Tìm điều kiện của tham số để tam thức bậc hai luôn dương, luôn âm
Từ định lí về dấu tam thức bậc hai chúng ta có thể giải được các phương trình, bất phương trình tích, phương trình chứa căn, giải bất phương trình chứa căn. Đồng thời, từ đó có thể suy ra cách giải bài toán tìm điều kiện của tham số để tam thức bậc 2 (bất phương trình bậc hai) luôn dương, luôn âm với mọi \(x\) thuộc \(\mathbb{R}\), tìm điều kiện để bất phương trình nghiệm đúng với mọi số thực \(x\), tìm điều kiện để bất phương trình vô nghiệm… Đây là một dạng toán quan trọng, xuyên suốt chương trình Đại số và Giải tích ở cấp THPT.
1. Tìm điều kiện để tam thức bậc hai luôn dương, luôn âm
Bài toán 1. Cho tam thức bậc hai \( f(x)=ax^2 +bx+c \), tìm điều kiện của tham số \(m\) để \( f(x) >0\) với mọi \( x \) thuộc \( \mathbb{R}\).
Để giải quyết bài toán trên, chúng ta cần xét hai trường hợp:
Khi \( a=0 \), ta kiểm tra xem lúc đó \( f(x) \) như thế nào, có thỏa mãn yêu cầu bài toán hay không.
Khi \( a\ne 0 \), thì \(f(x)\) là một tam thức bậc hai, nên \( f(x)>0 \) với mọi \( x\in \mathbb{R} \) khi và chỉ khi \[\begin{cases} a>0\\ \Delta <0 \end{cases}\]
Tương tự, chúng ta có các bài toán sau:
Bài toán 2. Cho \( f(x)=ax^2 +bx+c \), tìm điều kiện của tham số \(m\) để \( f(x) <0\) với mọi \( x \) thuộc \( \mathbb{R} \).
Cần xét hai trường hợp:
Kiểm tra khi \( a=0 \).
Khi \( a\ne 0 \), thì \( f(x)>0 \) với mọi \( x\in \mathbb{R} \) tương đương với \[\begin{cases} a<0\\ \Delta <0 \end{cases}\]
Bài toán 3.Cho \( f(x)=ax^2 +bx+c \), tìm điều kiện của tham số \(m\) để \( f(x) \ge 0\) với mọi \( x \) thuộc \( \mathbb{R} \).
Xét hai trường hợp:
Khi \( a=0 \), ta kiểm tra xem lúc đó \( f(x) \) như thế nào, có thỏa mãn yêu cầu bài toán hay không.
Khi \( a\ne 0 \), thì \( f(x)>0 \) với mọi \( x\in \mathbb{R} \) tương đương với \[\begin{cases} a>0\\ \Delta \le 0 \end{cases}\]
Bài toán 4.Cho hàm số \( f(x)=ax^2 +bx+c \), tìm điều kiện của tham số \(m\) để \( f(x) \le 0\) với mọi \( x \) thuộc \( \mathbb{R} \).
Để giải quyết bài toán trên, chúng ta cần xét hai trường hợp:
Khi \( a=0 \), ta kiểm tra xem lúc đó \( f(x) \) như thế nào, có thỏa mãn yêu cầu bài toán hay không.
Khi \( a\ne 0 \), thì \( f(x)>0 \) với mọi \( x\in \mathbb{R} \) tương đương với \[\begin{cases} a<0\\ \Delta \le 0 \end{cases}\]
Ví dụ 1.Tìm \(m\) để hàm số \(f(x)=3 x^{2}+ x+m+1>0\) với mọi \(x\in \mathbb{R}\).
Hướng dẫn. Hàm số \(f(x)=3 x^{2}+ x+m+1>0\) với mọi \(x\in \mathbb{R}\) khi và chỉ khi \[\begin{cases} a=3>0\\ \Delta =-12m-11<0 \end{cases} \] Giải hệ này, từ đó tìm được đáp số \( m<\frac{-11}{12} \).
