Tag: hhkg

Bài tập phương trình đường thẳng Toán 12 Cánh Diều

Tài liệu gồm 227 trang, tổng hợp các dạng bài tập chuyên đề phương trình đường thẳng môn Toán 12 bộ sách Cánh Diều, có đáp án và lời giải chi tiết. Các bài tập trong tài liệu được biên soạn dựa trên định dạng trắc nghiệm mới nhất, với cấu trúc gồm 03 phần: Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn; Câu trắc nghiệm đúng sai; Câu trắc nghiệm trả lời ngắn.

CHỦ ĐỀ 1. XÁC ĐỊNH CÁC YẾU TỐ CƠ BẢN LIÊN QUAN ĐẾN ĐƯỜNG THẲNG.
+ Dạng 1. Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng. Xác định điểm thuộc và không thuộc đường thẳng.
+ Dạng 2. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng.
+ Dạng 3. Tính góc giữa hai đường thẳng. Tính góc giữa đường thẳng với mặt phẳng. Tính góc giữa hai mặt phẳng.

CHỦ ĐỀ 2. LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG DẠNG CƠ BẢN.

CHỦ ĐỀ 3. LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG LIÊN QUAN ĐẾN SONG SONG VÀ VUÔNG GÓC.
+ Dạng 1. Lập phương trình đường thẳng liên quan đến song song.
+ Dạng 2. Lập phương trình đường thẳng liên quan đến vuông góc.
+ Dạng 3. Phương trình đường thẳng liên quan điểm đối xứng và hình chiếu.

CHỦ ĐỀ 4. ỨNG DỤNG ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN.

CHỦ ĐỀ 5. LẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG LIÊN QUAN ĐẾN ĐƯỜNG THẲNG.

CHỦ ĐỀ 6. ĐƯỜNG THẲNG LIÊN QUAN ĐẾN GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH.
+ Dạng 1. Lập phương trình mặt phẳng liên quan đến góc.
+ Dạng 2. Khoảng cách.

CHỦ ĐỀ 7. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VỚI MẶT PHẲNG.

Dowload bài tập phương trình đường thẳng Toán 12 Cánh Diều

cac-dang-bai-tap-phuong-trinh-duong-thang-toan-12-canh-dieu Download

23/07/2024
Bài tập phương trình mặt cầu Toán 12 Cánh Diều

Tài liệu gồm 321 trang, tổng hợp các dạng bài tập chuyên đề phương trình mặt cầu môn Toán 12 bộ sách Cánh Diều, có đáp án và lời giải chi tiết. Các bài tập trong tài liệu được biên soạn dựa trên định dạng trắc nghiệm mới nhất, với cấu trúc gồm 03 phần: Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn; Câu trắc nghiệm đúng sai; Câu trắc nghiệm trả lời ngắn.

CHỦ ĐỀ 1. XÁC ĐỊNH CÁC YẾU TỐ CƠ BẢN MẶT CẦU. LẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU DẠNG CƠ BẢN.
+ Dạng 1. Xác định các yếu tố cơ bản mặt cầu.
+ Dạng 2. Lập phương trình mặt cầu dạng cơ bản.

CHỦ ĐỀ 2. ỨNG DỤNG MẶT CẦU TRONG KHÔNG GIAN.

CHỦ ĐỀ 3. BÀI TOÁN LIÊN QUAN VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA MẶT PHẲNG VỚI MẶT CẦU.
+ Dạng 1. Vị trí tương đối giữa mặt phẳng với mặt cầu.
+ Dạng 2. Lập phương trình mặt cầu liên quan đến mặt phẳng.
+ Dạng 3. Lập phương trình mặt phẳng liên quan đến mặt phẳng mặt cầu.

CHỦ ĐỀ 4. BÀI TOÁN LIÊN QUAN VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VỚI MẶT CẦU.
+ Dạng 1. Vị trí tương đối của đường thẳng với mặt cầu.
+ Dạng 2. Lập phương trình mặt cầu liên quan đến đường thẳng.
+ Dạng 3. Lập phương trình đường thẳng liên quan đến mặt cầu.

CHỦ ĐỀ 5. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT LIÊN QUAN ĐẾN MẶT PHẲNG.
+ Dạng 1. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất liên quan đến biểu thức.
+ Dạng 2. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất liên quan khoảng cách.
+ Dạng 3. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất liên quan đến góc.

CHỦ ĐỀ 6. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT LIÊN QUAN ĐẾN ĐƯỜNG THẲNG.

CHỦ ĐỀ 7. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT LIÊN QUAN ĐẾN MẶT CẦU.
+ Dạng 1. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất liên quan đến biểu thức.
+ Dạng 2. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất liên quan đến góc và khoảng cách.
+ Dạng 3. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất liên quan đến bán kính mặt cầu, đường tròn.

Download bài tập phương trình mặt cầu Toán 12 Cánh Diều

cac-dang-bai-tap-phuong-trinh-mat-cau-toan-12-canh-dieu Download

23/07/2024
Toán 12: Bài giảng vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian KNTT

Tài liệu gồm 239 trang, được biên soạn bởi thầy giáo Trần Đình Cư, bao gồm kiến thức cần nắm, giải bài tập sách giáo khoa, phương pháp giải các dạng toán và bài tập chuyên đề vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian môn Toán 12 bộ sách Kết Nối Tri Thức Với Cuộc Sống (KNTTVCS).

BÀI 6. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN.
+ Dạng 1. Chứng minh một đẳng thức vectơ.
+ Dạng 2. Phân tích một vectơ theo các vectơ thành phần.
+ Dạng 3. Góc giữa hai vectơ. Tích vô hướng giữa hai vectơ.
+ Dạng 4. Một số bài toán ứng dụng vectơ giải toán thực tiễn.

BÀI 7. HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN.

BÀI 8. BIỂU THỨC TOẠ ĐỘ CỦA CÁC PHÉP TOÁN VECTƠ.
+ Dạng 1. Tọa độ của điểm và vectơ.
+ Dạng 2. Xác định tọa độ của vectơ, và độ dài của đoạn thẳng.
+ Dạng 3. Xác định tọa độ điểm.
+ Dạng 4. Xác định tích vô hướng và ứng dụng.
+ Dạng 5. Ứng dụng giải các bài toán thực tiễn.

