O₂ Education

Tag: mệnh đề

  • Cách lập mệnh đề phủ định

    Cách lập mệnh đề phủ định

    Cách lập mệnh đề phủ định

    Để lập mệnh đề phủ định của một mệnh đề, trước tiên các em cần biết được thế nào là một mệnh đề và mệnh đề phủ định là gì. Có thể xem chi tiết trong bài Mệnh đề toán học và Lý thuyết và Bài tập mệnh đề. Dưới đây, chúng tôi xin nhắc lại các kiến thức liên quan.

    Mệnh đề phủ định là gì?

    Cho mệnh đề $P$, mệnh đề “Không phải $P$” được gọi là mệnh đề phủ định của mệnh đề $P$, kí hiệu là $ \overline{P} $.

    Nếu mệnh đề $P$ đúng thì mệnh đề $ \overline{P} $ sai và ngược lại.

    Cách lập mệnh đề phủ định của một mệnh đề

    Như vậy, để lập mệnh đề phủ định của một mệnh đề, chúng ta chỉ cần thêm cụm từ “KHÔNG PHẢI” vào trước cụm từ đó. Tuy nhiên, cách làm này khiến người đọc khó hiểu nên chúng ta thường sử dụng các từ ngữ trái nghĩa để diễn đạt lại mệnh đề đã cho.

    Một số từ và cụm từ trái nghĩa thường sử dụng:

    • Trái nghĩa của “bằng” là “không bằng” hoặc “khác”;
    • Trái nghĩa với “vô nghiệm” là “có nghiệm”;
    • Trái nghĩa của “lớn hơn” là “nhỏ hơn hoặc bằng”;
    • Trái nghĩa của “nhỏ hơn” là “lớn hơn hoặc bằng”;
    • Trái nghĩa của “dương” là “không dương” tức là “nhỏ hơn hoặc bằng $0$”;…

    Chú ý. Cho hai mệnh đề P và Q.

    • Phủ định của mệnh đề “P và Q” là “Không P hoặc không Q”.
    • Phủ định của mệnh đề “P hoặc Q” là “Không P và không Q”.

    Ví dụ 1. Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau:

    1. Phương trình $x^2+1=0$ vô nghiệm.
    2. Tam giác đều có ba góc bằng nhau.
    3. Số $13$ là một số nguyên tố.
    4. Số $2$ và $7$ đều là số nguyên tố.
    5. An và Bình đều có vé xem phim.
    6. Số tự nhiên $n$ chia hết cho $2$ và cho $3$ thì nó chia hết cho $6$.

    Hướng dẫn. Mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề đã cho là:

    1. Phương trình $x^2+1=0$ có nghiệm.
    2. Tam giác đều không có ba góc bằng nhau.
    3. Số $13$ không là số nguyên tố.
    4. Mệnh đề đã cho nghĩa là “Số $2$ là số nguyên tố và $7$ là số nguyên tố” nên mệnh đề phủ định là “Số $2$ hoặc $7$ không là số nguyên tố”.
    5. An hoặc Bình không có vé xem phim.
    6. Số tự nhiên $n$ không chia hết cho $2$ hoặc $3$ thì nó không chia hết cho $6$.

    Riêng đối với các mệnh đề có chứa cụm từ “với mọi, tất cả, tồn tại, có ít nhất” hoặc các kí tự ∀ và ∃ có dạng $$\forall x \in \mathcal{D}, P(x) $$ chúng ta có hai bước:

    • Chuyển kí tự ∀ thành ∃ hoặc chuyển kí tự ∃ thành ∀
    • Lập mệnh đề phủ định của $P(x)$.

    Ví dụ 2. Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau:

    Tất cả học sinh lớp 10A4 Xuân Trường B đều có gấu.

    Hướng dẫn. Chúng ta thực hiện hai bước:

    • Chuyển từ “tất cả” thành “có ít nhất”;
    • Chuyển “có gấu” thành “không có gấu”.

    Từ đó có mệnh đề phủ định là “Có ít nhất một học sinh lớp 10A4 Xuân Trường B không có gấu”.

    Ví dụ 3. Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau:

    1. $ \forall x\in \mathbb{R}, x^2+1>0 $,
    2. $ \forall x\in \mathbb{R}, x^2-3x+2=0$,
    3. $ \exists n\in \mathbb{N}, n^2+2 $ chia hết cho 4,
    4. $ \exists n\in \mathbb{Q}, 2n+1\ne 0$.

    Hướng dẫn.

    1. $\exists x \in \mathbb{R}, x^2+1 \leqslant 0$,
    2. $\exists x \in \mathbb{R}, x^2-3x+2\ne 0$,
    3. $ \forall n \in \mathbb{N}, n^2+2 $ không chia hết cho 4,
    4. $ \forall n \in \mathbb{Q}, 2n+1 = 0$.

    Các em học sinh có thể tham khảo thêm bài tập tại Bài tập Mệnh đề toán học.

  • Điều kiện cần và đủ là gì?

    Điều kiện cần và đủ là gì?

    Điều kiện cần và đủ là gì?

    1. Điều kiện cần là gì, điều kiện đủ là gì?

    Trong Toán học, chúng ta rất hay gặp các mệnh đề có dạng “Nếu $P$ thì $Q$” hoặc viết dưới dạng kí hiệu là $P \Rightarrow Q$, chẳng hạn:

    • Nếu trời mưa thì nghỉ học.
    • Một số tự nhiên tận cùng bằng $5$ thì chia hết cho $5$.

    Trong các mệnh đề có dạng $P \Rightarrow Q$ này thì $P$ được gọi là giả thiết, $Q$ được gọi là kết luận. Hoặc, có thể nói:

    • $P$ là điều kiện đủ để có $Q$;
    • $Q$ là điều kiện cần để co $P$.

    Chúng ta xét mệnh đề “Nếu trời mưa thì nghỉ học“.

    Rõ ràng, chỉ cần gặp trời mưa là đủ để suy ra nghỉ học, tức là trời mưa đủ để có nghỉ học, nên nó được gọi là điều kiện đủ. Ngược lại, nghỉ học thì chưa đủ để suy ra trời mưa, vì có thể hôm đó cô giáo ốm 🙂

    Nhưng tại sao lại gọi là điều kiện cần, vì không có nghỉ học (tức là vẫn đi học) thì chắc chắn không thể có trời mưa. Lí do, nếu trời mưa thì đã nghỉ học rồi, đâu có đến lớp nữa.

    Như vậy, “trời mưa là điều kiện đủ của nghỉ học” còn “nghỉ học là điều kiện cần của trời mưa“.

    Để hiểu rõ hơn, chúng ta tiếp tục xét vài ví dụ nữa.

