O₂ Education

Category: TOÁN HỌC

  • Bài tập góc và khoảng cách trong không gian

    Bài tập góc và khoảng cách trong không gian

    Bài tập góc và khoảng cách trong không gian

    Sau khi đã thành thạo cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng và khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong không gian thì các em học sinh có thể luyện tập các Bài tập góc và khoảng cách trong không gian dưới đây. Nếu bài nào có thắc mắc, các em hãy để lại comment để chúng tôi giải đáp.

    Câu 1. Cho hình lập phương $ABCD. A’B’C’D’$. Tính góc giữa hai đường thẳng $AD$ và $B’C$.

    Câu 2. Cho hình lập phương $ABCD. A’B’C’D’$. Tính góc giữa hai đường thẳng $\left(A’C’, B’A\right)$.

    Câu 3. Cho lăng trụ tam giác đều $ABC. A’B’C’$ có tất cả các cạnh đều bằng $a$. Cosin của góc tạo bởi hai đường thẳng $BC$ và $AB’$ là bao nhiêu?

    Câu 4. Cho hình lăng trụ đều $ABC.A’B’C’$ có cạnh đáy bằng 1, cạnh bên bằng $2.$ Gọi $C_1$ là trung điểm của $CC’$. Tính côsin của góc giữa hai đường thẳng $BC_1$ và $A’B’.$

    Câu 5. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh $a, \widehat{ABC}=60^{\circ}, SA=a$ và $SA \perp(ABCD).$ Gọi $M$ là trung điểm của $SB$. Tính góc giữa hai đường thẳng $SA$ và $CM$.

    Câu 6. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$, cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy, $SA=a$. Gọi $M$ là trung điểm của $SB$. Tính góc giữa $AM$ và $BD$.

    Câu 7. Cho tứ diện $ABCD$ có $AB$ vuông góc với $(BCD)$. Biết tam giác $BCD$ vuông tại $C$ và $AB=\dfrac{a \sqrt{6}}{2}$, $AC=a \sqrt{2}, CD=a.$ Gọi $E$ là trung điểm của $AD$. Tính góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $CE$.

    Câu 8. Cho hình chóp $S.ABC$ có cách cạnh $SA, SB, SC$ đôi một vuông góc và $SA=SB=SC$. Gọi $I$ là trung điểm của $AB$. Tính góc giữa hai đường thẳng $SI$ và $BC$.

    Câu 9. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB=2 a$. Các cạnh bên của hình chóp đều bằng $a \sqrt{2}$. Tính góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $SC$.

    Câu 10. Cho hình chóp $S.ABCD$ có tất cả các cạnh đều bằng $a$. Gọi $I, J$ lần lượt là trung điểm của $SC, BC$. Tính góc giữa $IJ$ và $CD$.

    Câu 11. Cho tứ diện đều $ABCD$. Tính góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $CD$.

    Câu 12. Cho tứ diện đều $ABCD$ cạnh $a$. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $CI$, với $I$ là trung điểm của $AD$.

    Câu 13. Cho lăng trụ đều $ABC \cdot A’B’C’$ có tất cả các cạnh bằng $a$. Tính góc giữa đường thẳng $AB’$ và mặtg h ẳ n g\, $\left(A’B’C’\right)$.

    Câu 14. Cho hình lăng trụ đều $ABC \cdot A’B’C’$ có tất cả các cạnh bằng $a$. Gọi $M$ là trung điểm $AB$ và $\alpha$ là góc tạo bởi đường thẳng $MC’$ và mặt phẳng $(ABC)$. Tính $\tan \alpha$.

    Câu 15. Cho hình chóp $S.ABCD$ có $ABCD$ là hình vuông cạnh $a, SA=a \sqrt{3}, SA \perp(ABCD)$. Tính góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $(ABCD)$.

    Câu 16. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB=2 a, AD=a. SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy. $SA=a \sqrt{3}$. Tính cosin của góc giữa $SC$ và mặt đáy.

    Câu 17. Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABC), SA=a \sqrt{2}$, tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ và $AC=2 a$. Tính góc giữa $SB$ và $(ABC)$.

    Câu 18. Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác đều, $AC=a,, SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA=a \dfrac{\sqrt{3}}{2}$. Gọi $M$ là trung điểm $BC$, tính góc giữa đường thẳng $SM$ và mặt phẳng đáy.

    Câu 19. Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có tất cả các cạnh bằng $a$. Gọi $\alpha$ là góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(ABCD)$. Tính $\sin \alpha$.

    Câu 20. Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có tất cả các cạnh bằng $a$. Gọi $M$ là trung điểm của $SD$. Tính tang của góc giữa đường thẳng $BM$ và mặt phẳng $(ABCD)$.

    Câu 21. Cho tứ diện đều $ABCD$. Tính cosin góc giữa $AB$ và mặt phẳng $(BCD)$.

    Câu 22. Cho hình chóp $SABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $B, AB=a, AC=2 a$. Tam giác $SAB$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính tan của góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(ABC)$.

    Câu 23. Cho hình chóp $S \cdot ABC$ có $SB=a$, đáy $ABC$ là tam giác vuông tai $A$ có $BC=a$. Hình chiếu vuông góc của $S$ lên $(ABC)$ trùng với trung điểm $H$ của $BC$. Tính góc giữa $SA$ và $(ABC)$.

    Câu 24. Hình lăng trụ tam giác $ABC \cdot A’B’C’$ có đáy là tam giác đều cạnh $a, AA’=a \sqrt{6}$. Hình chiếu vuông góc $H$ của $A$ lên mặt phẳng $\left(A’B’C’\right)$ trùng với trọng tâm của tam giác $A’B’C’$. Tính cosin góc giữa cạnh bên và mặt đáy.

    Câu 25. Cho lăng trụ $ABCD \cdot A’B’C’D’$ có đáy là hình thoi cạnh $a, \widehat{BAD}=60^{\circ}$. Hình chiếu vuông góc của $B’$ xuống mặt đáy trùng với giao điểm hai đường chéo của đáy và cạnh bên $BB’=a$. Tính góc giữa cạnh bên và mặt đáy.

    Câu 26. Cho hình lăng trụ đứng $ABC \cdot A’B’C’$ có đáy $ABC$ là một tam giác vuông cân tại $B, AB=a$, $BB’=a \sqrt{3}$. Góc giữa đường thẳng $A’B$ và mặt phẳng $\left(BCC’B’\right)$.

    Câu 27. Cho lăng trụ đều $ABC \cdot A’B’C’$ có tất cả các cạnh bằng nhau, $M$ là trung điểm của $BC$. Tính góc giữa đường thẳng $A’M$ và mặt phẳng $\left(ACC’A’\right)$.

    Câu 28. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a, SA \perp(ABCD), SA=a \sqrt{6}$. Tính sin của góc tạo bởi $SC$ và $(SAB)$.

    Câu 29. Cho hình chóp $S \cdot ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB=3 a, AD=4 a, SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy, $SA=4 a$. Tính góc giữa đường thẳng $SD$ và mặt phẳng $(SAB)$.

    Câu 30. Cho chóp $S.ABC$ có $SA$ vuông góc với đáy, tam giác $ABC$ vuông tại $B$. Biết $SA=AB=BC$. Tính góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $(SAC)$.

    Câu 31. Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \perp(ABC)$, tam giác $ABC$ đều cạnh $a$ và $SA=a$. Tính tang của góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(SAB)$.

    Câu 32. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình chữ nhật với $AB=a$ và $AD=\dfrac{a \sqrt{6}}{2}$, mặt bên $SAB$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc giữa đường thẳng $SB$ và mặt phẳng $(SCD)$ bằng bao nhiêu?

    Câu 33. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$, tam giác $SAB$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính sin của góc tạo bởi đường thẳng $MD$ và mặt phẳng $(SBC)$, với $M$ là trung điểm của $BC$.

    Câu 34. Cho hình hộp chữ nhật $ABCD \cdot A’B’C’D’$ có $AB=a, BC=a \sqrt{2}, AA’=a \sqrt{3}$. Gọi $\alpha$ là góc giữa hai mặt phẳng $\left(ACD’\right)$ và $(ABCD)$. Tính $\tan \alpha$.

    Câu 35. Cho hình lập phương $ABCD \cdot A’B’C’D’.$ Gọi $E, F $ lần lượt là trung điểm các cạnh $B’C’, C’D’$. Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng $(AEF)$ và $(ABCD)$.

    Câu 36. Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A’B’C’, \Delta \mathrm{ABC}$ vuông tại $B$. Chỉ ra góc giữa hai mặt phẳng $\left(A’BC\right)$ và $(ABC)$.

    Câu 37. Cho hình lăng trụ đều $ABC \cdot A’B’C’$ có cạnh đáy bằng $2 a$, cạnh bên bằng $a$. Tính góc giữa hai mặt phẳng $\left(AB’C’\right)$ và $\left(A’B’C’\right)$.

    Câu 38. Cho hình chóp $S.ABCD$ có $SA \perp(ABCD)$ và đáy $ABCD$ là hình chữ nhật. Chỉ ra góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABCD)$.

    Câu 39. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB=a, AD=SA=2 a$, $SA \perp(ABCD)$. Tính tang của góc giữa hai mặt phẳng $(SBD)$ và $(ABCD)$.

    Câu 40. Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \perp(ABC)$ và $AB \perp BC$, gọi $I$ là trung điểm $BC$. Chỉ ra góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABC)$.

    Câu 41. Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác đều cạnh bằng $2 a, SA$ vuông góc với mặt đáy và $SA=a$. Tính góc giữa hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(ABC)$.

    Câu 42. Cho hình chóp đều $S.ABCD$ có $AB=2 a, SA=a \sqrt{5}$. Tính góc giữa hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(ABCD)$.

    Câu 43. Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng $a \sqrt{2}$ và chiều cao bằng $\dfrac{a \sqrt{2}}{2}$. Tính Tang của góc giữa mặt bên và mặt đáy.

    Câu 44. Cho hình chóp đều $S.ABC$ có cạnh đáy bằng $a$ và chiều cao bằng $a \sqrt{6}$. Gọi $\varphi$ là góc giữa mặt bên và đáy của hình chóp. Tính $\tan \varphi$.

    Câu 45. Tính tang góc giữa hai mặt của một tứ diện đều có cạnh bằng $a$.

    Câu 46. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB=2 a, AD=a, \Delta SAB$ đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính góc giữa hai mặt phẳng $(SCD)$ và $(ABCD)$.

    Câu 47. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$, góc $ABC$ bằng $60^\circ$, tam giác $SBC$ đều cạnh $a$, hình chiếu vuông góc của $S$ lên $(ABC)$ là trung điểm $H$ của cạnh $BC$. Tính góc giữa hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(ABC)$.

    Câu 48. Cho hình lập phương $ABCD \cdot A’B’C’D’$ có cạnh bằng $a$. Số đo góc giữa hai mặt phẳng $\left(BA’C\right)$ và $\left(DA’C\right)$ bằng bao nhiêu?

    Câu 49. Cho khối lăng trụ đứng $ABCD \cdot A’B’C’D’$ có đáy là hình vuông cạnh $a$, cạnh bên $AA’=\dfrac{a \sqrt{6}}{2}$. Góc giữa hai mặt phẳng $\left(A’BD\right)$ và $\left(C’BD\right)$ bằng bao nhiêu?

    Câu 50. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật $AB=a, BC=2 a$. Cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy và $SA=a$. Tính góc giữa $(SBC)$ và $(SC \mathrm{D})$.

    Câu 51. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $D, SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy và $SA=a \sqrt{2}$. Cho biết $AB=2 AD=2 DC=2 a$. Tính góc giữa $(SBA)$ và $(SBC)$.

    Câu 52. Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \perp(ABC), SA=2 a$. Tam giác $ABC$ vuông tại $\mathrm{B} \quad AB=a$, $BC=a \sqrt{3}$. Tính cosin của góc $\varphi$ tạo bởi hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBC)$.

    Câu 53. Cho hình chóp $S.ABC$ có $SC \perp(ABC)$ và tam giác $ABC$ vuông tại $B$. Biết $AB=a; AC=a \sqrt{3}$ và góc giữa hai mặt phẳng $(SAB),(SAC)$ bằng $\alpha$ với $\cos \alpha=\sqrt{\dfrac{6}{19}}$. Tính độ dài $SC$ theo $a$.

    Câu 54. Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy và cạnh bên đều bằng $a$. Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SAD)$.

    Câu 55. Cho hình chóp tứ giác $S.ABCD$ có tất cả các cạnh bằng $a$. Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng $(SAB),(SCD)$.

    Câu 56. Cho hình chóp tam giác đều $S \cdot ABC$ có cạnh bên bằng $2 a$, cạnh đáy bằng $a$. Gọi $\alpha$ là góc giữa hai mặt bên của hình chóp đó. Hãy tính $\cos \alpha$.

    Câu 57. Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $C$. Gọi $H$ là trung điểm $AB$. Biết rằng $SH$ vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$ và $AB=SH=a$. Tính số đo góc tạo bởi hai mặt phẳng $(SBC)$ và $(SAC)$.

    Câu 58. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là tam giác đều cạnh $a$, mặt bên $SBC$ là tam giác cân tại $S$, $SB=2a$, $(SBC)\perp (ABC)$. Gọi $\alpha$ là góc giữa hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SAC)$. Tính $cos \alpha$.

    Câu 59. Cho hình lập phương $ABCD \cdot A’B’C’D’$ cạnh $a$. Tính khoảng cách từ $B$ tới đường thẳng $DB’$.

    Câu 60. Cho hình lập phương $ABCD \cdot A’B’C’D’$ có cạnh bằng $a$. Tính khoảng cách từ điểm $A$ đến đường thẳng $B’D’$.

    Câu 61. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a, SA \perp(ABCD)$ và $SA=a$. Tính khoảng cách từ $A$ đến đường thẳng $SC$.

    Câu 62. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật $AB=a, AD=a \sqrt{3}$. Cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy và $SA=2 a$. Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ lên $BD$ Tính khoảng cách $d$ từ điểm $A$ đến đường thẳng $SH$.

    Câu 63. Cho hình chóp $S.ABC$ trong đó $SA, AB, BC$ vuông góc với nhau từng đôi một. Biết $SA=3 a$, $AB=a \sqrt{3}, BC=a \sqrt{6}$. Tính khoảng cách từ $B$ đến $SC$.

    Câu 64. Cho hình chóp $S.ABC$ với $SA $ vuông góc với $(ABC)$ và $SA=a$. Diện tích $S_{\triangle ABC}=a^2$, $BC=a \sqrt{2}$. Khoảng cách từ $S$ đến $BC$ bằng bao nhiêu?

    Câu 65. Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có cạnh đáy bằng $a$, gọi $O$ là tâm đáy và $SO=\dfrac{a \sqrt{3}}{3}$. Gọi $I$ là trung điểm của $BC$ và $K$ là hình chiếu của $O$ lên $SI$. Tính khoảng cách từ $O$ đến $SA$.

    Câu 66. Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có tất cả các cạnh đều bằng $a$. Gọi $O$ là tâm đáy và $M$ là trung điể $m CD$. Tính khoảng cách từ $O$ tới đường thẳng $SM$.

    Câu 67. Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có $SA=a \sqrt{3}, ABCD$ là hình vuông cạnh bằng $2 a$. Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$, tính khoảng cách từ $G$ đến $SD$.

    Câu 68. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang cân, đáy lớn $AB$. Biết rằng $AB=2 a$, $AD=DC=CB=a$. Hình chiếu vuông góc $H$ của đỉnh $S$ lên mặt phẳng $(ABCD)$ trùng với trung điểm của cạnh $AB$, góc giữa $SB$ và đáy bằng $60^{\circ}$. Tính khoảng cách từ điểm $H$ đến đường thẳng $SC$.

    Câu 69. Cho hình hộp chữ nhật $ABCD \cdot A_1 B_1 C_1 D_1$ có ba kích thước $AB=a, AD=2 a, AA_1=3 a$. Tính khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $\left(A_1 BD\right)$.

    Câu 70. Cho hình hộp chữ nhật $ABCD \cdot A’B’C’D’$ có $AB=2 a, AD=a, AA’=a \sqrt{3}$. Gọi $M$ là trung điểm cạnh $AB$. Tính khoảng cách $h$ từ điểm $D$ đến mặt phẳng $\left(B’MC\right)$.

    Câu 71. Cho lăng trụ đứng $ABC \cdot A’B’C’$ có đáy là tam giác đều cạnh $1, AA’=\sqrt{3}$. Tính khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $\left(A’BC\right)$.

    Câu 72. Cho hình lăng trụ đứng $ABC \cdot A’B’C’$. Cạnh bên $AA’=a, ABC$ là tam giác vuông tại $A$ có $BC=2 a, AB=a \sqrt{3}$. Tính khoảng cách từ đỉnh $A$ đến mặt phẳng $\left(A’BC\right)$.

    Câu 73. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a, SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ và $SA=a$. Tính khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$.

    Câu 74. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh bằng $a, SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$. Biết góc giữa $SC$ và mặt phẳng $(ABCD)$ bằng $60^{\circ}$. Tính khoảng cách $h$ từ $B$ đến mặt phẳng $(SCD)$.

    Câu 75. Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông cân tại $B, AB=2 a$. Biết $SA$ vuông góc với đáy $(ABC)$. Tính khoảng cách từ điểm $B$ đến mặt phẳng $(SAC)$.

    Câu 76. Cho hình chóp $S,ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$, $SA=a$ và $SA$ vuông góc với mặt đáy. Tính khoảng cách từ $A$ đến $(SBC)$.

    Câu 77. Cho hình chóp $S.ABCD$ đều có $AB=2 a, SO=a$ với $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Tính khoảng cách từ $O$ đến mặt phẳng $(SCD)$.

    Câu 78. Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy và cạnh bên bằng $a$, gọi $O$ là tâm của đáy $ABCD$. Tính khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$.

    Câu 79. Cho hình chóp đều $S.ABC$ có cạnh đáy bằng $a$, góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy là $60^{\circ}$. Tính độ dài đường cao $SH$.

    Câu 80. Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ cạnh đáy bằng $2 a$ và chiều cao bằng $a \sqrt{3}$. Tính khoảng cách từ tâm $O$ của đáy $ABC$ đến một mặt bên.

    Câu 81. Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $2 a$, tam giác $SAB$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách từ điểm $S$ đến mặt phẳng $(ABC)$.

    Câu 82. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, mặt bên $SAB$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách $h$ từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(SCD)$.

    Câu 83. Cho lăng trụ $ABCD \cdot A_1 B_1 C_1 D_1$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB=a, AD=a \sqrt{3}$. Hình chiếu vuông góc của $A_1$ lên $(ABCD)$ trùng với giao điểm của $AC$ và $BD$. Tính khoảng cách từ điểm $B_1$ đến mặt phẳng $\left(A_1 BD\right)$.

    Câu 84. Cho lăng trụ $ABC \cdot A’B’C’$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$. Hình chiếu của $A’$ lên mặt phẳng $(ABC)$ trùng với trung điểm $BC$. Tính khoảng cách từ $A’$ đến $\mathrm{mp}\left(BCC’B’\right)$ biết góc giữa haimặt phẳng\, $\left(ABB’A’\right)$ và $\left(A’B’C’\right)$ bằng $60^{\circ}$.

    Câu 85. Cho hình lập phương $ABCD \cdot A’B’C’D’$ cạnh $a$. Tính $d\left(A’C’, BD\right)$.

    Câu 86. Cho hình lập phương $ABCD \cdot A’B’C’D’$ có cạnh bằng $a \sqrt{2}$ tính khoảng cách của hai đường thẳng $CC’$ và $BD$.

    Câu 87. Cho hình lăng trụ đứng $ABC \cdot A’B’C’$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A, AB=a$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AC$ và $BB’$.

    Câu 88. Cho hình lăng trụ đều $ABC.A’B’C’, AB=a, A’A=a$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $A’A$ và $BC$.

    Câu 89. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, cạnh bên $SA \perp(ABCD)$ và $SA=a$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $SB$ và $AD$.

    Câu 90. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật $AD=2 a$. Cạnh bên $SA=2 a$ và vuông góc với đáy. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $SD$.

    Câu 91. Cho tứ diện $OABC$ có $OA, OB, OC$ đôi một vuông góc với nhau và $OB=OC$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$ và $OM=a$. Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng $OA$ và $BC$.

    Câu 92. Cho hình chóp $S,ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$, $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính khoảng cách giửa hai đường thẳng $SA$ và $BC$.

    Câu 93. Cho tứ diện đều $ABCD$ cạnh $3a$. Tính khoảng cách giữa hai cạnh $AB, CD$.

    Câu 94. Cho hình hộp chữ nhật $ABCD \cdot A’B’C’D’$ có $AB=a, AD=a \sqrt{3}$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $BB’$ và $AC’$.

    Câu 95. Cho hình hộp chữ nhật $ABCD \cdot A’B’C’D’$ có cạnh $AB=2 a, AD=AA’=a$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $BD$ và $AD’$.

    Câu 96. Cho hình lăng trụ đứng $ABC \cdot A’B’C’$ có đáy là tam giác vuông cân tại $A, BC=2 a$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AA’, BC’$.

    Câu 97. Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A’B’C’$ có $ABC$ là tam giác vuông cân, $AB=AC=a$, $AA’=h(a, h>0)$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB’, BC’$.

    Câu 98. Cho hình chóp $S.ABCD$ có $ABCD$ là hình vuông cạnh $2 a, SA \perp(ABCD)$ và $SA=a$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $SB$ và $CD$.

    Câu 99. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB=3 a, AD=a.$ Biết $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ và $SA=2 a$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AD$ và $SC$.

    Câu 100. Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác đều cạnh $a, SA$ vuông góc với $(ABC)$ và $SA=a$. Tính khoảng cách giữa $SC$ và $AB$.

    Câu 101. Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông cân tại $B, AB=a$. Cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy, góc tạo bởi hai mặt phẳng $(ABC)$ và $(SBC)$ bằng $60^{\circ}$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $SC$.

    Câu 102. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông tâm $O$ cạnh $a, SO$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ và $SO=a$. Tính khoảng cách giữa $SC$ và $AB$.

    Câu 103. Cho tứ diện đều $A B C D$ cạnh bằng $a$. Gọi $M$ là trung điểm của $C D$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $A C$ và $B M$.

  • Dải băng Mobius kì lạ

    Dải băng Mobius kì lạ

    Năm 1858, một cụ già đưa tới viện hàn lâm khoa học Pháp một ảo thuật toán học mang tên “mặt một phía” nhưng bị lãng quên trong kho lưu trữ. Về sau tác giả tự công bố công trình của mình và đó là một trong những ví dụ đầu tiên cho ngành toán học hiện đại: TOPO HỌC. Mô hình ảo thuật như sau:

    Lấy một băng giấy hình chữ nhật ABCD, sau khi vặn xoắn dải băng180 độ rồi bôi hồ và dán điểm C trùng với A, D trùng với B, ta được mặt một phía. Dải băng này được gọi là dải Mobius.

    Dải băng Mobius kì lạ 1

    Nếu cũng từ băng giấy đó ta dán C trùng với B, D trùng với A thì được một vòng giấy bình thường như mọi người vẫn làm để trang trí. Dải giấy này có hai mặt phân biệt: mặt trong và mặt ngoài, còn dải Mobius thì chỉ có một mặt.

    Dải băng Mobius kì lạ 2
    Băng giấy thông thường (1) và băng Mobius (2)

    Đối với dải băng bình thường, một chú kiến bò ở mặt ngoài thì bò mãi vẫn là ở mặt ngoài, muốn vào mặt trong phải bò vượt qua mép, muốn bò từ điểm M một vòng rồi trở về điểm M thì chỉ bò với quãng đường bằng chu vi dải giấy giả sử nó bò cách đều mép giấy). Các nhà toán học gọi các dải giấy bình thường là “mặt hai phía”. Nó có hai phía phân biệt: phía trong và phía ngoài.

    Còn đối với dải Mobius thì một con kiến sẽ bò mãi mãi trên một mặt và khi bò trở về điểm xuất phát, con kiến đã đi được quãng đường dài gấp đôi so với dải băng bình thường.

    Dải băng Mobius kì lạ 3

    Nếu ta dùng kéo cắt theo đường kiến bò thì ta được hai vòng giấy thông thường. Ở vòng giấy “mặt một phía” thì nếu ta dùng kéo cắt theo đường kiến bò thì sẽ được một dải giấy “mặt một phía” nhưng có chu vi gấp đôi chu vi dải giấy khi chưa cắt.

    Nếu bạn tiếp tục cắt như vậy sẽ thấy nhiều điều thú vị nữa. Chẳng hạn nếu cắt dọc như vậy nữa sẽ được hai dải giấy “mặt một phía” lồng vào nhau. Trên dải giấy “mặt một phía” chú kiến bò thoải mái từ trong ra ngoài, từ ngoài vào trong mà không cần phải vượt qua mép. Trên dải giấy này, nếu chú kiến bò từ điểm N muốn trở lại điểm N thì phải bò quãng đường ít nhất bằng hai lần chu vi dải giấy.

    Ứng dụng tính chất này người ta đã xây dựng tiết mục xiếc đi xe đạp từ trong ra ngoài rồi lại từ ngoài vào trong mà không cần phải vượt qua mép. Đây là một tiết mục hấp dẫn và hồi hộp.

    Giá mà các nhà thiết kế hệ thống đường bộ tạo được các mặt một phía tại các ngã tư thì những người tham gia giao thông sẽ không bị ùn tắc.

    Người đã tạo ra “mặt một phía” là nhà thiên văn August ferdinand Mobius (17.11.1790-26.9.1868) người Đức, lúc ông 68 tuổi (chính là cụ già nói ở trên). Mặt này về sau được mang tên ông, gọi là dải Mobius và ông được coi là một trong những người khởi xướng ra topo học.

    Dải Mobius có tính chất topo rõ rệt. Sau đây là một số tính chất rất kì lạ:

    • Một số vấn đề không thể giải quyết được trên mặt phẳng nhưng lại được giải quyết trên dải Mobius một cách không thể tưởng tượng được!
    • Một vấn đề khác không có cách gì thực hiện được trong không gian thông thường là “đổi chỗ găng tay” găng tay phải và găng tay trái tuy rất giống nhau nhưng lại có sự khác nhau về bản chất. Ta không thể lấy găng tay trái xỏ đúng vào găng tay phải được, cũng không thể lấy găng tay phải xỏ đúng vào găng tay trái được. Dù bạn có xoay đi xoay lại thế nào thì găng tay trái luôn luôn là găng tay trái và găng tay phải luông luôn là găng tay phải.

    Trong tự nhiên có rất nhiều vật tương tự như găng tay, bản thân chúng có các bộ phận đối xứng hoàn toàn giống nhau, nhưng một cái là bên trái, cái kia là bên phải thì giữa chúng có cái khác nhau rất lớn. Điển hình là đôi giày của bạn, bạn không thể đổi chổ chân trái đi chiếc giày bên phải được.

    Bây giờ các bạn hãy hình dung: Vẽ một con mèo dẹt lên mặt giấy. Quy định là con mèo này phải dán chặt trên mặt giấy. Giả sử đầu con mèo này đang quay về bên phải. Bạn đọc dễ hình dung là chỉ cần con mèo này dán chặt vào mặt giấy thì dù đi như thế nào đầu của nó chỉ có thể quay về bên phải. Cho nên chúng ta gọi nó là mèo dẹt bên phải. Đầu mèo dẹt bên phải sở dĩ luôn quay về bên phải là vì nó không thể rời mặt giấy. Giả sử cho phép nó chạy vào trong không gian thì bất cứ bạn đọc nào cũng có thể dễ dàng lật nó lại rồì đặt vào mặt giấy, biến thành mèo dẹt bên trái đầu quay về bên trái.

    Bây giờ chúng ta hãy xem trên dải Mobius, cảnh ngộ của mèo dẹt như thế nào? Chăc chắn một lúc nào đó mèo dẹt bên trái nó trở thành mèo dẹt bên phải.

    Câu chuyện “mèo dẹt” gợi ý cho ta rằng: Trên một mặt đã bị vặn, vật thể bên phải và bên trái có thể thực hiện chuyển đổi. Bạn hãy tưởng tượng không gian của chúng ta ở rìa mép nào đó của vũ trụ, hiện ra sự uốn cong của dải Mobius thì chắc hẳn có một sớm mai nào đó nhà du hành vũ trụ giữa các vì sao xuất phát mang theo trái tim bên lồng ngực trái, lại trở về trái đất với trái tim ở bên lồng ngực phải.

    Sau đây là câu chuyện lý thú khác:

    Đồn rằng thời cổ đại có một vị vương quốc già có 5 người con trai. Trước khi lâm chung, quốc vương để lại một bản di chúc, yêu cầu chia đất nước ra làm 5 miền, mỗi người con trai được một miền. Nhưng mỗi miền phải liền với 4 miền còn lại, để cho người ở trên mỗi miền đất đều có thể đến bất cứ miền nào mà không phải qua miền đất thứ ba. Còn về độ rộng lớn của mỗi miền đất thì do các con tự bàn bạc giải quyết.
    Sau khi quốc vương băng hà, các vương tử không thể làm cách nào để thực hiện được bản di chúc của phụ vương. Ẩn ý của quốc vương là muốn 5 người con đoàn kết, nhất trí, giúp đỡ nhau. Thế nhưng với điều kiện của di chúc thì không có cách nào thực hiện trên đất. Bạn có thể biết lý do tại sao không? Giả sử đất nước trong di chúc ở trong dải Mobius thần kì thì bạn có thể giúp các vị vương tử này thực hiện được bản di chúc của quốc vương không?

  • Đề thi thử tốt nghiệp môn Toán Xuân Trường B

    Đề thi thử tốt nghiệp môn Toán Xuân Trường B

    Đề thi thử tốt nghiệp môn Toán Xuân Trường B

    O2 Education xin giới thiệu Đề thi thử tốt nghiệp môn Toán Xuân Trường B năm 2021 kèm theo lời giải các câu vận dụng cao. Quý thầy cô có thể tham khảo thêm Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD Nam Định 2021

    Đề thi thử tốt nghiệp môn Toán Xuân Trường B

    Câu 1: Khối hộp chữ nhật có ba kích thước $2,\,3,\,a$ có thể tích bằng $24.$ Giá trị của $a$ bằng

    A. $6.$
    B. $4.$
    C. $8.$
    D. $12.$

    Câu 2: Đạo hàm của hàm số $y={{\log }_{2}}\left( 3x-1 \right)$ với $x>\frac{1}{3}$ là

    A. ${y}’=\frac{3}{\left( 3x-1 \right)\ln 2}.$
    B. ${y}’=\frac{3}{\left( 3x-1 \right)}.$
    C. ${y}’=\frac{3\ln 2}{\left( 3x-1 \right)}.$
    D. ${y}’=\frac{1}{\left( 3x-1 \right)\ln 2}.$

    Câu 3: Cho hai số phức \({{z}_{1}}=1-3i\) và \({{z}_{2}}=-2-5i.\) Phần ảo của số phức $z={{z}_{1}}-{{z}_{2}}$ bằng

    A. \(3.\) B. \(-3.\) C. \(-2.\) D. \(2.\)

    Câu 4: Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau

    Đề thi thử tốt nghiệp môn Toán Xuân Trường B 4

    Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?

    A. \(\left( -17;15 \right).\)
    B. \(\left( 3;+\infty \right).\)
    C. \(\left( -1;3 \right).\)
    D. \(\left( -\infty ;3 \right).\)

    Câu 5: Cho một hình cầu có bán kính $6\,\text{cm}.$Diện tích của mặt cầu đó bằng

    A. $144\pi \,\text{c}{{\text{m}}^{2}}.$
    B. $24\pi \,\text{c}{{\text{m}}^{2}}.$
    C. $864\pi \,\text{c}{{\text{m}}^{2}}.$
    D. $288\pi \,\text{c}{{\text{m}}^{2}}.$

    Câu 6: Cho số phức $z=2+3i.$ Trên mặt phẳng tọa độ, điểm biểu diễn số phức $\overline{z}$ có tọa độ là

    A. $(3;2).$
    B. $(-2;-3).$
    C. $(2;-3).$
    D. $(2;3).$

    Câu 7: Gọi $A$ là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm 4 chữ số phân biệt được chọn từ các chữ số $1;\,2;\,3;\,4;\,5;\,6.$ Chọn ngẫu nhiên một số từ tập $A,$ tính xác suất để số chọn được là số chia hết cho 5.

    A. $\frac{1}{6}.$
    B. $\frac{11}{36}.$
    C. $\frac{1}{3}.$
    D. $\frac{125}{1296}.$

    Câu 8: Nếu\(\int\limits_{-1}^{1}{f(x)}\text{d}x=4\) và\(\int\limits_{-1}^{3}{f(x)\text{d}x}=1\)thì \(\int\limits_{1}^{3}{f(x)\text{d}x}\) bằng

    A. $-5.$
    B. $5.$
    C. $-3.$
    D. $3.$

    Câu 9: Nghiệm của phương trình ${{\log }_{\frac{1}{5}}}\left( 2x \right)=-1$ là

    A. $x=\frac{5}{2}.$
    B. $x=\frac{1}{10}.$
    C. $x=5.$
    D. $x=\frac{2}{5}.$

    Câu 10: Với $a>0$, biểu thức $T=a.\sqrt[5]{{{a}^{4}}}$ viết dưới dạng luỹ thừa với số mũ hữu tỉ là

    A. $T={{a}^{\frac{9}{4}}}.$
    B. $T={{a}^{\frac{4}{5}}}.$
    C. $T={{a}^{21}}.$
    D. $T={{a}^{\frac{9}{5}}}.$

    Câu 11: Cho khối lăng trụ có diện tích đáy bằng \(3\) và chiều cao bằng \(4.\) Thể tích của khối lăng trụ đó bằng

    A. \(36.\)
    B. \(4.\)
    C. \(12.\)
    D. \(6.\)

    Câu 12: Cho hàm số \(f(x)=\sin 3x.\) Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

    A. \(\int{f(x)}\text{d}x=\frac{1}{3}\cos 3x+C.\)
    B. \(\int{f(x)}\text{d}x=3\cos 3x+C.\)
    C. \(\int{f(x)}\text{d}x=-3\cos 3x+C.\)
    D. \(\int{f(x)}\text{d}x=-\frac{1}{3}\cos 3x+C.\)

    Câu 13: Số phức liên hợp của số phức $z=i(3i+1)$ là

    A. $\overline{z}=3+i.$
    B. $\overline{z}=-3+i.$
    C. $\overline{z}=3-i.$
    D. $\overline{z}=-3-i.$

    Câu 14: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau:

    Đề thi thử tốt nghiệp môn Toán Xuân Trường B 5

    Tổng số đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là

    A. $1.$
    B. $4.$
    C. $2.$
    D. $3.$

    Câu 15: Cho hàm số$y=a{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+cx-1$, $\left( a,\,c\in \mathbb{R} \right)$ có đồ thị là đường cong như hình vẽ bên. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

    Đề thi thử tốt nghiệp môn Toán Xuân Trường B 6

    A. $a>0,\,c<0.$
    B. $a>0,\,c>0.$
    C. $a<0,\,c<0.$
    D. \(a<0,\,c>0.\)

    Câu 16: Tích phân \(\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\sin x\,\text{d}x}\) bằng

    A. $0.$
    B. $-1.$
    C. $1.$
    D. \(\frac{\pi }{2}.\)

    Câu 17: Cho hàm số \(f(x)=4{{x}^{3}}+1.\) Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

    A. \(\int{f(x)}\text{d}x={{x}^{4}}-x+C.\)
    B. \(\int{f(x})\text{d}x={{x}^{4}}+x+C.\)
    C. \(\int{f(x)}\text{d}x=\frac{1}{4}{{x}^{4}}+x+C.\)
    D. \(\int{f(x)}\text{d}x=4{{x}^{4}}+x+C.\)

    Câu 18: Trong không gian $Oxyz$, cho điểm $A\left( 1;2;4 \right)$, $B\left( 2;4;-1 \right).$ Tìm tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $OAB$.

    A. $G\left( 6;3;3 \right).$
    B. $G\left( 1;2;1 \right).$
    C. $G\left( 2;1;1 \right).$
    D. $G\left( 2;1;-1 \right).$

    Câu 19: Có bao nhiêu cách chọn ra $8$ học sinh trong một lớp có $15$ học sinh nam và $25$ học sinh nữ?

