Category: Hình học

Phương pháp phân chia khối đa diện
Phương pháp phân chia khối đa diện

Để tính thể tích của một khối đa diện, nếu đó là các khối cơ bản như khối chóp, khối lăng trụ thì chúng ta có thể tính trực tiếp (xem trong bài Tính thể tích khối chóp) hoặc so sánh thể tích của chúng với các khối dễ tính thể tích hơn.

Tuy nhiên, đối với các khối đa diện phức tạp, hoặc việc tính thể tích của chúng một cách trực tiếp gặp khó khăn, chúng ta có thể nghĩ tới việc phân chia khối đa diện thành các khối đơn giản, dễ tính thể tích hơn.

Để làm quen với việc phân chia và lắp ghép khối đa diện, chúng ta sẽ làm một số ví dụ trước khi đi vào các bài tập tính thể tích.

Ví dụ phương pháp phân chia khối đa diện

Ví dụ 1. Chia khối lăng trụ $ABC.A’B’C’$ thành ba khối tứ diện bởi các mặt phẳng $(A’BC’)$ và $(A’BC)$. Hãy kể tên ba khối tứ diện đó.

Hướng dẫn

Chia khối lăng trụ $ABC.A’B’C’$ bởi các mặt phẳng $(A’BC’)$ và $(A’BC)$ ta được ba khối tứ diện: $CC’A’B’$, $CBA’B’$, $CABA’$.

Ví dụ 2. Có thể chia một khối lập phương thành bao nhiêu khối tứ diện bằng nhau?

Hướng dẫn

Dùng mặt phẳng $(BDD’B’)$ ta chia thành hai khối lập phương thành hai khối lăng trụ $ABD.A’B’D’$ và $BCD.B’C’D’$. Tương tự như ví dụ 1, chúng ta có:
- Khối lăng trụ tam giác $ABD.A’B’D’$ ta lần lượt dùng các mặt phẳng $(ABD’)$ và $(A’BD’)$ chia thành ba khối tứ diện bằng nhau.
- Tương tự với khối lăng trụ tam giác $BCD.B’C’D’$, ta cũng chia được thành ba khối tứ diện đều bằng nhau.
Vậy có tất cả 6 khối tứ diện bằng nhau.

Ví dụ 3. Mặt phẳng $( AB’C’)$ chia khối lăng trụ $ABC.A’B’C’$ thành các khối đa diện nào?

Hướng dẫn

Dựa vào hình vẽ, ta thấy mặt phẳng $(AB’C’)$ chia khối lăng trụ $ABC.A’B’C’$ thành một khối chóp tam giác $A.A’B’C’$ và một khối chóp tứ giác $A.BCC’B’$.

Ví dụ 4. Cho khối chóp $S. ABCD$, hỏi hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$ chia khối chóp $S.ABCD$ thành bao nhiêu khối chóp?

Hướng dẫn

Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$ chia khối chóp $S.ABCD$ thành 4 khối chóp: $S.ABO$, $S.ADO$, $S.CDO$ và $S.BCO$.

Ví dụ 5. Cho tứ diện $ABCD$. Lấy một điểm $M$ nằm trong đoạn $AB$, điểm $N$ nằm trong đoạn $CD$. Chia tứ diện đã cho bằng hai mặt phẳng $(MCD)$ và $(NAB)$ ta được 4 khối tứ diện nào?

Hướng dẫn
- Mặt phẳng $(MCD)$ chia tứ diện đã cho thành hai khối $(MACD)$ và $(MBCD)$.
- Mặt phẳng $(ABN)$ chia khối $(MACD)$ thành hai khối $(MANC)$ và $(MAND)$.
- Mặt phẳng $(ABN)$ chia khối $(MBCD)$ thành hai khối $(MBCN)$ và $(MBND)$.
Ví dụ 6. Chia một khối tứ diện đều thành bốn tứ diện bằng nhau.

Hướng dẫn.
- Xét tứ diện đều $ $A B C D$ . Gọi $ $G$ là giao điểm của các đường thẳng nối đỉnh với trọng tâm của mặt đối diện.
- Dễ thấy các tứ diện $ $G A B C, G B C D, G C D A, G D A B$ bằng nhau.
- Thật vậy, các tứ diện trên đều có đáy là các tam giác đều có cạnh bằng nhau, các cạnh bên $ $G A = G B = G C = G D$ . Vậy ta đã chia được tứ diện đều thành $4$ tứ diện bằng nhau.
Ví dụ 7. Hãy dùng 4 mặt phẳng để chia một khối tứ diện đã cho thành 9 khối tứ diện.

Hướng dẫn.
- Giả sử $ABCD$ là khối tứ diện đã cho.
- Chia cạnh $AB$ thành ba đoạn thẳng bởi các điểm chia $M$ và $M’$. Chia cạnh $CD$ thành ba đoạn thẳng bởi các điểm $N$ và $N’$.
- Khi đó 4 mặt phẳng $(ABN)$, $(ABN’)$, $(CDM)$, $(CDM’)$ sẽ phân chia khối tứ diện $ABCD$ thành 9 khối tứ diện.
Sử dụng Phương pháp phân chia khối đa diện để tính thể tích

Ví dụ 1. Cho khối hộp ABCD.A’B’C’D’. Tính thể tích của khối hộp này biết tứ diện ACB’D’ có thể tích bằng V.

Ví dụ 2. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình vuông cạnh a , chiều cao AA’ = b . Gọi M là trung điểm cạnh CC’ . Tính thể tích khối tứ diện BDA’M .

(đang tiếp tục bổ sung)
23/09/2021
Bài tập trắc nghiệm Tổng của hai véc-tơ

Bài tập trắc nghiệm Tổng của hai véc-tơ

Các em truy cập link sau để làm https://forms.office.com/r/5YjEdbDtxp hoặc làm trực tiếp ở phần dưới đây

22/09/2021
Toán 10 – Bài tập tích vô hướng của hai vectơ
Toán 10 – Bài tập tích vô hướng của hai vectơ

Phần lý thuyết, mời thầy cô và các em xem trong bài Tích vô hướng của hai vectơ. Dưới đây là các bài tập tự luyện.

Bài 1. Cho hình vuông \( ABCD \) cạnh $a$. Tính $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$.

Bài 2. Cho tam giác $ ABC$ có $\widehat{A}=90^\circ;\widehat{B}=60^\circ$ và $AB=a$. Tính các tích vô hướng $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC};\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}$ và $\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{CB}$.

Bài 3. Cho tam giác $ ABC$ vuông cân tại \( A \) có $AB=AC=a$. Tính $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC};\;\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}$.

Bài 4. Cho tam giác $ ABC$ đều cạnh $a$. Tính $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{AB}$.

Bài 5. Cho tam giác $ ABC$ có $AB=5$ cm, $BC=7$ cm, $CA=8$ cm.
1. Tính $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$ rồi suy ra giá trị của góc \( A \).
2. Tính $\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}$.
Bài 6. Cho tam giác $ ABC$ có $AB=6$ cm, $BC=11$ cm, $CA=8$ cm.
1. Tính $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$ rồi suy ra góc A tù.
2. Trên cạnh \( AB \) lấy \( M \) sao cho $AM=2$ cm và gọi \( N \) là trung điểm của \( AC \). Tính $\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{AN}$.
Bài 7. Trong mặt phẳng \( Oxy \) cho $A=(4;6),B(1;4)$ và $C(7;\frac{3}{2})$.
1. Chứng minh tam giác $ ABC$ vuông tại \( A \).
2. Tính độ dài các cạnh $AB,AC,BC$.
Bài 8. Tính góc giữa hai vec tơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ trong các trường hợp sau:
1. $\overrightarrow{a}=(1;-2)$ và $\overrightarrow{b}=(-1;-3)$.
2. $\overrightarrow{a}=(3;-4)$ và $\overrightarrow{b}=(4;3)$.
3. $\overrightarrow{a}=(2;5)$ và $\overrightarrow{b}=(3;-7)$.
Bài 9. Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm $A(2;4)$ và $B(1;1)$. Tìm tọa độ điểm \( C \) sao cho tam giác $ ABC$ là tam giác vuông cân tại \( B \).

Bài 10. Cho tam giác $ ABC$ biết $A(1;-1),B(5;-3)$ và $C(2;0)$.
1. Tính chu vi và nhận dạng tam giác $ ABC$.
2. Tìm tọa độ điểm \( M \) biết $\overrightarrow{CM}=2\overrightarrow{AB}-3\overrightarrow{AC}$.
3. Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ ABC$.
Bài 11. Cho tam giác $ ABC$. Với điểm \( M \) tùy ý, chứng minh rằng $$\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{MB}\cdot\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{MC}\cdot\overrightarrow{AB}=0$$

Bài 12. Cho \( O \) là trung điểm của đoạn thẳng \( AB \) và \( M \) là một điểm tùy ý. Chứng minh rằng $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=OM^2 – OA^2$.

Bài 13. Cho tam giác $ ABC$ có ba đường trung tuyến là \( AD, BE, CF \). Chứng minh rằng $$\overrightarrow{BC}\cdot\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CF}=0$$

Bài 14. Cho tam giác $ ABC$ có góc \( A \) nhọn. Vẽ bên ngoài tam giác $ ABC$ các tam giác vuông cân đỉnh \( A \) là \( ABD \) và \( ACE \). Gọi \( M \) là trung điểm của \( BC \). Chứng minh: $AM\perp DE$.

Bài 15. Cho hình chữ nhật \( ABCD \) có $AB=a$ và $AD=a\sqrt{2}$. Gọi \( K \) là trung điểm của cạnh \( AD \). Chứng minh $BK\perp AC$.

Bài 16. Cho tam giác $ ABC$ cân tại \( A \). Gọi \( H \) là trung điểm của cạnh \( BC \), \( D \) là hình chiếu vuông góc của \( H \) trên cạnh \( AC \), \( M \) là trung điểm của đoạn \( HD \). Chứng minh $AM\perp BD$.

Bài 17. Cho tam giác $ ABC$. Gọi \( H \) là trực tâm của tam giác và \( M \) là trung điểm của \( BC \). Chứng minh $\overrightarrow{MH}\cdot\overrightarrow{MA}=\dfrac{1}{4}BC^2$.

Bài 18. Cho tứ giác \( ABCD \) có hai đường chéo \( AC \) và \( BD \) vuông góc với nhau và cắt nhau tại \( M \). Gọi \( P \) là trung điểm của \( AD \). Chứng minh: $$MP\perp BC \Longleftrightarrow \overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MB}\cdot\overrightarrow{MD}$$
20/09/2021
Điểm và đường thẳng trong không gian lớp 11
Điểm và đường thẳng trong không gian

1. Tóm tắt lý thuyết về điểm và đường thẳng trong không gian

Ba cách xác định một mặt phẳng
- Qua ba điểm không thẳng hàng $ A,B,C $; kí hiệu là $ (ABC) $ hoặc $ mp(ABC). $
- Qua đường thẳng $ d$ và điểm $M\notin d$; kí hiệu là $ mp(d,M) $
- Qua hai đường thẳng $ d_1,d_2 $ cắt nhau; kí hiệu là $ mp(d_1,d_2) $
Quy tắc vẽ hình biểu diễn của hình không gian
- Hình biểu diễn của đường thẳng là đường thẳng, của đoạn thẳng là đoạn thẳng.
- Hình biểu diễn của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song, của hai đường thẳng cắt nhau là hai đường thẳng cắt nhau.
- Hình biểu diễn phải giữ nguyên quan hệ liên thuộc giữa điểm và đường thẳng.
- Đường nhìn thấy vẽ nét liền, đường bị che khuất vẽ nét đứt.
- Trên cùng một đường thẳng} hoặc trên hai đường thẳng song song} thì tỉ lệ về độ dài được giữ nguyên. Đặc biệt, hình biểu diễn của trung điểm là trung điểm.
Các tính chất thừa nhận
- Có một và chỉ một đường thẳng qua hai điểm phân biệt
- Nếu một đường thẳng có hai điểm nằm trong mặt phẳng thì tất cả các điểm còn lại của đường thẳng đó đều thuộc mặt phẳng đã cho.
- Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung , thì chúng còn có điểm chung khác nữa. Do đó, chúng có chung một đường thẳng, gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng.
- Trên mỗi mặt phẳng, các kết quả đã biết trong hình học phẳng đều đúng.
- Có ít nhất bốn điểm không đồng phẳng.
Hình chóp
- Cho đa giác $ A_1A_2…A_n $ nằm trên mặt phẳng $(P)$ và điểm $ S $ nằm ngoài mặt phẳng $(P)$ thì hình chóp $ S.A_1A_2…A_n $ là hình gồm đa giác $ A_1A_2…A_n $ và $ n $ tam giác có $ S $ là đỉnh chung: $ SA_1A_2,SA_2A_3,… SA_nA_1. $
- Ta gọi tên hình chóp tùy theo số cạnh của đa giác đáy, ví dụ hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác, hình chóp ngũ giác…
- Tứ diện là hình gồm có bốn điểm không đồng phẳng.
Một số hình không gian thường gặp

