Tag: hàm số

Toán 12 Chuyên đề Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số Cánh Diều KNTT CTST

Chuyên đề Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số dùng chung cho 3 bộ sách Cánh Diều, KNTT, CTST được biên soạn bởi thầy giáo Huỳnh Văn Ánh, bao gồm lý thuyết, hệ thống bài tập trắc nghiệm và hệ thống bài tập tự luận.

Xem thêm Tổng hợp tài liệu ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán 2025

Chuyên đề tính đơn điệu và cực trị của hàm số từ cơ bản đến nâng cao

I. LÝ THUYẾT.

II. HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN.
+ Dạng 1. Xét tính đơn điệu của hàm số cho bởi biểu thức.
+ Dạng 2. Xét tính đơn điệu của hàm hợp cho bởi bảng biến thiên hoặc đồ thị của hàm số y = f(x) hoặc y = f'(x).
+ Dạng 3. Tìm điều kiện của tham số để hàm số đồng biến, nghịch biến trên một miền cho trước.
+ Dạng 4. Tìm cực trị của hàm số cho bởi biểu thức.
+ Dạng 5. Riêng về cực trị hàm bậc 3.
+ Dạng 6. Riêng về cực trị hàm trùng phương.
+ Dạng 7. Cực trị của hàm y = |f(x)|; y = f(|x|).

III. HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM.
+ Bài tập trắc nghiệm trích từ đề tham khảo và đề chính thức của Bộ Giáo dục và Đào tạo từ năm 2017 đến nay.
TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ:
+ Dạng 1. Tìm khoảng đơn điệu của hàm số thông qua bảng biến thiên, đồ thị.
+ Dạng 2. Tìm khoảng đơn điệu của hàm số cho trước.
+ Dạng 3. Tìm khoảng đơn điệu của hàm số cho trước bởi y’ = f'(x).
+ Dạng 4. Tìm m để hàm số đơn điệu trên các khoảng xác định của nó.
+ Dạng 5. Tìm m để hàm số nhất biến đơn điệu trên khoảng cho trước.
+ Dạng 6. Tìm m để hàm số bậc 3 đơn điệu trên khoảng cho trước.
+ Dạng 7. Tìm m để hàm số khác đơn điệu trên khoảng cho trước.
CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ:
+ Dạng 1. Tìm cực trị của hàm số dựa vào bảng biến thiên, đồ thị của hàm số f(x); f'(x).
+ Dạng 2. Tìm cực trị của hàm số khi biết biểu thức f(x); f'(x).
+ Dạng 3. Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x = x0.
+ Dạng 4. Tìm m để hàm số có n cực trị.
+ Dạng 5. Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị.
+ Dạng 6. Tìm m để hàm số bậc 3 có cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước.
+ Dạng 7. Tìm m để hàm số trùng phương có cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước.
+ Dạng 8. Tìm m để hàm số bậc 2 trên bậc 1 có cực trị thỏa mãn yêu cầu bài toán.

IV. HỆ THỐNG BÀI TẬP CÂU HỎI 4 MỆNH ĐỀ TRẢ LỜI ĐÚNG/SAI.

V. HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẢ LỜI NGẮN.
+ Dạng 1. Tính đơn điệu của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối.
+ Dạng 2. Bài toán hàm ẩn, hàm hợp liên quan đến tham số và một số bài toán khác.
+ Dạng 3. Bài toán cực trị hàm số chứa dấu trị tuyệt đối.
+ Dạng 4. Số điểm cực trị của hàm hợp.
+ Dạng 5. Tìm m để hàm số f(u(x)) thỏa mãn điều kiện cho trước.
+ Dạng 6. Tìm cực trị của hàm số hợp f[u(x)] hoặc f[u(x)] + g(x) khi biết đồ thị hàm số f(x) hoặc f'(x).
+ Dạng 7. Cho đồ thị hàm số f(u(x)); f'(u(x)) hoặc bảng xét dấu của hàm f (u(x)); f'(u(x)). Xét cực trị của hàm f(v(x)).

VI. HỆ THỐNG BÀI KIỂM TRA CUỐI BÀI.

chuyen-de-tinh-don-dieu-va-cuc-tri-cua-ham-so-tu-co-ban-den-nang-cao Download

Chuyên đề giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số từ cơ bản đến nâng cao

I. LÝ THUYẾT.

II. HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN.
+ Dạng 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn bằng hàm số cụ thể, bảng biến thiên, đồ thị hàm số cho trên đoạn và khoảng.
+ Dạng 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất bằng phương pháp đổi biến.
+ Dạng 3. Một số bài toán có chứa tham số.
+ Dạng 4. Phương pháp đặt ẩn phụ để giải quyết bài toán tìm điều kiện của tham số m sao cho phương trình f(x;m) = 0 có nghiệm (có ứng dụng GTLN – GTNN).
+ Dạng 5. Phương pháp đặt ẩn phụ để giải quyết bài toán tìm điều kiện của tham số để bất phương trình có nghiệm hoặc nghiệm đúng với mọi x thuộc k (có ứng dụng GTLN – GTNN).
+ Dạng 6. Bài toán thực tế.

III. HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM.
+ Bài tập trắc nghiệm trích từ đề tham khảo và đề chính thức của Bộ Giáo dục và Đào tạo từ năm 2017 đến nay.
+ Dạng 1. Xác định giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số thông qua đồ thị, bảng biến thiên.
+ Dạng 2. Xác định giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn.
+ Dạng 3. Xác định giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng (a;b).
+ Dạng 4. Định m để GTLN – GTNN của hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước.

IV. HỆ THỐNG BÀI TẬP CÂU HỎI 4 MỆNH ĐỀ TRẢ LỜI ĐÚNG/SAI.

V. HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẢ LỜI NGẮN.
+ Dạng 1. Định m để GTLN – GTNN của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối thỏa mãn điều kiện cho trước.
+ Dạng 2. Giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ nhất hàm ẩn, hàm hợp.
+ Dạng 3. Ứng dụng GTLN – GTNN giải bài toán thực tế.

chuyen-de-gia-tri-lon-nhat-va-gia-tri-nho-nhat-cua-ham-so-tu-co-ban-den-nang-cao Download

Chuyên đề đường tiệm cận của đồ thị hàm số từ cơ bản đến nâng cao

I. LÝ THUYẾT.

II. HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN.
+ Dạng 1. Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số cho bởi công thức.
+ Dạng 2. Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số biết bảng biến thiên của hàm số, đồ thị của hàm số đó hoặc hàm số liên quan.
+ Dạng 3. Tiệm cận của đồ thị hàm số hàm hợp.
+ Dạng 4. Một số bài toán về tiệm cận chứa tham số.

III. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM.
+ Bài tập trắc nghiệm trích từ đề tham khảo và đề chính thức của Bộ Giáo dục và Đào tạo từ năm 2017 đến nay.
+ Dạng 1. Xác định đường tiệm cận thông qua bảng biến thiên, đồ thị.
+ Dạng 2. Xác định đường tiệm cận đồ thị hàm số thông qua hàm số cho trước.

IV. HỆ THỐNG BÀI TẬP CÂU HỎI 4 MỆNH ĐỀ TRẢ LỜI ĐÚNG/SAI.

V. HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẢ LỜI NGẮN.

chuyen-de-duong-tiem-can-cua-do-thi-ham-so-tu-co-ban-den-nang-cao Download

Chuyên đề khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số từ cơ bản đến nâng cao

I. LÝ THUYẾT.

II. HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN.

III. HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM.
+ Bài tập trắc nghiệm trích từ đề tham khảo và đề chính thức của Bộ Giáo dục và Đào tạo từ năm 2017 đến nay.
+ Dạng 1. Nhận dạng hàm số thường gặp thông qua đồ thị.
+ Dạng 2. Xét dấu của các hệ số hàm số thông qua đồ thị.
+ Dạng 3. Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối.
+ Dạng 4. Bài toán tương giao đồ thị thông qua đồ thị, bảng biến thiên.
+ Dạng 5. Bài toán tương giao đồ thị thông qua hàm số cho trước.
+ Dạng 6. Bài toán tương giao đường thẳng với đồ thị hàm số bậc 3.
+ Dạng 7. Bài toán tương giao của đường thẳng với đồ thị hàm số nhất biến.
+ Dạng 8. Bài toán tương giao của đường thẳng với hàm số trùng phương.

IV. HỆ THỐNG BÀI TẬP CÂU HỎI 4 MỆNH ĐỀ TRẢ LỜI ĐÚNG/SAI.

V. HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẢ LỜI NGẮN.
+ Dạng 1. Biện luận theo tham số để phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện K (hàm số khác).
+ Dạng 2. Tương giao hàm hợp, hàm ẩn.
+ Dạng 3. Biện luận tương giao hàm hợp, hàm ẩn chứa tham số.

chuyen-de-khao-sat-su-bien-thien-va-ve-do-thi-ham-so-tu-co-ban-den-nang-cao Download

28/07/2024
Toán 12: Bài giảng ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số KNTT

Tài liệu gồm 775 trang, được biên soạn bởi thầy giáo Trần Đình Cư, bao gồm kiến thức cần nắm, giải bài tập sách giáo khoa, phương pháp giải các dạng toán và bài tập chuyên đề ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số môn Toán 12 bộ sách Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống (KNTTVCS).

BÀI 1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ.
+ Dạng 1. Xét tính đơn điệu của hàm số cho bởi công thức.
+ Dạng 2. Xét tính đơn điệu dựa vào bảng biến thiên, đồ thị.
+ Dạng 3. Tìm tham số m để hàm số đơn điệu.
+ Dạng 4. Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức, giải phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình.
+ Dạng 5. Tìm cực trị hàm số cho bởi công thức.
+ Dạng 6. Tìm cực trị dựa vào bảng biến thiên, đồ thị.
+ Dạng 7. Tìm m để hàm số đạt cực trị tại một điểm x0 cho trước.
+ Dạng 8. Toán thực tế.

BÀI 2. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ.
+ Dạng 1. Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của hàm số khi biết đồ thị hoặc bảng biến thiên.
+ Dạng 2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn.
+ Dạng 3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng.
+ Dạng 4. Bài toán tối ưu, có yếu tố thực tế.
+ Dạng 5. Giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm nhiều biến.

BÀI 3. ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ.
+ Dạng 1. Tiệm cận của đồ thị hàm số phân thức hữu tỉ.
+ Dạng 2. Tiệm cận hàm vô tỉ.
+ Dạng 3. Một số bài toán tiệm cận có chứa tham số m.
+ Dạng 4. Dựa vào đồ thị và bảng biến thiên xác định các đường tiệm cận.

BÀI 4. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ.
+ Dạng 1. Hàm số bậc ba và một số bài toán liên quan.
+ Dạng 2. Hàm số nhất biến và các bài toán liên quan.
+ Dạng 3. Hàm số hữu tỉ bậc hai trên bậc nhất và một số bài toán liên quan.
+ Dạng 4. Toán thực tế.

Download Bài giảng ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số KNTT

bai-giang-ung-dung-dao-ham-de-khao-sat-va-ve-do-thi-ham-so-toan-12-knttvcs Download

23/07/2024
Toán 12: Bài giảng ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số CTST

Tài liệu gồm 776 trang, được biên soạn bởi thầy giáo Trần Đình Cư, bao gồm kiến thức cần nắm, giải bài tập sách giáo khoa, phương pháp giải các dạng toán và bài tập chuyên đề ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số môn Toán 12 bộ sách Chân Trời Sáng Tạo (CTST).

BÀI 1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ.
+ Dạng 1. Xét tính đơn điệu của hàm số cho bởi công thức.
+ Dạng 2. Xét tính đơn điệu dựa vào bảng biến thiên, đồ thị.
+ Dạng 3. Tìm tham số m để hàm số đơn điệu.
+ Dạng 4. Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức, giải phương trình, bất phương trình, hệ bất phương trình.
+ Dạng 5. Tìm cực trị hàm số cho bởi công thức.
+ Dạng 6. Tìm cực trị dựa vào bảng biến thiên, đồ thị.
+ Dạng 7. Tìm m để hàm số đạt cực trị tại một điểm x0 cho trước.
+ Dạng 8. Toán thực tế.

BÀI 2. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ.
+ Dạng 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số khi biết đồ thị hoặc bảng biến thiên.
+ Dạng 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn.
+ Dạng 3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng.
+ Dạng 4. Bài toán tối ưu có yếu tố thực tế.
+ Dạng 5. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm nhiều biến.

BÀI 3. ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ.
+ Dạng 1. Tiệm cận của đồ thị hàm số phân thức hữu tỉ.
+ Dạng 2. Tiệm cận hàm vô tỉ.
+ Dạng 3. Một số bài toán tiệm cận có chứa tham số m.
+ Dạng 4. Dựa vào đồ thị và bảng biến thiên xác định các đường tiệm cận.

BÀI 4. KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ MỘT SỐ HÀM SỐ CƠ BẢN.
+ Dạng 1. Hàm số bậc ba và một số bài toán liên quan.
+ Dạng 2. Hàm số nhất biến và các bài toán liên quan.
+ Dạng 3. Hàm số hữu tỉ bậc hai trên bậc nhất và một số bài toán liên quan.
+ Dạng 4. Toán thực tế.

Download Bài giảng ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số CTST

bai-giang-ung-dung-dao-ham-de-khao-sat-ham-so-toan-12-ctst Download

23/07/2024
Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc ba
Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc ba

1. Cách viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc ba

Cho hàm số bậc ba $y=f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ với $a\ne 0$ có đồ thị gọi là đường cong $(C)$ và $$y’=f'(x)=3ax^2+2bx+c$$

Nhận thấy $y’$ là một tam thức bậc hai có $$\Delta’_{y’}=b^2-3ac.$$ Do đó. có hai khả năng sau:
- Nếu $\Delta’ >0 $ thì hàm số có hai điểm cực trị. Khi đó, đồ thị hàm số cũng có hai điểm cực trị và phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm này là \[y=kx+m,\] trong đó $kx+m$ là phần dư khi chia đa thức $ax^3+bx^2+cx+d$ cho $3ax^2+2bx+c$ (tức là phần dư khi chia $y$ cho $y’$).
Thật vậy, giả sử phương trình \(f'(x)=0\) có hai nghiệm phân biệt \(x_1, x_2\) thì ta có $f'(x_1) = f'(x_2)=0$ và toạ độ hai điểm cực trị của đồ thị hàm số có dạng \(A(x_1; f(x_1))\), \(B(x_2; f(x_2))\).

Thực hiện phép chia \(f(x)\) cho \(f'(x)\) và giả sử ta được thương \(q(x)\) và dư là \(r(x)\) ($r(x)$ có dạng $kx+m$) tức là \[f(x)=q(x)\cdot f'(x)+r(x).\]

Suy ra, $$f(x_1)=q(x_1)\cdot f'(x_1)+r(x_1)=r(x_1),$$ vì $f'(x_1)=0$. Hay toạ điểm $A$ là $(x_1,r(x_1))$. Tương tự tính được toạ độ điểm $B$ là $(x_2,r(x_2))$.

Như vậy toạ độ hai điểm \(A, B\) đều thỏa mãn phương trình \(y=r(x)=kx+m\) hay đường thẳng \(y=kx+m\) chính là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc ba đã cho.

2. Ví dụ minh hoạ

Đề bài. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y=f(x)=x^3-2x^2-x+1\).

Hướng dẫn. Ta có \(f'(x)=3x^2-4x-1\). Thực hiện phép chia đa thức \(f(x)\) cho \(f'(x)\) ta được thương là \(\frac{1}{3}x-\frac{2}{9}\) và dư là \(-\frac{14}{9}x-\frac{7}{9}\).

Suy ra phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là \(y=-\frac{14}{9}x-\frac{7}{9}\).

Chú ý. Nếu phương trình $y’=0$ có hai nghiệm đẹp thì ta dễ dàng tìm được toạ độ hai điểm cực trị của đồ thị hàm số và do đó việc viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm này khá dễ dàng.

Xem thêm: Tìm m để hàm số đồng biến trên các khoảng
31/08/2021
Đề thi giữa kì 1 toán 10 năm 2020 – THPT Nguyễn Công Trứ TP HCM
ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ I NĂM 2020 – THPT NGUYỄN CÔNG TRỨ HCM
O2 Education xin giới thiệu các đề thi giữa kì 1 Toán 10 để Quý thầy cô và các em học sinh tham khảo.

Đề thi giữa học kỳ I Toán 10 Xuân Trường B năm 2017

Câu 1. (2,0 điểm)

Cho mệnh đề: “$\forall n\in \mathbb{N}, n^2 >2$”. Hãy xét tính đúng sai (có giải thích) và lập mệnh đề phủ định của mệnh đề đã cho.

Cho mệnh đề: “Nếu $ABCD$ là hình bình hành thì $ \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$”. Phát biểu mệnh đề đảo của mệnh đề trên và xét tính đúng – sai của mệnh đề đảo này.

Câu 2. (1,0 điểm) Cho $ A=\left(-\infty;1\right), B=[-3;5)$. Tìm các tập hợp $ A\cup B, A\cap B, B\setminus A$ và $ \mathrm{C}_R A$.
Câu 3. (2,0 điểm)

Tìm tập xác định của hàm số $$ y=\frac{x^3+3}{\sqrt{x+2}}-\sqrt{1-x}+\frac{x^2+2}{x}. $$

Xét tính chẵn lẻ của hàm số $$ f(x)=\frac{|4x+1|-|4x-1|}{x^2-4}. $$

Câu 4. (1,25 điểm) Xét tính đồng biến nghịch biến của hàm số $ f(x)=\dfrac{4}{x-2}$ trên khoảng $ (-\infty;2).$
Câu 5. (1,25 điểm) Cho hàm số $ y=ax^2+bx+c$ có đồ thị là một parabol $ (\mathcal{P})$. Tìm hệ số $ a,b,c$ biết $ (\mathcal{P})$ có đỉnh là $ I(1;-4)$ và đi qua điểm $ A(2;-3)$.

Câu 6.(2,5 điểm) Cho tam giác $ABC$ vuông cân tại định $ A$, có $ AB=4$. Gọi $ I$ là điểm thỏa mãn $ \overrightarrow{AI}=\frac{3}{4} \overrightarrow{AB}$ và $ E$ là trung điểm $ AC$.
Tính $ \overrightarrow{IE}$ theo hai véc-tơ $ \overrightarrow{AB}$ và $ \overrightarrow{AC}$.

Điểm $ M$ thỏa mãn $3\overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{BA}$. Chứng minh $ MA$ song song với $ BC$.

Tính $ \left|\overrightarrow{EA}+3\overrightarrow{EB}\right|.$
30/10/2020
Đề thi giữa học kỳ I Toán 10 Xuân Trường B năm 2017
Đề thi giữa học kỳ I Toán 10 Xuân Trường B năm 2017

O2 Education xin giới thiệu đề thi 8 tuần kỳ 1 (đề thi giữa học kỳ I Toán 10), năm học 2017 – 2018 của trường Xuân Trường B – Nam Định.

Xem thêm các dạng toán ôn tập thi giữa học kì 1 lớp 10:
Đề thi giữa học kỳ I Toán 10: TRẮC NGHIỆM (5,0 điểm)

Câu 1: Cho tam giác $ ABC$ , gọi $ M$ là trung điểm của $ BC$ và $ G$ là trọng tâm của tam giác $ ABC$. Đẳng thức vectơ nào sau đây là đúng?
A. $ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AG}$.
B. $ 2\overrightarrow{AM}=3\overrightarrow{AG}$.
C. $ \overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{AG}$.
D. $ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{GM}$.

Câu 2: Cho mệnh đề “$ \forall x\in \mathbb{R},\,\,{{x}^{2}}+2>0$ ”. Mệnh đề phủ định của mệnh đề đã cho là
A. $ \forall x\in \mathbb{R},\,\,{{x}^{2}}+2\le 0.$
B. $ \exists x\in \mathbb{R},\,\,{{x}^{2}}+2<0.$
C. $ \exists x\in \mathbb{R},\,\,{{x}^{2}}+2\le 0.$
D. $ \forall x\in \mathbb{R},\,\,{{x}^{2}}+2<0.$

Câu 3: Xác định hàm số bậc nhất $ y=f\left( x \right)$ thoả mãn $ f\left( -1 \right)=2$ và $ f\left( 2 \right)=-3$.
A. $ y=\frac{-5x+1}{3}$.
B. $ y=\frac{-x+5}{3}$.
C. $ y\text{ }=-3×1$.
D. $ y=2x+4$.

Câu 4: Cho hai tập hợp $ A=\left\{ x\in \mathbb{R}\text{ }\left| \text{ }\left| x-1 \right|\le 2 \right. \right\}$ và $ B=\left( 0;+\infty \right)$. Tìm hợp của hai tập hợp $ A$ và $ B$.
A. $ A\cup B=\left( -1;+\infty \right).$
B. $ A\cup B=\left[ -1;+\infty \right).$
C. $ A\cup B=\left( -2;+\infty \right).$
D. $ A\cup B=\left[ -2;+\infty \right).$

Câu 5: Cho tam giác $ ABC$ đều cạnh $ a$. Tính $ \left| \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC} \right|$ theo $ a$.
A. $ \left| \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC} \right|=\frac{\sqrt{3}}{2}a$.
B. $ \left| \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC} \right|=2a$.
C. $ \left| \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC} \right|=a\sqrt{3}$.
D. $ \left| \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC} \right|=a$.

Câu 6: Trong mặt phẳng tọa độ $ Oxy$ , cho $ A\left( 5;2 \right),\text{ }B\left( 10;8 \right)$. Tọa độ của vec tơ $ \overrightarrow{AB}$ là:
A. $ \left( 5;6 \right)$.
B. $ \left( 2;4 \right)$.
C. $ \left( 15;10 \right)$.
D. $ \left( 50;6 \right)$.

Câu 7: Trong mặt phẳng tọa độ $ Oxy$ , cho $ A\left( -4;2 \right),\text{ }B\left( -2;6 \right)$. Tìm điểm $ M$ trên trục $ Oy$ sao cho ba điểm $ A,\text{ }B,\ M$ thẳng hàng.
A. $ M\left( 0;8 \right)$.
B. $ M\left( 0;-10 \right)$.
C. $ M\left( 0;-8 \right)$.
D. $ M\left( 0;10 \right)$.

Câu 8: Tìm tất cả các giá trị của tham số $ m$ để hàm số $ y=-{{x}^{2}}+2\left| m+1 \right|x-3$ nghịch biến trên$ \left( 2;+\infty \right).$
A. $ \left[ \begin{matrix} m\le -3 \\ m\ge 1 \\ \end{matrix} \right.\ .$
B. $ -3<m<1.$
C. $ -3\le m\le 1.$
D. $ \left[ \begin{matrix} m<-3 \\ m>1 \\ \end{matrix} \right.\ .$

Câu 9: Tìm tất cả các giá trị của tham số $ m$ để hàm số $ y=\left( 1-{{m}^{2}} \right)x+3m-1$ đồng biến trên $ \mathbb{R}$.
A. $ \left[ \begin{matrix} m\le -1 \\ m\ge 1 \\ \end{matrix} \right.$.
B. $ \left[ \begin{matrix} m<-1 \\ m>1 \\ \end{matrix} \right.$.
C. $ -1<m<1.$
D. $ -1\le m\le 1.$

Câu 10: Cho hai tập hợp $ A=\left\{ 2;4;6;9 \right\}$ và $ B=\left\{ 1;2;3;4 \right\}$. Tìm hiệu của hai tập hợp $ A$ và $ B$.
A. $ A\backslash B=\left\{ 1;3;6;9 \right\}.$
B. $ A\backslash B=\varnothing .$
C. $ A\backslash B=\left\{ 2;4 \right\}$.
D. $ A\backslash B=\left\{ 6;9 \right\}.$

Câu 11: Cho tứ giác $ ABCD$. Điểm $ M$ thuộc đoạn $ AB$ , $ N$ thuộc đoạn $ CD$ sao cho $ \frac{MA}{MB}=\frac{ND}{NC}=4$. Phân tích $ \overrightarrow{MN}$ theo hai vectơ $ \overrightarrow{AD}$ và $ \overrightarrow{BC}$ ta được kết quả là :
A. $ \overrightarrow{MN}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AD}+\frac{3}{4}\overrightarrow{BC}$.
B. $ \overrightarrow{MN}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AD}-\frac{3}{4}\overrightarrow{BC}$.
C. $ \overrightarrow{MN}=\frac{1}{5}\overrightarrow{AD}+\frac{4}{5}\overrightarrow{BC}$.
D. $ \overrightarrow{MN}=\frac{1}{5}\overrightarrow{AD}-\frac{4}{5}\overrightarrow{BC}$.

Câu 12: Hàm số nào dưới đây có bảng biến thiên như hình vẽ?

A. $ y=-{{x}^{2}}+4x-3.$
B. $ y=-{{x}^{2}}+2x+1.$
C. $ y={{x}^{2}}-4x+5.$
D. $ y={{x}^{2}}-2x+1.$

Câu 13: Cho các hàm số $ y=f\left( x \right)=\left| x-1 \right|-\left| x+1 \right|,\text{ }y=g\left( x \right)=-\left| x \right|$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. $ y=f\left( x \right)$ là hàm số lẻ, $ y=g\left( x \right)$ là hàm số lẻ.
B. $ y=f\left( x \right)$ là hàm số lẻ, $ y=g\left( x \right)$ là hàm số chẵn.
C. $ y=f\left( x \right)$ là hàm số chẵn, $ y=g\left( x \right)$ là hàm số chẵn.
D. $ y=f\left( x \right)$ là hàm số chẵn, $ y=g\left( x \right)$ là hàm số lẻ.

Câu 14: Hàm số $ y=2{{x}^{2}}-4x+1$ đồng biến trên khoảng nào?
A. $ \left( -\infty ;-1 \right).$
B. $ \left( -\infty ;1 \right).$
C. $ \left( -1;+\infty \right).$
D. $ \left( 1;+\infty \right).$

Câu 15: Cho hình bình hành $ ABCD$. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai ?
A. $ \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$.
B. $ \left| \overrightarrow{AD} \right|=\left| \overrightarrow{CB} \right|$.
C. $ \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{CB}$.
D. $ \left| \overrightarrow{AB} \right|=\left| \overrightarrow{CD} \right|$.

Câu 16: Cho tập $ A=\left\{ x\in \mathbb{Z}|-1\le x\le 5 \right\}$. Số phần tử của tập $ A$ là
A. $ 8$
B. $ 7$.
C. $ 5$.
D. $ 6$.

Câu 17: Cho hai tập hợp $ A=\left( -2;2 \right],\text{ }B=\left[ 1;3 \right)$. Tìm giao của hai tập hợp $ A$ và $ B$.
A. $ A\cap B=\left( 1;2 \right).$
B. $ A\cap B=\left[ 1;2 \right).$
C. $ A\cap B=\left( 1;2 \right].$
D. $ A\cap B=\left[ 1;2 \right].$

Câu 18: Cho hàm số $ y={{x}^{3}}-3x+2$. Điểm nào sau đây thuộc đồ thị hàm số đã cho?
A. $ \left( -2;0 \right)$.
B. $ \left( 1;1 \right)$.
C. $ \left( -2;-12 \right)$.
D. $ \left( 1;-1 \right)$.

Câu 19: Tập xác định của hàm số $ y=\frac{x}{x+1}-\sqrt{3-x}$ là:
A. $ \left( -\infty ;3 \right]\backslash \left\{ -1 \right\}$.
B. $ \left( -\infty ;3 \right)\backslash \left\{ -1 \right\}$.
C. $ \left( -\infty ;3 \right]$.
D. $ \mathbb{R}\backslash \left\{ -1 \right\}$.

