SKKN Phương pháp tính tích phân hàm ẩn và bài toán tích phân kết hợp cực trị, tương giao của đồ thị hàm số
Các thầy cô cần file liên hệ với chúng tôi tại fanpage facebook O2 Education
Hoặc xem nhiều SKKN hơn tại: Tổng hợp SKKN luận văn luận án O2 Education
ĐIỀU KIỆN HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN
Trong Chương trình môn Toán Trung học phổ thông, phép tính Nguyên hàm
- Tích phân chiếm một vị trí hết sức quan trọng trong Toán học, tích phân được
ứng dụng rộng rãi trong thực tế như là tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn
xoay, nó là một trong những cơ sở để nghiên cứu Giải tích hiện đại. Ngoài ra phép
tính tích phân còn được ứng dụng rộng rãi trong Xác suất, Thống kê, Vật lý, Cơ
học,…
Phép tính tích phân được bắt đầu giới thiệu cho các em học sinh lớp 12 và
nó có mặt hầu hết trong các kỳ thi như thi tốt nghiệp THPT, thi học sinh giỏi các
cấp. Hiện nay với xu hướng thi trắc nghiệm, phần tích phân còn được yêu cầu rộng
hơn và đòi hỏi học sinh phải tư duy linh hoạt hơn và phần Nguyên hàm – Tích phân
của một số hàm ẩn đã được đưa vào để yêu cầu học sinh, mặc dù đã được học kỹ
các phương pháp tính, nhưng đứng trước yêu cầu về tính nguyên hàm, tích phân
của hàm ẩn đa số các em còn gặp nhiều khó khăn, lúng túng và thậm chí là không
định hình được lời giải khi đứng trước các bài toán dạng này.
Muốn học sinh học tốt được phần này thì mỗi người Giáo viên không phải
chỉ truyền đạt, giảng giải theo các tài liệu đã có sẵn trong Sách giáo khoa, trong các
sách hướng dẫn và thiết kế bài giảng một cách dập khuôn, máy móc, làm cho học
sinh học tập một cách thụ động. Nếu chỉ dạy học như vậy thì việc học tập của học
sinh sẽ diễn ra thật đơn điệu, tẻ nhạt và kết quả học tập sẽ không cao. Nó là một
trong những nguyên nhân gây ra cản trở việc đào tạo các em thành những con
người năng động, tự tin, sáng tạo sẵn sàng thích ứng với những đổi mới diễn ra
hàng ngày.
Yêu cầu của giáo dục hiện nay đòi hỏi phải đổi mới phương pháp dạy học
môn toán theo hướng phát huy tính tích cực, chủ động sáng tạo của học sinh. Vì
2
vậy người giáo viên phải gây được hứng thú học tập cho các em bằng cách thiết kế
bài giảng lại khoa học, hợp lý, phải gắn liền với ứng dụng, liên hệ thực tế.
Vì những lí do đó, để giúp học sinh có cơ sở khoa học, có có hệ thống kiến
thức về tính tích phân của hàm ẩn và tháo gỡ những vướng mắc trên, nhằm nâng
cao chất lượng dạy và học, đáp ứng nhu cầu đổi mới giáo dục, tôi đã chọn sáng
kiến sáng kiến kinh nghiệm “Phương pháp tính Tích phân hàm ẩn và bài toán
tích phân kết hợp cực trị, tương giao của đồ thị hàm số”.
Với Sáng kiến này tôi hi vọng sẽ giúp cho học sinh dễ dàng nắm bắt và
thành thạo trong việc tính nguyên hàm, tích phân nói chung và nguyên hàm, tích
phân của một số hàm ẩn nói riêng cũng như lớp bài toán kết hợp giữa cực trị,
tương giao đồ thị hàm số và tích phân.
II. MÔ TẢ GIẢI PHÁP
- Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến:
Từ kì thi THPT QG năm 2017 bộ Giáo dục và Đào tạo chuyển đổi hình thức thi
của môn toán từ thi tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm đòi hỏi phương pháp dạy và
học cũng phải thay đổi cho phù hợp.
