • Giữ nguyên phần đồ thị hàm số y f x    nằm trên trục hoành ( trục Ox ).
  • Phần đồ thị hàm số y f x    nằm dưới trục hoành lấy đối xứng qua trục đó
    Vậy số điểm cực trị của hàm số y f x    bằng 5.
    Cách 2:     
       
     
    2
    .
    .
    f x f x
    y f x y f x
    f x
     
        
  • Hàm số có 2 điểm cực trị nên phương trình f x    0 có hai nghiệm phân biệt
    và f x   đổi dấu khi x qua hai nghiệm đó.
    2
    11
    Sáng kiến kinh nghiệm Vũ Thị Thoa
  • Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt nên phương trình f x   0
    có 3 nghiệm phân biệt.
    Vậy y đổi dấu qua 5 nghiệm đó nên hàm số y f x    có 5 điểm cực trị.
    Nhận xét: Khi giải loại bài toán trên học sinh đưa về hai bài toán cơ bản: tìm số
    cực trị của hàm số y f x    và số nghiệm của phương trình f x   0 . Do đó
    học sinh có thể giải quyết riêng lẻ 2 bài toán đơn đó dựa trên bảng biến thiên hoặc
    đồ thị hàm số y f x   . Ví dụ 2: Cho hàm số y f x    có bảng biến thiên như sau.
    Đồ thị của hàm số y f x    có bao nhiêu điểm cực trị ?
    A. 4 . B.3 . C. 7 . D. 5. Lời giải
    Từ bảng biến thiên ta thấy:
  • Hàm số có 3 điểm cực trị.
  • Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt.
    Suy ra đồ thị của hàm số y f x    có tất cả 3 + 4 = 7 điểm cực trị.
    Ví dụ 3: Cho hàm số   2
    y x x    1 2 . Số điểm cực trị của hàm số trên bằng
    A.1. B.2 . C. 3 . D. 4 .
    12
    Sáng kiến kinh nghiệm Vũ Thị Thoa
    Lời giải
    Đặt     
    2
    3 2 f x x x x x x        1 2 5 8 4
        2
    2
    3 10 8 0 4
    3
    x
    f x x x f x
    x
       
             
       

    Nên hàm số f x  có hai điểm cực trị.
    Lại có f x   0 có 1 nghiệm đơn x  1 nên số điểm cực trị của hàm số
        
    2
    y f x x x     1 2 bằng 2 + 1 =3 .
    Nhận xét: Thực tế nếu học sinh tư duy tốt có thể biết hàm số bậc 3 không có cực trị
    thì đồ thị hàm số chỉ cắt trục hoành tại 1 điểm duy nhất nên với ví dụ trên f x   0
    có 2 nghiệm x  1 (nghiệm đơn) và x  2 ( nghiệm kép) nên hàm số f x  có
    2 điểm cực trị. Từ đó kết luận luôn hàm số y f x    có 3 điểm cực trị.
    Ví dụ 4: Cho hàm số y f x    có đạo hàm     
    3 2 3 f x x x x x ‘ 2 2    . Hàm
    số y f x    có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị?
    A. 9. B. 8. C. 7. D. 6.
    Lời giải
    Ta có:       3
    0
    2
    ‘ 2 2 2 0
    2
    2
    x
    x
    f x x x x x
    x
    x
      
      
          
     

       

    Ta lập bảng biến thiên của hàm số y f x   
    13
    Sáng kiến kinh nghiệm Vũ Thị Thoa
    Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số y f x    có 4 điểm cực trị, suy ra f x   0
    có tối đa 5 nghiệm phân biệt.
    Do đó hàm số y f x    có tối đa 4 5 9   điểm cực trị.
    Ví dụ 5: Xét hàm số f x( ) có đạo hàm   
    2 3 f x x x x x ( ) 3    với mọi
    x R  . Hàm số y f x   1 2022  có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị?
    A. 9 . B. 7. C. 8 . D. 6 .
    Lời giải
    Nhận xét: Số điểm cực trị tối đa của hàm số y f x   1 2022  bằng tổng số
    nghiệm của phương trình f x 1 2022 0   và số điểm cực trị của hàm số
    y f x   1 2022 .
    Ta có:    
    2
    f x x x x x ( ) 1 3 3 .    
    Suy ra f x f x 1 2022 2022 (1 2022 ). 