Download Bài giảng vectơ và hệ trục tọa độ trong không gian KNTT

bai-giang-vecto-va-he-truc-toa-do-trong-khong-gian-toan-12-knttvcs Download

23/07/2024
Các quy tắc biểu diễn hình trong không gian
Các quy tắc biểu diễn hình trong không gian

Để vẽ hình biểu diễn của các hình không gian, chúng ta sử dụng các quy tắc biểu diễn hình trong không gian sau:
- Hình biểu diễn của đường thẳng là đường thẳng, của đoạn thẳng là đoạn thẳng;
- Hình biểu diễn của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song, của hai đường thẳng cắt nhau là hai đường thẳng cắt nhau;
- Hình biểu diễn phải giữ nguyên quan hệ thuộc giữa điểm và đường thẳng;
- Đường nhìn thấy vẽ nét liền, đường bị che khuất vẽ nét đứt;
- Trên cùng một đường thẳng hoặc trên hai đường thẳng song song thì tỉ lệ về độ dài được giữ nguyên, do đó, ta cần vẽ chính xác trung điểm của các đoạn thẳng.
Một số hình biểu diễn thường gặp
- Các hình tam giác thường, tam giác đều, tam giác vuông đều vẽ thành một tam giác tù như dưới đây:
- Các hình bình hành, hình vuông, hình chữ nhật, hình thoi đều vẽ thành một hình bình hành:
- Hình thang có thể vẽ như hình dưới đây:
- Hình thang vuông có thể vẽ như hình dưới đây:
Hình chóp có đáy là tam giác

Hình chóp có đáy là tứ giác

Hình tứ diện

Hình chóp có đáy là hình vuông, hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi

Hình lăng trụ tam giác, tứ giác

Hình hộp
16/01/2022
Chứng minh ba đường thẳng đồng quy trong không gian
Chứng minh ba đường thẳng đồng quy trong không gian

Nhờ việc sử dụng định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng phân biệt trong không gian hoặc đồng quy, hoặc đôi một so sánh nên trong không gian để chứng minh ba đường thẳng a, b, c đồng quy ta có thể làm như sau:
- Tìm giao điểm I của hai trong ba đường thẳng đã cho, chẳng hạn a và b;
- Giả sử c là giao tuyến của hai mặt phẳng (α) và (β) nào đó lần lượt chứa đường thẳng a và đường thẳng b;
- Chứng minh rằng I là điểm chung của (α) và (β), tức là I phải thuộc vào giao tuyến c;
- Kết luận: a, b, c đồng quy tại O.
Xem thêm Cách chứng minh thẳng hàng trong hình học không gian

Ví dụ. Cho tứ diện ABCD. Gọi M; N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Mặt phẳng (P) qua MN và cắt AD; BC lần lượt tại P và Q. Biết MP cắt NQ tại I. Chứng minh rằng MP, NQ và BD đồng quy tại I.

Lời giải

Ta có: (ABD) ∩ (BCD) = BD

Lại có I ∈ MP ⊂ (ABD) và I ∈ NQ ⊂ (BCD) nên I là điểm chung của hai mặt phẳng (ABD) và (BCD). Nói cách khác, I thuộc vào giao tuyến của hai mặt phẳng (ABD) và (BCD).

Do đó, I ∈ BD hay ba đường thẳng MP, NQ và BD đồng quy tại I.

Bài 1. Cho tứ diện ABCD mặt phẳng(P) không chứa AB và CD cắt các cạnh AC, BC, AD lần lượt tại M, N, R, S.
1. Chứng minh 3 đường thẳng AB, MN, RS đồng qui.
2. Chứng minh 3 đường thẳng CD, MS, NR đồng qui
Bài 2. Cho tứ diện ABCD. M, N lần lượt là trung điểm BC, BD. Các điểm P và S lần lượt thuộc AD, AC sao cho AR= AD:3 ; AS= AC:3. CMR ba đường thẳng AB, MS, NR đồng qui.

Bài 3. Cho hình thang ABCD (AB// CD) điểm S nằm ngoài mặt phẳng chứa ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SC, SD. Gọi I là giao điểm của AD và BC, J là giao điểm của AN và BM. Gọi O là giao điểm của AC và BD. CMR : SO, AM, BN đồng qui.
16/01/2022
Hình chóp, hình lăng trụ, hình hộp là gì?
Hình chóp, hình lăng trụ, hình hộp là gì?

Hình chóp, hình lăng trụ, hình hộp là những hình cơ bản trong hình học không gian. Đa số các bài toán ở cấp THPT đều làm việc trên các hình này. Để có thể giải quyết được các bài toán không gian, bước đầu chúng ta ta phải hiểu được thế nào là hình chóp, hình lăng trụ hay hình hộp.

Xem thêm 38+ tài liệu hình học không gian 11 hay nhất

1. Hình chóp

Hình chóp là gì?

Cho đa giác $A_1A_2A_3… A_n$ nằm trong mặt phẳng $(P)$ và một điểm $S$ nằm ngoài mặt phẳng $(P)$. Nối $S$ với các đỉnh của đa giác ta được $n$ miền tam giác $SA_1A_2, SA_2A_3,…, SA_nA_1$. Hình tạo bởi $n$ tam giác đó và đa giác $A_1A_2A_3… A_n$ gọi là hình chóp và kí hiệu là $S.A_1A_2A_3… A_n$.

Trong đó:
- $S$ được goi là đỉnh của hình chóp;
- $A_1A_2A_3… A_n$ là mặt đáy của hình chóp;
- $SA_1, SA_2,…, SA_n$ là các cạnh bên của hình chóp;
- A1A2, A2A3,…, AnA1 là các cạnh đáy của hình chiếu;
- Các miền tam giác $SA_1A_2, SA_2A_3,…, SA_nA_1$ là mặt bên của hình chóp.
Cách gọi tên hình chóp bằng tên của đỉnh và mặt đáy, ví dụ như hình vẽ sau là hình chóp $S.ABCDE$ hoặc cụ thể hơn là hình chóp ngũ giác $S.ABCDE$
- Đường cao của hình chóp là đường vuông góc kẻ từ đỉnh của hình chóp đến mặt đáy.
Xem thêm Các phương pháp tính thể tích khối chóp

Hình tứ diện

Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Hình gồm bốn tam giác ABC, BCD, CDA, ABD gọi là tứ diện ABCD.
- A, B, C, D là các đỉnh của tứ diện;
- AB, BC, CD, CA là các cạnh bên của tứ diện;
- Các tam giác ABC, BCD, CDA, ABD là các mặt bên của tứ diện;
- Hai cạnh không đi qua một đỉnh được gọi là hai cạnh đối nhau;
- Đỉnh không nằm trên một mặt được gọi là đỉnh đối diện với mặt đó.
Hình chóp và hình tứ diện đều có 4 đỉnh, 4 mặt và 6 cạnh như nhau, nhưng hình chóp có phân biệt mặt bên và mặt đáy, trong khi hình tứ diện thì không quy ước gọi đâu là mặt đáy, đâu là mặt bên.

Hình chóp đều
- Định nghĩa: Hình chóp đều là hình chóp có các cạnh bên bằng nhau và mặt đáy là một đa giác đều.
- Tính chất: Trong hình chóp đều, chân đường cao của hình chóp trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
Hình chóp đều có đáy lần lượt là tam giác đều, hình vuông (tứ giác đều) và lục giác đều

Như vậy, từ định nghĩa suy ra:
- Hình chóp là hình chóp đều khi và chỉ khi đáy của nó là đa giác đều và chân đường cao của nó trùng với tâm của đa giác đáy.
- Hình chóp là hình chóp đều khi và chỉ khi đáy của nó là đa giác đều và các cạnh bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau.
2. Hình chóp cụt

Hình chóp cụt

Hình chóp cụt đều

Cho hình chóp cụt đều $S.A_1A_2…A_n$. Một mặt phẳng $(P)$ song song với mặt đáy cắt các cạnh bên $SA_1, SA_2,…,SA_n$ lần lượt tại $A’_1, A’_2,…, A’_n$. Phần hình nằm giữa đáy và mặt phẳng $(P)$ gọi là hình chóp đều.
- Đa giác $A_1A_2A_3… A_n$ và thiết diện $A’_1A’_2A’_3… A’_n$ gọi là hai mặt đáy;
- Các hình thang cân $A_1A’_1A’_2A_2,…, A_nA’_nA’_1A_1$ là các mặt bên;
- Đoạn thẳng nối hai tâm O và O’ của hai đáy gọi là đường cao của hình chóp cụt đều.
3. Hình lăng trụ

Hình lăng trụ là gì?

Hình hợp bởi các hình bình hành $A_1A’_1A’_2A_2,A_2A_3A’_3A’_2…, A_nA’_nA’_1A_1$ và hai miền đa giác $A_1A_2A_3… A_n; A’_1A’_2A’_3… A’_n$ nằm trong hai mặt phẳng song song đươc goi là hình lăng trụ.
- Các hình bình hành $A_1A’_1A’_2A_2,A_2A_3A’_3A’_2…, A_nA’_nA’_1A_1$ là các mặt bên;
- Hai miền đa giác $A_1A_2A_3… A_n; A’_1A’_2A’_3… A’_n$ là hai mặt đáy (hai hình đa giác này bằng nhau);
- Các đoạn thẳng $A_1A’_1,…, A_nA’_n$ là các cạnh bên;
- Các đoạn thẳng $A_1A_2,A’_1A’_2,…, A_nA_1, A’_nA’_1$ là các cạnh đáy của hình lăng trụ.
Ký hiệu hình lăng trụ: $A_1A_2…A_n.A’_1A’_2…A’_n$.

Gọi tên lăng trụ theo tên các đa giác đáy: Lăng trụ tam giác (có đáy là tam giác), lăng trụ tứ giác (có đáy là tứ giác),…

Hình lăng trụ đứng
- Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với mặt đáy.
- Nhận xét: Các mặt bên của hình lăng trụ đứng là các hình chữ nhật và vuông góc với mặt đáy.
Hình lăng trụ đều
- Hình lăng trụ đều là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.
- Nhận xét: Các mặt bên của hình lăng trụ đều là các hình chữ nhật bằng nhau. Ngoài ra, hình lăng trụ đều có các tính chất của hình lăng trụ đứng.
4. Hình hộp

Hình hộp là gì?

Hình lăng trụ tứ giác có đáy là hình bình hành được gọi là hình hộp.

Nhận xét:
- Sáu mặt (bốn mặt bên và hai mặt đáy) đều là những hình bình hành.
- Mỗi mặt có một mặt song song với nó, hai mặt như thế gọi là hai mặt đối diện.
Hình hộp đứng
- Hình hộp đứng là hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành.
- Nhận xét: Trong hình hộp đứng có bốn mặt bên là hình chữ nhật.
Hình hộp chữ nhật

Hình hộp chữ nhật là hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật.

Nhận xét: Tất cả sáu mặt của hình hộp chữ nhật đều là hình chữ nhật.

Hình lập phương

Hình lập phương là hình hộp có tất cả sáu mặt là hình vuông. (Các hình vuông này bằng nhau).
14/01/2022
Góc giữa hai đường thẳng trong không gian
Góc giữa hai đường thẳng trong không gian

1. Góc giữa hai đường thẳng trong không gian là gì?

Trong không gian cho 2 đường thẳng a, b bất kỳ. Từ một điểm O nào đó ta vẽ 2 đường thẳng a’, b’ lần lượt song song với a và b. Ta nhận thấy rằng khi điểm O thay đổi thì góc giữa 2 đường thẳng a và b không thay đổi.

Định nghĩa: Góc giữa hai đường thẳng trong không gian là góc giữa 2 đường thẳng cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với hai đường thẳng đã cho.

Xem thêm:
- Cách tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng lớp 11
- Cách tính góc giữa hai mặt phẳng trong không gian
2. Cách xác định góc giữa hai đường thẳng

Ngoài việc làm như trong định nghĩa, để xác định góc giữa 2 đường thẳng a và b ta có thể lấy điểm O thuộc một trong hai đường thẳng đó rồi vẽ một đường thẳng qua O và song song với đường thẳng còn lại.

Hoặc ta có thể sử dụng tích vô hướng:
- Nếu \(\overrightarrow{u}\) là vecto chỉ phương của đường thẳng a và \(\overrightarrow{v}\) là vecto chỉ phương của đường thẳng b và \(\left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{v} \right)=\alpha \) thì góc giữa 2 đường thẳng a và b bằng \(\alpha \) nếu \(0\le \alpha \le 90^\circ \) và bằng \(180^\circ -\alpha \) nếu \(90^\circ <\alpha \le 180^\circ \).
- Nếu 2 đường thẳng a và b song song hoặc trùng nhau thì góc giữa chúng bằng \(0^\circ \). Góc giữa 2 đường thẳng là góc có số đo \(0\le \alpha \le 90^\circ \).
3. Cách tính góc giữa hai đường thẳng

Để tính được góc giữa hai đường thẳng trong không gian, nếu xác định (dựng) được góc giữa hai đường thẳng trong không gian và gắn chúng vào một tam giác cụ thể thì có thể sử dụng các hệ thức lượng trong tam giác để tìm số đo của góc đó:
- Định lý hàm số cosin trong tam giác ABC: \(\cos \widehat{BAC}=\frac{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}-B{{C}^{2}}}{2.AB.AC}\)
- Tương tự ta có: \(\cos \widehat{ABC}=\frac{B{{A}^{2}}+B{{C}^{2}}-A{{C}^{2}}}{2.BA.BC}\) và \(\cos \widehat{ACB}=\frac{C{{A}^{2}}+C{{B}^{2}}-A{{B}^{2}}}{2.CA.CB}\)
  Chú ý: \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB.AC\cos \widehat{BAC}=\frac{1}{2}\left( A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}-B{{C}^{2}} \right)\)
Ngoài ra, để tính góc giữa hai véc-tơ \(\vec{u}, \vec{v} \) chúng ta sử dụng định nghĩa tích vô hướng: \[\vec{u} . \vec{v} = |\vec{u}|.|\vec{v}|.\cos\left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{v} \right)\].

Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD ta tính góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{CD}\) dựa vào công thức \(\cos \left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD} \right)=\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}}{\left| \overrightarrow{AB} \right|.\left| \overrightarrow{CD} \right|}\Rightarrow \cos \left( AB;CD \right)=\frac{\left| \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} \right|}{\left| \overrightarrow{AB} \right|.\left| \overrightarrow{CD} \right|}\) từ đó suy ra góc giữa hai đường thẳng AB và CD.

4. Bài tập góc giữa hai đường thẳng trong không gian

Ví dụ 1. Cho hình lập phương $A B C D \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ có cạnh là $a$. Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau đây:
1. AB và A’D’.
2. AD và A’C’.
3. BC’ và B’D’.
Lời giải.
1. Ta có $A^{\prime} D^{\prime} / / A D$ nên $\left(A B, A^{\prime} D^{\prime}\right)=(A B, A D)=\widehat{B A D}=90^{\circ}$.
2. Ta có $A^{\prime} C^{\prime} / / A C$ nên $\left(A D, A^{\prime} C^{\prime}\right)=(A D, A C)=\widehat{D A C}=45^{\circ}$.
3. Ta có $B^{\prime} D^{\prime} / / B D$ nên $\left(B C^{\prime}, B^{\prime} D^{\prime}\right)=\left(B C^{\prime}, B D\right)=\widehat{D B C^{\prime}}$.
  Ta có $B D=B C^{\prime}=C^{\prime} D=A B \sqrt{2}$ nên $\triangle B D C^{\prime}$ dều, suy ra $\widehat{D B C^{\prime}}=60^{\circ}$.
  Vậy $\left(B C^{\prime}, B^{\prime} D^{\prime}\right)=60^{\circ}$.
Ví dụ 2. Cho hình chóp $S . A B C$ có $S A=S B=S C=A B=A C=a \sqrt{2}$ và $B C=2 a$. Tính góc giữa hai đường thẳng $A C$ và $S B$.

Lời giải.

Ta có $S A B$ và $S A C$ là tam giác đều, $A B C$ và $S B C$ là tam giác vuông cân cạnh huyền $B C$.
Gọi $M, N, P$ lần lượt là trung điểm của $S A, A B, B C$, ta có $M N / / S B, N P / / A C$ nên $(A C, S B)=(N P, M N)$.

\begin{aligned}
&M N=\frac{S B}{2}=\frac{a \sqrt{2}}{2}, N P=\frac{A C}{2}=\frac{a \sqrt{2}}{2} . \\
&A P=S P=\frac{B C}{2}=a, S A=a \sqrt{2}
\end{aligned}

Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, \(SA\bot \left( ABC \right)\) và \(SA=a\sqrt{3}\). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và SC. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng AN và CM.

Cách 1: Dựng hình bình hành AMCE suy ra \(AM=CE=\frac{a}{2}\).

Khi đó \(AE//CM\Rightarrow \left( \widehat{AE;CM} \right)=\left( \widehat{AN;AE} \right)=\varphi .\)

Mặt khác \(SC=\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}}=2a\Rightarrow \) độ dài đường trung tuyến AN là \(AN=\frac{SC}{2}=a.AE=CM=\frac{a\sqrt{3}}{2}.\)

Do \(\Delta ABC\) đều nên \(CM\bot AM\Rightarrow \) AMCE là hình chữ nhật.

Khi đó \(CE\bot AE\) mà \(CE\bot SA\Rightarrow CE\bot \left( SAE \right)\Rightarrow CE\bot SE.\)

\(\Delta SEC\) vuông tại E có đường trung tuyến \(EN=\frac{1}{2}SC=a.\)

Ta có: \(\cos \widehat{NAE}=\frac{A{{N}^{2}}+A{{E}^{2}}-N{{E}^{2}}}{2.AN.AE}=\frac{\sqrt{3}}{4}>0\Rightarrow \cos \varphi =\frac{\sqrt{3}}{4}.\)

Cách 2: Ta có: \(\overrightarrow{AN}=\frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AS}+\overrightarrow{AC} \right);\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}.\)

Khi đó \(\overrightarrow{AN}.\overrightarrow{CM}=\frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AS}+\overrightarrow{AC} \right)\left( \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC} \right)=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}-\frac{1}{2}A{{C}^{2}}=\frac{1}{4}{{a}^{2}}\cos 60{}^\circ -\frac{{{a}^{2}}}{2}=\frac{-3{{a}^{2}}}{8}.\)

Lại có: \(AN=\frac{SC}{2}=a;CM=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \cos \varphi =\frac{\left| \frac{-3{{a}^{2}}}{8} \right|}{a.\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{4}.\)

Bình luận: Dựa vào hai cách làm trên ta thấy rằng, trong một số trường hợp, việc sử dụng công cụ vectơ để tính góc giữa hai đường thẳng giúp bài toán trở nên dễ ràng hơn rất nhiều!.

Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABC có \(SA=SB=SC=AB=a;AC=a\sqrt{2}\) và \(BC=a\sqrt{3}\). Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SC và AB.

Cách 1: Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SA, SB và AC. Khi đó \(\left\{ \begin{align}

& MP//SC \\

& N//AB \\

\end{align} \right.\Rightarrow \left( \widehat{SC;AB} \right)=\left( \widehat{MP;MN} \right).\)

Ta có: \(MN=\frac{AB}{2}=\frac{a}{2};MP=\frac{SC}{2}=\frac{a}{2}.\)

Mặt khác \(\Delta SAC\) vuông tại S \(\Rightarrow SP=\frac{AC}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}.\)

\(B{{P}^{2}}=\frac{B{{A}^{2}}+B{{C}^{2}}}{2}-\frac{A{{C}^{2}}}{4}=\frac{3}{2}{{a}^{2}}\Rightarrow BP=\frac{a\sqrt{6}}{2}.\)

Suy ra \(P{{N}^{2}}=\frac{P{{S}^{2}}+P{{B}^{2}}}{2}-\frac{S{{B}^{2}}}{4}=\frac{3{{a}^{2}}}{4}\Rightarrow NP=\frac{a\sqrt{3}}{2}.\)

Khi đó \(\cos \widehat{NMP}=\frac{M{{N}^{2}}+M{{P}^{2}}-N{{P}^{2}}}{2.MN.MP}=-\frac{1}{2}\Rightarrow \widehat{NMP}=120{}^\circ \Rightarrow \varphi =\left( \widehat{SC;AB} \right)=60{}^\circ .\)