Trong các đề minh họa của bộ Giáo dục và Đào tạo, đề thi TN THPT, học sinh
thường gặp một số câu về tính tích phân của hàm ẩn và các bài toán tích phân cho kết
hợp với cực trị, tương giao của đồ thị hàm số, đây là các bài toán phân hóa đối tượng ở
mức độ vận dụng để lấy điểm cao. Hướng dẫn các em vận dụng tốt phần này sẽ tạo
được cho các em có thêm phương pháp, có kinh nghiệm trong việc tính tích phân và
nâng cao tư duy trong giải toán nhằm lấy được điểm cao hơn trong bài thi, giúp giáo
viên tự tin hơn trong lên lớp.
Trước khi áp dụng sáng kiến này vào dạy học, tôi đã khảo sát chất lượng học tập
của học sinh trường 2 lớp 12A2, 12A3 Trường THPT Xuân Trường về các bài toán
tính nguyên hàm – tích phân của hàm ẩn, đã thu được kết quả như sau:
Lớp Sĩ số Giỏi Khá TB Yếu Kém
SL % SL % SL % SL % SL %
12A1 38 7 18,4 10 26,3 21 55,3 0 0
12A2 37 5 13,5 9 24,3 22 59,5 1 2,7 0
3
Qua bài khảo sát tôi thấy về cơ bản trình độ nhận thức của học sinh 2 lớp trên
chênh lệch không đáng kể. Số lượng học sinh nắm được kiến thức dạng này không
nhiều, có rất nhiều em chưa định hình được lời giải do chưa có được kiến thức và kĩ
năng cần thiết.
Thực hiện sáng kiến này tôi đã hệ thống lại các phương pháp tính tích phân đã
được học để áp dụng tính cho hàm ẩn và lớp bài toán tính tích phân kết hợp cực trị,
tương giao của đồ thị hàm số thông qua các phương pháp cụ thể và các ví dụ tương ứng
cho mỗi phương pháp đó. Cuối cùng là bài tập tương tự để học sinh vận dụng các
phương pháp đã được học vào giải quyết vấn đề. - Mô tả giải pháp sau khi có sáng kiến
Sáng kiến sẽ làm rõ vấn đề mà học sinh còn gặp khó khăn, lúng túng, sai
lầm thường gặp và thậm chí là không có định hình về lời giải trong việc tính
nguyên hàm, tích phân của hàm ẩn, bài toán tích phân khi kết hợp với các bài toán
cực trị, tương giao của đồ thị hàm số.
Sáng kiến góp phần gây hứng thú học tập phần nguyên hàm, tích phân của
hàm ẩn, bài toán ứng dụng tích phân khi kết hợp với các yếu tố cực trị, tương giao
của đồ thị hàm số cho học sinh, một trong các phần được coi là khó, đòi hỏi tính tư
duy logic cao và không những chỉ giúp giáo viên lên lớp tự tin; học sinh lĩnh hội
được tri thức một cách đầy đủ, khoa học mà còn giúp các em củng cố và khắc sâu
các tri thức mới.
Sáng kiến sẽ làm cho học sinh thấy được tầm quan trọng của chương học, là
vấn đề then chốt cho việc tiếp nhận và giải các dạng toán tiếp theo.
Nâng cao chất lượng bộ môn toán theo từng chuyên đề khác nhau góp phần
nâng cao chất lượng dạy học.
2.1. Giải pháp 1: Xác định cơ sở lý luận thực tiễn và các phương pháp sử dụng
trong sáng kiến.
Phương thức 1: Xác định rõ các kiến thức lý thuyết cơ bản nguyên hàm và tính
chất.
Định nghĩa nguyên hàm
4
Cho hàm số f x xác định trên K (K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng).
Hàm số F x được gọi là một nguyên hàm của hàm số f x trên K nếu
F x f x ‘ với mọi x K .
Định lí
Giả sử hàm số F x là một nguyên hàm của hàm số F x trên K. Khi đó: Với
mỗi hằng số C, hàm số F x C cũng là một nguyên hàm của f x trên K.
Ngược lại, với mỗi nguyên hàm của f x trên K thì tồn tại một hằng số C sao cho
G x F x C với mọi x K . Do đó F x C C , là họ tất cả các nguyên
hàm của f x trên K. Ký hiệu
f x dx F x C .
