SKKN Hướng tới các bài toán có yếu tố thực tiễn của môn Toán lớp 10 trong Chương trình GDPT năm 2018 nhằm phát hiện và phát triển các phẩm chất năng lực của học sinh
Các thầy cô cần file liên hệ với chúng tôi tại fanpage facebook O2 Education
Hoặc xem nhiều SKKN hơn tại: Tổng hợp SKKN luận văn luận án O2 Education
ĐIỀU KIỆN HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN
- Nghị quyết Hội nghị Trung ương 8 khóa XI về đổi mới căn bản, toàn diện GD&ĐT
Nghị quyết Hội nghị Trung ương 8 khóa XI về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục
và đào tạo nêu rõ: “Tiếp tục đổi mới mạnh mẽ phương pháp dạy và học theo hướng hiện
đại; phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo và vận dụng kiến thức, kỹ năng của người
học; khắc phục lối truyền thụ áp đặt một chiều, ghi nhớ máy móc. Tập trung dạy cách
học, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo cơ sở để người học tự cập nhật và đổi mới tri
thức, kỹ năng, phát triển năng lực. Chuyển từ học chủ yếu trên lớp sang tổ chức hình thức
học tập đa dạng, chú ý các hoạt động xã hội, ngoại khóa, nghiên cứu khoa học. Đẩy mạnh
ứng dụng công nghệ thông tin và truyền thông trong dạy và học”.
Để thực hiện tốt mục tiêu về đổi mới căn bản, toàn diện GD&ĐT theo Nghị quyết
số 29-NQ/TW, cần có nhận thức đúng về bản chất của đổi mới phương pháp dạy học theo
định hướng phát triển năng lực người học và một số biện pháp đổi mới phương pháp dạy
học theo hướng này. Đổi mới phương pháp dạy học đang thực hiện bước chuyển từ
chương trình giáo dục tiếp cận nội dung sang tiếp cận năng lực của người học, nghĩa là
từ chỗ quan tâm đến việc HS học được cái gì đến chỗ quan tâm HS vận dụng được cái gì
qua việc học. Để đảm bảo được điều đó, phải thực hiện chuyển từ phương pháp dạy học
theo lối “truyền thụ một chiều” sang dạy cách học, cách vận dụng kiến thức, rèn luyện kỹ
năng, hình thành năng lực và phẩm chất. Tăng cường việc học tập trong nhóm, đổi mới
quan hệ giáo viên – học sinh theo hướng cộng tác có ý nghĩa quan trọng nhằm phát triển
năng lực xã hội. - Đặc thù của môn Toán trong Chương trình Giáo dục Phổ thông 2018.
Toán học ngày càng có nhiều ứng dụng trong cuộc sống, những kiến thức và kĩ năng
toán học cơ bản đã giúp con người giải quyết các vấn đề trong thực tế cuộc sống một cách
có hệ thống và chính xác, góp phần thúc đẩy xã hội phát triển. Môn Toán ở trường phổ
thông góp phần hình thành và phát triển các phẩm chất chủ yếu, năng lực chung và năng
lực toán học cho học sinh; phát triển kiến thức, kĩ năng then chốt và tạo cơ hội để học
sinh được trải nghiệm, vận dụng toán học vào thực tiễn; tạo lập sự kết nối giữa các ý
tưởng toán học, giữa Toán học với thực tiễn. Nội dung môn Toán thường mang tính logic,
trừu tượng, khái quát. Do đó, để hiểu và học được Toán, chương trình Toán ở trường phổ
thông cần bảo đảm sự cân đối giữa “học” kiến thức và “vận dụng” kiến thức vào giải
quyết vấn đề cụ thể. Trong quá trình học và áp dụng toán học, học sinh luôn có cơ hội sử
dụng các phương tiện công nghệ, thiết bị dạy học hiện đại, đặc biệt là máy tính điện tử và
máy tính cầm tay hỗ trợ quá trình biểu diễn, tìm tòi, khám phá kiến thức, giải quyết vấn
đề toán học.
Trong chương trình giáo dục phổ thông 2018, môn Toán giúp học sinh có cái nhìn
tương đối tổng quát về toán học, hiểu được vai trò và những ứng dụng của toán học trong
thực tiễn, những ngành nghề có liên quan đến toán học để học sinh có cơ sở định hướng
nghề nghiệp, cũng như có khả năng tự mình tìm hiểu những vấn đề có liên quan đến toán
học trong suốt cuộc đời. Đặc biệt là những học sinh có định hướng khoa học tự nhiên và
công nghệ được chọn học một số chuyên đề học tập. Các chuyên đề này nhằm tăng cường
2
kiến thức về toán học, kĩ năng vận dụng kiến thức toán vào thực tiễn, đáp ứng sở thích,
nhu cầu và định hướng nghề nghiệp của học sinh.
Chương trình môn Toán xoay quanh và tích hợp ba mạch kiến thức: Số, Đại số và
Một số yếu tố giải tích; Hình học và Đo lường; Thống kê và Xác suất.
Chương trình môn Toán chú trọng tính ứng dụng, gắn kết với thực tiễn hay các môn
học, hoạt động giáo dục khác, đặc biệt với các môn Khoa học, Khoa học tự nhiên, Vật lí,
Hoá học, Sinh học, Công nghệ, Tin học để thực hiện giáo dục STEM, gắn với xu hướng
phát triển hiện đại của kinh tế, khoa học, đời sống xã hội và những vấn đề cấp thiết có
tính toàn cầu. Điều này còn được thể hiện qua các hoạt động thực hành và trải nghiệm
trong giáo dục toán học với nhiều hình thức như: thực hiện những đề tài, dự án học tập
về Toán, đặc biệt là những đề tài và dự án về ứng dụng toán học trong thực tiễn; tổ chức
trò chơi học toán, câu lạc bộ toán học, diễn đàn, hội thảo, cuộc thi về Toán,… tạo cơ hội
giúp học sinh vận dụng kiến thức, kĩ năng và kinh nghiệm của bản thân vào thực tiễn một
cách sáng tạo. - Môn Toán cấp THPT nhằm giúp học sinh đạt các mục tiêu chủ yếu sau:
a) Góp phần hình thành và phát triển năng lực toán học với yêu cầu cần đạt:
Nêu và trả lời được câu hỏi khi lập luận, giải quyết vấn đề; sử dụng được các phương
pháp lập luận, quy nạp và suy diễn để hiểu được những cách thức khác nhau trong việc
giải quyết vấn đề; thiết lập được mô hình toán học để mô tả tình huống, từ đó đưa ra cách
giải quyết vấn đề toán học đặt ra trong mô hình được thiết lập; thực hiện và trình bày
được giải pháp giải quyết vấn đề và đánh giá được giải pháp đã thực hiện, phản ánh được
giá trị của giải pháp, khái quát hoá được cho vấn đề tương tự; sử dụng được công cụ,
phương tiện học toán trong học tập, khám phá và giải quyết vấn đề toán học.
b) Có những kiến thức và kĩ năng toán học cơ bản, thiết yếu về:
– Đại số và Một số yếu tố giải tích: Tính toán và sử dụng công cụ tính toán; sử dụng
ngôn ngữ và kí hiệu đại số; biến đổi biểu thức đại số và siêu việt (lượng giác, mũ, lôgarit),
phương trình, hệ phương trình, bất phương trình; nhận biết các hàm số sơ cấp cơ bản (luỹ
thừa, lượng giác, mũ, lôgarit); khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số bằng công cụ đạo
hàm; sử dụng ngôn ngữ hàm số, đồ thị hàm số để mô tả và phân tích một số quá trình và
hiện tượng trong thế giới thực; sử dụng tích phân để tính toán diện tích hình phẳng và thể
tích vật thể trong không gian.
– Hình học và Đo lường: Cung cấp những kiến thức và kĩ năng (ở mức độ suy luận logic)
về các quan hệ hình học và một số hình phẳng, hình khối quen thuộc; phương pháp đại
số (vectơ, toạ độ) trong hình học; phát triển trí tưởng tượng không gian; giải quyết một
số vấn đề thực tiễn đơn giản gắn với Hình học và Đo lường.
