SKKN Khai thác, phát triển các dạng toán về hàm số ẩn, hàm số hợp tích hợp giá trị tuyệt đối trong các kì thi HSG và TNTHPT
Các thầy cô cần file liên hệ với chúng tôi tại fanpage facebook O2 Education
Hoặc xem nhiều SKKN hơn tại: Tổng hợp SKKN luận văn luận án O2 Education
ĐIỀU KIỆN HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN
Trong năm học 2021-2022, đối với kì thi THPT Quốc gia, Bộ Giáo dục và Đào tạo
tiếp tục giữ nguyên hình thức thi môn Toán ở dạng Trắc nghiệm. Như vậy đến nay đã là
năm thứ 6, bộ môn Toán chuyển đổi từ hình thức thi Tự luận sang hình thức thi Trắc
nghiệm. Bắt đầu từ khi thi môn Toán dưới dạng trắc nghiệm cả giáo viên và học sinh đã
phải có những thay đổi trong cách dạy và cách học cho phù hợp. Các dạng toán trắc
nghiệm vô cùng phong phú và đa dạng đòi hỏi người học phải có nền tảng kiến thức vững
chắc và có cách nhìn nhận vấn đề sâu rộng. Những bài toán được khai thác với những ý
tưởng mới mẻ cùng với những lời giải đẹp được xuất hiện ngày càng nhiều trong bài thi
trắc nghiệm mà trước kia chưa từng xuất hiện trong các bài thi tự luận. Đặc biệt là những
bài toán liên quan đến “Hàm số ẩn, hàm số hợp” mang đậm chất định tính, thiên về lý
thuyết, đòi hỏi sự suy luận logic, không thiên nhiều về định lượng, về kỹ năng tính toán,
biến đổi phức tạp. Những bài toán đó rất phù hợp với hình thức thi môn Toán dạng trắc
nghiệm, được khai thác và phát triển liên tục trong 5 năm gần đây và được những người
giải toán, những người yêu toán đón nhận và quan tâm hàng đầu
“Hàm số hợp” là những hàm số có dạng
y f u x = ( ( )),
trong đó
u x( )
là một biểu
thức nào đó của
x,
đối với những hàm số dạng này thì học sinh đã được làm quen trong
chương trình Toán phổ thông, nhưng “Hàm số ẩn” vẫn còn mới mẻ với đại đa số học
sinh. “Hàm số ẩn” được đề cập trong chuyên đề này là những hàm số
y f x = ( )
nhưng
chưa có định dạng bằng công thức cụ thể, tức là những hàm số có thể cho bởi nhiều dạng
khác nhau, chẳng hạn như: Bảng biến thiên hoặc hình dáng đồ thị của hàm số
y f x = ( )
hoặc biểu thức tính đạo hàm
f x ‘ , ( )
bảng xét dấu của đạo hàm
f x ‘ , ( )
bảng biến thiên
hoặc đồ thị của hàm số
y f x = ‘ , ( )
hoặc cho hàm số
y f x = ( )
thỏa mãn đẳng thức nào
đó ở dạng “phương trình hàm”. Như vậy những bài toán liên quan đến “Hàm số ẩn, hàm
số hợp” vẫn còn hết sức mới, học sinh còn bỡ ngỡ và tỏ rõ sự lúng túng trước những bài
toán lạ. Bởi lẽ để giải quyết được những bài toán trong chuyên đề này đòi hỏi học sinh
phải có nền tảng kiến thức vững chắc, phải được rèn luyện dưới hình thức Tự luận để
hình dung một cách hệ thống các vấn đề, các dạng toán. Ngoài ra học sinh cần một sự suy
2
luận logic, sắc bén, một cảm nhận tinh tế để đưa ra cách giải bài toán nhanh nhất, đưa ra
kết quả chính xác trong thời gian ngắn nhất.
Thực trạng trường THPT Lê Quý Đôn học sinh chưa được tiếp cận nhiều với những
bài toán liên quan đến “Hàm số ẩn và hàm số hợp”. Những em học sinh có học lực khá,
giỏi của trường đã có sự quan tâm và có niềm đam mê chinh phục nội dung Toán học này.