    • Một số tự nhiên tận cùng bằng $5$ thì chia hết cho $5$.
      • Một số mà chữ số cuối cùng là $5$ thì chắc chắn chia hết cho $5$, nên có thể nói đây Một số tự nhiên tận cùng bằng $5$ là điều kiện đủ để số đó chia hết cho $5$.
      • Ngược lại, một số chia hết cho $5$ là cần thiết nhưng chưa đủ để suy ra số đó tận cùng bằng $5$, vì số đó có thể tận cùng là $0$.
    • Một số chia hết cho $6$ thì chia hết cho $3$.
      • Tương tự, một số chia hết cho $6$ thì chắc chắn chia hết cho $3$ nên một số chia hết cho $6$ là điều kiện đủ để số đó chia hết cho $3$.
      • Ngược lại, một số chia hết cho $3$ thì cần thiết nhưng chưa đủ để suy ra số đó chia hết cho $6$, nó còn phải chẵn nữa mới đủ.

    Trong cuộc sống, nói đến điều kiện cần điều kiện đủ chúng ta có thể hiểu:

    A là điều kiện cần của B nếu bất cứ khi nào có B thì có A nhưng không phải lúc nào có A cũng có B.
    A là điều kiện đủ của B nếu bất cứ khi nào ta có A thì có B nhưng không phải với bất kỳ B ta đều được A.

    2. Điều kiện cần và đủ là gì?

    Nếu mệnh đề P ⇒ Q và Q ⇒ P đều đúng thì ta có mệnh đề P ⇔ Q là một mệnh đề đúng. Khi đó, ta nói P là điều kiện cần và đủ để có Q, hoặc cũng nói Q là điều kiện cần và đủ để có P.

    Thuật ngữ “cần và đủ” còn được thay thế bằng các thuật ngữ “khi và chỉ khi”, “nếu và chỉ nếu” hoặc “tương đương”.

    Trong cuộc sống, chúng ta thường nói A là điều kiện cần và đủ của B nếu bất kỳ A nào ta cũng có B và bất kì B nào cũng có A.

  • Lý thuyết và Bài tập mệnh đề

    Lý thuyết và Bài tập mệnh đề

    Lý thuyết và Bài tập mệnh đề

    Chúng tôi xin giới thiệu Tài liệu Lý thuyết và Bài tập mệnh đề của thầy Trần Sĩ Tùng để Thầy cô và các em học sinh tham khảo.

    I. Tóm tắt kiến thức

    1. Mệnh đề

    • Mệnh đề là một câu khẳng định đúng hoặc một câu khẳng định sai.
    • Một mệnh đề không thể vừa đúng, vừa sai.

    2. Mệnh đề phủ định

    Cho mệnh đề $P$.

    • Mệnh đề “Không phải P” được gọi là mệnh đề phủ định của $P$ và kí hiệu là $\overline{P}$.
    • Nếu $P$ đúng thì $\overline{P}$ sai, nếu $P$ sai thì $\overline{P}$ đúng.

    3. Mệnh đề kéo theo

    Cho hai mệnh đề $P$ và $Q$.

    • Mệnh đề “Nếu P thì Q” được gọi là mệnh đề kéo theo và kí hiệu là $P ⇒ Q$.
    • Mệnh đề $P ⇒ Q$ chỉ sai khi $P$ đúng và $Q$ sai.

    Chú ý: Các định lí toán học thường có dạng P ⇒ Q.

    Khi đó:

    • P là giả thiết, Q là kết luận;
    • P là điều kiện đủ để có Q;
    • Q là điều kiện cần để có P.

    Mời các em xem thêm Điều kiện cần và đủ là gì?

    4. Mệnh đề đảo

    Cho mệnh đề kéo theo P ⇒ Q. Mệnh đề Q ⇒ P được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề P ⇒ Q.

    5. Mệnh đề tương đương

    Cho hai mệnh đề P và Q.
    • Mệnh đề “P nếu và chỉ nếu Q” đgl mệnh đề tương đương và kí hiệu là P ⇔ Q.
    • Mệnh đề P ⇔ Q đúng khi và chỉ khi cả hai mệnh đề P ⇒ Q và Q ⇒ P đều đúng.
    Chú ý: Nếu mệnh đề P ⇔ Q là một định lí thì ta nói P là điều kiện cần và đủ để có Q.

    6. Mệnh đề chứa biến

    Mệnh đề chứa biến là một câu khẳng định chứa biến nhận giá trị trong một tập X nào đó mà với mỗi giá trị của biến thuộc X ta được một mệnh đề.

    7. Kí hiệu ∀ và ∃

    • “∀x ∈ X, P(x)”
    • “∃x ∈ X, P(x)”
    • Mệnh đề phủ định của mệnh đề “∀x ∈ X, P(x)” là “∃x ∈ X, $\overline{{P(x)}}$”.
    • Mệnh đề phủ định của mệnh đề “∃x ∈ X, P(x)” là “∀x ∈ X, $\overline{{P(x)}}$”.

    8. Phép chứng minh phản chứng

    Giả sử ta cần chứng minh định lí: A ⇒ B.

    • Cách 1: Ta giả thiết A đúng. Dùng suy luận và các kiến thức toán học đã biết chứng minh B đúng.
    • Cách 2: (Chứng minh phản chứng) Ta giả thiết B sai, từ đó chứng minh A sai. Do A không thể vừa đúng vừa sai nên kết quả là B phải đúng.

    9. Bổ sung kiến thức về mệnh đề

    Cho hai mệnh đề P và Q.

    • Mệnh đề “P và Q” được gọi là giao của hai mệnh đề P và Q và kí hiệu là P ∧ Q.
    • Mệnh đề “P hoặc Q” được gọi là  hợp của hai mệnh đề P và Q và kí hiệu là P ∨ Q.
    • Phủ định của giao, hợp hai mệnh đề: $$\overline{P\wedge Q}=\overline{P}\vee \overline{Q}, \overline{P\vee Q}=\overline{P}\wedge \overline{Q}$$

    II. Bài tập mệnh đề

    Bài 1. Trong các câu dưới đây, câu nào là mệnh đề, câu nào là mệnh đề chứa biến:

    a) Số $11$ là số chẵn.
    b) Bạn có chăm học không?
    c) Huế là một thành phố của Việt Nam.
    d) $2x + 3$ là một số nguyên dương.
    e) $2-\sqrt{5}<0$.
    f) $4 + x = 3$.
    g) Hãy trả lời câu hỏi này!.
    h) Paris là thủ đô nước Ý.
    i) Phương trình ${{x}^{2}}-x+1=0$ có nghiệm.
    k) $13$ là một số nguyên tố.

    Bài 2. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là đúng? Giải thích?

    a) Nếu $a$ chia hết cho $9$ thì $a$ chia hết cho $3$.
    b) Nếu $a\ge b$ thì ${{a}^{2}}\ge {{b}^{2}}$.
    c) Nếu $a$ chia hết cho $3$ thì $a$ chia hết cho $6$.
    d) Số $\pi $ lớn hơn 2 và nhỏ hơn 4.
    e) 2 và 3 là hai số nguyên tố cùng nhau.
    f) 81 là một số chính phương.
    g) $5 > 3$ hoặc $5 < 3$.
    h) Số 15 chia hết cho 4 hoặc cho 5.

    Bài 3. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là đúng? Giải thích?

    a) Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng có diện tích bằng nhau.
    b) Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng đồng dạng và có một cạnh bằng nhau.
    c) Một tam giác là tam giác đều khi và chỉ khi chúng có hai đường trung tuyến bằng nhau và có một góc bằng ${{60}^{0}}$.
    d) Một tam giác là tam giác vuông khi và chỉ khi nó có một góc bằng tổng của hai góc còn lại.
    e) Đường tròn có một tâm đối xứng và một trục đối xứng.
    f) Hình chữ nhật có hai trục đối xứng.
    g) Một tứ giác là hình thoi khi và chỉ khi nó có hai đường chéo vuông góc với nhau.
    h) Một tứ giác nội tiếp được đường tròn khi và chỉ khi nó có hai góc vuông.

    Bài 4. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là đúng ? Giải thích ? Phát biểu các mệnh đề đó thành lời:

    a) $\forall x\in R,{{x}^{2}}>0$.
    b) $\exists x\in R,x>{{x}^{2}}$
    c) $\exists x\in Q,4{{{x}}^{2}}-1=0$.
    d) $\forall n\in N,{{n}^{2}}>n$.
    e) $\forall x\in \mathbb{R},x^2-x+1>0$.
    f) $\forall x\in \mathbb{R},x^2>9 \Rightarrow x>3$.
    g) $\forall x\in R,x>3\Rightarrow {{x}^{2}}>9$.
    h) $\forall x\in R,{{x}^{2}}<5\Rightarrow x<\sqrt{5}$
    i) $\exists x\in R,5x-3{{x}^{2}}\le 1$
    k) $\exists x\in N,{{x}^{2}}+2x+5$ là hợp số.
    l) $\forall n\in N,{{n}^{2}}+1$ không chia hết cho 3.
    m) $\forall n\in {{N}^{*}},n(n+1)$ là số lẻ.
    n) $\forall n\in {{N}^{*}},n(n+1)(n+2)$ chia hết cho 6.

    Bài 5. Điền vào chỗ trống từ nối “và” hay “hoặc” để được mệnh đề đúng:

    a) $\pi <4…\pi >5$.
    b) $ab=0$ khi $a=0\,…\,b=0$.
    c) $ab\ne 0$ khi $a\ne 0\,…\,b\ne 0$
    d) $ab>0$ khi $a>0\,…\,b>0\,…\,a<0\,…\,b<0$.
    e) Một số chia hết cho 6 khi và chỉ khi nó chia hết cho 2 … cho 3.
    f) Một số chia hết cho 5 khi và chỉ khi chữ số tận cùng của nó bằng 0 … bằng 5.

    Bài 6. Cho mệnh đề chứa biến P(x), với x ∈ R. Tìm x để P(x) là mệnh đề đúng:

    a) $P(x):”{{x}^{2}}-5{x}+4=0″$
    b) $P(x):”{{x}^{2}}-5{x}+6=0″$
    c) $P(x):”{{x}^{2}}-3x>0″$
    d) $P(x):”\sqrt{x}\ge x”$
    e) $P(x):”2x+3\le 7″$
    f) $P(x):”{{x}^{2}}+x+1>0″$

    Bài 7. Nêu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau:

    a) Số tự nhiên n chia hết cho 2 và cho 3.
    b) Số tự nhiên n có chữ số tận cùng bằng 0 hoặc bằng 5.
    c) Tứ giác T có hai cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau.
    d) Số tự nhiên $n$ có ước số bằng $1$ và bằng $n$.

    Bài 8. Nêu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau:
    a) $\forall x\in R:{{x}^{2}}>0$ .
    b) $\exists x\in R:x>{{x}^{2}}$.
    c) $\exists x\in Q:4{{x}^{2}}-1=0$.
    d) $\forall x\in R:{{x}^{2}}-x+7>0$.
    e) $\forall x\in R:{{x}^{2}}-x-2<0$.
    f) $\exists x\in R:{{x}^{2}}=3$.
    g) $\forall n\in N,{{n}^{2}}+1$ không chia hết cho 3.
    h) $\forall n\in N,{{n}^{2}}+2n+5$ là số nguyên tố.
    i) $\forall n\in N,{{n}^{2}}+n$ chia hết cho 2.
    k) $\forall n\in N,{{n}^{2}}-1$ là số lẻ.

    Bài 9. Phát biểu các mệnh đề sau, bằng cách sử dụng khái niệm “điều kiện cần”, “điều kiện đủ”:

    a) Nếu một số tự nhiên có chữ số tận cùng là chữ số 5 thì nó chia hết cho 5.
    b) Nếu $a+b>0$ thì một trong hai số a và b phải dương.
    c) Nếu một số tự nhiên chia hết cho 6 thì nó chia hết cho 3.
    d) Nếu $a=b$ thì ${{a}^{2}}={{b}^{2}}$.
    e) Nếu $a$ và $b$ cùng chia hết cho $c$ thì $a + b$ chia hết cho $c$.

    Bài 10. Phát biểu các mệnh đề sau, bằng cách sử dụng khái niệm “điều kiện cần”, “điều kiện đủ”:

    a) Trong mặt phẳng, nếu hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì hai đường thẳng ấy song song với nhau.
    b) Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúng có diện tích bằng nhau.
    c) Nếu tứ giác T là một hình thoi thì nó có hai đường chéo vuông góc với nhau.
    d) Nếu tứ giác H là một hình chữ nhật thì nó có ba góc vuông.
    e) Nếu tam giác K đều thì nó có hai góc bằng nhau.

    Bài 11. Phát biểu các mệnh đề sau, bằng cách sử dụng khái niệm “điều kiện cần và đủ”:

    a) Một tam giác là vuông khi và chỉ khi nó có một góc bằng tổng hai góc còn lại.
    b) Một tứ giác là hình chữ nhật khi và chỉ khi nó có ba góc vuông.
    c) Một tứ giác là nội tiếp được trong đường tròn khi và chỉ khi nó có hai góc đối bù nhau.
    d) Một số chia hết cho 6 khi và chỉ khi nó chia hết cho 2 và cho 3.
    e) Số tự nhiên $n$ là số lẻ khi và chỉ khi ${{n}^{2}}$ là số lẻ.

    Bài 12. Chứng minh các mệnh đề sau bằng phương pháp phản chứng:

    a) Nếu $a+b<2$ thì một trong hai số $a$ và $b$ nhỏ hơn $1$.
    b) Một tam giác không phải là tam giác đều thì nó có ít nhất một góc nhỏ hơn ${{60}^{0}}$.
    c) Nếu $x\ne -1$ và $y\ne -1$ thì $x+y+xy\ne -1$.
    d) Nếu bình phương của một số tự nhiên n là một số chẵn thì n cũng là một số chẵn.
    e) Nếu tích của hai số tự nhiên là một số lẻ thì tổng của chúng là một số chẵn.
    f) Nếu một tứ giác có tổng các góc đối diện bằng hai góc vuông thì tứ giác đó nội tiếp được đường tròn.
    g) Nếu ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=0$ thì $x = 0$ và $y = 0$.

  • Một số phát biểu không phải mệnh đề

    Một số phát biểu không phải mệnh đề

    Một số phát biểu không phải mệnh đề

    Các câu cảm thán, câu mệnh lệnh, câu hỏi đều không phải mệnh đề vì chúng không có tính đúng/sai một cách rõ ràng.