Tính chất
Nếu f x g x , là hai hàm số liên tục trên K thì:
a)
f x dx f x C ‘
b) kf x dx k f x dx , với k là hai số thực khác 0.
c) mf x ng x dx m f x dx n g x dx với m,n là hai số thực khác 0.
d) Với a b, và a 0 ta có:
1
f ax b dx F ax b C
a
, ở đó F x là một
nguyên hàm của f x .
Sự tồn tại nguyên hàm
Mọi hàm số f x liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K.
Phương thức 2: Tìm hiểu định nghĩa, tính chất của tích phân và các phương pháp
tính tích phân.
Định nghĩa
Cho hàm số f liên tục trên K và a b, là hai số bất kỳ thuộc K . Nếu F là một
nguyên hàm của f trên K thì hiệu số F b F a ( ) ( ) được gọi là tích phân của f từ
a đến b và kí hiệu là
( )
b
a
f x dx . Trong trường hợp a b , ta gọi
( )
b
a
f x dx là tích
phân của f trên đoạn a b; .
5
Người ta dùng kí hiệu ( ) b
a
F x để chỉ hiệu số F b F a ( ) ( ) . Như vậy Nếu F là một
nguyên hàm của f trên K thì
( ) ( ) ( ) ( )
b
b
a
a
f x dx F x F b F a .
Tính chất
Giả sử f g, liên tục trên K và a b c , , là ba số bất kì thuộc K . Khi đó ta có
1) ( ) 0
a
a
f x dx ; 2) ( ) ( )
b a
a b
f x dx f x dx ;
3) ( ) ( ) ( )
b c c
a b a
f x dx f x dx f x dx
4) ( ) ( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx ;
5) ( ) ( )
b b
a a
kf x dx k f x dx với k.
Chú ý: nếu F x f x ( ) ( ) với mọi x K thì F x f x dx ( ) ( )
Phương pháp đổi biến số
Tính tích phân
( )
b
a
I g x dx . Giả sử g x( ) được viết dưới dạng
f u x u x ( ) . ( ) , trong đó hàm số u x( ) có đạo hàm trên K , hàm số y=f(u) liên tục
sao cho hàm hợp f u x ( ) xác định trên K và a b, là hai số thuộc K . Khi đó
( )
( )
( ) . ( ) ( )
b u b
a u a
f u x u x dx f u du .
Chú ý: Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì một chữ số thay cho x .
Như vậy tích phân không phụ thuộc vào biến tức là
( ) ( ) ( ) …
b b b
a a a
f x dx f u du f t dt
Phương pháp tính tích phân từng phần
6
Công thức ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
b b
b
a
a a
u x v x dx u x v x v x u x dx (trong đó u v, có đạo
hàm liên tục trên K và a b, là hai số thuộc K ).
Trên cơ cơ tóm tắt định nghĩa và các tính chất giáo viên nhấn mạnh và đưa
ra các chú ý khi áp dụng để giải toán.
Phương thức 3: Các phương pháp tính tích phân hàm ẩn, bài toán tích
phân kết hợp cực trị, tương giao của đồ thị hàm số hàm số là giải pháp trọng tâm
của sáng kiến.
Thực hiện sáng kiến này tôi chia nội dung thành bốn phần
Phần 1. Phương pháp biến đổi đưa về nguyên hàm cơ bản (giải pháp 2)
Phần 2. Phương pháp sử dụng phương pháp đổi biến số (giải pháp 3)
Phần 3. Phương pháp sử dụng phương pháp tính tích phân từng phần (giải pháp 4)
Phần 4. Phương pháp tạo bình phương cho hàm số dưới dấu tích phân (giải pháp 5)
Phần 5. Bài toán tích phân kết hợp cực trị, tương giao của đồ thị hàm số (giải pháp
6)
Mỗi phần được thực hiện theo các bước:
- Nhắc lại kiến thức cơ bản sử dụng trong sáng kiến
- Nêu các ví dụ áp dụng
- Phân tích định hướng lời giải cho ví dụ
- Nêu các nhận xét, bình luận đưa ra bài toán tổng quát (nếu có).