Các em học sinh khá, giỏi quan tâm đến những bài toán liên quan đến “Hàm số ẩn và hàm
số hợp” bởi nội dung của Chuyên đề này thường xuyên xuất hiện trong các đề thi thử
THPT Quốc gia của các trường, các Sở Giáo dục và Đào tạo trong cả nước và đặc biệt
trong đề thi Minh họa của Bộ Giáo dục và Đào tạo và ở mức độ khó. Các em học sinh
phải chiếm lĩnh được nội dung chuyên đề “Hàm số ẩn và hàm số hợp” thì mới có cơ hội
đạt điểm cao môn Toán và cơ hội trúng tuyển những trường Đại học tốp đầu mà các em
đang mơ ước. Với mong muốn ngày càng có nhiều em học sinh cảm thấy có hứng thú và
có niềm đam mê chinh phục những nội dung Toán học đỉnh cao này và giúp học sinh có
tầm nhìn một cách hệ thống và sâu sắc nhất, làm chủ trong các tình huống, trong năm học
2021-2022 tôi đã mạnh dạn viết chuyên đề: Khai thác, phát triển các dạng toán về hàm
số ẩn, hàm số hợp có chứa giá trị tuyệt đối trong các kì thi HSG và TNTHPT. Chuyên
đề đề cập đến những dạng toán mang tính thời sự và được đông đảo giáo viên, học sinh
trên toàn quốc quan tâm, tìm tòi và khai thác.
II. MÔ TẢ GIẢI PHÁP
- Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến
Trước khi học sinh được tiếp cận và giải quyết những bài toán liên quan đến “hàm
số ẩn, hàm số hợp có chứa giá trị tuyệt đối”, học sinh đã được tiếp cận và giải quyết những
bài toán, những chuyên đề liên quan đến hàm số được định dạng trước bằng công thức
(hàm số được cho trước một cách tường minh) một cách hệ thống, bài bản dưới hình thức
Tự luận. Sự thuận lợi rất lớn đối với những bài toán liên quan đến hàm số cho trước công
thức là trong quá trình giải toán, học sinh được làm việc trực tiếp với hàm số, với những
biến đổi cụ thể. Những bài toán đó đề cao kỹ năng biến đổi, kỹ năng trình bày, khả năng
lập luận trên những số liệu cụ thể, giả thiết cụ thể, trong tình trạng “mắt thấy, tai nghe”
nhưng khi làm những bài toán liên quan đến “hàm số ẩn, hàm số hợp có chứa giá trị tuyệt
đối” học sinh chủ yếu sử dụng sự suy luận logic, sự tương tự hóa, khái quát hóa, đặc biệt
hóa các bài toán, góp phần hình thành, phát triển năng lực tư duy, lập luận của học sinh.
3 - Mô tả giải pháp sau khi có sáng kiến
Báo cáo sáng kiến kinh nghiệm là một Chuyên đề bao gồm 10 Chủ đề. Trong mỗi
Chủ đề bao gồm các ví dụ minh họa, đặc trưng cho các đơn vị kiến thức trọng tâm khác
nhau. Các ví dụ này được sắp xếp với mức độ khó tăng dần và tập trung chủ yếu vào hai
cấp độ: Vận dụng thấp và vận dụng cao. Để giải quyết được các bài toán trong chuyên
đề học sinh cần huy động tổng lực các phương pháp khác, chẳng hạn như: Phương pháp
suy luận logic, phương pháp tương tự hóa, tổng quát hóa hay đặc biệt hóa bài toán.
Trong mỗi chủ đề các ví dụ được sắp xếp theo một thứ tự logic, có tính kết nối giữa
các ví dụ với nhau tạo thành một thể thống nhất. Các chủ đề trong chuyên đề cũng có mối
liên hệ mật thiết với nhau. Ngoài ra chuyên đề còn đưa ra những bài toán có tính thời sự,
tính chuyên sâu và không ngừng được khai thác, chẳng hạn như:
Ví dụ 1.1.3. (Sở Nam Định-thi thử lần 1-năm 2020-2021) Cho hàm số có
đạo hàm liên tục trên và đồng thời có bảng xét dấu đạo hàm như sau
Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?