Câu 20: Đường gấp khúc trong hình vẽ là dạng đồ thị của một trong bốn hàm số được liệt kê trong các phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

A. $ y=\left| x \right|-1$.
B. $ y=-\left| x+1 \right|$.
C. $ y=-\left| x-1 \right|$.
D. $ y=1-\left| x \right|$.

Câu 21: Điều kiện nào dưới đây là điều kiện cần và đủ để điểm $ O$ là trung điểm của đoạn thẳng $ AB$.
A. $ \overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OB}$.
B. $ \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\vec{0}$.
C. $ \overrightarrow{AO}=\overrightarrow{BO}$.
D. $ OA=OB$.

Câu 22: Cho ba điểm phân biệt $ A,\text{ }B,\text{ }C$. Đẳng thức nào sau đây là đúng?
A. $ \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AC}$.
B. $ \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}$.
C. $ \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CB}$.
D. $ \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{CA}$.

Câu 23: Trong mặt phẳng tọa độ $ Oxy$ , cho $ A\left( -2;2 \right)\text{, }B\left( 3;5 \right)$. Gọi $ C\left( a;b \right)$ là điểm sao cho tam giác $ ABC$ có trọng tâm là gốc tọa độ $ O$. Tính $ T=a+b$
A. $ T=-8$.
B. $ T=6$.
C. $ T=0$.
D. $ T=-4$.

Câu 24: Cho hàm số $ y=a{{x}^{2}}+bx+c$ có đồ thị là parabol trong hình vẽ. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $ a>0;\text{ }b>0;\text{ }c>0.$
B. $ a>0;\text{ }b<0;\text{ }c>0.$
C. $ a>0;\text{ }b<0;\text{ }c<0.$
D. $ a>0;\text{ }b>0;\text{ }c<0.$

Câu 25: Cho điểm $ C$ thuộc đoạn $ AB$ sao cho $ C$ khác $ A$ và $ B$. Khẳng định nào sau đây là đúng ?
A. $ \overrightarrow{AC}$ và $ \overrightarrow{BC}$ ngược hướng.
B. $ \overrightarrow{AC}$ và $ \overrightarrow{BC}$ cùng hướng.
C. $ \overrightarrow{AB}$ và $ \overrightarrow{BC}$ cùng hướng.
D. $ \overrightarrow{AB}$ và $ \overrightarrow{CB}$ ngược hướng.

Đề thi giữa học kỳ I Toán 10: TỰ LUẬN (5,0 điểm)

Câu 1 (1,5 điểm). Cho hàm số $y=\left\{ \begin{matrix} x-2\text{ khi }x\ge 1 \\ -x\text{ khi }x<1 \\ \end{matrix} \right.$.

     a) Tìm tập xác định của hàm số.

     b) Vẽ đồ thị và lập bảng biến thiên của hàm số đã cho.

Câu 2 (1,5 điểm). Xác định parabol $\left( P \right): y=a{{x}^{2}}+bx-1$ biết rằng parabol đi qua $M\left( -1;-7 \right)$ và có trục đối xứng là đường thẳng $x=1$.

Câu 3 (1,5 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho ba điểm $A\left( 1;2 \right),\text{ }B\left( -3;-2 \right),\text{ }C\left( -4;1 \right)$.

     a) Chứng minh rằng: Hai vec tơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ không cùng phương.

     b) Tìm tọa độ điểm $D$ sao cho tứ giác $ABCD$ là hình bình hành.

Câu 4 (0,5 điểm). Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB=a,\text{ }AC=b$ $\left( a,\text{ }b>0 \right)$. Xét các điểm $E,\text{ }F,\text{ }M,\text{ }N$ thay đổi sao cho tứ giác $AEBF$ và tứ giác $AMCN$ là các hình bình hành. Tìm giá trị nhỏ nhất của $T=EM+FN$.

————-HẾT————-
29/10/2020
Toán 10 – Khái niệm hàm số. Hàm số là gì?
Toán 10 – Khái niệm hàm số lớp 10. Hàm số là gì?

1. Hàm số là gì?

Hàm số chính là các quy tắc áp dụng trên các số. Nếu một đại lượng $y$ phụ thuộc vào một đại lượng thay đổi $x$ mà với một giá trị của $x$ ta luôn xác định được một và chỉ một giá trị tương ứng của $y$ thì $y$ được gọi là hàm số của $x$, và $x$ gọi là biến số. Nói chung hàm số xuất hiện khi có một đại lượng số nào đó phụ thuộc vào một đại lượng số khác. Các em đã được làm quen với hàm số từ lớp 7, lớp 9.

1.1. Khái niệm hàm số

Định nghĩa hàm số: Cho $ \mathbb{D} $ là tập con khác rỗng của $ \mathbb{R}. $ Hàm số $ f $ xác định trên $ \mathbb{D} $ là một quy tắc cho tương ứng mỗi số $ x\in \mathbb{D} $ với một và chỉ một số thực $ y $ gọi là giá trị của hàm số $ f $ tại $ x, $ kí hiệu $ y=f(x). $

Tập $ \mathbb{D} $ gọi là tập xác định (miền xác định, domain), $ x $ là đối số (biến số) của hàm số $ f, $ ta viết
\begin{align*}
f: \mathbb{D}& \longrightarrow \mathbb{R}\\
x\, &\longmapsto y=f(x)
\end{align*}

$ T=\left\{y=f(x)|x\in \mathbb{D} \right\} $ được gọi là tập giá trị hoặc miền giá trị của hàm số.

1.2. Cách cho một hàm số

Một hàm số có thể được cho bằng bốn cách: Mô tả bằng lời, cho bằng bảng giá trị, cho bằng đồ thị, hoặc cho bằng công thức tường minh.

Khi một hàm số được cho bởi công thức $ y=f(x) $ thì tập xác định của nó là tập hợp tất cả các số thực $ x $ sao cho biểu thức $ f(x) $ có nghĩa, tức là tập tất cả các giá trị của biến số $x$ mà có thể tính được giá trị $y$ tương ứng của hàm số (tính được giá trị $ f(x) $).

1.3. Đồ thị của hàm số

Đồ thị của hàm số bậc hai

Một trong những cách thường dùng nhất để minh họa một hàm số là sử dụng đồ thị. Nếu $ f $ là một hàm số có tập xác định $ \mathbb{D} $ thì đồ thị của nó là tập hợp $ (G) $ các điểm có tọa độ $\left( x;f(x) \right)$ với $x \in \mathbb{D}$.

Từ đó, điểm $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\in (G) $khi và chỉ khi ${{x}_{0}}\in \mathbb{D}$ và ${{y}_{0}}=f({{x}_{0}})$. Mỗi hàm số có một đồ thị duy nhất và ngược lại đồng thời qua đồ thị của một hàm số, ta có thể nhận biết được hầu hết các tính chất của hàm số đó.

1.4. Hàm số đồng biến, nghịch biến

Cho hàm số $ y = f(x) $ xác định trên khoảng $ (a,b)\subset \mathbb{R}. $
- Hàm số $ f $ gọi là đồng biến (tăng) trên khoảng $ (a,b) $ nếu với mọi $ x_1,x_2\in (a,b) $ mà $ x_1<x_2 $ thì $ f(x_1)<f(x_2). $
- Hàm số $ f $ gọi là nghịch biến (giảm) trên khoảng $ (a,b) $ nếu với mọi $ x_1,x_2\in (a,b) $ mà $ x_1<x_2 $ thì $ f(x_1)>f(x_2). $
- Hàm số $ f $ gọi là không đổi (hàm số hằng) trên khoảng $ (a,b) $ nếu $f(x)=const$ với mọi $ x\in (a,b) $.
Thông thường, để xét sự biến thiên của hàm số trên khoảng $ (a,b) $ ta xét tỉ số $ \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} $ với $ x_1\ne x_2\in (a,b). $

1.5. Tính chẵn lẻ của hàm số

Cho hàm số $ y=f(x) $ xác định trên miền $ \mathbb{D}. $
- Hàm số $ f(x) $ được gọi là hàm số chẵn nếu với mọi $ x\in \mathbb{D} $ thì $ -x\in \mathbb{D} $ và $ f(-x)=f(x) $
- Hàm số $ f(x) $ được gọi là hàm số lẻ nếu với mọi $ x\in \mathbb{D} $ thì $ -x\in \mathbb{D} $ và $ f(-x)=f(x) $
Chú ý, đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng; đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.

2. Các dạng toán hàm số lớp 10

2.1. Tìm tập xác định của hàm số

Xem chi tiết dạng toán tìm TXĐ tại đây Toán 10 – Tìm tập xác định của hàm số

2.2. Xét tính chẵn lẻ của hàm số lớp 10

Xem bài chi tiết tại đây Xét tính chẵn lẻ của hàm số lớp 10

2.3. Xét tính đồng biến nghịch biến của hàm số

Các em học sinh xem tại đây Toán 10 – Xét sự biến thiên của hàm số

2.4. Tìm tập giá trị của hàm số

2.5. Vẽ đồ thị hàm số
18/10/2020
Toán 10 – Xét sự biến thiên của hàm số
Xét sự biến thiên của hàm số lớp 10

Với hàm số cho bởi công thức $y=f(x)$, chúng ta có hai đại lượng thay đổi là $x$ và $y$. Nếu chúng thay đổi “cùng chiều” (cùng tăng hoặc cùng giảm) ta có hàm số đồng biến, nếu chúng thay đổi “ngược chiều” ta có hàm số nghịch biến. Do sự thay đổi của $y$ phụ thuộc vào $x$ nên ta có thể chọn $x$ thay đổi từ nhỏ đến lớn để xét sự thay đổi của $y$.

Xem thêm:
- Tìm tập xác định của hàm số
- Xét tính chẵn lẻ của hàm số lớp 10
1. Xét sự biến thiên của hàm số

1.1. Khái niệm hàm số đồng biến, nghịch biến

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên $\mathbb{K}$ (là một khoảng, nửa khoảng hay đoạn).
- Hàm số đó được gọi là đồng biến (hay tăng) trên K nếu: $\forall {{x}_{1}},{{x}_{2}}\in \mathbb{K},{{x}_{1}}<{{x}_{2}}$ thì có $f({{x}_{1}})<f({{x}_{2}})$.
- Hàm số đó được gọi là nghịch biến (hay giảm) trên K nếu: $\forall {{x}_{1}},{{x}_{2}}\in \mathbb{K},{{x}_{1}}<{{x}_{2}}$ thì có $f({{x}_{1}})>f({{x}_{2}})$.
Khảo sát sự biến thiên của hàm số là xét xem hàm số đồng biến, nghịch biến hoặc có thể không đổi trên các khoảng (nửa khoảng hay đoạn) nào đó trong tập xác định của nó.

Đồ thị của hàm số đồng biến

Xét theo hướng từ trái qua phải (tức là chiều tăng của đối số $x$) thì:
- Đồ thị hàm số đồng biến có hướng đi lên (tăng).
- Đồ thị hàm số nghịch biến có hướng đi xuống (giảm).
Từ định nghĩa, ta có các cách xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số $y=f(x)$ trên $\mathbb{K}$.

1.2. Cách xét sự đồng biến nghịch biến của hàm số

Cách 1. Xét sự đồng biến nghịch biến của hàm số bằng định nghĩa. Sử dụng giả thiết ${{x}_{1}},{{x}_{2}}\in \mathbb{K}$ bất kỳ ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}$, đánh giá trực tiếp và so sánh $f(x_1)$ với $f(x_2)$.

Ví dụ 1. Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số $y=\sqrt{1-2x}$ trên $\left( -\infty ,\frac{1}{2} \right]$.

Ta có, $\forall {{x}_{1}},{{x}_{2}}\in \left( -\infty ,\left. \frac{1}{2} \right] \right.,{{x}_{1}}<{{x}_{2}}$ thì $$1-2{{x}_{1}}>1-2{{x}_{2}}\geqslant 0 \Rightarrow \sqrt{1-2{{x}_{1}}}>\sqrt{1-2{{x}_{2}}}$$ hay hàm số nghịch biến trên $\left( -\infty ,\frac{1}{2} \right]$.

Cách 2. Xét sự đồng biến nghịch biến của hàm số bằng xét dấu tỷ số biến thiên $$T=\frac{f({{x}_{2}})-f({{x}_{1}})}{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}$$ với ${{x}_{1}},{{x}_{2}}\in \mathbb{K}$ bất kỳ và ${{x}_{1}}\ne {{x}_{2}}$.
- Nếu $T > 0$ thì hàm số đồng biến trên $\mathbb{K}$;
- Nếu $T < 0$ thì hàm số nghịch biến trên $\mathbb{K}$.
Ví dụ 1. Khảo sát sự biến thiên của các hàm số $y = f(x) = x + 3$.

Hướng dẫn.
- Tập xác định $ \mathcal{D}=\mathbb{R}.$
- Với mọi $x_1, x_2 \in \mathbb{R}$ và $ x_1 \ne x_2$ ta có: \begin{align} T&= \frac{{f({x_1}) – f({x_2})}}{{{x_1} – {x_2}}}\\ &= \frac{{({x_1} + 3) – ({x_2} + 3)}}{{{x_1} – {x_2}}} = 1 > 0, \forall x\in \mathbb{R} \end{align}
- Vậy, hàm số đồng biến trên $ \mathbb{R}$.
Ví dụ 2. Khảo sát sự biến thiên của các hàm số $ y = f(x) = x^3 + 2x + 8.$

Hướng dẫn.
- Tập xác định $ \mathcal{D}=\mathbb{R}.$
- Với mọi $x_1, x_2 \in \mathbb{R}$ và $ x_1 \ne x_2$ ta có: \begin{align}
  T &= \frac{{f({x_1}) – f({x_2})}}{{{x_1} – {x_2}}}\\
  &= \frac{{(x_1^3 + 2{x_1} + 8) – (x_2^3 + 2{x_2} + 8)}}{{{x_1} – {x_2}}}\\
  &= \frac{{(x_1^3 – x_2^3) + (2{x_1} – 2{x_2})}}{{{x_1} – {x_2}}}\\
  &= x_1^2 + x_2^2 + x_1x_2 + 2\\
  &= \frac{1}{2}(x_1 + x_2)^2 + \frac{1}{2}(x_1^2 + x_2^2) + 2 > 0, \forall x\in \mathbb{R}.
  \end{align}
- Vậy, hàm số đồng biến trên $ \mathbb{R}$.
Ví dụ 3. Xét sự biến thiên của hàm số $y=\dfrac{3x+1}{x-2}$ trên các khoảng $\left( -\infty ;\,2 \right)$ và $\left( 2;+\infty \right)$.

Xét tỉ số biến thiên \begin{align} T&=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}\\ &=\frac{\frac{3{{x}_{1}}+1}{{{x}_{1}}-2}-\frac{3{{x}_{2}}+1}{{{x}_{2}}-2}}{{{x}_{1}}-{{x}_{2}}}\\ &=\frac{\left( 3+\frac{7}{{{x}_{1}}-2} \right)-\left( 3+\frac{7}{{{x}_{2}}-2} \right)}{{{x}_{1}}-{{x}_{2}}}\\& =-\frac{7}{\left( {{x}_{1}}-2 \right)\left( {{x}_{2}}-2 \right)}
\end{align}

Suy ra với ${{x}_{1}},{{x}_{2}}\in \left( -\infty ;\,2 \right)$ hoặc ${{x}_{1}},{{x}_{2}}\in \left( 2;+\infty \right)$ thì $T < 0$ nên hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left( -\infty ;\,2 \right)$,$\left( 2;+\infty \right)$.

Cũng có thể xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số một cách gián tiếp thông qua tính đồng biến nghịch biến của các hàm số quen thuộc hoặc đã được xét trước đó.

Chẳng hạn ta dễ dàng có các tính chất sau: tổng của hai hàm số đồng biến (nghịch biến) trên $\mathbb{K}$ là một hàm số đồng biến (nghịch biến) trên đó; tích của hai hàm số đồng biến và nhận giá trị dương trên $\mathbb{K}$ là một hàm số đồng biến trên đó…

Ví dụ 4. Khảo sát sự biến thiên của hàm số $y = f(x) = \sqrt {{x^2} + 2}$.

Hướng dẫn.
- Tập xác định $ \mathcal{D}=\mathbb{R}$.
- Với $ x_1, x_2 \in \mathcal{D} $ và $ x_1 \ne x_2$ ta có: \begin{align}
  T&=\frac{{f({x_1}) – f({x_2})}}{{{x_1} – {x_2}}}\\
  &=\frac{{\sqrt {x_1^2 + 2} – \sqrt {x_2^2 + 2} }}{{{x_1} – {x_2}}}\\
  &=\frac{{(x_1^2 + 2) – (x_2^2 + 2)}}{{({x_1} – {x_2})(\sqrt {x_1^2 + 2} + \sqrt {x_2^2 + 2} )}}\\
  &=\frac{{{x_1} + {x_2}}}{{\sqrt {x_1^2 + 2} + \sqrt {x_2^2 + 2} }}.
  \end{align}
- Khi đó:
  - Nếu $x_1, x_2 >$ 0 thì $ T > 0$ và do đó hàm số đồng biến trên $ (0; +\infty)$.
  - Nếu $ x_1, x_2 < 0$ thì $ T < 0$ suy ra hàm số nghịch biến trên $ (-\infty; 0)$.
Ví dụ 5. Khảo sát sự biến thiên của hàm số hàm số $y={{x}^{3}}+\sqrt{2x+3}$ trên tập xác định của nó.

Hướng dẫn. Ta có hàm số đã cho có tập xác định là $\mathcal{D}=\left[ -\frac{3}{2};+\infty \right)$.

Các hàm số $y={{x}^{3}}$ và $y=\sqrt{2x+3}$ đều là các hàm số đồng biến trên $\mathcal{D}$ nên hàm số $y={{x}^{3}}+\sqrt{2x+3}$ là hàm số đồng biến trên $\mathcal{D}$.

Ví dụ 6. Khảo sát sự biến thiên của hàm số:
1. $f(x)={{x}^{3}}\sqrt{2x-3}$;
2. $g(x)={{x}^{3}}\sqrt{2x+3}$.
2. Các ví dụ khảo sát sự biến thiên của hàm số lớp 10

Bài 1. Xét sự biến thiên của hàm số sau trên khoảng $(1; +\infty)$
- $y = \frac{3}{x-1}$
- $y = x + \frac{1}{x}$
Bài 2. Xét sự biến thiên của hàm số sau trên tập xác định của nó:
- $y = \sqrt{3x-1}+\sqrt{x}$
- $y = x^3 +\sqrt{x}$
Bài 3. Xét tính đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau trên khoảng được chỉ ra
- $f(x)=-2x^2-7$ trên khoảng $(-4,0)$ và trên khoảng $(3,10)$;
- $f(x)=\frac{x}{x-7}$ trên khoảng $(-\infty,7)$ và trên khoảng $(7,+\infty)$;
- $y=-3x+2$ trên $\mathbb{R}$;
- $y=x^2+10x+9$ trên khoảng $(-5,+\infty)$;
- $y=-\frac{1}{x+1}$ trên khoảng $(-3,-2)$ và $(2,3)$.
Bài 4. Xét tính đồng biến hay nghịch biến của các hàm số trên khoảng cho trước:
- $y=\sqrt{x}$ trên $\left( 0;+\infty \right)$;
- $y=\frac{1}{x+2}$ trên $\left( -\infty ;-2 \right)$;
- $y={{x}^{2}}-3x$ trên $\left( 2;+\infty \right)$;
- $y={{x}^{3}}+2x-1$ trên $\left( -\infty ;+\infty \right)$;
- $y={{x}^{3}}-3x$ trên $\left( 1;+\infty \right)$;
- $y=\sqrt{{{x}^{2}}-1}+x$ trên $\left( 1;+\infty \right)$.
Bài 5. Xét sự biến thiên của hàm số $ y=\frac{x}{x-2} $ trên tập xác định của nó.

Bài 6. Xét sự biến thiên của hàm số $ y=\big| x+|2x-1|\big|$ trên tập xác định của nó.
15/10/2020
Xét tính chẵn lẻ của hàm số lớp 10
Xét tính chẵn lẻ của hàm số lớp 10

Xem thêm:
- Toán 10 – Tìm tập xác định của hàm số
- Đề cương ôn tập Toán 10 Giữa kì 1 năm 2020
1. Hàm số chẵn hàm số lẻ là gì?

Cho hàm số $ y=f(x) $ xác định trên miền $ \mathcal{D}. $
- Hàm số $ f(x) $ được gọi là hàm số chẵn nếu nó thỏa mãn 2 điều kiện sau:
  - Với mọi $ x\in \mathbb{D} $ thì $ -x\in \mathcal{D} $
  - $ f(-x)=f(x), \,\forall x\in \mathcal{D} $
- Hàm số $ f(x) $ được gọi là hàm số lẻ nếu nếu nó thỏa mãn 2 điều kiện sau:
  - Với mọi $ x\in \mathbb{D} $ thì $ -x\in \mathcal{D} $
  - $ f(-x)=-f(x), \,\forall x\in \mathcal{D} $
Chú ý:
- Một tập $\mathcal{D}$ thỏa mãn điều kiện $\forall x\in \mathbb{D} $ thì $ -x\in \mathcal{D} $ được gọi là một tập đối xứng.
- Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng (ví dụ hàm số $y=x^2$ là hàm số chẵn); đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng (ví dụ hàm số $y=x$ là hàm số lẻ).
- Một hàm số có thể không chẵn cũng không lẻ.
Đồ thị của một hàm số không chẵn không lẻ

2. Các ví dụ Xét tính chẵn lẻ của hàm số lớp 10

Cách xét tính chẵn lẻ của hàm số được thực hiện qua 3 bước sau:
1. Tìm tập xác định của hàm số.
2. Kiểm tra
  - Nếu $\forall x\in \mathbb{D} \Rightarrow -x\in \mathbb{D}$ thì chuyển qua bước tiếp theo.
  - Nếu $ \exists x_0\in \mathbb{D} $ mà $ -x_0\not\in \mathbb{D}$ thì kết luận hàm không chẵn cũng không lẻ.
3. Tính $f(-x)$ và so sánh với $f(x)$ để kết luận:
  - Nếu $f(-x) = f(x)$ thì kết luận hàm số là chẵn.
  - Nếu $f(-x)=-f(x)$ thì kết luận hàm số là lẻ.
  - Nếu tồn tại một giá trị $ x_0\in \mathbb{D}$ mà $f(-x_0)\ne \pm f(x_0)$ thì kết luận hàm số không chẵn cũng không lẻ.
Ví dụ 1. Xét tính chẵn lẻ của hàm số $y = f(x) = x^3 + x$.

Lời giải.
- TXĐ: $\mathcal{D}=\mathbb{R}$
- Ta có, với mọi $x\in \mathbb{D} $ thì cũng có $-x\in \mathbb{D}$ (điều kiện thứ nhất được thỏa mãn)
- Với mọi $x\in \mathbb{D} $ ta có $$f(-x) = (-x)^3 + (-x) = -( x^3 + x)= -f(x).$$ Kết luận: Hàm số $y = f(x) = x^3 + x$ là hàm số lẻ.
Ví dụ 2. Xét tính chẵn lẻ của hàm số $f(x) = x^4 + 2$.

Lời giải.
- TXĐ: $\mathcal{D}=\mathbb{R}$
- Ta có, với mọi $x\in \mathbb{D} $ thì cũng có $-x\in \mathbb{D}$ (điều kiện thứ nhất được thỏa mãn).
- Với mọi $x\in \mathbb{D} $ ta có $$f(-x) = (-x)^4+2 = x^4+2=f(x).$$ Suy ra, hàm sốđã cho là hàm số chẵn.
Ví dụ 3. Xét tính chẵn lẻ của hàm số $y=\sqrt{x+1}+2$.

Lời giải.
- Điều kiện xác định: $$x+1 \geqslant 0 \Leftrightarrow x \geqslant -1$$ Suy ra, TXĐ: $\mathcal{D}= [-1; +\infty)$$
- Tập $\mathcal{D} $ này không thỏa mãn điều kiện $\forall x\in \mathbb{D} \Rightarrow -x\in \mathbb{D}$. Thật vậy, xét số $x_0=5$ thuộc vào $\mathcal{D}$ nhưng $-x_0$ là $-5$ lại không thuộc $\mathcal{D}$.
- Kết luận: Hàm số đã cho không chẵn, không lẻ.
Ví dụ 4. Xét tính chẵn lẻ của hàm số $ y=\sqrt{x+5}+\sqrt{5-x}$.

Hướng dẫn.
- Tìm được tập xác định $\mathcal{D} = [-5;5]$.
- Với mọi $x \in [-5;5]$ ta có $-x \in [-5;5]$.
- Có $f(-x)=\sqrt{(-x)+5}+\sqrt{5-(-x)}=\sqrt{x+5}+\sqrt{5-x}=f(x)$.
- Kết luận: Hàm số đã cho là hàm số chẵn.
Ví dụ 5. Xét tính chẵn lẻ của hàm số $ y=\sqrt{x+5}+\frac{1}{\sqrt{5-x}}$.

Hướng dẫn.
- Tìm được tập xác định $\mathcal{D} = [-5;5)$.
- Với mọi $x \in [-5;5]$ thì ta không có $-x \in [-5;5]$. Thật vậy, xét một số $x_0=-5\in [-5;5)$ nhưng $-x_0=-(-5)=5$ lại không thuộc $[-5;5)$.
- Kết luận: Hàm số đã cho là hàm số không chẵn không lẻ.
3. Bài tập Xét tính chẵn lẻ của hàm số lớp 10

Bài 1. Hàm số sau là hàm số chẵn hay hàm số lẻ, vì sao”
1. $ f(x)=x+\frac{1}{x}$
2. $ f(x)=\frac{1}{|x|+1}+x^2$
3. $ f(x)=\sqrt{x-3}+5$
4. $ f(x)=x^4+x^6+|x|$
5. $ f(x)=|x-2|$
Bài 2. Xác định tính chẵn lẻ của các hàm số sau:
1. $f\left( x \right)=\frac{{{x}^{3}}+5x}{{{x}^{2}}+4}.$
2. $f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}+5}{{{x}^{2}}-1}.$
3. $f\left( x \right)=\sqrt{x+1}-\sqrt{1-x}.$
4. $f\left( x \right)=\frac{x-5}{x-1}.$
5. $f\left( x \right)=3{{x}^{2}}-2x+1.$
6. $f\left( x \right)=\frac{{{x}^{3}}}{\left| x \right|-1}.$
7. $f(x)=\frac{\left| x-1 \right|+\left| x+1 \right|}{\left| 2x-1 \right|+\left| 2x+1 \right|}.$
8. $f(x)=\frac{\left| x+2 \right|+\left| x-2 \right|}{\left| x-1 \right|-\left| x+1 \right|}$
Bài 3. Xét tính chẵn lẻ của hàm số $$ f(x)=\frac{2x}{x^2-4}$$

Bài 4. Xét tính chẵn lẻ của hàm số $$ f(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2-x+1}-\sqrt{x^2+x+1}} $$

Bài 5. Xét tính chẵn lẻ của hàm số $$ f(x)=\frac{x^2}{x^2-3x+2} $$

Bài 6. Xét tính chẵn lẻ của hàm số $$ f(x)=\sqrt{2+x}-\sqrt{2-x} $$

Bài 7. Xét tính chẵn lẻ của hàm số $$ f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{1-x}-\sqrt{1+x}} $$

Bài 8. Cho hàm số $y=f\left( x \right)$, $y=g\left( x \right)$ có cùng tập xác định $D$. Chứng minh rằng:
- Nếu hai hàm số trên lẻ thì hàm số $y=f\left( x \right)+g\left( x \right)$ là hàm số lẻ.
- Nếu hai hàm số trên một chẵn, một lẻ thì hàm số $y=f\left( x \right)g\left( x \right)$ là hàm số lẻ.
Bài 9. Tìm $m$ để hàm số: $y=f\left( x \right)$ $=\frac{x\left( {{x}^{2}}-2 \right)+2m-1}{x-2m+1}$ là hàm số chẵn.

Bài 10. Chứng minh rằng với hàm số $f(x)$ bất kỳ, $ f(x)$ có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng tổng của một hàm số chẵn và một hàm số lẻ.
15/10/2020