    A. \(A_{40}^{8}.\)
    B. \(C_{25}^{8}.\)
    C. \(C_{15}^{8}+C_{25}^{8}.\)
    D. \(C_{40}^{8}.\)

    Câu 20: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ xác định, liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:

    Đề thi thử tốt nghiệp môn Toán Xuân Trường B 7

    Khi đó số điểm cực đại của hàm số $y=f\left( x \right)$ là

    A. $3.$
    B. $2.$
    C. $0.$
    D. $1.$

    Câu 21: Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm \({f}'(x)=x{{\left( x-1 \right)}^{4}},\forall x\in \mathbb{R}.\).Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

    A. $2.$
    B. $5.$
    C. $1.$
    D. $0.$

    Câu 22: Công thức thể tích $V$ của khối trụ có bán kính đáy $r$ và chiều cao $h$ là

    A. $V=\pi {{r}^{2}}h.$
    B. $V=\frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h.$
    C. $V=4\pi {{r}^{2}}h.$
    D. $V=2\pi rh.$

    Câu 23: Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số sau?

    Đề thi thử tốt nghiệp môn Toán Xuân Trường B 8

    A. $y={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+1.$
    B. $y=-{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}+1.$
    C. $y=-{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}.$
    D. $y={{x}^{4}}-2{{x}^{2}}.$

    Câu 24: Nghiệm của phương trình ${{3}^{-2x+1}}=\frac{1}{3}$ là

    A. $x=-1.$
    B. $x=0.$
    C. $x=1.$
    D. $x=\frac{1}{2}.$

    Câu 25: Cho cấp số cộng $\left( {{u}_{n}} \right)$ có ${{u}_{1}}=-3$ và ${{u}_{6}}=27.$ Giá trị của công sai $d$ bằng

    A. $d=8.$
    B. $d=5.$
    C. $d=6.$
    D. $d=7.$

    Câu 26: Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm \(M\left( -1\,;\,-1\,;\,2 \right)\) và $N\left( 1\,;\,3\,;\,4 \right)$. Đường thẳng $MN$ có phương trình chính tắc là

    A. $\frac{x-1}{2}\,\,=\,\,\frac{y-1}{4}\,\,=\,\,\frac{z+2}{2}.$
    B. $\frac{x+1}{1}\,\,=\,\,\frac{y+1}{2}\,\,=\,\,\frac{z-2}{1}.$
    C. $\frac{x-1}{2}\,\,=\,\,\frac{y-1}{2}\,\,=\,\,\frac{z+2}{1}.$
    D. $\frac{x+1}{2}\,\,=\,\,\frac{y+3}{4}\,\,=\,\,\frac{z+4}{2}.$

    Câu 27: Trong không gian $Oxyz$, điểm nào sau đây thuộc mặt phẳng $\left( \alpha \right):\,x-2y+z+1=0?$

    A. $M\left( 2;1;-1 \right).$
    B. $N\left( 1;-2;1 \right).$
    C. $P\left( 0;0;1 \right).$
    D. $Q\left( 2;0;-1 \right).$

    Câu 28: Trong không gian $Oxyz$, mặt cầu $\left( S \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=9$ có tâm tọa độ là

    A. $\left( 1;2;0 \right).$
    B. $\left( 1;-2;0 \right).$
    C. $\left( -1;-2;0 \right).$
    D. $\left( -1;2;0 \right).$

    Câu 29: Xét hai số thực dương $a$ và $b$ bất kì thỏa mãn ${{\log }_{\sqrt{2}}}a={{\log }_{4}}\left( a{{b}^{2}} \right).$ Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

    A. ${{a}^{-3}}={{b}^{8}}.$
    B. ${{a}^{2}}={{b}^{3}}.$
    C. ${{a}^{3}}={{b}^{2}}.$
    D. ${{a}^{4}}={{b}^{2}}.$

    Câu 30: Cho tứ diện \(OABC\) có \(OA,\,OB,\,OC\) đôi một vuông góc và \(OB=OC=a\sqrt{6},\,OA=a\) (tham khảo hình bên). Tính góc giữa hai mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) và \(\left( OBC \right).\)

    A. \(45{}^\circ .\)
    B. \(90{}^\circ .\)
    C. \(60{}^\circ .\)
    D. \(30{}^\circ .\)

    Câu 31: Gọi $M,\,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+3x-\frac{1}{3}$ trên đoạn $\left[ 0;2 \right].$ Tính tổng $S=M+m.$

    A. $S=\frac{4}{3}.$
    B. $S=\frac{1}{3}.$
    C. $S=\frac{2}{3}.$
    D. $S=1.$

    Câu 32: Cho số phức $z$ thỏa mãn điều kiện $\left( 2+i \right)z+\frac{1-i}{1+i}=5-i.$ Môđun của số phức \(w=1+2z+{{z}^{2}}\) bằng

    A. $10.$
    B. $100.$
    C. $\sqrt{10}.$
    D. $2.$

    Câu 33: Tập nghiệm của bất phương trình $\frac{1}{{{3}^{x}}+5}\le \frac{1}{{{3}^{x+1}}-1}$ là

    A. $\left( 1;2 \right).$
    B. $\left( 1;+\infty \right).$
    C. $\left( -\infty ;-1 \right].$
    D. $\left( -1;1 \right].$

    Câu 34: Trong không gian \(Oxyz\), phương trình mặt cầu tâm $I\left( 1;-2;3 \right)$ và tiếp xúc với trục $Oy$ là

    A. ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=8.$
    B. ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=10.$
    C. ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=9.$
    D. \({{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}=16.\)

    Câu 35: Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}’$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a\sqrt{2},$$A{A}’=2a$ (tham khảo hình vẽ bên). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $BD$ và $C{D}’.$

    A. $2a.$
    B. $\frac{2a\sqrt{5}}{5}.$
    C. $\frac{a\sqrt{5}}{5}.$
    D. $a\sqrt{2}.$

    Câu 36: Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm $A\left( 1;-2;-3 \right),\,B\left( -1;4;1 \right)$ và đường thẳng $d:\,\frac{x+2}{1}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z+3}{2}.$ Đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng $AB$ và song song với đường thẳng $d$ có phương trình chính tắc là

    A. $\frac{x}{1}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z+2}{2}.$
    B. $\frac{x}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z+1}{2}.$
    C. $\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z+1}{2}.$
    D. $\frac{x}{1}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z+1}{2}.$

    Câu 37: Hàm số nào dưới đây nghịch biến trên \(\mathbb{R}?\)

    A. \(y=-{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-9x.\)
    B. \(y=-{{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+1.\)
    C. \(y=\frac{x-1}{x-2}.\)
    D. \(y=-{{x}^{3}}+x+1.\)

    Câu 38: Nếu\(\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)\text{d}x=3}\) thì $\int\limits_{0}^{2}{\left[ 4f\left( x \right)-3 \right]\text{d}x}$ bằng

    A. $18.$
    B. $6.$
    C. $12.$
    D. $9.$

    Câu 39: Cho $y=f\left( x \right)$ là hàm số chẵn, có đạo hàm trên đoạn $\left[ -4;4 \right]$ và $\int\limits_{-2}^{0}{f\left( 2x \right)\text{d}x}=3.$ Tính $I=\int\limits_{-4}^{4}{\frac{{{2}^{x}}f\left( x \right)-{{3}^{x}}}{{{3}^{x}}+{{2}^{x}}}\text{d}x}.$

    A. $I=2.$
    B. $I=-4.$
    C. $I=3.$
    D. $I=6.$

    Câu 40: Cho khối chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là một tam giác vuông tại \(C,\)\(BC=2a,\,\)tam giác \(SAB\) là tam giácvuông cân tại \(S\) và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết mặt phẳng \(\left( SAC \right)\) hợp với mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) một góc \({{60}^{o}}.\) Tính thể tích của khói chóp \(S.ABC.\)

    A. \(\sqrt{6}{{a}^{3}}.\)
    B. \(\frac{2\sqrt{6}{{a}^{3}}}{3}.\)
    C. \(2\sqrt{6}{{a}^{3}}.\)
    D. \(\frac{\sqrt{6}{{a}^{3}}}{3}.\)

    Câu 41: Có bao nhiêu số tự nhiên $m$ thuộc đoạn $\left[ 1;2021 \right]$ để số phức $z={{\left( \frac{2+6i}{3-i} \right)}^{m}}$ là số thuần ảo?

    A. $1010.$
    B. $505.$
    C. $1011.$
    D. $506.$

    Câu 42: Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{align} & x=3 \\ & y=2+4t \\ & z=-t \\ \end{align} \right.,\,t\in \mathbb{R}\) và hai đường thẳng ${{\Delta }_{1}}:\frac{x-1}{1}=\frac{y+2}{4}=\frac{z-2}{3}$, ${{\Delta }_{2}}:\frac{x+4}{5}=\frac{y+7}{9}=\frac{z}{1}.$ Đường thẳng $d$ song song với đường thẳng \(\Delta \) và cắt cả hai đường thẳng ${{\Delta }_{1}},\,\ {{\Delta }_{2}}$ có phương trình tham số là

    A. $\left\{ \begin{align} & x=1 \\& y=-2+4t \\ & z=2-t \\ \end{align} \right..$
    B. $\left\{ \begin{align} & x=2 \\& y=2+4t \\ & z=5-t \\ \end{align} \right..$
    C. $\left\{ \begin{align} & x=6 \\& y=11+4t \\ & z=2-t \\ \end{align} \right..$
    D. $\left\{ \begin{align} & x=-4 \\& y=-7+4t \\ & z=-t \\ \end{align} \right..$

    Câu 43: Một tấm tôn có hình quạt tròn $AOB$ bán kính $OA$ bằng 1 mét, cung tròn $AB$ có độ dài $2$ mét. Người ta cắt bỏ đi hình quạt tròn nhỏ $COD$ với cung tròn $CD$ có độ dài $x$ mét để gò thành mặt xung quanh của một khối nón cụt có thể tích bằng $\frac{\sqrt{{{\pi }^{2}}-1}}{4{{\pi }^{2}}}$ mét khối (tham khảo hình vẽ bên). Hỏi diện tích phần tấm tôn bỏ đi là bao nhiêu mét vuông (giả sử độ dầy tấm tôn không đáng kể)?

    Đề thi thử tốt nghiệp môn Toán Xuân Trường B 9

    A. $\sqrt[3]{2}.$
    B. $\frac{\sqrt[3]{4}}{4}.$
    C. $1.$
    D. $\frac{\sqrt[3]{4}}{2}.$

    Câu 44: Có bao nhiêu bộ số $\left( x;y \right)$ với $x,\,y$ nguyên và thuộc đoạn $\left[ 3;10 \right]$, đồng thời thỏa mãn $\left( xy+7y \right){{\log }_{3}}\left( \frac{2y-4}{y} \right)\le \left( 4x-xy \right){{\log }_{2}}\left( \frac{2x+4}{x} \right)?$

    A. $2.$
    B. $14.$
    C. $7.$
    D. $16.$

    Câu 45: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có bảng xét dấu của ${f}’\left( x \right)$ như sau:

    Đề thi thử tốt nghiệp môn Toán Xuân Trường B 10

    Tìm giá trị lớn nhất $M$ và giá trị nhỏ nhất $m$ của hàm số $g\left( x \right)=f\left( -2x+4 \right)$ trên đoạn $\left[ -1;3 \right]$ biết rằng $g\left( -1 \right)-g\left( 1 \right)+g\left( 2 \right)-g\left( 3 \right)=0.$

    A. $M=g(-1);\,m=g(3).$
    B. $M=g(1);\,m=g(-1).$
    C. $M=g(3);\,m=g(2).$
    D. $M=g(3);\,m=g(1).$

    Câu 46: Cho hàm số $y=\frac{2}{27}{{x}^{3}}-\frac{4}{9}{{x}^{2}}-\frac{10}{9}x+\frac{227}{27}$ có đồ thị $\left( C \right).$ Gọi $\left( T \right)$ là đường tròn đường kính $AB$ (với $A,\,B$ là các điểm cực trị của đồ thị $\left( C \right)$). Tính diện tích hình phẳng nằm ngoài đường tròn $\left( T \right)$ giới hạn bởi đồ thị $\left( C \right),$ trục hoành và hai đường thẳng $x=-3,\,x=5.$

    A. $\frac{640+225\pi }{18}.$
    B. $\frac{1090-225\pi }{18}.$
    C. $\frac{320+225\pi }{18}.$
    D. $\frac{640+225\pi }{9}.$

    Câu 47: Có bao nhiêu số $a$ thuộc ${{\mathbb{N}}^{*}}$ sao cho tồn tại số thực $x$ thoả \({{2021}^{{{x}^{3}}-{{a}^{3\log \left( x+1 \right)}}}}\left( {{x}^{3}}+2022 \right)={{a}^{3\log \left( x+1 \right)}}+2022?\)

    A. $5.$
    B. $9.$
    C. $12.$
    D. $8.$

    Câu 48: Cho $y=f\left( x \right)$ là hàm số đa thức bậc bốn thỏa mãn $f\left( -2 \right)<\frac{1}{4}<f\left( 0 \right)$ và hàm số $y={f}’\left( x \right)$ có đồ thị là đường cong như hình dưới đây.

    Đề thi thử tốt nghiệp môn Toán Xuân Trường B

    Hỏi hàm số $g\left( x \right)=\left| f\left( \sin x-1 \right)+\frac{\cos 2x}{4} \right|$ có bao nhiêu điểm cực trị thuộc khoảng $\left( 0;2\pi \right)?$

    A. $5.$
    B. $2.$
    C. $3.$
    D. $4.$

    Câu 49: Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A\left( 2;5;-3 \right),B\left( -2;1;1 \right),C\left( 2;0;1 \right)$ và mặt phẳng $\left( \alpha \right):3x+4y+5z+1=0.$ Gọi $D\left( a;b;c \right)$ (với $c>0$) thuộc $\left( \alpha \right)$ sao cho có vô số mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa $C,\,D$ và khoảng cách từ $A$ đến $\left( P \right)$ gấp ba lần khoảng cách từ $B$ đến mặt phẳng $\left( P \right).$ Tính giá trị biểu thức $S={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}.$

    A. $S=26.$
    B. $S=18.$
    C. $S=20.$
    D. $S=32.$

    Câu 50: Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho ba điểm $A\left( 1;1 \right),\,\,B\left( -1;2 \right),\,\,C\left( 3;-\frac{1}{2} \right)$ lần lượt là điểm biểu diễn số phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}},{{z}_{3}}.$ Gọi $z$ là số phức thỏa mãn đồng thời $\left| z-1+2i \right|=5$ và ${{\left| z-{{z}_{1}} \right|}^{2}}+3{{\left| z-{{z}_{2}} \right|}^{2}}-2{{\left| z-{{z}_{3}} \right|}^{2}}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính diện tích của tam giác $OIM$ với $I\left( -4;4 \right)$ và $M$ là điểm biểu diễn số phức $z.$

    A. $\frac{4\left( 61+5\sqrt{61} \right)}{61}.$
    B. $\frac{4\left( 61-5\sqrt{61} \right)}{61}.$
    C. $\frac{2\left( 61+5\sqrt{61} \right)}{61}.$
    D. $\frac{2\left( 61-5\sqrt{61} \right)}{61}.$———————————————-

    ———– HẾT ———-

    Hướng dẫn giải Đề thi thử tốt nghiệp môn Toán Xuân Trường B

    Câu 1: Cho $y=f\left( x \right)$ là hàm số chẵn, có đạo hàm trên đoạn $\left[ -4;4 \right]$ và $$\int\limits_{-2}^{0}{f\left( 2x \right)\text{d}x}=3.$ $Tính $I=\int\limits_{-4}^{4}{\frac{{{2}^{x}}f\left( x \right)-{{3}^{x}}}{{{3}^{x}}+{{2}^{x}}}\text{d}x}.$

    A. $I=2.$
    B. $I=-4.$
    C. $I=3.$
    D. $I=6.$

    Ta có $I=\int\limits_{-4}^{4}{\frac{{{2}^{x}}f\left( x \right)-{{3}^{x}}}{{{3}^{x}}+{{2}^{x}}}\text{d}x}=\int\limits_{-4}^{4}{\frac{{{2}^{x}}f\left( x \right)}{{{3}^{x}}+{{2}^{x}}}\text{d}x}-\int\limits_{-4}^{4}{\frac{{{3}^{x}}}{{{3}^{x}}+{{2}^{x}}}\text{d}x}$

    Theo giả thiết $3=\int\limits_{-2}^{0}{f\left( 2x \right)\text{d}x}=\frac{1}{2}\int\limits_{-4}^{0}{f\left( t \right)\Rightarrow \int\limits_{-4}^{0}{f\left( x \right)\text{d}x}}=6.$

    Có $y=f\left( x \right)$ là hàm số chẵn trên $\left[ -4;4 \right]$ $\Rightarrow \int\limits_{-4}^{4}{\frac{f\left( x \right)}{{{a}^{x}}+1}\text{d}x}=\int\limits_{0}^{4}{f\left( x \right)\text{d}x}=6$

    Nên $\int\limits_{-4}^{4}{\frac{{{2}^{x}}f\left( x \right)}{{{3}^{x}}+{{2}^{x}}}\text{d}x}=\int\limits_{-4}^{4}{\frac{f\left( x \right)}{{{\left( \frac{3}{2} \right)}^{x}}+1}\text{d}x}=\int\limits_{0}^{4}{f\left( x \right)\text{d}x=6}$

    Và đặt $t=-x\Rightarrow $$\int\limits_{-4}^{4}{\frac{{{3}^{x}}}{{{3}^{x}}+{{2}^{x}}}\text{d}x}=-\int\limits_{4}^{-4}{\frac{{{2}^{-t}}}{{{3}^{-t}}+{{2}^{-t}}}\text{d}t}=\int\limits_{-4}^{4}{\frac{{{2}^{t}}}{{{3}^{t}}+{{2}^{t}}}\text{d}t}=\int\limits_{-4}^{4}{\frac{{{2}^{x}}}{{{3}^{x}}+{{2}^{x}}}\text{d}x}$

    Nên $\int\limits_{-4}^{4}{\frac{{{3}^{x}}}{{{3}^{x}}+{{2}^{x}}}\text{d}x}=\frac{1}{2}\int\limits_{-4}^{4}{\frac{{{3}^{x}}+{{2}^{x}}}{{{3}^{x}}+{{2}^{x}}}\text{d}x=4}$

    Vậy $I=2.$

    Câu 2: Cho khối chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là một tam giác vuông tại \(C,\)\(BC=2a,\,\)tam giác \(SAB\) là tam giác vuông cân tại \(S\) và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết mặt phẳng \(\left( SAC \right)\) hợp với mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) một góc \({{60}^{o}}.\) Tính thể tích của khói chóp \(S.ABC.\)

    A. \(\sqrt{6}{{a}^{3}}.\)
    B. \(\frac{2\sqrt{6}{{a}^{3}}}{3}.\)
    C. \(2\sqrt{6}{{a}^{3}}.\)
    D. \(\frac{\sqrt{6}{{a}^{3}}}{3}.\)

    Gọi \(H\) là trung điểm\(AB\). Suy ra \(SH\bot AB\) (do \(\Delta ABC\)vuông cân tại \(S\)).

    Ta có: \(\left\{ \begin{align} & \left( SAB \right)\bot \left( ABC \right) \\ & \left( SAB \right)\cap \left( SBC \right)=AB \\ & SH\bot AB\,\left( SH\subset \left( SAB \right) \right) \\ \end{align} \right.\Rightarrow SH\bot \left( ABC \right)\)

    Trong \(mp\left( ABC \right)\)kẻ \(HK\bot AC\,\,\left( H\in AC \right)\). Khi đó,\(K\)là trung điểm \(AC\).

    Dễ thấy \(\Delta SHA=\Delta SHC\,\left( c-g-c \right)\Rightarrow SA=SC\Rightarrow \)Tam giác \(SAC\) cân tại \(S\). Có \(K\)là trung điểm \(AC.\) Nên \(SK\bot AC.\)

    Ta có: \(\left\{ \begin{align} & SK\bot AC\left( trong\,mp\left( SAC \right) \right) \\ & HK\bot AC\left( trong\,mp\left( ABC \right) \right) \\ & \left( SAC \right)\cap \left( ABC \right)=AC \\ \end{align} \right.\Rightarrow \left( \left( SAC \right),\left( ABC \right) \right)=\widehat{SKH}={{60}^{o}}.\)

    Ta có: \(HK=a\) (Vì \(HK\)là đường trung bình của tam giác \(ABC\)).

    \(\begin{align}& SH=HK.\tan {{60}^{o}}=a\sqrt{3} \\ & AB=2SH=2\sqrt{3}a \\ & AC=\sqrt{A{{B}^{2}}-B{{C}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 2\sqrt{3}a \right)}^{2}}-{{\left( 2a \right)}^{2}}}=2\sqrt{2}a \\ \end{align}\)

    Vậy \({{V}_{S.ABC}}=\frac{1}{3}.{{S}_{\Delta ABC}}.SH=\frac{1}{3}.\frac{1}{2}AC.BC.SH=\frac{1}{6}2\sqrt{2}a.2a.a\sqrt{3}=\frac{2\sqrt{6}}{3}{{a}^{3}}\left( dvtt \right)\)

    Câu 3: Có bao nhiêu số tự nhiên $m$ thuộc đoạn $\left[ 1;2021 \right]$ để số phức $z={{\left( \frac{2+6i}{3-i} \right)}^{m}}$ là số thuần ảo?

    A. $1010.$
    B. $505.$
    C. $1011.$
    D. $506.$

    Hướng dẫn:

    Ta có $z={{\left( \frac{2+6i}{3-i} \right)}^{m}}={{\left( 2i \right)}^{m}}$ là số thuần ảo thì $m=2k+1,\,k\in \mathbb{N}.$

    Mà $m\in \left[ 1;2021 \right]\Rightarrow 1\le 2k+1\le 2021\Leftrightarrow 0\le k\le 1010$ nên có $1011$ số tự nhiên $m$ thỏa mãn bài toán.

    Câu 4: Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{align} & x=3 \\ & y=2+4t \\ & z=-t \\ \end{align} \right.,\,t\in \mathbb{R}\) và hai đường thẳng ${{\Delta }_{1}}:\frac{x-1}{1}=\frac{y+2}{4}=\frac{z-2}{3}$, ${{\Delta }_{2}}:\frac{x+4}{5}=\frac{y+7}{9}=\frac{z}{1}.$ Đường thẳng $d$ song song với đường thẳng \(\Delta \) và cắt cả hai đường thẳng ${{\Delta }_{1}},\,\ {{\Delta }_{2}}$ có phương trình tham số là

    A. $\left\{ \begin{align}  & x=1 \\ & y=-2+4t \\  & z=2-t \\ \end{align} \right..$
    B. $\left\{ \begin{align}  & x=2 \\ & y=2+4t \\  & z=5-t \\ \end{align} \right..$
    C. $\left\{ \begin{align} & x=6 \\ & y=11+4t \\  & z=2-t \\ \end{align} \right..$
    D. $\left\{ \begin{align}  & x=-4 \\ & y=-7+4t \\  & z=-t \\ \end{align} \right..$

    Hướng dẫn:

    Giả sử đường thẳng $d$ cắt đường thẳng ${{\Delta }_{1}},\,{{\Delta }_{2}}$ lần lượt tại $A,\,B$ thì $A\left( 1+a;\,-2+4a;\,2+3a \right)$, $B\left( -4+5b;\,-7+9b;\,b \right)$.

    $\overrightarrow{AB}=\left( 5b-a-5;\,9b-4a-5;\,b-3a-2 \right)$.

    Vì đường thẳng $d$ song song với \(\Delta :\left\{ \begin{align} & x=3 \\ & y=2+4t \\ & z=-t \\ \end{align} \right.,\,t\in \mathbb{R}\) nên véc-tơ $\overrightarrow{AB}$ cùng phương với véc-tơ chỉ phương của $\Delta $ là $\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}=\left( 0;\,4;\,-1 \right)$

    $\Rightarrow \overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{{{u}_{\Delta }}}$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & 5b-a-5=0 \\ & 9b-4a-5=4k \\ & b-3a-2=-k \\ \end{align} \right.$$\Rightarrow \left\{ \begin{align} & 5b-a=5 \\ & 13b-16a-13=0 \\ \end{align} \right.$$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & a=0 \\ & b=1 \\ \end{align} \right.$$\Rightarrow A\left( 1;\,-2;\,2 \right)$

    Đường thẳng $d$ qua $A\left( 1;\,-2;\,2 \right)$, có véc-tơ chỉ phương là $\overrightarrow{n}=\left( 0;\,4;\,-1 \right)$ nên có phương trình: $\left\{ \begin{align} & x=1 \\ & y=-2+4t \\ & z=2-t \\ \end{align} \right.$.

    Câu 5: Một tấm tôn có hình quạt tròn $AOB$ bán kính $OA$ bằng 1 mét, cung tròn $AB$ có độ dài $2$ mét. Người ta cắt bỏ đi hình quạt tròn nhỏ $COD$ với cung tròn $CD$ có độ dài $x$ mét để gò thành mặt xung quanh của một khối nón cụt có thể tích bằng $\frac{\sqrt{{{\pi }^{2}}-1}}{4{{\pi }^{2}}}$ mét khối (tham khảo hình vẽ bên). Hỏi diện tích phần tấm tôn bỏ đi là bao nhiêu mét vuông (giả sử độ dầy tấm tôn không đáng kể)?

    A. $\sqrt[3]{2}.$
    B. $\frac{\sqrt[3]{4}}{4}.$
    C. $1.$
    D. $\frac{\sqrt[3]{4}}{2}.$

    Hướng dẫn:

    Ta gọi \(R,\,r,\,h\) tương ứng là bán kính đáy lớn, đáy nhỏ và chiều cao chóp cụt.

    Khi đó $2\pi R=2\Rightarrow R=\frac{1}{\pi },\,2\pi r=x\Rightarrow r=\frac{x}{2\pi }\Rightarrow V=\frac{\pi h}{3}\left( {{R}^{2}}+{{r}^{2}}+Rr \right)$

    Từ $V=\frac{\sqrt{{{\pi }^{2}}-1}}{4{{\pi }^{2}}}\Rightarrow h\left( {{x}^{2}}+2x+4 \right)=\frac{3\sqrt{{{\pi }^{2}}-1}}{\pi }$

    Gọi ${{h}_{1}},\,{{h}_{2}}$ khoảng cách từ $O$ đến đáy nhỏ và đáy lớn của nón cụt, ${{h}_{2}}=\sqrt{O{{A}^{2}}-{{R}^{2}}}=\frac{\sqrt{{{\pi }^{2}}-1}}{\pi },\,{{h}_{1}}={{h}_{2}}-h=\frac{\sqrt{{{\pi }^{2}}-1}}{\pi }-h.$

    Do $\frac{r}{R}=\frac{{{h}_{1}}}{{{h}_{2}}}\Rightarrow \frac{x}{2}=\frac{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}+3}\Leftrightarrow x=\sqrt[3]{2}\Rightarrow \frac{OD}{OA}=\frac{x}{2}\Rightarrow OD=\frac{\sqrt[3]{2}}{2}\Rightarrow {{S}_{COD}}=\frac{OD.x}{2}=\frac{\sqrt[3]{4}}{4}.$

    Câu 6: Có bao nhiêu bộ số $\left( x;y \right)$ với $x,\,y$ nguyên và thuộc đoạn $\left[ 3;10 \right]$, đồng thời thỏa mãn $\left( xy+7y \right){{\log }_{3}}\left( \frac{2y-4}{y} \right)\le \left( 4x-xy \right){{\log }_{2}}\left( \frac{2x+4}{x} \right)?$

    A. $2.$ B. $14.$ C. $7.$ D. $16.$

    Hướng dẫn:

    • Điều kiện $\left\{ \begin{align} & x,y\in {{\mathbb{N}}^{*}}:3\le x,y\le 10 \\ & x>0,y>2 \\ \end{align} \right.$.
    • Biến đổi BPT $\Leftrightarrow y\left( x+7 \right){{\log }_{3}}\left( 2-\frac{4}{y} \right)+x\left( y-4 \right){{\log }_{2}}\left( 2+\frac{4}{x} \right)\le 0$(*).
    • Xét $y=3$ thì (*) thành $\Leftrightarrow 3\left( x+7 \right){{\log }_{3}}\left( \frac{2}{3} \right)-x{{\log }_{2}}\left( 2+\frac{4}{x} \right)\le 0$ luôn đúng.
    • Rõ ràng BPT này nghiệm đúng với mọi $x>0$ vì ${{\log }_{3}}\left( \frac{2}{3} \right)<0\Rightarrow 3\left( x+7 \right){{\log }_{3}}\left( \frac{2}{3} \right)<0;\,\,{{\log }_{2}}\left( 2+\frac{4}{x} \right)>0\Rightarrow -x{{\log }_{2}}\left( 2+\frac{4}{x} \right)<0$
    • Như vậy trường hợp này cho ta đúng 8 bộ $\left( x;y \right)=\left( x;3 \right)$ với $3\le x\le 10,x\in \mathbb{N}$.
    • Xét $y=4$ thì (*) thành $4\left( x+7 \right){{\log }_{3}}1\le 0$, BPT này cũng luôn đúng với mọi $x$ mà $3\le x\le 10,x\in \mathbb{N}$. Trường hợp này cho ta 8 cặp $\left( x;y \right)$ nữa.
    • Với $y>4,x>0$ thì $VT\left( * \right)>0$ nên (*) không xảy ra.

    Vậy có đúng 16 bộ số $\left( x;y \right)$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

    Câu 7: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có bảng xét dấu của ${f}’\left( x \right)$ như sau:

    Đề thi thử tốt nghiệp môn Toán Xuân Trường B 10

    Tìm giá trị lớn nhất $M$ và giá trị nhỏ nhất $m$ của hàm số $g\left( x \right)=f\left( -2x+4 \right)$ trên đoạn $\left[ -1;3 \right]$ biết rằng $g\left( -1 \right)-g\left( 1 \right)+g\left( 2 \right)-g\left( 3 \right)=0.$

    A. $M=g(-1);\,m=g(3).$
    B. $M=g(1);\,m=g(-1).$
    C. $M=g(3);\,m=g(2).$
    D. $M=g(3);\,m=g(1).$

    Ta có ${g}'(x)=-2{f}'(-2x+4)$.

    ${g}'(x)=0\Leftrightarrow {f}'(-2x+4)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & -2x+4=-2 \\ & -2x+4=0 \\ & -2x+4=2 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=3 \\ & x=2 \\ & x=1 \\ \end{align} \right.$.

    Vì $x=0$ là nghiệm bội chẵn của phương trình ${f}'(x)=0$ nên $x=2$ là nghiệm bội chẵn của phương trình ${g}’\left( x \right)=0$.

    Lập bảng biến thiên và từ bảng biến thiên ta có $\underset{\left[ -1;3 \right]}{\mathop{\text{Min}}}\,g\left( x \right)=g\left( 1 \right)$.

    Mặt khác:

    $g\left( -1 \right)+g\left( 2 \right)=g\left( 1 \right)+g\left( 3 \right)$$\Leftrightarrow g\left( -1 \right)-g\left( 3 \right)=g\left( 1 \right)-g\left( 2 \right)<0$$\Rightarrow g\left( -1 \right)<g\left( 3 \right)$

    Do đó $\underset{\left[ -1;3 \right]}{\mathop{\text{Max}}}\,g\left( x \right)=g\left( 3 \right)$.

    Câu 8: Cho hàm số $y=\frac{2}{27}{{x}^{3}}-\frac{4}{9}{{x}^{2}}-\frac{10}{9}x+\frac{227}{27}$ có đồ thị $\left( C \right).$ Gọi $\left( T \right)$ là đường tròn đường kính $AB$ (với $A,\,B$ là các điểm cực trị của đồ thị $\left( C \right)$). Tính diện tích hình phẳng nằm ngoài đường tròn $\left( T \right)$ giới hạn bởi đồ thị $\left( C \right),$ trục hoành và hai đường thẳng $x=-3,\,x=5.$

    A. $\frac{640-225\pi }{18}.$
    B. $\frac{1090-225\pi }{18}.$
    C. $\frac{320-225\pi }{18}.$
    D. $\frac{640-225\pi }{9}.$

    Hướng dẫn:

    Hai điểm cực trị là $A\left( -1;9 \right),\,B\left( 5;1 \right)\Rightarrow I\left( 2;5 \right)$ tâm đường tròn đường kính $AB$, $I$ cũng chính là điểm uốn đồng thời là tâm đối xứng của đồ thị.

    Do đó diện tích hình tròn dưới đồ thị bằng nửa diện tích hình tròn tức là ${{S}_{1}}=\frac{1}{2}\pi {{R}^{2}}=\frac{25}{2}\pi .$

    Lại có đường thẳng $x=-3$ và trục hoành cùng tiếp xúc với đường tròn nên diện tích cần tính là:

    $S=\int\limits_{-3}^{5}{\left( \frac{2}{27}{{x}^{3}}-\frac{4}{9}{{x}^{2}}-\frac{10}{9}x+\frac{227}{27} \right)\text{d}x}-{{S}_{1}}=\frac{1090-225\pi }{18}.$

    Câu 9: Có bao nhiêu số $a$ thuộc ${{\mathbb{N}}^{*}}$ sao cho tồn tại số thực $x$ thoả \({{2021}^{{{x}^{3}}-{{a}^{3\log \left( x+1 \right)}}}}\left( {{x}^{3}}+2022 \right)={{a}^{3\log \left( x+1 \right)}}+2022?\)

    A. $5.$ B. $9.$ C. $12.$ D. $8.$

    Hướng dẫn:

    Xét phương trình: ${{2021}^{{{x}^{3}}-{{a}^{3\log \left( x+1 \right)}}}}=\frac{{{a}^{3\log \left( x+1 \right)}}+2022}{{{x}^{3}}+2022}$, điều kiện: $x>-1$,

    $\begin{align} & \Leftrightarrow {{x}^{3}}-{{a}^{3\log \left( x+1 \right)}}={{\log }_{2021}}\left( {{a}^{3\log \left( x+1 \right)}}+2022 \right)-{{\log }_{2021}}\left( {{x}^{3}}+2022 \right) \\ & \Leftrightarrow {{x}^{3}}+{{\log }_{2021}}\left( {{x}^{3}}+2022 \right)={{a}^{3\log \left( x+1 \right)}}+{{\log }_{2021}}\left( {{a}^{3\log \left( x+1 \right)}}+2022 \right)\,\,\left( * \right) \\ \end{align}$

    Xét hàm số $f(t)={{t}^{3}}+{{\log }_{2021}}\left( {{t}^{3}}+2022 \right)$, trên $\left( 0;+\infty \right)$

    $f'(t)=3{{t}^{2}}+\frac{3{{t}^{2}}}{\left( {{t}^{3}}+2022 \right)\ln 2021}>0,\forall t>0$ nên hàm số $f(t)$ đồng biến trên $\left( 0;+\infty \right)$

    Do đó $\left( * \right)$ trở thành: $x={{a}^{\log \left( x+1 \right)}}$$\Leftrightarrow x={{\left( x+1 \right)}^{\log a}}\Leftrightarrow \log x=\log a.\log (x+1)$

    $\Leftrightarrow \log a=\frac{\log x}{\log \left( x+1 \right)}<1,\forall x>-1$ nên $a<10\Rightarrow a\in \left\{ 1,2,3,4,5,6,7,8,9 \right\}$

    Câu 10: Cho $y=f\left( x \right)$ là hàm số đa thức bậc bốn thỏa mãn $f\left( -2 \right)<\frac{1}{4}<f\left( 0 \right)$ và hàm số $y={f}’\left( x \right)$ có đồ thị là đường cong như hình dưới đây.

    Hỏi hàm số $g\left( x \right)=\left| f\left( \sin x-1 \right)+\frac{\cos 2x}{4} \right|$ có bao nhiêu điểm cực trị thuộc khoảng $\left( 0;2\pi \right)?$

    A. $5.$
    B. $2.$
    C. $3.$
    D. $4.$

    Hướng dẫn :

    Xét hàm số $h\left( x \right)=f\left( \sin x-1 \right)+\frac{\cos 2x}{4}$. Ta có \({h}’\left( x \right)=\cos x\,{f}’\left( \sin x-1 \right)-\frac{\sin 2x}{2}=\cos x\left[ {f}’\left( \sin x-1 \right)-\sin x \right]\).

    Khi đó, ${h}’\left( x \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & \cos x=0 \\ & {f}’\left( \sin x-1 \right)-\sin x=0.\,\,\,\,\left( * \right) \\ \end{align} \right.$

    Trên khoảng $\left( 0;2\pi \right)$ thì $\cos x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=\frac{\pi }{2} \\ & x=\frac{3\pi }{2}. \\ \end{align} \right.$

    Đặt $t=\sin x-1$ thì phương trình $\left( * \right)$ trở thành ${f}’\left( t \right)=t+1$.

    Vẽ đồ thị $y={f}’\left( t \right)$ và đường thẳng $y=t+1$ trên cùng hệ trục tọa độ $Oty$ như hình vẽ sau.

    Từ đồ thị ta có ${f}’\left( t \right)=t+1\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & t=-1 \\ & t=1 \\ & t=a,\,\,\,\,\,\left( a>1 \right). \\ \end{align} \right.$

    • Với $t=1$ thì $\sin x-1=1\Leftrightarrow \sin x=2$. Phương trình vô nghiệm.
    • Với $t=a$ thì $\sin x-1=a\Leftrightarrow \sin x=a+1$. Phương trình này vô nghiệm vì $a+1>2$.
    • Với $t=-1$ thì $\sin x-1=-1\Leftrightarrow \sin x=0\Leftrightarrow x=\pi $ (vì $x\in \left( 0;2\pi \right)$).

    Như thế phương trình ${h}’\left( x \right)=0$ có đúng $3$nghiệm đơn thuộc khoảng $\left( 0;2\pi \right)$.

    Khi đó có bảng biến thiên:

    Do $f\left( -2 \right)<\frac{1}{4}<f\left( 0 \right)\Rightarrow f\left( 0 \right)-\frac{1}{4}>0;f\left( -2 \right)-\frac{1}{4}<0\Rightarrow f\left( -1 \right)+\frac{1}{4}<0$

    Nên hàm số $g\left( x \right)=\left| h\left( x \right) \right|$ có 5 cực trị.

    Câu 11: Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A\left( 2;5;-3 \right),B\left( -2;1;1 \right),C\left( 2;0;1 \right)$ và mặt phẳng $\left( \alpha \right):3x+4y+5z+1=0.$ Gọi $D\left( a;b;c \right)$ (với $c>0$) thuộc $\left( \alpha \right)$ sao cho có vô số mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa $C,\,D$ và khoảng cách từ $A$ đến $\left( P \right)$ gấp ba lần khoảng cách từ $B$ đến mặt phẳng $\left( P \right).$ Tính giá trị biểu thức $S={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}.$

    A. $S=26.$
    B. $S=18.$
    C. $S=20.$
    D. $S=32.$

    Hướng dẫn:

    Ta có $I=AB\cap \left( P \right)\Rightarrow \frac{AI}{BI}=\frac{d\left( A,\left( P \right) \right)}{d\left( B,\left( P \right) \right)}=3\Rightarrow \overrightarrow{AI}=\pm \overrightarrow{BI}\Rightarrow I\left( -4;-1;-3 \right);\,I\left( -1;2;0 \right).$

    Vì có vô số mặt phẳng chứa $C,\,D,\,I$ nên ba điểm này thẳng hàng hay $D\in CI.$

    • TH1: Khi $I\left( -4;-1;3 \right)\Rightarrow \overrightarrow{CD}=t\overrightarrow{CI}\Rightarrow D\left( 2-6t;-t;1+2t \right)\in \left( \alpha \right)\Rightarrow t=1\Rightarrow D\left( -4;-1;3 \right)\equiv I.$
      Thỏa mãn đề bài nên $a=-4;\,b=-1;\,c=3>0\Rightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=26.$
    • TH2: Khi $I\left( -1;2;0 \right)$ làm tương tự ta được $D\left( -4;4;-1 \right)\Rightarrow c=-1<0$ loại.

    Câu 12: Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho ba điểm $A\left( 1;1 \right),\,\,B\left( -1;2 \right),\,\,C\left( 3;-\frac{1}{2} \right)$ lần lượt là điểm biểu diễn số phức ${{z}_{1}},{{z}_{2}},{{z}_{3}}.$ Gọi $z$ là số phức thỏa mãn đồng thời $\left| z-1+2i \right|=5$ và ${{\left| z-{{z}_{1}} \right|}^{2}}+3{{\left| z-{{z}_{2}} \right|}^{2}}-2{{\left| z-{{z}_{3}} \right|}^{2}}$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính diện tích của tam giác $OIM$ với $I\left( -4;4 \right)$ và $M$ là điểm biểu diễn số phức $z.$

    A. $\frac{4\left( 61+5\sqrt{61} \right)}{61}.$
    B. $\frac{4\left( 61-5\sqrt{61} \right)}{61}.$
    C. $\frac{2\left( 61+5\sqrt{61} \right)}{61}.$
    D. $\frac{2\left( 61-5\sqrt{61} \right)}{61}.$

    Hướng dẫn:

    Điểm $M$ thuộc đường tròn tâm $P\left( 1;-2 \right),\,R=5.$ Khi đó: $$T={{\left| z-{{z}_{1}} \right|}^{2}}+3{{\left| z-{{z}_{2}} \right|}^{2}}-2{{\left| z-{{z}_{3}} \right|}^{2}}=M{{A}^{2}}+3M{{B}^{2}}-2M{{C}^{2}}=2M{{I}^{2}}+I{{A}^{2}}+3I{{B}^{2}}-2I{{C}^{2}}$$ Với $\,\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}-2\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}.$

    Biểu thức ${{T}_{\min }}\Leftrightarrow I{{M}_{\min }}=PI-R=\sqrt{61}-5.$ Khi $M=PI\cap \left( C \right),\,M$ nằm giữa $P,\,I.$

    Đường thẳng $PI:\,6x+5y+4=0\Rightarrow d\left( O,\,PI \right)=\frac{4}{\sqrt{61}}$.

    Do đó ${{S}_{OIM}}=\frac{1}{2}IM.d\left( O,PI \right)=\frac{1}{2}.\left( \sqrt{61}-5 \right).\frac{4}{\sqrt{61}}=\frac{2\left( 61-5\sqrt{61} \right)}{61}.$——————————————-

  • 1000 bài bất đẳng thức trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10

    1000 bài bất đẳng thức trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10

    1000 bài bất đẳng thức trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10

    O2 Education xin giới thiệu các bài toán Bất đẳng thức trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 qua các năm trên cả nước. Hiện tại chúng tôi đã sưu tầm được các đề thi từ năm 2011 đến nay và đang cập nhật dần đề thi cùng lời giải lên website. Quý Thầy cô và các em học sinh tham khảo thêm dạng toán Giải phương trình bằng phương pháp nhân liên hợp

    Bất đẳng thức trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm 2022

    Bài 1. (KHTN HN 2022) Cho \(a,b,c\) là những số thực dương. Chứng minh rằng: \[\frac{2 a}{a+b}+\frac{a+b}{a+c}+\frac{6 a+2 c}{3 b+c}+\frac{4 a+3 b+c}{b+c} \geq \frac{32 a}{2 a+b+c}.\]

    Bài 2. (Chuyên Tin Lam Sơn Thanh Hóa) Xét ba số thực dưong \(x, y, z\) thỏa mãn \(x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 14\). Tim giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[P=2 x+y+48\left(\frac{1}{\sqrt{x+z}}+\frac{1}{\sqrt{y+2}}\right).\]

    Bài 3. (Lê Hồng Phong – Nam Định) Xét hai số thực \(x, y\) thay đổi luôn thoả mân điều kiện \(x+y \geq 2\). Timm giá trị nhó nhất của biếu thức \[P=4 \sqrt{2\left(x^{2}+y^{2}\right)}+\frac{8}{x+y}+1.\]

    Bài 4. (Chuyên Toán Lê Hồng Phong – Nam Định) Xét các số thực không âm \(x, y, z\) thoả mãn \(x+y+z \geq 6\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[P=\frac{x^{2}}{y z+\sqrt{1+x^{3}}}+\frac{y^{2}}{z x+\sqrt{1+y^{3}}}+\frac{z^{2}}{x y+\sqrt{1+z^{3}}}.\]

    Bài 5. (SGD Hải Dương) Cho \(a, b, c\) là các số thực dương thay đối thỏa mãn \(\sqrt{\frac{a b}{c}}+\sqrt{\frac{b c}{a}}+\sqrt{\frac{c a}{b}}=3\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[T=\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\frac{2022}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}.\]

    Bài 6. (SGD Vĩnh Phúc)Cho \(x, y, z\) là các số thực ḍương thỏa mẫn điều kiện \(x+y+z=1\). Chứng minh rằng \[
    \frac{y z}{x^{2}+x y z}+\frac{z x}{y^{2}+x y z}+\frac{x y}{z^{2}+x y z} \geq \frac{1}{4 x}+\frac{1}{4 y}+\frac{1}{4 z} .\]

    Bài 7. (SGD Hà Tĩnh) 7. (1,0 điểm) Cho \(a, b\) là các số thực thỏa mãn \(a \geq 1, b \geq 1\) và \(a+b+3=ab\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \[\mathrm{F}=\frac{\sqrt{a^2-1}}{a}+\frac{\sqrt{b^2-1}}{b}+\frac{1}{a^2+b^2}.\]

    Bài 8. (SGD Hoà Bình)

    1. Cho các số thực không âm \(x, y, z\) thỏa mãn: \[\left\{\begin{array}{l}2 x-3 y-8 z=-9 \\ 4 x+y+12 z=17\end{array}\right.\] Chứng minh rằng: \[25 \leq 5 x+2 y+26 z \leq 35.\]
    2. Cho các số thực \(a, b, c\) thỏa mãn: \(a^{2}+b^{2}+c^{2}=2022\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \[P=a b+2 b c+a c.\]

    Bất đẳng thức trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm 2021

    Bài 1. (Hà Nội 2021) Với các số thực \( a \) và \( b \) thỏa mãn \( a^2+b^2=2, \) tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[ P=3(a+b)+ab.\] Hướng dẫn.
    Đặt \( x=a+b, y=ab \) thì ta có \( x^2-2y=2 \). Suy ra \( y=\frac{x^2-2}{2} \). Biểu thức đã cho trở thành \[ P=3x+\frac{x^2-2}{2}=\frac{x^2+6x-2}{2} \]
    Chúng ta lại luôn có bất đẳng thức sau \[ a^2+b^2 \geqslant \frac{(a+b)^2}{2} \] nên suy ra \( (a+b)^2 \leqslant 4 \) hay \( x\in [-2;2] \).Chúng ta đi chứng minh \( P \geqslant -5 \).
    Thật vậy, có \( P \geqslant -5 \) tương đương với \[ x^2+6x-2 \geqslant -10 \Leftrightarrow (x+2)(x+4) \geqslant 0 \] Bất đẳng thức cuối cùng này luôn đúng do \( x\in [-2;2] \).Như vậy, \( P \geqslant -5 \) và dấu bằng xảy ra tại \( x=-2,y=1 \) hay \( a=b=-1 \).Tóm lại, giá trị nhỏ nhất cần tìm là \( -5 \) khi \( a=b=-1 \).

    Bài 2. (Chuyên Hùng Vương – Gia Lai 2021) Cho \( x, y \) là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện \( x + y = 2 \). Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[ P = (5x^2+7y)(5y^2+7x) + 151xy. \] Hướng dẫn. Đặt \( t=xy \) và sử dụng điều kiện  \( x+y=2 \) ta tính được \( P \) theo \( t \) là \[ P=25t^2-10t+280=(5t-1)^2+279. \]

    Bài 3. (Quảng Bình 2021) Cho \( x, y, z \in [5, 7] \). Chứng minh rằng \[ \sqrt{xy+1} + \sqrt{yz+1} + \sqrt{zx+1} > x + y + z. \] Hướng dẫn. Vì \( x,y\in [5;7] \) nên \( \big|x-y\big| \leqslant 5\). Từ đó suy ra \[ 1+xy \geqslant \frac{(x-y)^2}{4}+xy=\frac{(x+y)^2}{4} \]

    Bài 4. (Tây Ninh 2021) Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn \( 0 \leqslant x, y, z \leqslant 1 \). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \[ T = 2(x^3 + y^3 + z^3) – (x^2y + y^2z + z^2x) \]

    Bài 5. (Bình Dương 2021) Cho \( x, y, z > 0 \) thỏa mãn \( xy + yz + zx = 1 \). Chứng minh rằng: \[ 10x^2 + 10y^2 + z^2 \geqslant 4 \] Dấu bằng xảy ra khi nào?

    Bài 6. (Cần Thơ 2021) Cho \( x, y, z \) là các số thực dương. Chứng minh rằng \[ \frac{(x+2)^2}{y+z}+ \frac{(y+2)^2}{z+x}+ \frac{(z+2)^2}{x+y} \geqslant 12.\]

    Bài 7. (Quảng Trị 2021) Cho \( a,b,c \) là các số thực tùy ý. Chứng minh rằng:

    1. \( a^2-ab+b^2 \geqslant \frac{1}{4}(a+b)^2\)
    2. \( 4(a^2+b^2)(b^2-bc+c^2)(3c^2+2ca+3a^2) \geqslant (a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2 \)

    Bài 8. (Thanh Hóa 2021) Cho ba số thực \( x,y,z \) thay đổi thỏa mãn \( x>\frac{1}{4},y>\frac{1}{3},z>\frac{1}{2} \) và \[ \frac{4}{4x+3}+\frac{3}{3y+2}+\frac{z}{2z+1} \geqslant 2 \] Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \[ Q=(4x-1)(3y-1)(2z-1). \]

    Bài 9. (Quốc học Huế 2021) Cho \( x,y,z \) là các số thực dương thỏa mãn \( x+y+z=3. \) Chứng minh rằng \[ \frac{1}{\sqrt{x(2 y+3 z)}}+\frac{1}{\sqrt{y(2 z+3 x)}}+\frac{1}{\sqrt{z(2 x+3 y)}} geeq \frac{3 \sqrt{5}}{5} \]

    Bài 10. (Tiền Giang 2021) Cho \( a, b, c \) là các số thực dương thay đổi thỏa mãn \( abc = 1 \). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \[ M = \frac{1}{(a^2+2b^2+3)} + \frac{1}{b^2+2c^2+3} + \frac{1}{c^2+2a^2+3} \]

    Bài 11. (Quảng Nam) Cho ba số thực dương \(x, y, z\) thỏa mãn \( xy + yz + zx = xyz \). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[ H = \frac{x^2}{9z+zx^2} + \frac{y^2}{9x+xy^2} + \frac{z^2}{9y+yz^2} \]

    Bài 12. (Ninh Thuận) Cho các số thực dương \(x, y, z\) thỏa mãn \( xyz = \frac{1}{8}\). Chứng minh rằng \[ \frac{1}{xy+yz+zx} – \frac{1}{x+y+z} \leqslant \frac{2}{3}.\]

    Bài 13. (Nghệ An) Cho các số dương \(a, b, c\) thỏa mãn \( ab + bc + ca \leqslant 3abc \). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
    \[ P = \sqrt{a+b} + \sqrt{b+c} + \sqrt{c+a} – \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2a+2b}} – \sqrt{\frac{b^2+c^2}{2b+2c}} – \sqrt{\frac{c^2+a^2}{2c+2a}} \]

    Bài 14. (Chuyên Lê Quý Đôn, Bà Rịa – Vũng Tàu) Xét các số thực không âm \(a, b, c\) thỏa mãn \( a^2 + b^2 + c^2 = 1 \). Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[ S = \frac{a}{1+bc} + \frac{b}{1+ca} + \frac{c}{1+ab}. \]

    Bài 15. (Quảng Trị) Cho \( a, b, c \) là các số thực tùy ý. Chứng minh rằng:

    1. \( a^2 – ab + b^2 \geqslant \dfrac{(a+b)^2}{4} \);
    2. \( 4(a^2+b^2)(b^2-bc+c^2)(3c^2+2ca+3a^2) \geqslant (a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2 \).

    Bài 16. (Thái Bình) Cho \( a, b, c \) là các số thực dương thỏa mãn \( a^2 + b^2 + c^2 = 3abc \). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \[ T = \frac{a}{3a^2+2b^2+c^2} + \frac{b}{3b^2+2c^2+a^2} + \frac{c}{3c^2 + 2a^2 + b^2}\]

    Bài 17. (Quảng Ninh) Cho hai số thực \( x, y \) thỏa mãn \( 0 < x < y \leqslant 8 \) và \( xy \leqslant 4x + 3y \). Chứng minh \( x^2 + y^2 \leqslant 100 \).

    Bài 18. (Lào Cai)

    1. Cho hai số thực dương \( x, y \) thỏa mãn \( x + y \leqslant 2/3 \). Tìm giá trị nhỏ nhất của \[ A = 53x + 53y + 1/x^2 + 1/y^2.\]
    2. Cho ba số thực dương \(x, y, z\) thỏa mãn \( x^2 + y^2 + z^2 \geqslant 3 \). Chứng minh rằng \[ x^4 + y^4 + z^4 + x^3 + y^3 + z^3 \geqslant 3 + x + y + z. \]

    Bài 19. (Khánh Hòa) Cho các số thực \( x_1, x_2, …, x_{21} \) thỏa mãn \( x_1, x_2, …, x_{21} \geqslant – 2 \) và \( x_1^3+ x_2^3+ … x_{21}^3= 12 \). Chứng minh rằng \[ x_1 + x_2 + … + x_{21} \leqslant 18. \]

    Bài 20. (PTNK, ĐHQG TP HCM) Cho dãy \( n \) số thực \( x_1, x_2, …, x_n (n \geqslant 5) \) thỏa mãn điều kiện \( x_1 \leqslant x_2 \leqslant … \leqslant x_n \) và \( x_1 + x_2 + … + x_n = 1 \).

    1. Chứng minh rằng nếu \( x_n \geqslant \frac{1}{3} \) thì \( x_1 + x_2 \leqslant x_n \).
    2. Chứng minh rằng nếu thì tồn tại số nguyên dương \( k < n \) sao cho \[ \frac{1}{3} \leqslant x_1 + … + x_k \leqslant \frac{2}{3}.\]

    Bài 21. (Lâm Đồng) Cho \( a, b, c \) là các số dương và \( a + b + c = 6 \). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[ P = \frac{a^3}{a^2+4ab+b^2} + \frac{b^3}{b^2+4bc+c^2} + \frac{c^3}{c^2+4ca+a^2} \]

    Bài 22. (Hà Nam) Cho ba số thực dương \(x, y, z\) thỏa mãn \( x + y + z \leqslant 1 \). Chứng minh rằng \[ \left(\frac{1}{x^2} – 1\right)\left(\frac{1}{y^2} – 1\right)\left(\frac{1}{x^2} – 1\right) \geqslant 512. \]

    Bài 23. (Daklak) Cho các số thực dương \(a, b, c\) thỏa mãn \( a + b + c \leqslant 2 \). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
    \[ P = \frac{b(a^2+1)^2}{a^2(b^2+1)} + \frac{c(b^2+1)^2}{b^2(c^2+1)} + \frac{a(c^2+1)^2}{c^2(a^2+1)} \]

    Bài 24. (Bình Phước) Cho \( a, b, c \) là các số dương. Chứng minh rằng:

    1. \( \dfrac{a^3}{a^2+b^2} \geqslant a – \dfrac{b}{2} \)
    2. \( \dfrac{a^3}{a^2+ab+b^2} + \dfrac{b^3}{b^2+bc+c^2} + \dfrac{c^3}{c^2+ca+a^2} \geqslant \dfrac{a+b+c}{3} \)

    Bài 25. (Quảng Ngãi) Cho các số thực \( a, b, c \) đôi một khác nhau và thỏa mãn \( (c+a)(c+b) = 4 \). Chứng minh rằng \[ \frac{1}{(a-b)^2} + \frac{1}{(c+a)^2} + \frac{1}{(c+b)^2} \geqslant 1. \]

    Bài 26. (Daknong) Cho hai số thực \( a, b \) thỏa mãn \( 2021 \leqslant a \leqslant 2022\), \(2021 \leqslant b \leqslant 2022 \). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \[ A = (a+b)(\frac{2021}{a} + \frac{2021}{b}). \]

    Bài 27. (Hòa Bình) Cho các số thực dương \(x, y, z\) thỏa mãn \( x + y + z = 4 \). Chứng minh rằng \[ \frac{1}{xy} + \frac{1}{xz} \geqslant 1. \]

    Bài 28. (Vĩnh Long) Cho số thực x thỏa mãn \( 1 \leqslant x \leqslant 2 \). Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[ T = \frac{3+x}{x} + \frac{6 – x}{3-x}. \]

    Bài 29. (Kiên Giang) Cho \(x, y, z\) là các số thực lớn hơn \( 2021 \) và thỏa mãn \[ \frac{1}{x} +\frac{1}{y} +\frac{1}{z} = \frac{2}{2021}.\]Chứng minh rằng ta có bất đẳng thức sau
    \[ \sqrt{x+y+z} \geqslant \sqrt{x-2021} + \sqrt{y-2021} + \sqrt{z-2021} \]

    Bài 30. (Bình Định) Cho các số thực \( x, y \). Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[ T = \frac{x – y}{x^4+y^4+6} \]

    Bài 31. (Bình Định) Cho \(x, y, z\) là ba số dương thỏa \( x + y + z = 1 \). Chứng minh rằng \[ P = \frac{1-x^2}{x+yz} + \frac{1-y^2}{y+zx} + \frac{1-z^2}{z+xy} \geqslant 6. \]

    Bài 32. (Cà Mau) Cho \( a, b \) là hai số thực dương sao cho \( \sqrt{a} + \sqrt{b} = 1 \). Chứng minh rằng \[ \sqrt{3a+b} + \sqrt{3b+a} \leqslant 2\sqrt{3a+b}\sqrt{3b+a} \]

    Bài 33. (Bình Định, chuyên Tin) Cho \( a, b \) là các số dương thỏa mãn \( a + 2b \geqslant 3 \). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
    \[ P = \frac{3a^2 + a^2b + \frac{9ab^2}{2} + (8+a)b^3}{ab} \]

    Bài 34. (Thanh Hóa, chuyên tin) Cho ba số thực dương \(x, y, z\) thỏa mãn \( x + y + z = 1 \). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[ P = 15\sqrt{3(x^4+y^4+z^4)} + \frac{xy+yz+zx}{x^2y+y^2z+z^2x} \]

    Bài 35. (Hải Phòng) Cho các số thực dương \(x, y, z\). Chứng minh rằng \[ \frac{x\sqrt{xy}}{\sqrt{2x+y}} + \frac{y\sqrt{yz}}{\sqrt{2y+z}} + \frac{z\sqrt{zx}}{\sqrt{2z+x}} \geqslant \sqrt{3xyz} \]

    Bài 36. (Yên Bái) Cho \( a, b, c \) là các số thực dương thỏa mãn \( 18abc = a + 2b + 3c \). Chứng minh \[ (1+a^2)(1+4b^2)(1+9c^2) \geqslant 8. \]

    Bài 37. (Ninh Bình) Cho \(x, y, z\) là các số thực dương thỏa mãn \[ \frac{1}{x+y} + \frac{1}{y+z} + \frac{1}{z+x}= 12 \] Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \[ P = \frac{1}{2x+3y+3z} + \frac{1}{3x+2y+3z} + \frac{1}{3x+3y+2z} \]

    Bài 38. (Phú Thọ) Cho ba số dương \(x, y, z\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[ P = \frac{xz}{y^2+yz}+ \frac{y^2}{xz+yz} + \frac{\sqrt{x} + \sqrt{z}}{2\sqrt{x}} \]

    Bài 39. (Bình Thuận) Cho \(x, y, z\) là các số thực dương thỏa mãn điều kiện \( x + y + z = 3 \). Chứng minh rằng \[ \frac{2xz}{x^2+2yz+3} + \frac{2yx}{y^2+2zx+3} + \frac{2zy}{z^2+2xy+3} \leqslant 1. \]

    Bất đẳng thức trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm 2017

    Bài 1. (Hòa Bình 2017) Cho các số dương \( a,b,c\) thỏa mãn \( a+b+c=1 \). Chứng minh rằng \[ \sqrt{\frac{a}{1-a}} +\frac{b}{1-b}+\frac{c}{1-c}>2.\]

    Bài 2. (Lạng Sơn 2017) Cho \( x,y,z \) là các số thực dương và thỏa mãn \( xy+yz+zx=xyz \). Chứng minh rằng \[ \frac{xy}{z^3(1+x)(1+y)}+\frac{yz}{x^3(1+y)(1+z)}+\frac{zx}{y^3(1+z)(1+x)} \geqslant \frac{1}{16} \]

    Bài 3. (Bắc Giang 2017) Cho hai số thực dương \( a, b \) thỏa mãn \( 2a + 3b \leqslant 4 \). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[ Q=\frac{2002}{den}a +\frac{2017}{b}+2996a-5501b.\]

    Bài 4. (Hà Nội 2017) Cho các số thực dương \( a,b,c \) thay đổi luôn thỏa mãn \( a \geqslant 1, b \geqslant 1, c \geqslant 1 \) và \( ab+bc+ca=9 \). Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức \[ P=a^2+b^2+c^2. \]

    Bài 5. (Hải Dương 2017) Cho các số thực dương \( x,y,z \) thỏa mãn \( x+y+z=3 \). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[ Q=\frac{x+1}{1+y^2}+\frac{y+1}{1+z^2}+\frac{z+1}{1+x^2} \]

    Bài 6. (Vĩnh Phúc 2017) Cho các số thực \( x,y \). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \[ P=\frac{(x^2-y^2)(1-x^2y^2)}{(1+x^2)^2(1+y^2)^2} \]

    Bài 7. (Bắc Ninh 2017) Cho bốn số thực dương \( x,y,z,t \) thỏa mãn \( x+y+z+t=2 \). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[ A=\frac{(x+y+z)(x+y)}{xyzt} \]

    Bài 8. (Hưng Yên 2017) Cho hai số thực dương $x,y$ thỏa mãn \( x+y \leqslant 4 \). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[ P=\frac{2}{x^2+y^2}+\frac{35}{xy}+2xy. \]

    Bài 9. (Hà Nam 2017) Cho các số thực \( a,b,c \) thỏa mãn điều kiện \( ab+bc+ca=3 \) và \( a \geqslant c \). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[ P=\frac{1}{(a+1)^2)}+\frac{1}{(b+1)^2}+\frac{1}{(c+1)^2}. \]

    Bài 10. (Hải Phòng 2017)

    1. Cho hai số dương \( x,y \). Chứng minh rằng \[ \frac{1}{x+y} \geqslant \frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right) \]
    2. Cho ba số \( a,b,c \) thỏa mãn \( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=16 \). Chứng minh rằng \[ \frac{1}{3a+2b+c}+\frac{1}{a+3b+2c}+\frac{1}{2a+b+3c}\leqslant \frac{8}{3} \]

    Bài 11. (Hải Phòng 2017)

    1. Cho hai số thực \( x \geqslant 1, y \geqslant 1 \). Chứng minh rằng \[ \frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2} \geqslant \frac{2}{1+xy} \]
    2. Cho hai số thực \( x \geqslant 1, y \geqslant 0 \) và \( 6xy+2x-3y \leqslant 2 \). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[ A=\frac{1}{x^2-4x+2}+\frac{1}{9y^2+6y+2} \]
  • Đề thi vào 10 môn Toán Hà Nội 2021

    Đề thi vào 10 môn Toán Hà Nội 2021

    Đề thi vào 10 môn Toán Hà Nội 2021

    1. Đề thi vào 10 môn Toán Hà Nội 2021

    Bài I. (2,0 điểm)

    Cho hai biểu thức \( A=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3} \) và \( B=\dfrac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3} -\dfrac{3x+9}{x-9}\) với \( x \geqslant 0, x\ne 9 \).

    1. Tính giá trị biểu thức \( A \) khi \( x=16 \).
    2. Chứng minh \( A+B=\dfrac{3}{\sqrt{x}+3} \).

    Bài II. (2,5 điểm)

    1. Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:

    Một tổ sản xuất phải làm xong \( 4800 \) bộ đồ bảo hộ y tế trong một số ngày quy định. Thực tế, mỗi ngày tổ đó đã làm được nhiều hơn \( 100 \) bộ so với số bộ đồ y tế phải làm trong một ngày theo kế hoạch. Vì thế 8 ngày trước khi hết thời hạn, tổ sản xuất đã làm xong \( 4800 \) bộ đồ bảo hộ y tế đó. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày tổ sản xuất phải làm bao nhiêu bộ đồ bảo hộ y tế? (Giả định rằng số bộ đồ y tế mà tổ đó làm xong trong mỗi ngày là bằng nhau.)

    2. Một thùng nước có dạng hình trụ với chiều cao \( 1,6 \) m và bán kính đáy \( 0,5 \) m. Người ta sơn toàn bộ phía ngoài mặt xung quanh của thùng nước này (trừ hai mặt đáy). Tính diện tích bề mặt được sơn của thùng nước (lấy \( \pi \approx 3,14\)).

    Bài III (2,0 điểm)

    1. Giải hệ phương trình \[ \begin{cases} \dfrac{3}{x+1}-2y=-1\\ \dfrac{5}{x+1}+3y=11 \end{cases} \]
    2. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho parabol \( (P):y=x^2 \) và đường thẳng \( (d): y=2x+m-2\). Tìm tất cả các giá trị của \( m \) để \( (d) \) cắt \( (P) \) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \( x_1,x_2 \) sao cho \( \big|x_1-x_2\big|=2\).

    Bài IV (3,0 điểm)

    Cho tam giác $ABC$ vuông tại \( A \). Vẽ đường tròn tâm \( C \), bán kính \( CA \). Từ điểm \( B \) kẻ tiếp tuyến \( BM \) với đường tròn \( (C;CA) \) (\( M \) là tiếp điểm, \( M \) và \( A \) nằm khác phía đối với đường thẳng \( BC \)).

    1. Chứng minh bốn điểm \( A,C,M , B \) cùng thuộc một đường tròn.
    2. Lấy điểm \( N \) thuộc đoạn thẳng \( AB \) (\( N \) khác \( A,N \) khác \( B \)). Lấy điểm \( P \) thuộc tia đối của tia \( MB \) sao cho \( MP=AN \). Chứng minh tam giác \( CPN \) là tam giác cân và đường thẳng \( AM \) đi qua trung điểm của đoạn thẳng \( NP \).

    Bài V (0,5 điểm)

    Với các số thực \( a \) và \( b \) thỏa mãn \( a^2+b^2=2, \) tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P=3(a+b)+ab \).

    2. Lời giải Đề thi vào 10 môn Toán Hà Nội 2021

    Quý thầy cô và các em học sinh có thể tải file PDF lời giải tại đây.

     

  • Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD Nam Định 2021

    Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD Nam Định 2021

    Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD Nam Định 2021

    Quý thầy cô có thể tham khảo thêm Đề thi thử TN THPT môn hóa tỉnh Nam Định năm 2021 lần 2

    I. Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD Nam Định 2021

    Câu 1: Từ các chữ số $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ có thể lập được tất cả bao nhiêu số tự nhiên có $3$ chữ số đôi một khác nhau?

    A. $40$. B. $120$. C. $60$. D. $6$.

    Câu 2: Cho cấp số nhân $\left( {{u}_{n}} \right)$ với số hạng đầu ${{u}_{1}}=2$ và ${{u}_{2}}=-6$. Khi đó công bội $q$ bằng

    A. $-3$ B. $3$ C. $-12$ D. $4$

    Câu 3: Cho hàm số có bảng biến thiên như hình vẽ sau.

    Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD Nam Định 2021 12

    Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng

    A. $\left( -2\,;\,+\infty \right)$. B. $\left( -\infty \,;\,-1 \right)$. C. $\left( -\infty \,;\,2 \right)$. D. $\left( -2\,;\,2 \right)$.

    Câu 4: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ bên dưới.

    Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD Nam Định 2021 13

    Mệnh đề nào sau đây đúng?

    A. Hàm số đạt cực đại tại $x=2$. B. Hàm số đạt cực tiểu tại $x=2$.

    C. Hàm số đạt cực đại tại $x=4$. D. Hàm số đạt cực tiểu tại $x=0$.

    Câu 5: Chohàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có bảng xét dấu của ${f}’\left( x \right)$ như sau:

    Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD Nam Định 2021 14

    Số điểm cực đại của hàm số $y=f\left( x \right)$ là

    A$0$. B. $1$. C. $3$. D. $2$.

    Câu 6: Phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{3-5x}{4x+7}$ là

    A. $y=-\frac{5}{4}$. B. $x=\frac{3}{5}$. C. $y=\frac{3}{4}$. D. $x=-\frac{7}{4}$.

    Câu 7: Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?

    Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD Nam Định 2021 15

    A. $y=-{{x}^{4}}+3{{x}^{2}}$. B. $y={{x}^{3}}-3x$. C. $y=3{{x}^{4}}-2{{x}^{2}}$. D. $y=-{{x}^{3}}+3x$.

    Câu 8: Đồ thị hàm số $y=\frac{1-x}{x+1}$ cắt trục $Oy$ tại điểm có tọa độ là

    A. $\left( 1;\,0 \right)$. B. $\left( 0;\,1 \right)$. C. $\left( 0;\,-1 \right)$. D. $\left( 1;\,1 \right)$.

    Câu 9: Với $a$ là số thực dương khác $1$, ${{\log }_{{{a}^{2}}}}\left( a\sqrt{a} \right)$ bằng

    A. $\frac{3}{4}$. B. $3$. C. $\frac{3}{2}$. D. $\frac{1}{4}$.

    Câu 10: Hàm số $f\left( x \right)={{2}^{3x+4}}$ có đạo hàm là

    A. ${f}’\left( x \right)={{3.2}^{3x+4}}.\ln 2$. B. ${f}’\left( x \right)={{2}^{3x+4}}.\ln 2$. C. ${f}’\left( x \right)=\frac{{{2}^{3x+4}}}{\ln 2}$. D. ${f}’\left( x \right)=\frac{{{3.2}^{3x+4}}}{\ln 2}$.

    Câu 11: Với $x$ là số thực dương tùy ý, $\sqrt[3]{{{x}^{5}}\sqrt[4]{x}}$ bằng

    A. ${{x}^{\frac{7}{4}}}$. B. ${{x}^{\frac{4}{7}}}$. C. ${{x}^{\frac{63}{4}}}$. D. ${{x}^{\frac{23}{12}}}$

    Câu 12: Nghiệm của phương trình ${{3}^{x-2}}=9$ là

    A. $x=-3$ B. $x=3$ C. $x=4$ D. $x=-4$

    Câu 13: Nghiệm của phương trình ${{\log }_{2}}\left( x+7 \right)=5$ là

    A. $x=39$. B. $x=18$. C. $x=25$. D. $x=3$

    Câu 14: Họ nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)={{x}^{3}}-x+1$ là

    A. $F\left( x \right)=\frac{{{x}^{4}}}{4}-\frac{{{x}^{2}}}{2}+x$. B. $F\left( x \right)=\frac{{{x}^{4}}}{4}-\frac{{{x}^{2}}}{2}+x+C$.

    C. $F\left( x \right)=3{{x}^{2}}-1$. D. $F\left( x \right)={{x}^{4}}-{{x}^{2}}+x+C$.

    Câu 15: Trong các khẳng định sau, đâu là khẳng định SAI?

    A. $\int{{{e}^{x}}dx}=\frac{{{e}^{x+1}}}{x+1}+C$. B. $\int{dx}=x+C$.

    C. $\int{{{x}^{e}}dx}=\frac{{{x}^{e+1}}}{e+1}+C$. D. $\int{\cos xdx}=\sin x+C$.

    Câu 16: Cho $\int\limits_{1}^{2}{\left[ 4f\left( x \right)-2x \right]\text{d}x}=1$. Khi đó $\int\limits_{1}^{2}{f\left( x \right)}\text{d}x$ bằng

    A. $4$. B. $-1$. C. $3$. D. $1$.

    Câu 17: Tính tích phân $I=\int\limits_{-1}^{0}{\left( 2x+1 \right)\text{d}x}$.

    A. $I=0$. B. $I=1$. C. $I=2$. D. $I=-\frac{1}{2}$.

    Câu 18: Số phức nghịch đảo của $z=3+4i$ là

    A. $3-4i$. B. $\frac{3}{25}-\frac{4}{25}i$. C. $\frac{3}{25}+\frac{4}{25}i$. D. $-3-4i$.

    Câu 19: Cho hai số phức $z\,=\,1\,+\,3i$ và $w\,=\,1\,+\,i$. Môđun của số phức $z.\bar{w}$ bằng

    A. $8$. B. $2\sqrt{5}$. C. $20$. D. $2\sqrt{2}$.

    Câu 20: Trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$, biết $M\left( -2\,;1 \right)$ là điểm biểu diễn số phức $z$. Phần thực của $z$ bằng

    A. $-2$. B. $2$. C. $-1$. D. $1$.

    Câu 21: Cho khối lăng trụ có diện tích đáy $B=3$ và chiều cao $h=4$. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

    A. $6$. B. $12$. C. $36$. D. $4$.

    Câu 22: Thể tích của khối chóp có chiều cao bằng $a$ và diện tích đáy $2{{a}^{2}}$ là

    A. ${{a}^{3}}$. B. $\frac{2{{a}^{3}}}{3}$. C. $\frac{{{a}^{3}}}{3}$. D. $2{{a}^{3}}$.

    Câu 23: Thể tích của hình trụ có đường cao và đường kính đáy đều bằng $2a$ là

    A. $6\pi {{a}^{3}}$. B. $8\pi {{a}^{3}}$. C. $4\pi {{a}^{3}}$. D. $2\pi {{a}^{3}}$.

    Câu 24: Cắt hình trụ $\left( T \right)$ bởi một mặt phẳng đi qua trục của nó, ta được thiết diện là một hình vuông cạnh bằng $7$. Diện tích xung quanh của $\left( T \right)$ bằng

    A. $\frac{49\pi }{2}$. B. $49\pi $. C. $98\pi $. D. $\frac{49\pi }{4}$.

    Câu 25: Trong không gian $Oxyz$, hình chiếu vuông góc của $M\left( 1;3;5 \right)$ lên mặt phẳng tọa độ $\left( Oxy \right)$ là điểm có tọa độ

    A. $\left( 1;3;0 \right)$. B. $\left( 1;0;5 \right)$. C. $\left( 0;3;5 \right)$. D. $\left( 0;0;5 \right)$.

    Câu 26: Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, xác định tọa độ tâm $I$ của mặt cầu $\left( S \right):\,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-4x+2y-8z=0$.

    A. $I\left( -2;\,1;\,-4 \right)$. B. $I\left( -4;\,2;\,-8 \right)$. C. $I\left( 2;\,-1;\,4 \right)$. D. $I\left( 4;\,-2;\,8 \right)$.

    Câu 27: Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):2x+3y-z+1=0$. Điểm nào dưới đây không thuộc mặt phẳng $\left( P \right)$?

    A. $B\left( 1;2;-8 \right)$. B. $C\left( -1;-2;-7 \right)$. C. $A\left( 0;0;1 \right)$. D. $D\left( 1;5;18 \right)$.

    Câu 28: Trong không gian $Oxyz$, một véctơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta :\frac{x}{1}=\frac{y}{2}=\frac{4-z}{-3}$ là:

    A. $\overrightarrow{u}=\left( 0;0;4 \right)$. B. $\overrightarrow{u}=\left( 1;2;3 \right)$. C. $\overrightarrow{u}=\left( 1;-2;3 \right)$. D. $\overrightarrow{u}=\left( 1;2;-3 \right)$.

    Câu 29: Trên giá sách có $4$ quyển sách Toán, 3 quyển sách Văn, $2$ quyển sách Tiếng Anh (các quyển sách đôi một khác nhau). Lấy ngẫu nhiên $3$ quyển sách. Tính xác suất để trong ba quyển sách lấy ra có ít nhất một quyển là Toán.

    A. $\frac{2}{7}.$ B. $\frac{3}{4}.$ C. $\frac{37}{42}.$ D. $\frac{10}{21}.$

    Câu 30: Hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng $\left( -\infty ;+\infty \right)$?

    A. $y=-{{x}^{3}}-3x$. B. $y=\frac{x-1}{x-2}$. C. $y=\frac{x+1}{x+3}$. D. $y={{x}^{3}}+3x$.

    Câu 31: Gọi $M,\,m$ lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số $y=-{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-1$ trên đoạn $\left[ -3;1 \right]$. Tổng $M+m$ bằng

    A. $0$. B. $54$. C. $-3$. D. $52$.

    Câu 32: Tìm số nghiệm nguyên của bất phương trình ${{\log }_{\frac{1}{3}}}\left( 4x-9 \right)>{{\log }_{\frac{1}{3}}}\left( x+10 \right)$.

    A. $5$. B. $4$. C. $0$. D. Vô số.

    Câu 33: Cho hàm số $f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $\int\limits_{1}^{2}{f\left( x \right)\text{d}x=3}$, $\int\limits_{2}^{2021}{f\left( x \right)\text{d}x=-1}$ thì $\int\limits_{1}^{2021}{f\left( x \right)\text{d}x\,}$bằng

    A. $-2$. B. $2$. C. $3$. D. $4$.

    Câu 34: Cho số phức $\left( 1-i \right)z=4+2i$. Tìm môđun của số phức $w=z+3$.

    A. $5$. B. $\sqrt{10}$. C. $25$. D. $\sqrt{7}$.

    Câu 35: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a,\,\,SD=a$ và $SD$ vuông góc với mặt phẳng đáy (tham khảo hình vẽ). Tính góc giữa đường thẳng $SA$ và mặt phẳng $\left( SBD \right)$.

    A. $45^\circ $. B. $\arcsin \frac{1}{4}$. C. $30{}^\circ $. D. $60{}^\circ $.

    Câu 36: Cho hình lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}’$. Cạnh bên $A{A}’=a$, $ABC$ là tam giác vuông tại $A$ có $BC=2a$, $AB=a\sqrt{3}$(tham khảo hình vẽ). Tính khoảng cách từ đỉnh $A$ đến mặt phẳng $\left( {A}’BC \right)$.

    A. $\frac{a\sqrt{7}}{21}$. B. $\frac{a\sqrt{21}}{21}$.$$ C. $\frac{a\sqrt{21}}{7}$. D. $\frac{a\sqrt{3}}{7}$.

    Câu 37: Mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( -1;2;1 \right)$ và tiếp xúc với mặt phẳng $\left( P \right)$: $x-2y-2z-2=0$ có phương trình là

    A. $\left( S \right)$: ${{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=3$. B. $\left( S \right)$:${{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=3$.

    C. $\left( S \right)$: ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=9$. D. $\left( S \right)$:${{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}=9$.

    Câu 38: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, đường thẳng đi qua hai điểm $A\left( 1;\,1;\,2 \right)$, $B\left( 2;\,-1;\,3 \right)$ có phương trình chính tắc là

    A. $\frac{x-1}{3}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-2}{1}$. B. $\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{-2}=\frac{z-2}{1}$.

    C. $\frac{x-3}{1}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-1}{2}$. D. $\frac{x+1}{3}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z+2}{1}$.

    Câu 39: Cho hàm số $f\left( x \right)$, đồ thị của hàm số $y={f}’\left( x \right)$ là đường cong trong hình vẽ bên. Giá trị nhỏ nhất của hàm số $g\left( x \right)=f\left( 3x \right)-9x$ trên đoạn $\left[ -1;\frac{4}{3} \right]$ bằng

    Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD Nam Định 2021 16

    A. $f\left( 3 \right)-9$. B. $f\left( -3 \right)+9$. C. $f\left( 0 \right)$. D. $f\left( 4 \right)-12$.

    Câu 40: Có bao nhiêu số nguyên dương $y$ sao cho ứng với mỗi $y$ có không quá $5$ số nguyên $x$ thỏa mãn $\left( {{5}^{x+2}}-\sqrt{5} \right)\left( {{5}^{x}}-y \right)<0$?

    A. $631$. B. $623$. C. $625$ . D. $624$.

    Câu 41: Cho hàm số $f( x )= \begin{cases} x+1\text{ khi }x\le 2 \\ {{x}^{2}}-1\text{ khi }x>2 \end{cases}$. Giá trị của tích phân $\int\limits_{1}^{e}{\frac{f\left( 1+2\ln x \right)}{x}dx}$ bằng

    A. $\frac{31}{6}$ B. $\frac{47}{12}$ C. $\frac{47}{6}$ D. $\frac{79}{12}$

    Câu 42: Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn điều kiện $\left| z \right|\left( z+2 \right)+10=15i$?

    A. $1$ B. $2$ C. $3$ D. $4$

    Câu 43: Cho hình chóp $S.ABC$ có mặt đáy làm tam giác vuông cân tại $A$, $AB=1$, đường thẳng $SA$ vuông góc với mặt phẳng chứa đáy. Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $AB$, góc giữa mặt phẳng $\left( SBC \right)$ và mặt phẳng $\left( SMC \right)$ bằng $\varphi $ thỏa mãn $\sin \varphi =\frac{1}{3}$. Tính thể tích của khối chóp $S.ABC$.

    A. $\frac{1}{6}$ B. $\frac{1}{3}$ C. $\frac{2}{3}$ D. $\frac{\sqrt{3}}{6}$

    Câu 44: Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA=SB=SC=a\sqrt{3}$, mặt đáy $ABC$ là tam giác cân tại $A$ với $AB=a,\widehat{BAC}={{120}^{0}}$ ($a$ là số dương cho trước). Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABC$ là

    A. $9\pi {{a}^{2}}$ B. $\frac{9\pi {{a}^{2}}}{8}$ C. $\frac{9\pi {{a}^{2}}}{2}$ D. $3\pi {{a}^{2}}$

    Câu 45: Trong không gian tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right):2x+2y-z-3=0$, đường thẳng $d:\frac{x+1}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z}{2}$ và điểm $A\left( 2;2;-1 \right)$. Gọi $\Delta $ là đường thẳng đi qua điểm $A$, cắt đường thẳng $d$ và song song với mặt phẳng $\left( P \right)$. Phương trình của đường thẳng $\Delta $ là

    A. $\frac{x+2}{3}=\frac{y+2}{7}=\frac{z-1}{20}$ B. $\frac{x-2}{3}=\frac{y-2}{7}=\frac{z+1}{20}$

    C. $\frac{x+2}{2}=\frac{y+2}{-3}=\frac{z-1}{-2}$ D. $\frac{x-2}{3}=\frac{y-2}{-3}=\frac{z+1}{-2}$

    Câu 46: Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ và bảng biến thiên của $f’\left( x \right)$ như sau:

    Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD Nam Định 2021 17

    Hỏi hàm số $g\left( x \right)=f\left( {{x}^{4}} \right)-4x$ có mấy điểm cực tiểu?

    A. $1$ B. $2$ C. $3$ D. $4$

    Câu 47: Cho hàm số $f\left( x \right)={{\log }_{2}}\sqrt{x+\sqrt{{{x}^{2}}+4}}$. Có bao nhiêu giá trị thực của tham số $m$ để bất phương trình $f\left( {{\left( x+1 \right)}^{4}}-4x-5 \right)+f\left( {{x}^{2}}+6m-{{m}^{2}}-{{m}^{4}} \right)\ge 1$ nghiệm đúng với mọi $x$ thuộc $\mathbb{R}$.

    A. $1$ B. $2$ C. $0$ D. vô số

    Câu 48: Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ xét đồ thị $\left( P \right):y=1+\sqrt{x}$ và đường thẳng $d:x=a$ (với $a>0$) cắt nhau tại điểm $A$ (tham khảo hình vẽ bên dưới).

    Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD Nam Định 2021 18

    Kí hiệu $S$ là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường $Oy$, $\left( P \right)$ và đường thẳng $OA$; $S’$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $Oy$, $\left( P \right)$, $Ox$ và $d$. Giả sử rằng $S=\frac{1}{3}S’$, hỏi giá trị $a$ thuộc khoảng nào sau đây?

    A. $\left( 0;4 \right)$ B. $\left( 4;8 \right)$ C. $\left( 8;16 \right)$ D. $\left( 16;+\infty \right)$

    Câu 49: Xét các số phức $z,w$ thỏa mãn ${{\left| z-2 \right|}^{2}}+{{\left| z-2i \right|}^{2}}=6$ và $\left| w-3-2i \right|=\left| w+3+6i \right|$. Khi $\left| z-w \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất, hãy tính $\left| z \right|$.

    A. $1+\sqrt{2}$ B. $\sqrt{2}-1$ C. $\frac{1}{5}$ D. $\frac{1}{\sqrt{5}}$

    Câu 50: Trong không gian tọa độ $Oxyz$, cho hai mặt cầu $\left( {{S}_{1}} \right):{{x}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=16$, $\left( {{S}_{2}} \right):{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=1$ và điểm $A\left( \frac{4}{3};\frac{7}{3};-\frac{14}{3} \right)$. Gọi $I$ là tâm của mặt cầu $\left( {{S}_{1}} \right)$ và $\left( P \right)$ là mặt phẳng tiếp xúc với cả hai mặt cầu $\left( {{S}_{1}} \right)$ và $\left( {{S}_{2}} \right)$. Xét các điểm $M$ thay đổi và thuộc mặt phẳng $\left( P \right)$ sao cho đường thẳng $IM$ tiếp xúc với mặt cầu $\left( {{S}_{2}} \right)$. Khi đoạn thẳng $AM$ ngắn nhất thì $M=\left( a;b;c \right)$. Tính giá trị của $T=a+b+c$.

    A. $T=1$ B. $T=-1$ C. $T=\frac{7}{3}$ D. $T=-\frac{7}{3}$

    II. Hướng dẫn giải Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD Nam Định 2021

    Quý thầy cô tải file PDF tại đây Loi giai de thi thu TNTHPT mon Toan SGD Nam Dinh 2021

    Hướng dẫn giải Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD Nam Định 2021 Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD Nam Định 2021 19 Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD Nam Định 2021 20 Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD Nam Định 2021 21 Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD Nam Định 2021 22 Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD Nam Định 2021 23 Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD Nam Định 2021 24 Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD Nam Định 2021 25 Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD Nam Định 2021 26 Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD Nam Định 2021 27 Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD Nam Định 2021 28 Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD Nam Định 2021 29 Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD Nam Định 2021 30 Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD Nam Định 2021 31 Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD Nam Định 2021 32 Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD Nam Định 2021 33 Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD Nam Định 2021 34 Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD Nam Định 2021 35 Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD Nam Định 2021 36 Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD Nam Định 2021 37 Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD Nam Định 2021 38 Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD Nam Định 2021 39 Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán Sở GD Nam Định 2021 40

     

  • Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên KHTN HN năm 2014

    Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên KHTN HN năm 2014

    SỞ GD VÀ ĐT HÀ NỘI

    ĐỀ CHÍNH THỨC

    (Đề thi gồm 01 trang)

    THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN

    NĂM HỌC 2014

    MÔN: TOÁN ( VÒNG 1 )

    (Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề)

    Bài 1. 

    1. Giả sử \(x,y\) là những số thực dương thỏa mãn \[\frac{y}{x+y}+\frac{2{{y}^{2}}}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}+\frac{4{{y}^{4}}}{{{x}^{4}}+{{y}^{4}}}+\frac{8{{y}^{4}}}{{{x}^{8}}-{{y}^{4}}}=4\] Chứng minh rằng: \(5y=4x\).
    1. Giải hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} 2{{x}^{2}}-3{{y}^{2}}+xy=12  \\ 6x+{{x}^{2}}y=12+6y+{{y}^{2}}x  \\ \end{array} \right.\]

    Bài 2.

    1. Cho \(x,y\) là những số nguyên lớn hơn 1 sao cho \(4{{x}^{2}}{{y}^{2}}-7x+7y\) là số chính phương. Chứng minh rằng: \(x=y.\)
    2. Giả sử \(x,y\) là những số thực không âm thỏa mãn: \({{x}^{3}}+{{y}^{3}}+xy={{x}^{2}}+{{y}^{2}}\). Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức: \[P=\frac{1+\sqrt{x}}{2+\sqrt{y}}+\frac{2+\sqrt{x}}{1+\sqrt{y}}\]

    Bài 3. Cho tam giác \(ABC\) nhọn với \(AB<BC\). Gọi \(D\) là điểm thuộc cạnh BC sao cho  \(AD\) là phân giác của \(\widehat{BAC}\). Đường thẳng qua \(C\) song song với \(AD\) cắt trung trực của \(AC\) tại \(E\). Đường thẳng qua \(B\) song song với \(AD\) cắt trung trực của \(AB\) tại \(F\).

    1. Chứng minh tam giác \(AFB\) đồng dạng với tam giác \(AEC\).
    2. Chứng minh rằng các đường thẳng \(BE\), \(CF\), \(AD\) đồng quy tại một điểm, gọi điểm đó là \(G\).
    3. Đường thẳng qua \(G\) song song với \(AE\) cắt đường thẳng \(BF\) tại \(Q\). Đường thẳng \(QE\) cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác \(GEC\) tại \(P\) khác \(E\). Chứng minh rằng các điểm \(A\), \(P\), \(G\), \(Q\), \(F\) cùng thuộc một đường tròn.

    Bài 4. Giả sử \(a\), \(b\), \(c\) là các số thực dương thỏa mãn đẳng thức \(ab+bc+ca=1\). Chứng minh rằng \[2abc(a+b+c)\le \frac{5}{9}+{{a}^{4}}{{b}^{2}}+{{b}^{4}}{{c}^{2}}+{{c}^{4}}{{a}^{2}}\]

    —HẾT —

  • Cách tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng lớp 11

    Cách tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng lớp 11

    Bài toán xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là một dạng toán quan trọng của chương trình HHKG lớp 11. Bài toán này cùng với các bài toán tính góc giữa 2 mặt phẳng, khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng đều sử dụng kiến thức về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.

    BỘ SÁCH HHKG GIÁ TỐT TRÊN SHOPEE

    Xem thêm:

    1. Lý thuyết góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

    Định nghĩa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

    • Nếu đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì ta góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng  90°.
    • Nếu đường thẳng không vuông góc với mặt phẳng thì góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu của nó lên mặt phẳng .

    Kí hiệu góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$ là \( \left(d,(P)\right) \).

    cách tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng lớp 11

    Nhận xét.

    • Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng có số đo từ từ \( 0^\circ \) đến \( 90^\circ \)
    • Đường thẳng song song hoặc nằm trong mặt phẳng thì góc giữa chúng bằng \( 0^\circ \)

    2. Cách xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

    Bài toán. Xác định góc giữa đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(P)$

    Trong thực tế, chúng ta ít khi gặp tình huống đường thẳng $d$ song song với mặt phẳng $(P)$ hoặc nằm trong mặt phẳng $(P)$, vì khi đó góc giữa chúng bằng $0^\circ$. Còn nếu đường thẳng $d$ vuông góc với mặt phẳng $(P)$ thì góc giữa chúng bằng $90^\circ$. Trường hợp còn lại, đường thẳng $d$ sẽ cắt và không vuông góc với $(P)$. Khi đó, chúng ta thực hiện 3 bước:

    • Tìm giao điểm của đường thẳng $d$ và mặt phẳng $ (P)$, giả sử là điểm $ O $;
    • Lấy một điểm $ A$ bất kì thuộc đường thẳng $ d$ và tìm hình chiếu vuông góc $ H$ của $ A$ lên $\left( P\right)$;
    • Tính góc $ \widehat{AOH}$, đây chính là góc cần tìm.
    hướng dẫn tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian lớp 11

    Chú ý. Đối với hình chóp, góc giữa cạnh bên và mặt đáy là góc tạo bởi 3 điểm: đỉnh — điểm chung — chân đường cao hình chóp.

    Ví dụ,

    hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy

    Ví dụ, hình chóp $S.ABC$ có cạnh bên \( SA \) vuông góc với đáy. Hãy xác định góc giữa \( SC\) và mặt phẳng \( (ABC) \).

    • đỉnh chính là điểm $S$
    • điểm chung của cạnh $SC$ và mặt đáy $(ABC)$ chính là điểm $C$
    • chân đường cao hình chóp là điểm $A$

    Suy ra, góc giữa \( SC\) và mặt phẳng \( (ABC) \) là góc \( \widehat{SCA} \).

    Tương tự, các em cũng có thể dễ dàng tìm được góc giữa cạnh bên $SB$ và mặt đáy $(ABC)$ là \( \widehat{SBA} \).

    3. Ví dụ tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

    Ví dụ 1. Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy $ ABCD $ là hình vuông cạnh $ a $. Cạnh $ SA=a\sqrt{6} $ và vuông góc với đáy $ (ABCD) $. Tính góc giữa:

    1. đường thẳng $ SC $ và mặt phẳng $ (ABCD) $;
    2. đường thẳng $ SC $ và mặt phẳng $ (SAB) $;
    3. đường thẳng $ SB $ và mặt phẳng $ (SAC) $;
    4. đường thẳng $ AC $ và mặt phẳng $ (SBC) $.
    xác định góc trong hình chóp tứ giác

    Hướng dẫn.

    1. Để tính góc giữa đường thẳng $ SC $ và mặt phẳng $ (ABCD) $, chúng ta lần lượt thực hiện 3 bước:
      • Giao điểm của đường thẳng $ SC $ và mặt phẳng $ (ABCD) $ là điểm $C$.
      • Trên đường thẳng $SC$, chọn một điểm và xác định hình chiếu vuông góc của nó xuống mặt phẳng $(ABCD)$, ở đây chúng ta chọn điểm $S$ vì dễ thấy hình chiếu vuông góc của $S$ lên mặt phẳng $ (ABCD) $ chính là $A$. (Do giả thiết cạnh $ SA$ và vuông góc với đáy $ (ABCD) $.
      • Như vậy, góc giữa đường thẳng $ SC $ và mặt phẳng $ (ABCD) $ chính là góc $SCA$ và chúng ta đi tính số đo của góc này.
      • Xét tam giác vuông $SAC$ có $ SA=a\sqrt{6}$ và $AC=a\sqrt{2}$ (do $AC$ là đường chéo của hình vuông cạnh $a$) nên có \[ \tan \widehat{SCA}=\frac{SA}{AC}=\frac{a\sqrt{6}}{a\sqrt{2}}=\sqrt{3} \] Suy ra \( \widehat{SCA} = 60^\circ \) và đây chính là đáp số cần tìm.
    2. Chứng minh được $CB$ vuông góc với $(SAB)$ (em nào chưa làm được thì có thể xem lại bài Cách chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng). Sau đó, làm theo đúng 3 bước trong lý thuyết ta được góc $\widehat{CSB}$. Đáp số $\arctan\frac{1}{\sqrt{7}}$.
    3. Gọi $O$ là giao điểm của hai đường chéo $AC,BD$ thì chứng minh được $BO$ vuông góc với $(SAC)$. Góc cần tìm là $\widehat{BSO}$. Đáp số $ \arcsin\frac{1}{\sqrt{14}}$.
      hướng dẫn tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
    4. Trong mặt phẳng $(SAB)$, qua $A$ kẻ đường thẳng vuông góc và cắt $SB$ tại $H$. Chứng minh được $AH$ vuông góc với $(SBC)$ và tìm được góc giữa đường thẳng $ AC $ và mặt phẳng $ (SBC) $ là $\widehat{ACH}$. Đáp số $\arcsin\frac{\sqrt{21}}{7} $.

    Ví dụ 2. Cho hình chóp $ S.ABC $ có đáy là tam giác đều cạnh $ a. $ Cạnh bên $ SA $ bằng $ 2a $ và vuông góc với đáy $ (ABC). $

    1. Tính góc giữa đường thẳng $ SB $ và mặt phẳng $ (ABC). $
    2. Tính góc giữa đường thẳng $ SC $ và mặt phẳng $ (SAB). $
    3. Gọi $ M,N $ lần lượt là trung điểm của $ SC $ và $ AC. $
      • Tính góc giữa $ BM $ và mặt phẳng $ (ABC);$
      • Tính góc giữa $ SN $ với mặt phẳng $ (SAB). $

    Hướng dẫn.

    goc trong hinh chop tam giac
    1. Góc giữa đường thẳng $ SB $ và mặt phẳng $ (ABC) $ là góc $\widehat{SBA}$.
    2. Gọi $H$ là trung điểm $AB$ thì chứng minh được $CH$ vuông góc với $(SAB)$. Góc giữa đường thẳng $ SC $ và mặt phẳng $ (SAB) $ là góc $CSH$.
    3. Góc giữa đường thẳng $ BM $ và mặt phẳng $ (ABC)$ là $ \widehat{MBN} $có $ \tan\widehat{MBN}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$.
      goc trong hinh chop tam giac co canh ben vuong goc day
      Trong mặt phẳng $(ABC)$ kẻ $NK$ vuông góc với $AB$ tại $K$ ($NK$ song song với $CH$). Dễ dàng chỉ ra được $NK$ vuông góc với $(SAB)$.
      Suy ra, góc giữa đường thẳng $ SN $ với mặt phẳng $ (SAB) $ là $ \widehat{NSK} $. Tính được $\tan\widehat{NSK}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{17}} $ và suy ra số đo góc cần tìm.

    Ví dụ 3. Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy là hình vuông cạnh $ a $. Trung tuyến $ SI $ của tam giác đều $ SAB $ vuông góc với đáy $ (ABCD) $ của hình chóp. Chứng minh hai đường thẳng $ SC $ và $ SD $ tạo với mặt phẳng $ (SAB) $ hai góc bằng nhau. Tính góc giữa đường thẳng $ CM $ và mặt phẳng $ (SAB) $, trong đó $ M $ là trung điểm $ SD. $

    Hướng dẫn. Hai đường thẳng $ SC $ và $ SD $ cùng tạo với mặt phẳng $ (SAB) $ góc $ 45^\circ. $ Hình chiếu của điểm $ C $ lên mặt phẳng $ (SAB) $ là $ B. $ Hình chiếu của điểm $ M $ lên mặt phẳng $ (SAB) $ là trung điểm $ N $ của $ SA. $ Góc giữa đường thẳng $ CM $ và mặt phẳng $ (SAB) $ bằng $ 30^\circ. $

    Ví dụ 4. Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy là hình vuông cạnh $ a $, tâm $ O $ và $ SO $ vuông góc với đáy. Gọi $ M, N $ lần lượt là trung điểm của các cạnh $ SA $ và $ BC $. Biết góc giữa đường thẳng $ MN $ và mặt phẳng $ (ABCD) $ bằng $ 60^\circ $. Tính độ dài $ MN $ và $ SO $. Tính góc giữa đường thẳng $ MN $ và mặt phẳng $ (SBD) $.

    Hướng dẫn. Gọi $ H $ là trung điểm của $ AO $ thì $ MH $ song song với $ SO $ nên $ H $ là hình chóp vuông góc của $ M $ lên mặt phẳng $(ABCD)$… Đáp số $ MN=\frac{a\sqrt{10}}{2},SO=\frac{a\sqrt{30}}{2};\sin\left(MN,(SBD)\right)=\frac{1}{\sqrt{5}} $

  • 100 Bài tập công thức lượng giác lớp 10

    100 Bài tập công thức lượng giác lớp 10

    100 bài tập công thức lượng giác lớp 10

    1. Kiến thức cần nhớ

    • Định nghĩa các giá trị lượng giác $sin x, cos x, tan x, cot x$ của một cung, góc lượng giác
    • Các công thức lượng giác cơ bản
    • Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt (cung liên kết): cung đối nhau, cung bù nhau, cung phụ nhau…
    • Các công thức lượng giác: công thức cộng, công thức nhân đôi, công thức hạ bậc, công thức biến đổi tổng thành tích, công thức biến đổi tích thành tổng

    2. Bài tập công thức lượng giác lớp 10

    Bài tập 1. Rút gọn các biểu thức lượng giác sau:

    1. $sin x cos 5 x-cos x sin 5 x$
    2. $sin 4 x cot 2 x-cos 4 x$
    3. $cos 6 x tan 3 x-sin 6 x$
    4. $sin (x+y) cos (x-y)+sin (x-y) cos (x+y)$
    5. $cos 7 x cdot cos 5 x-sqrt{3} sin 2 x+sin 7 x cdot sin 5 x$
    6. $sqrt{3} cos 2 x+sin 2 x+2 sin left(2 x-dfrac{pi}{6}right)$
    7. $dfrac{tan 2 x+cot left(90^{0}+xright)}{1+cot left(90^{0}-2 xright) tan x}$
    8. $dfrac{tan ^{2} 2 x-tan ^{2} x}{1-tan ^{2} 2 x tan ^{2} x}$
    9. $sin (a+b)+sin left(dfrac{pi}{2}-aright) sin (-b)$
    10. $cos left(dfrac{pi}{2}-aright) cos left(dfrac{pi}{2}-bright)-cos (a-b)$
    11. $cos left(dfrac{pi}{4}+aright) cos left(dfrac{pi}{4}-aright)+dfrac{1}{2} sin ^{2} a$
    12. $sin ^{2} a sin ^{2} b-cos ^{2} a cos ^{2} b$
    13. $dfrac{2 sin (a+b)}{cos (a+b)+cos (a-b)}-tan b$
    14. $(sin x+cos x)^{2}$
    15. $sin x cos x cos 2 x$
    16. $1-4 sin ^{2} x cos ^{2} x$
    17. $cos ^{4} 2 x-sin ^{4} 2 x$
    18. $cos ^{2}left(x+dfrac{pi}{2}right)-sin ^{2}left(x+dfrac{pi}{2}right)$
    19. $sin x cos x cos 2 x$
    20. $4sin x sin left(x+dfrac{pi}{2}right) sin left(2 x+dfrac{pi}{2}right)$
    21. $sin 8 x+2 cos ^{2}left(45^{circ}+4 xright)$
    22. $sin ^{2}left(dfrac{pi}{8}+dfrac{x}{2}right)-sin ^{2}left(dfrac{pi}{8}-dfrac{x}{2}right)$
    23. $sin 2 x+cos 2 x-2 cos x(sin x+cos x)+1$
    24. $dfrac{2 cos ^{2} x-1}{sin x+cos x}$
    25. $dfrac{1-2 sin ^{2} 2 x}{cos 2 x-sin 2 x}$
    26. $dfrac{2}{(1-tan x)(1+cot x)}$
    27. $left(1-tan ^{2} xright) cot x$
    28. $dfrac{cot x-tan x}{cos 2 x}$
    29. $dfrac{sin 2 x}{sin x}-dfrac{cos 2 x}{cos x}$
    30. $dfrac{1+sin left(dfrac{3 pi}{2}-xright)}{1+sin left(dfrac{pi}{2}+xright)}$
    31. $dfrac{sin ^{2} 2 x-4 sin ^{2} x}{sin ^{2} 2 x+4 sin ^{2} x-4}$
    32. $dfrac{sin 4 x}{1+cos 4 x} cdot dfrac{cos 2 x}{1+cos 2 x}$
    33. $dfrac{sin 3 x-cos 3 x}{sin x+cos x}$
    34. $tan left(dfrac{pi}{4}+dfrac{x}{2}right) cdot dfrac{1+cos left(dfrac{pi}{2}+xright)}{sin left(dfrac{pi}{2}+xright)}$
    35. $dfrac{1-cos 2 x+sin 2 x}{1+cos 2 x+sin 2 x} cdot cot x$

    Bài tập 2. Chứng minh rằng

    1. $sin 3 x=3 sin x-4 sin ^{3} x$
    2. $cos 3 x=4 cos ^{3} x-3 cos x$
    3. $cos ^{4} x-sin ^{4} x=cos 2 x$
    4. $cos ^{2} 2 x-sin ^{2} x=cos x cos 3 x$
    5. $sin 4 x=4 sin x cos xleft(1-2 sin ^{2} xright)$
    6. $cos 4 x=8 cos ^{4} x-8 cos ^{2} x+1$
    7. $sin ^{4}+cos ^{4} x=dfrac{3}{4}+dfrac{1}{4} cos 4 x$
    8. $8 sin ^{4} x=3-4 cos 2 x+cos 4 x$
    9. $sin ^{4}+cos ^{4} x-6 cos ^{2} x sin ^{2} x=cos 4 x$
    10. $cos x+sin x=sqrt{2} cos left(x-dfrac{pi}{4}right)$
    11. $cos x-sin x=sqrt{2} cos left(x+dfrac{pi}{4}right)$
    12. $sin left(dfrac{pi}{4}+xright)-sin left(dfrac{pi}{4}-xright)=sqrt{2} sin x$
    13. $tan (x+y)-tan x-tan y=tan (x+y) tan x tan y$
    14. $dfrac{sin (a-b)}{cos a cos b}+dfrac{sin (b-c)}{cos b cos c}+dfrac{sin (c-a)}{cos c cos a}=0$
    15. $dfrac{sin (a+b) sin (a-b)}{cos ^{2} a cos ^{2} b}=tan ^{2} a-tan ^{2} b$
    16. $dfrac{1-cos 2 x}{sin 2 x}=tan x$
    17. $tan x+cot x=dfrac{2}{sin 2 x}$
    18. $dfrac{cos x}{1-sin x}=cot left(dfrac{pi}{4}-dfrac{x}{2}right)$
    19. $cot x-tan x=2 cot 2 x$
    20. $dfrac{1+cos x}{1-cos x} cdot tan ^{2} dfrac{x}{2}=1$
    21. $dfrac{1}{sin 2 x}+cot 2 x=cot x$
    22. $(tan 2 x-tan x) cos 2 x=tan x$
    23. $(tan 2 x-tan x) cos 2 x=tan x$
    24. $dfrac{cos dfrac{x}{2}-sin dfrac{x}{2}}{cos dfrac{x}{2}+sin dfrac{x}{2}}=dfrac{1}{cos x}-tan x$
    25. $2left(dfrac{1}{sin 2 x}+cot 2 xright)=cot dfrac{x}{2}-tan dfrac{x}{2}$

    Bài tập 3. Chứng minh các biểu thức sau độc lập đối với biến $ x $.

    1. $sin ^{2} x+cos left(dfrac{pi}{3}-xright) cos left(dfrac{pi}{3}+xright)$
    2. $cos ^{2} x+cos ^{2}left(dfrac{pi}{3}+xright)+cos ^{2}left(dfrac{pi}{3}-xright)$
    3. $sin ^{2} x+sin ^{2}left(dfrac{2 pi}{3}+xright)+sin ^{2}left(dfrac{2 pi}{3}-xright)$
    4. $cos ^{2} x+cos ^{2}left(x+dfrac{2 pi}{3}right)+cos ^{2}left(x-dfrac{2 pi}{3}right)$
    5. $dfrac{a cos ^{3} x-cos 3 x}{cos x}+dfrac{a sin ^{3} x+sin 3 x}{sin x}$
    6. $dfrac{sin 2 x-2 sin x}{sin 2 x+2 sin x}+tan ^{2} dfrac{x}{2}$

    Bài tập 3. Cho tam giác $ABC$, chứng minh rằng:

    1. $sin {C}=sin {A} cdot cos {B}+sin {B} cdot cos {A}$
    2. $sin {A}=sin {B} cos {C}+sin {C} cos {B}$
    3. $cos {A}=sin {B} sin {C}-cos {B} cos {C}$
    4. $dfrac{sin {C}}{cos {A} . cos {B}}=tan {A}+tan {B}, quadleft({A}, {B} neq 90^{circ}right)$
    5. $tan A+tan B+tan C=tan A .$ tan $B cdot tan C$
    6. $cot A cdot cot B+cot B cdot cot C+cot C cdot cot A=1$
    7. $sin dfrac{A}{2}=cos dfrac{B}{2} cos dfrac{C}{2}-sin dfrac{B}{2} sin dfrac{C}{2}$
    8. $cos dfrac{A}{2}=sin dfrac{B}{2} cos dfrac{C}{2}-cos dfrac{B}{2} sin dfrac{C}{2}$
    9. $tan dfrac{{A}}{2} cdot tan dfrac{{B}}{2}+tan dfrac{{B}}{2} cdot tan dfrac{{C}}{2}+tan dfrac{{C}}{2} cdot tan dfrac{{A}}{2}=1$
    10. $cot dfrac{{A}}{2}+cot dfrac{{B}}{2}+cot dfrac{{C}}{2}=cot dfrac{{A}}{2} cdot cot dfrac{{B}}{2} cdot cot dfrac{{C}}{2}$

    Bài tập 4. Tính giá trị lượng giác của các biểu thức sau:

    1. $cos xleft(x+dfrac{pi}{3}right)$ biết $sin x=dfrac{1}{sqrt{3}}$ và $0<x<dfrac{pi}{2}$.
    2. $sin left(dfrac{pi}{3}-xright)$ biết $cos x=-dfrac{12}{13}$ và $pi<x<dfrac{3 pi}{2}$.
    3. $cos left(x-30^{0}right)$ biết $tan x=sqrt{2}$ và $0<x<90^{0}$.
    4. $sin left(2 x+dfrac{7 pi}{4}right)$ biết $cot x=dfrac{2}{3}$.
    5. $sin 2 x, cos 2 x$ khi $sin x=dfrac{3}{5}, dfrac{pi}{2}<x<pi$.
    6. $sin 2 x, cos 2 x$ khi $sin x+cos x=sqrt{2}$.
    7. $cos 2 x, sin 2 x, tan 2 x $ biết rằng $tan x=2$.