Cách 2: Ta có: \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{SB}-\overrightarrow{SA}\Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{SC}=\left( \overrightarrow{SB}-\overrightarrow{SA} \right).\overrightarrow{SC}=\overrightarrow{SB}.\overrightarrow{SC}-\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{SC}\)

\(=\frac{1}{2}\left( S{{B}^{2}}+S{{C}^{2}}-A{{C}^{2}} \right)-\frac{1}{2}\left( S{{A}^{2}}+S{{C}^{2}}-A{{B}^{2}} \right)=-\frac{{{a}^{2}}}{2}.\)

Suy ra \(\cos \left( SC;AB \right)=\frac{\left| \frac{-{{a}^{2}}}{2} \right|}{a.a}=\frac{1}{2}\Rightarrow \left( SC;AB \right)=60{}^\circ .\)
05/01/2022
Điểm và đường thẳng trong không gian lớp 11
Điểm và đường thẳng trong không gian

1. Tóm tắt lý thuyết về điểm và đường thẳng trong không gian

Ba cách xác định một mặt phẳng
- Qua ba điểm không thẳng hàng $ A,B,C $; kí hiệu là $ (ABC) $ hoặc $ mp(ABC). $
- Qua đường thẳng $ d$ và điểm $M\notin d$; kí hiệu là $ mp(d,M) $
- Qua hai đường thẳng $ d_1,d_2 $ cắt nhau; kí hiệu là $ mp(d_1,d_2) $
Quy tắc vẽ hình biểu diễn của hình không gian
- Hình biểu diễn của đường thẳng là đường thẳng, của đoạn thẳng là đoạn thẳng.
- Hình biểu diễn của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song, của hai đường thẳng cắt nhau là hai đường thẳng cắt nhau.
- Hình biểu diễn phải giữ nguyên quan hệ liên thuộc giữa điểm và đường thẳng.
- Đường nhìn thấy vẽ nét liền, đường bị che khuất vẽ nét đứt.
- Trên cùng một đường thẳng} hoặc trên hai đường thẳng song song} thì tỉ lệ về độ dài được giữ nguyên. Đặc biệt, hình biểu diễn của trung điểm là trung điểm.
Các tính chất thừa nhận
- Có một và chỉ một đường thẳng qua hai điểm phân biệt
- Nếu một đường thẳng có hai điểm nằm trong mặt phẳng thì tất cả các điểm còn lại của đường thẳng đó đều thuộc mặt phẳng đã cho.
- Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung , thì chúng còn có điểm chung khác nữa. Do đó, chúng có chung một đường thẳng, gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng.
- Trên mỗi mặt phẳng, các kết quả đã biết trong hình học phẳng đều đúng.
- Có ít nhất bốn điểm không đồng phẳng.
Hình chóp
- Cho đa giác $ A_1A_2…A_n $ nằm trên mặt phẳng $(P)$ và điểm $ S $ nằm ngoài mặt phẳng $(P)$ thì hình chóp $ S.A_1A_2…A_n $ là hình gồm đa giác $ A_1A_2…A_n $ và $ n $ tam giác có $ S $ là đỉnh chung: $ SA_1A_2,SA_2A_3,… SA_nA_1. $
- Ta gọi tên hình chóp tùy theo số cạnh của đa giác đáy, ví dụ hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác, hình chóp ngũ giác…
- Tứ diện là hình gồm có bốn điểm không đồng phẳng.
Một số hình không gian thường gặp

Để học tốt hình học không gian, việc đầu tiên là các em cần vẽ hình đúng các quy tắc. Khi vẽ hình đúng rồi, chúng ta cần lựa chọn cách vẽ làm sao cho dễ nhìn nhất có thể. Dưới đây là cách vẽ hình chuẩn của một số hình không gian thường gặp.
- Hình chóp tam giác, tứ diện
- Hình chóp tứ giác có đáy không là hình thang (đáy là một tứ giác bất kì)
- Hình chóp tứ giác có đáy là hình thang
- Hình chóp tứ giác có đáy là hình bình hành, hình chữ nhật, hình vuông
- Hình chóp ngũ giác
- Hình chóp lục giác
2. Bài tập điểm và đường thẳng trong không gian

Dạng 1. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng

Mời thầy cô và các em xem chi tiết trong bài Cách tìm giao tuyến của hai mặt phẳng

Dạng 2. Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng

Mời thầy cô và các em xem chi tiết trong bài Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng

Dạng 3. Chứng minh thẳng hàng, đồng quy

Mời thầy cô và các em xem chi tiết trong bài Cách chứng minh thẳng hàng trong hình học không gian

Dạng 4. Xác định giao tuyến của hình chóp khi cắt bởi một mặt phẳng

Mời thầy cô và các em học sinh xem chi tiết trong các bài viết sau:
10/09/2021
Bài tập góc và khoảng cách trong không gian

Bài tập góc và khoảng cách trong không gian

Sau khi đã thành thạo cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong không gian thì các em học sinh có thể luyện tập các Bài tập góc và khoảng cách trong không gian dưới đây. Nếu bài nào có thắc mắc, các em hãy để lại comment để chúng tôi giải đáp.

Câu 1. Cho hình lập phương $ABCD. A’B’C’D’$. Tính góc giữa hai đường thẳng $AD$ và $B’C$.

Câu 2. Cho hình lập phương $ABCD. A’B’C’D’$. Tính góc giữa hai đường thẳng $\left(A’C’, B’A\right)$.

Câu 3. Cho lăng trụ tam giác đều $ABC. A’B’C’$ có tất cả các cạnh đều bằng $a$. Cosin của góc tạo bởi hai đường thẳng $BC$ và $AB’$ là bao nhiêu?

Câu 4. Cho hình lăng trụ đều $ABC.A’B’C’$ có cạnh đáy bằng 1, cạnh bên bằng $2.$ Gọi $C_1$ là trung điểm của $CC’$. Tính côsin của góc giữa hai đường thẳng $BC_1$ và $A’B’.$

Câu 5. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh $a, \widehat{ABC}=60^{\circ}, SA=a$ và $SA \perp(ABCD).$ Gọi $M$ là trung điểm của $SB$. Tính góc giữa hai đường thẳng $SA$ và $CM$.

Câu 6. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$, cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy, $SA=a$. Gọi $M$ là trung điểm của $SB$. Tính góc giữa $AM$ và $BD$.

Câu 7. Cho tứ diện $ABCD$ có $AB$ vuông góc với $(BCD)$. Biết tam giác $BCD$ vuông tại $C$ và $AB=\dfrac{a \sqrt{6}}{2}$, $AC=a \sqrt{2}, CD=a.$ Gọi $E$ là trung điểm của $AD$. Tính góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $CE$.

Câu 8. Cho hình chóp $S.ABC$ có cách cạnh $SA, SB, SC$ đôi một vuông góc và $SA=SB=SC$. Gọi $I$ là trung điểm của $AB$. Tính góc giữa hai đường thẳng $SI$ và $BC$.

Câu 9. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB=2 a$. Các cạnh bên của hình chóp đều bằng $a \sqrt{2}$. Tính góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $SC$.

Câu 10. Cho hình chóp $S.ABCD$ có tất cả các cạnh đều bằng $a$. Gọi $I, J$ lần lượt là trung điểm của $SC, BC$. Tính góc giữa $IJ$ và $CD$.

Câu 11. Cho tứ diện đều $ABCD$. Tính góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $CD$.

Câu 12. Cho tứ diện đều $ABCD$ cạnh $a$. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $CI$, với $I$ là trung điểm của $AD$.

Câu 13. Cho lăng trụ đều $ABC \cdot A’B’C’$ có tất cả các cạnh bằng $a$. Tính góc giữa đường thẳng $AB’$ và mặtg h ẳ n g\, $\left(A’B’C’\right)$.

Câu 14. Cho hình lăng trụ đều $ABC \cdot A’B’C’$ có tất cả các cạnh bằng $a$. Gọi $M$ là trung điểm $AB$ và $\alpha$ là góc tạo bởi đường thẳng $MC’$ và mặt phẳng $(ABC)$. Tính $\tan \alpha$.

Câu 15. Cho hình chóp $S.ABCD$ có $ABCD$ là hình vuông cạnh $a, SA=a \sqrt{3}, SA \perp(ABCD)$. Tính góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $(ABCD)$.

Câu 16. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB=2 a, AD=a. SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy. $SA=a \sqrt{3}$. Tính cosin của góc giữa $SC$ và mặt đáy.

Câu 17. Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABC), SA=a \sqrt{2}$, tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ và $AC=2 a$. Tính góc giữa $SB$ và $(ABC)$.

Câu 18. Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác đều, $AC=a,, SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA=a \dfrac{\sqrt{3}}{2}$. Gọi $M$ là trung điểm $BC$, tính góc giữa đường thẳng $SM$ và mặt phẳng đáy.

Câu 19. Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có tất cả các cạnh bằng $a$. Gọi $\alpha$ là góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(ABCD)$. Tính $\sin \alpha$.

Câu 20. Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có tất cả các cạnh bằng $a$. Gọi $M$ là trung điểm của $SD$. Tính tang của góc giữa đường thẳng $BM$ và mặt phẳng $(ABCD)$.

Câu 21. Cho tứ diện đều $ABCD$. Tính cosin góc giữa $AB$ và mặt phẳng $(BCD)$.

Câu 22. Cho hình chóp $SABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B, AB=a, AC=2 a$. Tam giác $SAB$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính tan của góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(ABC)$.

Câu 23. Cho hình chóp $S \cdot ABC$ có $SB=a$, đáy $ABC$ là tam giác vuông tai $A$ có $BC=a$. Hình chiếu vuông góc của $S$ lên $(ABC)$ trùng với trung điểm $H$ của $BC$. Tính góc giữa $SA$ và $(ABC)$.

Câu 24. Hình lăng trụ tam giác $ABC \cdot A’B’C’$ có đáy là tam giác đều cạnh $a, AA’=a \sqrt{6}$. Hình chiếu vuông góc $H$ của $A$ lên mặt phẳng $\left(A’B’C’\right)$ trùng với trọng tâm của tam giác $A’B’C’$. Tính cosin góc giữa cạnh bên và mặt đáy.

Câu 25. Cho lăng trụ $ABCD \cdot A’B’C’D’$ có đáy là hình thoi cạnh $a, \widehat{BAD}=60^{\circ}$. Hình chiếu vuông góc của $B’$ xuống mặt đáy trùng với giao điểm hai đường chéo của đáy và cạnh bên $BB’=a$. Tính góc giữa cạnh bên và mặt đáy.

Câu 26. Cho hình lăng trụ đứng $ABC \cdot A’B’C’$ có đáy $ABC$ là một tam giác vuông cân tại $B, AB=a$, $BB’=a \sqrt{3}$. Góc giữa đường thẳng $A’B$ và mặt phẳng $\left(BCC’B’\right)$.

Câu 27. Cho lăng trụ đều $ABC \cdot A’B’C’$ có tất cả các cạnh bằng nhau, $M$ là trung điểm của $BC$. Tính góc giữa đường thẳng $A’M$ và mặt phẳng $\left(ACC’A’\right)$.

Câu 28. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a, SA \perp(ABCD), SA=a \sqrt{6}$. Tính sin của góc tạo bởi $SC$ và $(SAB)$.

Câu 29. Cho hình chóp $S \cdot ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB=3 a, AD=4 a, SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy, $SA=4 a$. Tính góc giữa đường thẳng $SD$ và mặt phẳng $(SAB)$.

Câu 30. Cho chóp $S.ABC$ có $SA$ vuông góc với đáy, tam giác $ABC$ vuông tại $B$. Biết $SA=AB=BC$. Tính góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $(SAC)$.

Câu 31. Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \perp(ABC)$, tam giác $ABC$ đều cạnh $a$ và $SA=a$. Tính tang của góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(SAB)$.

Câu 32. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật với $AB=a$ và $AD=\dfrac{a \sqrt{6}}{2}$, mặt bên $SAB$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $(SCD)$ bằng bao nhiêu?

Câu 33. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$, tam giác $SAB$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính sin của góc tạo bởi đường thẳng $MD$ và mặt phẳng $(SBC)$, với $M$ là trung điểm của $BC$.

Câu 34. Cho hình hộp chữ nhật $ABCD \cdot A’B’C’D’$ có $AB=a, BC=a \sqrt{2}, AA’=a \sqrt{3}$. Gọi $\alpha$ là góc giữa hai mặt phẳng $\left(ACD’\right)$ và $(ABCD)$. Tính $\tan \alpha$.

Câu 35. Cho hình lập phương $ABCD \cdot A’B’C’D’.$ Gọi $E, F $ lần lượt là trung điểm các cạnh $B’C’, C’D’$. Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng $(AEF)$ và $(ABCD)$.

Câu 36. Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A’B’C’, \Delta \mathrm{ABC}$ vuông tại $B$. Chỉ ra góc giữa hai mặt phẳng $\left(A’BC\right)$ và $(ABC)$.

Câu 37. Cho hình lăng trụ đều $ABC \cdot A’B’C’$ có cạnh đáy bằng $2 a$, cạnh bên bằng $a$. Tính góc giữa hai mặt phẳng $\left(AB’C’\right)$ và $\left(A’B’C’\right)$.

Câu 38. Cho hình chóp $S.ABCD$ có $SA \perp(ABCD)$ và đáy $ABCD$ là hình chữ nhật. Chỉ ra góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABCD)$.

Câu 39. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB=a, AD=SA=2 a$, $SA \perp(ABCD)$. Tính tang của góc giữa hai mặt phẳng $(SBD)$ và $(ABCD)$.

Câu 40. Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \perp(ABC)$ và $AB \perp BC$, gọi $I$ là trung điểm $BC$. Chỉ ra góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABC)$.

Câu 41. Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác đều cạnh bằng $2 a, SA$ vuông góc với mặt đáy và $SA=a$. Tính góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABC)$.

Câu 42. Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có $AB=2 a, SA=a \sqrt{5}$. Tính góc giữa hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(ABCD)$.

Câu 43. Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng $a \sqrt{2}$ và chiều cao bằng $\dfrac{a \sqrt{2}}{2}$. Tính Tang của góc giữa mặt bên và mặt đáy.

Câu 44. Cho hình chóp đều $S.ABC$ có cạnh đáy bằng $a$ và chiều cao bằng $a \sqrt{6}$. Gọi $\varphi$ là góc giữa mặt bên và đáy của hình chóp. Tính $\tan \varphi$.

Câu 45. Tính tang góc giữa hai mặt của một tứ diện đều có cạnh bằng $a$.

Câu 46. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB=2 a, AD=a, \Delta SAB$ đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính góc giữa hai mặt phẳng $(SCD)$ và $(ABCD)$.

Câu 47. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$, góc $ABC$ bằng $60^\circ$, tam giác $SBC$ đều cạnh $a$, hình chiếu vuông góc của $S$ lên $(ABC)$ là trung điểm $H$ của cạnh $BC$. Tính góc giữa hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(ABC)$.

Câu 48. Cho hình lập phương $ABCD \cdot A’B’C’D’$ có cạnh bằng $a$. Số đo góc giữa hai mặt phẳng $\left(BA’C\right)$ và $\left(DA’C\right)$ bằng bao nhiêu?

Câu 49. Cho khối lăng trụ đứng $ABCD \cdot A’B’C’D’$ có đáy là hình vuông cạnh $a$, cạnh bên $AA’=\dfrac{a \sqrt{6}}{2}$. Góc giữa hai mặt phẳng $\left(A’BD\right)$ và $\left(C’BD\right)$ bằng bao nhiêu?

Câu 50. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật $AB=a, BC=2 a$. Cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy và $SA=a$. Tính góc giữa $(SBC)$ và $(SC \mathrm{D})$.

Câu 51. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $D, SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA=a \sqrt{2}$. Cho biết $AB=2 AD=2 DC=2 a$. Tính góc giữa $(SBA)$ và $(SBC)$.

Câu 52. Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \perp(ABC), SA=2 a$. Tam giác $ABC$ vuông tại $\mathrm{B} \quad AB=a$, $BC=a \sqrt{3}$. Tính cosin của góc $\varphi$ tạo bởi hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBC)$.

Câu 53. Cho hình chóp $S.ABC$ có $SC \perp(ABC)$ và tam giác $ABC$ vuông tại $B$. Biết $AB=a; AC=a \sqrt{3}$ và góc giữa hai mặt phẳng $(SAB),(SAC)$ bằng $\alpha$ với $\cos \alpha=\sqrt{\dfrac{6}{19}}$. Tính độ dài $SC$ theo $a$.

Câu 54. Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy và cạnh bên đều bằng $a$. Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SAD)$.

Câu 55. Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ có tất cả các cạnh bằng $a$. Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng $(SAB),(SCD)$.

Câu 56. Cho hình chóp tam giác đều $S \cdot ABC$ có cạnh bên bằng $2 a$, cạnh đáy bằng $a$. Gọi $\alpha$ là góc giữa hai mặt bên của hình chóp đó. Hãy tính $\cos \alpha$.

Câu 57. Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $C$. Gọi $H$ là trung điểm $AB$. Biết rằng $SH$ vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$ và $AB=SH=a$. Tính số đo góc tạo bởi hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(SAC)$.

Câu 58. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là tam giác đều cạnh $a$, mặt bên $SBC$ là tam giác cân tại $S$, $SB=2a$, $(SBC)\perp (ABC)$. Gọi $\alpha$ là góc giữa hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SAC)$. Tính $cos \alpha$.

Câu 59. Cho hình lập phương $ABCD \cdot A’B’C’D’$ cạnh $a$. Tính khoảng cách từ $B$ tới đường thẳng $DB’$.

Câu 60. Cho hình lập phương $ABCD \cdot A’B’C’D’$ có cạnh bằng $a$. Tính khoảng cách từ điểm $A$ đến đường thẳng $B’D’$.

Câu 61. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a, SA \perp(ABCD)$ và $SA=a$. Tính khoảng cách từ $A$ đến đường thẳng $SC$.

Câu 62. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật $AB=a, AD=a \sqrt{3}$. Cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy và $SA=2 a$. Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ lên $BD$ Tính khoảng cách $d$ từ điểm $A$ đến đường thẳng $SH$.

Câu 63. Cho hình chóp $S.ABC$ trong đó $SA, AB, BC$ vuông góc với nhau từng đôi một. Biết $SA=3 a$, $AB=a \sqrt{3}, BC=a \sqrt{6}$. Tính khoảng cách từ $B$ đến $SC$.

Câu 64. Cho hình chóp $S.ABC$ với $SA $ vuông góc với $(ABC)$ và $SA=a$. Diện tích $S_{\triangle ABC}=a^2$, $BC=a \sqrt{2}$. Khoảng cách từ $S$ đến $BC$ bằng bao nhiêu?

Câu 65. Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có cạnh đáy bằng $a$, gọi $O$ là tâm đáy và $SO=\dfrac{a \sqrt{3}}{3}$. Gọi $I$ là trung điểm của $BC$ và $K$ là hình chiếu của $O$ lên $SI$. Tính khoảng cách từ $O$ đến $SA$.

Câu 66. Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có tất cả các cạnh đều bằng $a$. Gọi $O$ là tâm đáy và $M$ là trung điể $m CD$. Tính khoảng cách từ $O$ tới đường thẳng $SM$.

Câu 67. Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có $SA=a \sqrt{3}, ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $2 a$. Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$, tính khoảng cách từ $G$ đến $SD$.

Câu 68. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang cân, đáy lớn $AB$. Biết rằng $AB=2 a$, $AD=DC=CB=a$. Hình chiếu vuông góc $H$ của đỉnh $S$ lên mặt phẳng $(ABCD)$ trùng với trung điểm của cạnh $AB$, góc giữa $SB$ và đáy bằng $60^{\circ}$. Tính khoảng cách từ điểm $H$ đến đường thẳng $SC$.

Câu 69. Cho hình hộp chữ nhật $ABCD \cdot A_1 B_1 C_1 D_1$ có ba kích thước $AB=a, AD=2 a, AA_1=3 a$. Tính khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $\left(A_1 BD\right)$.

Câu 70. Cho hình hộp chữ nhật $ABCD \cdot A’B’C’D’$ có $AB=2 a, AD=a, AA’=a \sqrt{3}$. Gọi $M$ là trung điểm cạnh $AB$. Tính khoảng cách $h$ từ điểm $D$ đến mặt phẳng $\left(B’MC\right)$.

Câu 71. Cho lăng trụ đứng $ABC \cdot A’B’C’$ có đáy là tam giác đều cạnh $1, AA’=\sqrt{3}$. Tính khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $\left(A’BC\right)$.

Câu 72. Cho hình lăng trụ đứng $ABC \cdot A’B’C’$. Cạnh bên $AA’=a, ABC$ là tam giác vuông tại $A$ có $BC=2 a, AB=a \sqrt{3}$. Tính khoảng cách từ đỉnh $A$ đến mặt phẳng $\left(A’BC\right)$.

Câu 73. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a, SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ và $SA=a$. Tính khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$.

Câu 74. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh bằng $a, SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$. Biết góc giữa $SC$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng $60^{\circ}$. Tính khoảng cách $h$ từ $B$ đến mặt phẳng $(SCD)$.

Câu 75. Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông cân tại $B, AB=2 a$. Biết $SA$ vuông góc với đáy $(ABC)$. Tính khoảng cách từ điểm $B$ đến mặt phẳng $(SAC)$.

Câu 76. Cho hình chóp $S,ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$, $SA=a$ và $SA$ vuông góc với mặt đáy. Tính khoảng cách từ $A$ đến $(SBC)$.

Câu 77. Cho hình chóp $S.ABCD$ đều có $AB=2 a, SO=a$ với $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Tính khoảng cách từ $O$ đến mặt phẳng $(SCD)$.

Câu 78. Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy và cạnh bên bằng $a$, gọi $O$ là tâm của đáy $ABCD$. Tính khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$.

Câu 79. Cho hình chóp đều $S.ABC$ có cạnh đáy bằng $a$, góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy là $60^{\circ}$. Tính độ dài đường cao $SH$.

Câu 80. Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ cạnh đáy bằng $2 a$ và chiều cao bằng $a \sqrt{3}$. Tính khoảng cách từ tâm $O$ của đáy $ABC$ đến một mặt bên.

Câu 81. Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $2 a$, tam giác $SAB$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách từ điểm $S$ đến mặt phẳng $(ABC)$.

Câu 82. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, mặt bên $SAB$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách $h$ từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(SCD)$.

Câu 83. Cho lăng trụ $ABCD \cdot A_1 B_1 C_1 D_1$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB=a, AD=a \sqrt{3}$. Hình chiếu vuông góc của $A_1$ lên $(ABCD)$ trùng với giao điểm của $AC$ và $BD$. Tính khoảng cách từ điểm $B_1$ đến mặt phẳng $\left(A_1 BD\right)$.

Câu 84. Cho lăng trụ $ABC \cdot A’B’C’$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$. Hình chiếu của $A’$ lên mặt phẳng $(ABC)$ trùng với trung điểm $BC$. Tính khoảng cách từ $A’$ đến $\mathrm{mp}\left(BCC’B’\right)$ biết góc giữa haimặt phẳng\, $\left(ABB’A’\right)$ và $\left(A’B’C’\right)$ bằng $60^{\circ}$.

Câu 85. Cho hình lập phương $ABCD \cdot A’B’C’D’$ cạnh $a$. Tính $d\left(A’C’, BD\right)$.

Câu 86. Cho hình lập phương $ABCD \cdot A’B’C’D’$ có cạnh bằng $a \sqrt{2}$ tính khoảng cách của hai đường thẳng $CC’$ và $BD$.

Câu 87. Cho hình lăng trụ đứng $ABC \cdot A’B’C’$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A, AB=a$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AC$ và $BB’$.

Câu 88. Cho hình lăng trụ đều $ABC.A’B’C’, AB=a, A’A=a$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $A’A$ và $BC$.

Câu 89. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, cạnh bên $SA \perp(ABCD)$ và $SA=a$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $SB$ và $AD$.

Câu 90. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật $AD=2 a$. Cạnh bên $SA=2 a$ và vuông góc với đáy. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $SD$.

Câu 91. Cho tứ diện $OABC$ có $OA, OB, OC$ đôi một vuông góc với nhau và $OB=OC$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ và $OM=a$. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng $OA$ và $BC$.

Câu 92. Cho hình chóp $S,ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$, $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách giửa hai đường thẳng $SA$ và $BC$.

Câu 93. Cho tứ diện đều $ABCD$ cạnh $3a$. Tính khoảng cách giữa hai cạnh $AB, CD$.

Câu 94. Cho hình hộp chữ nhật $ABCD \cdot A’B’C’D’$ có $AB=a, AD=a \sqrt{3}$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $BB’$ và $AC’$.

Câu 95. Cho hình hộp chữ nhật $ABCD \cdot A’B’C’D’$ có cạnh $AB=2 a, AD=AA’=a$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $BD$ và $AD’$.

Câu 96. Cho hình lăng trụ đứng $ABC \cdot A’B’C’$ có đáy là tam giác vuông cân tại $A, BC=2 a$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AA’, BC’$.

Câu 97. Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A’B’C’$ có $ABC$ là tam giác vuông cân, $AB=AC=a$, $AA’=h(a, h>0)$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB’, BC’$.

Câu 98. Cho hình chóp $S.ABCD$ có $ABCD$ là hình vuông cạnh $2 a, SA \perp(ABCD)$ và $SA=a$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $SB$ và $CD$.

Câu 99. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB=3 a, AD=a.$ Biết $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ và $SA=2 a$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AD$ và $SC$.

Câu 100. Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác đều cạnh $a, SA$ vuông góc với $(ABC)$ và $SA=a$. Tính khoảng cách giữa $SC$ và $AB$.

Câu 101. Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông cân tại $B, AB=a$. Cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy, góc tạo bởi hai mặt phẳng $(ABC)$ và $(SBC)$ bằng $60^{\circ}$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $SC$.

Câu 102. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông tâm $O$ cạnh $a, SO$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ và $SO=a$. Tính khoảng cách giữa $SC$ và $AB$.

Câu 103. Cho tứ diện đều $A B C D$ cạnh bằng $a$. Gọi $M$ là trung điểm của $C D$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $A C$ và $B M$.

26/08/2021