So sánh 1 số với 2 nghiệm của phương trình bậc hai

Để so sánh một số với hai nghiệm của phương trình bậc hai, chúng ta sử dụng định lý đảo về dấu tam thức bậc hai.

1. So sánh 1 số với 2 nghiệm của phương trình bậc hai

Cho tam thức bậc hai $ f(x)=ax^2+bx+c $, với $ a\ne 0 $, có hai nghiệm phân biệt $ x_1<x_2 $ và một số $ \alpha$. Khi đó, ta có các kết quả sau

1.1. Số α nằm trong khoảng hai nghiệm

• Số $\alpha$ nằm giữa hai nghiệm, tức là $ x_1<\alpha<x_2 $ điều kiện cần và đủ là $$a\cdot f(\alpha)<0$$

1.2. Số α nằm ngoài khoảng hai nghiệm

• Số $\alpha$ nằm về bên trái hai nghiệm $x_1,x_2$ (nói cách khác, số $\alpha$ bé hơn hai nghiệm), tức là $ \alpha<x_1<x_2$ điều kiện cần và đủ là $$\begin{cases} \Delta >0\\ a\cdot f(\alpha)>0\\ \alpha<\frac{S}{2} \end{cases}$$
• Số $\alpha$ nằm về bên phải hai nghiệm $x_1,x_2$, (nói cách khác, số $\alpha$ lớn hơn hai nghiệm)tức là $ x_1<x_2<\alpha$ điều kiện cần và đủ là  $$ \begin{cases}
  \Delta >0\\ a\cdot f(\alpha)>0\\ \frac{S}{2}<\alpha \end{cases}$$

1.3. So sánh nghiệm của phương trình bậc hai với số 0

Đặc biệt, khi $\alpha=0$ chúng ta có các bài toán:

• Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm trái dấu: Tức là $x_1<0<x_2$, khi đó $f(\alpha) = f(0) =c$ nên điều kiện cần và đủ là $$ac<0$$
• Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi  $$ \begin{cases} \Delta >0\\ ac>0\\ -\frac{b}{a}>0\end{cases}$$
• Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm âm phân biệt khi và chỉ khi  $$ \begin{cases} \Delta >0\\ ac>0\\ -\frac{b}{a}<0\end{cases}$$

Đôi khi, người ta còn đặt tổng 2 nghiệm là $x_1+x_2=S=-\frac{b}{a}$, tích hai nghiệm là $x_1 x_2=P=\frac{c}{a}$ thì các điều kiện trên trở thành:

• Phương trình bậc 2 có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi $P<0$.
• Phương trình bậc 2 có hai nghiệm cùng dấu khi và chỉ khi $$ \begin{cases} \Delta >0\\ P>0\end{cases}$$
• Phương trình bậc 2 có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi  $$ \begin{cases} \Delta >0\\ P>0\\ S>0\end{cases}$$
• Phương trình bậc 2 có hai nghiệm âm phân biệt khi và chỉ khi  $$ \begin{cases} \Delta >0\\ P>0\\ S<0\end{cases}$$

2. So sánh nghiệm với hai số cho trước α < β

• Phương trình có hai nghiệm thỏa mãn ${{x}_{1}}<\alpha <\beta <{{x}_{2}}\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}   & af(\alpha )<0 \\ & af(\beta )<0 \\ \end{align} \right.$
• Phương trình có hai nghiệm thỏa mãn ${{x}_{1}}<\alpha <{{x}_{2}}<\beta \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}   & af(\alpha )<0 \\ & af(\beta )>0 \\ \end{align} \right.$
• Phương trình có hai nghiệm thỏa mãn $\alpha <{{x}_{1}}<\beta <{{x}_{2}}\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}   & af(\alpha )>0 \\  & af(\beta )<0 \\ \end{align} \right.$
• Phương trình có hai nghiệm phân biệt và chỉ có một nghiệm thuộc khoảng $(\alpha;\beta)$ khi và chỉ khi $$f(\alpha).f(\beta) < 0$$
• Phương trình có hai nghiệm phân biệt và $\alpha <{{x}_{1}}<{{x}_{2}}<\beta \Leftrightarrow \left\{ \begin{align}   & \Delta >0 \\  & af(\alpha )>0 \\  & af(\beta )>0 \\  & \frac{S}{2}-\alpha >0 \\  & \frac{S}{2}-\beta <0 \\ \end{align} \right.$

3. Ví dụ về so sánh nghiệm phương trình bậc hai với một số

Ví dụ 1. Tìm $m$ để phương trình: ${{x}^{2}}-2mx+m+2=0$

• Có hai nghiệm trái dấu;
• Có hai nghiệm cùng lớn hơn $1$.

Hướng dẫn.

• Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi $$P=\frac{c}{a}=m+2<0\Leftrightarrow m<-2$$
  Vậy $m<-2$ là giá trị cần tìm.
• Phương trình có hai nghiệm ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ cùng lớn hơn 1 khi và chỉ khi $$ \begin{cases} \Delta >0\\ a.f(1)>0\\
  {-b}{2a}>0 \end{cases} $$ Giải hệ này ta tìm được đáp số $2\leqslant m<3$.

Cách khác, không sử dụng định lý đảo về dấu tam thức bậc hai, mà chúng ta sử dụng định lí Viète:

• Phương trình có hai nghiệm $x_1,x_2$ khi và chỉ khi $$\Delta’={{m}^{2}}-m-2\geqslant 0\Leftrightarrow m\in (-\infty,-1]\cup[2,+\infty)$$
• Khi đó, cả hai nghiệm của phương trình đều lớn hơn $ 1$, tức là $ x_1-1>0$ và $ x_2-1>0$. Do đó, chúng ta có \begin{align*}
  \begin{cases} x_1-1>0\\ x_2-1>0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}  (x_1-1)(x_2-1)>0\\ (x_1-1)+(x_2-1)>0
  \end{cases}\end{align*}
• Nhân ra và sử dụng Viète, thay $ x_1x_2=m+2$ và $ x_1+x_2=2m$ chúng ta được hệ \begin{align}
  \begin{cases} m+2-2m+1>0\\2m-2>0 \end{cases} \Leftrightarrow 1<m<3 \end{align}
  Kết hợp với điều kiện ta có $2\leqslant m<3$ là những giá trị cần tìm.

Ví dụ 2.  Cho phương trình $ {x^2} + 2mx – 3{m^2} = 0$. Tìm $ m$ để phương trình có hai nghiệm $ x_1, x_2$ thoả mãn $ {x1} < 1 < {x_2}.$
Hướng dẫn. Đặt $ f\left( x \right) = {x^2} + 2mx – 3{m^2}$. Yêu cầu bài toán tương đương với
$$ af\left( 1 \right) < 0 \Leftrightarrow 1 \cdot f\left( 1 \right) < 0 \Leftrightarrow {1^2} + 2m – 3{m^2} < 0 \Leftrightarrow – 3{m^2} + 2m + 1 < 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m > 1\\ m < – \frac{1}{3} \end{array} \right. $$.

Ví dụ 3. Cho phương trình $ {x^2} + 2mx – 3{m^2} = 0$. Tìm m để phương trình có hai nghiệm $ x_1, x_2$ và số $ \alpha =1$ nằm ngoài khoảng hai nghiệm.

Hướng dẫn. Đặt $ f\left( x \right) = {x^2} + 2mx – 3{m^2}$. Ta có $ \Delta ‘ = {m^2} – \left( { – 3{m^2}} \right) = 4{m^2}$.
Yêu cầu bài toán tương đương
$$ \left\{ \begin{array}{l} \Delta ‘ > 0\\ af\left( \alpha \right) > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 4{m^2} > 0\\ – 3{m^2} + 2m + 1 > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m \ne 0\\ – \frac{1}{3} < m < 1 \end{array} \right. $$.

4. Bài tập so sánh nghiệm phương trình bậc hai

Bài 1. Tìm giá trị của $ m $ để phương trình sau có nghiệm cùng dấu. Khi đó hai nghiệm mang dấu gì?

• $ x^2-2mx+5m-4=0; $
• $ mx^2+mx+3=0. $

Bài 2. Tìm $ m $ để phương trình $ (m+1)x^2+2(m+4)x+m+1=0 $ có một nghiệm, hai nghiệm phân biệt cùng dấu, hai nghiệm âm phân biệt?

Bài 3. Tìm $ m $ để phương trình $ (m-4)x^2-2(m-2)x+m-1=0 $ có hai nghiệm cùng dấu, hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn, đúng một nghiệm dương, hai nghiệm đối nhau?

Bài 4. Tìm $m$ để phương trình $ mx^2-2(m-3)x+m-4=0 $ có đúng một nghiệm không dương.

Bài 5. Tìm $ m $ để phương trình $ (m+1)x^2-2x+m-1=0 $ có ít nhất một nghiệm không âm.

Bài 6. So sánh số $1$ với nghiệm của phương trình $ 2x^2 – 18x + 17 = 0$ [TD10BD70]
Bài 7. So sánh số $- 2$ với nghiệm của phương trình $f(x) = (m^2 + 1)x^2 – 5(m^2 + 1)x – m^2 + m – 1 = 0$ [TD11BD70]
Bài 8. Tìm $ m$ để các phương trình sau có hai nghiệm

• $ mx^2 + (m – 1)x + 3 – 4m = 0$ và thoả mãn $ x_1 < 2 < x_2$ [VD1TTM19]
• $ (m + 1)x^2 – (m – 3)x + m + 1 = 0$ và thoả mãn $ -1 < x_1 \leqslant x_2$
• $ (m + 1)x^2 + mx + 3 = 0$ và thoả mãn $ x_1 < – 2 < 1 < x_2$ [VD-TTM27]
• $ x^2 – 2mx + m = 0$ và thoả mãn $ x_1, x_2\in (-1;3)$
• $ x^2 – 2x – 3m = 0$ và thoả mãn $\frac{m}{2}\le {{x}_{1}}<1<{{x}_{2}}$

Bài 9. Tìm $ m$ để phương trình sau có nghiệm

• $ (x^2 + 2x)2 – 4m(x^2 + 2x) + 3m + 1 = 0$ [VD1TTM23]
• $ x^4 + mx^3 + 2mx^2 + mx + 1 = 0$ [VD!TTM31]

Bài 10. Tìm $ m$ để phương trình $ (m + 1)x^2 – 3mx + 4m = 0$ có duy nhất một nghiệm lớn hơn $ 1$.

Bài 11. Cho phương trình $ x^2 – (2m – 3)x + m2 – 3m = 0$. Xác định $ m$ để phương trình có hai nghiệm $ x_1 ; x_2$ thoả mãn $ 1 < x_1 < x_2 < 6$.

Bài 12. Cho phương trình $ 2x^2 + (2m – 1)x + m – 1 = 0$. Xác định $ m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt $ x_1 ; x_2$ thoả mãn: $ – 1 < x_1 < x_2 < 1.$

Bài 13. Cho $ f(x) = x^2 – 2(m + 2)x + 6m + 1.$

• Chứng minh rằng phương trình $ f(x) = 0$ có nghiệm với mọi $ m$.
• Đặt $ x = t + 2$. Tính $ f(x)$ theo $ t$, từ đó tìm điều kiện đối với $ m$ để phương trình $ f(x) = 0$ có hai nghiệm lớn hơn $ 2$.

Bài 14. Cho phương trình bậc hai: $ x^2 + 2(a + 3)x + 4(a + 3) = 0$.

• Với giá trị nào của tham số $ a$, phương trình có nghiệm kép. Tính các nghiệm kép.
• Xác định $ a$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt lớn hơn $ – 1$.

Bài 15. Cho phương trình: $ x^2 + 2(m – 1)x – (m + 1) = 0$.

• Tìm giá trị của $ m$ để phương trình có một nghiệm nhỏ hơn $ 1$ và một nghiệm lớn hơn $ 1$.
• Tìm giá trị của $ m$ để phương trình có hai nghiệm nhỏ hơn $ 2$.

Bài 16. Tìm $m$ để phương trình: $ x^2 – mx + m = 0$ có nghiệm thoả mãn $ x_1 \leqslant – 2 \leqslant x_2$

Bài 17. Cho biểu thức \[ A=\left(1-\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\right):\left(\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}+\frac{\sqrt{x}+2}{3-\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}+2}{x-5\sqrt{x}+6}\right). \] Tìm $ m $ để có $ x $ thoả mãn $ A(\sqrt{x}+1)=m(x+1)-2 $.

Bài 18. Tìm $ m $ để có $ x<0 $ sao cho \[ m=\frac{x(1-x^2)^2}{1+x^2}:\left[\left(\frac{1-x^3}{1-x}+x\right)\left(\frac{1+x^3}{1+x}-x\right)\right]. \]

Bài 19. Tìm $ m $ để có $ x<0 $ sao cho \[ m=\sqrt{x}-\frac{\sqrt{4x}-9}{x-5\sqrt{x}+6}+\frac{2\sqrt{x}+1}{3-\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}. \]