Bài tập cấp số cộng – cấp số nhân
Xem thêm Báo cáo kinh nghiệm dạy Toán bằng tiếng Anh chương Cấp số cộng
1. Tóm tắt lý thuyết cấp số cộng và cấp số nhân
1.1. Cấp số cộng
- Định nghĩa. Dãy số $ (u_n) $ được xác định bởi $\begin{cases} u_1=u\\u_{n}=u_{n-1}+d \end{cases}$ được gọi là cấp số cộng với số hạng đầu bằng $ u $ và công sai $ d. $
- Tính chất 3 số hạng liên tiếp của cấp số cộng $$ u_k=\frac{u_{k-1}+u_{k+1}}{2} $$
- Công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng $$ u_n=u_1+(n-1)d $$
- Tổng $ n $ số hạng đầu tiên của cấp số cộng $$ S_n=u_1+u_2+…+u_n=\frac{n(u_1+u_n)}{2} $$
https://www.youtube.com/watch?v=ZbBZiMQnkbQ
1.2. Cấp số nhân
- Định nghĩa. Dãy số $ (u_n) $ được xác định bởi $\begin{cases} u_1=u\\u_{n}=u_{n-1}\cdot q \end{cases}$ được gọi là cấp số nhân với số hạng đầu bằng $ u$ và công bội $ q. $
- Công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân $$ u_n=u_1\cdot q^{n-1} $$
- Tính chất 3 số hạng liên tiếp của cấp số nhân $$ u_k^2=u_{k-1}.u_{k+1} $$
- Tổng $ n $ số hạng đầu tiên của cấp số nhân $$ S_n=u_1+u_2+…+u_n=u_1\frac{1-q^n}{1-q} \,\,\, (q\ne 1)$$
2. Bài tập cấp số cộng
Ví dụ 1. Cho cấp số cộng có $ u_1=10,d=-4. $ Tìm $ u_{10} $ và $ S_{10} $.
Hướng dẫn. Sử dụng công thức số hạng tổng quát, ta có số hạng thứ $10$ của cấp số cộng là $$ u_{10}=u_1 + (10-1)d = 10+9(-4)=-26 $$ Tổng \( 10 \) số hạng đầu tiên của cấp số cộng đã cho là $$ S_{10} = \frac{10\left(u_1+u_{10}\right)}{2}=-80 $$
Ví dụ 2. Cho ba số dương $ a, b, c $ lập thành cấp số cộng. Chứng minh rằng:
- ${{a}^{2}}+2bc={{c}^{2}}+2ab$
- ${{a}^{2}}+8bc={{(2b+c)}^{2}}$
- $({{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}}),({{a}^{2}}+ac+{{c}^{2}}),({{b}^{2}}+bc+{{c}^{2}})$ lập thành cấp số cộng
Hướng dẫn. Ta có ba số dương $ a, b, c $ lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi $ 2b=a+c $.
- ${{a}^{2}}+2bc={{c}^{2}}+2ab$ tương đương với $$ a^2+(a+c)c=c^2+(a+c)a $$ Khai triển hai vế đẳng thức này được điều hiển nhiên đúng.
- ${{a}^{2}}+8bc={{(2b+c)}^{2}}$ tương đương với $$ a^2+4c(a+c)=(a+c+c)^2 $$ Khai triển hai vế đẳng thức này được điều hiển nhiên đúng.
- $({{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}}),({{a}^{2}}+ac+{{c}^{2}}),({{b}^{2}}+bc+{{c}^{2}})$ lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi
$$ ({{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}}) + ({{b}^{2}}+bc+{{c}^{2}}) = 2 ({{a}^{2}}+ac+{{c}^{2}})$$ Khai triển và rút gọn ta được \begin{align*}
&ab+bc+2b^2=a^2+2ac+c^2\\
\Leftrightarrow & (a+c)b+2b^2=(a+c)^2
\end{align*} Thay \( a+c=2b \) vào hai vế đẳng thức trên ta được \( 4b^2=4b^2 \), đây là điều hiển nhiên đúng.
Ví dụ 3. Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng $ (u_n) $ biết
- $ \begin{cases} u_1-u_3+u_5=10\\ u_1+u_6=17 \end{cases} $
- $ \begin{cases} u_7-u_3=8\\u_2.u_{15}=75 \end{cases} $
- $ \begin{cases} u_1+u_4+u_5=25\\u2-u_8=-24 \end{cases} $
Ví dụ 4. Xác định $ x $ để ba số $ 10 – 3x, 2x^2 + 3, 7 – 4x $ lập thành một cấp số cộng.
Hướng dẫn. Ba số $ 10 – 3x, 2x^2 + 3, 7 – 4x $ lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi $$ 10-3x+7-4x=2(2x^2+3) $$ Giải phương trình này, tìm được \( x=1, x=-\frac{11}{4} \).
Ví dụ 5. Xác định một cấp số cộng có 3 số hạng, biết tổng của chúng bằng 9 và tổng bình phương là 125.
Giải: Gọi $d$ là công sai của cấp số cộng và ba số phải tìm là $(x – d),x, (x + d)$ thì ta có hệ phương trình:
$$ \begin{cases}
x-d+x+x+d=9\\ (x-d)^2+x^2+(x+d)^2=125
\end{cases} $$
Giải hệ trên, ta tìm được với $d = 7$ cấp số cộng đó là $-4, 3, 10$ và với $d = -7$ cấp số là $10;,3,-4$.
Ví dụ 6. Xác định 4 góc của một tứ giác lồi, biết rằng số đo 4 góc lập thành một cấp số cộng và góc lớn nhất bằng 5 lần góc nhỏ nhất.
Hướng dẫn. Gọi $d=2a$ là công sai thì bốn số phải tìm là $$x – 3a,x – a,x + a,x + 3a$$ Ta có hệ phương trình: $$ \begin{cases}
\left( x-3\text{a} \right)+\left( x-a \right)+\left( x+a \right)+\left( x+3a \right)=360^\circ\\
\left( x+3a \right)=5\left( x-3a \right)
\end{cases} $$ Giải hệ này, tìm được \( x=90^\circ \) và \( a=20^\circ \). Suy ra, bốn góc phải tìm là:A = 300; B = 700 ; C = 1100 ; D = 1500.
Ví dụ 7. Tìm tổng các số hạng liên tiếp từ thứ 6 đến thứ 14 của cấp số cộng có số hạng thứ ba là 16 và công sai bằng 4.
Ví dụ 8. Cho hàm số $ y=x^3-3x^2-9x+m $ có đồ thị là $ (C). $ Tìm $m$ để đồ thị $(C)$ cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng?
Hướng dẫn. Giả sử ba hoành độ là $ x_1,x_2,x_3 $. Từ $ x_1+x_3=2x_2 $ và Viét suy ra $ x_2=1. $ Từ đó tìm được $ m $ và thử lại. Đáp số $ m=11. $
Ví dụ 9. Tìm $m$ để đồ thị hàm số $ y=x^4-2(m-1)x^2+2m+1 $ cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt lập thành một cấp số cộng.
Đáp số. $ m=4 $ và $ m=-\frac{4}{9}. $
Ví dụ 10. Cho phương trình : ${{x}^{4}}+3{{x}^{2}}-\left( 24+m \right)x-26-n=0$. Tìm hệ thức liên hệ giữa $m$ và $n$ để phương trình có 3 nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}$ lập thành một cấp số cộng?
Hướng dẫn. Vì 3 nghiệm phân biệt : ${{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}$ lập thành cấp số cộng , nên ta có thể đặt: $${{x}_{1}}={{x}_{0}}-d,{{x}_{2}}={{x}_{0}},{{x}_{3}}={{x}_{0}}+d\left( d\ne 0 \right)$$ Theo giả thiết ta có: $${x^3} + 3{x^2} – \left( {24 + m} \right)x – 26 – n = \left( {x – {x_1}} \right)\left( {x – {x_2}} \right)\left( {x – {x_3}} \right)$$
Nhân ra và đồng nhất hệ số ở hai vế của phương trình ta có hệ: $$\begin{array}{l}
\,\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}
– 3{x_0} = 3\\
3x_0^2 – {d^2} = – \left( {24 + m} \right)\\
– x_0^3 + {x_0}{d^2} = – 26 – n
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_0} = – 1\\
3 – {d^2} = – 24 – m\\
1 – {d^2} = – 26 – n
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_0} = – 1\\
m = n
\end{array} \right.
\end{array}$$ Vậy với $m=n$ thì ba nghiệm phân biệt của phương trình lập thành cấp số cộng.
Ví dụ 11. Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình $ \sin^23x-5\sin3x+4=0 $ trên khoảng $ (0;50\pi) $.
Đáp số. $ \frac{3725\pi}{2} $.
3. Bài tập cấp số nhân
Ví dụ 1. Cho dãy số $({u_n})$ xác định bởi ${u_n} = \frac{5}{2}$ và ${u_{n + 1}} = 3{u_n} – 1$ với mọi $n \geqslant 1$. Chứng minh rằng dãy số $({v_n})$ xác định bởi ${v_n} = {u_n} = \frac{{ – 1}}{2}$ với mọi $n \geqslant 1$ là một cấp số nhân. Hãy cho biết số hạng đầu và công bội của cấp số nhân đó.
Hướng dẫn. Từ công thức xác định dãy số $ (u_n) $ và $ (v_n) $ ta có
$${v_{n + 1}} = {u_{n + 1}} – \frac{1}{2} = 3{u_n} – 1 – \frac{1}{2} = 3\left( {{u_n} – \frac{1}{2}} \right) = 3{v_n} \text{ với mọi }n\geqslant 1. $$ Ta thấy ngay, $ (v_n) $ là một cấp số nhân với số hạng đầu $ v_1=2 $ và công bội $ q=3. $
Ví dụ 2. Một cấp số nhân có 5 số hạng , công bội bằng một phần bốn số hạng thứ nhất , tổng của hai số hạng đầu bằng 24. Tìm cấp số nhân đó.
Hướng dẫn. Theo giả thiết ta có $$\begin{array}{l}
\,\,\,\,\,\,{u_1} + {u_2} = {u_1} + \frac{1}{4}\left( {{u_1}} \right) = 24\\
\Rightarrow {u_1} + \frac{1}{4}u_1^2 – 24 = 0\\
\Leftrightarrow {u_1} = – 12 \vee {u_1} = 8
\end{array}$$ Vậy có hai cấp số nhân tương ứng là $8,16,32,128$ hoặc $-12,36,-108,-972$.
Ví dụ 3. Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân $ (u_n) $ biết
- $ \begin{cases} u_4-u_2=72\\u_5-u_3=144 \end{cases} $
- $ \begin{cases} u_1-u_3+u_5=65\\u_1+u_7=325 \end{cases} $
Ví dụ 4. Tìm bốn góc của một tứ giác, biết rằng các góc đó lập thành cấp số nhân và góc cuối gấp 9 lần góc thứ hai.
Ví dụ 5. Tìm các số dương $ a,b $ sao cho $ a,a+2b,2a+b $ lập thành một cấp số cộng còn $ (b+1)^2,ab+5,(a+1)^2 $ lập thành một cấp số nhân.
Ví dụ 6. Tìm $m$ để phương trình $ x^3+2x^2+(m+1)x+2(m+1)=0 $ có ba nghiệm lập thành một cấp số nhân.
Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với $$ (x+2)(x^{2}+m+1)=0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}
x=-2 \\ x^{2}=-m-1\end{array}\right.$$
Phương trình đã cho có ba nghiệm khi và chỉ khi $$ \begin{cases}m<-1\\m\neq{-5}\end{cases} $$ Khi đó, ba nghiệm của phương trình là $$ x=-2;x=\sqrt{-m-1};x=-\sqrt{-m-1} $$ Chúng ta xét hai trường hợp:
- TH1. \( -5<m<-1 \) thì 3 nghiệm theo thứ tự là $$ -2;-\sqrt{-m-1};\sqrt{-m-1} $$ Để chúng lập thành cấp số nhân thì $$ -2\sqrt{-m-1}=-m-1 $$ Chú ý điều kiện \( -5<m<-1 \) nên phương trình ẩn \( m \) này vô nghiệm.
- TH2. \( m<-5 \) thì 3 nghiệm theo thứ tự là $$ -\sqrt{-m-1};-2;\sqrt{-m-1} $$ Để chúng lập thành cấp số nhân thì $$ 4=-(-m-1)\Leftrightarrow m=3 $$ So sánh với điều kiện, thấy giá trị này không thỏa mãn.
Tóm lại, không có giá trị nào của \( m \) thỏa mãn yêu cầu.
Ví dụ 7. Tính tổng $$ S=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{3^{2015}} $$
Ví dụ 8. Tìm các số hạng đầu của cấp số nhân $(u_n)$ biết rằng $$ \begin{cases}
u_1+u_2+u_3+u_4=15\\
u_1^2+u_2^2+u_3^2+u_4^2=85
\end{cases} $$
Hướng dẫn. Giả sử cấp số nhân cần tìm có số hạng đầu bằng \( x \) và công bội \( q \ne 1\). Sử dụng công thức tổng $n$ số hạng đầu của một cấp số nhân, chúng ta có
$$ u_1+u_2+u_3+u_4=\frac{x\left(q^4-1\right)}{q-1}=15 $$ Bình phương hai vế ta được $$ x^2(q^4-1)^2/(q-1)^2 = 225 $$ Đối với tổng $ u_1^2+u_2^2+u_3^2+u_4^2$ ta có thể coi đây chính là tổng bốn số hạng đầu của một cấp số nhân với số hạng đầu là \( x^2 \) và công bội \( q^2 \) nên tổng của chúng là $$u_1^2+u_2^2+u_3^2+u_4^2=\frac{x^2\left(q^8-1\right)}{q^2-1}=85 $$
Chia từng vế hai phương trình trên ta được $$ \frac{\left(q^4-1\right)\left(q^2-1\right)}{\left(q-1\right)^2\left(q^8-1\right)} =\frac{225}{85}$$
Rút gọn rồi nhân chéo ta được phương trình $$ 14q^4 – 17q^3 – 17q^2 – 17q + 14 = 0 $$ Đến đây có thể sử dụng máy tính để giải, tìm được nghiệm \( q=2,q=\frac{1}{2} \). Hoặc đặt \( t=q+\frac{1}{q} \) và đưa về phương trình bậc hai ẩn \( t \).
Lời giải chi tiết cho ví dụ này, mời thầy cô và các em học sinh xem trong video sau:
https://www.youtube.com/watch?v=KnwhxAgPL04