2.2. Giải pháp 2: Phương pháp tính tích phân hàm ẩn bằng cách biến đổi đưa
về nguyên hàm cơ bản
Phương thức thực hiện: Trước hết tóm tắt kiến thức hay dùng trong dạng
toán này và đưa ra 10 ví dụ minh họa cho phương pháp, trong mỗi ví dụ khác nhau
có phân tích định hướng lời giải, nhận xét, bình luận và đưa ra bài toán tổng quát
nếu có. Cuối cùng đưa ra bài tập tương tự để học sinh rèn luyện
2.2.1 . Kiến thức sử dụng - Nếu F x f x ( ) ( ) với mọi x K thì F x f x dx ( ) ( )
- Các công thức về đạo hàm
7
1) . . u v u v uv ;
2 2) u v uv u
v v
;
3)
2
u
u
u
;
1 4) n n nu u u ;
2
1
5) u
u u
.
2.2.2. Ví dụ áp dụng
Ví dụ 1 (THPTQG – MĐ 101 – 2018). Cho hàm số f x thoả mãn
2
2
9
f và
2
f x x f x 2 với mọi x . Giá trị của f 1 bằng
A.
35
36
. B.
2
3
. C.
19
36
. D.
2
15
.
Phân tích định hướng lời giải : Để tính được f 1 ta phải xác định được hàm số
f x . Từ giả thiết
2
f x x f x 2
2 2
f x
x
f x
1 2
x C
f x
kết
hợp điều kiện
2
2
9
f ta suy ra được hàm số f x . Khi đó ta có lời giải như
sau:
Lời giải
Ta có
2
f x x f x 2
2 2
f x
x
f x
2 2 d 2 d 2 d
f x d f x
x x x x x
f x f x
1 2
x C
f x
2
1
f x
x C
.
Theo giả thiết:
2
2
9
f
2 1
9 4 C
1
2
C .
Vậy
2
1
1
2
f x
x
2
1
3
f .
Chọn B
Bình luận: Qua ví dụ trên ta thấy đề bài được thiết kế dựa trên kiến thức cơ bản về
nguyên hàm, công thức nguyên hàm của hàm số hợp. Do vậy người ra đề có thể dễ
8
dàng thiết kế mối liên hệ giữa f x f x , và biểu thức g x dễ tính nguyên hàm
thì ta hoàn toàn tìm được hàm số f x và mọi vấn đề đều được giải quyết. Tương
tự dựa vào công thức tính đạo hàm của các hàm số chứa căn; đạo hàm của tích,
thương hai hàm số ta xét tiếp một số ví dụ sau.
Ví dụ 2. (Đề thi chọn HSG tỉnh Nam Định năm 2021) Cho hàm số f x có đạo
hàm liên tục trên 1;e thỏa mãn 2 4
xf x xf x f x ‘ 3
x
và 2
f x( )
x
với
mọi x e 1; . Giá trị của f e bằng bao nhiêu biết rằng f 1 3?
Phân tích định hướng lời giải :
Thực hiện biến đổi giả thiết ta được 2
2 x f x x f x x f x . . 3 . 4 , lúc
này vế phải có dáng dấp của một bình phương, ta thực hiện thêm bớt sẽ được:
2
2
x f x x f x x f x . . . 2 .
Nhận thấy x f x f x x f x . 2 .
nên chia hai vế cho 2
x f x . 2 ,
Khi đó ta có lời giải như sau
Lời giải
Với mọi x e 1; , ta có
2 4
xf x xf x f x ‘ 3
x
2
2 x f x x f x x f x . . 3 . 4
2
2 x f x x f x x f x . . . 2
2
. 1
. 2
f x x f x
x x f x
(do 2
f x
x
với mọi x e 1; )
Lấy nguyên hàm hai vế ta được:
1
ln
. 2
x C
x f x
.
Cho 1
1 1
3 2
x C C
.
Cho 1 5 ln 1
. 2 2e
x e e f e
e f e
.
Ví dụ 3. Cho hàm số f liên tục, f x 1, f 0 0 và thỏa mãn
2
f x x x f x 1 2 1 . Tính f 3.
A. 0. B. 3. C. 7 . D. 9.
9
Phân tích định hướng lời giải : Mấu chốt của bài toán là công thức tính đạo hàm
1
2 1
f x
f x
f x
. Từ giả thiết 2
f x x x f x 1 2 1 , điều kiện
f 0 0 và công thức đạo hàm trên ta suy ra được hàm số f x . Khi đó ta có lời
giải như sau
Lời giải
Ta có
2
2 2
1 2 1 1
2 1 1 1
f x x x f x x x f x f x
f x x x
1
2 2 2
2
1
1 1 1 1
1 2
x
f x dx dx f x dx x d x
x
2
f x x C 1 1 .
Mà f C 0 0 0 2
f x x 1 1
Suy ra f f 3 1 2 3 3 .
Chọn B
Qua cách tư duy ở 3 ví dụ 1, 2, 3 và kĩ năng sử dụng quy tắc tính đạo hàm,
bằng lối tư duy tương tự ta thực hiện được các ví dụ 4, 5, 6, 7 dưới đây.
Ví dụ 4. Cho hàm số f x 0, liên tục trên đoạn 1;2 và thỏa mãn
1
(1)
3
f
2 2 2 x f x x f x . ( ) 1 2 . ( ) với x 1;2. Tính tích phân
2
1
I f x dx ( )
A. 1
ln3
4
. B.
1
ln3
2
. C. 4ln3 . D. 4ln3.
Lời giải
Ta có
2
2 2 2
2 2 2
( ) 1 2 1 1 . ( ) 1 2 . ( ) 2
( ) ( )
f x x x f x x f x
f x x f x x
2
1 1 1 1 2 . 2
( ) ( )
dx x c
f x x f x x
, do
1
(1) 0
3
f c
10
Nên ta có
2
2
1 2 1 ( )
( ) 2 1
x x f x
f x x x
Khi đó
2 2 2 2 2
2
2 2
1 1 1 1
1 (1 2 ) 1 1 1 ( ) ln 1 2 2ln3 ln3 ln3
1 2 4 1 2 4 4 4
x d x I f x dx dx x
x x
.
Chọn A
Ví dụ 5. Cho hàm số f x( ) đồng biến, có đạo hàm trên đoạn 1;4 và thoản mãn
2
x x f x f x 2 . ( ) ( ) với x 1;4. Biết
3
(1)
2
f , tính
4
1
I f x dx ( )
A. 1186
90
. B. 1186
45
. C. 2267
45
. D. 2267
90
.
Lời giải
Do f x( ) đồng biến trên đoạn 1;4 f x x ( ) 0, 1;4
Ta có
2 2 x x f x f x x f x f x 2 . ( ) ( ) 1 2. ( ) ( ) , do x 1;4 và
f x x ( ) 0, 1;4
1
( )
2
f x và
( ) ( ) . 1 2 ( ) 1 2 ( )
1 2 ( )
f x f x x f x x f x x
f x
2
1 2 ( ) 1 2 ( )
3
f x xdx f x x x c . Vì
3 3 2 4 (1) 1 2.
2 2 3 3
f c c
2 3
3 2 2 4 2 4 2 8 7 1 2 ( ) 1 2 ( ) ( )
3 3 3 3 9 9 18
f x x x f x x x f x x x
Khi đó
4
4 4 3 5
3 4 2 2
1 1 1
2 8 7 1 16 7 1186 ( )
9 9 18 18 45 18 45
I f x dx x x dx x x x .
Chọn B
11
Ví dụ 6. Cho hàm số f x( ) đồng biến, có đạo hàm cấp hai trên đoạn 0;2 và thỏa
mãn
2 2 2 ( ) ( ). ( ) ( ) 0 f x f x f x f x với x 0;2. Biết f (0) 1 ,
6
f e (2) .
Tính tích
0
2
I x f x dx (2 1). ( )
A.
4 1 e . B.
4 1 e . C.
2 1 e . D.
2 1 e .
Phân tích định hướng lời giải :
Giả thiết
2 2 2 ( ) ( ). ( ) ( ) 0 f x f x f x f x biến đổi được về dạng
2
2
( ). ( ) ( )
2
( )
f x f x f x
f x
ta liên tưởng đến công thức tính đạo hàm của thương hai
hàm số. Khi đó ta có lời giải như sau
Lời giải
Do f x( ) đồng biến trên đoạn 0;2nên ta có 6
f f x f f x e (0) ( ) (2) 1 ( )
Ta có
2
2 2
2
( ). ( ) ( )
2 ( ) ( ). ( ) ( ) 0 2
( )
f x f x f x
f x f x f x f x
f x
( ) 2
( )
f x
f x
2
1
( ) ( ) 2. 2 . 2 ln ( )
( ) ( )
f x f x dx x c dx x c dx f x x cx c
f x f x
mà
6 1 ( ) f x e
Nên ta có 2
1
ln ( ) f x x cx c .