Ví dụ 2.Tìm \(m\) để biểu thức sau luôn dương với mọi \(x\) \[f(x)=(m-1) x^{2}+(2 m+1) x+m+1.\]
Hướng dẫn. Chúng ta xét hai trường hợp:
Trường hợp 1. \( m-1=0 \Leftrightarrow m=1 \). Lúc này bất phương trình \(f(x)>0\) tương đương với \( 3 x+2>0 \Leftrightarrow x>-\frac{2}{3} \) Rõ ràng tập nghiệm này không đáp ứng được mong muốn của đề bài (đề bài yêu cầu là \(f(x)>0\) với mọi \( x\in R \)), do đó \( m=1 \) không thỏa mãn yêu cầu.
Trường hợp 2. \(m \neq 1\), khi đó \(f(x)>0,\,\forall x \in \mathbb{R}\) tương đương với \( \begin{array}{l} & \left\{\begin{array}{l} m-1>0 \\ \Delta=4 m+5<0 \end{array}\right. \\ \Leftrightarrow& \left\{\begin{array}{l} m>1 \\ m<-\frac{5}{4} \end{array}\right. \end{array} \) Rất tiếc hệ này cũng vô nghiệm.
Tóm lại, không tìm được giá trị nào của \(m\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.
2. Tìm điều kiện để bất phương trình luôn đúng, vô nghiệm
Đối với các bài toán tìm điều kiện để bất phương trình luôn đúng (nghiệm đúng) với mọi \(x\) thuộc \( \mathbb{R}\) thì ta làm như phần trên. Đối với các bài toán tìm điều kiện để bất phương trình vô nghiệm thì ta sử dụng các lập luận sau
Bất phương trình \( f(x)>0 \) vô nghiệm tương đương với \[ f(x) \le 0, \forall x\in \mathbb{R}\]
Bất phương trình \( f(x)<0 \) vô nghiệm tương đương với \[ f(x) \ge 0, \forall x\in \mathbb{R}\]
Bất phương trình \( f(x)\ge 0 \) vô nghiệm tương đương với \[ f(x) < 0, \forall x\in \mathbb{R}\]
Bất phương trình \( f(x)\le 0 \) vô nghiệm tương đương với \[ f(x) > 0, \forall x\in \mathbb{R}\]
Đây chính là 4 bài toán đã xét ở phần trước. Sau đây chúng ta sử dụng các kết quả trên để giải quyết một số bài tập.
Ví dụ 1. Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để bất phương trình \[ (m-1){{{x}}^{2}}+2(m-1)x+1\ge 0 \] nghiệm đúng với \( \forall x\in \mathbb{R} \).
Hướng dẫn. Bất phương trình nghiệm đúng với mọi \(x\in \mathbb{R}\) thì cũng chính là \[f(x)\ge 0,\, \forall x\in \mathbb{R},\] trong đó \(f(x)=(m-1){{x}^{2}}+2(m-1)x+1\). Do đó, chúng ta xét hai trường hợp:
Trường hợp 1. Khi \(m=1\), bất phương trình trở thành \[0x^2+0x+1\ge 0\] Rõ ràng bất phương trình này luôn đúng với mọi \(x\in \mathbb{R}\). Nên giá trị \(m=1\) thỏa mãn yêu cầu.
Trường hợp 2. Khi \( m\ne 1 \), thì \(f(x)\) là tam thức bậc hai nên \(f(x) \ge 0,\, \forall x\in \mathbb{R}\) khi và chỉ khi \begin{align} &\begin{cases} m-1>0 \\ {{(m-1)}^{2}}-(m-1)\le 0 \\ \end{cases}\\ \Leftrightarrow & \begin{cases} m>1 \\ {{m}^{2}}-3m+2\le 0 \\ \end{cases}\\ \Leftrightarrow & \begin{cases} m>1 \\ 1\le m\le 2 \\ \end{cases} \Leftrightarrow 1<m\le 2 \end{align}
Kết luận. Kết hợp cả 2 trường hợp, chúng ta có đáp số \( m\in \left[ 1;2 \right] \).
Ví dụ 2. Cho hàm số \(f(x)=(m-1){{x}^{2}}+2mx-3\) trong đó \(m\) là tham số. Tìm tất cả giá trị của \(m\) để bất phương trình \(f(x)>0\) vô nghiệm.
Hướng dẫn. Chúng ta xét hai trường hợp:
Khi \( m=1 \), bất phương trình \(f(x)>0\) trở thành \[ 2x-3>0\Leftrightarrow x>\frac{3}{2}. \] Suy ra \(m=1\) không thỏa mãn yêu cầu.
Khi \( m\ne 1 \) thì \(f(x)\) là tam thức bậc hai. Yêu cầu bài toán tương đương với \[f(x)\le 0,\forall x\in \mathbb{R}\] Điều kiện cần và đủ là \[ \left\{ \begin{align} & m-1<0 \\ & \Delta’={{m}^{2}}+3(m-1)\le 0 \\ \end{align} \right. \]Giải hệ bất phương trình trên, tìm được đáp số \( m\in \left[ \frac{-3-\sqrt{21}}{2};\frac{-3+\sqrt{21}}{2} \right]. \)
Ví dụ 3. Cho \(f(x)=(m-2){{x}^{2}}-2(2-m)x+2m-1\), với \(m\) là tham số.
Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để phương trình \(f(x)=0\) nhận \( x=-2 \) làm nghiệm.
Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để hàm số \( y=\sqrt{f(x)} \) được xác định với mọi giá trị của \( x\in \mathbb{R} \).
Hướng dẫn.
1. Phương trình \(f(x)=0\) nhận \(x=-2\) làm nghiệm khi và chỉ khi \(f(-2)=0\). Điều này tương đương với \[ (m-2){{(-2)}^{2}}-2(2-m)(-2)+2m-1=0\Leftrightarrow m=\frac{1}{2} \] Vậy \( m=\frac{1}{2} \) là giá trị cần tìm.
2. Hàm số \( y=\sqrt{f(x)} \) được xác định với mọi giá trị của \(x\in \mathbb{R}\) khi và chỉ khi: \[f(x)\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}\] \[ \Leftrightarrow (m-2){{x}^{2}}-2(2-m)x+2m-1\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}\,\,\,\,(1) \] Chúng ta xét hai trường hợp:
Trường hợp 1: \( m-2=0\Leftrightarrow m=2 \) thì (1) có dạng \(3\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}\) (luôn đúng)
Trường hợp 2: \( m-2\ne 0\Leftrightarrow m\ne 2 \). Lúc đó (1) xảy ra khi và chỉ khi: \begin{align} &\left\{ \begin{array}{l} m \ne 2\\ \Delta’ \le 0\\ m – 2 > 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow &\left\{ \begin{array}{l} m > 2\\ {(2 – m)^2} – (m – 2)(2m – 1) \le 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow &\left\{ \begin{array}{l} m > 2\\ (2 – m)(m + 1) \le 0 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow &\left\{ \begin{array}{l} m > 2\\ \left[ \begin{array}{l} m \le – 1\\ m \ge 2 \end{array} \right. \end{array} \right. \Leftrightarrow m > 2 \end{align}
Kết luận: Vậy các số thực \( m\ge 2 \) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
3. Bài giảng về bất phương trình bậc 2
Chi tiết về các dạng toán trên, mời các bạn xem trong video sau:
Các dạng phương trình chứa căn bậc hai, bất phương trình chứa căn thức bậc hai luôn là một dạng toán xuất hiện nhiều trong các kì thi học kì, thi tuyển sinh vào lớp 10, thi THPTQG.
Để giải được phương trình, bất phương trình chứa căn, các em học sinh cần nắm vững kiến thức sau:
1. Nguyên tắc chung để giải phương trình, bất phương trình chứa căn bậc 2
Nguyên tắc chung để khử dấu căn thức là bình phương 2 vế của một phương trình, bất phương trình. Tuy nhiên, để đảm bảo việc bình phương này cho chúng ta một phương trình, bất phương trình mới tương đương thì cần phải có điều kiện cả 2 vế pt, bpt đều không âm.
Do đó, về bản chất, chúng ta lần lượt kiểm tra 2 trường hợp âm, và không âm của các biểu thức (thường là 1 vế của phương trình, bất phương trình đã cho).
Nếu bài viết hữu ích, bạn có thể tặng tôi 1 cốc cafe vào số tài khoản Agribank 3205215033513. Xin cảm ơn!
2. Các dạng phương trình chứa căn, bất phương trình chứa căn cơ bản
Có khoảng 4 dạng phương trình chứa căn, bất phương trình chứa căn cơ bản đó là
3. Cách giải phương trình chứa căn, cách giải bất phương trình chứa căn
Chi tiết về phương pháp giải các dạng phương trình, bất phương trình chứa căn, xin mời thầy cô và các em học sinh theo dõi trong video sau đây.
4. Một số ví dụ về phương trình và bất phương trình chứa căn thức
Ví dụ 1. Giải phương trình
$$\sqrt {4 + 2x – {x^2}} = x – 2$$
Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với
\[\begin{array}{l}
\,\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}
x – 2 \ge 0\\
4 + 2x – {x^2} = {(x – 2)^2}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge 2\\
{x^2} – 3x = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge 2\\
x = 0\, \vee \,x = 3
\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow x = 3
\end{array}\] Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x = 3$.
Ví dụ 2. Giải phương trình
\[\sqrt {25 – {x^2}} = x – 1\]
Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với
\[\begin{array}{l}
\,\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}
x – 1 \ge 0\\
25 – {x^2} = {(x – 1)^2}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge 1\\
2{x^2} – 2x – 24 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge 1\\
x = 4\, \vee \,x = – 3
\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow x = 4
\end{array}\] Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=4$.
Ví dụ 3.Giải phương trình \[\sqrt {3{x^2} – 9x + 1} + 2 = x\]
Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với
\[\begin{array}{l}
\,\,\,\,\,\,\,\,\sqrt {3{x^2} – 9x + 1} = x – 2\\
\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x – 2 \ge 0\\
3{x^2} – 9x + 1 = {(x – 2)^2}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge 2\\
2{x^2} – 5x – 3 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge 2\\
x = 3 \vee \,x = – \frac{1}{2}
\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow x = 3
\end{array}\] Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x = 3$.
Ví dụ 4. Giải phương trình $$\sqrt {{x^2} – 3x + 2} = x – 1$$
Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với $$\begin{array}{l}
\,\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}
x – 1 \ge 0\\
{x^2} – 3x + 2 = {\left( {x – 1} \right)^2}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge 1\\
x = 1
\end{array} \right. \\ \Leftrightarrow x = 1
\end{array}$$ Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x = 1$.
Ví dụ 5. Giải phương trình $$\sqrt {{x^2} – 5x + 4} = \sqrt { – 2{x^2} – 3x + 12} $$
Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với $$\begin{array}{l}
\,\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} – 5x + 4 \ge 0\\
{x^2} – 5x + 4 = – 2{x^2} – 3x + 12
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left( {x – 1} \right)\left( {x – 4} \right) \ge 0\\
3{x^2} – 2x – 8 = 0
\end{array} \right. & \\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
x \le 1\\
x \ge 4
\end{array} \right.\\
\left[ \begin{array}{l}
x = 2\\
x = \frac{{ – 8}}{6}
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \frac{{ – 8}}{6}
\end{array}$$ Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x = \frac{-8}{6}$.
Ví dụ 6. Giải bất phương trình $$x + 1 \ge \sqrt {2\left( {{x^2} – 1} \right)} $$
Hướng dẫn. Bất phương trình đã cho tương đương với $$\begin{array}{l}
\,\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}
x + 1 \ge 0\\
{\left( {x + 1} \right)^2} \ge 2\left( {{x^2} – 1} \right) \ge 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge – 1\\
{x^2} – 2x – 3 \le 0\\
{x^2} – 1 \ge 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge – 1\\
– 1 \le x \le 3\\
\left[ \begin{array}{l}
x \le – 1\\
x \ge 1
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = – 1\\
1 \le x \le 3
\end{array} \right.
\end{array}$$
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left[ {1;3} \right] \cup \left\{ { – 1} \right\}$.
Ví dụ 7.Giải bất phương trình $$2x – 5 < \sqrt { – {x^2} + 4x – 3} $$
Hệ bất phương trình (1) tương đương với $$\left\{ \begin{array}{l}
x < \frac{5}{2}\\
1 \le x \le 3
\end{array} \right. \Leftrightarrow 1 \le x < \frac{5}{2}$$
Hệ bất phương trình (2) tương đương với $$\begin{array}{l}
\,\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}
x \ge \frac{5}{2}\\
5{x^2} – 24x + 28 < 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge \frac{5}{2}\\
2 < x < \frac{{14}}{5}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{5}{2} \le x < \frac{{14}}{4}
\end{array}$$
Lấy hợp tập nghiệm của 2 trường hợp trên, được đáp số cuối cùng là $S = \left[ {1;\frac{{14}}{5}} \right)$.
Ví dụ 8. Giải phương trình $$\sqrt {x + 4} – \sqrt {1 – x} = \sqrt {1 – 2x} $$
Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với
$$\begin{array}{l}
\,\,\,\,\,\,\,\sqrt {x + 4} = \sqrt {1 – 2x} + \sqrt {1 – x} \\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
– 4 \le x \le \frac{1}{2}\\
x + 4 = 1 – x + 2\sqrt {(1 – x)(1 – 2x)} + 1 – 2x
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
– 4 \le x \le \frac{1}{2}\\
\sqrt {(1 – x)(1 – 2x)} = 2x + 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
– 4 \le x \le \frac{1}{2}\\
x \ge – \frac{1}{2}\\
(1 – x)(1 – 2x) = 4{x^2} + 4x + 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
– \frac{1}{2} \le x \le \frac{1}{2}\\
x = 0 \vee x = – \frac{7}{2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 0
\end{array}$$ Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x = 0$.
Ví dụ 9. Giải phương trình $$\sqrt {3x + 1} – \sqrt {2x – 1} = \sqrt {6 – x} $$
Hướng dẫn sử dụng Google Form tạo bài kiểm tra tự động nhập điểm vào Google Class
Sử dụng Google Form, thầy cô có thể tạo được các bài kiểm tra dạng trắc nghiệm tự động chấm điểm và nhập điểm vào Google Class.
1. Tạo câu hỏi trắc nghiệm đơn giản sử dụng Google Form
2. Tạo câu hỏi trắc nghiệm cho các môn Toán, Lý, Hóa, Sinh… sử dụng Google Form với lưới trắc nghiệm
TẠO LƯỚI TRẮC NGHIỆM BẰNG GOOGLE DRIVE& GOOGLE Hướng dẫn tạo Google Form (biểu mẫu) trong Google Drive Huong dan tao cau hoi trac nghiem Google Form cac mon Toan, Ly, Hoa, Sinh Hướng dẫn Google Form sử dụng lưới trắc nghiệm tạo đề kiểm tra Toán Lý Hóa Sinh đơn giản Google Biểu mẫu – tạo và phân tích bản khảo sát miễn phí. Sử dụng Google Form tạo bài kiểm tra trắc nghiệm chấm điểm tự động Hướng dẫn cách dùng Google biểu mẫu tạo câu hỏi trắc nghiệm môn Toán, Lý Hóa Sinh Google Biểu mẫu – tạo và phân tích bản khảo sát miễn phí. Cách sử dụng Google biểu mẫu.
https://youtu.be/KUaFxhlinGk
3. Hướng dẫn hoàn chỉnh một bài kiểm tra tự chấm và nhập điểm sử dụng Google Biểu mẫu
Cách nhập điểm tự động cho bài kiểm tập trên Google Class bằng cách sử dụng Google Form Tự động nhập điểm bài kiểm tra vào Google Class sử dụng Google biểu mẫu
SHub Classroom là ứng dụng tạo bài tập miễn phí từ file phi cấu trúc dưới mọi định dạng. Với SHub Classroom bạn không cần phải lo nghĩ về thời gian chuẩn bị, chấm điểm và quản lý bài tập của mình.
Giáo viên: Tạo lớp học, bài tập trên SHub Classroom và gửi mã lớp học đến học sinh
Học sinh: Tham gia lớp học thông qua mã lớp và làm bài trên ứng dụng
Hệ thống: Tự động chấm bài, thống kê và tổng hợp giúp giáo viên dễ dàng nắm bắt tình hình lớp học
Nâng cao hiệu quả giảng dạy và chất lượng học sinh
Giao diện thống kê và quản lý điểm của học sinh
Nếu bài viết hữu ích, bạn có thể ủng hộ chúng tôi bằng cách bấm vào các banner quảng cáo.
Các em học sinh Xuân Trường B thực hiện các bước sau:
Sử dụng số điện thoại đang sử dụng để đăng ký tài khoản trên trang https://shub.edu.vn
Bài viết của anh Nguyễn Song Minh – một người anh chưa gặp bao giờ, chỉ quen biết trên fb nhưng có nhiều tư tưởng, quan điểm mình rất thích vì hợp.
Nhà cũ mình trước kia, có một vườn cây bên bờ sông Đà.
Người ta bảo không sai, là “ăn thương uống nhớ”, nên có hai thứ trái cây mình rất thích ăn mà giờ không mấy khi mua, đó là quả na và hồng xiêm. Không mua không phải do tiếc tiền, không mua vì biết thứ mua về không thể ngon như trong ký ức.
Hồi mình tuổi thiếu niên, ba mẹ mình trồng na quanh nhà cùng mấy cây hồng xiêm. Ba là người kỹ tính, cây hồng xiêm trồng không đúng cách nên trái không ngon, ông ấy đào lên trồng lại, tạo ra cây hồng xiêm ngon nhất trên đời với mình.
Cây trái ba trồng, không phải để đãi mình ăn vặt, mà để bán lấy tiền nuôi mình ăn học. Suốt từ khi học lớp 8 đến hết đại học, cơm mình ăn, học phí đem nộp.. đến cả những bữa rượu ốc tập đãi bạn bè là từ cây trái ba trồng trong vườn.
Lúc ở nhà, mình trèo cây như Tôn Ngộ Không, cả một rặng na, mình có thể nhảy như sóc từ cây đầu đến cây cuối không để gãy cành mong manh nào. Chẳng cần trèo lên, chỉ đứng dưới gốc cũng đoán được trái nào đủ già để vặt đem rấm chín cho mẹ đem bán.
Hồi đó trái cây nhiều đến mức có lúc hái vẫn lọt, nếu chiều quên là đêm nghe rụng lộp bộp. Là do lũ chim và dơi về rỉa trái chín rớt. Có đêm mưa nghe trái rụng, tò mò vác đèn pin ra soi, thương công ba trồng cây cứ trách mình hồi chiều hái ẩu.
Trái cây rấm chín, không thể so với trái chim ăn. Buổi sáng nhặt vào rổ, lấy dao cắt bỏ phần chim dơi gặm mổ, rồi gọt ăn. Đầu tiên vì tiếc công ba, sau vì nhận ra nó quá ngon so với trái đem bán. Mẹ thì chỉ sợ mình ăn dơ, cứ doạ “Minh ăn quả mồm chim, là lớn lên thành con chim khách ăn quả vườn đêm”. Tất nhiên là vì đã lớn, nên biết mẹ chỉ nói quá.
Thế mà rồi lớn lên, thành con chim khách ăn quả vườn đêm thật. Đêm nay ở một nơi xa ngái quê cũ, nghe mưa rơi lộp bộp trên mái không ngủ được, dưng ăn thương uống nhớ. Thèm một buổi sớm mai nào thức dậy, lại nhặt được quả rụng trên sân, ăn nốt nửa trái quả mà con chim trời đêm qua về ăn vội.
Những ngày đầu mùa xuân năm 2020, tôi đã đọc xong cuốn sách Người Xa Lạ của Albert Camus. Cảm giác đầu tiên của tôi khi đọc xong cuốn sách là đồng cảm với một số hành động của nhân vật chính. Có lẽ ai trong chính chúng ta cũng đã nhiều lần có những hành động, việc làm mà không thể giải thích nổi. Chỉ có một cụm từ thích hợp trong hoàn cảnh này là ma xui quỷ khiến. Đôi khi khi những hành động, những việc làm đó nó lại không phù hợp với chuẩn mực, thói quen của xã hội. Nói như thế thì hơi quá, nhưng thực ra nó gần như là không phù hợp với số đông người, với đám đông đang gào thét ngoài kia.
Ai trong mỗi chúng ta xét theo một khía cạnh nào đó, thì đều là những người điên rồ. Bởi vì cuộc sống này có quá nhiều điều giả tạo, nhiều bộ mặt giả dối. Chúng ta luôn khoác lên mình những chiếc mặt nạ, mọi việc làm làm mọi hành động của chúng ta dường như đều không vì bản thân chính chúng ta, không theo chính những suy nghĩ thật trong đầu chúng ta, mà vì một điều gì đó nằm ngoài cái tôi của chính mình. Nó kiểu như là, người thì vì gia đình, người thì vì bạn bè, người thì vì thì cái nhìn của những kẻ không quen biết ngoài xã hội, người thì lại vì những Đức tin của chính mình. Không chỉ là từng hành động mà dường như chính cuộc sống của bản thân mỗi người cũng đang như thế, không sống thật với chính mình, hành động theo đúng những suy nghĩ của mình. Bởi vì đúng như Albert Camus đã mô tả trong cuốn sách không dài lắm này, nếu chúng ta sống thật với những suy nghĩ của chính mình, nói thật lòng mình thì dường như như điều đó lại trở nên điên rồ và Xa Lạ.
Bài toán. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số \[ y=\frac{1}{3}x^{3}-(m-1)x^{2}-(m-3)x+1 \] đồng biến trên các khoảng $(-3;-1)$ và $(0;3)$.
Hướng dẫn.
Đạo hàm của hàm số đã cho là \[ y’=x^{2}-2(m-1)x-(m-3) \]
Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng $(-3;-1)$ và $(0;3)$ khi và chỉ khi $$y’\geqslant0,\forall x\in(-3;1)\cup(0;3)$$
Điều kiện này tương đương với
\begin{align*}
& m(2x+1)\leqslant x^{2}+2x+3,\forall x\in(-3;1)\cup(0;3)\\
\Leftrightarrow & \begin{cases}
m\leqslant\frac{x^{2}+2x+3}{2x+1},\forall x\in[0;3]\\
m\geqslant\frac{x^{2}+2x+3}{2x+1},\forall x\in[-3-1]
\end{cases}
\end{align*}
Xét hàm số $g(x)=\frac{x^{2}+2x+3}{2x+1}$ trên đọan $[-3;-1]$
chúng ta có bảng biến thiên như sau:
Do đó, điều kiện $m\geqslant\frac{x^{2}+2x+3}{2x+1},\forall x\in[-3-1]$ tương đương với
\[ m\geqslant\max\limits _{[-3;-1]}g(x)=-1. \]
Làm tương tự, điều kiện $m\leqslant\frac{x^{2}+2x+3}{2x+1},\forall x\in[0;3]$
cho ta $m\leqslant2.$
Kết hợp hai điều kiện, được đáp số cần tìm là $-1\leqslant m\leqslant2.$
