Phép nhân véc-tơ với một số thực

1. Phép nhân véc-tơ với một số thực

1.1. Tích của véctơ với một số thực

Phép nhân véc-tơ $ \vec{a}$ với một số thực $k $ kết quả là một véc-tơ, kí hiệu là $ k\vec{a} $ thỏa mãn:

• Nếu $ k=0 $ thì $ k\vec{a}=\vec{0}. $
• Nếu $ k>0 $ thì $ k\vec{a} $ cùng hướng với $ \vec{a}$ và $ |k\vec{a}|=k|\vec{a}| $
• Nếu $ k<0 $ thì $ k\vec{a}$ ngược hướng với $ \vec{a}$ và $ |k\vec{a}|=-k|\vec{a}| $

Chú ý: Không có định nghĩa phép chia hai véc-tơ nên không được viết $\frac{\vec{a}}{\vec{b}}$.

1.2. Qui tắc trung điểm

Điểm $ I $ là trung điểm đoạn thẳng $ AB $ khi và chỉ khi $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\vec{0}$.

Với điểm $ M $ tùy ý, $ I $ là trung điểm đoạn thẳng $ AB $ khi và chỉ khi $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI} $.

2. Các dạng toán và ví dụ

2.1. Chứng minh đẳng thức véc-tơ

Ví dụ 1. Cho bốn điểm $A,B,C,D$. Gọi $ E,F $ là trung điểm của $ AB,CD $ và $ O $ là trung điểm của $ EF. $ Chứng minh rằng:

1. $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\vec{0} $
2. $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=2\overrightarrow{EF}$
3. $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=4\overrightarrow{MO}$

Ví dụ 2. Chứng minh rằng $ G $ là trọng tâm tam giác $ ABC $ khi và chỉ khi:

1. $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC} =\vec{0} $
2. $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG} $ với mọi điểm $ M. $

Ví dụ 3. Cho tam giác $ ABC. $ Lần lượt lấy các điểm $ M, N, P $ trên các đoạn $ AB,BC,CA $ sao cho $ AB=3AM,BC=3BN,AC=3CP. $ Chứng minh rằng $$ \overrightarrow{AN}+\overrightarrow{BP}+\overrightarrow{CM}=\vec{0}. $$

Hướng dẫn. Ta có
\begin{align*}
\overrightarrow{BN}&=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC} \Leftrightarrow \overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AB}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}\\
\overrightarrow{CP}&=\frac{1}{3}\overrightarrow{CA} \Leftrightarrow \overrightarrow{BP}-\overrightarrow{BC}=\frac{1}{3}\overrightarrow{CA}\\
\overrightarrow{BN}&=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB} \Leftrightarrow \overrightarrow{CM}-\overrightarrow{CA}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}
\end{align*}
Cộng từng vế ba đẳng thức trên được $$ \overrightarrow{AN}+\overrightarrow{BP}+\overrightarrow{CM}-(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA})=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}) $$

Mà theo quy tắc ba điểm thì $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA} = \vec{0}$, nên đẳng thức trên tương đương với $\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{BP}+\overrightarrow{CM}=\vec{0}. $

Ví dụ 4. Cho hình bình hành $ABCD$ tâm $ O. $ Chứng minh rằng
$$ \overrightarrow{BD}-\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}, \overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BA}=\vec{0}. $$

Ví dụ 5. Cho tam giác $ABC$ và một điểm $M$ tùy ý. Chứng minh rằng:

1. $\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{CM} =2\overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{AC}$
2. $\overrightarrow{MA}+4\overrightarrow{MB}-5\overrightarrow{MC} =\overrightarrow{CA}+4\overrightarrow{CB}$

Ví dụ 6. Cho hình vuông $ABCD$ có cạnh bằng $5$cm và một điểm $M$ tùy ý. Chứng minh rằng các véc-tơ sau có độ dài không đổi.

1. $\vec{u}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-4\overrightarrow{MC}+2\overrightarrow{MD} $
2. $\vec{v}=3\overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{CM} -2\overrightarrow{MD}$

Ví dụ 7. Cho tam giác $ ABC $ với $ G $ là trọng tâm. Gọi $ B’ $ đối xứng với $ B $ qua $ G,G’ $ đối xứng với $ G $ qua $ B $ và $ M $ là trung điểm $ BC. $ Chứng minh rằng:

1. $ \overrightarrow{AB’}=\frac{2}{3} \overrightarrow{AC}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB},$
2. $\overrightarrow{CB’}=-\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{AC}),$
3. $\overrightarrow{MB’}=\frac{1}{6} \overrightarrow{AC}-\frac{5}{6}\overrightarrow{AB}. $
4. $ \overrightarrow{G’A}-5\overrightarrow{G’B}+\overrightarrow{G’C}=\vec{0}. $

Hướng dẫn.

1. Gọi $ N $ là trung điểm $ AC. $ Ta có
   $$ \overrightarrow{AB’}=\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GB’}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BG}=\frac{2}{3}(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN}). $$
   Mà $ 2\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{AC},2\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC} $ nên
   $$ \overrightarrow{AB’}=\frac{2}{3} \overrightarrow{AC}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}. $$
2. Tương tự có
   $$ \overrightarrow{CB’}=-\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{AC}).$$
3. Có $ \overrightarrow{MB’}=\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB’}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{BG}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{AM}+\frac{2}{3}\overrightarrow{BN}=\frac{1}{6} \overrightarrow{AC}-\frac{5}{6}\overrightarrow{AB}. $
4. Ta có $ \overrightarrow{G’A}+\overrightarrow{G’C}=2\overrightarrow{G’N}=2(\overrightarrow{G’B}+\overrightarrow{BN})=\frac{10}{3}\overrightarrow{BN} $
   Mà $ \overrightarrow{G’B}=\overrightarrow{BG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BN} \Rightarrow 5\overrightarrow{G’B}=\frac{10}{3}\overrightarrow{BN}. $ Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

2.2. Phân tích véc-tơ theo hai véc-tơ không cùng phương cho trước

Để phân tích một véc-tơ $\vec{u}$ theo hai véc-tơ không cùng phương $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cho trước. (Biểu diễn một véc-tơ theo 2 vecto không cùng phương). Chúng ta sử dụng các quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành (xem bài Tổng hiệu của hai véc-tơ), quy tắc trung điểm, quy tắc trọng tâm và định nghĩa tích của một vectơ với một số thực để tìm được một đẳng thức có dạng

$$\vec{u}=x \vec{a} + y \vec{b}$$

Chú ý rằng, cặp hệ số $x,y$ trong đẳng thức trên là duy nhất.

Ví dụ 1. Cho tam giác $ABC$. Điểm $M$ trên cạnh $BC$ sao cho $MB=2MC$. Hãy phân tích véc-tơ $\overrightarrow{AM}$ theo hai véc-tơ $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB},\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}$.

Hướng dẫn. Ta có
\begin{align*}
\overrightarrow{AM}&=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})\\
&=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}=\frac{1}{3}\overrightarrow{u}+\frac{2}{3}\overrightarrow{v}
\end{align*}

Ví dụ 2. Cho tam giác $ ABC $, gọi $ I $ là điểm trên $ BC $ kéo dài sao cho $ IB=3IC. $

1. Tính véc-tơ $ \overrightarrow{AI} $ theo các véc-tơ $ \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}. $
2. Gọi $ J,K $ là những điểm trên cạnh $ AC,AB $ sao cho $ \overrightarrow{JA}=2\overrightarrow{JC} $ và $ \overrightarrow{KB}=-3\overrightarrow{KA}. $ Tính $ \overrightarrow{JK} $ theo $ \overrightarrow{AB} $ và $ \overrightarrow{AC}.$
3. Tính $ \overrightarrow{ BC} $ theo $ \overrightarrow{ AI} $ và $ \overrightarrow{ JK}. $

Hướng dẫn.

1. Có $ \overrightarrow{ IB}=3 \overrightarrow{ IC} \Leftrightarrow \overrightarrow{ AB}-\overrightarrow{ AI}=3(\overrightarrow{ AC}-\overrightarrow{ AI}) \Leftrightarrow \overrightarrow{ AI}=\frac{3}{2}\overrightarrow{ AC}-\frac{1}{2} \overrightarrow{ AB}.$
2. Chỉ ra $ \overrightarrow{ AJ}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AC} $ và $ \overrightarrow{AK}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}. $ Do đó $ \overrightarrow{AK}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}-\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}. $
3. Ta có $ \begin{cases} \overrightarrow{ AI}=\frac{3}{2}\overrightarrow{ AC}-\frac{1}{2} \overrightarrow{ AB}\\ \overrightarrow{AK}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}-\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 6\overrightarrow{AI}=9 \overrightarrow{AC}-3\overrightarrow{AB}\\12\overrightarrow{JK}=3\overrightarrow{AB}-8 \overrightarrow{AC}\end{cases}
   \Leftrightarrow \begin{cases} \overrightarrow{AB}=6\overrightarrow{AI}+12\overrightarrow{JK}\\ \overrightarrow{AC}=16\overrightarrow{AI}+36\overrightarrow{JK}\end{cases} $Trừ từng vế được $ \overrightarrow{BC}= \overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=-10\overrightarrow{AI}-24\overrightarrow{JK}. $

Ví dụ 3. Cho tam giác $ABC$ có $ D,E,F $ lần lượt là chân đường phân giác trong kẻ từ $ A,B,C $. Hãy phân tích véc-tơ $ AD $ theo hai véc-tơ $ AB,AC. $ Chứng minh rằng nếu có $ \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{DF}=\vec{0} $ thì tam giác $ABC$ đều.

2.3. Xác định điểm thỏa mãn một đẳng thức véc-tơ cho trước

Ví dụ 1. Cho tam giác $ ABC $, hãy dựng các điểm $ I,J,K,L $ biết rằng

1. $ \overrightarrow{IA}-2\overrightarrow{IB}=\vec{0}. $
2. $ \overrightarrow{JA}-\overrightarrow{JB}-2\overrightarrow{JC}=\vec{0}. $
3. $ \overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{KC}=\overrightarrow{BC}. $
4. $ 2\overrightarrow{LA}-\overrightarrow{LB}+3\overrightarrow{LC}=\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{AC}. $

Hướng dẫn.

1. $ \overrightarrow{IA}-2\overrightarrow{IB}=\vec{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{AI}=2\overrightarrow{AB}. $ Vậy $ I $ là điểm đối xứng của điểm $ A $ qua $ B. $
2. $ \overrightarrow{JA}-\overrightarrow{JB}-2\overrightarrow{JC}=\vec{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{CJ}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}. $
3. Gọi $ G $ là trọng tâm tam giác $ ABC $ thì $ \overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{KC}=3\overrightarrow{KG}. $ Do đó $ \overrightarrow{GK}=\frac{1}{3}\overrightarrow{CB}. $
4. $ 2\overrightarrow{LA}-\overrightarrow{LB}+3\overrightarrow{LC}=\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{AC} \Leftrightarrow 4\overrightarrow{AL}=2 \overrightarrow{AC}-2\overrightarrow{AB} \Leftrightarrow \overrightarrow{AL}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}. $

Ví dụ 2. Cho tam giác $ ABC $ và một điểm $M$ thỏa mãn $ \overrightarrow{BM}=k\overrightarrow{BC}. $ Chứng minh rằng $$ \overrightarrow{AM}=(1-k)\overrightarrow{AB}+k\overrightarrow{AC} $$

Hướng dẫn. Ta có $ \overrightarrow{BM}=k\overrightarrow{BC} \Leftrightarrow \overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AB}=k(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}) \Leftrightarrow \overrightarrow{AM}=(1-k)\overrightarrow{AB}+k\overrightarrow{AC}.$

Ví dụ 3. Cho hai điểm $ A,B $ và hai số $ \alpha,\beta $ thỏa mãn $ \alpha+\beta\ne0 $.

1. Chứng minh rằng tồn tại duy nhất điểm $ I $ thỏa mãn $ \alpha \overrightarrow{IA}+\beta \overrightarrow{IB}=\vec{0} $
2. Với $ M $ là điểm bất kì thì $ \alpha \overrightarrow{MA}+\beta \overrightarrow{MB}=(\alpha+\beta)\overrightarrow{MI} $

Hướng dẫn.

1. Có $ \alpha \overrightarrow{IA}+\beta \overrightarrow{IB}=\vec{0} \Leftrightarrow \alpha \overrightarrow{IA}+\beta (\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AB})=\vec{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{AI}=\frac{\beta}{\alpha+\beta}\overrightarrow{AB}$
   Do $ A,B $ cố định và hai số $ \alpha,\beta $ không đổi nên véc-tơ $ \frac{\beta}{\alpha+\beta}\overrightarrow{AB} $ không đổi.
   Vậy tồn tại duy nhất điểm $ I $ thỏa mãn $ \alpha \overrightarrow{IA}+\beta \overrightarrow{IB}=\vec{0}.$
2. Ta có $ \alpha \overrightarrow{MA}+\beta \overrightarrow{MB}=\alpha(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA})+\beta(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB})=(\alpha+\beta)\overrightarrow{MI} +\alpha \overrightarrow{IA}+\beta \overrightarrow{IB}=(\alpha+\beta)\overrightarrow{MI}. $

Ví dụ 4. Cho hình bình hành $ABCD$ và điểm $M$ tùy ý. Hãy tìm số $ k $ và điểm điểm $ I $ cố định sao cho các đẳng thức sao thỏa mãn với mọi điểm $M$.

1. $ \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+3\overrightarrow{MD}=k\overrightarrow{MI} $
2. $ \overrightarrow{MA}+2 \overrightarrow{MB}=k \overrightarrow{MI} $
3. $ 2\overrightarrow{MA}+ \overrightarrow{MB}- \overrightarrow{MC}=k \overrightarrow{MI} $

Hướng dẫn.

1. Gọi điểm $G$ là trọng tâm tam giác $ ABC $, thì $ \overrightarrow{MA}+ \overrightarrow{MB}+ \overrightarrow{MC}=3 \overrightarrow{MG}. $ Suy ra
   $$ \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+3\overrightarrow{MD}=3( \overrightarrow{MG}+ \overrightarrow{MD})=6\overrightarrow{MI} $$
   trong đó $I$ là trung điểm của $ GD. $
2. Gọi $I$ là điểm thỏa mãn $ \overrightarrow{IA}+2 \overrightarrow{IB}=\vec{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{AI}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}. $ Khi đó $ \overrightarrow{MA}+2 \overrightarrow{MB}=( \overrightarrow{MI}+ \overrightarrow{IA})+2(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB})=3\overrightarrow{MI} $
3. Gọi $I$ là điểm thỏa mãn $ 2\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IC}=\vec{0} \Leftrightarrow 2\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{CB}=\vec{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{AI}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}. $
   Khi đó $ 2\overrightarrow{MA}+ \overrightarrow{MB}- \overrightarrow{MC}=…=2 \overrightarrow{MI} $

2.4. Chứng minh thẳng hàng. Tìm quỹ tích.

Ví dụ 1. Cho hình bình hành $ ABCD. $ Gọi $ I $ là trung điểm của $ CD. $ Lấy điểm $ M $ trên đoạn $ BI $ sao cho $ BM = 2MI. $ Chứng minh ba điểm $ A,M,C $ thẳng hàng.

Hướng dẫn. Từ giả thiết có $\overrightarrow{BM}=2\overrightarrow{MI} $ nên \begin{align} \overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AB}&=2(\overrightarrow{AI}-\overrightarrow{AM}) \\ \Rightarrow \overrightarrow{AM}&=2\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{AB}. \end{align}
Mà $ 2\overrightarrow{AI}= \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD} $ nên $ 3\overrightarrow{AM}= \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}=2 \overrightarrow{AC}. $ Điều này chứng tỏ $ A,M,C $ thẳng hàng.

Ví dụ 2. Cho tam giác $ ABC $ và $ I $ là trung điểm của $ BC. $ Tìm tập hợp các điểm $ M $ thỏa mãn
$$ |2\overrightarrow{MA}|=|\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}| $$

Hướng dẫn. Vì $ I $ là trung điểm của $ BC $ nên $ \overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{MI} $ nên $ $|2\overrightarrow{MA}|=|\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}| \Leftrightarrow |2\overrightarrow{MA}|=|2\overrightarrow{MI}| \Leftrightarrow MA=MI$$ Vậy tập hợp các điểm $ M $ là đường trung trực của $ AI. $

Ví dụ 3. Tìm điểm $ C $ trên đoạn $ AB $ sao cho: $ \overrightarrow{CA}-2 \overrightarrow{CB}=\vec{0}. $ Cho điểm $ M $ bất kỳ trong mặt phẳng và gọi $ \overrightarrow{MN} $ là véc-tơ định bởi: $ \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}-2 \overrightarrow{MB}. $ Chứng tỏ đường thẳng $ MN $ luôn đi qua một điểm cố định.

Hướng dẫn. Có $ \overrightarrow{CA}-2 \overrightarrow{CB}=\vec{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CB}, $ hay $ B $ là trung điểm của $ AC. $ Suy ra $$ \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}-2 \overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CA}-2(\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CB})=-\overrightarrow{MC}. $$ Vậy $ M,N,C $ thẳng hàng hay đường thẳng $ MN $ luôn đi qua điểm $(C)$ cố định.

Ví dụ 4. Cho tứ giác $ABCD$ có hai điểm $ M,N $ thay đổi trên cạnh $AB,CD$ sao cho $ \frac{AM}{AB}=\frac{CN}{CD}. $ Tìm quỹ tích trung điểm $ I $ của $ MN? $

Hướng dẫn. Theo giả thiết có $ \overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CN}=k\overrightarrow{CD}. $ với $ 0\le k\le1. $

Gọi $ P,Q $ lần lượt là trung điểm của $ AC,BD $ thì \begin{align*}
\overrightarrow{PI}&=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{CN})=\frac{1}{2}k(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD})\\
\overrightarrow{PQ}&=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD})
\end{align*} Suy ra $ \overrightarrow{PI}=k\overrightarrow{PQ} $ hay $ P,I,Q $ thẳng hàng. Mà $ 0\le k\le1 $ nên $ I $ thuộc đoạn $ PQ. $
Vậy tập hợp các trung điểm của đoạn $ MN $ là đoạn $ PQ. $

Ví dụ 5. Cho tam giác $ ABC $ có $ M $ là một điểm di động trên cạnh $ BC. $ Kẻ $ MP,MQ $ lần lượt song song với $ AC,AB $ và cắt $ AB,AC $ tại $ P,Q. $ Dựng cách hình bình hành $ BMPR $ và $ CMQS. $ Tìm quỹ tích trung điểm $ I $ của $ RS? $

Hướng dẫn. Ta có \begin{align*}
\overrightarrow{AR}&=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AM}\\
\overrightarrow{AS}&=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AQ}-\overrightarrow{AM}
\end{align*} Nên suy ra $$ 2\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AR}+\overrightarrow{AS}=\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AM}. $$ Vì $ M $ thuộc đoạn $ BC $ nên $ \overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB}+(1-k) \overrightarrow{AC} $ với $ k\in [0,1]. $ Do đó $ \overrightarrow{AI}=(1-k)\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2} \overrightarrow{AC}=(1-k)\overrightarrow{AE}+k\overrightarrow{AF} $ với $ E,F $ là trung điểm $ AB,AC. $
Suy ra $ I $ thuộc đoạn $ EF. $

Véc-tơ là gì? Khái niệm Vector

Bài này giới thiệu khái niệm véc-tơ là gì, các véc-tơ cùng phương, vecto bằng nhau… Phần bài tập, mời các em tham khảo các bài viết sau:

• Bài tập vecto lớp 10 (Khái niệm vector, hai véc-tơ bằng nhau)
• Bài tập Các phép toán véc-tơ
• Chứng minh thẳng hàng bằng vectơ
• Xem thêm Toán 10 – Mệnh đề toán học

1. Véc-tơ là gì?

• Véc-tơ là một đoạn thẳng có hướng, tức là chỉ rõ điểm nào là điểm đầu (gốc), điểm nào là điểm cuối (ngọn).
• Véc-tơ có điểm đầu là A, điểm cuối là B được kí hiệu là $\overrightarrow{AB}$.

• Một véc-tơ nói chung được kí hiệu là $\vec{a}, \vec{b}, \vec{u},\vec{v},…$
• Véc-tơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau được gọi là véc-tơ không, kí hiệu là $\vec{0}$.

Ví dụ 1. Cho tam giác $ABC$, hãy kể tên các véc-tơ có điểm đầu là $A$.

Ví dụ 2. Cho 4 điểm $ A, B, C, D$ phân biệt. Có thể xác định được bao nhiêu véc tơ khác nhau và khác $\overrightarrow{0}$, mà các điểm mút là hai trong bốn điểm đó.

2. Hai véc-tơ cùng phương

• Đường thẳng chứa một véc-tơ được gọi là giá của véc-tơ đó.
• Hai véc-tơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.
• Nếu hai véc-tơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương thì chúng có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.
• Quy ước, véc-tơ $\vec{0}$ cùng phương với mọi véc-tơ.

Ví dụ 3. Cho hình bình hành $ABCD$ tâm $O$, hãy kể tên các véc-tơ khác $\vec{0}$ và cùng phương với véc-tơ $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{BO}$.

Hướng dẫn.

• Các véc-tơ khác $\vec{0}$ và cùng phương với véc-tơ $\overrightarrow{AB}$ là $\overrightarrow{BA},\overrightarrow{DC},\overrightarrow{CD}$.
• Các véc-tơ khác $\vec{0}$ và cùng phương với véc-tơ $\overrightarrow{BO}$ là $\overrightarrow{BD},\overrightarrow{DB},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OD}, \overrightarrow{DO}$.

Ví dụ 4. Cho lục giác đều $ABCDEF$ tâm là điểm $I$, hãy kể tên các véc-tơ khác $\vec{0}$ và cùng hướng với $\overrightarrow{AB}$, ngược hướng với  $\overrightarrow{BC}$.

3. Độ dài của một véc-tơ

• Độ dài của một véc-tơ là khoảng cách từ điểm đầu tới điểm cuối của véc-tơ đó. Độ dài của $\vec{a}$ kí hiệu là $|\vec{a}|$.
• Độ dài của $\overrightarrow{AB}$ chính là độ dài đoạn thẳng $AB$.
• Độ dài của $\vec{0}$ đương nhiên bằng $0$.

Ví dụ 5. Cho tam giác đều $ ABC $ có cạnh dài bằng $5 $ cm, $M$ là trung điểm của $BC$. Tính độ dài của các véc-tơ $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{BM}, \overrightarrow{AM}$.

Ví dụ 6. Cho hình vuông $ABCD$ tâm $O$, cạnh bằng $a$. Tính độ dài của các véc-tơ $AC$, $DC$, $OB$.

4. Hai véc-tơ bằng nhau

• Hai véc-tơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi chúng cùng hướng và có độ dài bằng nhau.
• Để xác định một véc-tơ, chúng ta cần biết một trong hai điều kiện sau:
  • Điểm đầu và điểm cuối của véc-tơ.
  • Độ dài và hướng.

Ví dụ 7. Cho nửa lục giác đều $ ABCD $ nội tiếp trong đường tròn tâm $ O $ đường kính $ AD. $ Chỉ ra các véc-tơ bằng với $ \overrightarrow{BC}. $

Ví dụ 8. Cho tam giác đều $ ABC $. Các đẳng thức: $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}$, $| \overrightarrow{AB} |=| \overrightarrow{AC} |=| \overrightarrow{BC} |$ đúng hay sai? Vì sao?

Ví dụ 9. Cho tam giác $ABC$.

• Hãy dựng điểm $D$ sao cho $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$.
• Hãy dựng điểm $E$ sao cho $\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{CB}$.
• Hãy dựng điểm $F$ sao cho $\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{BC}$.

Ví dụ 10. Cho ba điểm $ A, B, C $ phân biệt, chứng minh rằng nếu $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}$ thì ba điểm đó thẳng hàng.

Hướng dẫn. Vì $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}$ nên suy ra hai véc-tơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BC}$ phải cùng phương (tất nhiên chúng phải cùng hướng nhưng ở đây ta chỉ cần sử dụng kết quả cùng phương là đủ). Do đó, hai đường thẳng $AB$ và $BC$ phải song song hoặc trùng nhau. Đương nhiên $AB$ và $BC$ có một điểm chung là $A$ nên không thể song song. Tức là hai đường thẳng $AB$ và $BC$ trùng nhau, hay ba điểm $A,B,C$ thẳng hàng.

Ví dụ 11. Chứng minh rằng, tứ giác $ABCD$ là hình bình hành khi và chỉ khi $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$.

Hướng dẫn. Chúng ta cần chứng minh hai chiều thuận và đảo của bài toán này.

• Thuận. Nếu tứ giác $ABCD$ là hình bình hành thì hiển nhiên chúng ta có hai kết quả sau:
  • $AB=CD$ hay chính là $|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{DC}|$,
  • Hai đường thẳng $AB$ và $CD$ song song, nên $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{DC}$ cùng phương. Hơn nữa, ta còn thấy chúng cùng hướng.

Từ hai điều trên, ta có quyền kết luận $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$.

• Đảo.  Nếu có $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ thì suy ra:
  • $|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{DC}|$, hay $AB=CD$,
  • Hai véc-tơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{DC}$ cùng hướng. Nên hai đường thẳng $AB$ và $CD$ song song hoặc trùng nhau. Hiển nhiên $AB$ và $CD$ không thể trùng nhau, vì khi đó sẽ không tồn tại tứ giác $ABCD$, nên suy ra $AB$ và $CD$ song song.

Từ hai điều trên, chúng ta có quyền kết luận, tứ giác $ABCD$ là hình bình hành.

Ví dụ 12. Cho hình bình hành $ ABCD $ và $ E $ là điểm đối xứng của $ C $ qua $ D. $ Chứng tỏ $ \overrightarrow{AE}=\overrightarrow{BD}. $

Ví dụ 13. Cho tứ giác $ABCD$. Gọi $M,N,P$ và $Q$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB,BC,CD$ và $DA$. Chứng minh: $\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{MQ}$ và $\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{NM}$.

Ví dụ 14. Cho tam giác $ABC$. Các điểm $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB$ và $AC$. So sánh độ dài của hai véc-tơ $\overrightarrow{NM}$ và $\overrightarrow{BC}$. Vì sao hai véc-tơ đó cùng phương?

Ví dụ 15. Cho điểm $ A $ cố định. Tìm tập hợp các điểm $ M $ sao cho $ |\overrightarrow{AM}|=4$ cm.

Hướng dẫn. Ta có $ |\overrightarrow{AM}|=4$ cm tương đương với $MA=4$ cm. Mà điểm $ A $ cố định nên suy ra tập hợp điểm $ M $ là đường tròn tâm $ A $ bán kính $ 4$ cm.

Từ vec-tơ là từ nhập từ tiếng Pháp vào Việt Nam. Tiếng Pháp viết là vecteur, đọc là véc-tơ, tiếng Anh viết là vector và đọc cũng thành véc-tơ. Phần lớn các thứ tiếng phương Tây khác cũng viết và đọc từ này tương tự như vậy.  Nó có gốc La-tinh, xuất phát từ động từ vehere (mang đi, đưa đi, cưỡi đi). Nghĩa gốc của từ vector chính là “vật/người chở đi, mang đi, cưỡi đi”. Động từ vehere còn sinh ra một từ quen thuộc khác, là từ vehicle (hay vehicule tiếng Pháp), chính là cỗ xe để chở đi.

Với gốc như vậy,  từ vector trong mỗi lĩnh vực khác nhau  có thể có một nghĩa khác nhau. Chẳng hạn trong sinh vật học, nó được dùng với nghĩa “vật truyền cái gì đó”. Ví dụ như các con muỗi được gọi là vector của bệnh sốt rét (malaria).

Trong hình học ngày nay, vec-tơ được hiểu là một đại lượng vừa có hướng vừa có độ lớn. Những đại lượng mà chỉ có độ lớn thôi chứ không có hướng, ví dụ như độ dài, thể tích, khối lượng, v.v., thì được gọi là những đại lượng vô hướng (scalars).  Những đại lượng mà có cả hướng lẫn độ lớn, như là vận tốc, gia tốc, lực, từ trường, v.v. thì được biểu diễn bằng các vec-tơ.

Để vẽ một vec-tơ, người ta có thể vẽ một đoạn thẳng nối từ một điểm A nào đó đến một điểm B nào đó trên mặt phẳng hay trong không gian. Hướng đi từ A đến B chính là hướng của vec-tơ , và độ lớn (đô dài) của đoạn  thẳng AB chính là độ lớn của vec-tơ. Khái niệm đoạn thẳng có hướng (tức là vec-tơ) như vậy được một nhà bác học người Italia tên là Giusto Bellavitis (1803-1880) đề xuất vào giữa thế kỷ 19 (khoảng năm 1846) dưới tên gọi “bipoint”.