A. B. C. D.
Ví dụ 1.1.21. Cho hai hàm số liên tục trên và có đồ thị như hình
vẽ dưới đây. Số điểm cực trị của hàm số là
A. . B. . C. . D. .
y f x = ( )
f (− = 3 0 )
( ) ( ) ( ) ( )
6 2 432 g x x x f x x x = + − + − − − − − 2 1 6 1 3 4 4 2 7. 3. 6. 5. y f x y g x = = ( ), ( )
y f g x = ( ( ))
5
y=g(x)
y=f(x)
y
x
-4
-3
-2
-1
4
3
2
1
3 4
1 2
O
-3 -2 -1 25 24 21 26
4
Ví dụ 1.2.10. Cho hàm số là đa thức
bậc có đồ thị như hình vẽ bên. Xét
hàm số . Hỏi hàm số
có bao nhiêu điểm cực trị?
A. . B. .
C. . D. .
Ví dụ 10.1.11. (Đề gốc Mã 104 -2020 Lần 2)
Cho hàm số có Biết
là hàm số bậc bốn và có đồ thị là
đường cong trong hình bên. Số điểm cực trị của
hàm số là
A. B.
C. D.
Ví dụ 10.1.22. (Đề gốc Đề thi Tốt Nghiệp-BGD-chính thức-lần 1-năm 2021).
Cho hàm số có đạo hàm Có bao nhiêu giá trị nguyên
dương của tham số để hàm số có ít nhất 3 điểm cực trị?
A. 4. B. 5. C. 6. D. 7.
Ví dụ 8.7. Cho hàm số có đạo hàm
liên tục trên . Biết rằng hàm số
có đồ thị trên của đạo hàm
như hình vẽ dưới đây. Số điểm cực trị của hàm
số bằng
A. . B. .
C. . D. .
Ví dụ 2.1.7. Cho hàm số đa thức bậc năm có đồ thị như hình dưới.
y f x = ( )
5 f x ( )
( ) ( )
2 2 g x f x x x = + − 2
y g x = ( )
3 2
4 1
f x( ) f (0 0. ) =
y f x =
( ) ( )
4 2 g x f x x ( ) = + 3. 6. 5. 4. y f x = ( ) ( ) ( )( )
2
f x x x x = − − 7 9 , . m ( ) ( )
3
g x f x x m = + + 5
y f x = ( )
( )
2
y f x x = + 2
( )
3 4 2 y f x x x x = − + − 4 6 4 9 11 7 5
y f x = ( )
5
Số nghiệm thực của phương trình là
A. . B. . C. . D. .
Ví dụ 2.1.8.Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ
dưới đây. Số nghiệm của phương trình là
A. 2. B. 3. C. 1. D. 0.
Ví dụ 6.1.6. Cho hàm số liên tục trên và có đồ thị như hình dưới đây:
Số nghiệm của phương trình trên khoảng là
A. . B. . C. . D. .
Ví dụ 6.1.10. Cho hàm số là hàm số đa
thức bậc bốn. Biết và đồ thị hàm số
có hình vẽ bên. Hàm số
có tất cả bao nhiêu
điểm cực trị trên đoạn ?
A. . B. . C. . D. .
( ( )) ( )
2 2 f xf x x f x = −9
13 14 15 8
( ) ( )
3 2 y f x ax bx cx d a b c d = = + + + , , , f f f x f x f x f ( ( ( )) + + − = ( ) 2 1 0 ( ) ) ( )
y f x = ( )
f x x (3sin 3 cos ) =
9
0;
2
16 17 15 18 y f x = ( )
f (0 0 ) =
y f x =
( )
g x f x ( ) 5 2sin 1 1 4 = − − + ( )
0;3
16 32 17 33
6
Ví dụ 9.3. Cho hàm số liên tục trên
và có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị
nguyên của tham số để phương trình
có nghiệm.
A. . B. .
C. Vô số. D. .
Ví dụ 9.15. (Trích dẫn: Đề thi thử Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2021)
Cho hàm số Tổng bình phương tất cả các giá trị nguyên của tham
số để phương trình
( )
1 2
2 2022 0
2 2021
f f x x
x m
+ − + = − +
có đúng 3 nghiệm phân biệt.
A. - B.
2 . C.
3 . D.
4 .
Ví dụ 7.2.3. Cho hàm số
y f x = ( )
có bảng biến thiên như sau:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
m
thuộc đoạn
−2021;2021
để hàm số:
( ) ( ) ( )
3 2 13 3 2 7
2 2 =
f x f x f x
y e m
− + +
− có đúng 8 điểm cực trị .