          
        Do đó:
          
    2
    f x x x x 1 2022 0 1 2022 1 2022 1 1 2022 3 0

                  
    1
    2022
    0
    1 3
    2022
    1 3
    2022
    x
    x
    x
    x

      

     
       
     


     
     

    trong đó 1
    2022
    x  là nghiệm kép.
    Bảng biến thiên của y f x   1 2022 
    14
    Sáng kiến kinh nghiệm Vũ Thị Thoa
    x  1 3
    2022
     0
    1
    2022
    1 3
    2022
     
    y – 0 + 0 – 0 – 0 +
    y

Do đó phương trình f x 1 2022 0   có tối đa 4 nghiệm và hàm số
y f x   1 2022  có 3 điểm cực trị.
Vậy hàm số y f x   1 2022  có tối đa 7 điểm cực trị.
Ví dụ 6: Cho hàm số y g x  ( ) xác định liên tục trên  và có bảng biến thiên
như sau:

SGK, sách ôn thi, sách tham khảo giá rẻ

Hỏi đồ thị hàm số y g x   ( ) 2 có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 3. B. 7 . C. 5. D. 8 .
Lời giải
Từ bảng biến thiên của hàm số y g x  ( )bằng cách tịnh tiến đồ thị xuống dưới 2
đơn vị ta có bảng biến thiên của hàm số y g x   ( ) 2 như sau:
Từ đó suy diễn bảng biến thiên hàm số y g x   ( ) 2 như sau:
15
Sáng kiến kinh nghiệm Vũ Thị Thoa
Vậy số điểm cực trị của đồ thị hàm số y g x   ( ) 2 là 7 điểm.
Ví dụ 7: Cho hàm số y f x    là hàm đa thức bậc năm thỏa mãn
f f     0 0; 2 0   . Biết hàm số y f x    có đồ thị như hình vẽ dưới đây:
Hàm số    2 4 2 g x f x x x   2 có bao nhiêu điểm cực trị?
A. 8 . B. 5. C. 6 . D. 7 . Lời giải
Xét hàm số         2 4 2 2 3 h x f x x x h x xf x x x        2 2 4 4  
     
2 2
2 2
0
0 2 2 2 0
2 2
x
h x x f x x
f x x
               
Xét đồ thị hàm số y f t    và y t    2 2
16
Sáng kiến kinh nghiệm Vũ Thị Thoa
Từ dồ thị hàm số ta được   1
2 2
2
t
f t t
t
       
 Khi đó suy ra  
2
2 2
2
0 0
0
1 1
2 2
2 2
x x
x
x x
f x x
x x
 

   
                
Ta có bảng biến thiên
Do f f     0 0; 2 0   nên hàm số      2 4 2 g x h x f x x x    2 có 7
điểm cực trị.
17
Sáng kiến kinh nghiệm Vũ Thị Thoa
Ví dụ 8: [Mã 101-TN THPT NĂM 2020 LẦN 2] Cho hàm số f x  có f   0 0.  Biết y f x    là hàm số bậc bốn và có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số
điểm cực trị của hàm số  3
g x f x x ( )   là
A. 5. B. 4. C. 6. D. 3.
Lời giải
Xét  3 h x f x x ( )        2 3 h x x f x ‘ 3 ‘ 1  
          2 3 3
2
1
0 3 1 0 0 1
3 h x x f x f x x
x
         
Đặt 3 2 2 3
x t x t    phương trình (1) trở thành:
      3 2
1
0 2
3
f t t
t
  
Vẽ đồ thị hàm
3 2
1
3
y
x  trên cùng hệ trục tọa độ với hàm y f x   . Dựa vào đồ thị ta có:
18
Sáng kiến kinh nghiệm Vũ Thị Thoa
 
3 3
3
3 2 3
1 0 0 0
3
0 0 0
t b x b x b
f t
t
t a x a x a

       

      

        

Bảng biến thiên
Dựa vào BBT ta thấy hàm số  3
g x f x x ( )   có 5 điểm cực trị.
Nhận xét: Ngoài cách suy ra BBT của hàm h x  ta có thể nhận xét từ BBT của
hàm số h x  suy ra phương trình h x   0 có 3 nghiệm phân biệt và hàm số
h x  có 2 điểm cực trị không nằm trên trục hoành, do đó hàm số g x h x      có 5 điểm cực trị.
Ví dụ 9: [Mã 102-TN THPT NĂM 2020 LẦN 2] Cho hàm số f x  có f   0 0.  Biết y f x    là hàm số bậc bốn và có đồ thị là đường cong trong hình bên. Số
điểm cực trị của hàm số    3
g x f x x   là
A. 4. B. 5. C. 3. D. 6.
Lời giải
19
Sáng kiến kinh nghiệm Vũ Thị Thoa
Đặt          
3 2 3 3
2
1
3 1 0
3
h x f x x h x x f x f x
x
           
Đặt 3 3
t x x t    thế vào phương trình trên ta được  
3 2
1
3
f t
t
  
Xét hàm số
3 3 2 5
1 2
3 9
y y
t t
    đổi dấu khi qua 0 và đồ thị hàm số có
tiệm cận ngang y  0 . Khi vẽ đồ thị trên cùng một mặt phẳng tọa độ với đồ thị
hàm số y f t    ta thấy hai đồ thị cắt nhau tại 2 điểm phân biệt thuộc góc phần
từ thứ 3 và 4, gọi 2 giao điểm lần lượt là 3 3
1 2 1 1 2 2 t t x t x t      0, 0 , .
Như vậy ta có bảng biến thiên của hàm số h x  như sau
Dựa vào bảng biến thiên ta thấy phương trình h x   0 có 3 nghiệm phân biệt
và hàm số h x  có 2 điểm cực trị không nằm trên trục hoành, do đó hàm số
g x h x      có 5 điểm cực trị.
Ví dụ 10: Cho hàm số y f x    có đồ thị như hình sau. Hàm số
2 g x f x x ( ) ( 4 )    có bao nhiêu điểm cực trị ?
20
Sáng kiến kinh nghiệm Vũ Thị Thoa
A. 6. B. 4. C. 5. D. 7.
Lời giải
Ta có 2 2 h x f x x h x x f x x ( ) ( 4 ) ‘( ) ( 2 4) ‘( 4 )         
Cho 2
2
2
2
2
2 4 0 0
‘( ) 0 4 0 ‘( 4 ) 0 4
4 1
2 3
x
x
x x
h x x x
f x x x
x x
x
     
    
       
   
        Phương trình h x'( ) 0  có 5 nghiệm đơn phân biệt. Vậy 2 h x f x x ( ) ( 4 )   
có 5 điểm cực trị.
Xét phương trình 2 h x f x x ( ) ( 4 ) 0     . Đồ thị hàm số y f x    cắt trục Ox tại điểm x a a    (1 2) nên
2
f x x ( 4 ) 0    2 2         x x a x x a 4 4 0 có     ‘ 4 0 a với
  a (1,2), phương trình có hai nghiệm pb x a x a       2 4 ; 2 4 và
hai nghiệm này khác các nghiệm của phương trình h x ‘ 0    . Vậy hàm số 2
g x f x x ( ) ( 4 )    có 7 điểm cực trị.
Ví dụ 11: Cho hàm số y f x    liên tục trên  và có
       2 3
f x x x x      1 1 3 ; f   3 0  . Số điểm cực trị của hàm số
  3 2 y f x x x     2 5 3 là
21
Sáng kiến kinh nghiệm Vũ Thị Thoa
A. 2. B. 4. C. 3. D. 5.
Lời giải
Đặt  
3 2 g x x x x     2 5 3. Ta có:  
2
g x x x x        3 4 5 0,  .
Suy ra g x  là hàm số đồng biến trên  .
Từ đó suy ra số điểm cực trị của hàm số y f g x     bằng số điểm cực trị của
hàm số y f x   .
Lại có:  
3 2 y f x x x     2 5 3 =      
2
f g x f g x  ( )
       
   
2
g x f g x f g x . .
y
f g x
 
  . Khi đó:     
    
0 *
0
0 **
f g x
y
f g x


 
   
 

  • Từ giả thiết:       
    2 3
    f x x x x      1 1 3 suy ra hàm số y f x    có điểm
    cực đại x  1và điểm cực tiểu x  3
    Xét phương trình *: f g x     0
       
       
       
    1 1
    1 2
    3 3
    g x
    g x
    g x

      
       

     
  • Phương trình (1) có 1 nghiệm đơn.
  • Phương trình (2) có 1 nghiệm kép.
  • Phương trình (3) có 1 nghiệm bội 3.
    Nên từ (*) suy ra hàm số  
    3 2 y f x x x     2 5 3 có hai điểm cực trị.
    Xét phương trình (): f g x     0     g x a   1 ( vì x  1 là điểm cực đại, x  3 là điểm cực tiểu và f 3 0   ). Do hàm g x  đồng biến trên  nên phương trình g x a    đúng 1 nghiệm đơn. Nên từ () suy ra hàm số  
    3 2 y f x x x     2 5 3 có một điểm cực trị.
    22
    Sáng kiến kinh nghiệm Vũ Thị Thoa
    Vậy hàm số  
    3 2 y f x x x     2 5 3 có 3 điểm cực trị.
    Ví dụ 12: Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ dưới. Tập các giá trị của
    tham số để hàm số có 7 điểm cực trị là . Tính
    A. . B. . C. . D. .
    Lời giải
  • Số cực trị của hàm số bằng tổng số cực trị của hàm y f x m     và số
    nghiệm đơn hoặc nghiệm bội lẻ của phương trình .
  • Hàm số y f x m     có 3 điểm cực trị. Do

Xem bản đầy đủ trên google drive: TẠI ĐÂY

Các thầy cô cần file liên hệ với chúng tôi tại fanpage facebook O2 Education

SGK, sách ôn thi, sách tham khảo giá rẻ

Hoặc xem nhiều SKKN hơn tại: 

Tổng hợp SKKN luận văn luận án O2 Education

Tổng hợp SKKN môn hóa học cấp THPT

SGK, sách ôn thi, sách tham khảo giá rẻ

Comments

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *