O₂ Education

Tag: phương trình bậc 2

  • So sánh 1 số với 2 nghiệm của phương trình bậc hai

    So sánh 1 số với 2 nghiệm của phương trình bậc hai

    So sánh 1 số với 2 nghiệm của phương trình bậc hai

    Để so sánh một số với hai nghiệm của phương trình bậc hai, chúng ta sử dụng định lý đảo về dấu tam thức bậc hai.

    1. So sánh 1 số với 2 nghiệm của phương trình bậc hai

    Cho tam thức bậc hai $ f(x)=ax^2+bx+c $, với $ a\ne 0 $, có hai nghiệm phân biệt $ x_1<x_2 $ và một số $ \alpha$. Khi đó, ta có các kết quả sau

    1.1. Số α nằm trong khoảng hai nghiệm

    • Số $\alpha$ nằm giữa hai nghiệm, tức là $ x_1<\alpha<x_2 $ điều kiện cần và đủ là $$a\cdot f(\alpha)<0$$

    1.2. Số α nằm ngoài khoảng hai nghiệm

    • Số $\alpha$ nằm về bên trái hai nghiệm $x_1,x_2$ (nói cách khác, số $\alpha$ bé hơn hai nghiệm), tức là $ \alpha<x_1<x_2$ điều kiện cần và đủ là $$\begin{cases} \Delta >0\\ a\cdot f(\alpha)>0\\ \alpha<\frac{S}{2} \end{cases}$$
    • Số $\alpha$ nằm về bên phải hai nghiệm $x_1,x_2$, (nói cách khác, số $\alpha$ lớn hơn hai nghiệm)tức là $ x_1<x_2<\alpha$ điều kiện cần và đủ là  $$ \begin{cases}
      \Delta >0\\ a\cdot f(\alpha)>0\\ \frac{S}{2}<\alpha \end{cases}$$

    1.3. So sánh nghiệm của phương trình bậc hai với số 0

    Đặc biệt, khi $\alpha=0$ chúng ta có các bài toán:

    • Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm trái dấu: Tức là $x_1<0<x_2$, khi đó $f(\alpha) = f(0) =c$ nên điều kiện cần và đủ là $$ac<0$$
    • Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi  $$ \begin{cases} \Delta >0\\ ac>0\\ -\frac{b}{a}>0\end{cases}$$
    • Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm âm phân biệt khi và chỉ khi  $$ \begin{cases} \Delta >0\\ ac>0\\ -\frac{b}{a}<0\end{cases}$$

    Đôi khi, người ta còn đặt tổng 2 nghiệm là $x_1+x_2=S=-\frac{b}{a}$, tích hai nghiệm là $x_1 x_2=P=\frac{c}{a}$ thì các điều kiện trên trở thành:

    • Phương trình bậc 2 có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi $P<0$.
    • Phương trình bậc 2 có hai nghiệm cùng dấu khi và chỉ khi $$ \begin{cases} \Delta >0\\ P>0\end{cases}$$
    • Phương trình bậc 2 có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi  $$ \begin{cases} \Delta >0\\ P>0\\ S>0\end{cases}$$
    • Phương trình bậc 2 có hai nghiệm âm phân biệt khi và chỉ khi  $$ \begin{cases} \Delta >0\\ P>0\\ S<0\end{cases}$$

    2. So sánh nghiệm với hai số cho trước α < β

    • Phương trình có hai nghiệm thỏa mãn ${{x}_{1}}<\alpha <\beta <{{x}_{2}}\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}   & af(\alpha )<0 \\ & af(\beta )<0 \\ \end{align} \right.$
    • Phương trình có hai nghiệm thỏa mãn ${{x}_{1}}<\alpha <{{x}_{2}}<\beta \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}   & af(\alpha )<0 \\ & af(\beta )>0 \\ \end{align} \right.$
    • Phương trình có hai nghiệm thỏa mãn $\alpha <{{x}_{1}}<\beta <{{x}_{2}}\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}   & af(\alpha )>0 \\  & af(\beta )<0 \\ \end{align} \right.$
    • Phương trình có hai nghiệm phân biệt và chỉ có một nghiệm thuộc khoảng $(\alpha;\beta)$ khi và chỉ khi $$f(\alpha).f(\beta) < 0$$
    • Phương trình có hai nghiệm phân biệt và $\alpha <{{x}_{1}}<{{x}_{2}}<\beta \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}   & \Delta >0 \\  & af(\alpha )>0 \\  & af(\beta )>0 \\  & \frac{S}{2}-\alpha >0 \\  & \frac{S}{2}-\beta <0 \\ \end{align} \right.$

    3. Ví dụ về so sánh nghiệm phương trình bậc hai với một số

    Ví dụ 1. Tìm $m$ để phương trình: ${{x}^{2}}-2mx+m+2=0$

    • Có hai nghiệm trái dấu;
    • Có hai nghiệm cùng lớn hơn $1$.

    Hướng dẫn.

    • Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi $$P=\frac{c}{a}=m+2<0\Leftrightarrow m<-2$$
      Vậy $m<-2$ là giá trị cần tìm.
    • Phương trình có hai nghiệm ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ cùng lớn hơn 1 khi và chỉ khi $$ \begin{cases} \Delta >0\\ a.f(1)>0\\
      {-b}{2a}>0 \end{cases} $$ Giải hệ này ta tìm được đáp số $2\leqslant m<3$.

    Cách khác, không sử dụng định lý đảo về dấu tam thức bậc hai, mà chúng ta sử dụng định lí Viète:

    • Phương trình có hai nghiệm $x_1,x_2$ khi và chỉ khi $$\Delta’={{m}^{2}}-m-2\geqslant 0\Leftrightarrow m\in (-\infty,-1]\cup[2,+\infty)$$
    • Khi đó, cả hai nghiệm của phương trình đều lớn hơn $ 1$, tức là $ x_1-1>0$ và $ x_2-1>0$. Do đó, chúng ta có \begin{align*}
      \begin{cases} x_1-1>0\\ x_2-1>0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}  (x_1-1)(x_2-1)>0\\ (x_1-1)+(x_2-1)>0
      \end{cases}\end{align*}
    • Nhân ra và sử dụng Viète, thay $ x_1x_2=m+2$ và $ x_1+x_2=2m$ chúng ta được hệ \begin{align}
      \begin{cases} m+2-2m+1>0\\2m-2>0 \end{cases} \Leftrightarrow 1<m<3 \end{align}
      Kết hợp với điều kiện ta có $2\leqslant m<3$ là những giá trị cần tìm.

    Ví dụ 2.  Cho phương trình $ {x^2} + 2mx – 3{m^2} = 0$. Tìm $ m$ để phương trình có hai nghiệm $ x_1, x_2$ thoả mãn $ {x1} < 1 < {x_2}.$
    Hướng dẫn. Đặt $ f\left( x \right) = {x^2} + 2mx – 3{m^2}$. Yêu cầu bài toán tương đương với
    $$ af\left( 1 \right) < 0 \Leftrightarrow 1 \cdot f\left( 1 \right) < 0 \Leftrightarrow {1^2} + 2m – 3{m^2} < 0 \Leftrightarrow – 3{m^2} + 2m + 1 < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m > 1\\ m < – \frac{1}{3} \end{array} \right. $$.

    Ví dụ 3. Cho phương trình $ {x^2} + 2mx – 3{m^2} = 0$. Tìm m để phương trình có hai nghiệm $ x_1, x_2$ và số $ \alpha =1$ nằm ngoài khoảng hai nghiệm.

    Hướng dẫn. Đặt $ f\left( x \right) = {x^2} + 2mx – 3{m^2}$. Ta có $ \Delta ‘ = {m^2} – \left( { – 3{m^2}} \right) = 4{m^2}$.
    Yêu cầu bài toán tương đương
    $$ \left\{ \begin{array}{l} \Delta ‘ > 0\\ af\left( \alpha \right) > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 4{m^2} > 0\\ – 3{m^2} + 2m + 1 > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m \ne 0\\ – \frac{1}{3} < m < 1 \end{array} \right. $$.

    4. Bài tập so sánh nghiệm phương trình bậc hai

    Bài 1. Tìm giá trị của $ m $ để phương trình sau có nghiệm cùng dấu. Khi đó hai nghiệm mang dấu gì?

    • $ x^2-2mx+5m-4=0; $
    • $ mx^2+mx+3=0. $

    Bài 2. Tìm $ m $ để phương trình $ (m+1)x^2+2(m+4)x+m+1=0 $ có một nghiệm, hai nghiệm phân biệt cùng dấu, hai nghiệm âm phân biệt?

    Bài 3. Tìm $ m $ để phương trình $ (m-4)x^2-2(m-2)x+m-1=0 $ có hai nghiệm cùng dấu, hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn, đúng một nghiệm dương, hai nghiệm đối nhau?

    Bài 4. Tìm $m$ để phương trình $ mx^2-2(m-3)x+m-4=0 $ có đúng một nghiệm không dương.

    Bài 5. Tìm $ m $ để phương trình $ (m+1)x^2-2x+m-1=0 $ có ít nhất một nghiệm không âm.

    Bài 6. So sánh số $1$ với nghiệm của phương trình $ 2x^2 – 18x + 17 = 0$ [TD10BD70]
    Bài 7. So sánh số $- 2$ với nghiệm của phương trình $f(x) = (m^2 + 1)x^2 – 5(m^2 + 1)x – m^2 + m – 1 = 0$ [TD11BD70]
    Bài 8. Tìm $ m$ để các phương trình sau có hai nghiệm

    • $ mx^2 + (m – 1)x + 3 – 4m = 0$ và thoả mãn $ x_1 < 2 < x_2$ [VD1TTM19]
    • $ (m + 1)x^2 – (m – 3)x + m + 1 = 0$ và thoả mãn $ -1 < x_1 \leqslant x_2$
    • $ (m + 1)x^2 + mx + 3 = 0$ và thoả mãn $ x_1 < – 2 < 1 < x_2$ [VD-TTM27]
    • $ x^2 – 2mx + m = 0$ và thoả mãn $ x_1, x_2\in (-1;3)$
    • $ x^2 – 2x – 3m = 0$ và thoả mãn $\frac{m}{2}\le {{x}_{1}}<1<{{x}_{2}}$

    Bài 9. Tìm $ m$ để phương trình sau có nghiệm

    • $ (x^2 + 2x)2 – 4m(x^2 + 2x) + 3m + 1 = 0$ [VD1TTM23]
    • $ x^4 + mx^3 + 2mx^2 + mx + 1 = 0$ [VD!TTM31]

    Bài 10. Tìm $ m$ để phương trình $ (m + 1)x^2 – 3mx + 4m = 0$ có duy nhất một nghiệm lớn hơn $ 1$.

    Bài 11. Cho phương trình $ x^2 – (2m – 3)x + m2 – 3m = 0$. Xác định $ m$ để phương trình có hai nghiệm $ x_1 ; x_2$ thoả mãn $ 1 < x_1 < x_2 < 6$.

    Bài 12. Cho phương trình $ 2x^2 + (2m – 1)x + m – 1 = 0$. Xác định $ m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt $ x_1 ; x_2$ thoả mãn: $ – 1 < x_1 < x_2 < 1.$

    Bài 13. Cho $ f(x) = x^2 – 2(m + 2)x + 6m + 1.$

    • Chứng minh rằng phương trình $ f(x) = 0$ có nghiệm với mọi $ m$.
    • Đặt $ x = t + 2$. Tính $ f(x)$ theo $ t$, từ đó tìm điều kiện đối với $ m$ để phương trình $ f(x) = 0$ có hai nghiệm lớn hơn $ 2$.

    Bài 14. Cho phương trình bậc hai: $ x^2 + 2(a + 3)x + 4(a + 3) = 0$.

    • Với giá trị nào của tham số $ a$, phương trình có nghiệm kép. Tính các nghiệm kép.
    • Xác định $ a$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt lớn hơn $ – 1$.

    Bài 15. Cho phương trình: $ x^2 + 2(m – 1)x – (m + 1) = 0$.

    • Tìm giá trị của $ m$ để phương trình có một nghiệm nhỏ hơn $ 1$ và một nghiệm lớn hơn $ 1$.
    • Tìm giá trị của $ m$ để phương trình có hai nghiệm nhỏ hơn $ 2$.

    Bài 16. Tìm $m$ để phương trình: $ x^2 – mx + m = 0$ có nghiệm thoả mãn $ x_1 \leqslant – 2 \leqslant x_2$

    Bài 17. Cho biểu thức \[ A=\left(1-\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\right):\left(\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}+\frac{\sqrt{x}+2}{3-\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}+2}{x-5\sqrt{x}+6}\right). \] Tìm $ m $ để có $ x $ thoả mãn $ A(\sqrt{x}+1)=m(x+1)-2 $.

    Bài 18. Tìm $ m $ để có $ x<0 $ sao cho \[ m=\frac{x(1-x^2)^2}{1+x^2}:\left[\left(\frac{1-x^3}{1-x}+x\right)\left(\frac{1+x^3}{1+x}-x\right)\right]. \]

    Bài 19. Tìm $ m $ để có $ x<0 $ sao cho \[ m=\sqrt{x}-\frac{\sqrt{4x}-9}{x-5\sqrt{x}+6}+\frac{2\sqrt{x}+1}{3-\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}. \]

  • Giải và biện luận phương trình bậc 2

    Giải và biện luận phương trình bậc 2

    Giải và biện luận phương trình bậc 2

    Giải và biện luận phương trình bậc 2 là dạng toán quan trọng, không chỉ xuất hiện trong các đề thi học kì, đề thi HSG mà còn xuất hiện cả trong các bài tập Tin học, lập trình.

    Xem thêm: Phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước

    1. Cách giải và biện luận phương trình bậc 2

    Để giải và biện luận phương trình bậc 2, chúng ta tính $\Delta$ và dựa vào đó để biện luận. Chú ý rằng, trong thực tế chúng ta thường gặp bài toán tổng quát: Giải và biện luận phương trình $ax^2+bx+c=0$ với hệ số $a$ có chứa tham số. Lúc đó, quy trình giải và biện luận như sau.

    Bài toán: Giải và biện luận phương trình $ax^2+bx+c=0$

    Chúng ta xét 2 trường hợp chính:

    • Trường hợp 1. Nếu $a=0$ thì phương trình $ax^2+bx+c=0$ trở thành $$bx+c=0$$ Đây chính là dạng phương trình bậc nhất $ax+b=0$ đã biết cách giải. Các em học sinh xem chi tiết tại Giải và biện luận phương trình ax+b=0
    • Trường hợp 2. Nếu $a\ne 0$ thì phương trình đã cho là phương trình bậc hai có: $$\Delta=b^2-4ac$$ Chúng ta lại xét tiếp 3 khả năng của $\Delta$:
      • $\Delta<0$: Phương trình vô nghiệm;
      • $\Delta=0$: Phương trình có một nghiệm $ x=\frac{-b}{2a}$, đôi khi ta còn gọi là nghiệm kép;
      • $\Delta>0$: Phương trình có hai nghiệm (phân biệt), đặt là $ x_1,x_2$ được tính bởi $$ x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}, x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}. $$

    Cuối cùng, chúng ta tổng hợp các trường hợp lại thành một kết luận chung.

    2. Ví dụ Giải và biện luận phương trình bậc 2

    Ví dụ 1. Giải và biện luận phương trình bậc 2 theo tham số $m$ $$2x^2+3x+m-5=0$$

    Hướng dẫn. Chúng ta có có $ \Delta=3^2-4\cdot 2\cdot(m-5)=49-8m$. Do đó, có 3 trường hợp sau:

    • Trường hợp 1. Nếu $ \Delta <0 \Leftrightarrow m>\frac{49}{8}$ thì phương trình vô nghiệm.
    • Trường hợp 2. Nếu $ \Delta =0 \Leftrightarrow m=\frac{49}{8}$ thì phương trình có một nghiệm $ x=-\frac{3}{4}$.
    • Trường hợp 3. Nếu $ \Delta >0 \Leftrightarrow m<\frac{49}{8}$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt $$ x=\frac{-3\pm\sqrt{49-8m}}{4}.$$

    Ví dụ 2. Giải và biện luận phương trình bậc 2 theo tham số $m$ $$x^2-x+m=0.$$

    Hướng dẫn. Chúng ta có $ \Delta=(-1)^2-4m=1-4m$ và xét 3 trường hợp:

    • Trường hợp 1. Nếu $ \Delta <0 \Leftrightarrow m>\frac{1}{4}$ thì phương trình vô nghiệm.
    • Trường hợp 2. Nếu $ \Delta =0 \Leftrightarrow m=\frac{1}{4}$ thì phương trình có một nghiệm $ x=-\frac{1}{2}$.
    • Trường hợp 3. Nếu $ \Delta >0 \Leftrightarrow m<\frac{1}{4}$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt $$ x=\frac{1\pm\sqrt{1-4m}}{2}.$$

    Ví dụ 3. Giải và biện luận phương trình bậc 2 theo tham số $m$ $$(m-1)x^2+3x+5=0$$

    Hướng dẫn. Chúng ta xét hai trường hợp chính:

    • Trường hợp 1. Nếu $ m-1=0 \Leftrightarrow m=1$ thì phương trình đã cho trở thành $$ 0x^2+3x+5=0 \Leftrightarrow x=-\frac{5}{3} $$
    • Trường hợp 2. Nếu $ m-1\ne 0 \Leftrightarrow m\ne 1$ thì phương trình đã cho là phương trình bậc hai có $$ \Delta=3^2-4\cdot 5\cdot(m-1)=29-20m $$ Trường hợp này lại có 3 khả năng sau:
      • $ \Delta<0 \Leftrightarrow m>\frac{29}{20}$ thì phương trình vô nghiệm;
      • $ \Delta=0 \Leftrightarrow m=\frac{29}{20}$ thì phương trình có một nghiệm $ x=-\frac{3}{2(m-1)}=-\frac{10}{3}$;
      • $ \Delta>0 \Leftrightarrow m<\frac{29}{20}$ thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt $ x=\frac{-3\pm \sqrt{29-20m}}{2(m-1)}$.

    Tóm lại, chúng ta có kết luận sau:

    • $ m>\frac{29}{20}$: Phương trình vô nghiệm;
    • $ m=\frac{29}{20}$ hoặc $ m=1$: Phương trình có một nghiệm;
    • $ m<\frac{29}{20}$ và $ m\ne 1$: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

    Ví dụ 4. Giải và biện luận phương trình bậc 2 theo tham số $m$ $$mx^2+2mx+m-4=0$$

    Hướng dẫn. Chúng ta xét hai trường hợp chính:

    • Trường hợp 1. Nếu $ m=0$ thì phương trình đã cho trở thành $$ 0x^2+0x-4=0$$ Phương trình này rõ ràng vô nghiệm.
    • Trường hợp 2. Nếu $ m\ne 0$ thì phương trình đã cho là phương trình bậc hai có $$ \Delta’=m^2-m(m-4)=4m. $$ Vì $ m\ne 0$ nên trường hợp này lại có 2 khả năng sau:
      • $ \Delta<0 \Leftrightarrow m<0$ thì phương trình vô nghiệm;
      • $ \Delta>0 \Leftrightarrow m>0$ thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt $ x=\frac{-m\pm \sqrt{4m}}{m}$.

    Như vậy, chúng ta có kết luận sau:

    • $ m\leqslant 0$: Phương trình vô nghiệm;
    • $ m>0$: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

    Ví dụ 5. Giải và biện luận phương trình bậc 2 theo tham số $m$ $$(m^2-1)x^2+6(m-1)x+9=0$$

    Hướng dẫn. Chúng ta xét 2 trường hợp chính:

    • Trường hợp 1. Nếu $ m^2-1=0 \Leftrightarrow m=\pm 1$. Đến đây, có hai khả năng:
      • Nếu $ m=1$ thì phương trình đã cho trở thành $$ 0x^2+0x+9=0 $$ Phương trình này rõ ràng vô nghiệm.
      • Nếu $ m=-1$ thì phương trình đã cho trở thành $$ 0x^2-12x+9=0 $$ Phương trình này có nghiệm $ x=\frac{3}{4}$.
    • Trường hợp 2. Nếu $ m\ne \pm 1$ thì phương trình đã cho là phương trình bậc hai có $$ \Delta’=9(m-1)^2-9\cdot (m^2-1) =18-18m$$ Chúng ta lại thấy trường hợp này có 3 khả năng:
      • Nếu $ \Delta<0 \Leftrightarrow m>1$ thì phương trình vô nghiệm;
      • Nếu $ \Delta=0 \Leftrightarrow m=1$, khả năng này không xảy ra vì chúng ta đang xét trường hợp 2 có điều kiện là $ m\ne \pm 1;$
      • Nếu $ \Delta >0 \Leftrightarrow m<1$, phương trình có 2 nghiệm phân biệt $ x=-3(m-1)\pm\sqrt{18-18m}$.

    Tóm lại, chúng ta có kết luận sau:

    • Khi $ m \geqslant 1$: Phương trình vô nghiệm;
    • Khi $ m=-1$: Phương trình có một nghiệm;
    • Khi $ m<1$ và $ m\ne -1$: Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

    Ví dụ 6. Giải và biện luận phương trình bậc 2 theo tham số $m$ $$(m^2-4)x^2+3mx-6=0$$

    Hướng dẫn. Chúng ta

     

    Ví dụ 7. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hai đồ thị hàm số $y = -x^2 – 2x + 3$ và $y = x^2 – m$ có điểm chung?

    Hướng dẫn. Hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số $y = -x^2 – 2x + 3$ và $y = x^2 – m$ là nghiệm của phương trình $$y = -x^2 – 2x + 3= x^2 – m$$ Do đó, hai đồ thị hàm số có điểm chung khi và chỉ khi phương trình trên có nghiệm.

     

    3. Tìm điều kiện để phương trình có 3 nghiệm, 4 nghiệm…

    Ngoài việc biện luận phương trình bậc hai, chúng ta còn gặp một số phương trình quy về bậc 2. Cụ thể xin xem trong ví dụ sau:

    Ví dụ 1. Tìm điều kiện của $m$ để phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt $$(x^2 – 3x + m)(x – 1) = 0$$

    Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với \begin{align} \left[\begin{array}{lr} x-1=0&(1)\\ x^2 – 3x + m=0&(2)
    \end{array}\right. \end{align}

    Rõ ràng rằng phương trình đã cho luôn có một nghiệm $x=1$. Do đó, phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt và khác $1$. Điều kiện cần và đủ là $$ \begin{cases} \Delta = 9-4m >0\\ 1^2-3+m\ne 0
    \end{cases} $$ Giải hệ này tìm được điều kiện $ m<\frac{9}{4}$ và $ m\ne 2.$

    Ví dụ 2. Tìm điều kiện của $m$ để phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt $$x^3-3mx^2+2mx+m-1= 0$$

    Hướng dẫn. Chúng ta đoán được phương trình $x^3-3mx^2+2mx+m-1= 0$ có nghiệm $x=1$ nên phân tích phương trình đã cho thành $$\left( x-1\right) \left( x^{2}+\left( 1-3m\right) x-m+1\right) =0$$

    Do đó, phương trình đã cho tương đương với \begin{align} \left[\begin{array}{lr} x-1=0&(1)\\ x^{2}+\left( 1-3m\right) x-m+1=0&(2) \end{array}\right. \end{align} Do đó, phương trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt khác $1$. Điều kiện cần và đủ là $$ \begin{cases} \Delta = (1-3m)^2-4(1-m) >0\\ 1^2+(1-3m)-m+1\ne 0 \end{cases} $$ Giải hệ này tìm được điều kiện $ m<\frac{1-2\sqrt{7}}{9}$ hoặc $ m>\frac{1+2\sqrt{7}}{9}.$

    Ví dụ 3. Tìm điều kiện của $m$ để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt $$\frac{x^2-2x+m}{x-3} = 0$$

    Hướng dẫn. Ta có điều kiện xác định của phương trình là $x\ne 3$. Với điều kiện đó, phương trình đã cho tương đương với $$x^2-2x+m=0(*)$$ Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt và thỏa mãn điều kiện, tức phải khác $3$. Điều kiện cần và đủ là $$ \begin{cases} \Delta = 2^2-4m >0\\ 3^2-2\cdot 3+m\ne 0 \end{cases} $$ Từ đó tìm được đáp số

    Ví dụ 4. Tìm điều kiện của $m$ để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt $$\frac{mx^2-2(m-1)x+m}{\sqrt{x – 2}} = 0$$

    Hướng dẫn. Ta có điều kiện xác định là $x>2$. Cần tìm điều kiện để phương trình $mx^2-2(m-1)x+m=0$ có 2 nghiệm phân biệt và thỏa mãn điều kiện $x>2$.

    Ví dụ 5. Tìm điều kiện của $m$ để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt $$x^4-3mx^2+5= 0$$

    Hướng dẫn. Ta đặt $t=x^2$ thì có điều kiện của $t$ là $t>0$. Phương trình đã cho trở thành phương trình bậc 2 ẩn $t$ $$t^2-3mt+5$$ Nhận thấy rằng với mỗi nghiệm $t>0$ thì tìm được 2 nghiệm $x$ là $\pm\sqrt{t}$. Nên, phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình ẩn $t$ có 2 nghiệm $t$ phân biệt và dương. Điều kiện cần và đủ là $$ \begin{cases} \Delta >0\\ S>0\\ P>0 \end{cases} $$