A.1. B. - C.
- D.
0 .
Ví dụ 7.1.14. Cho hàm số bậc ba có đồ thị là đường cong trong hình vẽ sau.
Số nghiệm thực phân biệt của phương trình
(3 2 ( ))
x
f f x =
là
A.3. B. 6. C. 5. D. 4.
y f x m
3sin cos 1 2
4 4
2cos sin 4
x x f f m m
x x 4 5
3
( )
1
3
= + − log 3 3 . x x
f x x m
y f x = ( )
7
Ví dụ 7.1.15. Cho hàm số bậc bốn có . Hàm số có đồ thị như
hình vẽ dưới đây: Hàm số có bao nhiêu điểm cực tiểu?
A. . B. . C. . D. .
Ví dụ 7.1.16. Cho hàm số bậc bốn có đồ thị và hàm số có đồ
thị như hình vẽ bên. Xét hàm số , số điểm cực trị của hàm số
trên khoảng là:
A. . B. . C. . D.
Sau khi học xong chuyên đề này học sinh sẽ phát triển được các năng lực cốt lõi của
bản thân, chẳng hạn như: năng lực giải quyết vấn đề, năng lực tư duy và lập luận.
y f x = ( ) f (0 4 ) = f x ( )
( ) ( )
2 10 2 2
3
x
g x f x
+
= + − − 3 5 2 4
y f x = ( ) (C1
) y f x =
( )
(C2 ) ( ) . ( )
x
g x f e f x −
= y g x = ( ) (−;3)
9 6 7 8
8
CHỦ ĐỀ 1. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ ẨN, HÀM SỐ HỢP.
Dạng 1: Cực trị của hàm số có dạng
Bài toán 1: Cho hàm số
y f x = ( )
(Giả thiết có thể cho công thức, đồ thị, bảng biến thiên
của
f x f x ( ), ‘( )
). Tìm số điểm cực trị của hàm số
y f u = ( )
trong đó
u
là một hàm số
đối với
x.
Ta thực hiện phương pháp tương tự xét số điểm cực trị của
y f x = ( )
Bước 1. Tính đạo hàm
y x u x f u ‘ ‘ . ‘ . ( ) = ( ) ( )
Giải phương trình
( )
( )
( )
‘ 0
‘ 0
‘ 0
u x
y x
f u
=
=
=
Bước 2.Tìm số nghiệm đơn và bội lẻ hoặc các điểm mà
y x ‘( )
không xác định.
Bài toán 2: Tìm số cực trị của hàm số
y f x = ( ) .
Ta thực hiện theo 2 cách sau:
Cách 1: Biến đổi
2
y f x f x = = ( ) ( ).
Khi đó đạo hàm
( ) ( )
2
( ). ( ), 0
( )
f x f x y x f x
f x
= .
Giải phương trình
f x( ) 0 1 = ( )
để tìm các điểm mà tại đó
f x( )
không có đạo hàm.
Với điều kiện đó phương trình
y x f x ( ) = = 0 ‘ 0 2 . ( ) ( )
Số nghiệm của
(1)
chính là số giao điểm của đồ thị
y f x = ( )
và trục hoành
y = 0 .
Số nghiệm của
(2)
là số cực trị của hàm số
y f x = ( )
Tổng số nghiệm bội lẻ (không trùng nhau) của
(1)
và
(2)
chính là số cực trị cần tìm.
Cách 2: Gọi lần lượt là số cực trị của các hàm số và p là số
giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành (các giao điểm này không trùng với
các điểm cực trị của đồ thị ) thì ta có đẳng thức
Ví dụ 1.1.1. Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ dưới đây:
Biết tất cả các điểm cực trị của hàm số là ; ; ; ; với .
Số điểm cực trị của hàm số là
A. 14. B. 11. C. 15. D. 13.
y f x = ( ) m n, y f x y f x = = ( ) , ( )
y f x = ( )
y f x = ( ) m n p = + .
y f x = ( )
y f x = ( ) −2 0 2 a 6 4 6 a
( ) ( )
6 2 y h x f x x = = −3
9
Hướng dẫn
Xét hàm số Khi đó
Từ đồ thị ta có -2; 0; 2; ; 6 là tất cả các nghiệm của phương trình =0.
