Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên KHTN HN năm 2014
|
SỞ GD VÀ ĐT HÀ NỘI ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm 01 trang) |
THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN NĂM HỌC 2014 MÔN: TOÁN ( VÒNG 1 ) (Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề) |
Bài 1.
- Giả sử \(x,y\) là những số thực dương thỏa mãn \[\frac{y}{x+y}+\frac{2{{y}^{2}}}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}+\frac{4{{y}^{4}}}{{{x}^{4}}+{{y}^{4}}}+\frac{8{{y}^{4}}}{{{x}^{8}}-{{y}^{4}}}=4\] Chứng minh rằng: \(5y=4x\).
- Giải hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 2{{x}^{2}}-3{{y}^{2}}+xy=12 \\ 6x+{{x}^{2}}y=12+6y+{{y}^{2}}x \\ \end{array} \right.\]
Bài 2.
- Cho \(x,y\) là những số nguyên lớn hơn 1 sao cho \(4{{x}^{2}}{{y}^{2}}-7x+7y\) là số chính phương. Chứng minh rằng: \(x=y.\)
- Giả sử \(x,y\) là những số thực không âm thỏa mãn: \({{x}^{3}}+{{y}^{3}}+xy={{x}^{2}}+{{y}^{2}}\). Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: \[P=\frac{1+\sqrt{x}}{2+\sqrt{y}}+\frac{2+\sqrt{x}}{1+\sqrt{y}}\]
Bài 3. Cho tam giác \(ABC\) nhọn với \(AB<BC\). Gọi \(D\) là điểm thuộc cạnh BC sao cho \(AD\) là phân giác của \(\widehat{BAC}\). Đường thẳng qua \(C\) song song với \(AD\) cắt trung trực của \(AC\) tại \(E\). Đường thẳng qua \(B\) song song với \(AD\) cắt trung trực của \(AB\) tại \(F\).
- Chứng minh tam giác \(AFB\) đồng dạng với tam giác \(AEC\).
- Chứng minh rằng các đường thẳng \(BE\), \(CF\), \(AD\) đồng quy tại một điểm, gọi điểm đó là \(G\).
- Đường thẳng qua \(G\) song song với \(AE\) cắt đường thẳng \(BF\) tại \(Q\). Đường thẳng \(QE\) cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác \(GEC\) tại \(P\) khác \(E\). Chứng minh rằng các điểm \(A\), \(P\), \(G\), \(Q\), \(F\) cùng thuộc một đường tròn.
Bài 4. Giả sử \(a\), \(b\), \(c\) là các số thực dương thỏa mãn đẳng thức \(ab+bc+ca=1\). Chứng minh rằng \[2abc(a+b+c)\le \frac{5}{9}+{{a}^{4}}{{b}^{2}}+{{b}^{4}}{{c}^{2}}+{{c}^{4}}{{a}^{2}}\]
—HẾT —