Để học tốt hình học không gian, việc đầu tiên là các em cần vẽ hình đúng các quy tắc. Khi vẽ hình đúng rồi, chúng ta cần lựa chọn cách vẽ làm sao cho dễ nhìn nhất có thể. Dưới đây là cách vẽ hình chuẩn của một số hình không gian thường gặp.
- Hình chóp tam giác, tứ diện
- Hình chóp tứ giác có đáy không là hình thang (đáy là một tứ giác bất kì)
- Hình chóp tứ giác có đáy là hình thang
- Hình chóp tứ giác có đáy là hình bình hành, hình chữ nhật, hình vuông
- Hình chóp ngũ giác
- Hình chóp lục giác
2. Bài tập điểm và đường thẳng trong không gian

Dạng 1. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng

Mời thầy cô và các em xem chi tiết trong bài Cách tìm giao tuyến của hai mặt phẳng

Dạng 2. Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng

Mời thầy cô và các em xem chi tiết trong bài Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng

Dạng 3. Chứng minh thẳng hàng, đồng quy

Mời thầy cô và các em xem chi tiết trong bài Cách chứng minh thẳng hàng trong hình học không gian

Dạng 4. Xác định giao tuyến của hình chóp khi cắt bởi một mặt phẳng

Mời thầy cô và các em học sinh xem chi tiết trong các bài viết sau:
10/09/2021
Phép tịnh tiến – Phép dời hình
Phép tịnh tiến – Phép dời hình

1. Phép tịnh tiến

1.1. Phép tịnh tiến là gì?

Trong mặt phẳng, cho vector $ \vec{v}, $ phép tịnh tiến theo vector $ \vec{v} $ là một phép biến hình biến mỗi điểm $ M $ thành điểm $ M’ $ thỏa mãn \[ \overrightarrow{MM’} = \vec{v}. \]

Ví dụ. Cho tam giác ABC, dựng ảnh của tam giác ABC qua phép tịnh tiến theo vec tơ $\overrightarrow{BC}$.
- Giả sử qua phép tịnh tiến theo $\overrightarrow{BC}$, điểm $A$ biến thành điểm $D$ thì điểm $D$ phải thỏa mãn: $$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$$ Nghĩa là điểm $D$ phải ở vị trí như trong hình vẽ (chính là đỉnh của hình bình hành $ABCD$).
- Tương tự ta dựng được điểm $E$ là ảnh của $C$ qua phép tịnh tiến đó ($E$ thuộc đường thẳng $BC$ sao cho $C$ là trung điểm $BE$).
- Hiển nhiên ảnh của $B$ qua phép tịnh tiến theo $\overrightarrow{BC}$ là $C$.
Tóm lại, ảnh của tam giác $ABC$ qua phép tịnh tiến theo véc-tơ $\overrightarrow{BC}$ là tam giác $DCE$ như trên hình vẽ.

1.2. Biểu thức toạ độ của phép tịnh tiến.

Điểm $M'(x’,y’)$ được gọi là ảnh của điểm $ M(x,y) $ qua phép tịnh tiến theo vectơ $\vec{v}=(a,b)$ khi và chỉ khi $$ \overrightarrow{MM’}=\vec{v}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x’=x+a \\ y’=y+b \end{array} \right.$$

Kí hiệu: $ M’={\text{T}_{\vec{v}}}(M). $

1.3. Tính chất của phép tịnh tiến

Phép tịnh tiến có tính chất:
- Biến hai điểm $ M,N $ thành $ M’,N’ $ thì $ M’N’=MN. $
- Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và giữ nguyên thứ tự giữa các điểm.
Do đó, phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn cùng bán kính.

2. Phép dời hình

Định nghĩa. Phép dời hình là phép biến hình không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

Ví dụ. Phép tịnh tiến lầ một phép dời hình.

Tính chất của phép dời hình

Phép dời hình biến:
- Đường thẳng thành đường thẳng, đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, tia thành tia.
- Ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và giữ nguyên thứ tự giữa các điểm.
- Đường tròn thành đường tròn cùng bán kính.
- Góc thành góc bằng nó.
- Tam giác thành tam giác bằng nó.
3. Các dạng toán phép tịnh tiến, phép dời hình

3.1. Xác định toạ độ ảnh của phép tịnh tiến

Phương pháp. Chúng ta sử dụng biểu thức toạ độ của phép tịnh tiến.

Cho vectơ $\vec{v}=(a,b)$ thì $ M’={\text{T}_{\vec{v}}}(M) $ khi và chỉ khi $$ \overrightarrow{MM’}=\vec{v}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x’=x+a \\ y’=y+b \end{array} \right.$$

Ví dụ 1.
1. Cho các điểm $ A(-1,2),B(0,1),C(3,-1) $ và vector $ \vec{v}=(-2,3). $ Tìm ảnh của các điểm trên qua phép tịnh tiến theo $ \vec{v}.$
2. Viết phương trình đường thẳng $ d’ $, là ảnh của đường thẳng $d : 2x + 3y – 1 = 0 $ qua phép tịnh tiến theo vector $\vec{a}=(3,1)$.
Hướng dẫn.
1. Gọi $ A'(x’;y’)$ là ảnh của $A$ qua $\text{T}_{\vec{v}} $ thì ta có $$ \overrightarrow{AA’}=\vec{v}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x’=-1-2 \\ y’=2+3 \end{array} \right.$$ hay $ A'(-3;5)$. Làm tương tự được đáp số $B'(-2,4),C'(1,2)$.
2. Gọi $d’$ là ảnh của đường thẳng $d$ qua phép tịnh tiến theo véc-tơ $\vec{a}$.
  - Theo tính chất thì $d’$ song song hoặc trùng với $d$ nên có phương trình dạng $d’: 2x+3y+c=0$.
  - Tiếp theo, ta lấy một điểm bất kì thuộc $d$, giả sử là $M(2;-1)$ thì ảnh của nó là $M’$ phải thuộc vào đường thẳng $d’$. Dễ dàng tìm được $M'(5;0)$. Thay toạ độ $M’$ vào phương trình $d’$ tìm được $c= -10$.
  - Suy ra phương trình đường thẳng cần tìm là $d’:2x+3y-10=0$.
Cách khác. Có $d’$ là ảnh của đường thẳng $d$ qua phép tịnh tiến theo véc-tơ $\vec{a}$. Với điểm $M(x;y)$ điểm bất kì thuộc đường thẳng $d$, qua phép tịnh tiến theo véc-tơ $\vec{a}$ biến thành điểm $M'(x’;y’)$ thì điểm \( M’ \) phải thỏa mãn hai điều kiện:
- Điểm \( M’ \) thuộc đường thẳng $d’$;
- Toạ độ của \( M’ (x’;y’)\) thỏa mãn \( x’=x+ 3, y’=y+1\).
Từ \( x’=x+ 3, y’=y+1\) suy ra \( x=x’-3, y=y’-1 \) hay toạ độ điểm $M(x’-3;y’-1)$. Mà $M$ thuộc đường thẳng $d$ có phương trình $2x + 3y – 1 = 0$ nên thay vào ta được $$ 2(x’-3)+3(y’-1)-1=0 $$ $$\Leftrightarrow 2x’+3y’-10=0 $$ hay phương trình đường thẳng $d’$ cần tìm chính là $2x+3y-10=0$.

Lưu ý: Khi tính toán ta dùng kí hiệu $ x’,y’ $ để tìm mối quan hệ giữa các thành phần tọa độ $ x’,y’ $ của một điểm $ M’, $ còn kết luận về tập hợp các điểm $ M’ $ thì phải dùng kí hiệu $ x,y. $

Ví dụ 2. Viết phương trình ảnh $ (C’) $ của đường tròn $\left( C \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+4y-4=0$ qua phép tịnh tiến theo véc-tơ $\vec{a}=(-2;1)$.

Đáp số. $(C’):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x+2y-7=0.$

Ví dụ 3. Cho đường thẳng $ d:2x-3y+1=0 $ và đường tròn $ (C):(x-3)^2+(y+2)^2=1.$ Tìm ảnh của đường thẳng $ d$ và đường tròn $ (C) $ qua phép tịnh tiến theo véc-tơ $ \vec{v}(-2,4). $

Đáp số. $ d’: 2x-3y+17=0$, $(C’):(x-1)^2+(y-2)^2=1. $

Ví dụ 4. Cho đường thẳng $ \Delta $ cắt hai trục $ Ox,Oy $ tại $ A(-1,0) $ và $ B(0,2). $ Hãy tìm ảnh $ \Delta’ $ của $ \Delta $ qua phép tịnh tiến theo $ \vec{u}(2,-1). $

Đáp số. $ \Delta’:2x-y-3=0. $

Ví dụ 5. Cho hàm số $ y=\cos x $ có đồ thị là $ (C) $. Viết phương trình ảnh $ (C’) $ của $ (C) $ qua phép tịnh tiến theo véc-tơ $ \vec{v}(\frac{\pi}{2},0) $.

Hướng dẫn. Điểm $ M(x,y)\in (C) $ qua phép tịnh tiến theo $\vec{v} $ biến thành $ M'(x’,y’) $ khi và chỉ khi $$ \begin{cases} x’=x+\frac{\pi}{2} \\y’=y \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x=x’-\frac{\pi}{2} \\y=y’ \end{cases} $$ Suy ra toạ độ điểm $M\left(x’-\frac{\pi}{2};y’\right)$.
Ta có $ M$ thuộc đồ thị $ (C):y=\cos x $ khi và chỉ khi $y’=\cos(x’-\frac{\pi}{2}) \Leftrightarrow y’=\sin x’$.

Như vậy, ta luôn có $y’=\sin x’$ hay $ M’ $ thuộc đồ thị hàm số $ y=\sin x $.
Vậy đồ thị của hàm số $ y=\cos x $ qua phép tịnh tiến theo $ \vec{v} $ thì biến thành đồ thị của hàm số $ y=\sin x. $

Ví dụ 6. Qua phép tịnh tiến theo véc-tơ $ \vec{v}(-1,3) $ thì đường thẳng $ \Delta $ biến thành đường thẳng $ \Delta’:2x-5y+6=0. $ Hãy tìm phương trình của đường thẳng $\Delta$.

Đáp số $ \Delta: 2x-5y-11=0. $

3.2. Xác định phép tịnh tiến

Phương pháp. Chúng ta cần chỉ ra được véc-tơ của phép tịnh tiến.

Ví dụ 1. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho điểm \( A(1;2) \) và điểm \( B(5;3) \). Xác định phép tịnh tiến biến điểm \( A \) thành điểm \( B \).
Hướng dẫn. Chính là phép tịnh tiến theo véc-tơ \( \overrightarrow{AB}(4;1) \).

Ví dụ 2. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho điểm \( A(1;2) \) và điểm \( B(5;3) \). Xác định phép tịnh tiến biến điểm \( B \) thành điểm \( A \).
Hướng dẫn. Phép tịnh tiến theo véc-tơ \( \overrightarrow{BA}(-4;-1) \).

Ví dụ 3. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho hai parabol \( (P): y=x^2 \) và \( (Q):=x^2+2x+2 \). Tìm phép tịnh tiến biến \( (P) \) thành \( (Q) \).

Hướng dẫn. Gọi véc-tơ tịnh tiến là \( \vec{v}(a;b) \). Lấy điểm \( M(x;y) \) bất kì thuộc parabol \( (P) \).

Qua phép tịnh tiến cần tìm, \( M \) biến thành \( M'(x’;y’) \) thuộc parabol \( (Q) \) thì ta có $$ \begin{cases} x’=x+a\\y’=y+b \end{cases} $$ mà \( M’ \) thuộc \( (Q) \) nên suy ra $$y+b (x+a)^2+2(x+a)+2 $$ Thu gọn phương trình này ta được $$ y=x^2+2(a+1)x+a^2+2a+2-b $$ Phương trình này phải trùng với phương trình của parabol \( (P) \) nên ta có $$ \begin{cases} 2(a+1)=0\\ a^2+2a+2-b=0 \end{cases} $$ Giải hệ này tìm được \( a=-1;b=-1 \).
Kết luận. Phép tịnh tiến cần tìm là phép tịnh tiến theo véc-tơ \( \vec{v}(-1;-1) \).

3.3. Các bài toán dựng hình, chứng minh tính chất hình học

Ví dụ 1. Cho tam giác $ ABC $ có trọng tâm $ G. $ Hãy dựng ảnh của điểm $ A, $ đoạn thẳng $ AB $ qua phép tịnh tiến $ \text{T}_{\overrightarrow{GB}} $; ảnh của tam giác $ ABC $ qua phép tịnh tiến $ \text{T}_{2\overrightarrow{GA}}? $

Ví dụ 2. Cho hình bình hành $ ABCD$ có hai điểm $ A,B $ cố định, tâm $ I $ của hình bình hành di động trên đường tròn $(C)$. Tìm quỹ tích trung điểm $ M $ của cạnh $BC$.

Hướng dẫn. Gọi $ J $ là trung điểm cạnh $AB$ thì $ J $ cố định và $ \overrightarrow{JB}=\overrightarrow{IM}. $ Do đó $ M $ là ảnh của điểm $ I $ qua phép tịnh tiến theo véc-tơ $ \overrightarrow{JB}. $ Suy ra quỹ tích trung điểm $ M $ của cạnh $BC$ là ảnh của đường tròn $(C)$ qua phép tịnh tiến theo véc-tơ $ \overrightarrow{JB}. $

Ví dụ 3. Cho hình bình hành $ABCD$ có đỉnh hai $ A, B $ cố định và độ dài đoạn $ AC=a $ không đổi. Tìm quỹ tích đỉnh $ D $ khi $ C $ di động.

Hướng dẫn. Xét phép tịnh tiến $ \text{T}_{\overrightarrow{BA}} $ biến điểm $ B\mapsto A, C\mapsto D,A\mapsto A’. $ Mà $ C $ thuộc đường tròn $ (A,a) $ nên $ D $ sẽ thuộc đường tròn $ (A’,a) $ trong đó $ A’ $ là ảnh của $ A $ qua $ \text{T}_{\overrightarrow{BA}} $.

Ví dụ 4. Cho tam giác $ ABC $, hãy dựng đường thẳng $ d$ song song với $ BC $ và cắt $ AB $ ở $ D, $ cắt $ AC $ ở $ E $ sao cho $ AD=CE. $

Hướng dẫn.
- Phân tích. Giả sử dựng được đường thẳng $ d$ thỏa mãn yêu cầu. Xét phép tịnh tiến $ \text{T}_{\overrightarrow{ED}} $ biến điểm $ C $ thành điểm $ H. $ Suy ra $ DH=EC=AD $ hay tam giác $ ADH $ cân tại $ D. $ Như vậy, $ \widehat{DHA}=\widehat{DAH} $ mà $ \widehat{DHA}=\widehat{HAC} $. Dẫn tới $ \widehat{DAH}=\widehat{HAC} $ hay $ AD $ là phân giác góc $ \widehat{BAC} .$
- Cách dựng.
  - Dựng tia phân giác $ Ax $ của $ \widehat{BAC} $ cắt $ BC $ tại $ H. $
  - Qua $ H $ dựng đường thẳng song song với $ AC $ cắt $ AB $ tại $ D $.
  - Qua $ D $ dựng đường thẳng $ d $ song song với $ BC $ cắt $ AC $ tại $ E. $
  - Đường thẳng $ d $ là đường thẳng cần dựng.
- Chứng minh.
- Biện luận. Bài toán có một nghiệm hình.
Ví dụ 5. Cho hai đường thẳng $ a,b $ và đoạn thẳng $ MN $ cố định. Hãy xác định điểm $ H $ trên đường thẳng $ a, $ điểm $ K $ trên đường thẳng $ b $ sao cho tứ giác $ MNHK $ là một hình bình hành.

Hướng dẫn. Xét phép tịnh tiến $ \text{T}_{\overrightarrow{MN}} $ biến đường thẳng $ b $ thành $ b’ $. Khi đó, ta có ba khả năng:
- Nếu $ b’ $ và $ a $ cắt nhau thì giao điểm chính là điểm $ H $ cần tìm. Từ đó dựng được hình bình hành $ MNHK $. Bài toán có một nghiệm hình.
- Nếu $ b’ $ và $ a $ trùng nhau thì có thể lấy $ H $ là một điểm bất kì trên đường thẳng $ a $. Từ đó dựng được hình bình hành $ MNHK $. Bài toán có vô số nghiệm hình.
- Nếu $ b’ $ và $ a $ song song thì không thể dựng được hình bình hành $ MNHK $ thỏa mãn yêu cầu. Bài toán không có nghiệm hình.
Ví dụ 6. Cho tam giác $ ABC $ cân tại $ C. $ Hai điểm $ M,N $ thay đổi $ M\in CA,N\in CB $ sao cho $ CM+CN=CA $. Chứng minh trung điểm $ I $ của $ MN $ chạy trên một đường thẳng cố định.

Hướng dẫn. Chúng ta sẽ đặc biệt hóa để phát hiện ra quỹ tích của điểm $ I $. Khi $ M $ trùng $ C $ thì $ N $ sẽ trùng $ B $ và $ I $ là trung điểm của $ BC $. Tương tự, khi $ M $ trùng $ A $ thì $ N $ trùng $ C $ và $ I $ là trung điểm của $ AC $. Do đó, ta dự đoán quỹ tích sẽ là đường trung bình của tam giác $CAB$.
Để chứng minh điều trên, ta phải chỉ ra $ I $ là trung điểm của đoạn thẳng $ CE $ trong đó $ E $ là một điểm bất kì trong đoạn $ AB $. Thật vậy, xét phép tịnh tiến theo véc-tơ $ \overrightarrow{CM} $ có $ C\mapsto M, N\mapsto E $ sao cho $ CMEN $ là hình bình hành. Chứng minh được điểm $ E $ nằm trong đoạn $ AB $ và $ I $ là trung điểm của $ CE $. Như vậy $ I $ sẽ di động trên đoạn thẳng trung bình của tam giác $ CAB. $

Ví dụ 7. Hai thành phố $ A $ và $ B $ nằm ở hai phía của một dòng sông. Hãy chọn một địa điểm để xây cầu bắc qua sông sao cho quãng đường đi giữa hai thành phố là nhỏ nhất. Giả sử hai bờ sông song song với nhau và cầu nằm vuông góc với các bờ sông.

Hướng dẫn. Tịnh tiến điểm $ B $ theo một véc-tơ có hướng vuông góc với bờ sông và độ dài bằng chiều rộng của sông.

Ví dụ 8. Cho hình vuông $ ABCD, $ lấy $ E $ là điểm trong hình vuông sao cho tam giác $ CDE $ cân tại $ E $ và góc ở đáy là $ 15^\circ $. Chứng minh tam giác $ ABE $ đều.

Hướng dẫn. Xét phép tịnh tiến theo $ \overrightarrow{AD} $ biến điểm $ E $ thành điểm $ F. $ Ta đi chứng minh $ \Delta CDF $ đều.
05/09/2021
Bài tập Các phép toán véc-tơ
Bài tập Các phép toán véc-tơ

Bài tập Các phép toán véc-tơ (phép toán tổng của hai vecto, hiệu của hai vecto, nhân vecto với một số, các quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành) và ứng dụng để chứng minh đẳng thức véc-tơ, xác định điểm thỏa mãn đẳng thức véc-tơ, chứng minh thẳng hàng, song song, tìm tập hợp điểm…

Xem thêm:
- Véc-tơ là gì? Khái niệm Vecto
- Bài tập vecto lớp 10 (Khái niệm vector, hai véc-tơ bằng nhau)
Bài tập Các phép toán véc-tơ

Bài 1. Cho bốn điểm phân biệt $ A, B, C, D. $ Dựng các vectơ tổng $ \overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{CD} $, $ \overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD} $.

Bài 2. Cho hình vuông $ ABCD $ có cạnh bằng 1. Tính độ dài các vectơ: $$ \vec{u}=\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{AD}, \vec{v}= \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}.$$

Bài 3. Cho hình vuông $ABCD$ tâm $O$ có cạnh bằng $a$. Hãy tính $$|\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{CB}|;|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}|;|\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{DA}|.$$
Đáp số. $\frac{a\sqrt{2}}{2};2a;a\sqrt{2}$.

Bài tập chứng minh đẳng thức vecto

Bài 1. Cho bốn điểm $ A, B, C, D $. Chứng minh rằng: $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}$.

Bài 2. Cho năm điểm $ A, B, C, D, E $. Chứng minh rằng: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{EA}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{ED}$.

Bài 3. Chứng minh rằng với mọi điểm $ A,B,C,D,E,F,G $ tùy ý ta luôn có:
- $ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB} $
- $ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{EA}=\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{CB} $
- $ \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CE} $
- $ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{GA}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{GF} $
Bài 4. Gọi $ O $ là tâm của hình bình hành $ ABCD $. Chứng minh rằng:
- $\overrightarrow{DO}+\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{AB}$
- $\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{BC}$
- $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}$
- $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}$ với điểm $ M $ tùy ý.
Bài 5. Cho tam giác $ABC$. Gọi $M,N$ và $P$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB,AC$ và $BC$. Chứng minh rằng với điểm $O$ bất kỳ ta có
$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{OP}.$

Bài 6. Cho tam giác $ \Delta ABC $ có $A’,B’,C’$ là trung điểm các cạnh $ BC,CA,AB. $ Chứng minh $ \overrightarrow{AA’}+\overrightarrow{BB’}+\overrightarrow{CC’}=\vec{0}. $

Bài 7. Cho tứ giác $ ABCD. $ Gọi $ M, N $ lần lượt là trung điểm của các cạnh $ AB, CD. $ Điểm $ K $ là điểm đối xứng của $ M $ qua $ N. $ Chứng minh $$ \overrightarrow{MK}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}= \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}. $$

Bài 8. Cho tam giác $ ABC $, dựng bên ngoài tam giác các hình bình hành $ ABIJ,BCPQ,CARS. $ Chứng minh rằng $ \overrightarrow{RJ}+\overrightarrow{IQ}+\overrightarrow{PS}=\vec{0}$.

Bài 9. Cho tứ giác lồi $ ABCD. $ Gọi $ E, F $ lần lượt là trung điểm của $ AB $ và $ CD. $
- Chứng minh $ \overrightarrow{ AC}+\overrightarrow{ BD}=\overrightarrow{ AD}+\overrightarrow{{BC}}=2 \overrightarrow{ EF} $.
- Gọi $ G $ là trung điểm của $ EF. $ Chứng minh rằng $ \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{ GD}=2 \overrightarrow{EF}$.
Bài 10. Cho bốn điểm $A,B,C,D$. Gọi $ M,N $ là trung điểm của $ AD,BC $ và $ O $ là điểm trên đoạn $ MN $ sao cho $ OM=2ON. $ Chứng minh rằng $$ \overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\vec{0}. $$

Bài 11. Cho hình bình hành $ABCD$. Gọi $O$ là một điểm bất kỳ trên đường chéo $AC$. Qua $O$ kẻ các đường thẳng song song với các cạnh của hình bình hành. Các đường thẳng này cắt $AB$ và $DC$ lần lượt tại $M$ và $N$, cắt $AD$ và $BC$ lần lượt tại $E$ và $F$. Chứng minh rằng:
- $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}$.
- $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{FN}$.
Bài 12. Gọi $ G,G’ $ là trọng tâm hai tam giác $ ABC $ và $ A’B’C’ $. Chứng minh rằng $$ \overrightarrow{AA’}+\overrightarrow{BB’}+\overrightarrow{CC’}=3\overrightarrow{GG’}. $$ Từ đó suy ra điều kiện để hai tam giác có cùng trọng tâm.

Bài 13. Cho lục giác $ ABCDEF $ có $ M, N, P, Q, R, S $ lần lượt là trung điểm các cạnh $ AB, BC, CD, DE, EF $ và $ FA. $ Chứng minh rằng hai tam giác $ MPR $ và $ NQS $ có cùng trọng tâm.

Hướng dẫn. Giả sử điểm $G$ là trọng tâm tam giác $ MPR $ thì
\begin{align*}
\overrightarrow{GN}+\overrightarrow{GQ}+\overrightarrow{GS}&=\frac{1}{2}(\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC})+\frac{1}{2}(\overrightarrow{GD}+\overrightarrow{GE})+\frac{1}{2}(\overrightarrow{GF}+\overrightarrow{GA}) \\
&=\frac{1}{2}(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB})+\frac{1}{2}(\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD})+\frac{1}{2}(\overrightarrow{GE}+\overrightarrow{GF})\\
&=\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{GP}+\overrightarrow{GR}\\
&=\vec{0}.
\end{align*}

Bài 14. Cho tứ giác $ABCD$, biết rằng tồn tại điểm $ O $ sao cho các véc-tơ $ \overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$, $\overrightarrow{OC}$, $\overrightarrow{OD} $ có độ dài bằng nhau và $ \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\vec{0}. $ Chứng minh rằng $ABCD$ là hình chữ nhật.

Hướng dẫn. Gọi $ E,F,G,H $ là trung điểm các cạnh. Từ $ \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\vec{0} $ suy ra $ O $ là trung điểm của $ EG $ và $ HF. $ Mặt khác, các véc-tơ $ \overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC},\overrightarrow{OD} $ có độ dài bằng nhau nên $ OA=OB=OC=OD. $ Từ đó suy ra tứ giác $ABCD$ là hình chữ nhật.

Bài 15. Cho $ \Delta ABC $ có $ M $ là trung điểm của $ BC,G$ là trọng tâm, $ H $ là trực tâm, $ O $ là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác. Chứng minh:
- $ \overrightarrow{ AH}=2 \overrightarrow{ OM} $,
- $ \overrightarrow{ OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{ OC}=\overrightarrow{ OH}=3\overrightarrow{OG} $,
- $ \overrightarrow{ HA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{ HC}=2 \overrightarrow{ HO}=3\overrightarrow{HG} $,
- $ \overrightarrow{OH}=2\overrightarrow{OI} $.
Hướng dẫn. Gọi $A’$ đối xứng với $ A $ qua $ O $ thì $ BHCA’ $ là hình bình hành.

Bài 16. Cho tam giác $ ABC $ có độ dài ba cạnh là $ a,b,c $. Gọi $ I $ là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác. Chứng minh $ a \overrightarrow{ IA}+b\overrightarrow{ IB}+c\overrightarrow{ IC}=\vec{0} $.

Hướng dẫn. Gọi $ B_1,C_1 $ là chân hai đường phân giác kẻ từ $ B,C. $ Dựng hình bình hành $AB_2IC_2$ thì $ \overrightarrow{ IA}=\overrightarrow{ IB_2}+\overrightarrow{ IC_2} $. Lại có $ \frac{IB_2}{IB}=\frac{AC_2}{IB}=\frac{AC_1}{BC_1}=\frac{b}{a}, $ nên $ \overrightarrow{ IB_2}=-\frac{b}{a}\overrightarrow{IB}. $ Tương tự có $ \overrightarrow{ IC_2}=-\frac{c}{a}\overrightarrow{IC}. $ Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

Bài 17. Cho tam giác $ ABC $ có $ H $ là trực tâm. Chứng minh rằng
$$ \tan A.\overrightarrow{HA}+\tan B.\overrightarrow{HB}+\tan C.\overrightarrow{HC}=\vec{0}.$$ Hướng dẫn. Xét trường hợp tam giác $ ABC $ nhọn. Dựng hình bình hành $ HA’CB’ $ thì có $ \overrightarrow{HC}=\overrightarrow{HA’}+\overrightarrow{HB’}=\alpha.\overrightarrow{HA}+\beta.\overrightarrow{HB}, $ trong đó $$ \alpha=-\frac{HA’}{HA}=-\frac{B_1C}{B_1A}=-\frac{BB_1.\cot C}{BB_1\cot A}=-\frac{\tan A}{\tan C},$$ và $$\beta=…=-\frac{\tan B}{\tan C}. $$ Suy ra $$ \overrightarrow{HC}=-\frac{\tan A}{\tan C}\overrightarrow{HA}-\frac{\tan B}{\tan C}\overrightarrow{HB} $$ hay chính là $\tan A.\overrightarrow{HA}+\tan B.\overrightarrow{HB}+\tan C.\overrightarrow{HC}=\vec{0}.$

Bài 18*. Cho tam giác $ ABC $ đều có $M $ là một điểm bất kì trong tam giác. Gọi $ D, E, F $ lần lượt là điểm đối xứng của $ M $ qua các cạnh $ BC,AC,AB. $ Chứng minh rằng hai tam giác $ ABC $ và $ DEF $ có cùng trọng tâm.

Bài 19. Cho tam giác $ ABC $ có $ G $ là trọng tâm và $ H $ là điểm đối xứng của $B$ qua $ G. $
- Chứng minh $ \overrightarrow{AH}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CH}=-\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}) $.
- Gọi $ M $ là trung điểm của $BC$, chứng minh rằng $ \overrightarrow{MH}=\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}-\frac{5}{6}\overrightarrow{AB}. $
Bài 20*. Cho tam giác $ ABC $ đều tâm $ O.$ Giả sử $M $ là một điểm bất kì trong tam giác. Gọi $ D, E, F $ lần lượt là hình chiếu của $ M $ trên $ BC, AC $ và $ AB. $ Chứng minh rằng: $ \overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}=\frac{3}{2}\overrightarrow{MO}. $

Hướng dẫn. Qua $M$ kẻ các đường thẳng song song $ B_2C_2\parallel BC, A_2C_1\parallel AC, A_1B_1\parallel AB $ thì các tam giác $ MA_1A_2,MB_1B_2,MC_1C_2 $ là các tam giác đều.

Có \begin{align} 2(\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF})& =\overrightarrow{MA_1}+\overrightarrow{MA_2}+\overrightarrow{MB_1}+\overrightarrow{MB_2}+\overrightarrow{MC_1}+\overrightarrow{MC_2}\\
&=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MO}. \end{align}

Bài tập phân tích véc-tơ (Biểu diễn vecto theo 2 vecto không cùng phương)

Bài 1. Cho tam giác $ABC$ có trọng tâm $G$. Gọi $D,E,F$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC,CA,AB$ và $I$ là giao điểm của $AD$ và $EF$. Đặt $\vec{u}=\overrightarrow{AE},\vec{v}=\overrightarrow{AF}$. Hãy phân tích các véc-tơ $\overrightarrow{AI},\overrightarrow{AG},\overrightarrow{DE},\overrightarrow{DC}$ theo hai véc-tơ $\vec{u},\vec{v}$.

Đáp số. $\overrightarrow{AI}=\frac{1}{2}\vec{u}+\frac{1}{2}\vec{v};\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\vec{u}+\frac{2}{3}\vec{v};\overrightarrow{DE}=-\vec{v};\overrightarrow{DC}=\vec{u}-\vec{v}$.

Bài 2. Cho hình bình hành $ABCD$ có tâm $ O. $ Đặt $ \overrightarrow{AB}=\vec{a}, \overrightarrow{AD}=\vec{b}. $ Hãy tính các véc-tơ sau theo $ \vec{a}, \vec{b} $:
- $ \overrightarrow{AI} $ với $ I $ là trung điểm của $ BO. $
- $ \overrightarrow{BG} $ với $ G $ là trọng tâm tam giác $ OCD. $
Đáp số. $ \overrightarrow{AI}=\frac{3}{4}\vec{a}+\frac{1}{4}\vec{b} $, $ \overrightarrow{BG}=-\frac{1}{2}\vec{a}+\frac{5}{6}\vec{b}. $

Bài 3. Cho tam giác $ ABC $ có trọng tâm $ G. $ Cho các điểm $ D, E, F $ lần lượt là trung điểm của các cạnh $ BC, CA, AB $ và $ I $ là giao điểm của $ AD $ và $ EF. $ Đặt $\vec{u}=\overrightarrow{AE},\vec{v}=\overrightarrow{AF}$. Hãy phân tích các véc-tơ $\overrightarrow{AI},\overrightarrow{AG},\overrightarrow{DE},\overrightarrow{DC}$ theo $\vec{u},\vec{v}$.

Hướng dẫn. Ta có \begin{align*}
\overrightarrow{AI}&=\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AF})=\frac{1}{2}(\vec{u}+\frac{1}{2}\vec{v})\\
\overrightarrow{AG}&=\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}=\frac{2}{3}\vec{u}+\frac{2}{3}\vec{v}\\
\overrightarrow{DE}&=\overrightarrow{FA}=-\overrightarrow{AF}=0.\vec{u}+(-1)\vec{v}\\
\overrightarrow{DC}&=\overrightarrow{FE}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AF}=\vec{u}-\vec{v}
\end{align*}

Bài 4. Cho lục giác đều $ABCDEF$ có tâm $O$ và cạnh $a$.
- Phân tích $\overrightarrow{AD}$ theo hai véc-tơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AF}$.
- Tính độ dài của véc-tơ $\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$ theo $a$.
Đáp số. a) $\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AF}$; b) $\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Bài 5. Cho $\Delta ABC$ có $M$ là trung điểm của $BC$. Phân tích $\overrightarrow{AM}$ theo $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$.

Đáp số. $ \overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}.$

Bài 6. Cho $\Delta ABC$. Gọi $M$ là trung điểm của $AB$ và $N$ là một điểm trên cạnh $AC$ sao cho $NA=2NC$. Gọi $K$ là trung điểm của $MN$. Phân tích $\overrightarrow{AK}$ theo $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$.

Đáp số. $ \overrightarrow{AK}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}.$

Bài 7. Cho tam giác $ ABC $ có điểm $I$ trên cạnh $BC$ sao cho $ 2CI=3BI, J $ trên cạnh $BC$ kéo dài sao cho $ 5JB=2JC. $
- Tính $ \overrightarrow{AI},\overrightarrow{AJ} $ theo $ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}. $
- Gọi điểm $G$ là trọng tâm tam giác $ ABC $, tính $ \overrightarrow{AG} $ theo $ \overrightarrow{AI},\overrightarrow{AJ}. $
Đáp số.
- $ \overrightarrow{AI}=\frac{3}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AJ}=\frac{5}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}. $
- $ \overrightarrow{AG}=\frac{35}{48}\overrightarrow{AI}-\frac{1}{16}\overrightarrow{AJ}. $
Xác định điểm thỏa mãn đẳng thức vecto

Bài 1. Cho hai điểm phân biệt $A$ và $B$. Tìm điểm $K$ sao cho $3\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}=\overrightarrow{0}.$

Bài 2. Cho tam giác $ABC$, hãy dựng các điểm $ I,J,K$ thỏa mãn: $ \overrightarrow{IA}-3\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{AC} $, $ \overrightarrow{JA}-\overrightarrow{JB}+2\overrightarrow{JC}=\vec{0} $, $ \overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}=2\overrightarrow{CB} $.

