O₂ Education

Category: TOÁN HỌC

  • Bài tập hàm số lượng giác Toán 11

    Bài tập hàm số lượng giác Toán 11

    Bài tập hàm số lượng giác Toán 11

    Để làm được các Bài tập hàm số lượng giác Toán 11 dưới đây, các em cần nắm vững phần lý thuyết về Hàm số lượng giác và thành thạo các Công thức lượng giác, Giá trị lượng giác của góc ở Lớp 10

    1. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số lượng giác

    Phương pháp. Sử dụng tính chất: $ -1\le \sin x\le 1,-1\le\cos x\le 1 $.

    Ví dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số: $ y=3+\sin x $.

    Hướng dẫn. Ta có \begin{align*} &-1\le \sin x\le 1\\ \Leftrightarrow\;& 2\le 3+\sin x\le 4 \end{align*}

    Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 4, đạt được khi $ \sin x=1 \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{2}+k2\pi. $

    Giá trị nhỏ nhất của hàm số là $ 2, $ đạt được khi $ \sin x=-1 \Leftrightarrow x=-\frac{\pi}{2}+k2\pi. $

    Ví dụ 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $ y=5-3\sin \left(x+\frac{\pi}{3}\right) $.

    Ví dụ 3. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số$ y=\sin x\cos x $.

    Ví dụ 4. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số$ y=\sin x+\cos x $.

    2. Tìm tập xác định của hàm số lượng giác

    Phương pháp. Để tìm tập xác định của một hàm số lượng giác, chúng ta cần sử dụng các kết quả:

    • Hàm số \( \sin x, \cos x \) xác định với mọi \( x\in \mathbb{R} \)
    • Hàm số \( \tan x \) xác định với mọi \( x\ne \frac{\pi}{2}+k\pi, k\in \mathbb{Z} \)
    • Hàm số \( \cot x \) xác định với mọi \( x\ne k\pi, k\in \mathbb{Z} \)

    Ngoài ra cần nhớ thêm \( \frac{A}{B} \) xác định khi và chỉ khi \( B\ne 0 \); \( \sqrt{A} \) xác định khi và chỉ khi \( A \geqslant 0 \).

    Ví dụ. Tìm tập xác định của các hàm số sau:

    1. $ y=\frac{\sin2x}{\sin3x} $
    2. $ y=\cot\left(2x+\frac{\pi}{3}\right) $
    3. $ y=\tan\left(3x+\frac{2\pi}{3}\right) $
    4. $ y=\frac{1}{\sin x+\cos x-1} $

    3. Xét tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác

    Nhắc lại. Cho hàm số $ y=f(x) $ xác định trên miền $ \mathcal{D}. $

    • Hàm số $ f(x) $ được gọi là hàm số chẵn nếu nó thỏa mãn 2 điều kiện sau:
      • Với mọi $ x\in \mathbb{D} $ thì $ -x\in \mathcal{D} $
      • $ f(-x)=f(x), \,\forall x\in \mathcal{D} $
    • Hàm số $ f(x) $ được gọi là hàm số lẻ nếu nếu nó thỏa mãn 2 điều kiện sau:
      • Với mọi $ x\in \mathbb{D} $ thì $ -x\in \mathcal{D} $
      • $ f(-x)=-f(x), \,\forall x\in \mathcal{D} $

    Như vậy, để xét tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác, chúng ta cần:

    • Tìm tập xác định của hàm số và kiểm tra điều kiện $ \forall x\in \mathbb{D} $ thì $ -x\in \mathcal{D} $.
    • Sử dụng các tính chất về cung có liên quan đặc biệt (cos đối, sin bù, phụ chéo, khác pi tang) để so sánh \( f(-x) \) và \( f(x) \).

    4. Tìm khoảng đồng biến nghịch biến của hàm số lượng giác

    Sử dụng các tính chất:

    • Hàm số y=sinx đồng biến trên mỗi khoảng (−π2+k2π;π2+k2π) và nghịch biến trên mỗi khoảng (π2+k2π;3π2+k2π) với k∈Z.
    • Hàm số $y=\cos x $ đồng biến trên mỗi khoảng $\left( -\pi +k2\pi ;\,\,k2\pi \right)$ và nghịch biến trên mỗi khoảng $\left( k2\pi ;\,\,\pi +k2\pi \right)$ với $k\in \mathbb{Z}.$

    5. Tìm chu kì tuần hoàn của hàm số lượng giác

    Sử dụng các tính chất:

    • Hàm số \( \sin x, \cos x \) tuần hoàn với chu kì \( 2\pi \).
    • Hàm số \( \tan x, \cot x \) tuần hoàn với chu kì \( \pi \).
    • Hàm số \( \sin ax, \cos ax \) tuần hoàn với chu kì \( \frac{2\pi}{a} \).

    6. Bài tập hàm số lượng giác tự luyện

    Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:

    1. $ y=2+3\sin x $
    2. $ y= -1+3\sin\left(x-\frac{\pi}{6}\right)$
    3. $ y=\frac{1+2\sin^2x}{2} $
    4. $ y=5-3|\sin x| $
    5. $ y=5-7\sin x\cos x $
    6. $ y=\cos^2x-\sin^2x+3 $
    7. $y=2\cos 2x+{{\sin }^{2}}x$
    8. $y={{\sin }^{2}}\left( \frac{\pi }{4}-x \right)+{{(\sin x-\cos x)}^{2}}$
    9. $ y=\sin x+\cos x+2 $
    10. $ y=3\sin x-4\cos x $

    Bài 2. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:

    1. $ y=\sin^4x-\cos^4x $
    2. $ y=1-8\sin^2x \cos^2x $
    3. $ y=\sin^6x-\cos^6x $
    4. $y = \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\sin \left( {x – \frac{\pi }{4}} \right)$
    5. $ y=\sqrt{7-4\sin^2x \cos^2x } $

    Bài 3. Tìm tập xác định của các hàm số sau:

    1. $ y=\sin \frac{1}{x} $
    2. $ y=\frac{\sin2x}{\cos x} $
    3. $ y=\frac{1}{\tan x-\sqrt{3}} $
    4. $ y=\frac{1}{\tan x}$
    5. $ y=\frac{1}{\cos x-\sin x} $
    6. $ y=\tan x\sqrt{2-\sin x} $
    7. $ y=\sqrt{\frac{\cos x+3}{\cos x+1}} $
    8. $ y=\sqrt{2-\sin x}+\cot x $

    Bài 4. Tìm tập xác định của hàm số $ y=\sqrt{1+\sin x\cos x} $.

    Bài 5. Tìm tập xác định của hàm số $ y=\frac{\tan x}{\sqrt{\cos^2x-\sin^2x+3}} $.

    Bài 6. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số $ y=-2\cos2x-4\sin x+6 $.

    Đáp số. $ \min y=2, \max y=12 $

    Bài 7. Chứng minh rằng \[\frac{1}{3+\sin x}+\frac{1}{3-\sin x}\le \frac{2}{2+\cos x}\]
    Hướng dẫn. Vì $ 3+\sin x>0,3-\sin x>0 $ và $ 2+\cos x>0 $ nên bất đẳng thức đã cho tương đương với
    \begin{align*}
    & 6(2+\cos x)\le 2(9-\sin^2x) \\
    \Leftrightarrow\;& 12+6\cos x\le 18-2(1-\cos^2x) \\
    \Leftrightarrow\;& 2\cos^2x-6\cos x+4\ge 0 \\
    \Leftrightarrow\;& (\cos x-1)(\cos x-2)\ge 0
    \end{align*}
    Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng vì $ \cos x\le 1. $

  • Toán 11 Hàm số lượng giác

    Toán 11 Hàm số lượng giác

    Hàm số lượng giác

    Để học tốt phần hàm số lượng giác lớp 11, các em học sinh cần ôn tập kĩ Công thức lượng giác và Giá trị lượng giác của góc lớp 10. Sau đó có thể tự luyện tập với 100 Bài tập công thức lượng giác lớp 10 để thuộc các công thức đó.

    Dưới đây là Lý thuyết Hàm số lượng giác, phần bài tập mời các em xem trong bài Bài tập hàm số lượng giác Toán 11.

    1. Hàm số sin

    1.1. Hàm số sin là gì?

    Quy tắc cho tương ứng mỗi số thực \( x \) với một số thực \( \sin x \) được gọi là hàm số sin, kí hiệu \( y=\sin x. \)

    1.2. Tính chất của hàm số sin

    • Tập xác định: \( \mathcal{D} = \mathbb{R} \)
    • Tập giá trị: \( [-1;1] \) (tức là $-1 \leqslant \sin x \leqslant 1$)
    • Là hàm số tuần hoàn với chu kì \( T=2\pi \)
    • Là hàm số lẻ (đồ thị hàm số nhận gốc toạ độ làm tâm đối xứng)
    • Bảng biến thiên của hàm số trên một chu kì (đoạn đoạn \( \left[-\pi ;\pi\right] \):

    bảng biến thiên của hàm số y=sinx

    Tổng quát: Hàm số $y= \sin x$ đồng biến trên mỗi khoảng $\left(-\frac{\pi}{2} + k2\pi; \frac{\pi}{2}+k2\pi\right)$ và nghịch biến trên mỗi khoảng $\left(\frac{\pi}{2} + k2\pi; \frac{3\pi}{2}+k2\pi\right)$ với $k \in \mathbb{Z}$.

    • Đồ thị hàm số trên một chu kì:

    do thi ham so sin tren mot chu ki

    • Đồ thị hàm số trên toàn tập xác định

    đồ thị hàm số lượng giác sin

    2. Hàm số cosin

    Quy tắc cho tương ứng mỗi số thực \( x \) với một số thực \( \cos x \) được gọi là hàm số cosin, kí hiệu \( y=\cos x. \)

    • Tập xác định: \( \mathcal{D} = \mathbb{R} \)
    • Tập giá trị: \( [-1;1] \)
    • Là hàm số tuần hoàn với chu kì \( T=2\pi \)
    • Là hàm số chẵn (đồ thị hàm số nhận trục tung làm trục đối xứng)
    • Bảng biến thiên của hàm số trên đoạn \( \left[-\pi;\pi\right] \) (một chu kì)

    bảng biến thiên của hàm số y=cosx

    Tổng quát: Hàm số $y=\cos x $ đồng biến trên mỗi khoảng $\left( -\pi +k2\pi ;\,\,k2\pi \right)$ và nghịch biến trên mỗi khoảng $\left( k2\pi ;\,\,\pi +k2\pi \right)$ với $k\in \mathbb{Z}.$

    • Đồ thị hàm số $y=\cos x$ là đường màu xanh trong hình dưới đây (có thể nhận được từ đồ thị hàm số sin bằng cách dịch đồ thị hàm số sin sang phải hoặc sang trái một khoảng $\frac{\pi}{2}$).

    do thi ham so cosin

    3. Hàm số tang

    Hàm số \( y=\tan x \) có:

    • Tập xác định: \( \mathcal{D}=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi}{2}+k\pi, k\in \mathbb{Z} \right\} \)
    • Tập giá trị: $\mathbb{R}$
    • Là hàm số lẻ.
    • Là hàm số tuần hoàn với chu kì \( \pi \)
    • Bảng biến thiên của hàm số \( y=\tan x \) trên nửa khoảng \( \left[0;\frac{\pi}{2}\right) \)

    bang bien thien cua ham so tang

    • Đồ thị hàm số \( y=\tan x \)

    do thi ham so tan

    4. Hàm số cotang

    Hàm số \( y=\cot x \) có các đặc điểm sau:

    • Tập xác định: \( \mathcal{D}=\mathbb{R}\setminus \left\{k\pi, k\in \mathbb{Z} \right\} \)
    • Tập giá trị: $\mathbb{R}$
    • Là hàm số lẻ.
    • Là hàm số tuần hoàn với chu kì \( \pi \)
    • Bảng biến thiên của hàm số \( y=\cot x \) trên khoảng \( \left[0;\pi\right) \)

    bang bien thien cua ham so cotang

    • Đồ thị hàm số \( y=\cot x \)

    do thi ham so cotang

  • Một số phát biểu không phải mệnh đề

    Một số phát biểu không phải mệnh đề

    Một số phát biểu không phải mệnh đề

    Các câu cảm thán, câu mệnh lệnh, câu hỏi đều không phải mệnh đề vì chúng không có tính đúng/sai một cách rõ ràng.

    Ngoài ra còn có những khẳng định mà tính đúng — sai của chúng chưa thể kiểm chứng được, chẳng hạn như khẳng định “Trên Sao Hỏa có sự sống.” Đây là một mệnh đề, vì nó chỉ có thể hoặc đúng hoặc sai, mặc dù chúng ta chưa biết là nó đúng hay sai. Những mệnh đề dạng này có rất nhiều, một ví dụ nữa là định lí lớn Fermat. Tuy nhiên, cần phân biệt chúng với những phát biểu mà chúng ta không thể chỉ ra được nó đúng hay sai, xét ví dụ sau:

    “Tôi luôn luôn nói dối.”