Do
1
6
1 1
(0) 1 0 1
(2) 4 2 6 0
f c c
f e c c c
2 2
ln ( ) ( ) x x f x x x f x e
Khi đó
2 2 2 2
0 0 0 0
2
2
2 2 2
(2 1). ( ) (2 1). ( ) 1 x x x x x x x x I x f x dx x e dx e d e e e
Chọn C
12
Ví dụ 7. Cho f x( )có đạo hàm trên R và thỏa mãn
3 2 ( ) 1
2
2
3 ( ). 0
( )
f x x x
f x e
f x
với
x R. Biết f (0) 1 , tính tích phân
7
0
I x f x dx . ( )
A. 45
4
e
. B. 45
8
e
. C. 45
8
. D. 45
4
.
Phân tích định hướng lời giải :
Giả thiết
3 2 ( ) 1
2
2
3 ( ). 0
( )
f x x x
f x e
f x
biến đổi được về dạng
3 2 2 ( ) 1 3 ( ). ( ). 2 . f x x f x f x e x e ta liên tưởng đến công thức tính đạo hàm của hàm số
3
f x
e . Khi đó ta có lời giải như sau
Lời giải
Ta có
3 2 3 2 3 2 ( ) 1 2 ( ) 1 ( ) 1
2
2
3 ( ). 0 3 ( ). ( ). 2 . 2 .
( )
f x x f x x f x x x
f x e f x f x e x e e x e
f x
3 2 2 2 ( ) 1 1 2 1 2 ( 1) f x x x x e xe dx e d x e c .
Do
3 2 ( ) 1 3 2 2 3
(0) 1 0 ( ) 1 ( ) 1 f x x f e e c c e e f x x f x x
Khi đó
7
7 7 7
3 3 3 2 2 2 2 2
0 0 0 0
1 3 45 . ( ) . 1. 1. ( 1) 1 1
2 8 8
I x f x dx x x dx x d x x x
Chọn C
Ví dụ 8. Cho f x( ) có đạo hàm trên 0;1 thỏa mãn f x x f x ( ) 1 . ( ) 1 với
x 0;1. Biết
7
(5)
6
f , tính tích phân
1
0
I f x dx ( )
A. 1 ln2 . B. 1 ln2 . C. 1 2ln2 . D. 1 2ln2 .
Phân tích định hướng lời giải :
13
Giả thiết f x x f x ( ) 1 . ( ) 1 có dạng tổng quát
u x f x u x f x . ( ) . ( ) 1
ta liên tưởng đến công thức tính đạo hàm tích hai hàm số u x f x . . Do vậy nếu
ta tìm được hàm số u x thì bài toán được giải quyết. Khi đó ta có lời giải như sau
Lời giải
Ta có
f x x f x x f x x f x x f x ( ) 1 . ( ) 1 1 ( ) 1 . ( ) 1 1 ( ) 1
x f x dx x f x x c 1 ( ) 1 ( ) , vì
7 7 (5) 6. 5 2
6 6
f c c
2
1 ( ) 2 ( )
1
x
x f x x f x
x
.
Khi đó
1 1 1 1
0 0 0 0
2 1 ( ) . 1 . ln 1 1 ln2
1 1
x
I f x dx dx dx x x
x x
Chọn A
Nhận xét: Nếu u x( )là biểu thức cho trước thì ta có
u x f x u x f x u x f x ( ). ( ) ( ). ( ) ( ). ( )
Đặt v x u x ( ) ( ) ta được u x f x v x f x u x f x ( ). ( ) ( ). ( ) ( ). ( ) (*). Như vậy nếu
biểu thức có dạng v x f x u x f x ( ). ( ) ( ). ( ) ta có thể biến đổi đưa về dạng
u x f x ( ). ( ) . Khi đó ta có bài toán tổng quát cho ví dụ 8 như sau:
Xem bản đầy đủ trên google drive: TẠI ĐÂY
Các thầy cô cần file liên hệ với chúng tôi tại fanpage facebook O2 Education
Hoặc xem nhiều SKKN hơn tại:
Tổng hợp SKKN luận văn luận án O2 Education
Tổng hợp SKKN môn hóa học cấp THPT
Leave a Reply