Bài 3. Cho tam giác $ABC$, hãy dựng các điểm $ I,J,K,L$ thỏa mãn:
- $ \overrightarrow{IA}-\overrightarrow{IB}+2\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{AB} $,
- $ \overrightarrow{JA}+\overrightarrow{JB}+\overrightarrow{JC}=\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AC} $,
- $ \overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KB}+2\overrightarrow{KC}=\vec{0} $,
- $ \overrightarrow{LA}-2\overrightarrow{LB}+\overrightarrow{LC}=\vec{0} $.
Bài 4. Cho hình vuông $ABCD$ có cạnh bằng $ a,M $ là một điểm bất kì. Chứng minh rằng các véc-tơ sau đây không đổi. Tính mô-đun của chúng theo $ a. $
- $ 2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}-2\overrightarrow{MD} $,
- $ 3\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-2\overrightarrow{MC} $,
- $ 4\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MD} $.
Đáp số. $3a,a\sqrt{13},2a\sqrt{2} $

Bài 5. Cho tam giác $ ABC $, tìm tập hợp những điểm $M$ sao cho:
- $ |\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}|=\frac{3}{2}|\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}| $,
- $ |\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{BC}|=|\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}| $,
- $ |4\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}|=|2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}| $.
Hướng dẫn.
- Biến đổi thành $ |\overrightarrow{MG}|=|\overrightarrow{MI}| $ với $ G $ là trọng tâm tam giác $ ABC $ và $ I $ là trung điểm $ BC. $
- $ M $ thuộc đường tròn $ (D,AB) $ với $ D $ là đỉnh hình bình hành $ABCD$.
- Biến đổi thành $ |6\overrightarrow{MK}|=|\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CA}|=2|\overrightarrow{EA}| $ trong đó $ E $ là trung điểm $BC$ và $ K $ là điểm thỏa mãn $ 4\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{KC}=\vec{0}. $
Chứng minh song song thẳng hàng bằng vecto

Bài 1. Cho $\Delta ABC$. Hai điểm $M,N$ được xác định bởi $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{0};\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{NA}-3\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0}$. Chứng minh $MN\parallel AC$.

Hướng dẫn. Chỉ ra $\overrightarrow{MN}=2\overrightarrow{AC}$.

Bài 2. Cho hình bình hành $ ABCD. $ Trên đoạn $ BC $ lấy điểm $ H, $ trên đoạn $ BD $ lấy điểm $ K $ sao cho: $ BH=CH, DK=2BK. $ Chứng minh $ A,K,H $ thẳng hàng.

Hướng dẫn. Phân tích véc-tơ $ \overrightarrow{AK},\overrightarrow{AH} $ theo các véc-tơ $ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}. $

Bài 3. Cho hình bình hành $ ABCD. $ Trên $ BC $ lấy điểm $ H, $ trên $ BD $ lấy điểm $ K $ sao cho: $ \overrightarrow{BH}=\frac{1}{5}\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BK}=\frac{1}{6}\overrightarrow{BD}. $ Chứng minh $ A,K,H $ thẳng hàng.

Hướng dẫn. Phân tích véc-tơ $ \overrightarrow{AK},\overrightarrow{AH} $ theo các véc-tơ $ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}. $

Bài 4. Cho tam giác $ ABC $ có $ M,N,P $ thỏa mãn $ \overrightarrow{MB}=3\overrightarrow{MC},\overrightarrow{NA}+3\overrightarrow{NC}=\vec{0},\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}=\vec{0}. $ Tính $ \overrightarrow{MP},\overrightarrow{MN} $ theo $ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}. $ Suy ra $ M,N,P $ thẳng hàng.
Hướng dẫn. Có $ \overrightarrow{MP}=\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AM}, \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}. $ Ta đi tính $ \overrightarrow{AP},\overrightarrow{AN},\overrightarrow{AM} $ theo $ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} $ được $ \overrightarrow{AP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AM}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}. $ Từ đó phân tích $ \overrightarrow{MP},\overrightarrow{MN} $ theo $ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} $ và suy ra $ \overrightarrow{MP}=2\overrightarrow{MN}, $ do đó $ M,N,P $ thẳng hàng.

Bài 5. Cho tam giác $ ABC $ và hai điểm $ I,J $ thỏa mãn $ \overrightarrow{IC}-\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IA}=\vec{0}, \overrightarrow{JA}+\overrightarrow{JB}-3\overrightarrow{JC}=\vec{0}. $ Chứng minh $ I,G,B $ thẳng hàng với $ G $ là trọng tâm tam giác $ ABC $. Chứng minh $ IJ $ cùng phương $ AC. $

Hướng dẫn. Từ $ \overrightarrow{IC}-\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IA}=\vec{0} $ suy ra $ \overrightarrow{IG}=2\overrightarrow{GB}, $ do đó $ I,G,B $ thẳng hàng.
Ta có $ \overrightarrow{IC}-\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IA}=\vec{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{IA}=\vec{0}. $
Mặt khác \begin{align} \overrightarrow{JA}+\overrightarrow{JB}-3\overrightarrow{JC}&=\vec{0} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow{JA}+(\overrightarrow{JA}+\overrightarrow{AB})-3(\overrightarrow{JA}+\overrightarrow{AC})&=\vec{0} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{JA}-3\overrightarrow{AC}&=\vec{0}.\end{align} Cộng từng vế hai đẳng thức được $ \overrightarrow{IJ}=2\overrightarrow{AC}, $ do đó $ IJ $ cùng phương $ AC. $

Bài 6. Cho tam giác $ ABC $ có $ M $ là điểm di động.
- Dựng $ \overrightarrow{MN}=2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}. $ Chứng minh đường thẳng $ MN $ luôn đi qua một điểm cố định.
- Gọi $ P $ là trung điểm $ CN, $ chứng minh rằng đường thẳng $ MP $ luôn đi qua một điểm cố định.
- Kéo dài $ AB $ một đoạn $ BE=AB, $ gọi $ F $ là trung điểm $AC$, vẽ hình bình hành $ EAFG. $ Đường thẳng $ AG $ cắt $BC$ tại $ K. $ Tính tỉ số $ KB:KC. $
Hướng dẫn.
- Gọi $ I $ là điểm xác định bởi $ 2\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IC} $ thì $ I $ cố định. Khi đó $ \overrightarrow{MN}= 2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}=4\overrightarrow{MI}.$ Suy ra $ M,N,I $ thẳng hàng hay $ MN $ luôn đi qua điểm $ I $ cố định.
- Vì $ P $ là trung điểm $ CN $ nên $ \overrightarrow{MP}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{MC})=\frac{1}{2}(2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}). $ Gọi $ J $ là điểm xác định bởi $ 2\overrightarrow{JA}+3\overrightarrow{JB}=\vec{0} $ thì $ J $ cố định. Khi đó $ \overrightarrow{MP}=…=\frac{5}{2}\overrightarrow{MJ} $ hay $ MP $ luôn đi qua điểm $ J $ cố định.
- Để xác định giao điểm $ K $ của $ AG $ và $BC$ ta tính $ \overrightarrow{AG} $ theo $ \overrightarrow{AB} $ và $ \overrightarrow{AC}. $
  Có $ \overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}. $ Do đó $ AG $ cắt $BC$ tại $ K$ mà $ 2\overrightarrow{KB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{KC} $ hay $ KB:KC=1:4. $
Bài 7. Cho $\Delta ABC$. Dựng $\overrightarrow{AB’}=\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{CA’}=\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{BC’}=\overrightarrow{CA}$. Chứng minh $A$ là trung điểm của $B’C’$. Chứng minh $AA’,BB’,CC’$ đồng quy.

Bài 8. Cho $\Delta ABC$ có điểm $I$ trên cạnh $AC$ sao cho $CI=\frac{1}{4}CA$, $J$ là điểm thỏa $\overrightarrow{BJ}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$.
- Chứng minh $\overrightarrow{BI}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$.
- Chứng minh $B,I,J$ thẳng hàng. Hãy dựng điểm $J$ thỏa mãn điều kiện đề bài.
Bài 9. Cho tam giác $ ABC $ có điểm $D$ định bởi $ \overrightarrow{BD}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BC} $ và $I$ là trung điểm $AD$. Gọi $ M $ là điểm thỏa mãn $ \overrightarrow{AM}=x\overrightarrow{AC} $ với $ x $ là số thực.
- Tính $ \overrightarrow{BI} $ theo $ \overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}. $
- Tính $ \overrightarrow{BM} $ theo $ \overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}. $
- Tìm $ x $ để ba điểm $ B,I,M $ thẳng hàng.
Hướng dẫn.
- $ I $ là trung điểm $AD$ nên có $ \overrightarrow{BI}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BD})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{BC})=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}. $
- Ta có \begin{align} \overrightarrow{AM}&=x\overrightarrow{AC} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow{BM}-\overrightarrow{BA}&=x(\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}) \\ \Leftrightarrow \overrightarrow{BM}& =(1-x)\overrightarrow{BA}+x\overrightarrow{BC}. \end{align}
- Ba điểm $ B,I,M $ thẳng hàng $ \Leftrightarrow $ tồn tại số $ k $ sao cho \begin{align} \overrightarrow{BM}&=k\overrightarrow{BI} \\ \Leftrightarrow (1-x)\overrightarrow{BA}+x\overrightarrow{BC}&=\frac{k}{2}\overrightarrow{BA}+\frac{k}{3}\overrightarrow{BC} \\ \Leftrightarrow 2(1-x)&= 3x \\ \Leftrightarrow x&=\frac{2}{5}.\end{align}
Bài 10. Cho tam giác $ ABC $. Xác định điểm $ D $ thỏa mãn $ \overrightarrow{DA}+3\overrightarrow{DB}=\vec{0}. $ Tìm tập hợp điểm $M$ thỏa mãn $ |\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}|=8. $

Hướng dẫn.
Có $ \overrightarrow{DA}+3\overrightarrow{DB}=\vec{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{DA}=-3\overrightarrow{DB} $ nên điểm $ D $ chia đoạn $AB$ theo tỉ số $ -3. $

Từ \begin{align} |\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}|&=8 \\ \Leftrightarrow |\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DA}+3(\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DB})|&=8 \\ \Leftrightarrow |4\overrightarrow{MD}|&=8 \end{align} suy ra $ DM=2. $

Vậy tập hợp các điểm $ M $ là đường tròn tâm $ D, $ bán kính bằng 2.

Bài 11. Cho tam giác $ ABC $ và điểm $M$ tùy ý. Xác định điểm $D$ thỏa mãn $ \overrightarrow{DB}-3\overrightarrow{DC}=\vec{0}. $ Chứng minh rằng đường thẳng $ MN $ đi qua điểm cố định biết $ \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MB}-3\overrightarrow{MC}. $

Hướng dẫn.
Có $ \overrightarrow{DB}-3\overrightarrow{DC}=\vec{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{DB}=3\overrightarrow{DC}.$ Vậy điểm $ D $ chia đoạn $ BC $ theo tỉ số 3.
Ta có $ \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MB}-3\overrightarrow{MC} \Leftrightarrow \overrightarrow{MN}=-2\overrightarrow{MD}. $ Vậy đường thẳng $ MN $ đi qua điểm $D$ cố định.

Bài 12. Cho tam giác $ ABC $ có $ D $ là trung điểm của $ BC, N $ là điểm đối xứng của $ C $ qua $ A $ và
$ M $ là điểm thỏa mãn $ \overrightarrow{AM}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}. $ Tìm điểm $ K $ trên đường thẳng $ MN $ sao cho ba điểm $ A, D , K $ thẳng hàng.

Hướng dẫn.

Ta có $ \overrightarrow{AM}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AN}=-\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}). $ Vì $ K\in MN $ nên đặt $ \overrightarrow{KM}=x\overrightarrow{KN} \Leftrightarrow \overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AK}=x(\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AK})$.

Do đó $ \overrightarrow{AK}=\frac{x\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM} }{x-1}=\frac{-x\overrightarrow{AC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB} }{x-1}=\frac{x}{1-x}\overrightarrow{AC}+\frac{1}{2(1-x)}\overrightarrow{AB}. $ Mà $ A,D,K $ thẳng hàng nên tìm được $ x=\frac{1}{2}. $

Vậy $ \overrightarrow{KM}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{KN}. $
27/08/2021
Bài tập vecto lớp 10 (Khái niệm vector, hai véc-tơ bằng nhau)
Bài tập vecto Lớp 10

Bài viết này giới thiệu phần bài tập vecto lớp 10 với các dạng bài về Khái niệm vector, các véc-tơ cùng phương, độ dài véc-tơ, hai véc-tơ bằng nhau. Bài tập về các phép toán vecto xin mời các em xem tại đây: Bài tập Các phép toán véc-tơ

Bài 1. Cho ba điểm $ A, B, C $ không thẳng hàng. Có thể xác định được bao nhiêu véc tơ khác nhau và khác $\overrightarrow{0}$, mà các điểm mút là hai trong ba điểm đó.

Bài 2. Cho véc tơ $\overrightarrow{AB}$ khác $\overrightarrow{0}$. Hãy vẽ 5 số véc tơ bằng véc tơ $\overrightarrow{AB}$.

Bài 3. Cho tam giác đều $ ABC $. Các đẳng thức: $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}$, $| \overrightarrow{AB} |=| \overrightarrow{AC} |=| \overrightarrow{BC} |$ đúng hay sai? Vì sao?

Bài 4. Cho ba điểm $ A, B, C $ phân biệt, chứng minh rằng nếu $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}$ thì ba điểm đó thẳng hàng.

Bài 5. Cho nửa lục giác đều $ ABCD $ nội tiếp trong đường tròn tâm $ O $ đường kính $ AD. $ Chỉ ra các véc-tơ bằng với $ \overrightarrow{BC}. $

Hướng dẫn. Tứ giác $ ABOA $ là hình thoi nên $ \overrightarrow{AO}=\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OD}. $

Bài 5. Cho hình vuông $ABCD$ tâm $O$. Liệt kê tất cả các véc-tơ bằng nhau (khác véc-tơ $\overrightarrow{0}$) nhận đỉnh và tâm của hình vuông làm điểm đầu và điểm cuối.

Bài 6. Cho hình bình hành $ ABCD $ và $ E $ là điểm đối xứng của $ C $ qua $ D. $ Chứng tỏ $ \overrightarrow{AE}=\overrightarrow{BD}. $

Hướng dẫn. Chỉ ra tứ giác $ ABDE $ là hình bình hành.

Bài 7. Cho tứ giác $ABCD$. Gọi $M,N,P$ và $Q$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB,BC,CD$ và $DA$. Chứng minh: $\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{MQ}$ và $\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{NM}$.

Bài 8. Cho tam giác $ABC$. Các điểm $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB$ và $AC$. So sánh độ dài của hai véc-tơ $\overrightarrow{NM}$ và $\overrightarrow{BC}$. Vì sao hai véc-tơ đó cùng phương.

Bài 9. Cho điểm $ A $ cố định. Tìm tập hợp các điểm $ M $ sao cho:
- $ |\overrightarrow{AM}|=\SI{4}{cm} $
- $ \overrightarrow{AM} $ cùng phương với $ \vec{a} $ cho trước.
Hướng dẫn. Điểm $ A $ cố định và độ dài $ AM = \SI{4}{cm}. $ Vậy tập hợp các điểm $ M $ là đường tròn tâm $ A $ bán kính $ \SI{4}{cm}. $

$ \overrightarrow{AM} $ cùng phương với $ \vec{a} $ nên $ M $ chạy trên đường thẳng qua $ A $ và song song với giá của véc-tơ $ \vec{a}. $

Bài 10. Cho 4 điểm phân biệt $A,B,C,D$. Chứng minh rằng nếu $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ thì $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$.

Bài 11. Xác định vị trí tương đối của 3 điểm phân biệt $A,B$ và $C$ trong các trường hợp sau:
- $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ cùng hướng,
- $|\overrightarrow{AB}|>|\overrightarrow{AC}|$.
- $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ cùng hướng.
Bài 12. Cho hình bình hành $ABCD$. Dựng $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{BA}$, $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{DA}$,$\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{DC}$, $\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{BC}$.

Chứng minh $\overrightarrow{AQ}=\overrightarrow{0}$.

Bài 13. Cho tam giác $ABC$ có $D,E,F$ lần lượt là trung điểm của $BC,CA,AB$. Chứng minh: $\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{CD}$

Bài 14. Cho hình bình hành $ABCD$. Hai điểm $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $BC$ và $AD$. Điểm $I$ là giao điểm của $AM$ và $BN$, $K$ là giao điểm của $DM$ và $CN$. Chứng minh: $$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{NC},\overrightarrow{DK}=\overrightarrow{NI}$$

Bài 15. Cho tam giác $ABC$ có $H$ là trực tâm và $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp. Gọi $B’$ là điểm đối xứng với $B$ qua $O$, $ K $ là trung điểm của $ AH, I $ là trung điểm của $ BC $. Chứng minh $\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{B’C}; \overrightarrow{OK}=\overrightarrow{IH}$

Bài 16. Cho tam giác $ ABC $ và điểm $ M $ ở trong tam giác. Gọi $A’,B’,C’$ lần lượt là trung điểm của $ BC,CA , AB $ và $ N, P, Q $ lần lượt là điểm đối xứng của $ M $ qua $A’,B’,C’$. Chứng minh:
- $ \overrightarrow{AQ}=\overrightarrow{CN}$,
- $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{PC}, $
- Ba đường thẳng $ AN,BP,CQ $ đồng quy.
Hướng dẫn. Tứ giác $ AQBM,MBNC $ là hình bình hành vì có hai đường chéo giao nhau tại trung điểm nên ta có $ \overrightarrow{AQ}=\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{CN}. $ Và do đó $ ACNQ $ là hình bình hành. Chứng minh tương tự có $ \overrightarrow{QP}=\overrightarrow{PC} $ và $ BCPQ $ cũng là hình bình hành. Suy ra ba đường thẳng $ AN,BP,CQ $ đồng quy.
27/08/2021
Bài tập góc và khoảng cách trong không gian

Bài tập góc và khoảng cách trong không gian

Sau khi đã thành thạo cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong không gian thì các em học sinh có thể luyện tập các Bài tập góc và khoảng cách trong không gian dưới đây. Nếu bài nào có thắc mắc, các em hãy để lại comment để chúng tôi giải đáp.

Câu 1. Cho hình lập phương $ABCD. A’B’C’D’$. Tính góc giữa hai đường thẳng $AD$ và $B’C$.

Câu 2. Cho hình lập phương $ABCD. A’B’C’D’$. Tính góc giữa hai đường thẳng $\left(A’C’, B’A\right)$.

Câu 3. Cho lăng trụ tam giác đều $ABC. A’B’C’$ có tất cả các cạnh đều bằng $a$. Cosin của góc tạo bởi hai đường thẳng $BC$ và $AB’$ là bao nhiêu?

Câu 4. Cho hình lăng trụ đều $ABC.A’B’C’$ có cạnh đáy bằng 1, cạnh bên bằng $2.$ Gọi $C_1$ là trung điểm của $CC’$. Tính côsin của góc giữa hai đường thẳng $BC_1$ và $A’B’.$

Câu 5. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh $a, \widehat{ABC}=60^{\circ}, SA=a$ và $SA \perp(ABCD).$ Gọi $M$ là trung điểm của $SB$. Tính góc giữa hai đường thẳng $SA$ và $CM$.

Câu 6. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$, cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy, $SA=a$. Gọi $M$ là trung điểm của $SB$. Tính góc giữa $AM$ và $BD$.

Câu 7. Cho tứ diện $ABCD$ có $AB$ vuông góc với $(BCD)$. Biết tam giác $BCD$ vuông tại $C$ và $AB=\dfrac{a \sqrt{6}}{2}$, $AC=a \sqrt{2}, CD=a.$ Gọi $E$ là trung điểm của $AD$. Tính góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $CE$.

Câu 8. Cho hình chóp $S.ABC$ có cách cạnh $SA, SB, SC$ đôi một vuông góc và $SA=SB=SC$. Gọi $I$ là trung điểm của $AB$. Tính góc giữa hai đường thẳng $SI$ và $BC$.

Câu 9. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB=2 a$. Các cạnh bên của hình chóp đều bằng $a \sqrt{2}$. Tính góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $SC$.

Câu 10. Cho hình chóp $S.ABCD$ có tất cả các cạnh đều bằng $a$. Gọi $I, J$ lần lượt là trung điểm của $SC, BC$. Tính góc giữa $IJ$ và $CD$.

Câu 11. Cho tứ diện đều $ABCD$. Tính góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $CD$.

Câu 12. Cho tứ diện đều $ABCD$ cạnh $a$. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $CI$, với $I$ là trung điểm của $AD$.

Câu 13. Cho lăng trụ đều $ABC \cdot A’B’C’$ có tất cả các cạnh bằng $a$. Tính góc giữa đường thẳng $AB’$ và mặtg h ẳ n g\, $\left(A’B’C’\right)$.

Câu 14. Cho hình lăng trụ đều $ABC \cdot A’B’C’$ có tất cả các cạnh bằng $a$. Gọi $M$ là trung điểm $AB$ và $\alpha$ là góc tạo bởi đường thẳng $MC’$ và mặt phẳng $(ABC)$. Tính $\tan \alpha$.

Câu 15. Cho hình chóp $S.ABCD$ có $ABCD$ là hình vuông cạnh $a, SA=a \sqrt{3}, SA \perp(ABCD)$. Tính góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $(ABCD)$.

Câu 16. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB=2 a, AD=a. SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy. $SA=a \sqrt{3}$. Tính cosin của góc giữa $SC$ và mặt đáy.

Câu 17. Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABC), SA=a \sqrt{2}$, tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ và $AC=2 a$. Tính góc giữa $SB$ và $(ABC)$.

Câu 18. Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác đều, $AC=a,, SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA=a \dfrac{\sqrt{3}}{2}$. Gọi $M$ là trung điểm $BC$, tính góc giữa đường thẳng $SM$ và mặt phẳng đáy.

Câu 19. Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có tất cả các cạnh bằng $a$. Gọi $\alpha$ là góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(ABCD)$. Tính $\sin \alpha$.

Câu 20. Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có tất cả các cạnh bằng $a$. Gọi $M$ là trung điểm của $SD$. Tính tang của góc giữa đường thẳng $BM$ và mặt phẳng $(ABCD)$.

Câu 21. Cho tứ diện đều $ABCD$. Tính cosin góc giữa $AB$ và mặt phẳng $(BCD)$.

Câu 22. Cho hình chóp $SABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B, AB=a, AC=2 a$. Tam giác $SAB$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính tan của góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(ABC)$.

Câu 23. Cho hình chóp $S \cdot ABC$ có $SB=a$, đáy $ABC$ là tam giác vuông tai $A$ có $BC=a$. Hình chiếu vuông góc của $S$ lên $(ABC)$ trùng với trung điểm $H$ của $BC$. Tính góc giữa $SA$ và $(ABC)$.

Câu 24. Hình lăng trụ tam giác $ABC \cdot A’B’C’$ có đáy là tam giác đều cạnh $a, AA’=a \sqrt{6}$. Hình chiếu vuông góc $H$ của $A$ lên mặt phẳng $\left(A’B’C’\right)$ trùng với trọng tâm của tam giác $A’B’C’$. Tính cosin góc giữa cạnh bên và mặt đáy.

Câu 25. Cho lăng trụ $ABCD \cdot A’B’C’D’$ có đáy là hình thoi cạnh $a, \widehat{BAD}=60^{\circ}$. Hình chiếu vuông góc của $B’$ xuống mặt đáy trùng với giao điểm hai đường chéo của đáy và cạnh bên $BB’=a$. Tính góc giữa cạnh bên và mặt đáy.

Câu 26. Cho hình lăng trụ đứng $ABC \cdot A’B’C’$ có đáy $ABC$ là một tam giác vuông cân tại $B, AB=a$, $BB’=a \sqrt{3}$. Góc giữa đường thẳng $A’B$ và mặt phẳng $\left(BCC’B’\right)$.

Câu 27. Cho lăng trụ đều $ABC \cdot A’B’C’$ có tất cả các cạnh bằng nhau, $M$ là trung điểm của $BC$. Tính góc giữa đường thẳng $A’M$ và mặt phẳng $\left(ACC’A’\right)$.

Câu 28. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a, SA \perp(ABCD), SA=a \sqrt{6}$. Tính sin của góc tạo bởi $SC$ và $(SAB)$.

Câu 29. Cho hình chóp $S \cdot ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB=3 a, AD=4 a, SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy, $SA=4 a$. Tính góc giữa đường thẳng $SD$ và mặt phẳng $(SAB)$.

Câu 30. Cho chóp $S.ABC$ có $SA$ vuông góc với đáy, tam giác $ABC$ vuông tại $B$. Biết $SA=AB=BC$. Tính góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $(SAC)$.

Câu 31. Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \perp(ABC)$, tam giác $ABC$ đều cạnh $a$ và $SA=a$. Tính tang của góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(SAB)$.

Câu 32. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật với $AB=a$ và $AD=\dfrac{a \sqrt{6}}{2}$, mặt bên $SAB$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $(SCD)$ bằng bao nhiêu?

Câu 33. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$, tam giác $SAB$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính sin của góc tạo bởi đường thẳng $MD$ và mặt phẳng $(SBC)$, với $M$ là trung điểm của $BC$.

Câu 34. Cho hình hộp chữ nhật $ABCD \cdot A’B’C’D’$ có $AB=a, BC=a \sqrt{2}, AA’=a \sqrt{3}$. Gọi $\alpha$ là góc giữa hai mặt phẳng $\left(ACD’\right)$ và $(ABCD)$. Tính $\tan \alpha$.

Câu 35. Cho hình lập phương $ABCD \cdot A’B’C’D’.$ Gọi $E, F $ lần lượt là trung điểm các cạnh $B’C’, C’D’$. Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng $(AEF)$ và $(ABCD)$.

Câu 36. Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A’B’C’, \Delta \mathrm{ABC}$ vuông tại $B$. Chỉ ra góc giữa hai mặt phẳng $\left(A’BC\right)$ và $(ABC)$.

Câu 37. Cho hình lăng trụ đều $ABC \cdot A’B’C’$ có cạnh đáy bằng $2 a$, cạnh bên bằng $a$. Tính góc giữa hai mặt phẳng $\left(AB’C’\right)$ và $\left(A’B’C’\right)$.

Câu 38. Cho hình chóp $S.ABCD$ có $SA \perp(ABCD)$ và đáy $ABCD$ là hình chữ nhật. Chỉ ra góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABCD)$.

Câu 39. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB=a, AD=SA=2 a$, $SA \perp(ABCD)$. Tính tang của góc giữa hai mặt phẳng $(SBD)$ và $(ABCD)$.

Câu 40. Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \perp(ABC)$ và $AB \perp BC$, gọi $I$ là trung điểm $BC$. Chỉ ra góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABC)$.

Câu 41. Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác đều cạnh bằng $2 a, SA$ vuông góc với mặt đáy và $SA=a$. Tính góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABC)$.

Câu 42. Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có $AB=2 a, SA=a \sqrt{5}$. Tính góc giữa hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(ABCD)$.

Câu 43. Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng $a \sqrt{2}$ và chiều cao bằng $\dfrac{a \sqrt{2}}{2}$. Tính Tang của góc giữa mặt bên và mặt đáy.

Câu 44. Cho hình chóp đều $S.ABC$ có cạnh đáy bằng $a$ và chiều cao bằng $a \sqrt{6}$. Gọi $\varphi$ là góc giữa mặt bên và đáy của hình chóp. Tính $\tan \varphi$.

Câu 45. Tính tang góc giữa hai mặt của một tứ diện đều có cạnh bằng $a$.

Câu 46. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB=2 a, AD=a, \Delta SAB$ đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính góc giữa hai mặt phẳng $(SCD)$ và $(ABCD)$.

Câu 47. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$, góc $ABC$ bằng $60^\circ$, tam giác $SBC$ đều cạnh $a$, hình chiếu vuông góc của $S$ lên $(ABC)$ là trung điểm $H$ của cạnh $BC$. Tính góc giữa hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(ABC)$.

Câu 48. Cho hình lập phương $ABCD \cdot A’B’C’D’$ có cạnh bằng $a$. Số đo góc giữa hai mặt phẳng $\left(BA’C\right)$ và $\left(DA’C\right)$ bằng bao nhiêu?

Câu 49. Cho khối lăng trụ đứng $ABCD \cdot A’B’C’D’$ có đáy là hình vuông cạnh $a$, cạnh bên $AA’=\dfrac{a \sqrt{6}}{2}$. Góc giữa hai mặt phẳng $\left(A’BD\right)$ và $\left(C’BD\right)$ bằng bao nhiêu?

Câu 50. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật $AB=a, BC=2 a$. Cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy và $SA=a$. Tính góc giữa $(SBC)$ và $(SC \mathrm{D})$.

Câu 51. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $D, SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA=a \sqrt{2}$. Cho biết $AB=2 AD=2 DC=2 a$. Tính góc giữa $(SBA)$ và $(SBC)$.

Câu 52. Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \perp(ABC), SA=2 a$. Tam giác $ABC$ vuông tại $\mathrm{B} \quad AB=a$, $BC=a \sqrt{3}$. Tính cosin của góc $\varphi$ tạo bởi hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBC)$.

Câu 53. Cho hình chóp $S.ABC$ có $SC \perp(ABC)$ và tam giác $ABC$ vuông tại $B$. Biết $AB=a; AC=a \sqrt{3}$ và góc giữa hai mặt phẳng $(SAB),(SAC)$ bằng $\alpha$ với $\cos \alpha=\sqrt{\dfrac{6}{19}}$. Tính độ dài $SC$ theo $a$.

Câu 54. Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy và cạnh bên đều bằng $a$. Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SAD)$.

Câu 55. Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ có tất cả các cạnh bằng $a$. Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng $(SAB),(SCD)$.

Câu 56. Cho hình chóp tam giác đều $S \cdot ABC$ có cạnh bên bằng $2 a$, cạnh đáy bằng $a$. Gọi $\alpha$ là góc giữa hai mặt bên của hình chóp đó. Hãy tính $\cos \alpha$.

Câu 57. Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $C$. Gọi $H$ là trung điểm $AB$. Biết rằng $SH$ vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$ và $AB=SH=a$. Tính số đo góc tạo bởi hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(SAC)$.

Câu 58. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là tam giác đều cạnh $a$, mặt bên $SBC$ là tam giác cân tại $S$, $SB=2a$, $(SBC)\perp (ABC)$. Gọi $\alpha$ là góc giữa hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SAC)$. Tính $cos \alpha$.

Câu 59. Cho hình lập phương $ABCD \cdot A’B’C’D’$ cạnh $a$. Tính khoảng cách từ $B$ tới đường thẳng $DB’$.

Câu 60. Cho hình lập phương $ABCD \cdot A’B’C’D’$ có cạnh bằng $a$. Tính khoảng cách từ điểm $A$ đến đường thẳng $B’D’$.

Câu 61. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a, SA \perp(ABCD)$ và $SA=a$. Tính khoảng cách từ $A$ đến đường thẳng $SC$.

Câu 62. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật $AB=a, AD=a \sqrt{3}$. Cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy và $SA=2 a$. Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ lên $BD$ Tính khoảng cách $d$ từ điểm $A$ đến đường thẳng $SH$.

Câu 63. Cho hình chóp $S.ABC$ trong đó $SA, AB, BC$ vuông góc với nhau từng đôi một. Biết $SA=3 a$, $AB=a \sqrt{3}, BC=a \sqrt{6}$. Tính khoảng cách từ $B$ đến $SC$.

Câu 64. Cho hình chóp $S.ABC$ với $SA $ vuông góc với $(ABC)$ và $SA=a$. Diện tích $S_{\triangle ABC}=a^2$, $BC=a \sqrt{2}$. Khoảng cách từ $S$ đến $BC$ bằng bao nhiêu?

Câu 65. Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có cạnh đáy bằng $a$, gọi $O$ là tâm đáy và $SO=\dfrac{a \sqrt{3}}{3}$. Gọi $I$ là trung điểm của $BC$ và $K$ là hình chiếu của $O$ lên $SI$. Tính khoảng cách từ $O$ đến $SA$.

Câu 66. Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có tất cả các cạnh đều bằng $a$. Gọi $O$ là tâm đáy và $M$ là trung điể $m CD$. Tính khoảng cách từ $O$ tới đường thẳng $SM$.

Câu 67. Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có $SA=a \sqrt{3}, ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $2 a$. Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$, tính khoảng cách từ $G$ đến $SD$.

Câu 68. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang cân, đáy lớn $AB$. Biết rằng $AB=2 a$, $AD=DC=CB=a$. Hình chiếu vuông góc $H$ của đỉnh $S$ lên mặt phẳng $(ABCD)$ trùng với trung điểm của cạnh $AB$, góc giữa $SB$ và đáy bằng $60^{\circ}$. Tính khoảng cách từ điểm $H$ đến đường thẳng $SC$.

Câu 69. Cho hình hộp chữ nhật $ABCD \cdot A_1 B_1 C_1 D_1$ có ba kích thước $AB=a, AD=2 a, AA_1=3 a$. Tính khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $\left(A_1 BD\right)$.

Câu 70. Cho hình hộp chữ nhật $ABCD \cdot A’B’C’D’$ có $AB=2 a, AD=a, AA’=a \sqrt{3}$. Gọi $M$ là trung điểm cạnh $AB$. Tính khoảng cách $h$ từ điểm $D$ đến mặt phẳng $\left(B’MC\right)$.

Câu 71. Cho lăng trụ đứng $ABC \cdot A’B’C’$ có đáy là tam giác đều cạnh $1, AA’=\sqrt{3}$. Tính khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $\left(A’BC\right)$.

Câu 72. Cho hình lăng trụ đứng $ABC \cdot A’B’C’$. Cạnh bên $AA’=a, ABC$ là tam giác vuông tại $A$ có $BC=2 a, AB=a \sqrt{3}$. Tính khoảng cách từ đỉnh $A$ đến mặt phẳng $\left(A’BC\right)$.

Câu 73. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a, SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ và $SA=a$. Tính khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$.

Câu 74. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh bằng $a, SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$. Biết góc giữa $SC$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng $60^{\circ}$. Tính khoảng cách $h$ từ $B$ đến mặt phẳng $(SCD)$.

Câu 75. Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông cân tại $B, AB=2 a$. Biết $SA$ vuông góc với đáy $(ABC)$. Tính khoảng cách từ điểm $B$ đến mặt phẳng $(SAC)$.

Câu 76. Cho hình chóp $S,ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$, $SA=a$ và $SA$ vuông góc với mặt đáy. Tính khoảng cách từ $A$ đến $(SBC)$.

Câu 77. Cho hình chóp $S.ABCD$ đều có $AB=2 a, SO=a$ với $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Tính khoảng cách từ $O$ đến mặt phẳng $(SCD)$.

Câu 78. Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy và cạnh bên bằng $a$, gọi $O$ là tâm của đáy $ABCD$. Tính khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$.

Câu 79. Cho hình chóp đều $S.ABC$ có cạnh đáy bằng $a$, góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy là $60^{\circ}$. Tính độ dài đường cao $SH$.

Câu 80. Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ cạnh đáy bằng $2 a$ và chiều cao bằng $a \sqrt{3}$. Tính khoảng cách từ tâm $O$ của đáy $ABC$ đến một mặt bên.

Câu 81. Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $2 a$, tam giác $SAB$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách từ điểm $S$ đến mặt phẳng $(ABC)$.

Câu 82. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, mặt bên $SAB$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách $h$ từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(SCD)$.

Câu 83. Cho lăng trụ $ABCD \cdot A_1 B_1 C_1 D_1$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB=a, AD=a \sqrt{3}$. Hình chiếu vuông góc của $A_1$ lên $(ABCD)$ trùng với giao điểm của $AC$ và $BD$. Tính khoảng cách từ điểm $B_1$ đến mặt phẳng $\left(A_1 BD\right)$.

Câu 84. Cho lăng trụ $ABC \cdot A’B’C’$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$. Hình chiếu của $A’$ lên mặt phẳng $(ABC)$ trùng với trung điểm $BC$. Tính khoảng cách từ $A’$ đến $\mathrm{mp}\left(BCC’B’\right)$ biết góc giữa haimặt phẳng\, $\left(ABB’A’\right)$ và $\left(A’B’C’\right)$ bằng $60^{\circ}$.

Câu 85. Cho hình lập phương $ABCD \cdot A’B’C’D’$ cạnh $a$. Tính $d\left(A’C’, BD\right)$.

Câu 86. Cho hình lập phương $ABCD \cdot A’B’C’D’$ có cạnh bằng $a \sqrt{2}$ tính khoảng cách của hai đường thẳng $CC’$ và $BD$.

Câu 87. Cho hình lăng trụ đứng $ABC \cdot A’B’C’$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A, AB=a$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AC$ và $BB’$.

Câu 88. Cho hình lăng trụ đều $ABC.A’B’C’, AB=a, A’A=a$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $A’A$ và $BC$.

Câu 89. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, cạnh bên $SA \perp(ABCD)$ và $SA=a$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $SB$ và $AD$.

Câu 90. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật $AD=2 a$. Cạnh bên $SA=2 a$ và vuông góc với đáy. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $SD$.

Câu 91. Cho tứ diện $OABC$ có $OA, OB, OC$ đôi một vuông góc với nhau và $OB=OC$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ và $OM=a$. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng $OA$ và $BC$.

Câu 92. Cho hình chóp $S,ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$, $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách giửa hai đường thẳng $SA$ và $BC$.

Câu 93. Cho tứ diện đều $ABCD$ cạnh $3a$. Tính khoảng cách giữa hai cạnh $AB, CD$.

Câu 94. Cho hình hộp chữ nhật $ABCD \cdot A’B’C’D’$ có $AB=a, AD=a \sqrt{3}$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $BB’$ và $AC’$.

Câu 95. Cho hình hộp chữ nhật $ABCD \cdot A’B’C’D’$ có cạnh $AB=2 a, AD=AA’=a$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $BD$ và $AD’$.

Câu 96. Cho hình lăng trụ đứng $ABC \cdot A’B’C’$ có đáy là tam giác vuông cân tại $A, BC=2 a$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AA’, BC’$.

Câu 97. Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A’B’C’$ có $ABC$ là tam giác vuông cân, $AB=AC=a$, $AA’=h(a, h>0)$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB’, BC’$.

Câu 98. Cho hình chóp $S.ABCD$ có $ABCD$ là hình vuông cạnh $2 a, SA \perp(ABCD)$ và $SA=a$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $SB$ và $CD$.

Câu 99. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB=3 a, AD=a.$ Biết $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ và $SA=2 a$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AD$ và $SC$.

Câu 100. Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác đều cạnh $a, SA$ vuông góc với $(ABC)$ và $SA=a$. Tính khoảng cách giữa $SC$ và $AB$.

Câu 101. Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông cân tại $B, AB=a$. Cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy, góc tạo bởi hai mặt phẳng $(ABC)$ và $(SBC)$ bằng $60^{\circ}$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $SC$.

Câu 102. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông tâm $O$ cạnh $a, SO$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ và $SO=a$. Tính khoảng cách giữa $SC$ và $AB$.

Câu 103. Cho tứ diện đều $A B C D$ cạnh bằng $a$. Gọi $M$ là trung điểm của $C D$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $A C$ và $B M$.

26/08/2021
Cách tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng lớp 11
Bài toán xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là một dạng toán quan trọng của chương trình HHKG lớp 11. Bài toán này cùng với các bài toán tính góc giữa 2 mặt phẳng, khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng đều sử dụng kiến thức về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.

BỘ SÁCH HHKG GIÁ TỐT TRÊN SHOPEE

Xem thêm:
1. Lý thuyết góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Định nghĩa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian
- Nếu đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì ta góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng 90°.
- Nếu đường thẳng không vuông góc với mặt phẳng thì góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó lên mặt phẳng .
Kí hiệu góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ là \( \left(d,(P)\right) \).

Nhận xét.
- Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng có số đo từ từ \( 0^\circ \) đến \( 90^\circ \)
- Đường thẳng song song hoặc nằm trong mặt phẳng thì góc giữa chúng bằng \( 0^\circ \)
2. Cách xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Bài toán. Xác định góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$

Trong thực tế, chúng ta ít khi gặp tình huống đường thẳng $d$ song song với mặt phẳng $(P)$ hoặc nằm trong mặt phẳng $(P)$, vì khi đó góc giữa chúng bằng $0^\circ$. Còn nếu đường thẳng $d$ vuông góc với mặt phẳng $(P)$ thì góc giữa chúng bằng $90^\circ$. Trường hợp còn lại, đường thẳng $d$ sẽ cắt và không vuông góc với $(P)$. Khi đó, chúng ta thực hiện 3 bước:
- Tìm giao điểm của đường thẳng $d$ và mặt phẳng $ (P)$, giả sử là điểm $ O $;
- Lấy một điểm $ A$ bất kì thuộc đường thẳng $ d$ và tìm hình chiếu vuông góc $ H$ của $ A$ lên $\left( P\right)$;
- Tính góc $ \widehat{AOH}$, đây chính là góc cần tìm.
Chú ý. Đối với hình chóp, góc giữa cạnh bên và mặt đáy là góc tạo bởi 3 điểm: đỉnh — điểm chung — chân đường cao hình chóp.

Ví dụ,

Ví dụ, hình chóp $S.ABC$ có cạnh bên \( SA \) vuông góc với đáy. Hãy xác định góc giữa \( SC\) và mặt phẳng \( (ABC) \).
- đỉnh chính là điểm $S$
- điểm chung của cạnh $SC$ và mặt đáy $(ABC)$ chính là điểm $C$
- chân đường cao hình chóp là điểm $A$
Suy ra, góc giữa \( SC\) và mặt phẳng \( (ABC) \) là góc \( \widehat{SCA} \).

Tương tự, các em cũng có thể dễ dàng tìm được góc giữa cạnh bên $SB$ và mặt đáy $(ABC)$ là \( \widehat{SBA} \).

3. Ví dụ tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Ví dụ 1. Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy $ ABCD $ là hình vuông cạnh $ a $. Cạnh $ SA=a\sqrt{6} $ và vuông góc với đáy $ (ABCD) $. Tính góc giữa:
1. đường thẳng $ SC $ và mặt phẳng $ (ABCD) $;
2. đường thẳng $ SC $ và mặt phẳng $ (SAB) $;
3. đường thẳng $ SB $ và mặt phẳng $ (SAC) $;
4. đường thẳng $ AC $ và mặt phẳng $ (SBC) $.
Hướng dẫn.
1. Để tính góc giữa đường thẳng $ SC $ và mặt phẳng $ (ABCD) $, chúng ta lần lượt thực hiện 3 bước:
  - Giao điểm của đường thẳng $ SC $ và mặt phẳng $ (ABCD) $ là điểm $C$.
  - Trên đường thẳng $SC$, chọn một điểm và xác định hình chiếu vuông góc của nó xuống mặt phẳng $(ABCD)$, ở đây chúng ta chọn điểm $S$ vì dễ thấy hình chiếu vuông góc của $S$ lên mặt phẳng $ (ABCD) $ chính là $A$. (Do giả thiết cạnh $ SA$ và vuông góc với đáy $ (ABCD) $.
  - Như vậy, góc giữa đường thẳng $ SC $ và mặt phẳng $ (ABCD) $ chính là góc $SCA$ và chúng ta đi tính số đo của góc này.
  - Xét tam giác vuông $SAC$ có $ SA=a\sqrt{6}$ và $AC=a\sqrt{2}$ (do $AC$ là đường chéo của hình vuông cạnh $a$) nên có \[ \tan \widehat{SCA}=\frac{SA}{AC}=\frac{a\sqrt{6}}{a\sqrt{2}}=\sqrt{3} \] Suy ra \( \widehat{SCA} = 60^\circ \) và đây chính là đáp số cần tìm.
2. Chứng minh được $CB$ vuông góc với $(SAB)$ (em nào chưa làm được thì có thể xem lại bài Cách chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng). Sau đó, làm theo đúng 3 bước trong lý thuyết ta được góc $\widehat{CSB}$. Đáp số $\arctan\frac{1}{\sqrt{7}}$.
3. Gọi $O$ là giao điểm của hai đường chéo $AC,BD$ thì chứng minh được $BO$ vuông góc với $(SAC)$. Góc cần tìm là $\widehat{BSO}$. Đáp số $ \arcsin\frac{1}{\sqrt{14}}$.
4. Trong mặt phẳng $(SAB)$, qua $A$ kẻ đường thẳng vuông góc và cắt $SB$ tại $H$. Chứng minh được $AH$ vuông góc với $(SBC)$ và tìm được góc giữa đường thẳng $ AC $ và mặt phẳng $ (SBC) $ là $\widehat{ACH}$. Đáp số $\arcsin\frac{\sqrt{21}}{7} $.
Ví dụ 2. Cho hình chóp $ S.ABC $ có đáy là tam giác đều cạnh $ a. $ Cạnh bên $ SA $ bằng $ 2a $ và vuông góc với đáy $ (ABC). $
1. Tính góc giữa đường thẳng $ SB $ và mặt phẳng $ (ABC). $
2. Tính góc giữa đường thẳng $ SC $ và mặt phẳng $ (SAB). $
3. Gọi $ M,N $ lần lượt là trung điểm của $ SC $ và $ AC. $
  - Tính góc giữa $ BM $ và mặt phẳng $ (ABC);$
  - Tính góc giữa $ SN $ với mặt phẳng $ (SAB). $
Hướng dẫn.
1. Góc giữa đường thẳng $ SB $ và mặt phẳng $ (ABC) $ là góc $\widehat{SBA}$.
2. Gọi $H$ là trung điểm $AB$ thì chứng minh được $CH$ vuông góc với $(SAB)$. Góc giữa đường thẳng $ SC $ và mặt phẳng $ (SAB) $ là góc $CSH$.
3. Góc giữa đường thẳng $ BM $ và mặt phẳng $ (ABC)$ là $ \widehat{MBN} $có $ \tan\widehat{MBN}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$.
  
  Trong mặt phẳng $(ABC)$ kẻ $NK$ vuông góc với $AB$ tại $K$ ($NK$ song song với $CH$). Dễ dàng chỉ ra được $NK$ vuông góc với $(SAB)$.
  Suy ra, góc giữa đường thẳng $ SN $ với mặt phẳng $ (SAB) $ là $ \widehat{NSK} $. Tính được $\tan\widehat{NSK}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{17}} $ và suy ra số đo góc cần tìm.
Ví dụ 3. Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy là hình vuông cạnh $ a $. Trung tuyến $ SI $ của tam giác đều $ SAB $ vuông góc với đáy $ (ABCD) $ của hình chóp. Chứng minh hai đường thẳng $ SC $ và $ SD $ tạo với mặt phẳng $ (SAB) $ hai góc bằng nhau. Tính góc giữa đường thẳng $ CM $ và mặt phẳng $ (SAB) $, trong đó $ M $ là trung điểm $ SD. $

Hướng dẫn. Hai đường thẳng $ SC $ và $ SD $ cùng tạo với mặt phẳng $ (SAB) $ góc $ 45^\circ. $ Hình chiếu của điểm $ C $ lên mặt phẳng $ (SAB) $ là $ B. $ Hình chiếu của điểm $ M $ lên mặt phẳng $ (SAB) $ là trung điểm $ N $ của $ SA. $ Góc giữa đường thẳng $ CM $ và mặt phẳng $ (SAB) $ bằng $ 30^\circ. $

Ví dụ 4. Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy là hình vuông cạnh $ a $, tâm $ O $ và $ SO $ vuông góc với đáy. Gọi $ M, N $ lần lượt là trung điểm của các cạnh $ SA $ và $ BC $. Biết góc giữa đường thẳng $ MN $ và mặt phẳng $ (ABCD) $ bằng $ 60^\circ $. Tính độ dài $ MN $ và $ SO $. Tính góc giữa đường thẳng $ MN $ và mặt phẳng $ (SBD) $.

Hướng dẫn. Gọi $ H $ là trung điểm của $ AO $ thì $ MH $ song song với $ SO $ nên $ H $ là hình chóp vuông góc của $ M $ lên mặt phẳng $(ABCD)$… Đáp số $ MN=\frac{a\sqrt{10}}{2},SO=\frac{a\sqrt{30}}{2};\sin\left(MN,(SBD)\right)=\frac{1}{\sqrt{5}} $
25/05/2021