    Đây không là một mệnh đề. Nếu đây là mệnh đề đúng, thì nghĩa là tôi luôn nói dối, do đó nội dung của câu nói trên phải ngược lại, tức là tôi luôn luôn nói thật! Còn nếu đây là mệnh đề sai thì nghĩa là tôi luôn luôn nói thật, mà tôi đã luôn luôn nói thật thì những câu tôi nói ra phải đúng, do đó câu tôi nói ở trên cũng phải đúng, tức là tôi luôn luôn nói dối! Có rất nhiều phát biểu dạng này, hãy xem xét câu chuyện sau:

    Trên đường đi cứu công chúa, hoàng tử phải đi qua một vương quốc có ông vô cùng vua tàn ác. Thật không may, chàng bị bắt và giải đến trước mặt nhà vua. Nhà vua tàn ác ra lệnh: “Bây giờ ta cho ngươi nói một câu. Nếu ngươi nói đúng thì bị chặt đầu, nếu ngươi nói sai thì bị treo cổ!” Hỏi rằng hoàng tử phải nói câu gì?

    phát biểu không phải mệnh đề

  • Phép tịnh tiến – Phép dời hình

    Phép tịnh tiến – Phép dời hình

    Phép tịnh tiến – Phép dời hình

    1. Phép tịnh tiến

    1.1. Phép tịnh tiến là gì?

    Trong mặt phẳng, cho vector $ \vec{v}, $ phép tịnh tiến theo vector $ \vec{v} $ là một phép biến hình biến mỗi điểm $ M $ thành điểm $ M’ $ thỏa mãn \[ \overrightarrow{MM’} = \vec{v}. \]

    phép tịnh tiến là gì?

    Ví dụ. Cho tam giác ABC, dựng ảnh của tam giác ABC qua phép tịnh tiến theo vec tơ $\overrightarrow{BC}$.

    • Giả sử qua phép tịnh tiến theo $\overrightarrow{BC}$, điểm $A$ biến thành điểm $D$ thì điểm $D$ phải thỏa mãn: $$\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$$ Nghĩa là điểm $D$ phải ở vị trí như trong hình vẽ (chính là đỉnh của hình bình hành $ABCD$).

    vi du phep tinh tien

    • Tương tự ta dựng được điểm $E$ là ảnh của $C$ qua phép tịnh tiến đó ($E$ thuộc đường thẳng $BC$ sao cho $C$ là trung điểm $BE$).
    • Hiển nhiên ảnh của $B$ qua phép tịnh tiến theo $\overrightarrow{BC}$ là $C$.

    Tóm lại, ảnh của tam giác $ABC$ qua phép tịnh tiến theo véc-tơ $\overrightarrow{BC}$ là tam giác $DCE$ như trên hình vẽ.

    1.2. Biểu thức toạ độ của phép tịnh tiến.

    Điểm $M'(x’,y’)$ được gọi là ảnh của điểm $ M(x,y) $ qua phép tịnh tiến theo vectơ $\vec{v}=(a,b)$ khi và chỉ khi $$ \overrightarrow{MM’}=\vec{v}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x’=x+a \\ y’=y+b \end{array} \right.$$

    Kí hiệu: $ M’={\text{T}_{\vec{v}}}(M). $

    1.3. Tính chất của phép tịnh tiến

    Phép tịnh tiến có tính chất:

    • Biến hai điểm $ M,N $ thành $ M’,N’ $ thì $ M’N’=MN. $

    tính chất của phép tịnh tiến

    • Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và giữ nguyên thứ tự giữa các điểm.

    Phép tịnh tiến - Phép dời hình 1

    Do đó, phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn cùng bán kính.

    Phép tịnh tiến - Phép dời hình 2

    2. Phép dời hình

    Định nghĩa. Phép dời hình là phép biến hình không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

    Ví dụ. Phép tịnh tiến lầ một phép dời hình.

    Tính chất của phép dời hình

    Phép dời hình biến:

    • Đường thẳng thành đường thẳng, đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, tia thành tia.
    • Ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và giữ nguyên thứ tự giữa các điểm.
    • Đường tròn thành đường tròn cùng bán kính.
    • Góc thành góc bằng nó.
    • Tam giác thành tam giác bằng nó.

    3. Các dạng toán phép tịnh tiến, phép dời hình

    3.1. Xác định toạ độ ảnh của phép tịnh tiến

    Phương pháp. Chúng ta sử dụng biểu thức toạ độ của phép tịnh tiến.

    Cho vectơ $\vec{v}=(a,b)$ thì $ M’={\text{T}_{\vec{v}}}(M) $ khi và chỉ khi $$ \overrightarrow{MM’}=\vec{v}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x’=x+a \\ y’=y+b \end{array} \right.$$

    Ví dụ 1. 

    1. Cho các điểm $ A(-1,2),B(0,1),C(3,-1) $ và vector $ \vec{v}=(-2,3). $ Tìm ảnh của các điểm trên qua phép tịnh tiến theo $ \vec{v}.$
    2. Viết phương trình đường thẳng $ d’ $, là ảnh của đường thẳng $d : 2x + 3y – 1 = 0 $ qua phép tịnh tiến theo vector $\vec{a}=(3,1)$.

    Hướng dẫn. 

    1. Gọi $ A'(x’;y’)$ là ảnh của $A$ qua $\text{T}_{\vec{v}} $ thì ta có $$ \overrightarrow{AA’}=\vec{v}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x’=-1-2 \\ y’=2+3 \end{array} \right.$$ hay $ A'(-3;5)$. Làm tương tự được đáp số $B'(-2,4),C'(1,2)$.
    2. Gọi $d’$ là ảnh của đường thẳng $d$ qua phép tịnh tiến theo véc-tơ $\vec{a}$.
      • Theo tính chất thì $d’$ song song hoặc trùng với $d$ nên có phương trình dạng $d’: 2x+3y+c=0$.
      • Tiếp theo, ta lấy một điểm bất kì thuộc $d$, giả sử là $M(2;-1)$ thì ảnh của nó là $M’$ phải thuộc vào đường thẳng $d’$. Dễ dàng tìm được $M'(5;0)$. Thay toạ độ $M’$ vào phương trình $d’$ tìm được $c= -10$.
      • Suy ra phương trình đường thẳng cần tìm là $d’:2x+3y-10=0$.

    Cách khác. Có $d’$ là ảnh của đường thẳng $d$ qua phép tịnh tiến theo véc-tơ $\vec{a}$. Với điểm $M(x;y)$ điểm bất kì thuộc đường thẳng $d$, qua phép tịnh tiến theo véc-tơ $\vec{a}$ biến thành điểm $M'(x’;y’)$ thì điểm \( M’ \) phải thỏa mãn hai điều kiện:

    • Điểm \( M’ \) thuộc đường thẳng $d’$;
    • Toạ độ của \( M’ (x’;y’)\) thỏa mãn \( x’=x+ 3, y’=y+1\).

    Từ \( x’=x+ 3, y’=y+1\) suy ra \( x=x’-3, y=y’-1 \) hay toạ độ điểm $M(x’-3;y’-1)$. Mà $M$ thuộc đường thẳng $d$ có phương trình $2x + 3y – 1 = 0$ nên thay vào ta được $$ 2(x’-3)+3(y’-1)-1=0 $$ $$\Leftrightarrow 2x’+3y’-10=0 $$ hay phương trình đường thẳng $d’$ cần tìm chính là $2x+3y-10=0$.

    Lưu ý: Khi tính toán ta dùng kí hiệu $ x’,y’ $ để tìm mối quan hệ giữa các thành phần tọa độ $ x’,y’ $ của một điểm $ M’, $ còn kết luận về tập hợp các điểm $ M’ $ thì phải dùng kí hiệu $ x,y. $

    Ví dụ 2. Viết phương trình ảnh $ (C’) $ của đường tròn $\left( C \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+4y-4=0$ qua phép tịnh tiến theo véc-tơ $\vec{a}=(-2;1)$.

    Đáp số. $(C’):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x+2y-7=0.$

    Ví dụ 3. Cho đường thẳng $ d:2x-3y+1=0 $ và đường tròn $ (C):(x-3)^2+(y+2)^2=1.$ Tìm ảnh của đường thẳng $ d$ và đường tròn $ (C) $ qua phép tịnh tiến theo véc-tơ $ \vec{v}(-2,4). $

    Đáp số.  $ d’: 2x-3y+17=0$, $(C’):(x-1)^2+(y-2)^2=1. $

    Ví dụ 4. Cho đường thẳng $ \Delta $ cắt hai trục $ Ox,Oy $ tại $ A(-1,0) $ và $ B(0,2). $ Hãy tìm ảnh $ \Delta’ $ của $ \Delta $ qua phép tịnh tiến theo $ \vec{u}(2,-1). $

    Đáp số.  $ \Delta’:2x-y-3=0. $

    Ví dụ 5. Cho hàm số $ y=\cos x $ có đồ thị là $ (C) $. Viết phương trình ảnh $ (C’) $ của $ (C) $ qua phép tịnh tiến theo véc-tơ $ \vec{v}(\frac{\pi}{2},0) $.

    Hướng dẫn. Điểm $ M(x,y)\in (C) $ qua phép tịnh tiến theo $\vec{v} $ biến thành $ M'(x’,y’) $ khi và chỉ khi $$ \begin{cases} x’=x+\frac{\pi}{2} \\y’=y \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x=x’-\frac{\pi}{2} \\y=y’ \end{cases} $$ Suy ra toạ độ điểm $M\left(x’-\frac{\pi}{2};y’\right)$.
    Ta có $ M$ thuộc đồ thị $ (C):y=\cos x $ khi và chỉ khi $y’=\cos(x’-\frac{\pi}{2}) \Leftrightarrow y’=\sin x’$.

    Như vậy, ta luôn có $y’=\sin x’$ hay $ M’ $ thuộc đồ thị hàm số $ y=\sin x $.
    Vậy đồ thị của hàm số $ y=\cos x $ qua phép tịnh tiến theo $ \vec{v} $ thì biến thành đồ thị của hàm số $ y=\sin x. $

    Ví dụ 6. Qua phép tịnh tiến theo véc-tơ $ \vec{v}(-1,3) $ thì đường thẳng $ \Delta $ biến thành đường thẳng $ \Delta’:2x-5y+6=0. $ Hãy tìm phương trình của đường thẳng $\Delta$.

    Đáp số $ \Delta: 2x-5y-11=0. $

    3.2. Xác định phép tịnh tiến

    Phương pháp. Chúng ta cần chỉ ra được véc-tơ của phép tịnh tiến.

    Ví dụ 1. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho điểm \( A(1;2) \) và điểm \( B(5;3) \). Xác định phép tịnh tiến biến điểm \( A \) thành điểm \( B \).
    Hướng dẫn. Chính là phép tịnh tiến theo véc-tơ \( \overrightarrow{AB}(4;1) \).

    Ví dụ 2. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho điểm \( A(1;2) \) và điểm \( B(5;3) \). Xác định phép tịnh tiến biến điểm \( B \) thành điểm \( A \).
    Hướng dẫn. Phép tịnh tiến theo véc-tơ \( \overrightarrow{BA}(-4;-1) \).

    Ví dụ 3. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho hai parabol \( (P): y=x^2 \) và \( (Q):=x^2+2x+2 \). Tìm phép tịnh tiến biến \( (P) \) thành \( (Q) \).

    Hướng dẫn. Gọi véc-tơ tịnh tiến là \( \vec{v}(a;b) \). Lấy điểm \( M(x;y) \) bất kì thuộc parabol \( (P) \).

    Qua phép tịnh tiến cần tìm, \( M \) biến thành \( M'(x’;y’) \) thuộc parabol \( (Q) \) thì ta có $$ \begin{cases} x’=x+a\\y’=y+b \end{cases} $$ mà \( M’ \) thuộc \( (Q) \) nên suy ra $$y+b (x+a)^2+2(x+a)+2 $$ Thu gọn phương trình này ta được $$ y=x^2+2(a+1)x+a^2+2a+2-b $$ Phương trình này phải trùng với phương trình của parabol \( (P) \) nên ta có $$ \begin{cases} 2(a+1)=0\\ a^2+2a+2-b=0 \end{cases} $$ Giải hệ này tìm được \( a=-1;b=-1 \).
    Kết luận. Phép tịnh tiến cần tìm là phép tịnh tiến theo véc-tơ \( \vec{v}(-1;-1) \).

    3.3. Các bài toán dựng hình, chứng minh tính chất hình học

    Ví dụ 1. Cho tam giác $ ABC $ có trọng tâm $ G. $ Hãy dựng ảnh của điểm $ A, $ đoạn thẳng $ AB $ qua phép tịnh tiến $ \text{T}_{\overrightarrow{GB}} $; ảnh của tam giác $ ABC $ qua phép tịnh tiến $ \text{T}_{2\overrightarrow{GA}}? $

    Ví dụ 2.  Cho hình bình hành $ ABCD$ có hai điểm $ A,B $ cố định, tâm $ I $ của hình bình hành di động trên đường tròn $(C)$. Tìm quỹ tích trung điểm $ M $ của cạnh $BC$.

    Hướng dẫn. Gọi $ J $ là trung điểm cạnh $AB$ thì $ J $ cố định và $ \overrightarrow{JB}=\overrightarrow{IM}. $ Do đó $ M $ là ảnh của điểm $ I $ qua phép tịnh tiến theo véc-tơ $ \overrightarrow{JB}. $ Suy ra quỹ tích trung điểm $ M $ của cạnh $BC$ là ảnh của đường tròn $(C)$ qua phép tịnh tiến theo véc-tơ $ \overrightarrow{JB}. $

    Ví dụ 3. Cho hình bình hành $ABCD$ có đỉnh hai $ A, B $ cố định và độ dài đoạn $ AC=a $ không đổi. Tìm quỹ tích đỉnh $ D $ khi $ C $ di động.

    Hướng dẫn. Xét phép tịnh tiến $ \text{T}_{\overrightarrow{BA}} $ biến điểm $ B\mapsto A, C\mapsto D,A\mapsto A’. $ Mà $ C $ thuộc đường tròn $ (A,a) $ nên $ D $ sẽ thuộc đường tròn $ (A’,a) $ trong đó $ A’ $ là ảnh của $ A $ qua $ \text{T}_{\overrightarrow{BA}} $.

    Ví dụ 4. Cho tam giác $ ABC $, hãy dựng đường thẳng $ d$ song song với $ BC $ và cắt $ AB $ ở $ D, $ cắt $ AC $ ở $ E $ sao cho $ AD=CE. $

    Hướng dẫn.

    • Phân tích. Giả sử dựng được đường thẳng $ d$ thỏa mãn yêu cầu. Xét phép tịnh tiến $ \text{T}_{\overrightarrow{ED}} $ biến điểm $ C $ thành điểm $ H. $ Suy ra $ DH=EC=AD $ hay tam giác $ ADH $ cân tại $ D. $ Như vậy, $ \widehat{DHA}=\widehat{DAH} $ mà $ \widehat{DHA}=\widehat{HAC} $. Dẫn tới $ \widehat{DAH}=\widehat{HAC} $ hay $ AD $ là phân giác góc $ \widehat{BAC} .$
    • Cách dựng.
      • Dựng tia phân giác $ Ax $ của $ \widehat{BAC} $ cắt $ BC $ tại $ H. $
      • Qua $ H $ dựng đường thẳng song song với $ AC $ cắt $ AB $ tại $ D $.
      • Qua $ D $ dựng đường thẳng $ d $ song song với $ BC $ cắt $ AC $ tại $ E. $
      • Đường thẳng $ d $ là đường thẳng cần dựng.
    • Chứng minh.
    • Biện luận. Bài toán có một nghiệm hình.

    Ví dụ 5. Cho hai đường thẳng $ a,b $ và đoạn thẳng $ MN $ cố định. Hãy xác định điểm $ H $ trên đường thẳng $ a, $ điểm $ K $ trên đường thẳng $ b $ sao cho tứ giác $ MNHK $ là một hình bình hành.

    Hướng dẫn. Xét phép tịnh tiến $ \text{T}_{\overrightarrow{MN}} $ biến đường thẳng $ b $ thành $ b’ $. Khi đó, ta có ba khả năng:

    • Nếu $ b’ $ và $ a $ cắt nhau thì giao điểm chính là điểm $ H $ cần tìm. Từ đó dựng được hình bình hành $ MNHK $. Bài toán có một nghiệm hình.
    • Nếu $ b’ $ và $ a $ trùng nhau thì có thể lấy $ H $ là một điểm bất kì trên đường thẳng $ a $. Từ đó dựng được hình bình hành $ MNHK $. Bài toán có vô số nghiệm hình.
    • Nếu $ b’ $ và $ a $ song song thì không thể dựng được hình bình hành $ MNHK $ thỏa mãn yêu cầu. Bài toán không có nghiệm hình.

    Ví dụ 6. Cho tam giác $ ABC $ cân tại $ C. $ Hai điểm $ M,N $ thay đổi $ M\in CA,N\in CB $ sao cho $ CM+CN=CA $. Chứng minh trung điểm $ I $ của $ MN $ chạy trên một đường thẳng cố định.

    Hướng dẫn. Chúng ta sẽ đặc biệt hóa để phát hiện ra quỹ tích của điểm $ I $. Khi $ M $ trùng $ C $ thì $ N $ sẽ trùng $ B $ và $ I $ là trung điểm của $ BC $. Tương tự, khi $ M $ trùng $ A $ thì $ N $ trùng $ C $ và $ I $ là trung điểm của $ AC $. Do đó, ta dự đoán quỹ tích sẽ là đường trung bình của tam giác $CAB$.
    Để chứng minh điều trên, ta phải chỉ ra $ I $ là trung điểm của đoạn thẳng $ CE $ trong đó $ E $ là một điểm bất kì trong đoạn $ AB $. Thật vậy, xét phép tịnh tiến theo véc-tơ $ \overrightarrow{CM} $ có $ C\mapsto M, N\mapsto E $ sao cho $ CMEN $ là hình bình hành. Chứng minh được điểm $ E $ nằm trong đoạn $ AB $ và $ I $ là trung điểm của $ CE $. Như vậy $ I $ sẽ di động trên đoạn thẳng trung bình của tam giác $ CAB. $

    Ví dụ 7. Hai thành phố $ A $ và $ B $ nằm ở hai phía của một dòng sông. Hãy chọn một địa điểm để xây cầu bắc qua sông sao cho quãng đường đi giữa hai thành phố là nhỏ nhất. Giả sử hai bờ sông song song với nhau và cầu nằm vuông góc với các bờ sông.

    Hướng dẫn. Tịnh tiến điểm $ B $ theo một véc-tơ có hướng vuông góc với bờ sông và độ dài bằng chiều rộng của sông.

    Ví dụ 8. Cho hình vuông $ ABCD, $ lấy $ E $ là điểm trong hình vuông sao cho tam giác $ CDE $ cân tại $ E $ và góc ở đáy là $ 15^\circ $. Chứng minh tam giác $ ABE $ đều.

    Hướng dẫn. Xét phép tịnh tiến theo $ \overrightarrow{AD} $ biến điểm $ E $ thành điểm $ F. $ Ta đi chứng minh $ \Delta CDF $ đều.

  • Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc ba

    Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc ba

    1. Cách viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc ba

    Cho hàm số bậc ba $y=f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ với $a\ne 0$ có đồ thị gọi là đường cong $(C)$ và $$y’=f'(x)=3ax^2+2bx+c$$

    Nhận thấy $y’$ là một tam thức bậc hai có $$\Delta’_{y’}=b^2-3ac.$$ Do đó. có hai khả năng sau:

    • Nếu $\Delta’ >0 $ thì hàm số có hai điểm cực trị. Khi đó, đồ thị hàm số cũng có hai điểm cực trị và phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm này là \[y=kx+m,\] trong đó $kx+m$ là phần dư khi chia đa thức $ax^3+bx^2+cx+d$ cho $3ax^2+2bx+c$ (tức là phần dư khi chia $y$ cho $y’$).

    Thật vậy, giả sử phương trình \(f'(x)=0\) có hai nghiệm phân biệt \(x_1, x_2\) thì ta có $f'(x_1) = f'(x_2)=0$ và toạ độ hai điểm cực trị của đồ thị hàm số có dạng \(A(x_1; f(x_1))\), \(B(x_2; f(x_2))\).

    Thực hiện phép chia \(f(x)\) cho \(f'(x)\) và giả sử ta được thương \(q(x)\) và dư là \(r(x)\) ($r(x)$ có dạng $kx+m$) tức là \[f(x)=q(x)\cdot f'(x)+r(x).\]

    Suy ra, $$f(x_1)=q(x_1)\cdot f'(x_1)+r(x_1)=r(x_1),$$ vì $f'(x_1)=0$. Hay toạ điểm $A$ là $(x_1,r(x_1))$. Tương tự tính được toạ độ điểm $B$ là $(x_2,r(x_2))$.

    Như vậy toạ độ hai điểm \(A, B\)  đều thỏa mãn phương trình \(y=r(x)=kx+m\) hay đường thẳng \(y=kx+m\) chính là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc ba đã cho.

    2. Ví dụ minh hoạ

    Đề bài. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y=f(x)=x^3-2x^2-x+1\).

    Hướng dẫn. Ta có \(f'(x)=3x^2-4x-1\). Thực hiện phép chia đa thức \(f(x)\) cho \(f'(x)\) ta được thương là \(\frac{1}{3}x-\frac{2}{9}\) và dư là \(-\frac{14}{9}x-\frac{7}{9}\).

    Suy ra phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là \(y=-\frac{14}{9}x-\frac{7}{9}\).

    Chú ý. Nếu phương trình $y’=0$ có hai nghiệm đẹp thì ta dễ dàng tìm được toạ độ hai điểm cực trị của đồ thị hàm số và do đó việc viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm này khá dễ dàng.

    Xem thêm: Tìm m để hàm số đồng biến trên các khoảng

  • Bài tập Các phép toán véc-tơ

    Bài tập Các phép toán véc-tơ

    Bài tập Các phép toán véc-tơ

    Bài tập Các phép toán véc-tơ (phép toán tổng của hai vecto, hiệu của hai vecto, nhân vecto với một số, các quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành) và ứng dụng để chứng minh đẳng thức véc-tơ, xác định điểm thỏa mãn đẳng thức véc-tơ, chứng minh thẳng hàng, song song, tìm tập hợp điểm…

    Xem thêm:

    Bài tập Các phép toán véc-tơ

    Bài 1. Cho bốn điểm phân biệt $ A, B, C, D. $ Dựng các vectơ tổng $ \overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{CD} $, $ \overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD} $.

    Bài 2. Cho hình vuông $ ABCD $ có cạnh bằng 1. Tính độ dài các vectơ: $$ \vec{u}=\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{AD}, \vec{v}= \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}.$$

    Bài 3. Cho hình vuông $ABCD$ tâm $O$ có cạnh bằng $a$. Hãy tính $$|\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{CB}|;|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}|;|\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{DA}|.$$
    Đáp số. $\frac{a\sqrt{2}}{2};2a;a\sqrt{2}$.

    Bài tập chứng minh đẳng thức vecto

    Bài 1. Cho bốn điểm $ A, B, C, D $. Chứng minh rằng: $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}$.

    Bài 2. Cho năm điểm $ A, B, C, D, E $. Chứng minh rằng: $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{EA}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{ED}$.

    Bài 3. Chứng minh rằng với mọi điểm $ A,B,C,D,E,F,G $ tùy ý ta luôn có:

    • $ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB} $
    • $ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{EA}=\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{CB} $
    • $ \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{BF}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CE} $
    • $ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{GA}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{GF} $

    Bài 4. Gọi $ O $ là tâm của hình bình hành $ ABCD $. Chứng minh rằng:

    • $\overrightarrow{DO}+\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{AB}$
    • $\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{BC}$
    • $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}$
    • $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}$ với điểm $ M $ tùy ý.

    Bài 5. Cho tam giác $ABC$. Gọi $M,N$ và $P$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB,AC$ và $BC$. Chứng minh rằng với điểm $O$ bất kỳ ta có
    $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{OP}.$

    Bài 6. Cho tam giác $ \Delta ABC $ có $A’,B’,C’$ là trung điểm các cạnh $ BC,CA,AB. $ Chứng minh $ \overrightarrow{AA’}+\overrightarrow{BB’}+\overrightarrow{CC’}=\vec{0}. $

    Bài 7. Cho tứ giác $ ABCD. $ Gọi $ M, N $ lần lượt là trung điểm của các cạnh $ AB, CD. $ Điểm $ K $ là điểm đối xứng của $ M $ qua $ N. $ Chứng minh $$ \overrightarrow{MK}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}= \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}. $$

    Bài 8. Cho tam giác $ ABC $, dựng bên ngoài tam giác các hình bình hành $ ABIJ,BCPQ,CARS. $ Chứng minh rằng $ \overrightarrow{RJ}+\overrightarrow{IQ}+\overrightarrow{PS}=\vec{0}$.