Ta có: . Khi đó phương trình
Ta có bảng biến thiên của hàm số
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số , ta suy ra là nghiệm kép của
phương trình và là nghiệm kép của phương trình . Do đó
và là nghiệm kép của . Do vậy và là nghiệm bội ba của .
Các nghiệm khác và của đều là nghiệm đơn. Vậy hàm số có 11 cực trị.
Tiếp tục ta xét phương trình
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số , ta suy ra phương trình (1) vô
nghiệm và phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt (không trùng với 11 cực trị của hàm
số ở trên). Vậy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt.
Kết luận: Hàm số có đúng 13 điểm cực trị. Chọn D.
Ví dụ 1.1.2. Cho hàm số có đạo hàm liên tục trên thỏa mãn và có
bảng xét dấu đạo hàm như sau:
Tìm số cực trị của hàm số
A. 7 B. 4. C. 6. D.5.
( ) ( )
6 2 u x f x x x = − 3 , . y h x u x = = ( ) ( ) .
a f x ( )
( ) ( ( )) ( ) ( )
6 2 5 6 2 ‘ 3 6 6 3
u x f x x x x f x x = − = − −
( )
( )
5
6 2
6 6 0
‘ 0
3 0
− =
=
− =
x x
u x
f x x
6 2
6 2
6 2
6 2
6 2
0, 1
3 2
3 0
3 2
3
3 6
x x
x x
x x
x x
x x a
x x
= =
− = −
− =
− =
− =
− =
4
0, 1
1
0, 3
2
, 2
,
x x
x
x x
x
x m m
x n n m
= =
=
= =
=
=
=
( )
6 2
g x x x = −3
( )
6 2
g x x x = −3 1
6 2
x x − = − 3 2 0
6 2
x x − = 3 0 1 0 ( )
6 2 f x x − 3 1 0 y
1 0 y
u x( )
( ) ( )
6 2
6 2
6 2
3 2 (1)
0 3 0
3 6 (2)
− = −
= − =
− =
x x p
u x f x x
x x q ( )
6 2
g x x x = −3
u x( ) u x( )
( ) ( )
6 2 y h x f x x = = −3
y f x = ( ) f (− = 6 0 )
( ) ( )
4 2 6 4 2 y h x f x x x x x = = − + − + − − 3 4 6 2 3 12
10
Hướng dẫn
Xét hàm số thì
Có
.
Khi đó .
Ta có . Từ bảng xét dấu của đạo hàm
ta có suy ra
Mà . Do đó phương trình vô nghiệm.
Hàm số có bảng biến thiên như sau :
Từ bảng biến thiên suy ra hàm số có 3
điểm cực trị đồng thời đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt (có
1 giao điểm trùng với 1 điểm cực trị của đồ thị hàm số).
Kết luận: Vậy hàm số có đúng 5 điểm cực trị.Chọn D
Ví dụ 1.1.3. (Sở Nam Định-thi thử lần 1-năm 2020-2021) Cho hàm số có
đạo hàm liên tục trên và đồng thời có bảng xét dấu đạo hàm như sau
Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?
( ) ( )
4 2 6 4 2 y g x f x x x x x = = − + − + − − 3 4 6 2 3 12 y h x g x = = ( ) ( ) .
( )
3 4 2 5 3 g x x x f x x x x x ‘ (12 24 ). ( 4 6) 12 12 24 = − − − + − + − −
( )
2 4 2 4 2 = − − − + − + − − 12 ( 2). ( 4 6) 12 2 x x f x x x x x
( ( ))
2 4 2 2 = − − − + − − + 12 ( 2). ( 4 6) 1 x x f x x x
( )
4 2 2
2
0
‘ 0 ( 4 6) ( 1) 0
2 0
x
g x f x x x
x
=
= − + − − + =
− =
4 2 2
0
2
( 4 6) 1
x
x
f x x x
=
=
− + − = +
4 2 2 2 − + − = − − − − x x x x 4 6 ( 2) 2 2, f x ‘( )
f x x ‘ 0, ; 2 , ( ) − − ( ) ( )
4 2 f x x x ‘ 4 6 0, . − + − 2
x x + 1 1, 4 2 2 f x x x ‘( 4 6) 1 − + − = + ( ) ( )
4 2 6 4 2 y g x f x x x x x = = − + − + − − 3 4 6 2 3 12 ( ) ( )
4 2 6 4 2 y g x f x x x x x = = − + − + − − 3 4 6 2 3 12 y g x = ( )
y h x g x = = ( ) ( )
y f x = ( )
f (− = 3 0 )
( ) ( ) ( ) ( )
6 2 432 g x x x f x x x = + − + − − − − − 2 1 6 1 3 4 4 2
11
A. B. C. D.
Hướng dẫn
Xét hàm số .
Ta có
Với mọi nên từ bảng biến thiên dấu của suy ra
, do đó .
Suy ra . Bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên suy ra hàm số có 5 điểm cực trị. Chọn D
Ví dụ 1.1.4. Cho hàm số là hàm số bậc ba có đồ thị
như hình vẽ dưới đây. Gọi lần lượt là số điểm cực
đại, số điểm cực tiểu của hàm số
Đặt , hỏi mệnh đề nào sau đây đúng?
A. . B. . C. . D. . - 3. 6. 5. ( ) ( ) ( ) ( )
6 2 432 h x x x f x x x = + − + − − − − − 2 1 6 1 3 4 4 2 = g x h x ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
5 3 2 4 3 2 h x x x x x x f x x x = + − + − − − − − − − − 12 1 12 1 3 4 12 8 4 4 2 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ( ) )
4 2 2 = + + − + + + − + − h x x x x x x f x x 12 1 1 1 12 1 2 . 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ( ) )
2 2 2 = + + + + + + + − + − h x x x x x x x x f x x 12 1 2 1 1 12 1 2 . 2 2 ( ) ( )( ) ( ) ( ( ) )
2 2 2
h x x x x x f x x 12 1 2 1 1 2 2 = + + + + + − + −
( )
( )
2
2 2
1 1 0
2 2 2
x
x
x x
- +
− + − −
f x ( )
( ( ) )
2 2
f x x − + − 2 2 0 ( ) ( ( ) )
2 2 2
x f x x x + + + − + − 1 1 2 2 0,
( ) ( )( )
0
0 12 1 2 0 1
2
x
h x x x x x
x
=
= + + = = −
= −
g x h x ( ) = ( )
f x( )
m n,
( ) ( ) ( )
3
g x f x f x = −3
n
T m=
T (0;80) T (80;500) T (500;1000) T (1000;2000)
12
Hướng dẫn
Đặt . Ta có: .
Suy ra phương trình . Dựa vào đồ thị, ta có
Phương trình và .
(với là nghiệm kép).
Ta có bảng biến thiên của hàm số .
Mặt khác phương trình . Dựa vào đồ thị ta thấy:
có 3 nghiệm phân biệt không trùng với các điểm cực trị của hàm số ;
có nghiệm không trùng với các điểm cực trị của hàm số ;
có 1 nghiệm không trùng với các điểm cực trị của hàm số .
Vậy ta có tổng số điểm cực trị của hàm số là điểm, trong đó có
điểm cực đại và điểm cực tiểu. Hay , suy ra
Ví dụ 1.1.5. Cho hàm số có đồ thị của hàm đạo
hàm như hình vẽ bên. Hỏi hàm số
có bao nhiêu điểm cực tiểu?
Biết rằng , và .
A. . B. .
C. . D. .
( ) ( ) ( )
3
h x f x f x = −3 ( ) ( ) ( ) ( )
2
h x f x f x f x
= − 3 3 ( )
( )
( )
( )
0
0 1
1
f x
h x f x
f x
=
= =
= −
( )
( )
1
0
0 1
x
f x
x a a
= −
=
=
f x x b b ( ) = = − − 1 2 1 ( )
( )
1
1
1
x
f x
x
= −
= −
=
x =−1
y h x = ( )
( )
( )
( )
( )
0
0 3
3
f x
h x f x
f x
=
= =
= −
f x( ) = 0 y h x = ( )
f x( ) = 3 1 y h x = ( )
f x( ) = − 3 y h x = ( )
g x h x ( ) = ( ) 9 4
5 m n = = 4; 5 ( )
5
= = = 4 1024 1000;2000 n
T m y f x = ( )
f x ( )
( ) ( ) ( )
2
g x f x f x = − + 4 1 f b( ) = 4 lim ( )
x
f x
→+
= + lim 1 ( )
x
f x
→−
2 3
4 5
f x ‘( )
x
y
O
13
Hướng dẫn
Từ đồ thị của hàm đạo hàm suy ra bảng biến thiên của hàm số :
Xét hàm số . Ta có .
Phương trình .
Ta có bảng biến thiên của hàm số :
Từ bảng biến thiên của hàm số suy ra bảng biến thiên của hàm
số như sau:
Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đã cho có điểm cực tiểu.Chọn A.
Phân tích sai lầm: Học sinh có thể không để ý giả thiết hoặc hiểu chưa
rõ khái niệm điểm cực tiểu của hàm số dẫn đến chọn đáp án B là điểm cực tiểu.
Ví dụ 1.1.6. Cho hàm số liên tục trên và có bảng biến thiên như sau:
f x ( ) y f x = ( )
( ) ( ) ( )
2
h x f x f x = − + 4 1 h x f x f x f x ( ) = − 2 . 4 ( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
0
0
2
f x
h x
f x
=
=
x a x b ;
xca
= =
= ( ) ( ) ( )
2
h x f x f x = − + 4 1 ( ) ( ) ( )
2
h x f x f x = − + 4 1 ( ) ( ) ( )
2
g x f x f x = − + 4 1 2
lim 1 ( )
x
f x
→−
3
y f x = ( )
14
Hàm số có bao nhiêu điểm cực trị?
A. . B. .
C. . D. .
Hướng dẫn
Xét hàm số liên tục trên .
Ta có .
. Từ , ta có .
Ta có và .
Lập bảng xét dấu, ta có
Dựa vào bảng biến thiên, ta có hàm số có điểm cực trị.
Mặt khác, ta xét phương trình
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số ta có phương trình có nghiệm
phân biệt nhưng các nghiệm này đều trùng với các điểm cực trị của hàm số , còn
phương trình có nghiệm phân biệt và các nghiệm này không trùng với các
điểm cực trị của Vậy phương trình có nghiệm phân biệt.
Tóm lại hàm số có tất cả 13 điểm cực trị. Chọn A.
( ) ( ) ( ) ( )
3 2
= = − + − 2 9 12 5 y h x f x f x f x 13 10 17 14 ( ) ( ) ( ) ( )
3 2
= = − + − 2 9 12 5 y g x f x f x f x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
g x f x f x f x f x f x ‘ 6. . 18 . 12 ‘ = − + ( ) ( ) ( )
2
= − + 6 3 2 f x f x f x ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
‘ 0 1
‘ 0 1 2
2 3
=
= =
=
f x
g x f x
f x
(1)
( )
1
2
‘ 0
3
4
x
x
f x
x
x
=
=
=
( )
( )
( )
( )
( )
;1
2 nghiem kep
1
3;4
4;
= −
=
=
= +
x a
x
f x
x b
x c
( )
( )
( )
( )
( )
;1
1;2
2
3 nghiem kep
;
=
=
=
= +
x d a
x e
f x
x
x u c
y g x = ( ) 10 ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
3 2
1
0 2 9 12 5 0 5
2
=
= − + − = =
f x
g x f x f x f x
f x y f x = ( ), f x( ) =1 4
g x( )
( )
5
2
f x = 3
g x( ). g x( ) = 0 3
y h x g x = = ( ) ( )
15
Ví dụ 1.1.7. Cho hàm số , với . Biết và
. Số điểm cực trị của hàm số
A. . B. . C. . D. .
Hướng dẫn
Để tìm số cực trị của hàm số ta đi tìm số cực trị hàm số và số
giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành .
Ta có do
Do nên .
Ta có là hàm số bậc 2. Ta có
Nếu thì và phương trình .
Khi đó hàm số đồng biến trên .
Do nên mâu thuẫn với và .
Vậy suy ra có 2 nghiệm phân biệt là . Ta có bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên của hàm số ta suy ra hàm số có 2 cực trị. Hàm
số đồng biến trên các khoảng , và nghịch b
Xem bản đầy đủ trên google drive: TẠI ĐÂY
Các thầy cô cần file liên hệ với chúng tôi tại fanpage facebook O2 Education
Hoặc xem nhiều SKKN hơn tại: