Hình chóp, hình lăng trụ, hình hộp là gì?

Hình chóp, hình lăng trụ, hình hộp là những hình cơ bản trong hình học không gian. Đa số các bài toán ở cấp THPT đều làm việc trên các hình này. Để có thể giải quyết được các bài toán không gian, bước đầu chúng ta ta phải hiểu được thế nào là hình chóp, hình lăng trụ hay hình hộp.

Xem thêm 38+ tài liệu hình học không gian 11 hay nhất

1. Hình chóp

Hình chóp là gì?

Cho đa giác $A_1A_2A_3… A_n$ nằm trong mặt phẳng $(P)$ và một điểm $S$ nằm ngoài mặt phẳng $(P)$. Nối $S$ với các đỉnh của đa giác ta được $n$ miền tam giác $SA_1A_2, SA_2A_3,…, SA_nA_1$. Hình tạo bởi $n$ tam giác đó và đa giác $A_1A_2A_3… A_n$ gọi là hình chóp và kí hiệu là $S.A_1A_2A_3… A_n$.

Trong đó:

• $S$ được goi là đỉnh của hình chóp;
• $A_1A_2A_3… A_n$ là mặt đáy của hình chóp;
• $SA_1, SA_2,…, SA_n$ là các cạnh bên của hình chóp;
• A1A2, A2A3,…, AnA1 là các cạnh đáy của hình chiếu;
• Các miền tam giác $SA_1A_2, SA_2A_3,…, SA_nA_1$ là mặt bên của hình chóp.

Cách gọi tên hình chóp bằng tên của đỉnh và mặt đáy, ví dụ như hình vẽ sau là hình chóp $S.ABCDE$ hoặc cụ thể hơn là hình chóp ngũ giác $S.ABCDE$

• Đường cao của hình chóp là đường vuông góc kẻ từ đỉnh của hình chóp đến mặt đáy.

Xem thêm Các phương pháp tính thể tích khối chóp

Hình tứ diện

Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Hình gồm bốn tam giác ABC, BCD, CDA, ABD gọi là tứ diện ABCD.

• A, B, C, D là các đỉnh của tứ diện;
• AB, BC, CD, CA là các cạnh bên của tứ diện;
• Các tam giác ABC, BCD, CDA, ABD là các mặt bên của tứ diện;
• Hai cạnh không đi qua một đỉnh được gọi là hai cạnh đối nhau;
• Đỉnh không nằm trên một mặt được gọi là đỉnh đối diện với mặt đó.

Hình chóp và hình tứ diện đều có 4 đỉnh, 4 mặt và 6 cạnh như nhau, nhưng hình chóp có phân biệt mặt bên và mặt đáy, trong khi hình tứ diện thì không quy ước gọi đâu là mặt đáy, đâu là mặt bên.

Hình chóp đều

• Định nghĩa: Hình chóp đều là hình chóp có các cạnh bên bằng nhau và mặt đáy là một đa giác đều.
• Tính chất: Trong hình chóp đều, chân đường cao của hình chóp trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.

Như vậy, từ định nghĩa suy ra:

• Hình chóp là hình chóp đều khi và chỉ khi đáy của nó là đa giác đều và chân đường cao của nó trùng với tâm của đa giác đáy.
• Hình chóp là hình chóp đều khi và chỉ khi đáy của nó là đa giác đều và các cạnh bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau.

2. Hình chóp cụt

Hình chóp cụt

 

Hình chóp cụt đều

Cho hình chóp cụt đều $S.A_1A_2…A_n$. Một mặt phẳng $(P)$ song song với mặt đáy cắt các cạnh bên $SA_1, SA_2,…,SA_n$ lần lượt tại $A’_1, A’_2,…, A’_n$. Phần hình  nằm giữa đáy và mặt phẳng $(P)$ gọi là hình chóp đều.

• Đa giác $A_1A_2A_3… A_n$ và thiết diện $A’_1A’_2A’_3… A’_n$ gọi là hai mặt đáy;
• Các hình thang cân $A_1A’_1A’_2A_2,…, A_nA’_nA’_1A_1$ là các mặt bên;
• Đoạn thẳng nối hai tâm O và O’ của hai đáy gọi là đường cao của hình chóp cụt đều.

3. Hình lăng trụ

Hình lăng trụ là gì?

Hình hợp bởi các hình bình hành $A_1A’_1A’_2A_2,A_2A_3A’_3A’_2…, A_nA’_nA’_1A_1$ và hai miền đa giác $A_1A_2A_3… A_n; A’_1A’_2A’_3… A’_n$ nằm trong hai mặt phẳng song song đươc goi là hình lăng trụ.

• Các hình bình hành $A_1A’_1A’_2A_2,A_2A_3A’_3A’_2…, A_nA’_nA’_1A_1$ là các mặt bên;
• Hai miền đa giác $A_1A_2A_3… A_n; A’_1A’_2A’_3… A’_n$ là hai mặt đáy (hai hình đa giác này bằng nhau);
• Các đoạn thẳng $A_1A’_1,…, A_nA’_n$ là các cạnh bên;
• Các đoạn thẳng $A_1A_2,A’_1A’_2,…, A_nA_1, A’_nA’_1$ là các cạnh đáy của hình lăng trụ.

Ký hiệu hình lăng trụ: $A_1A_2…A_n.A’_1A’_2…A’_n$.

Gọi tên lăng trụ theo tên các đa giác đáy: Lăng trụ tam giác (có đáy là tam giác), lăng trụ tứ giác (có đáy là tứ giác),…

Hình lăng trụ đứng

• Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với mặt đáy.
• Nhận xét: Các mặt bên của hình lăng trụ đứng là các hình chữ nhật và vuông góc với mặt đáy.

Hình lăng trụ đều

• Hình lăng trụ đều là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.
• Nhận xét: Các mặt bên của hình lăng trụ đều là các hình chữ nhật bằng nhau. Ngoài ra, hình lăng trụ đều có các tính chất của hình lăng trụ đứng.

4. Hình hộp

Hình hộp là gì?

Hình lăng trụ tứ giác có đáy là hình bình hành được gọi là hình hộp.

Nhận xét:

• Sáu mặt (bốn mặt bên và hai mặt đáy) đều là những hình bình hành.
• Mỗi mặt có một mặt song song với nó, hai mặt như thế gọi là hai mặt đối diện.

Hình hộp đứng

• Hình hộp đứng là hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành.
• Nhận xét: Trong hình hộp đứng có bốn mặt bên là hình chữ nhật.

Hình hộp chữ nhật

Hình hộp chữ nhật là hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật.

Nhận xét: Tất cả sáu mặt của hình hộp chữ nhật đều là hình chữ nhật.

Hình lập phương

Hình lập phương là hình hộp có tất cả sáu mặt là hình vuông. (Các hình vuông này bằng nhau).

Điểm và đường thẳng trong không gian

1. Tóm tắt lý thuyết về điểm và đường thẳng trong không gian

Ba cách xác định một mặt phẳng

• Qua ba điểm không thẳng hàng $ A,B,C $; kí hiệu là $ (ABC) $ hoặc $ mp(ABC). $

• Qua đường thẳng $ d$ và điểm $M\notin d$; kí hiệu là $ mp(d,M) $

• Qua hai đường thẳng $ d_1,d_2 $ cắt nhau; kí hiệu là $ mp(d_1,d_2) $

Quy tắc vẽ hình biểu diễn của hình không gian

• Hình biểu diễn của đường thẳng là đường thẳng, của đoạn thẳng là đoạn thẳng.
• Hình biểu diễn của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song, của hai đường thẳng cắt nhau là hai đường thẳng cắt nhau.
• Hình biểu diễn phải giữ nguyên quan hệ liên thuộc giữa điểm và đường thẳng.
• Đường nhìn thấy vẽ nét liền, đường bị che khuất vẽ nét đứt.
• Trên cùng một đường thẳng} hoặc trên hai đường thẳng song song} thì tỉ lệ về độ dài được giữ nguyên. Đặc biệt, hình biểu diễn của trung điểm là trung điểm.

Các tính chất thừa nhận

• Có một và chỉ một đường thẳng qua hai điểm phân biệt
• Nếu một đường thẳng có hai điểm nằm trong mặt phẳng thì tất cả các điểm còn lại của đường thẳng đó đều thuộc mặt phẳng đã cho.
• Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung , thì chúng còn có điểm chung khác nữa. Do đó, chúng có chung một đường thẳng, gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng.
• Trên mỗi mặt phẳng, các kết quả đã biết trong hình học phẳng đều đúng.
• Có ít nhất bốn điểm không đồng phẳng.

Hình chóp

• Cho đa giác $ A_1A_2…A_n $ nằm trên mặt phẳng $(P)$ và điểm $ S $ nằm ngoài mặt phẳng $(P)$ thì hình chóp $ S.A_1A_2…A_n $ là hình gồm đa giác $ A_1A_2…A_n $ và $ n $ tam giác có $ S $ là đỉnh chung: $ SA_1A_2,SA_2A_3,… SA_nA_1. $

• Ta gọi tên hình chóp tùy theo số cạnh của đa giác đáy, ví dụ hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác, hình chóp ngũ giác…
• Tứ diện là hình gồm có bốn điểm không đồng phẳng.

Một số hình không gian thường gặp

Để học tốt hình học không gian, việc đầu tiên là các em cần vẽ hình đúng các quy tắc. Khi vẽ hình đúng rồi, chúng ta cần lựa chọn cách vẽ làm sao cho dễ nhìn nhất có thể. Dưới đây là cách vẽ hình chuẩn của một số hình không gian thường gặp.

• Hình chóp tam giác, tứ diện

• Hình chóp tứ giác có đáy không là hình thang (đáy là một tứ giác bất kì)

• Hình chóp tứ giác có đáy là hình thang

• Hình chóp tứ giác có đáy là hình bình hành, hình chữ nhật, hình vuông

• Hình chóp ngũ giác

• Hình chóp lục giác

2. Bài tập điểm và đường thẳng trong không gian

Dạng 1. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng

Mời thầy cô và các em xem chi tiết trong bài Cách tìm giao tuyến của hai mặt phẳng

Dạng 2. Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng

Mời thầy cô và các em xem chi tiết trong bài Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng

Dạng 3. Chứng minh thẳng hàng, đồng quy

Mời thầy cô và các em xem chi tiết trong bài Cách chứng minh thẳng hàng trong hình học không gian

Dạng 4. Xác định giao tuyến của hình chóp khi cắt bởi một mặt phẳng

Mời thầy cô và các em học sinh xem chi tiết trong các bài viết sau:

• Thiết diện là gì và các phương pháp tìm thiết diện
• Xác định thiết diện bằng phương pháp giao tuyến gốc
• Phương pháp tìm thiết diện bằng phép chiếu xuyên tâm
• Chuyên đề thiết diện trong hình học không gian