    Bài 9. Cho tứ giác lồi $ ABCD. $ Gọi $ E, F $ lần lượt là trung điểm của $ AB $ và $ CD. $

    • Chứng minh $ \overrightarrow{ AC}+\overrightarrow{ BD}=\overrightarrow{ AD}+\overrightarrow{{BC}}=2 \overrightarrow{ EF} $.
    • Gọi $ G $ là trung điểm của $ EF. $ Chứng minh rằng $ \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{ GD}=2 \overrightarrow{EF}$.

    Bài 10. Cho bốn điểm $A,B,C,D$. Gọi $ M,N $ là trung điểm của $ AD,BC $ và $ O $ là điểm trên đoạn $ MN $ sao cho $ OM=2ON. $ Chứng minh rằng $$ \overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}+2\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\vec{0}. $$

    Bài 11. Cho hình bình hành $ABCD$. Gọi $O$ là một điểm bất kỳ trên đường chéo $AC$. Qua $O$ kẻ các đường thẳng song song với các cạnh của hình bình hành. Các đường thẳng này cắt $AB$ và $DC$ lần lượt tại $M$ và $N$, cắt $AD$ và $BC$ lần lượt tại $E$ và $F$. Chứng minh rằng:

    • $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}$.
    • $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{FN}$.

    Bài 12. Gọi $ G,G’ $ là trọng tâm hai tam giác $ ABC $ và $ A’B’C’ $. Chứng minh rằng $$ \overrightarrow{AA’}+\overrightarrow{BB’}+\overrightarrow{CC’}=3\overrightarrow{GG’}. $$ Từ đó suy ra điều kiện để hai tam giác có cùng trọng tâm.

    Bài 13. Cho lục giác $ ABCDEF $ có $ M, N, P, Q, R, S $ lần lượt là trung điểm các cạnh $ AB, BC, CD, DE, EF $ và $ FA. $ Chứng minh rằng hai tam giác $ MPR $ và $ NQS $ có cùng trọng tâm.

    Hướng dẫn. Giả sử điểm $G$ là trọng tâm tam giác $ MPR $ thì
    \begin{align*}
    \overrightarrow{GN}+\overrightarrow{GQ}+\overrightarrow{GS}&=\frac{1}{2}(\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC})+\frac{1}{2}(\overrightarrow{GD}+\overrightarrow{GE})+\frac{1}{2}(\overrightarrow{GF}+\overrightarrow{GA}) \\
    &=\frac{1}{2}(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB})+\frac{1}{2}(\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD})+\frac{1}{2}(\overrightarrow{GE}+\overrightarrow{GF})\\
    &=\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{GP}+\overrightarrow{GR}\\
    &=\vec{0}.
    \end{align*}

    Bài 14. Cho tứ giác $ABCD$, biết rằng tồn tại điểm $ O $ sao cho các véc-tơ $ \overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$, $\overrightarrow{OC}$, $\overrightarrow{OD} $ có độ dài bằng nhau và $ \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\vec{0}. $ Chứng minh rằng $ABCD$ là hình chữ nhật.

    Hướng dẫn. Gọi $ E,F,G,H $ là trung điểm các cạnh. Từ $ \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\vec{0} $ suy ra $ O $ là trung điểm của $ EG $ và $ HF. $ Mặt khác, các véc-tơ $ \overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC},\overrightarrow{OD} $ có độ dài bằng nhau nên $ OA=OB=OC=OD. $ Từ đó suy ra tứ giác $ABCD$ là hình chữ nhật.

    Bài 15. Cho $ \Delta ABC $ có $ M $ là trung điểm của $ BC,G$ là trọng tâm, $ H $ là trực tâm, $ O $ là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác. Chứng minh:

    • $ \overrightarrow{ AH}=2 \overrightarrow{ OM} $,
    • $ \overrightarrow{ OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{ OC}=\overrightarrow{ OH}=3\overrightarrow{OG} $,
    • $ \overrightarrow{ HA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{ HC}=2 \overrightarrow{ HO}=3\overrightarrow{HG} $,
    • $ \overrightarrow{OH}=2\overrightarrow{OI} $.

    Hướng dẫn. Gọi $A’$ đối xứng với $ A $ qua $ O $ thì $ BHCA’ $ là hình bình hành.

    Bài 16. Cho tam giác $ ABC $ có độ dài ba cạnh là $ a,b,c $. Gọi $ I $ là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác. Chứng minh $ a \overrightarrow{ IA}+b\overrightarrow{ IB}+c\overrightarrow{ IC}=\vec{0} $.

    Hướng dẫn. Gọi $ B_1,C_1 $ là chân hai đường phân giác kẻ từ $ B,C. $ Dựng hình bình hành $AB_2IC_2$ thì $ \overrightarrow{ IA}=\overrightarrow{ IB_2}+\overrightarrow{ IC_2} $. Lại có $ \frac{IB_2}{IB}=\frac{AC_2}{IB}=\frac{AC_1}{BC_1}=\frac{b}{a}, $ nên $ \overrightarrow{ IB_2}=-\frac{b}{a}\overrightarrow{IB}. $ Tương tự có $ \overrightarrow{ IC_2}=-\frac{c}{a}\overrightarrow{IC}. $ Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

    Bài 17. Cho tam giác $ ABC $ có $ H $ là trực tâm. Chứng minh rằng
    $$ \tan A.\overrightarrow{HA}+\tan B.\overrightarrow{HB}+\tan C.\overrightarrow{HC}=\vec{0}.$$ Hướng dẫn. Xét trường hợp tam giác $ ABC $ nhọn. Dựng hình bình hành $ HA’CB’ $ thì có $ \overrightarrow{HC}=\overrightarrow{HA’}+\overrightarrow{HB’}=\alpha.\overrightarrow{HA}+\beta.\overrightarrow{HB}, $ trong đó $$ \alpha=-\frac{HA’}{HA}=-\frac{B_1C}{B_1A}=-\frac{BB_1.\cot C}{BB_1\cot A}=-\frac{\tan A}{\tan C},$$ và  $$\beta=…=-\frac{\tan B}{\tan C}. $$ Suy ra $$ \overrightarrow{HC}=-\frac{\tan A}{\tan C}\overrightarrow{HA}-\frac{\tan B}{\tan C}\overrightarrow{HB} $$ hay chính là $\tan A.\overrightarrow{HA}+\tan B.\overrightarrow{HB}+\tan C.\overrightarrow{HC}=\vec{0}.$

    Bài 18*. Cho tam giác $ ABC $ đều có $M $ là một điểm bất kì trong tam giác. Gọi $ D, E, F $ lần lượt là điểm đối xứng của $ M $ qua các cạnh $ BC,AC,AB. $ Chứng minh rằng hai tam giác $ ABC $ và $ DEF $ có cùng trọng tâm.

    Bài 19. Cho tam giác $ ABC $ có $ G $ là trọng tâm và $ H $ là điểm đối xứng của $B$ qua $ G. $

    • Chứng minh $ \overrightarrow{AH}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CH}=-\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}) $.
    • Gọi $ M $ là trung điểm của $BC$, chứng minh rằng $ \overrightarrow{MH}=\frac{1}{6}\overrightarrow{AC}-\frac{5}{6}\overrightarrow{AB}. $

    Bài 20*. Cho tam giác $ ABC $ đều tâm $ O.$ Giả sử $M $ là một điểm bất kì trong tam giác. Gọi $ D, E, F $ lần lượt là hình chiếu của $ M $ trên $ BC, AC $ và $ AB. $ Chứng minh rằng: $ \overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}=\frac{3}{2}\overrightarrow{MO}. $

    Hướng dẫn. Qua $M$ kẻ các đường thẳng song song $ B_2C_2\parallel BC, A_2C_1\parallel AC, A_1B_1\parallel AB $ thì các tam giác $ MA_1A_2,MB_1B_2,MC_1C_2 $ là các tam giác đều.

    Có \begin{align} 2(\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF})& =\overrightarrow{MA_1}+\overrightarrow{MA_2}+\overrightarrow{MB_1}+\overrightarrow{MB_2}+\overrightarrow{MC_1}+\overrightarrow{MC_2}\\
    &=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MO}. \end{align}

    Bài tập phân tích véc-tơ (Biểu diễn vecto theo 2 vecto không cùng phương)

    Bài 1. Cho tam giác $ABC$ có trọng tâm $G$. Gọi $D,E,F$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC,CA,AB$ và $I$ là giao điểm của $AD$ và $EF$. Đặt $\vec{u}=\overrightarrow{AE},\vec{v}=\overrightarrow{AF}$. Hãy phân tích các véc-tơ $\overrightarrow{AI},\overrightarrow{AG},\overrightarrow{DE},\overrightarrow{DC}$ theo hai véc-tơ $\vec{u},\vec{v}$.

    Đáp số. $\overrightarrow{AI}=\frac{1}{2}\vec{u}+\frac{1}{2}\vec{v};\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\vec{u}+\frac{2}{3}\vec{v};\overrightarrow{DE}=-\vec{v};\overrightarrow{DC}=\vec{u}-\vec{v}$.

    Bài 2. Cho hình bình hành $ABCD$ có tâm $ O. $ Đặt $ \overrightarrow{AB}=\vec{a}, \overrightarrow{AD}=\vec{b}. $ Hãy tính các véc-tơ sau theo $ \vec{a}, \vec{b} $:

    • $ \overrightarrow{AI} $ với $ I $ là trung điểm của $ BO. $
    • $ \overrightarrow{BG} $ với $ G $ là trọng tâm tam giác $ OCD. $

    Đáp số. $ \overrightarrow{AI}=\frac{3}{4}\vec{a}+\frac{1}{4}\vec{b} $, $ \overrightarrow{BG}=-\frac{1}{2}\vec{a}+\frac{5}{6}\vec{b}. $

    Bài 3. Cho tam giác $ ABC $ có trọng tâm $ G. $ Cho các điểm $ D, E, F $ lần lượt là trung điểm của các cạnh $ BC, CA, AB $ và $ I $ là giao điểm của $ AD $ và $ EF. $ Đặt $\vec{u}=\overrightarrow{AE},\vec{v}=\overrightarrow{AF}$. Hãy phân tích các véc-tơ $\overrightarrow{AI},\overrightarrow{AG},\overrightarrow{DE},\overrightarrow{DC}$ theo $\vec{u},\vec{v}$.

    Hướng dẫn. Ta có \begin{align*}
    \overrightarrow{AI}&=\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AF})=\frac{1}{2}(\vec{u}+\frac{1}{2}\vec{v})\\
    \overrightarrow{AG}&=\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}=\frac{2}{3}\vec{u}+\frac{2}{3}\vec{v}\\
    \overrightarrow{DE}&=\overrightarrow{FA}=-\overrightarrow{AF}=0.\vec{u}+(-1)\vec{v}\\
    \overrightarrow{DC}&=\overrightarrow{FE}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AF}=\vec{u}-\vec{v}
    \end{align*}

    Bài 4. Cho lục giác đều $ABCDEF$ có tâm $O$ và cạnh $a$.

    • Phân tích $\overrightarrow{AD}$ theo hai véc-tơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AF}$.
    • Tính độ dài của véc-tơ $\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$ theo $a$.

    Đáp số. a) $\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{AF}$; b) $\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

    Bài 5. Cho $\Delta ABC$ có $M$ là trung điểm của $BC$. Phân tích $\overrightarrow{AM}$ theo $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$.

    Đáp số. $ \overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}.$

    Bài 6. Cho $\Delta ABC$. Gọi $M$ là trung điểm của $AB$ và $N$ là một điểm trên cạnh $AC$ sao cho $NA=2NC$. Gọi $K$ là trung điểm của $MN$. Phân tích $\overrightarrow{AK}$ theo $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$.

    Đáp số. $ \overrightarrow{AK}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}.$

    Bài 7. Cho tam giác $ ABC $ có điểm $I$ trên cạnh $BC$ sao cho $ 2CI=3BI, J $ trên cạnh $BC$ kéo dài sao cho $ 5JB=2JC. $

    • Tính $ \overrightarrow{AI},\overrightarrow{AJ} $ theo $ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}. $
    • Gọi điểm $G$ là trọng tâm tam giác $ ABC $, tính $ \overrightarrow{AG} $ theo $ \overrightarrow{AI},\overrightarrow{AJ}. $

    Đáp số.

    • $ \overrightarrow{AI}=\frac{3}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{5}\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AJ}=\frac{5}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}. $
    • $ \overrightarrow{AG}=\frac{35}{48}\overrightarrow{AI}-\frac{1}{16}\overrightarrow{AJ}. $

    Xác định điểm thỏa mãn đẳng thức vecto

    Bài 1. Cho hai điểm phân biệt $A$ và $B$. Tìm điểm $K$ sao cho $3\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}=\overrightarrow{0}.$

    Bài 2. Cho tam giác $ABC$, hãy dựng các điểm $ I,J,K$ thỏa mãn: $ \overrightarrow{IA}-3\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{AC} $, $ \overrightarrow{JA}-\overrightarrow{JB}+2\overrightarrow{JC}=\vec{0} $, $ \overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}=2\overrightarrow{CB} $.

    Bài 3. Cho tam giác $ABC$, hãy dựng các điểm $ I,J,K,L$ thỏa mãn:

    • $ \overrightarrow{IA}-\overrightarrow{IB}+2\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{AB} $,
    • $ \overrightarrow{JA}+\overrightarrow{JB}+\overrightarrow{JC}=\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AC} $,
    • $ \overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KB}+2\overrightarrow{KC}=\vec{0} $,
    • $ \overrightarrow{LA}-2\overrightarrow{LB}+\overrightarrow{LC}=\vec{0} $.

    Bài 4. Cho hình vuông $ABCD$ có cạnh bằng $ a,M $ là một điểm bất kì. Chứng minh rằng các véc-tơ sau đây không đổi. Tính mô-đun của chúng theo $ a. $

    • $ 2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}-2\overrightarrow{MD} $,
    • $ 3\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-2\overrightarrow{MC} $,
    • $ 4\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MD} $.

    Đáp số. $3a,a\sqrt{13},2a\sqrt{2} $

    Bài 5. Cho tam giác $ ABC $, tìm tập hợp những điểm $M$ sao cho:

    • $ |\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}|=\frac{3}{2}|\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}| $,
    • $ |\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{BC}|=|\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}| $,
    • $ |4\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}|=|2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}| $.

    Hướng dẫn.

    • Biến đổi thành $ |\overrightarrow{MG}|=|\overrightarrow{MI}| $ với $ G $ là trọng tâm tam giác $ ABC $ và $ I $ là trung điểm $ BC. $
    • $ M $ thuộc đường tròn $ (D,AB) $ với $ D $ là đỉnh hình bình hành $ABCD$.
    • Biến đổi thành $ |6\overrightarrow{MK}|=|\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{CA}|=2|\overrightarrow{EA}| $ trong đó $ E $ là trung điểm $BC$ và $ K $ là điểm thỏa mãn $ 4\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{KC}=\vec{0}. $

    Chứng minh song song thẳng hàng bằng vecto

    Bài 1. Cho $\Delta ABC$. Hai điểm $M,N$ được xác định bởi $\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{0};\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{NA}-3\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0}$. Chứng minh $MN\parallel AC$.

    Hướng dẫn. Chỉ ra $\overrightarrow{MN}=2\overrightarrow{AC}$.

    Bài 2. Cho hình bình hành $ ABCD. $ Trên đoạn $ BC $ lấy điểm $ H, $ trên đoạn $ BD $ lấy điểm $ K $ sao cho: $ BH=CH, DK=2BK. $ Chứng minh $ A,K,H $ thẳng hàng.

    Hướng dẫn. Phân tích véc-tơ $ \overrightarrow{AK},\overrightarrow{AH} $ theo các véc-tơ $ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}. $

    Bài 3. Cho hình bình hành $ ABCD. $ Trên $ BC $ lấy điểm $ H, $ trên $ BD $ lấy điểm $ K $ sao cho: $ \overrightarrow{BH}=\frac{1}{5}\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BK}=\frac{1}{6}\overrightarrow{BD}. $ Chứng minh $ A,K,H $ thẳng hàng.

    Hướng dẫn. Phân tích véc-tơ $ \overrightarrow{AK},\overrightarrow{AH} $ theo các véc-tơ $ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}. $

    Bài 4. Cho tam giác $ ABC $ có $ M,N,P $ thỏa mãn $ \overrightarrow{MB}=3\overrightarrow{MC},\overrightarrow{NA}+3\overrightarrow{NC}=\vec{0},\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}=\vec{0}. $ Tính $ \overrightarrow{MP},\overrightarrow{MN} $ theo $ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}. $ Suy ra $ M,N,P $ thẳng hàng.
    Hướng dẫn. Có $ \overrightarrow{MP}=\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AM}, \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}. $ Ta đi tính $ \overrightarrow{AP},\overrightarrow{AN},\overrightarrow{AM} $ theo $ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} $ được $ \overrightarrow{AP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AM}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}. $ Từ đó phân tích $ \overrightarrow{MP},\overrightarrow{MN} $ theo $ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} $ và suy ra $ \overrightarrow{MP}=2\overrightarrow{MN}, $ do đó $ M,N,P $ thẳng hàng.

    Bài 5. Cho tam giác $ ABC $ và hai điểm $ I,J $ thỏa mãn $ \overrightarrow{IC}-\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IA}=\vec{0}, \overrightarrow{JA}+\overrightarrow{JB}-3\overrightarrow{JC}=\vec{0}. $ Chứng minh $ I,G,B $ thẳng hàng với $ G $ là trọng tâm tam giác $ ABC $. Chứng minh $ IJ $ cùng phương $ AC. $

    Hướng dẫn.  Từ $ \overrightarrow{IC}-\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IA}=\vec{0} $ suy ra $ \overrightarrow{IG}=2\overrightarrow{GB}, $ do đó $ I,G,B $ thẳng hàng.
    Ta có $ \overrightarrow{IC}-\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IA}=\vec{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{IA}=\vec{0}. $
    Mặt khác \begin{align} \overrightarrow{JA}+\overrightarrow{JB}-3\overrightarrow{JC}&=\vec{0} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow{JA}+(\overrightarrow{JA}+\overrightarrow{AB})-3(\overrightarrow{JA}+\overrightarrow{AC})&=\vec{0} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{JA}-3\overrightarrow{AC}&=\vec{0}.\end{align} Cộng từng vế hai đẳng thức được $ \overrightarrow{IJ}=2\overrightarrow{AC}, $ do đó $ IJ $ cùng phương $ AC. $

    Bài 6. Cho tam giác $ ABC $ có $ M $ là điểm di động.

    • Dựng $ \overrightarrow{MN}=2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}. $ Chứng minh đường thẳng $ MN $ luôn đi qua một điểm cố định.
    • Gọi $ P $ là trung điểm $ CN, $ chứng minh rằng đường thẳng $ MP $ luôn đi qua một điểm cố định.
    • Kéo dài $ AB $ một đoạn $ BE=AB, $ gọi $ F $ là trung điểm $AC$, vẽ hình bình hành $ EAFG. $ Đường thẳng $ AG $ cắt $BC$ tại $ K. $ Tính tỉ số $ KB:KC. $

    Hướng dẫn.

    • Gọi $ I $ là điểm xác định bởi $ 2\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IC} $ thì $ I $ cố định. Khi đó $ \overrightarrow{MN}= 2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}=4\overrightarrow{MI}.$ Suy ra $ M,N,I $ thẳng hàng hay $ MN $ luôn đi qua điểm $ I $ cố định.
    • Vì $ P $ là trung điểm $ CN $ nên $ \overrightarrow{MP}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{MC})=\frac{1}{2}(2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}). $ Gọi $ J $ là điểm xác định bởi $ 2\overrightarrow{JA}+3\overrightarrow{JB}=\vec{0} $ thì $ J $ cố định. Khi đó $ \overrightarrow{MP}=…=\frac{5}{2}\overrightarrow{MJ} $ hay $ MP $ luôn đi qua điểm $ J $ cố định.
    • Để xác định giao điểm $ K $ của $ AG $ và $BC$ ta tính $ \overrightarrow{AG} $ theo $ \overrightarrow{AB} $ và $ \overrightarrow{AC}. $
      Có $ \overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}. $ Do đó $ AG $ cắt $BC$ tại $ K$ mà $ 2\overrightarrow{KB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{KC} $ hay $ KB:KC=1:4. $

    Bài 7. Cho $\Delta ABC$. Dựng $\overrightarrow{AB’}=\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{CA’}=\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{BC’}=\overrightarrow{CA}$. Chứng minh $A$ là trung điểm của $B’C’$. Chứng minh $AA’,BB’,CC’$ đồng quy.

    Bài 8. Cho $\Delta ABC$ có điểm $I$ trên cạnh $AC$ sao cho $CI=\frac{1}{4}CA$, $J$ là điểm thỏa $\overrightarrow{BJ}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$.

    • Chứng minh $\overrightarrow{BI}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$.
    • Chứng minh $B,I,J$ thẳng hàng. Hãy dựng điểm $J$ thỏa mãn điều kiện đề bài.

    Bài 9. Cho tam giác $ ABC $ có điểm $D$ định bởi $ \overrightarrow{BD}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BC} $ và $I$ là trung điểm $AD$. Gọi $ M $ là điểm thỏa mãn $ \overrightarrow{AM}=x\overrightarrow{AC} $ với $ x $ là số thực.

    • Tính $ \overrightarrow{BI} $ theo $ \overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}. $
    • Tính $ \overrightarrow{BM} $ theo $ \overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}. $
    • Tìm $ x $ để ba điểm $ B,I,M $ thẳng hàng.

    Hướng dẫn.

    • $ I $ là trung điểm $AD$ nên có $ \overrightarrow{BI}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BD})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{BC})=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}. $
    • Ta có \begin{align} \overrightarrow{AM}&=x\overrightarrow{AC} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow{BM}-\overrightarrow{BA}&=x(\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}) \\ \Leftrightarrow \overrightarrow{BM}& =(1-x)\overrightarrow{BA}+x\overrightarrow{BC}. \end{align}
    • Ba điểm $ B,I,M $ thẳng hàng $ \Leftrightarrow $ tồn tại số $ k $ sao cho \begin{align} \overrightarrow{BM}&=k\overrightarrow{BI}  \\ \Leftrightarrow  (1-x)\overrightarrow{BA}+x\overrightarrow{BC}&=\frac{k}{2}\overrightarrow{BA}+\frac{k}{3}\overrightarrow{BC} \\ \Leftrightarrow 2(1-x)&= 3x \\ \Leftrightarrow x&=\frac{2}{5}.\end{align}

    Bài 10. Cho tam giác $ ABC $. Xác định điểm $ D $ thỏa mãn $ \overrightarrow{DA}+3\overrightarrow{DB}=\vec{0}. $ Tìm tập hợp điểm $M$ thỏa mãn $ |\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}|=8. $

    Hướng dẫn. 
    Có $ \overrightarrow{DA}+3\overrightarrow{DB}=\vec{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{DA}=-3\overrightarrow{DB} $ nên điểm $ D $ chia đoạn $AB$ theo tỉ số $ -3. $

    Từ \begin{align} |\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}|&=8 \\ \Leftrightarrow |\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DA}+3(\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DB})|&=8 \\ \Leftrightarrow |4\overrightarrow{MD}|&=8 \end{align} suy ra $ DM=2. $

    Vậy tập hợp các điểm $ M $ là đường tròn tâm $ D, $ bán kính bằng 2.

    Bài 11. Cho tam giác $ ABC $ và điểm $M$ tùy ý. Xác định điểm $D$ thỏa mãn $ \overrightarrow{DB}-3\overrightarrow{DC}=\vec{0}. $ Chứng minh rằng đường thẳng $ MN $ đi qua điểm cố định biết $ \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MB}-3\overrightarrow{MC}. $

    Hướng dẫn. 
    Có $ \overrightarrow{DB}-3\overrightarrow{DC}=\vec{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{DB}=3\overrightarrow{DC}.$ Vậy điểm $ D $ chia đoạn $ BC $ theo tỉ số 3.
    Ta có $ \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MB}-3\overrightarrow{MC} \Leftrightarrow \overrightarrow{MN}=-2\overrightarrow{MD}. $ Vậy đường thẳng $ MN $ đi qua điểm $D$ cố định.

    Bài 12. Cho tam giác $ ABC $ có $ D $ là trung điểm của $ BC, N $ là điểm đối xứng của $ C $ qua $ A $ và
    $ M $ là điểm thỏa mãn $ \overrightarrow{AM}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}. $ Tìm điểm $ K $ trên đường thẳng $ MN $ sao cho ba điểm $ A, D , K $ thẳng hàng.

    Hướng dẫn.

    Ta có $ \overrightarrow{AM}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AN}=-\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}). $ Vì $ K\in MN $ nên đặt $ \overrightarrow{KM}=x\overrightarrow{KN} \Leftrightarrow \overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AK}=x(\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AK})$.

    Do đó $ \overrightarrow{AK}=\frac{x\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM} }{x-1}=\frac{-x\overrightarrow{AC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB} }{x-1}=\frac{x}{1-x}\overrightarrow{AC}+\frac{1}{2(1-x)}\overrightarrow{AB}. $ Mà $ A,D,K $ thẳng hàng nên tìm được $ x=\frac{1}{2}. $

    Vậy $ \overrightarrow{KM}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{KN}. $

  • Bài tập vecto lớp 10 (Khái niệm vector, hai véc-tơ bằng nhau)

    Bài tập vecto lớp 10 (Khái niệm vector, hai véc-tơ bằng nhau)

    Bài tập vecto Lớp 10

    Bài viết này giới thiệu phần bài tập vecto lớp 10 với các dạng bài về Khái niệm vector, các véc-tơ cùng phương, độ dài véc-tơ, hai véc-tơ bằng nhau. Bài tập về các phép toán vecto xin mời các em xem tại đây: Bài tập Các phép toán véc-tơ

    Bài 1. Cho ba điểm $ A, B, C $ không thẳng hàng. Có thể xác định được bao nhiêu véc tơ khác nhau và khác $\overrightarrow{0}$, mà các điểm mút là hai trong ba điểm đó.

    Bài 2. Cho véc tơ $\overrightarrow{AB}$ khác $\overrightarrow{0}$. Hãy vẽ 5 số véc tơ bằng véc tơ $\overrightarrow{AB}$.

    Bài 3. Cho tam giác đều $ ABC $. Các đẳng thức: $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}$, $| \overrightarrow{AB} |=| \overrightarrow{AC} |=| \overrightarrow{BC} |$ đúng hay sai? Vì sao?

    Bài 4. Cho ba điểm $ A, B, C $ phân biệt, chứng minh rằng nếu $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}$ thì ba điểm đó thẳng hàng.

    Bài 5. Cho nửa lục giác đều $ ABCD $ nội tiếp trong đường tròn tâm $ O $ đường kính $ AD. $ Chỉ ra các véc-tơ bằng với $ \overrightarrow{BC}. $

    Hướng dẫn. Tứ giác $ ABOA $ là hình thoi nên $ \overrightarrow{AO}=\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OD}. $

    Bài 5. Cho hình vuông $ABCD$ tâm $O$. Liệt kê tất cả các véc-tơ bằng nhau (khác véc-tơ $\overrightarrow{0}$) nhận đỉnh và tâm của hình vuông làm điểm đầu và điểm cuối.

    Bài 6. Cho hình bình hành $ ABCD $ và $ E $ là điểm đối xứng của $ C $ qua $ D. $ Chứng tỏ $ \overrightarrow{AE}=\overrightarrow{BD}. $

    Hướng dẫn. Chỉ ra tứ giác $ ABDE $ là hình bình hành.

    Bài 7. Cho tứ giác $ABCD$. Gọi $M,N,P$ và $Q$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB,BC,CD$ và $DA$. Chứng minh: $\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{MQ}$ và $\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{NM}$.

    Bài 8. Cho tam giác $ABC$. Các điểm $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB$ và $AC$. So sánh độ dài của hai véc-tơ $\overrightarrow{NM}$ và $\overrightarrow{BC}$. Vì sao hai véc-tơ đó cùng phương.

    Bài 9. Cho điểm $ A $ cố định. Tìm tập hợp các điểm $ M $ sao cho:

    • $ |\overrightarrow{AM}|=\SI{4}{cm} $
    • $ \overrightarrow{AM} $ cùng phương với $ \vec{a} $ cho trước.

    Hướng dẫn. Điểm $ A $ cố định và độ dài $ AM = \SI{4}{cm}. $ Vậy tập hợp các điểm $ M $ là đường tròn tâm $ A $ bán kính $ \SI{4}{cm}. $

    $ \overrightarrow{AM} $ cùng phương với $ \vec{a} $ nên $ M $ chạy trên đường thẳng qua $ A $ và song song với giá của véc-tơ $ \vec{a}. $

    Bài 10. Cho 4 điểm phân biệt $A,B,C,D$. Chứng minh rằng nếu $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ thì $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$.

    Bài 11. Xác định vị trí tương đối của 3 điểm phân biệt $A,B$ và $C$ trong các trường hợp sau:

    • $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ cùng hướng,
    • $|\overrightarrow{AB}|>|\overrightarrow{AC}|$.
    • $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ cùng hướng.

    Bài 12. Cho hình bình hành $ABCD$. Dựng $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{BA}$, $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{DA}$,$\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{DC}$, $\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{BC}$.

    Chứng minh $\overrightarrow{AQ}=\overrightarrow{0}$.

    Bài 13. Cho tam giác $ABC$ có $D,E,F$ lần lượt là trung điểm của $BC,CA,AB$. Chứng minh: $\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{CD}$

    Bài 14. Cho hình bình hành $ABCD$. Hai điểm $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $BC$ và $AD$. Điểm $I$ là giao điểm của $AM$ và $BN$, $K$ là giao điểm của $DM$ và $CN$. Chứng minh: $$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{NC},\overrightarrow{DK}=\overrightarrow{NI}$$

    Bài 15. Cho tam giác $ABC$ có $H$ là trực tâm và $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp. Gọi $B’$ là điểm đối xứng với $B$ qua $O$, $ K $ là trung điểm của $ AH, I $ là trung điểm của $ BC $. Chứng minh $\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{B’C}; \overrightarrow{OK}=\overrightarrow{IH}$

    Bài 16. Cho tam giác $ ABC $ và điểm $ M $ ở trong tam giác. Gọi $A’,B’,C’$ lần lượt là trung điểm của $ BC,CA , AB $ và $ N, P, Q $ lần lượt là điểm đối xứng của $ M $ qua $A’,B’,C’$. Chứng minh:

    • $ \overrightarrow{AQ}=\overrightarrow{CN}$,
    • $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{PC}, $
    • Ba đường thẳng $ AN,BP,CQ $ đồng quy.

    Hướng dẫn. Tứ giác $ AQBM,MBNC $ là hình bình hành vì có hai đường chéo giao nhau tại trung điểm nên ta có $ \overrightarrow{AQ}=\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{CN}. $ Và do đó $ ACNQ $ là hình bình hành. Chứng minh tương tự có $ \overrightarrow{QP}=\overrightarrow{PC} $ và $ BCPQ $ cũng là hình bình hành. Suy ra ba đường thẳng $ AN,BP,CQ $ đồng quy.

  • Bài tập Tập hợp Toán 10

    Bài tập Tập hợp Toán 10

    Bài tập Tập hợp Toán 10

    Phần lý thuyết, mời các em xem trong bài Tập hợp và các phép toán tập hợp

    Bài tập Tập hợp Toán 10

    Bài 1. Viết lại các tập hợp sau bằng cách liệt kê các phần tử:

    • $A=\left\{3k-1\mid k\in \mathbb{Z} , -5\leqslant k\leqslant 3\right\}$.
    • $B=\left\{x\in \mathbb{Z} \mid \mid x\mid <10\right\}$.
    • $C=\left\{x\in \mathbb{Z} \mid 3<\mid x\mid \leqslant \frac{19}{2}\right\}.$
    • $D=\left\{x\in\mathbb{Z} \mid 6x^2-5x-1=0\right\} $.
    • $E=\left\{x\in \mathbb{R}\mid x^2-2x+4=0\right\}$.
    • $F=\left\{x=2k \mid k\in \mathbb{Z} \text{ và } -3<x<15\right\}$.
    • $G=\left\{(x;x^2)\mid x\in \left\{-1;0;1\right\}\right\}$.
    • $H=\left\{(x;y)\mid x^2+y^2\leqslant 2\text{ và } x\in \mathbb{Z} \right\}$.
    • $I=\left\{k\in \mathbb{Z} \mid x=3k\text{ với }x\in \mathbb{Z} \text{ và } -12<x\leqslant 6\right\}$.
    • $J=\left\{k\in \mathbb{N}\mid y=2k\text{ với }y\in \mathbb{Z} \text{ và } -4\leqslant y\leqslant 7\right\}$.
    • $K=\left\{k\in \mathbb{Z} \mid z=4k\text{ với }z\in \mathbb{Z} \text{ và } -16\leqslant z< 12 \right\}$.

    Bài 2. Xác định các tập hợp sau bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng:

    • $ A= \left\{1,4,9,16,25,36\right\}. $
    • $ B= \left\{-3,-2,-1,0,1,2,3,4\right\}. $

    Bài 3. Cho $ A= \left\{1,2,3,4,5,6\right\}, B= \left\{2,4,6\right\}, C=\left\{4,6,8\right\}. $ Tìm các tập hợp:

    • $ A\cap B$
    • $B\cap C$
    • $C\cap A$
    • $A\cup B$
    • $B\cup C$
    • $C\cup A$
    • $ A\setminus B$
    • $ B\setminus C$
    • $ A \setminus C$
    • $A\cap B\cap C.$

    Bài 4. Cho $ A=\left\{x\in \mathbb{R}, \mid x-1\mid >2 \right\} $ và $ B=\left\{x\in \mathbb{R}, \mid x+2\mid \leqslant 1 \right\}. $ Tìm $ A\cap B$.

    Bài 5. [Công thức De Morgan]

    Chứng minh $ A\setminus (B\cup C)=(A\setminus B)\cap (A\setminus C) $ và $ A\setminus (B\cap C)=(A\setminus B)\cup (A\setminus C), $ với $ A,B,C $ là các tập hợp bất kì.

    Bài 6. Cho $ A,B,C $ là các tập hợp bất kì. Chứng minh rằng:

    • $ (A\setminus B)\cap (B\setminus A)=\varnothing \Leftrightarrow A=B$
    • $ A=(A\setminus B)\cup (A\cap B)$
    • $ (A\setminus B)\cup(B\setminus A)=(A\cup B)\setminus (A\cap B) $

    Bài 7. Một số em của nhóm gồm 9 học sinh tham gia ngoại khóa các môn thể thao. Một học sinh tham gia môn cầu lông, sáu học sinh tham gia môn bóng bàn và môn bơi, ba học sinh tham gia môn bơi. Hỏi có bao nhiêu học sinh không tham gia cả ba môn bóng bàn, bơi, cầu lông?

    Hướng dẫn. Sử dụng biểu đồ Venn. Có 2 học sinh.

    Bài 8. Trong một lớp học mọi học sinh nam đều tham gia vào những câu lạc bộ: Bóng đá, bóng chuyền và cầu lông. Qua tìm hiểu thấy rằng: Có 7 em tham gia bóng đá, 6 em bóng chuyền, 5 em cầu lông, 4 em vừa bóng đá vừa bóng chuyền, 3 em vừa bóng đá vừa cầu lông, 2 em vừa bóng chuyền vừa cầu lông, 1 em tham gia cả ba câu lạc bộ. Vậy trong lớp học có bao nhiêu học sinh nam?

    Bài 9. Cho $A,B$ là hai tập hợp, $x\in A$ và $x\notin B$. Xét xem trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

    • $x\in A\cap B$
    • $x\in A\cup B$
    • $x\in A\setminus B$
    • $x\in B\setminus A$

    Bài 10. Cho $A,B$ là hai tập phân biệt và khác rỗng. Xét xem trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

    • $A\subset (B\setminus A)$
    • $A\subset A\cup B$
    • $A\cap B\subset A\cup B$
    • $A\setminus B\subset A$

    Bài 11. Tìm các tập hợp $A,B$ biết $A\cap B=\left\{0,1,2,3,4\right\};A\setminus B=\left\{-3,-2\right\}$ và $B\setminus A=\left\{6,9,10\right\}$.

    Bài 12. Cho các tập hợp:

    • $E=\left\{x\in \mathbb{N} \mid 1\leqslant x<7\right\}$
    • $A=\left\{x\in \mathbb{N} \mid (x^2-9)(x^2-5x-6)=0\right\}$
    • $B=\left\{x\in \mathbb{N} \mid x\text{ là số nguyên tố không quá 5}\right\}$

    Chứng minh $A\subset B;B\subset E$. Tìm $C_E A;C_E B;C_E (A\cap B)$.

    Bài 13. Cho các tập hợp:

    $$E=\left\{x\in\mathbb{Z} \mid \mid x\mid \leqslant 5 \right\}$$
    $$A=\left\{x\in\mathbb{N}\mid \mid x\mid \leqslant 5\right\}$$
    $$B=\left\{x\in\mathbb{Z}\mid (x-2)(x+1)(2x^2-x-3)=0\right\}$$

    • Chứng minh $A\subset E$ và $B\subset E$.
    • Tìm $C_{E}(A\cup B)$ và $C_{E}(A\cap B)$.
    • Chứng minh $C_{E}(A\cup B)\subset C_{E}A$.

    Bài 14.  Chứng minh rằng:

    • Nếu $A\subset B$ và $C\subset D$ thì $(A\cup B)\subset (C\cup D)$.
    • $A\setminus (B\cap C)=(A\setminus B)\cup (A\setminus C)$.
    • $A\setminus (B\cup C)=(A\setminus B)\cap (A\setminus C)$.

    Bài 15. Cho các tập $$A=\left\{x\in\mathbb{R}\mid 1\leqslant x\leqslant 5\right\}$$ $$B=\left\{x\in \mathbb{R}\mid 4\leqslant x\leqslant 7\right\}$$ $$C=\left\{x\in\mathbb{R}\mid 2\leqslant x<6\right\}$$

    • Tìm các tập sau: $A\cap B;\;A\cap C;\;B\cap C;\;A\cup C;\;A\setminus (B\cup C)$.
    • Gọi $D=\left\{x\in R\mid a\leqslant x\leqslant b\right\}$. Hãy xác định $a,b$ để $D\subset (A\cap B\cap C)$.

    Bài 16. Cho $A=\left\{x\in \mathbb{R}\mid x\leqslant -3\text{ hoặc } x>6\right\}$ và $B=\left\{x\in\mathbb{R}\mid x^2-25\leqslant 0\right\}$.

    Tìm các tập sau:

    • $A\setminus B$,
    • $B\setminus A$,
    • $\mathbb{R} \setminus (A\cup B)$,
    • $ \mathbb{R} \setminus (A\cap B)$,
    • $ \mathbb{R} \setminus (A\setminus B)$.

    Bài 17. Cho $C=\left\{x\in\mathbb{R}\mid x\leqslant a\right\}$ và $D=\left\{x\in\mathbb{R}\mid x\leqslant b\right\}$. Xác định $a,b$ biết rằng $C\cap B$ và $D\cap B$ là các đoạn có độ dài lần lượt bằng 7 và 9.

    Bài 18. Kí hiệu $n(X)$ là số phần tử của tập hợp $X$. Cho hai tập hợp $ A $ và $ B $, biết $n(A)=25;n(B)=29;n(A\cup B)=41$. Tính $n(A\cap B); n(A\setminus B); n(B\setminus A)$.

    Bài tập các tập hợp số

    Bài 1. Xác định tập hợp $A\cap B, A\cup B$ với:

    • $A=[1;5]$ và $B=(-3;2)\cup (3;7)$.
    • $A=(-5;0)\cup (3;5)$ và $B=(-1;2)\cup (4;6]$.

    Bài 2. Dùng kí hiệu khoảng đoạn tìm tập nghiệm của các hệ bất phương trình sau và biểu diễn chúng trên trục số:

    • $ \begin{cases} 2x>12\\4-x>-6 \end{cases} $
    • $ \begin{cases} 2x+3<7x\\x>3 \end{cases} $
    • $ \begin{cases} 3(x-2)<12\\2(x+5)<10 \end{cases} $
    • $ \begin{cases} \mid x\mid >3\\2x-2>0 \end{cases} $
    • $ \begin{cases} \mid x\mid <2\\4-3x>13 \end{cases} $
    • $ \begin{cases} x-2>11x\\-3x>-6 \end{cases} $
    • $ \begin{cases} x>3\\2-x>-6\\3x-1<23 \end{cases} $
    • $ \begin{cases} -2x\geqslant 6\\4+x>6 \end{cases} $
    • $ \begin{cases} x^2>0\\4x\geqslant 0 \end{cases} $

    Bài 3. Biểu diễn trên trục số và thực hiện các phép toán sau:

    • $\left( 1;5 \right)\cap \left( -1;3 \right)$
    • $\left( 2;5 \right)\cap \left[ -1;4 \right]$
    • $\left[ 2;7 \right)\cap \left\{ 2;4;7;8;9 \right\}$
    • $\left[ 2;3 \right]\cap \left( -\infty ;3 \right)$
    • $\left( 3;5 \right)\cap \left[ -4;5 \right]\cap \left\{ 2;3;5 \right\}$
    • $\left( 1;4 \right)\cap \left[ 2;7 \right)$
    • $\left( -1;1 \right)\cap \left[ -5;3 \right]$
    • $\left( -1;1 \right]\cap \left[ 1;5 \right]$
    • $\left( -2;5 \right)\cap \left[ -1;6 \right)\cap \left[ 0;8 \right]$
    • $\left( 2;4 \right)\cap \mathbb{R} \cap \left[ -2;6 \right]$
    • $\left( 1;5 \right)\cup \left( -1;2 \right)$
    • $\left( 2;5 \right)\cup \left[ -1;4 \right]$
    • $\left[ 2;7 \right)\cup \setminus \left\{ 2;4;7;8;9 \right\}$
    • $\left[ -1;4 \right]\cup \left( -\infty ;4 \right)$
    • $\left( 3;5 \right)\cup \left[ -4;5 \right]\cup \setminus\left\{ 2;3;5 \right\}$
    • $\left( 0;4 \right)\cup \left[ 2;7 \right)$
    • $\left( -3;2 \right)\cup \left[ 2;5 \right]$
    • $\left( -1;1 \right]\cup \left[ -1;5 \right]$
    • $\big(\left[ -1;2 \right]\cup \left( -1;2 \right)\big)\cap \left( 2;+\infty \right)$
    • $\big(\left(-\infty;-2 \right]\cup \left(2; +\infty \right)\big)\cap \left[-5;+\infty \right)$
    • $\left( 2;4 \right)\cup \mathbb{R} \cup \varnothing$
    • $\left( 1;5 \right)\setminus\left( -1;2 \right)$
    • $\left( 2;5 \right)\setminus\left[ -1;4 \right]$
    • $\left[ 2;7 \right)\setminus\left\{ 2;4;7;8;9\right\}$
    • $\left[ -1;4 \right]\setminus\left( -\infty ;4 \right)$
    • $\left[ 3;+\infty \right]\setminus\left( 3;+\infty \right)$
    • $\left( -\infty ;1 \right]\setminus\left[ -1;1 \right]$
    • $\mathbb{R}\setminus\left( 2;+\infty \right)$

    Bài 4. Tìm $ m $ sao cho $ (m-7,2)\subset (-4,3). $

    Bài 5. Tùy theo $ m, $ hãy tìm $ (-\infty,m]\cap(5,+\infty). $

    Bài 6. Cho hai tập hợp $A=\left( m;m+5 \right)$ và $B=\left( 3m+2;3m+7 \right)$ trong đó $ m $ là một số thực bất kì. Tìm điều kiện của $ m $ để:

    • Tập hợp $ A $ là một tập hợp con của tập hợp $ B $.
    • Giao của hai tập hợp $ A $ và $ B $ là tập hợp rỗng.
    • Hợp của hai tập hợp $ A $ và $ B $ là tập hợp $ A $.
    • Hiệu của hai tập hợp $ A $ và $ B $ theo thứ tự đó là tập hợp rỗng.

    Hướng dẫn.
    1. $m=-1$, \quad 2. $m\in \left( -\infty ;-\frac{7}{2} \right]\cup \left[ -\frac{3}{2};+\infty \right)$,\quad 3. $m=-1$,\quad 4. $m\in \left( -\infty ;-\frac{7}{2} \right]\cup \left[ -\frac{3}{2};+\infty \right)$.

    Bài 7. Cho $ A=(a;a+1) $ và $ B=(2015;2018).$ Tìm $ a $ để tập $ A\cup B $ là một khoảng.

    Hướng dẫn. $ 2015\leqslant a\le2017 $.

    Bài 8. Cho hai đoạn $ A=[a;a+2] $ và $ B=[b;b+1]. $ Tìm điều kiện của $ a,b $ để tập $ A\cap B\ne \varnothing. $

    Hướng dẫn. $ -2<a-b<1 $.

    Bài 9. Cho $ A=\{x\in \mathbb{R}\mid |x-1|>2\} $ và $ B=\{x\in \mathbb{R}\mid |x+2|<1 \} $. Tìm $ A\cap B. $

    Bài 10. Cho $ A=(a;a+1) $ và $ B=(2010;2012) $. Tìm $ a $ để $ A\cap B $ là một khoảng.

    Bài 11. Cho $a,b,c$ là các số thực và $a<b<c$. Hãy xác định các tập hợp sau:

    • $(a;b)\cap (b;c)$
    • $(a;b)\cup (b;c)$
    • $(a;c)\setminus (b;c)$
    • $(a;b)\setminus (b;c)$

    Bài 12. Hãy xác định các tập hợp sau:

    • $(-\infty;3]\cap (-2;+\infty)$
    • $(-15;7)\cup (-2;14)$
    • $(0;12)\setminus [5;+\infty)$
    • $\mathbb{R} \setminus (-1;1)$

    Bài 13. Hãy xác định các tập hợp sau:

    • $\mathbb{R} \setminus \big((0;1)\cup (2;3)\big)$
    • $\mathbb{R} \setminus \big((3;5)\cap (4;6)\big)$
    • $(-2;7)\setminus [1;3]$
    • $\big((-1;2)\cup (3;5)\big)\setminus (1;4)$

    Bài 14. Hãy xác định các tập hợp sau:

    • $(-3;5]\cap \mathbb{Z} $
    • $(1;2)\cap \mathbb{Z} $
    • $(1;2]\cap \mathbb{Z} $
    • $[-3;5]\cap \mathbb{N} $

    Bài 15. Tìm tập hợp $X$ sao cho $\left\{a,b\right\}\subset X\subset \left\{a,b,c,d,e\right\}$.

    Bài 16.  Viết phần bù trong $\mathbb{R} $ của các tập hợp sau:

    • $A=\left\{x\in \mathbb{R} \mid -2\leqslant x<7\right\}$.
    • $B=\left\{x\in \mathbb{R} \mid \mid x\mid >2\right\}$.
    • $C=\left\{x\in \mathbb{R} \mid -4\leqslant x+3<5\right\}$.

    Bài 17. Cho $A=\left\{1,2\right\}$ và $B=\left\{1,2,3,4,5\right\}$. Xác định các tập hợp $X$ sao cho $A\cup X=B$.

  • Bài tập Mệnh đề toán học

    Bài tập Mệnh đề toán học

    Bài tập Mệnh đề toán học

    Để làm được các Bài tập Mệnh đề toán học này, các em học sinh cần nắm vững lý thuyết ở bài Mệnh đề toán học.

    Bài 1. Trong các câu dưới đây, câu nào là mệnh đề, nếu là mệnh đề thì xét xem nó đúng hay sai?

    • “Số 11 là số nguyên tố.”
    • “Vai trò của Quốc Hội là gì?”
    • “Hà Nội là thủ đô của Việt Nam.”
    • “$\sqrt{3}+\sqrt{2}=\frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$.”
    • “$ \forall n\in \mathbb{N}, n^2+n $ là số chẵn.”
    • “$ \forall n\in \mathbb{N}, 2n^2+1 $ chia hết cho 3.”
    • “Tam giác nào cũng có ít nhất một góc nhỏ hơn 60$ ^\circ $.”
    • “Tồn tại một hình thang có ba góc tù.”

    Bài 2. Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và xét tính đúng sai của nó:

    • Mọi hình vuông đều là hình thoi.
    • Có một tam giác cân không là tam giác đều.
    • Mọi số tự nhiên đều không chia hết cho 2 và 3.
    • $ \forall x\in \mathbb{R}, f(x)>0 \Rightarrow f(x)\leqslant 0$ vô nghiệm.
    • Phương trình $ x^2+1=0 $ vô nghiệm và phương trình $ x+3=0 $ có nghiệm.

    Bài 3.  Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau:

    • $ \forall x\in \mathbb{R}, x^2+1>0 $,
    • $ \forall x\in \mathbb{R}, x^2-3x+2=0$,
    • $ \exists n\in \mathbb{N}, n^2+2 $ chia hết cho 4,
    • $ \exists n\in \mathbb{Q}, 2n+1\ne 0$,
    • $ x\leqslant 0 $ hoặc $ x>1$,
    • $ 1<x<3. $

    Bài 4. Cho đa thức $f(x)=ax^2+bx+c$. Xét mệnh đề: “Nếu $a+b+c=0$ thì phương trình $f(x)=0$ có một nghiệm bằng $ 1 $”. Hãy phát biểu mệnh đề đảo của mệnh đề trên. Nêu một điều kiện cần và đủ để phương trình $f(x)=0$ có một nghiệm bằng $ 1 $.

    Bài 5. Phát biểu định lý sau, sử dụng thuật ngữ “điều kiện đủ”.

    • Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúng đồng dạng.
    • Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.
    • Nếu một số tự nhiên tận cùng là 5 thì số đó chia hết cho 5.

    Bài 6. Phát biểu định lý sau, sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần”.

    • Hình chữ nhật có hai đường chéo bằng nhau.
    • Nếu một số tự nhiên chia hết cho 6 thì nó chia hết cho 3.
    • Nếu hai tam giác bằng nhau thì chúng có diện tích bằng nhau.

    Bài 7. Trên bàn là ba cuốn sách giáo khoa: Văn, Toán, Địa lí được bọc ba màu khác nhau: xanh, đỏ, vàng. Biết rằng cuốn bọc bìa màu đỏ đặt giữa cuốn Văn và Địa lí, cuốn Địa lí và cuốn màu xanh mua cùng một ngày. Bạn hãy xác định mỗi cuốn sách đã bọc bìa màu gì.

    Hướng dẫn. Lập bảng dữ kiện. Đáp số: Văn màu xanh, Toán màu đỏ, Địa lí màu vàng.

    Bài 8. Trong một bảng đấu loại bóng đá có bốn đội Mùa Xuân, Mùa Hạ, Mùa Thu và Mùa Đông. Người ta đưa ra 3 dự đoán:

    • Đội Mùa Xuân nhì, đội Mùa Hạ nhất.
    • Đội Mùa Hạ nhì, đội Mùa Đông ba.
    • Đội Mùa Thu nhì, đội Mùa Đông tư.

    Kết quả cả ba dự đoán đều có một ý đúng, một ý sai. Hãy xác định thứ tự của mỗi đội.

    Bài 9. Có ba nhà triết gia Hy-Lạp cổ, sau một cuộc tranh luận căng thẳng và cũng vì trời hè nóng nực nên đã nằm ngủ dưới gốc cây trong vườn của Viện Hàn lâm. Có mấy thợ thông lò đi qua tinh nghịch đã bôi nhọ lên trán cả ba triết gia. Khi ba nhà thông thái tỉnh dậy, họ nhìn nhau và cùng phá lên cười. Ai cũng yên chí rằng chỉ có hai người kia bị nhọ và họ cười nhau, còn mình thì cười họ. Thế nhưng, trong khoảnh khắc, một triết gia không cười nữa vì ông ta suy đoán ra trên trán ông ta cũng bị nhọ. Vậy nhà thông thái đó suy luận như thế nào?

    Bài 10. Đến một ngôi đền cổ có ba vị thần: Thần Thật Thà luôn nói thật, thần Dối Trá luôn nói dối và thần Khôn Ngoan lúc nói thật lúc nói dối. Để biết cách tiêu diệt rồng lửa cứu công chúa, hoàng tử phải hỏi vị thần Thật Thà. Nhưng ba vị thần trông giống hệt nhau. Để xác định vị nào là thần Thật Thà, chàng đã hỏi vị thần bên trái:

    – Bài Ai ngồi cạnh ngài? Đó là thần Thật Thà.

    Hoàng tử hỏi thần ngồi giữa: – Ngài là ai? Ta là thần Khôn Ngoan.

    Sau cùng chàng hỏi thần bên phải: Bài Ai ngồi cạnh ngài? Đó là thần Dối Trá.

    Nghe xong, hoàng tử bối rối không xác định được đâu là thần Thật Thà. Bạn hãy giúp hoàng tử!

    Bài 11. [Câu đố của Einstein] Vào cuối thế kỉ 19, Einstein ra câu đố này và nói rằng chỉ có nhiều nhất là 2% dân số trên thế giới giải được. Bạn có muốn vào con số ít ỏi thế không? Nếu giải được thì chỉ số IQ của bạn không dưới 140 đâu nhé.

    câu đố của einstein

    Có 5 ngôi nhà, mỗi nhà có một màu khác nhau. Trong mỗi nhà ở một người có quốc tịch khác nhau. Mỗi người chỉ thích một loại nước uống, hút thuốc một hãng và nuôi một con vật trong nhà. Cả 5 người không cùng thích một loại nước uống, hút thuốc cùng một hãng hay nuôi cùng một con vật trong nhà như người hàng xóm của mình. Câu hỏi: Ai nuôi cá?, biết rằng:

    • Người Anh ở trong nhà màu đỏ.
    • Người Thuỵ Điển nuôi chó.
    • Người Đan Mạch thích uống trà.
    • Ngôi nhà màu xanh lá cây nằm bên trái ngôi nhà màu trắng.
    • Người ở nhà màu xanh lá cây thích uống cà phê.
    • Người hút thuốc hiệu Pall Mall nuôi chim.
    • Người ở nhà màu vàng hút thuốc hiệu Dunhill.
    • Người ở nhà nằm giữa thích uống sữa.
    • Người Na-uy ở nhà đầu tiên.
    • Người hút thuốc hiệu Blends ở cạnh nhà người có nuôi mèo.
    • Người có nuôi ngựa ở cạnh nhà người hút thuốc hiệu Dunhill.
    • Người hút thuốc hiệu Blue Master thích uống bia.
    • Người Đức hút thuốc hiệu Prince.
    • Người Na-uy ở cạnh nhà màu xanh lơ.
    • Người hút thuốc hiệu Blends có người hàng xóm thích uống nước khoáng.

    Hướng dẫn. Mời các em xem lời giải tại đây Ai là người nuôi cá? Câu đố của Einstein 98% dân số thế giới không giải được!

    Bài 12. [SASMO 2015] Albert, Bernard vừa kết bạn với Cheryl và họ muốn biết ngày sinh nhật của cô. Cheryl đã đưa cho họ một danh sách với 10 ngày là: 15/5, 16/5, 19/5, 17/6, 18/6, 14/7,16/7, 14/8, 15/8 và 17/8.

    Bài toán ngày sinh nhật SASMO 2015

    Cheryl sau đó đã nói riêng với Albert về tháng và Bernard về ngày sinh của mình.

    Albert: Bài Tôi không biết sinh nhật của Cheryl là ngày nào nhưng tôi biết Bernard cũng không biết nhiều hơn.

    Bernard: Bài Lúc đầu tôi không biết sinh nhật Cheryl nhưng bây giờ thì tôi đã biết.

    Albert: Bài Bây giờ tôi cũng biết sinh nhật Cheryl là ngày nào.

    Vậy, Cheryl sinh nhật vào ngày nào?

    Hướng dẫn. Mời bạn xem lời giải tại đây Bài toán ngày sinh nhật SASMO 2015

    Bài 13. Một người nông dân phải đưa một con sói, một con dê và một bắp cải qua sông bằng một chiếc thuyền. Tuy nhiên thuyền của anh ta quá nhỏ, do đó, mỗi lần qua sông anh chỉ mang được mỗi một trong ba đồ vật trên đi cùng với anh ta. Hỏi làm thế nào anh nông dân có thể mang tất cả ba đồ vật trên qua sông, biết rằng con sói không thể để lại ở một mình với con dê, còn con dê thì không thể để ở lại một mình với bắp cải.

    Bài 14. Trong bốn đồng tiền có ba đồng tiền thật khối lượng như nhau và một đồng tiền giả có khối lượng khác. Làm thế nào để tìm được đồng tiền giả bằng hai lần cân, sử dụng cân có hai đĩa và không có quả cân.

    Hướng dẫn. Lần cân thứ nhất, đặt nên mỗi quả cân một đồng tiền…

    Bài 15. Có 16 chai rượu trong đó có một chai rượu giả, nhẹ hơn tất cả các chai còn lại. Làm thế nào chỉ ba lần cân xác định được chai nào giả?

    Hướng dẫn. Chia 16 chai rượu thành 3 nhóm: 2 nhóm 6 và 1 nhóm 4.

    Bài 16. Làm thế nào để lấy được 6 lít nước từ sông về, nếu trong tay chỉ có hai cái thùng, một thùng dung tích 4 lít, một thùng dung tích 9 lít và không thùng nào có vạch chia dung tích?

    Hướng dẫn. Kí hiệu $ (a,b) $ là trạng thái thùng $ 4 $ lít đang chứa $ a $ lít $ (0\leqslant a \leqslant 4) $ và thùng 9 lít đang chứa $ b $ lít $ (0\leqslant b\leqslant 9). $ Khi đó việc lấy 6 lít nước từ sông về được diễn tả qua các trạng thái sau:

    (0,0) ➡️ (0,9)➡️(4,5) ➡️ (0,5) ➡️ (4,1) ➡️ (0,1) ➡️ (1,9) ➡️(4,6)

    Bài 17. Trong một can có 16 lít xăng. Làm thế nào để chia số xăng đó thành hai phần bằng nhau, mỗi phần 8 lít, nếu chỉ dùng thêm một can 11 lít và một can 6 lít?

    Hướng dẫn. Kí hiệu $ (a,b,c) $ là trạng thái can 16 lít chứa $ a $ lít xăng, can 11 lít chứa $ b $ lít xăng và can 6 lít chứa $ c $ lít xăng.
    Việc chia 16 lít xăng thành 2 phần bằng nhau được diễn tả qua các trạng thái sau:

    (16,0,0) ➡️ (10,0,6) ➡️(10,6,0) ➡️ (4,6,6) ➡️ (4,11,1)➡️ (15,0,1)➡️ (15,1,0) ➡️
    (9,1,6) ➡️(9,7,0) ➡️(3,7,6)➡️(3,11,2) ➡️(14,0,2) ➡️(14,2,0)➡️(8,2,6)➡️(8,8,0).

    Bài 18. Chứng minh rằng nếu $n^2 $ là số chẵn thì $ n $ cũng là số chẵn.

    Bài 19. Chứng minh rằng $ \sqrt{2} $ là số vô tỷ.

    Bài 20. Chứng minh rằng có vô hạn số nguyên tố.

    Hướng dẫn. Sử dụng phương pháp phản chứng của Euclide.

    Bài 21. Chứng minh rằng nếu $ x^2+y^2=0 $ thì $ x=0 $ và $ y=0. $

    Bài 22. Chứng minh các định lí sau:

    1. Với mọi số nguyên dương $ n, $ nếu $ n^2 $ là số lẻ thì $ n $ là số lẻ.
    2. Với mọi số nguyên dương $ n, $ nếu $ n^2 $ chia hết cho 3 thì $ n $ chia hết cho 3.
    3. Nếu $ a,b,c $ là ba cạnh tam giác vuông ($ a $ là cạnh huyền) thì $ b $ hay $ c $ chia hết cho 3.

    Hướng dẫn. Ta chứng minh bằng phương pháp phản chứng.

    1. Giả sử ngược lại, $ n $ là số chẵn, thế thì $ n = 2k. $ Suy ra: $ n^2 = 4k^2 $ là số chẵn: vô lí. Vậy điều giả sử là sai, tức là mệnh đề cho là đúng.

    2. Giả sử ngược lại, $ n $ không chia hết cho 3 tức $ n = 3k\pm 1. $ Khi đó: \[ n^2 = 9k^2 \pm 6k + 1 = 3(3k^2 \pm 2k) + 1 \] Tức là $ n^2 $ cũng không chia hết cho 3. Vậy điều giả sử là sai, tức là mệnh đề cho là đúng.

    3. Giả sử ngược lại, $ b $ và $ c $ không chia hết cho 3, thế thì: $ b = 3m\pm 1 , c = 3n\pm 1.$ Suy ra: \[ b^2 + c^2 = 9(m^2 + n^2 ) \pm 6m \pm 6n + 2 \] Số này chia cho 3 thì dư 2, trong khi:

    • Nếu $ a=3k $ thì $ a^2 $ chia hết cho 3.
    • Nếu $ a=3k\pm 1 $ thì $ a^2=3(3k^2\pm 2k)+1 $ chia cho 3 dư 1.

    Do đó $ a^2 $ luôn không có dạng khác $ 3k + 2 $, nên mệnh đề: $ a^2 = b^2 + c^2 $ là sai. Dẫn tới điều giả sử là sai, tức là mệnh đề đã cho là đúng.

    Bài 23. Có 50 đôi tất giống hệt nhau, nhưng bị xếp lộn xộn ở trong tủ. Hỏi phải lấy ít nhất mấy chiếc tất để được một đôi?

    Bài 24. Trên đường tròn có bán kính là 100 m, lấy 630 điểm tùy ý. Chứng minh rằng có ít nhất hai điểm cách nhau không đến 1 m.

    Hướng dẫn. Giả sử không có hai điểm nào cách nhau dưới 1 m , tức mọi cặp điểm đều cách nhau 1 m trở lên. Vì độ dài cung luôn lớn hơn độ dài dây cung, nên chu vi đường tròn sẽ lớn hơn tổng độ dài của 630 dây cung, mỗi dây cung đều dài từ 1 m trở lên. Do đó chu vi đường tròn sẽ lớn hơn 630 m. Nhưng đường tròn có bán kính là 100 m, nên chu vi phải là $ 2\pi R = 200\cdot3,1415.< 630$m: vô lí. Vậy điều giả sử là sai, tức mệnh đề đã cho là đúng.

    Bài 25. Trong hình vuông đơn vị (cạnh bằng 1) có 101 điểm. Chứng minh rằng có năm điểm trong các điểm đã chọn được phủ bởi một đường tròn bán kính $ 1/7. $

    Hướng dẫn. Chia hình vuông ra làm 25 hình vuông bằng nhau, mỗi cạnh của hình vuông là 0,2. Vì có 101 điểm, mà chỉ có 25 hình vuông, nên theo nguyên lí Dirichlet tồn tại hình vuông nhỏ chứa ít nhất năm điểm (trong 101 điểm đã cho). Vì hình vuông này nội tiếp trong đường tròn bán kính $ R<1/7 $