    Ngoài ra còn có những khẳng định mà tính đúng — sai của chúng chưa thể kiểm chứng được, chẳng hạn như khẳng định “Trên Sao Hỏa có sự sống.” Đây là một mệnh đề, vì nó chỉ có thể hoặc đúng hoặc sai, mặc dù chúng ta chưa biết là nó đúng hay sai. Những mệnh đề dạng này có rất nhiều, một ví dụ nữa là định lí lớn Fermat. Tuy nhiên, cần phân biệt chúng với những phát biểu mà chúng ta không thể chỉ ra được nó đúng hay sai, xét ví dụ sau:

    “Tôi luôn luôn nói dối.”

    Đây không là một mệnh đề. Nếu đây là mệnh đề đúng, thì nghĩa là tôi luôn nói dối, do đó nội dung của câu nói trên phải ngược lại, tức là tôi luôn luôn nói thật! Còn nếu đây là mệnh đề sai thì nghĩa là tôi luôn luôn nói thật, mà tôi đã luôn luôn nói thật thì những câu tôi nói ra phải đúng, do đó câu tôi nói ở trên cũng phải đúng, tức là tôi luôn luôn nói dối! Có rất nhiều phát biểu dạng này, hãy xem xét câu chuyện sau:

    Trên đường đi cứu công chúa, hoàng tử phải đi qua một vương quốc có ông vô cùng vua tàn ác. Thật không may, chàng bị bắt và giải đến trước mặt nhà vua. Nhà vua tàn ác ra lệnh: “Bây giờ ta cho ngươi nói một câu. Nếu ngươi nói đúng thì bị chặt đầu, nếu ngươi nói sai thì bị treo cổ!” Hỏi rằng hoàng tử phải nói câu gì?

    phát biểu không phải mệnh đề

  • Bài tập Mệnh đề toán học

    Bài tập Mệnh đề toán học

    Bài tập Mệnh đề toán học

    Để làm được các Bài tập Mệnh đề toán học này, các em học sinh cần nắm vững lý thuyết ở bài Mệnh đề toán học.

    Bài 1. Trong các câu dưới đây, câu nào là mệnh đề, nếu là mệnh đề thì xét xem nó đúng hay sai?

    • “Số 11 là số nguyên tố.”
    • “Vai trò của Quốc Hội là gì?”
    • “Hà Nội là thủ đô của Việt Nam.”
    • “$\sqrt{3}+\sqrt{2}=\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$.”
    • “$ \forall n\in \mathbb{N}, n^2+n $ là số chẵn.”
    • “$ \forall n\in \mathbb{N}, 2n^2+1 $ chia hết cho 3.”
    • “Tam giác nào cũng có ít nhất một góc nhỏ hơn 60$ ^\circ $.”
    • “Tồn tại một hình thang có ba góc tù.”

    Bài 2. Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và xét tính đúng sai của nó:

    • Mọi hình vuông đều là hình thoi.
    • Có một tam giác cân không là tam giác đều.
    • Mọi số tự nhiên đều không chia hết cho 2 và 3.
    • $ \forall x\in \mathbb{R}, f(x)>0 \Rightarrow f(x)\leqslant 0$ vô nghiệm.
    • Phương trình $ x^2+1=0 $ vô nghiệm và phương trình $ x+3=0 $ có nghiệm.

    Bài 3.  Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau:

    • $ \forall x\in \mathbb{R}, x^2+1>0 $,
    • $ \forall x\in \mathbb{R}, x^2-3x+2=0$,
    • $ \exists n\in \mathbb{N}, n^2+2 $ chia hết cho 4,
    • $ \exists n\in \mathbb{Q}, 2n+1\ne 0$,
    • $ x\leqslant 0 $ hoặc $ x>1$,
    • $ 1<x<3. $

    Bài 4. Cho đa thức $f(x)=ax^2+bx+c$. Xét mệnh đề: “Nếu $a+b+c=0$ thì phương trình $f(x)=0$ có một nghiệm bằng $ 1 $”. Hãy phát biểu mệnh đề đảo của mệnh đề trên. Nêu một điều kiện cần và đủ để phương trình $f(x)=0$ có một nghiệm bằng $ 1 $.

    Bài 5. Phát biểu định lý sau, sử dụng thuật ngữ “điều kiện đủ”.

    • Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúng đồng dạng.
    • Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.
    • Nếu một số tự nhiên tận cùng là 5 thì số đó chia hết cho 5.

    Bài 6. Phát biểu định lý sau, sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần”.

    • Hình chữ nhật có hai đường chéo bằng nhau.
    • Nếu một số tự nhiên chia hết cho 6 thì nó chia hết cho 3.
    • Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúng có diện tích bằng nhau.

    Bài 7. Trên bàn là ba cuốn sách giáo khoa: Văn, Toán, Địa lí được bọc ba màu khác nhau: xanh, đỏ, vàng. Biết rằng cuốn bọc bìa màu đỏ đặt giữa cuốn Văn và Địa lí, cuốn Địa lí và cuốn màu xanh mua cùng một ngày. Bạn hãy xác định mỗi cuốn sách đã bọc bìa màu gì.

    Hướng dẫn. Lập bảng dữ kiện. Đáp số: Văn màu xanh, Toán màu đỏ, Địa lí màu vàng.

    Bài 8. Trong một bảng đấu loại bóng đá có bốn đội Mùa Xuân, Mùa Hạ, Mùa Thu và Mùa Đông. Người ta đưa ra 3 dự đoán:

    • Đội Mùa Xuân nhì, đội Mùa Hạ nhất.
    • Đội Mùa Hạ nhì, đội Mùa Đông ba.
    • Đội Mùa Thu nhì, đội Mùa Đông tư.

    Kết quả cả ba dự đoán đều có một ý đúng, một ý sai. Hãy xác định thứ tự của mỗi đội.

    Bài 9. Có ba nhà triết gia Hy-Lạp cổ, sau một cuộc tranh luận căng thẳng và cũng vì trời hè nóng nực nên đã nằm ngủ dưới gốc cây trong vườn của Viện Hàn lâm. Có mấy thợ thông lò đi qua tinh nghịch đã bôi nhọ lên trán cả ba triết gia. Khi ba nhà thông thái tỉnh dậy, họ nhìn nhau và cùng phá lên cười. Ai cũng yên chí rằng chỉ có hai người kia bị nhọ và họ cười nhau, còn mình thì cười họ. Thế nhưng, trong khoảnh khắc, một triết gia không cười nữa vì ông ta suy đoán ra trên trán ông ta cũng bị nhọ. Vậy nhà thông thái đó suy luận như thế nào?

    Bài 10. Đến một ngôi đền cổ có ba vị thần: Thần Thật Thà luôn nói thật, thần Dối Trá luôn nói dối và thần Khôn Ngoan lúc nói thật lúc nói dối. Để biết cách tiêu diệt rồng lửa cứu công chúa, hoàng tử phải hỏi vị thần Thật Thà. Nhưng ba vị thần trông giống hệt nhau. Để xác định vị nào là thần Thật Thà, chàng đã hỏi vị thần bên trái:

    – Bài Ai ngồi cạnh ngài? Đó là thần Thật Thà.

    Hoàng tử hỏi thần ngồi giữa: – Ngài là ai? Ta là thần Khôn Ngoan.

    Sau cùng chàng hỏi thần bên phải: Bài Ai ngồi cạnh ngài? Đó là thần Dối Trá.

    Nghe xong, hoàng tử bối rối không xác định được đâu là thần Thật Thà. Bạn hãy giúp hoàng tử!

    Bài 11. [Câu đố của Einstein] Vào cuối thế kỉ 19, Einstein ra câu đố này và nói rằng chỉ có nhiều nhất là 2% dân số trên thế giới giải được. Bạn có muốn vào con số ít ỏi thế không? Nếu giải được thì chỉ số IQ của bạn không dưới 140 đâu nhé.

    câu đố của einstein

    Có 5 ngôi nhà, mỗi nhà có một màu khác nhau. Trong mỗi nhà ở một người có quốc tịch khác nhau. Mỗi người chỉ thích một loại nước uống, hút thuốc một hãng và nuôi một con vật trong nhà. Cả 5 người không cùng thích một loại nước uống, hút thuốc cùng một hãng hay nuôi cùng một con vật trong nhà như người hàng xóm của mình. Câu hỏi: Ai nuôi cá?, biết rằng:

    • Người Anh ở trong nhà màu đỏ.
    • Người Thuỵ Điển nuôi chó.
    • Người Đan Mạch thích uống trà.
    • Ngôi nhà màu xanh lá cây nằm bên trái ngôi nhà màu trắng.
    • Người ở nhà màu xanh lá cây thích uống cà phê.
    • Người hút thuốc hiệu Pall Mall nuôi chim.
    • Người ở nhà màu vàng hút thuốc hiệu Dunhill.
    • Người ở nhà nằm giữa thích uống sữa.
    • Người Na-uy ở nhà đầu tiên.
    • Người hút thuốc hiệu Blends ở cạnh nhà người có nuôi mèo.
    • Người có nuôi ngựa ở cạnh nhà người hút thuốc hiệu Dunhill.
    • Người hút thuốc hiệu Blue Master thích uống bia.
    • Người Đức hút thuốc hiệu Prince.
    • Người Na-uy ở cạnh nhà màu xanh lơ.
    • Người hút thuốc hiệu Blends có người hàng xóm thích uống nước khoáng.

    Hướng dẫn. Mời các em xem lời giải tại đây Ai là người nuôi cá? Câu đố của Einstein 98% dân số thế giới không giải được!

    Bài 12. [SASMO 2015] Albert, Bernard vừa kết bạn với Cheryl và họ muốn biết ngày sinh nhật của cô. Cheryl đã đưa cho họ một danh sách với 10 ngày là: 15/5, 16/5, 19/5, 17/6, 18/6, 14/7,16/7, 14/8, 15/8 và 17/8.

    Bài toán ngày sinh nhật SASMO 2015

    Cheryl sau đó đã nói riêng với Albert về tháng và Bernard về ngày sinh của mình.

    Albert: Bài Tôi không biết sinh nhật của Cheryl là ngày nào nhưng tôi biết Bernard cũng không biết nhiều hơn.

    Bernard: Bài Lúc đầu tôi không biết sinh nhật Cheryl nhưng bây giờ thì tôi đã biết.

    Albert: Bài Bây giờ tôi cũng biết sinh nhật Cheryl là ngày nào.

    Vậy, Cheryl sinh nhật vào ngày nào?

    Hướng dẫn. Mời bạn xem lời giải tại đây Bài toán ngày sinh nhật SASMO 2015

    Bài 13. Một người nông dân phải đưa một con sói, một con dê và một bắp cải qua sông bằng một chiếc thuyền. Tuy nhiên thuyền của anh ta quá nhỏ, do đó, mỗi lần qua sông anh chỉ mang được mỗi một trong ba đồ vật trên đi cùng với anh ta. Hỏi làm thế nào anh nông dân có thể mang tất cả ba đồ vật trên qua sông, biết rằng con sói không thể để lại ở một mình với con dê, còn con dê thì không thể để ở lại một mình với bắp cải.

    Bài 14. Trong bốn đồng tiền có ba đồng tiền thật khối lượng như nhau và một đồng tiền giả có khối lượng khác. Làm thế nào để tìm được đồng tiền giả bằng hai lần cân, sử dụng cân có hai đĩa và không có quả cân.

    Hướng dẫn. Lần cân thứ nhất, đặt nên mỗi quả cân một đồng tiền…

    Bài 15. Có 16 chai rượu trong đó có một chai rượu giả, nhẹ hơn tất cả các chai còn lại. Làm thế nào chỉ ba lần cân xác định được chai nào giả?

    Hướng dẫn. Chia 16 chai rượu thành 3 nhóm: 2 nhóm 6 và 1 nhóm 4.

    Bài 16. Làm thế nào để lấy được 6 lít nước từ sông về, nếu trong tay chỉ có hai cái thùng, một thùng dung tích 4 lít, một thùng dung tích 9 lít và không thùng nào có vạch chia dung tích?

    Hướng dẫn. Kí hiệu $ (a,b) $ là trạng thái thùng $ 4 $ lít đang chứa $ a $ lít $ (0\leqslant a \leqslant 4) $ và thùng 9 lít đang chứa $ b $ lít $ (0\leqslant b\leqslant 9). $ Khi đó việc lấy 6 lít nước từ sông về được diễn tả qua các trạng thái sau:

    (0,0) ➡️ (0,9)➡️(4,5) ➡️ (0,5) ➡️ (4,1) ➡️ (0,1) ➡️ (1,9) ➡️(4,6)

    Bài 17. Trong một can có 16 lít xăng. Làm thế nào để chia số xăng đó thành hai phần bằng nhau, mỗi phần 8 lít, nếu chỉ dùng thêm một can 11 lít và một can 6 lít?

    Hướng dẫn. Kí hiệu $ (a,b,c) $ là trạng thái can 16 lít chứa $ a $ lít xăng, can 11 lít chứa $ b $ lít xăng và can 6 lít chứa $ c $ lít xăng.
    Việc chia 16 lít xăng thành 2 phần bằng nhau được diễn tả qua các trạng thái sau:

    (16,0,0) ➡️ (10,0,6) ➡️(10,6,0) ➡️ (4,6,6) ➡️ (4,11,1)➡️ (15,0,1)➡️ (15,1,0) ➡️
    (9,1,6) ➡️(9,7,0) ➡️(3,7,6)➡️(3,11,2) ➡️(14,0,2) ➡️(14,2,0)➡️(8,2,6)➡️(8,8,0).

    Bài 18. Chứng minh rằng nếu $n^2 $ là số chẵn thì $ n $ cũng là số chẵn.

    Bài 19. Chứng minh rằng $ \sqrt{2} $ là số vô tỷ.

    Bài 20. Chứng minh rằng có vô hạn số nguyên tố.

    Hướng dẫn. Sử dụng phương pháp phản chứng của Euclide.

    Bài 21. Chứng minh rằng nếu $ x^2+y^2=0 $ thì $ x=0 $ và $ y=0. $

    Bài 22. Chứng minh các định lí sau:

    1. Với mọi số nguyên dương $ n, $ nếu $ n^2 $ là số lẻ thì $ n $ là số lẻ.
    2. Với mọi số nguyên dương $ n, $ nếu $ n^2 $ chia hết cho 3 thì $ n $ chia hết cho 3.
    3. Nếu $ a,b,c $ là ba cạnh tam giác vuông ($ a $ là cạnh huyền) thì $ b $ hay $ c $ chia hết cho 3.

    Hướng dẫn. Ta chứng minh bằng phương pháp phản chứng.

    1. Giả sử ngược lại, $ n $ là số chẵn, thế thì $ n = 2k. $ Suy ra: $ n^2 = 4k^2 $ là số chẵn: vô lí. Vậy điều giả sử là sai, tức là mệnh đề cho là đúng.

    2. Giả sử ngược lại, $ n $ không chia hết cho 3 tức $ n = 3k\pm 1. $ Khi đó: \[ n^2 = 9k^2 \pm 6k + 1 = 3(3k^2 \pm 2k) + 1 \] Tức là $ n^2 $ cũng không chia hết cho 3. Vậy điều giả sử là sai, tức là mệnh đề cho là đúng.

    3. Giả sử ngược lại, $ b $ và $ c $ không chia hết cho 3, thế thì: $ b = 3m\pm 1 , c = 3n\pm 1.$ Suy ra: \[ b^2 + c^2 = 9(m^2 + n^2 ) \pm 6m \pm 6n + 2 \] Số này chia cho 3 thì dư 2, trong khi:

    • Nếu $ a=3k $ thì $ a^2 $ chia hết cho 3.
    • Nếu $ a=3k\pm 1 $ thì $ a^2=3(3k^2\pm 2k)+1 $ chia cho 3 dư 1.

    Do đó $ a^2 $ luôn không có dạng khác $ 3k + 2 $, nên mệnh đề: $ a^2 = b^2 + c^2 $ là sai. Dẫn tới điều giả sử là sai, tức là mệnh đề đã cho là đúng.

    Bài 23. Có 50 đôi tất giống hệt nhau, nhưng bị xếp lộn xộn ở trong tủ. Hỏi phải lấy ít nhất mấy chiếc tất để được một đôi?

    Bài 24. Trên đường tròn có bán kính là 100 m, lấy 630 điểm tùy ý. Chứng minh rằng có ít nhất hai điểm cách nhau không đến 1 m.

    Hướng dẫn. Giả sử không có hai điểm nào cách nhau dưới 1 m , tức mọi cặp điểm đều cách nhau 1 m trở lên. Vì độ dài cung luôn lớn hơn độ dài dây cung, nên chu vi đường tròn sẽ lớn hơn tổng độ dài của 630 dây cung, mỗi dây cung đều dài từ 1 m trở lên. Do đó chu vi đường tròn sẽ lớn hơn 630 m. Nhưng đường tròn có bán kính là 100 m, nên chu vi phải là $ 2\pi R = 200\cdot3,1415.< 630$m: vô lí. Vậy điều giả sử là sai, tức mệnh đề đã cho là đúng.

    Bài 25. Trong hình vuông đơn vị (cạnh bằng 1) có 101 điểm. Chứng minh rằng có năm điểm trong các điểm đã chọn được phủ bởi một đường tròn bán kính $ 1/7. $

    Hướng dẫn. Chia hình vuông ra làm 25 hình vuông bằng nhau, mỗi cạnh của hình vuông là 0,2. Vì có 101 điểm, mà chỉ có 25 hình vuông, nên theo nguyên lí Dirichlet tồn tại hình vuông nhỏ chứa ít nhất năm điểm (trong 101 điểm đã cho). Vì hình vuông này nội tiếp trong đường tròn bán kính $ R<1/7 $

  • Toán 10 – Mệnh đề toán học

    Toán 10 – Mệnh đề toán học

    Toán 10 – Mệnh đề toán học

    Bài này giới thiệu Lý thuyết và các ví dụ về Mệnh đề toán học trong chương trình Toán 10. Phần bài tập, mời các em tham khảo tại bài viết Bài tập Mệnh đề toán học.

    1. Khái niệm mệnh đề

    Trong thực tế cuộc sống, ta thường gặp các phát biểu [khẳng định] về một sự kiện, hiện tượng, tính chất nào đó, mà tính đúng — sai rất rõ ràng, chẳng hạn: “Tam giác đều có ba cạnh bằng nhau”, “Hà Nội là thủ đô của Việt Nam”, “Số $ \pi $ là số vô tỉ”…

    Những khẳng định này có một đặc điểm chung, đó là tính đúng — sai hoàn toàn xác định, chúng ta có thể biết được khẳng định đó hoặc là đúng, hoặc là sai, mà không phụ thuộc vào ý kiến chủ quan của người phát biểu. Người ta gọi đó là những mệnh đề toán học hoặc mệnh đề logic hay gọi tắt là mệnh đề, và định nghĩa như sau:

    Mệnh đề là một câu khẳng định [phát biểu] đúng hoặc sai. Một mệnh đề không thể vừa đúng vừa sai.

    Mệnh đề thường được kí hiệu bằng các chữ cái in hoa, chẳng hạn

    $ P $: “Hà Nội là thủ đô của Việt Nam”.

    Một khẳng định đúng được gọi là một mệnh đề đúng, một khẳng định sai được gọi là một mệnh đề sai. Ví dụ, “Số $ \pi $ là số vô tỉ” là một mệnh đề đúng, còn “Phương trình $ x^2+1=0 $ có nghiệm” là một mệnh đề sai.

    Các câu mệnh lệnh, câu hỏi không có tính đúng sai, còn câu cảm thán thì tính đúng sai còn phụ thuộc vào ý kiến chủ quan của từng cá nhân, nên chúng không là các mệnh đề. Chẳng hạn, phát biểu “Trời mưa ở Nam Định vào ngày 01/4/2021” là một mệnh đề, trong khi “Có phải hôm nay trời mưa?” hoặc “Trời mưa to quá!” không phải là mệnh đề.

    Ngoài ra còn có các khẳng định mà không thể xác định được tính đúng sai, mời bạn xem tại bài Một số phát biểu không phải mệnh đề.

    Ví dụ 1. Các khẳng định sau có là mệnh đề không? Nếu có, thì cho biết đó là mệnh đề đúng hay sai.

    • $ A: $ “12 là số nguyên tố.”
    • $ B: $ “$ \pi $ không là số hữu tỉ.”
    • $ C: $ “Cấm hút thuốc lá!”
    • $ D: $ “Bài tập này khó quá!”
    • $ E: $ “Nếu hai tam giác có diện tích bằng nhau thì hai tam giác ấy bằng nhau.”
    • $ F: $ “Một tam giác đều khi và chỉ khi tam giác đó cân và có một góc bằng $ 60^\circ$.”
    • $ G: $ “Tổng các góc trong một tam giác bằng $ 360^\circ. $”

    2. Mệnh đề phủ định

    Khi làm việc với các mệnh đề, chúng ta rất hay gặp các cặp mệnh đề mà tính đúng — sai của chúng trái ngược nhau, chẳng hạn, xét mệnh đề $ P: $ “Hình thoi có bốn cạnh bằng nhau.” thì phát biểu “Hình thoi không có bốn cạnh bằng nhau.” hoặc “Không phải hình thoi có bốn cạnh bằng nhau”. Chúng được gọi là mệnh đề phủ định của mệnh đề $ P $, vì mệnh đề $ P $ đúng nên mệnh đề phủ định của nó sai.

    Mệnh đề “Không phải $ P $” là mệnh đề phủ định của mệnh đề $ P, $ kí hiệu $ \overline{P}. $ Nếu $ P $ đúng thì $ \overline{P} $ sai và ngược lại.

    Để tạo ra mệnh đề phủ định từ một mệnh đề cho trước, chúng ta chỉ việc thêm vào trước mệnh đề đã cho cụm từ “không phải”, hoặc ta tìm những từ ngữ trái nghĩa để phát biểu. Để hiểu rõ hơn, ta xét ví dụ sau đây.

    Ví dụ 2. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau và lập mệnh đề phủ định mệnh:

    • $ P: $ “Hình vuông có hai đường chéo bằng nhau.”
    • $ Q: $ “Phương trình $ x^4+1=0 $ vô nghiệm.”
    • $ R: $ “$\sqrt{2}>\frac{3}{2}$.”
    • $ S: $ “$(\sqrt{2}-\sqrt{18})^2>8$.”
    • $ T: $ “Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.”
    • $ U: $ “Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì chúng song song với nhau.”

    Xem thêm Cách lập mệnh đề phủ định

    3. Mệnh đề kéo theo, mệnh đề tương đương

    Khi chứng minh một bài toán, hầu hết các mệnh đề chúng ta sử dụng có dạng “Nếu — thì”, chúng được gọi là các mệnh đề kéo theo.

    Cho hai mệnh đề $P$ và $ Q $, mệnh đề “Nếu $ P $ thì $ Q $” được gọi là mệnh đề kéo theo và kí hiệu là “$ P\Rightarrow Q$”.

    Tính đúng — sai của mệnh đề kéo theo được xác định như sau, mệnh đề “$P\Rightarrow Q$” sai khi $ P $ đúng, $ Q $ sai và đúng trong các trường hợp còn lại. Chẳng hạn,

    • Nếu $ P $ là “25 là một số chính phương”, và $ Q $ là “25 là một hợp số”, thì mệnh đề $ P\Rightarrow
      Q $ là đúng vì cả $ P $ và $ Q $ đều đúng.
    • Nếu $ P $ là “25 là một số chính phương”, và $ Q $ là “25 là một số nguyên tố”, thì mệnh đề $ P\Rightarrow
      Q $ là sai vì $ P $ đúng còn $ Q $ đều sai.
    • Nếu $ P $ là “25 là một số nguyên tố”, và $ Q $ là “25 là một số chẵn”, thì mệnh đề $ P\Rightarrow
      Q $ là đúng vì cả $ P $ và $ Q $ đều sai. Hơn nữa, nếu mệnh đề $ P $ sai thì mệnh đề $ P\Rightarrow Q$ luôn luôn đúng.

    Chúng ta xét hai mệnh đề sau, $ P $: “Hai tam giác bằng nhau” và $ Q $: “Hai tam giác có diện tích bằng nhau”.

    Khi đó, mệnh đề “$ P \Rightarrow Q$” là: “Nếu hai tam giác bằng nhau thì hai tam giác có diện tích bằng nhau”.

    Ta thấy, nếu có $ P $, tức là nếu có điều kiện “hai tam giác bằng nhau” thì đủ để suy ra chúng có diện tích bằng nhau, tức là suy ra $ Q $; còn nếu có diện tích bằng nhau thì chưa đủ để suy ra chúng bằng nhau. Nói là chưa đủ tức là cần phải có thêm một số điều kiện nữa, chẳng hạn chúng phải đồng dạng, mới đủ để suy ra chúng bằng nhau. Nhưng nếu không có điều kiện diện tích bằng nhau thì không thể có chuyện chúng bằng nhau được, tức là có diện tích bằng nhau là điều kiện cần thiết nhưng chưa đủ để suy ra chúng bằng nhau.

    Trong trường hợp tổng quát, $ P $ gọi là giả thiết, $ Q $ gọi là kết luận, hoặc:

    • $ P $ là điều kiện đủ để có $ Q,$
    • $ Q$ là điều kiện cần để có $ P. $

    Để hiểu rõ hơn về điều kiện cần, điều kiện đủ mời các em xem trong bài Điều kiện cần và đủ là gì?

    Cho mệnh đề “$ P\Rightarrow Q$”. Mệnh đề “$ Q\Rightarrow P $” được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề “$ P\Rightarrow Q $”.

    Ví dụ 3. Phát biểu mệnh đề đảo của các định lí sau, xét xem chúng đúng hay sai.

    A: “Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau thì là hình thoi.”
    B: “Hình vuông là tứ giác có bốn góc vuông”

    Cho hai mệnh đề $P$ và $ Q $. Mệnh đề “$ P $ nếu và chỉ nếu $ Q $” được gọi là mệnh đề tương đương và kí hiệu là “$ P\Leftrightarrow Q $”. Mệnh đề “$ P\Leftrightarrow Q $” đúng khi và chỉ khi cả hai mệnh đề $ P $ và $ Q $ đều đúng hoặc đều sai.

    Khi đó, chúng ta nói rằng “$ P $ là điều kiện cần và đủ để có $ Q$”.

    Ví dụ 4. Lập mệnh đề đảo của các định lí sau và cho biết các mệnh đề này đúng hay sai. Sử dụng mệnh đề tương đương, nếu được.

    • “Nếu tứ giác là hình vuông thì tứ giác có bốn cạnh bằng nhau”.
    • “Nếu hai tam giác bằng nhau thì hai tam giác ấy đồng dạng và có một cạnh bằng nhau”.
    • “Nếu hai số nguyên lẻ thì tích của chúng là số lẻ”.

    Hướng dẫn.

    • Mệnh đề đảo là mệnh đề: “Nếu tứ giác có bốn cạnh bằng nhau thì tứ giác là hình vuông”. Mệnh đề này sai vì hình thoi cũng có 4 cạnh bằng nhau nhưng không phải là hình vuông.
    • Mệnh đề đảo là mệnh đề: “Nếu hai tam giác đồng dạng và có một cạnh bằng nhau thì hai tam giác ấy bằng nhau”. Mệnh đề này sai vì hai tam giác $ ABC $ và $ A’B’C’ $ có các cạnh tương ứng là 3, 4,6 và 6, 8, 12 thì đồng dạng và có một cạnh bằng nhau là 6 nhưng không bằng nhau.
    • Mệnh đề đảo là mệnh đề: “Nếu tích của hai số nguyên là lẻ thì hai số nguyên là lẻ”. Mệnh đề này đúng, do đó có thể phát biểu: “Hai số nguyên là lẻ khi và chỉ khi tích của chúng là số lẻ”.

    Phương pháp chứng minh phản chứng

    Một phương pháp rất hiệu quả để chứng minh các mệnh đề dạng “$ A\Rightarrow B $” là phương pháp phản chứng. Cụ thể, để chứng minh mệnh đề “$ A\Rightarrow B $” là đúng ta chứng minh mệnh đề “$ \overline{B}\Rightarrow \overline{A} $” đúng.

    Ví dụ 5. Chứng minh nếu tích hai số nguyên $ a $ và $ b $ là lẻ thì $ a $ và $ b $ đều là số lẻ.

    Hướng dẫn. Giả sử ngược lại, không phải $ a $ và $ b $ đều lẻ, tức là $ a $ chẵn hoặc $ b $ chẵn. Khi đó $ ab $ chẵn, mâu thuẫn với giả thiết. Vậy nếu tích hai số nguyên $ a $ và $ b $ là lẻ thì $ a $ và $ b $ là lẻ.

    Ví dụ 6. Cho $ a,b,c $ là ba số thực bất kì, chứng minh có ít nhất một trong các bất đẳng thức sau là đúng:
    $$ a^2+b^2\geqslant 2bc ,\quad b^2+c^2\geqslant 2ca,\quad c^2+a^2\geqslant 2ab $$

    Hướng dẫn. Giả sử ngược lại, cả ba bất đẳng thức đều sai, tức là “$ a^2+b^2<2bc $”, “$ b^2+c^2<2ca $”, “$ c^2+a^2< 2ab $”. Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên đươc \[ a^2+b^2+c^2<2bc+2ca+2ab. \] Suy ra $ (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2<0, $ điều này là vô lý. Vậy điều ta giả sử là sai, tức là có ít nhất một trong ba bất đẳng thức đã cho là đúng.

    Ví dụ 7. Trong mặt phẳng cho sáu điểm, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Mỗi đoạn thẳng nối từng cặp điểm được tô màu đỏ hoặc xanh. Chứng minh rằng tồn tại ba điểm trong số sáu điểm đã cho, sao cho chúng là ba đỉnh của một tam giác mà các cạnh của nó được tô cùng một màu.

    Hướng dẫn. Xét $ A $ là một trong số sáu điểm đã cho. Khi đó xét năm đoạn thẳng (mỗi đoạn thẳng nối điểm $ A $ với năm điểm còn lại). Vì mỗi đoạn thẳng chỉ được tô hoặc màu đỏ hoặc màu xanh, nên theo nguyên lí Dirichlet có ít nhất ba trong năm đoạn nói trên cùng màu. Giả sử là các đoạn $ AB_1, AB_2, AB_3 $ và có thể cho rằng chúng cùng màu xanh. Chỉ có hai khả năng sau xảy ra:

    • Nếu ít nhất một trong ba đoạn $ B_1B_2, B_2B_3, B_3B_1 $ màu xanh thì tồn tại một tam giác với ba cạnh xanh và kết luận của bài toán đúng trong trường hợp này.
    • Nếu không phải như vậy, tức là $ B_1B_2, B_2B_3, B_3B_1 $ màu đỏ, thì ba điểm phải tìm là $ B_1, B_2, B_3, $ vì $ B_1B_2B_3 $ là tam giác với ba cạnh đỏ.

    3. Mệnh đề chứa biến

    Xét phát biểu: $$ x+2>0 $$ đây không phải là một mệnh đề, vì chúng ta chưa biết được tính đúng — sai của nó, tuy nhiên khi ta cho $ x $ một giá trị cụ thể nào đó, thì ta được một mệnh đề, chẳng hạn khi ta cho $ x=-2 $ thì được một mệnh đề sai “$ -2+2>0$”, còn khi cho $ x=1 $ ta lại được một mệnh đề đúng “$ 1+2>0 $”.

    Những phát biểu có dạng như phát biểu trên được gọi là các mệnh đề chứa biến.

    Những phát biểu mà tính đúng — sai của chúng tùy thuộc vào giá trị của biến được gọi là những mệnh đề chứa biến. Mệnh đề chứa biến $ P(x) $ là một phát biểu chứa biến $ x, $ mà với mỗi giá trị của biến $ x $ thì ta được một mệnh đề.

    Ví dụ 8. Tìm $ x $ để các mệnh đề sau là đúng.

    • “$ x $ là số tự nhiên nhỏ hơn 15 và chia hết cho 3”
    • “$ 2x^2-5x+2=0 $”
    • “$ x $ là số dương thỏa mãn $ (x-2)^2>x^2+13 $”
    • “$ x $ không thỏa mãn phương trình $ (2x-5)(x+6)=0 $”

    Cho mệnh đề chứa biến $ P(x) $ với $ x\in \mathbb{D} $ thì phát biểu:

    • “Với mọi $ x\in \mathbb{D}, P(x) $ đúng” là một mệnh đề, kí hiệu là “$ \forall x\in \mathbb{D},P(x) $”. Mệnh đề này sai nếu có ít nhất một $ x_0\in \mathbb{D} $ sao cho $ P(x_0) $ sai.
    • “Tồn tại $ x\in \mathbb{D}, P(x) $ đúng” là một mệnh đề, kí hiệu là “$ \exists x\in \mathbb{D},P(x) $”. Mệnh đề này đúng nếu có ít nhất một $ x_0\in \mathbb{D} $ sao cho $ P(x_0) $ đúng.

    Để lập mệnh đề phủ định của hai mệnh đề trên, ta hãy xem xét một mệnh đề cụ thể sau

    “Mọi học sinh lớp 10A5 cao trên $ 1{,}6 $ m.”

    Mệnh đề này đúng hay sai? Mệnh đề phủ định của nó là gì? Mệnh đề phủ định là “Không phải mọi học sinh lớp 10A5 cao trên 1,6m”. Điều đó nghĩa là gì? Nghĩa là “Có ít nhất một học sinh lớp 10A5 không cao trên 1,6m”. Nói cách khác, tức là “Tồn tại học sinh lớp 10A5 không cao trên 1,6m”. Từ đó, ta có kết luận trong trường hợp tổng quát như sau:

    Mệnh đề phủ định của “$ \forall x\in \mathbb{D},P(x) $” là “$ \exists x\in \mathbb{D},\overline{P(x)}$”.
    Mệnh đề phủ định của “$ \exists x\in \mathbb{D},P(x) $” là “$ \forall x\in \mathbb{D},\overline{P(x)}. $”

    Mời thầy cô và các em học sinh tham khảo thêm trong bài Cách lập mệnh đề phủ định.

    Ví dụ 9. Các mệnh đề sau đúng hay sai và phủ định các mệnh đề ấy:

    • “$ \forall x, x^2+x+1>0 $”
    • “$ \forall x, x^2\geqslant x $”
    • “$ \forall x, x^2-3x+2=0 $”
    • “$ \exists x, x^3-4x^2+3x-3>0 $”
    • “$ \exists x,x^2+4x+5=0 $”
    • “$ \forall n\in \mathbb{N}, (2n+1)^2-1 $ chia hết cho 4”