– Thống kê và Xác suất: Hoàn thiện khả năng thu thập, phân loại, biểu diễn, phân tích
và xử lí dữ liệu thống kê; sử dụng các công cụ phân tích dữ liệu thống kê thông qua các
số đặc trưng đo xu thế trung tâm và đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu không ghép
nhóm và ghép nhóm; sử dụng các quy luật thống kê trong thực tiễn; nhận biết các mô
hình ngẫu nhiên, các khái niệm cơ bản của xác suất và ý nghĩa của nó trong thực tiễn.
c) Góp phần giúp học sinh có những hiểu biết tương đối tổng quát về các ngành nghề
gắn với môn Toán và giá trị của nó; làm cơ sở cho định hướng nghề nghiệp sau trung
học phổ thông; có đủ năng lực tối thiểu để tự tìm hiểu những vấn đề liên quan đến
toán học trong suốt cuộc đời.
3
Môn Toán góp phần hình thành và phát triển cho học sinh năng lực toán học (biểu hiện
tập trung nhất của năng lực tính toán) bao gồm các thành phần cốt lõi sau: năng lực tư
duy và lập luận toán học; năng lực mô hình hoá toán học; năng lực giải quyết vấn đề
toán học; năng lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng công cụ, phương tiện học toán.
– Thực hiện được tương đối thành thạo các thao tác tư duy, đặc biệt phát hiện được sự tương
đồng và khác biệt trong những tình huống tương đối phức tạp và lí giải được kết quả của
việc quan sát.
– Sử dụng được các phương pháp lập luận, quy nạp và suy diễn để nhìn ra những cách
thức khác nhau trong việc giải quyết vấn đề.
– Nêu và trả lời được câu hỏi khi lập luận, giải quyết vấn đề. Giải thích, chứng minh, điều
chỉnh được giải pháp thực hiện về phương diện toán học.
– Thiết lập được mô hình toán học (gồm công thức, phương trình, sơ đồ, hình vẽ, bảng
biểu, đồ thị,…) để mô tả tình huống đặt ra trong một số bài toán thực tiễn.
– Giải quyết được những vấn đề toán học trong mô hình được thiết lập.
– Lí giải được tính đúng đắn của lời giải (những kết luận thu được từ các tính toán là có
ý nghĩa, phù hợp với thực tiễn hay không). Đặc biệt, nhận biết được cách đơn giản hoá,
cách điều chỉnh những yêu cầu thực tiễn (xấp xỉ, bổ sung thêm giả thiết, tổng quát hoá,…)
để đưa đến những bài toán giải được.
– Xác định được tình huống có vấn đề; thu thập, sắp xếp, giải thích và đánh giá được độ
tin cậy của thông tin; chia sẻ sự am hiểu vấn đề với người khác.
– Thực hiện và trình bày được giải pháp giải quyết vấn đề.
– Đánh giá được giải pháp đã thực hiện; phản ánh được giá trị của giải pháp; khái quát
hoá được cho vấn đề tương tự.
– Nghe hiểu, đọc hiểu và ghi chép (tóm tắt) được tương đối thành thạo các thông tin toán
học cơ bản, trọng tâm trong văn bản nói hoặc viết. Từ đó phân tích, lựa chọn, trích xuất
được các thông tin toán học cần thiết từ văn bản nói hoặc viết.
– Lí giải được (một cách hợp lí) việc trình bày, diễn đạt, thảo luận, tranh luận các nội
dung, ý tưởng, giải pháp toán học trong sự tương tác với người khác.
– Sử dụng được một cách hợp lí ngôn ngữ toán học kết hợp với ngôn ngữ thông thường
để biểu đạt cách suy nghĩ, lập luận, chứng minh các khẳng định toán học.
– Thể hiện được sự tự tin khi trình bày, diễn đạt, thảo luận, tranh luận, giải thích các nội
dung toán học trong nhiều tình huống không quá phức tạp.
– Nhận biết được tác dụng, quy cách sử dụng, cách thức bảo quản các công cụ, phương
tiện học toán (bảng tổng kết về các dạng hàm số, mô hình góc và cung lượng giác, mô
hình các hình khối, bộ dụng cụ tạo mặt tròn xoay,…).
– Sử dụng được máy tính cầm tay, phần mềm, phương tiện công nghệ, nguồn tài nguyên
trên mạng Internet để giải quyết một số vấn đề toán học.
– Đánh giá được cách thức sử dụng các công cụ, phương tiện học toán trong tìm tòi, khám
phá và giải quyết vấn đề toán học.
4
II. MÔ TẢ GIẢI PHÁP - Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến
Trong chương trình môn Toán hiện hành học sinh cũng đã được tiếp cận, trải nghiệm
một số bài toán có yếu tố thực tiễn trong một số chuyên đề, chẳng hạn hệ phương trình 3
ẩn, hệ thức lượng trong tam giác hay đường elip nhưng chưa có hệ thống và chiều sâu.
Học sinh tỏ rõ sự lúng túng, không tự tin hay chưa có những phương pháp tiếp cận
một cách bài bản khi giải quyết các bài toán có yếu tố thực tiễn. - Mô tả giải pháp sau khi có sáng kiến
Sáng kiến bao gồm 8 chủ đề và tập trung xoáy vào 3 mạch kiến thức: Số, Đại số và
Một số yếu tố giải tích; Hình học và Đo lường; Thống kê và Xác suất. Sáng kiến đã khai
thác và phát triển toàn diện các bài toán có yếu tố thực tiễn trong rất nhiều lĩnh vực, chẳng
hạn như lĩnh vực: kinh tế, y tế, công nghệ thông tin…; được thể hiện trong hầu hết các
bài học hay trong từng chủ đề, chuyên đề. Điểm mới nhất của sáng kiến là đã khai thác
chuyên sâu các bài toán có yếu tố thực tiễn liên quan đến ứng dụng của ba đường Conic
(elip, hypebol và parabol).
Sáng kiến định hướng phát triển năng lực và hình thành phẩm chất, chú trọng vào việc
“Sau mỗi bài học, học sinh làm được gì” thay vì chỉ quan tâm đến “Học sinh học được
gì“ theo quan điểm định hướng kiến thức trước đây. Học sinh sẽ hình thành được các
năng lực Toán học: tư duy và lập luận toán học; mô hình hóa toán học; giải quyết vấn đề
toán học; giao tiếp toán học; sử dụng công cụ, phương tiện toán học qua các chủ đề.
Sáng kiến thể hiện tốt tinh thần đổi mới của chương trình GDPT 2018, đó là tích hợp
liên môn, liên kết giữa môn Toán với các môn học khác, chẳng hạn như:
- Tích hợp liên môn giữa môn Toán học với môn Hóa học:
Bài toán 3.5. Một nhà máy sản xuất hai loại
thuốc trừ sâu nông nghiệm A và B. Cứ sản xuất
mỗi loại thùng A thì nhà máy thải ra
0,25kg
khí carbon dioxide
CO2
và
0,60kg
khí sulfur
dioxide
2 SO ,
sản xuất mỗi loại thùng B thì nhà
máy thải ra
0,50kg
khí carbon dioxide
CO2
và
0,20kg
khí sulfur dioxide
2 SO .
Biết rằng quy
định hạn chế sản lượng
CO2
của nhà máy tối đa
là
75kg
và
2
SO
tối đa là
90kg
mỗi ngày.
a. Tìm hệ bất phương trình mô tả số lượng thùng của mỗi loại thuốc trừ sâu mà nhà máy
có thể sản xuất mỗi ngày để đáp ứng các điều kiện ở trên. Biểu diễn miền nghiệm của hệ
bất phương trình đó trên mặt phẳng tọa độ.
b. Việc nhà máy sản xuất 100 thùng loại A và 80 thùng loại B mỗi ngày có phù hợp với
quy định không?
c. Việc nhà máy sản xuất 60 thùng loại A và 160 thùng loại B mỗi ngày có phù hợp với
quy định không?
5
Bài toán 5.2.22. Phân tử sulfur
(SO2 )
có cấu tạo hình
chữ
V ,
góc liên kết
OSO
gần bằng
0
120 .
Người ta biểu
diễn sự phân cực giữa nguyên tử S với mỗi nguyên tử O
bằng các vecto
1
và
2
có cùng phương với liên kết
cộng hóa trị, có chiều từ nguyên tử S về mỗi nguyên tử
O và có cùng độ dài là
1,6
đơn vị (tham khảo hình ảnh bên). Cho biết vecto tổng
= +1 2
được dùng để biểu diễn sự phân cực của cả phân tử
2 SO .
Tính độ dài của
. - Tích hợp liên môn giữa môn Toán học với môn Vật lí:
Bài toán 4.2.15. Một người chơi trên sân cầu lông đơn, có khuynh hướng phát cầu với
góc
0
30
(so với mặt đất), vận tốc ban đầu của quả cầu là
v m s 0 ( / )
(bỏ qua sức cản của
gió và xem quỹ đạo của cầu luôn nằm trong mặt phẳng thẳng đứng), biết rằng vị trí người
đứng phát cầu cách lưới là
4 . m
Khi các lần phát cầu với thông tin như sau có được cho là hợp lệ không?
a. Vận tốc xuất phát của cầu là
v m s 0
=12 / ( )
và vị trí phát cầu cách mặt đất là 0,7 m.
b. Vận tốc xuất phát của cầu là
v m s 0
= 8 / ( )
và vị trí phát cầu cách mặt đất là 1,3 m.
Bài toán 6.5.24. Khi máy bay bay song song với mặt đất với vận tốc lớn hơn vận tốc của
âm thanh sẽ tạo ra các lớp không khí dao động của hình mặt nón (nón Mạch) (tham khảo
hình ảnh dưới đây) và tạo ra tiếng nổ mạnh, gọi là tiếng nổ siêu thanh. Những người trên
mặt đất nếu nghe thấy tiếng nổ này cùng một thời điểm thì vị trí của họ cùng thuộc một
đường hypebol. Hãy giải thích điều này.
6 - Tích hợp liên môn giữa môn Toán học với môn Sinh học:
Bài toán 2.5. Quang hợp là quá trình thu và nhận
chuyển hóa năng lượng ánh sáng mặt trời của thực
vật, tảo và một số vi khuẩn để tạo ra hợp chất hữu
cơ (đường glucose) phục vụ bản thân cũng như
làm nguồn thức ăn cho hầu hết các sinh vật trên
Trai Đất (Theo SGK Sinh học 11, nhà xuất bản
Giáo dục Việt Nam, 2017). Cân bằng phương trình
phản ứng quang hợp (dưới điều kiện ánh sáng và
chất diệp lục):
2 2 6 12 6 2 CO H C H O O + → + 0 .
Bài toán 6.4.14. Trong y học, máy tán sỏi ngoài cơ thể hoạt động
theo nguyên lí sử dụng sóng xung kích hội tụ tập trung vào viên
sỏi trong cơ thể để phá vỡ nó thành vụn nhỏ. Các vụn sôi nhỏ này
sau đó sẽ được cơ thể bệnh nhân bài tiết ra ngoài. Để làm điều này,
người ta đặt một nguồn phát sóng tại tiêu điểm của gương phản xạ
elip. Bác sĩ sẽ điều chỉnh máy hoặc vị trí nằm của bệnh nhân sao
cho viên sỏi ở tiêu điểm còn lại (tham khảo hình ảnh bên).
Theo tính chất của phản
xạ của elip, chùm tia phản
xạ sẽ hội tụ vào vị trí đặt
viên sỏi để phá vỡ nó.
Cho biết elip có độ dài
trục nhỏ là 16 cm và tâm
sai
e = 0,92.
Khi thao tác
điều trị bằng máy tán sỏi này thì cần đặt nguồn phát sóng cách vị
trí viên sỏi một khoảng bằng bao nhiêu cm? Kết quả được làm tròn đến hàng phần mười
Bài toán 8.2.7. Bệnh bạch tạng ở người do đột biến
gen lặn trên nhiễm sắc thể thường, alen trội tương
ứng quy định người bình thường. Một cặp vợ
chồng có người chồng bị bệnh, người vợ không bị
bệnh này. Họ dự định sinh hai người con ở hai lần
sinh một cách tự nhiên. Tính xác suất để họ sinh
được cả hai người con không bị bệnh? - Tích hợp liên môn giữa môn Toán học với môn Địa lí.
Bài toán 6.2.16. Một bản tin dự báo thời tiết thể hiện
đường đi trong 12 giờ của một cơn bão trên mặt
phẳng tọa độ. Trong khoảng thời gian đó, tâm bão di
chuyển thẳng đều từ vị trí có tọa độ
(13,8;108,3)
đến
vị trí có tọa độ
(14,1;106,3 .)
Hãy xác định tọa độ vị
trí M của tâm bão tại thời điểm 9 giờ trong khoảng
thời gian 12 giờ của dự báo.
7
Bài toán 6.2.9. Theo Google Maps, sân bay Nội Bài có vĩ độ
0
21,2
Bắc, kinh độ
0
105,8
Đông, sân bay Đà Nẵng có vĩ độ
0
16,1
Bắc, kinh độ
0
108,2
Đông. Một máy bay, bay từ
Nội Bài đến sân bay Đà Nẵng. Tại thời điểm t giờ, tính từ lúc xuất phát, máy bay ở vị trí
có vĩ độ
0
x
Bắc, kinh độ
0
y
Đông được tính theo công thức
153 21,2
40
9
105,8 .
5
x t
y t
= −
= +
a. Hỏi chuyến bay từ Hà Nội đến Đà Nẵng mất mấy giờ?
b.Tại thời điểm 1giờ kể từ lúc cất cánh, máy bay đã bay
qua vĩ tuyến 17 (
0
17
Bắc) chưa?
Bài toán 6.3.2. Một nhóm bạn tham quan
tại khu du lịch Suối Tiên đang xác định nơi
dừng chân cắm trại để ăn trưa. Nhà hàng
Phù đổng (ở vị trí 24) có tọa độ (-150; 250)
và có quy định miễn phí vận chuyển thức
ăn trong vòng 200m tính từ nhà hàng
(mỗi ô lưới tọa độ có cạnh 100m). Hãy xác
định những vị trí nhóm có thể cắm trại để
được miễn phí vận chuyển thức ăn.
Bài toán 5.1.23. Trên bản đồ địa lí, người
ta thường gọi tứ giác với bốn đỉnh lần lượt là
các thành phố Hà Tiên, Châu Đốc, Long
Xuyên, Rạch Giá là tứ giác Long Xuyên. Dựa
theo các khoảng cách đã cho trên hình vẽ, tính
khoảng cách giữa Châu Đốc và Rạch Giá.
Bài toán 5.1.33. Một tàu đánh cá xuất phát từ cảng A, đi theo hướng
0
S E 70
với vận tốc
70 / . km h
Biết rằng tàu đi được 90 phút thì động cơ
của tàu bị hỏng nên tàu trôi tự do theo hướng nam với
vận tốc
8 / . km h
Sau 2 giờ kể từ khi động cơ bị hỏng,
tàu neo đậu được vào một hòn đảo.
a. Tính khoảng cách từ cảng A tới đảo nơi tàu neo đậu.
b. Xác định hướng từ cảng A tới đảo nơi tàu neo đâu.
(Chú thích: Hướng
0
S E
là hướng tạo với hướng nam góc
0
và tạo với hướng đông
góc 0
90 . −
Các hướng 0 0 0 S W N E N W , ,
cũng được định nghĩa tương tự).
8 - Tích hợp liên môn giữa môn Toán học với môn Lịch sử.
Bài toán 5.1.19. Cột cờ Lũng Cú
là cột cờ Quốc gia, nằm ở đỉnh
Lũng Cú hay còn gọi là đỉnh núi
Rồng (Long Sơn) thuộc xã Lũng
Cú, huyện Đồng Văn, tỉnh Hà
Giang, cách cực Bắc Việt Nam
khoảng
3,3 . km
Thời nhà Lý, cột
cờ Lũng Cú chỉ được lamg bằng
cây sa mộc. Ngày nay, cột cờ có
độ cao
33,15m
bao gồm bệ cột
cao
20,25m
và cán cờ cao
12,9 . m
Chân cột cờ có 8 mặt
phù điêu bằng đá xanh mô phỏng hoa văn của mặt trống
đồng Đông Sơn và những họa tiết minh họa các giai
đoạn qua từng thời kì lịch sử cuả đất nước, cũng như
con người, tập quán của các dân tộc ở Hà Giang. Trên
đỉnh cột là Quốc kì Việt Nam có diện tích
2
54m
, biểu
tượng cho 54 dân tộc ở nước ta. Từ chân cột cờ và đỉnh
bệ cột cờ bạn Nam đo được góc nâng (so với phương
nằm ngang) tới một vị trí dưới chân núi lần lượt là
0
45
và
0
50
(tham khảo hình ảnh dưới đây). Hỏi chiều cao
của đỉnh Lũng Cú so với chân núi bằng bao nhiêu mét? - Tích hợp liên môn giữa Toán học với Thiên văn học.
Bài toán 6.4.8. Ta biết rằng Mặt Trăng chuyển động quanh
Trái Đất theo một quỹ đạo là một Elip mà Trái Đất là một
tiêu điểm. Elip có chiều dài trục lớn và trục nhỏ lần lượt là
768800km
và
767619km
(Nguồn: Ron Larson (2014),
Precalculus: Real Mathematics, Real People, Cengage).
Tính khoảng cách ngắn nhất và khoảng cách dài nhất từ Trái
Đất đến Mặt Trăng (kết quả làm tròn đến hàng phần nghìn),
biết rằng các khoảng cách đó đạt được khi Trái Đất và Mặt Trăng nằm trên trục lớn Elip.
Bài toán 6.7.1. Một tàu vũ trụ nằm trong một quỹ đạo tròn
và ở độ cao
148 km
so với bề mặt Trái Đất (tham khảo hình
ảnh bên). Sau khi đạt được vận tốc cần thiết để thoát khỏi
lực hấp dẫn của Trái Đất, tàu vũ trụ sẽ đi theo quỹ đạo
parabol với tâm Trái Đất là tiêu điểm; điểm khởi đầu của
quỹ đạo này là đỉnh parabol quỹ đạo.
a. Viết phương trình chính tắc parabol quỹ đạo (1 đơn vị
đo trên mặt phẳng tọa độ ứng với
1 km
trên thực tế, lấy bán
kính Trái Đất là
6371 km
).
b. Giải thích vì sao, kể từ khi đi vào quỹ đạo parabol, càng
ngày, tàu vũ trụ càng xa Trái Đất.
9
Bài toán 6.6.10. Kính thiên văn vô tuyến lớn thứ hai thế
giới đặt tại đài quan sát Arecibo ở Puerto Rico có cấu tạo
như một ăng ten Parabol khổng lồ với mặt cắt là một
parabol (P) có đường kính 305 m, độ sâu của chảo là 61m
và bộ thu sóng đặt tại tiêu điểm của (P) (được đỡ bởi các
dây cáp từ ba tòa tháp xung quanh). Trước khi bị đổ sập
và ngừng hoạt động vào ngày 01/12/2020, kính thiên văn
này là biểu tượng của ngành thiên văn giúp săn lùng các
tín hiệu bên ngoài Trái Đất. Hãy tính khoảng cách từ bộ
thu sóng của kính thiên văn đến đỉnh của parabol.
Bài toán 6.7.3. Một số loại kính thiên văn sử dụng
kết hợp cả gương parabol và gương hypebol để thu
nhận tín hiệu. Hình dưới đây mô tả mặt cắt của
kính thiên văn Cassegrain “cổ điển” gồm một
parabol và hypebol có cùng tiêu điểm F. Chùm tín
hiệu song song với Ox đến gặp parabol sẽ phản xạ
đến tiêu điểm F. Chùm tia phản xạ này khi gặp
gương hypebol đặt trước tiêu điểm F sẽ hội tụ đến
tiêu điểm F’ còn lại của hypebol, cũng là nơi đặt
bộ thu tín hiệu của kính thiên văn.
Cho biết tiêu cự của hypebol là 10 m và khoảng cách từ vị trí đặt bộ thu đến đỉnh
V1
của parabol và đỉnh
V2
của hypebol lần lượt là
1 F V m ‘ 1,8 =
và
2 F V m ‘ 8,2 . =
Hãy viết
phương trình chính tắc của parabol và hypebol nói trên.
10
Sáng kiến không những chú trọng đến tính liên môn giữa môn Toán với các môn học
khác mà các bài toán trong sáng kiến cũng có tính cập nhật và hướng tới những kì thi còn
khá mới mẻ, chẳng hạn như kì thi “đánh giá năng lực” do trường Đại học Quốc gia tổ
chức hay kì thi “đánh giá tư duy” do trường Đại học Bách khoa Hà nội tổ chức trong
năm học 2020-2021 và 2021-2022. Chẳng hạn như các bài toán dưới đây được trích ra
từ phần thi “Tự luận” trong đề thi “đánh giá tư duy” và được xem là những bài toán có
sự phân loại cao các đối tượng học sinh nhằm chọn được những học sinh có năng lực tốt.
Bài toán 4.1.17. (Trích từ phần thi Tự luận-đề thi “đánh giá tư duy” năm 2020)
Giả sử giá điện sinh hoạt trong mỗi tháng dành cho các hộ gia đình được cho bởi bảng:
Mức kWh điện tiêu thụ Giá bán điện (VNĐ/kWh)
Mức 1: từ 0 đến 100 kWh 1600
Mức 2: từ trên 100 đến 300 kWh 2000
Mức 3: trên 300 kWh 3000
a. Thiết lập công thức liên hệ giữa số kWh điện tiêu thụ và số tiền tương ứng phải trả.
Nếu một hộ gia đình phải trả số tiền điện là 420000 VNĐ cho một tháng thì số kWh điện
tiêu thụ của hộ gia đình trong tháng đó là bao nhiêu?
b. Tháng 6, một hộ gia đình có mức tiêu thụ điện trong khoảng 100 đến 300 kWh, tháng
7 có mức tiêu thụ điện nhiều hơn tháng 6 là 210 kWh và phải trả số tiền bằng 2,5 lần
tháng 6. Cho biết mức tiêu thụ điện của hộ gia đình đó trong tháng 6 là bao nhiêu kWh?
c. Giả sử do ảnh hưởng của dịch Covid, sang tháng 8, Nhà nước giảm trừ mỗi hộ gia đình
10% điện phải trả theo hóa đơn, nhưng không quá 80000 VNĐ cho một hóa đơn. Nếu
một hộ gia đình trả 885000 VNĐ thì trong tháng 8 số kWh điện tiêu thụ của hộ gia đình
đó là bao nhiêu?
Bài toán 1.7. (Trích từ phần thi Tự luận-đề thi “đánh giá tư duy” năm 2022)
Viện Toán ứng dụng và Tin học, Đại học Bách khoa Hà Nội công bố điểm thi ba môn
Đại số, Giải tích 1, Giải tích 2 của một lớp sinh viên, có 108 sinh viên đạt điểm A.
Biết rằng: - Có 43 sinh viên đạt điểm A môn Giải tích 1;
- Có 32 sinh viên đạt điểm A môn Giải tích 2;
- Có 54 sinh viên đạt điểm A môn Đại số;
- Có 09 sinh viên đạt điểm A môn Giải tích 1 và Đại số;
- Có 08 sinh viên đạt điểm A môn Giải tích 2 và Đại số;
- Có 03 sinh viên đạt điểm A cả ba môn.
Hãy xác định:
a. Số sinh viên đạt điểm A môn Đại số và Giải tích 1, nhưng không đạt điểm A môn
Giải tích 2;
b. Số sinh viên chỉ đạt điểm A môn Đại số;
c. Số sinh viên đạt điểm A hai môn Giải tích 1 và Giải tích 2.
11
NỘI DUNG BÁO CÁO
CHỦ ĐỀ 1: TẬP HỢP
Bài toán 1.1. Tại vòng chung kết của một trò chơi trên truyền hình, có 100 khán giả tại
trường quay có quyền bình chọn cho hai thí sinh A và B. Biết rằng có 85 khán giả bình
chọn cho thí sinh A, 72 khán giả bình chọn cho thí sinh B và 60 khán giả bình chọn cho
cả hai thí sinh này. Có bao nhiêu khán giả đã tham gia bình chọn? Có bao nhiêu khán giả
không tham gia bình chọn?
Hướng dẫn
Ta vẽ sơ đồ ven: Hình A kí hiệu cho số khản giả
tại trường quay bình chọn cho thí sinh A. Hình
B kí hiệu cho số khản giả tại trường quay bình
chọn cho thí sinh B. Ta gọi số phần tử của một
tập hữu hạn A bất kỳ là
n A( ). - Theo giả thiết, ta có:
n A( ) = 85
;
n B( ) = 72
;
n A B ( =) 60.
Ta đi tìm số khán giả bình chọn
cho ít nhất một trong hai thí sinh A hoặc B, tức
là đi tìm số phần tử của tập hợp
A B ,
hay
n A B ( =) ?. - Trước hết, ta cộng các số n(A) và n(B). Nhưng như vậy thì những phần tử thuộc vào
giao của A và B được đếm hai lần. Do vậy từ tổng
n A n B ( ) + ( )
ta phải trừ đi
n A B ( ) và
thu được kết quả:
n A B n A n B n A B ( = + − ) ( ) ( ) ( ).
Thay các giá trị của
n A( ); n B( )
;
n A B ( )
ta được
n A B ( = + − = ) 85 72 60 97.
•Kết luận: Vậy có 97 khán giả tham gia bình chọn và có
100 97 3 − =
khán giả không
tham gia bình chọn cho thí sinh nào.
Bài toán 1.2. Trong một cuộc Hội nghị khách hàng của công ty K, số khách hàng có thể
nói được ngoại ngữ tiếng Anh là 912 người, có thể nói được ngoại ngữ tiếng Pháp 653
người ; số khách hàng nới được cả hai ngoại ngữ tiếng Anh và Pháp là 435 người; không
có ai nói ba ngoại ngữ trở lên. Hỏi có bao nhiêu người dự Hội nghị ?
Hướng dẫn
Ta vẽ sơ đồ ven: Hình A kí hiệu cho số khách hàng nói
được ngoại ngữ tiếng Anh. Hình B kí hiệu cho số khách
hàng nói được ngoại ngữ tiếng Pháp. Ta gọi số phần tử
của một tập hữu hạn A bất kỳ là
n A( ). Theo giả thiết,
ta có: n A( ) = 912
;
n B( ) = 653
;
n A B ( )
=435. Để đi
tìm số người tham gia Hội nghị, ta cần tìm số phần tử
của tập hợp
A B ,
hay
n A B ( =) ?
Trước hết, ta cộng các số n(A) và n(B). Nhưng như
vậy thì những phần tử thuộc vào giao của A và B được đếm hai lần. Do vậy từ tổng
n A n B ( ) + ( )
ta phải trừ đi
n A B ( ) và thu được kết quả:
n A B n A n B n A B ( = + − ) ( ) ( ) ( )
Thay các giá trị của
n A( ); n B( )
;
n A B ( )
ta được
n A B ( = + − = ) 912 653 435 1130 Kết luận: Số khách hàng tham gia Hội nghị là 1130 người.
12
Bài toán 1.3. Để phục vụ cho một hội nghị quốc tế, ban tổ chức huy động 35 người phiên
dịch tiếng Anh, 30 người phiên dịch tiếng Pháp, trong đó có 16 người phiên dịch được
cả hai thứ tiếng Anh và Pháp. Hãy trả lời các câu hỏi sau:
a. Ban tổ chức đã huy động bao nhiêu người phiên dịch cho hội nghị đó?
b. Có bao nhiêu người chỉ phiên dịch được tiếng Anh?
c. Có bao nhiêu người chỉ phiên dịch được tiếng Pháp?
Hướng dẫn
Ta vẽ sơ đồ ven: Hình A kí hiệu cho số
người phiên dịch được tiếng Anh. Hình B
kí hiệu cho số người phiên dịch được
tiếng Pháp. Ta gọi số phần tử của một tập
hữu hạn A bất kỳ là
n A( ). Theo giả thiết,
ta có n A( ) = 35
;
n B( ) = 30
;
n A B ( ) =16.
a. Để đi tìm số người phiên dịch trong Hội
nghị mà Ban tổ chức huy động được ta cần
tìm số phần tử của tập hợp
A B ,
hay
n A B ( =) ?.
Trước hết, ta cộng các số n(A) và n(B). Nhưng như vậy thì những phần tử thuộc vào
giao của A và B được đếm hai lần. Do vậy từ tổng
n A n B ( ) + ( )
ta phải trừ đi
n A B ( )
và được:
n A B n A n B n A B ( = + − ) ( ) ( ) ( )
Thay các giá trị của
n A( ); n B( )
;
n A B ( )
ta được
n A B ( = + − = ) 35 30 16 49
Kết luận: Ban tổ chức đã huy động được 49 người phiên dịch cho hội nghị đó.
b. Số người phiên dịch được tiếng Anh là 35 và số người phiên dịch được cả thứ tiếng
Anh và Pháp là 16. Khi đó số người chỉ phiên dịch được tiếng Anh là
35 16 19. − =
c. Số người phiên dịch được tiếng Pháp là 30 và số người phiên dịch được cả thứ tiếng
Anh và Pháp là 16. Khi đó số người chỉ phiên dịch được tiếng Pháp là
30 16 14. − =
Bài toán 1.4. Trong số 45 học sinh của lớp 10A có 15 bạn xếp học lực giỏi, 20 bạn xếp
loại hạnh kiểm tốt, trong đó có 10 bạn vừa có hạnh kiểm tốt, vừa có lực học giỏi. Hỏi:
a. Lớp 10 A có bao nhiêu bạn được khen thưởng, biết rằng muốn được khen thưởng bạn
đó phải có học lực giỏi hoặc hạnh kiểm tốt?
b. Lớp 10A có bao nhiêu bạn chưa được xếp loại học lực giỏi và chưa có hạnh kiểm tốt?
Hướng dẫn
a. Sử dụng biểu đồ Ven để giải bài toán tập hợp.
HL Giỏi
15
Lớp 10A 45
HK Tốt
10 20
13 - Theo giả thiết, số học sinh đạt học lực giỏi và có hạnh kiểm tốt là 10 học sinh.
- Số học sinh đạt học lực giỏi là 15 và số học sinh đạt học lực giỏi và hạnh kiểm tốt là
- Vậy số học sinh đạt học lực giỏi và không có hạnh kiểm tốt là
15 10 5 − =
học sinh.
- Số học sinh đạt hạnh kiểm tốt là 20 và số học sinh đạt học lực giỏi và hạnh kiểm tốt là
- Số học sinh có hạnh kiểm tốt và không học lực giỏi là
20 10 10 − =
học sinh.
- Vậy số học sinh được khen thưởng là
10 5 10 25 + + =
học sinh.
b. Vậy số học sinh chưa xếp học lực giỏi và chưa có hạnh kiểm tốt là
45 25 20 − =
học sinh
Bài toán 1.5. Một cuộc khảo sát về khách du lịch thăm vịnh Hạ Long cho thấy trong 1410
khách du lịch được phỏng vấn có 789 khách du lịch đến thăm động Thiên Cung, 690
khách du lịch đến đảo Titop. Toàn bộ khách được phỏng vấn đã đến ít nhất một trong hai
địa điểm trên. Hỏi có bao nhiêu khách du lịch vừa đến thăm động Thiên Cung vừa đến
thăm đảo Titop ở vịnh Hạ Long?
Hướng dẫn
Ta vẽ sơ đồ ven: Hình A kí hiệu cho số khách du
lịch đến thăm động Thiên Cung. Hình B kí hiệu
cho số khách du lịch đến thăm đảo Titop. Ta gọi
số phần tử của một tập hữu hạn A bất kỳ là
n A( ).
Theo giả thiết, ta có: n A( ) = 789
;
n B( ) = 690
;
n A B ( =) 1410.
Ta cần tìm số phần tử của tập hợp
A B ,
tức là
n A B ( =) ?.
Trước hết, ta cộng các số n(A) và n(B). Nhưng như vậy thì những phần tử thuộc vào giao
của A và B được đếm hai lần. Do vậy từ tổng
n A n B ( ) + ( )
ta phải trừ đi
n A B ( ) và
được:
n A B n A n B n A B n A B n A n B n A B ( = + − = + − ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Thay các giá trị của
n A( ); n B( )
;
n A B ( )
ta được
n A B ( = + − = ) 789 690 1410 69.
Kết luận: Có 69 khách du lịch vừa đến thăm động Thiên Cung vừa đến thăm đảo Titop.
Đảo Titop nằm trong biển Vịnh Hạ Long, thuộc thành phố Hạ Long,
tỉnh Quảng Ninh, cách cảng tàu du lịch Bãi Cháy
7 8 − km
về phía
đông nam. Dưới chân đảo là bãi tắm có hình vầng trăng ôm trọn lấy
chân đảo, bãi cát tuy nhỏ nhưng rất thoáng đãng và yên tĩnh, bốn mùa
nước sạch và trong xanh. Ngày 22–11–1962, Chủ tịch Hồ Chí Minh cùng nhà du hành vũ trụ người Liên
Xô G.Titop lên thăm đảo. Để ghi dấu kỷ niệm chuyến đi đó, Chủ tịch Hồ Chí Minh
đã đặt tên cho đảo là đảo Titop. (Theo tuoitre.vn)
Hình ảnh Đảo Tiptop
14
Bài toán 1.6. Lớp
10A
có
7
học sinh giỏi Toán,
5
học sinh giỏi Lý,
6
học sinh giỏi Hóa,
3
học sinh giỏi cả Toán và Lý,
4
học sinh giỏi cả Toán và Hóa,
2
học sinh giỏi cả Lý và
Hóa,
1
học sinh giỏi cả
3
môn Toán, Lý, Hóa. Tính số học sinh giỏi ít nhất một môn
(Toán, Lý, Hóa) của lớp
10A.
Hướng dẫn
Số học sinh giỏi Lý, Toán không giỏi Hóa là: 3 –1=2
Số học sinh giỏi Toán, Hóa không giỏi Lý là: 4 –1=3
Số học sinh giỏi Lý, Hóa không giỏi Toán là: 2–1 =1
Số học sinh chỉ giỏi Toán là:
7 3 2 1 1 − + + = ( )
Số học sinh chỉ giỏi Lý là:
5 2 1 1 1 − + + = ( )
Số học sinh chỉ giỏi Hóa là:
6 3 1 1 1 − + + = ( )
Số học sinh giỏi ít nhất một môn= Số học sinh chỉ giỏi Toán + Số học sinh chỉ giỏi Lý - Số học sinh chỉ giỏi Hóa + Số học sinh giỏi Lý, Toán không giỏi Hóa + Số học sinh
giỏi Toán, Hóa không giỏi Lý + Số học sinh giỏi Lý, Hóa không giỏi Toán + Số học
sinh giỏi cả 3 môn = 1 + 1 + 1 + 2 + 3 + 1 + 1 = 10 học sinh.
Cách khác: Goi
A B C , ,
lần lượt là tập các học sinh giỏi Toán, Lí, Hóa.
Theo giả thiết, ta có:
n A n B n C ( ) = = = 7, 5, 6. ( ) ( ) - Tập hợp
A B
gồm các học sinh giỏi Toán-Lí và
n A B ( =) 3. - Tập hợp
A C
gồm các học sinh giỏi Toán-Hóa và
n A C ( =) 4. - Tập hợp
B C
gồm các học sinh giỏi Lí-Hóa và
n B C ( =) 2. - Tập hợp
A B C
gồm các học sinh giỏi cả ba môn Toán-Lí-Hóa và
n A B C ( =) 1. - Tập hợp
A B C
gồm các học sinh giỏi ít nhất một trong ba môn Toán-Lí -Hóa.
Từ công thức:
n X Y n X n Y n X Y ( = + − ) ( ) ( ) ( )
ta chứng minh được công thức
n A B C n A n B n C n A B n A C n B C n A B C ( = + + − − − + ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).
Khi đó
n A B C ( = + + − − − + = ) 7 5 6 3 4 2 1 10
học sinh.
Kết luận: Số học sinh giỏi ít nhất một môn (Toán, Lý, Hóa) của lớp
10A
là 10 học sinh.
Bài toán 1.7. (Trích từ phần thi Tự luận-đề thi “đánh giá tư duy” năm 2022)
Viện Toán ứng dụng và Tin học, Đại học Bách khoa Hà Nội công bố điểm thi ba môn
Đại số, Giải tích 1, Giải tích 2 của một lớp sinh viên, có 108 sinh viên đạt điểm A. Biết - Có 43 sinh viên đạt điểm A môn Giải tích 1;
- Có 32 sinh viên đạt điểm A môn Giải tích 2;
- Có 54 sinh viên đạt điểm A môn Đại số;
- Có 09 sinh viên đạt điểm A môn Giải tích 1 và Đại số;
- Có 08 sinh viên đạt điểm A môn Giải tích 2 và Đại số;
- Có 03 sinh viên đạt điểm A cả ba môn.
Hãy xác định:
a. Số sinh viên đạt điểm A môn Đại số và Giải tích 1, nhưng không đạt điểm A môn
Giải tích 2;
b. Số sinh viên chỉ đạt điểm A môn Đại số;
c. Số sinh viên đạt điểm A hai môn Giải tích 1 và Giải tích 2.
2
3
1
15
Hướng dẫn
a. Ta có số sinh
viên đạt điểm A môn
Đại số và Giải tích 1,
nhưng không đạt
điểm A môn Giải
tích 2 là phần nằm
trong phần gạch
chéo (là giao của tập
hợp
S1
và tập hợp
S2
nhưng không nằm
trong tập hợp
S3
), đó
là 9-3=6 sinh viên.
b. Số sinh viên chỉ đạt
điểm A môn Đại số là
phần gạch chéo trong
hình vẽ, đó là
54 9 8 3 40 − − + =
sinh viên
c. Số sinh viên đạt điểm
A môn Giải tích 1 hoặc
Giải tích 2 bằng số sinh
viên đạt điểm A trừ đi số
sinh viên chỉ đạt điểm A
môn Đại số và bằng
108 40 68 − =
sinh viên.
Số sinh viên đạt điểm A
hai môn Giải tích 1 và
Giải tích 2 là
43 32 68 7 + − =
sinh viên.
Cách khác: Ta sử dụng công thức sau đây:
n X Y Z n X n Y n Z n X Y n Y Z n Z X n X Y Z ( = + + − − − + ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).
Trong đó X, Y, Z lần lượt là tập hợp các sinh viên đạt điểm A môn Giải tích 1,Giải tích 2
và Đại số. Khi đó ta có:
108 43 32 54 9 8 3 7. = + + − − − + = n X Y n X Y ( ) ( )
Kết luận: Số sinh viên đạt điểm A hai môn Giải tích 1 và Giải tích 2 là 7 sinh viên.
16
CHỦ ĐỀ 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 3 ẨN
2.1. Dạng toán liên quan đến kinh tế, kinh doanh, đầu tư, tài chính.
Bài toán 2.1.1. Một đại lí bán ba mẫu máy điều hoà A, B và C, với giá bán mỗi chiếc
theo từng mẫu lần lượt là 8 triệu đồng, 10 triệu đồng và 12 triệu đồng. Tháng trước, đại
lí bán được 100 chiếc gồm cả ba mẫu và thu được số tiền là 980 triệu đồng. Tính số
lượng máy điều hoà mỗi mẫu đại lí bán được trong tháng trước, biết rằng số tiền thu
được từ bán máy điều hoà mẫu A và mẫu C là bằng nhau.
Hướng dẫn
Gọi số lượng máy điều hoà mỗi mẫu A, B, C đại lí bán được trong tháng trước lần lượt
là x, y, z. Theo đề bài ta có:
– Đại lí bán được 100 chiếc gồm cả ba mẫu, suy ra x+y+z=100 (1).
– Số tiền thu được là 980 triệu đồng, suy ra 8x+10y+12z=980 hay 4x+5y+6z=490 (2).
– Số tiền thu được từ bán máy điều hoà mẫu A và mẫu C là bằng nhau, suy ra 8x=12z
hay 2x–3z=0 (3).
Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình:
100 30
4 5 6 490 50.
2 3 0 20
x y z x
x y z y
x z z
+ + = = + + = =
− = =
Kết luận: Vậy số lượng máy điều hoà mỗi mẫu A, B, C mà đại lí đã bán được trong
tháng trước lần lượt là 30, 50, 20 chiếc.
Bài toán 2.1.2. Một chủ cửa hàng bán lẻ mang 1500000 đồng đến ngân hàng đổi tiền xu
để trả lại cho người mua. Ông đổi được được tất cả 1450 đồng tiền xu các loại 2000 đồng,
1000 đồng và 500 đồng. Biết rằng số tiền xu loại 1000 đồng bằng hai lần hiệu số tiền xu
của loại 500 đồng với số tiền xu loại 2000 đồng. Hỏi mỗi loại có bao nhiêu đồng tiền xu.
Hướng dẫn
Gọi
x y z , ,
lần lượt là số đồng xu loại 2000 đồng, 1000 đồng và 500 đồng. Ta có hệ:
Kết luận: Vậy ông chủ cửa hàng đó đổi được 350 đồng xu loại 2000 đồng, 500 đồng xu
loại 1000 đồng và 600 đồng xu loại 500 đồng.
( )
1450 1450 350
2000 1000 500 1500000 4 2 3000 500
2 2 2 0 600
+ + = + + = = + + = + + = =
= − + − = =
x y z x y z x
x y z x y z y
y z x x y z z
17
Bài toán 2.1.3. Một tuyến cáp treo có ba loại vé sau đây: vé đi lên giá 250 nghìn đồng;
vé đi xuống giá 200 nghìn đồng và vé hai chiều giá 400 nghìn đồng. Một ngày nhà ga cáp
treo thu được tổng số tiền là 251 triệu đồng. Tìm số vé bán ra mỗi loại, biết rằng nhân
viên quản lí cáp treo đếm được 680 lượt người đi lên và 520 lượt người đi xuống.
Hướng dẫn
Gọi số vé bán ra loại đi lên, đi xuống và hai chiều lần lượt là x, y, z. Theo đề bài ta có:
– Nhà ga cáp treo thu được tổng số tiền là 251 triệu đồng, suy ra
250000x+200000y +400000z =251000000 hay 5x+4y+8z=5020 (1).
– Có 680 lượt người đi lên, suy ra x+z=680 (2).
– Có 520 lượt người đi xuống, suy ra y+z=520 (3).
Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình:
5 4 8 5020 220
680 60 .
520 460
x y z x
x z y
y z z
+ + = = + = =
+ = =
Kết luận: Vậy số vé bán ra loại đi lên, đi xuống và hai chiều lần lượt là 220, 60, 460.
Bài toán 2.1.4. Một cửa hàng giải khát chỉ phục vụ ba loại sinh tố: xoài, bơ và mãng cầu.
Để pha mỗi li (cốc) sinh tố này đều cần dùng đến sữa đặc, sữa tươi và sữa chua với công
thức cho ở bảng sau.
Sinh tố (li) Sữa đặc (ml) Sữa tươi (ml) Sữa chua (ml)
Xoài 20 100 30
Bơ 10 120 20
Mãng cầu 20 100 20
Ngày hôm qua cửa hàng đã dùng hết 2 lít sữa đặc; 12,8 lít sữa tươi và 2,9 lít sữa chua.
Cửa hàng đã bán được bao nhiêu li sinh tố mỗi loại trong ngày hôm qua?
Hướng dẫn
Gọi số li sinh tố mỗi loại xoài, bơ, mãng cầu cửa hàng bán được trong ngày hôm qua lần
lượt là x, y, z. Theo đề bài ta có:
– Cửa hàng đã dùng hết 2 lít hay 2000 ml sữa đặc, suy ra phương trình
20x+10y+20z=2000 hay 2x +y +2z =200 (1).
– Cửa hàng đã dùng hết 12,8 lít hay 12800 ml sữa tươi, suy ra phương trình:
100x+120y +100z=12800 hay 5x+6y +5z=640 (2).
– Cửa hàng đã dùng hết 2,9 lít hay 2900 ml sữa chua, suy ra phương trình
30x+20y+20z=2900 hay 3x+2y+2z=290 (3).
Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình:
2 2 200 50
5 6 5 640 40.
3 2 2 290 30
x y z x
x y z y
x y z z
+ + = = + + = =
+ + = =
Kết luận: Vậy số li sinh tố mỗi loại xoài, bơ, mãng cầu mà cửa hàng đã bán được trong
ngày hôm qua lần lượt là 50, 40, 30.
Bài toán 2.1.5. Vé vào xem một vở kịch có ba mức giá khác nhau tuỳ theo khu vực ngồi
trong nhà hát. Số lượng vé bán ra và doanh thu của ba suất diễn được cho bởi bảng sau
Suất diễn Số vé bán được Doanh thu (triệu đồng)
Khu vực 1 Khu vực 2 Khu vực 3
10h00 – 12h00 210 152 125 212,7
15h00 – 17h00 225 165 118 224,4
20h00 – 22h00 254 186 130 252,2
Tìm giá vé ứng với mỗi khu vực ngồi trong nhà hát.
18
Hướng dẫn
Gọi giá vé ứng với mỗi khu vực 1, khu vực 2, khu vực 3 lần lượt là x, y, z (triệu đồng).
Dựa vào bảng trên ta có hệ phương trình:
210 152 125 212,7 0,4
225 165 118 224,4 0,6.
254 186 130 252,2 0,3
x y z x
x y z y
x y z z
+ + = = + + = =
+ + = =
Kết luận: Vậy giá vé ứng với mỗi khu vực 1, khu vực 2, khu vực 3 lần lượt là 400 nghìn
đồng, 600 nghìn đồng và 300 nghìn đồng.
Bài toán 2.1.6. Bác Nhân có 650 triệu đồng dự định gửi tiết kiệm vào các ngân hàng A,
B và C. Biết các ngân hàng A, B, C trả lãi suất lần lượt là 8%/năm, 7,5%/năm và 7%/năm.
Để phù hợp với nhu cầu, bác Nhân mong muốn sau một năm, tổng số tiền lãi bác nhận
được là 50 triệu đồng và số tiền bác gửi vào ngân hàng B lớn hơn số tiền gửi vào ngân
hàng C là 100 triệu đồng. Hãy tính giúp bác Nhân số tiền gửi vào mỗi ngân hàng sao cho
đáp ứng được yêu cầu của bác.
Hướng dẫn
Gọi số tiền bác Nhân gửi vào mỗi ngân hàng A, B, C lần lượt là x, y, z (triệu đồng).
– Tổng số tiền bác có là 650 triệu đồng, suy ra x+y+z=650 (1).
– Tổng số tiền lãi bác nhận được sau một năm là 50 triệu đồng, suy ra
8%x+7,5%y + 7%z =50 hay 8x+7,5y +7z=5000 (2).
– Số tiền bác gửi vào ngân hàng B lớn hơn số tiền gửi vào ngân hàng C là 100 triệu đồng,
suy ra y –z =100 (3).
Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình:
650 350
8 7,5 7 5000 200.
100 100
x y z x
x y z y
y z z
+ + = = + + = =
− = =
Kết luận: Vậy số tiền bác Nhân gửi vào mỗi ngân hàng A, B, C lần lượt là 350 triệu
đồng, 200 triệu đồng và 100 triệu đồng.
Bài toán 2.1.7. Bác Việt có 330740 nghìn đồng, bác chia số tiền này thành ba phần và
đem đầu tư vào ba hình thức : Phần thứ nhất bác đầu tư vào chứng khoán với lãi thu được
4% một năm; phần thứ hai bác mua vàng thu lãi 5% một năm và phần thứ ba bác gửi tiết
kiệm với lăi suất 6% một năm. Sau một năm, kể cả gốc và lãi bác thu được ba món tiền
bằng nhau. Hỏi tổng số tiền cả gốc và lãi bác thu được sau một năm là bao nhiêu?
Hướng dẫn
Gọi số tiền bác Việt đầu tư vào chứng khoán, mua vàng, gửi tiết kiệm lần lượt là x, y, z
(nghìn đồng). Theo đề bài ta có:
– Tổng số tiền là 330740 nghìn đồng, suy ra x+y+z=330740 (1).
– Số tiền kể cả gốc lẫn lãi bác Việt thu được từ ba khoản là x + 4%x, y + 5%y, z + 6%z.
Vì bác thu được ba món tiền bằng nhau nên x+ 4%x =y+5%y =z+6%z
⇒ 104%x = 105%y = 106%z ⇒ 104x –105y = 0 (2) và 105y –106z =0 (3).
Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình:
330740 111300
104 105 0 110240.
105 106 0 109200
x y z x
x y y
y z z
+ + = = − = =
− = =
Kết luận: Vậy số tiền bác Việt đầu tư vào chứng khoán, mua vàng, gửi tiết kiệm lần lượt
là 111300 nghìn đồng, 110240 nghìn đồng, 109200 nghìn đồng.
Tổng số tiền cả gốc và lãi mà bác Việt thu được sau một năm là 347256000 đồng.
19
Bài toán 2.1.8. Một quỹ đầu tư dự kiến dành khoản tiền 1,2 tỉ đồng để đầu tư vào cổ
phiếu. Các cổ phiếu được phân thành ba loại: rủi ro cao, rủi ro trung bình và rủi ro thấp.
Ban Giám đốc của quỹ ước tính các cổ phiếu rủi ro cao, rủi ro trung bình và rủi ro thấp
sẽ có lợi nhuận hằng năm lần lượt là 15%, 10% và 6%. Nếu đặt ra mục tiêu đầu tư có lợi
nhuận trung bình là 9%/năm trên tổng số vốn đầu tư, thì quỹ nên đầu tư bao nhiêu tiền
vào mỗi loại cổ phiếu? Biết rằng, để an toàn, khoản đầu tư vào các cổ phiếu rủi ro thấp
sẽ gấp đôi tổng các khoản đầu tư vào các cổ phiếu thuộc hai loại còn lại.
Hướng dẫn
Gọi số tiền nên đầu tư vào mỗi loại cổ phiếu rủi ro cao, rủi ro trung bình và rủi ro thấp
lần lượt là x, y, z (tỉ đồng). Theo đề bài ta có:
– Tổng số tiền đầu tư là 1,2 tỉ; suy ra phương trình: x+y+z =1,2 (1).
– Mục tiêu đầu tư có lợi nhuận trung bình là 9%/năm trên tổng số vốn đầu tư, suy ra
15%x+10%y +6%z=9% .1,2 hay 15x+10y+6z=10,8 (2).
– Khoản đầu tư vào các cổ phiếu rủi ro thấp sẽ gấp đôi tổng các khoản đầu tư vào các cổ
phiếu thuộc hai loại còn lại, suy ra z=2(x+y) hay 2x+2y–z=0 (3).
Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình:
1,2 0,4
15 10 6 10,8 0 .
2 2 0 0,8
x y z x
x y z y
x y z z
+ + = = + + = =
+ − = =
Kết luận: Vậy số tiền nên đầu tư vào mỗi loại cổ phiếu rủi ro cao, rủi ro trung bình và
rủi ro thấp lần lượt là 0,4 tỉ đồng, 0 đồng, 0,8 tỉ đồng.
Bài toán 2.1.9. Xét thị trường chè, cà phê và ca cao. Gọi x, y và z lần lượt là giá của 1 kg
chè, 1 kg cà phê và 1 kg ca cao (đơn vị: nghìn đồng, x≥0, y≥0, z ≥ 0). Các lượng cung và
lượng cầu của mỗi sản phẩm được cho như bảng sau:
Sản phẩm Lượng cung Lượng cầu
Chè
1
QS = –380 + x +y
D1
Q = 350–x – z
Cà phê
2
QS = –405 +x +2y –z
D2
Q =760–2y– z
Ca cao
3
QS = –350 –2x +3z
D3
Q =145 –x +y– z
Tìm giá của mỗi kilôgam chè, cà phê và ca cao để thị trường cân bằng.
Hướng dẫn
Thị trường cân bằng khi và chỉ khi
1 1
2 2
3 3
380 350 2 730 125
405 2 760 2 4 1165 260.
350 2 3 145 4 495 220
S D
S D
S D
Q Q x y x z x y z x
Q Q x y z y z x y y
Q Q x z x y z x y z z
= − + + = − − + + = = = − + + − = − − + = =
= − − + = − + − + − = − =
Kết luận: Vậy để thị trường cân bằng thì giá của mỗi kilôgam chè, cà phê và ca cao lần
lượt là 125 nghìn đồng, 260 nghìn đồng và 220 nghìn đồng.
2.2. Dạng toán có yếu tố tích hợp liên môn giữa Toán học và Hóa học
Bài toán 2.2.1. Một công ty sản xuất ba loại phân bón loại A, loại B, loại C như sau:
– Loại A có chứa 18% nitơ, 4% photphat và 5% kali;
– Loại B có chứa 20% nitơ, 4% photphat và 4% kali;
– Loại C có chứa 24% nitơ, 3% photphat và 6% kali.
Hỏi công ty sản xuất bao nhiêu kilôgam mỗi loại phân bón trên?
Biết rằng công ty đã dùng hết 26400 kg nitơ, 4900 kg photphat, 6200 kg kali.
20
Hướng dẫn
Gọi khối lượng mỗi loại phân bón A, B, C lần lượt là x, y, z (kilôgam). Theo đề bài ta có
– Công ty dùng hết 26400 kg nitơ nên ta có phương trình: 18%x+20%y+24%z=26400
hay 18x+20y+24z=2640000 (1).
– Công ty dùng hết 4900 kg photphat nên ta có phương trình: 4%x+4%y+3%z =4900
hay 4x+4y+3z=490000 (2).
– Công ty dùng hết 6200 kg kali nên ta có phương trình: 5%x+4%y+6%z=6200
hay 5x+4y+6z=620000 (3).
Từ (1), (2) và (3) ta có hệ phương trình:
18 20 24 2640000 40000
4 4 3 490000 60000.
5 4 6 620000 30000
x y z x
x y z y
x y z z
+ + = = + + = =
+ + = =
Vậy khối lượng mỗi loại phân bón A, B, C lần lượt là 40000kg, 60000kg và 30000kg
Bài toán 2.2.2. Cho A, B và C là ba dung dịch cùng loại acid có nồng độ khác nhau. Biết
rằng nếu trộn ba dung dịch mỗi loại 100 ml thì được dung dịch nồng độ 0,4 M (mol/lít);
nếu trộn 100 ml dung dịch A với 200 ml dung dịch B thì được dung dịch nồng độ 0,6 M;
nếu trộn 100 ml dung dịch B với 200 ml dung dịch C thì được dung dịch
Xem bản đầy đủ trên google drive: TẠI ĐÂY
Các thầy cô cần file liên hệ với chúng tôi tại fanpage facebook O2 Education
Hoặc xem nhiều SKKN hơn tại: