O₂ Education

Category: TOÁN HỌC

  • Căn bậc hai của số phức và phương trình bậc hai trên tập số phức

    Căn bậc hai của số phức và phương trình bậc hai

    1. Căn bậc hai của số phức

    Cho số phức $z=a+bi$ (với $a,b\in R$). Một số phức $w$ được gọi là một căn bậc hai của số phức $z$ nếu $w^{2}=z$. Số phức $z=0$ có một căn bậc hai là $0$. Mỗi số phức $z\ne 0$ luôn có hai căn bậc hai, cách tìm căn bậc 2 như trong ví dụ sau đây.

    Ví dụ 1: Tìm căn bậc hai của số phức $z=4+6\sqrt{5}i$.
    Giả sử căn bậc hai của số phức là $w=x+yi$ với $x,y\in R$ thì ta có

    ${{w}^{2}}={{\left( x+yi \right)}^{2}}=\left( {{x}^{2}}-{{y}^{2}} \right)+2xyi$

    Đồng nhất phần thực và phần ảo của hai vế, ta được hệ phương trình:
    $$ \begin{cases}{{x}^{2}}-{{y}^{2}}=4 \\
    xy=3\sqrt{5}
    \end{cases}$$

    Giải hệ phương trình trên ta được $ x=\pm 3,  y=\pm \sqrt{5}$. Vậy, số phức $z=4+6\sqrt{5}i$ có hai căn bậc hai là $3+i\sqrt{5}$ và $-3-i\sqrt{5}$.

    Luyện tập: Tìm căn bậc hai của số phức $z=-1-2\sqrt{6}i$. Đáp số: Có hai căn bậc hai là $\sqrt{2}-i\sqrt{5}$ và $-\sqrt{2}+i\sqrt{5}$.

    Chú ý: Mỗi số thực dương $a$ luôn có hai căn bậc hai là $\pm \sqrt{a}$, mỗi số thực âm $a$ đều có hai căn bậc hai là $\pm \sqrt{a}.i$

    2. Phương trình trên tập số phức

    2.1. Phương trình bậc nhất $az+b=0$ với $ a,b\in C, a\ne 0 $

    Phương pháp giải. Biến đổi tương đương $az+b=0 \Leftrightarrow z=-\frac{b}{a}$ rồi thực hiện phép chia hai số phức để rút gọn nghiệm, đưa nghiệm về dạng $z=x+yi$ với $x,y\in R$.

    Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

    • $\left( 3+4i \right)z=(1+2i)(4+i)$
    • $2iz+3=5z+4$
    • $3(2-i)z+1=2iz(1+i)+3i$

    Hướng dẫn.

    • Chúng ta có ngay $z=\frac{(1+2i)(4+i)}{3+4i}=\frac{42}{25}+\frac{19}{25}i $.
    • Chuyển vế, đặt nhân tử chung, ta được $$ (-5+2i)z=1 $$ Suy ra $z=\frac{1}{-5+2i}=\frac{-5}{29}-\frac{2}{29}i$
    • Đặt nhân tử chung, đưa về dạng $az+b=0$ chúng ta được $$ (3(2-i)-2i(1+i))z=-1+3i $$ Rút gọn được $(8-5i)z=-1+3i$, suy ra nghiệm của phương trình là $$z=\frac{-1+3i}{8-5i}=\frac{-23}{89}+\frac{19}{89}i$$

    Ví dụ 2: Giải phương trình $$\frac{2+i}{1-i}z=\frac{-1+3i}{2+i}.$$

    Hướng dẫn.

    Có thể rút gọn trực tiếp $\frac{2+i}{1-i}$ và $\frac{-1+3i}{2+i}.$ Tuy nhiên, cách làm đó chắc chắn xuất hiện phân số, nên chúng ta sẽ nhân chéo để tránh xuất hiện phép chia hai số phức. Phương trình đã cho trở thành $$(2+i)(2+i)z=(-1+3i)(1-i)$$ hay chính là $(3+4i)z=2+4i$. Suy ra, nghiệm của phương trình là $$z=\frac{2+4i}{3+4i}=\frac{22}{25}+\frac{4}{25}i.$$

    2.2. Phương trình bậc hai $a{{z}^{2}}+bz+c=0$ với hệ số phức, $ a\ne 0$.

    Phương pháp giải. Tính $\Delta ={{b}^{2}}-4ac$, lúc này ta xét 2 trường hợp sau:

    • Nếu $\Delta =0$ thì phương trình có nghiệm kép ${{z}_{1}}={{z}_{2}}=-\frac{b}{2a}$.
    • Nếu $\Delta \ne 0$ thì giả sử $\delta$ là một căn bậc hai của $\Delta $. Khi đó phương trình có hai nghiệm phân biệt

    $${{z}_{1}}=\frac{-b-\delta }{2a};{{z}_{2}}=\frac{-b+\delta }{2a}$$

    Chú ý rằng hệ thức Viét vẫn đúng với phương trình bậc hai ẩn phức, do đó có thể nhẩm nghiệm hoặc tính giá trị biểu thức đối xứng với hai nghiệm z1, z2 như đối với phương trình ẩn thực như bình thường.

    Ví dụ 1: Giải các phương trình bậc hai sau

    • ${{z}^{2}}+2z+5=0$
    • ${{z}^{2}}+(1-3i)z-2(1+i)=0$
    • ${{z}^{2}}-2(1+i)z-2i-3=0$
    • $i{{z}^{2}}-4z-i+4=0$

    Ví dụ 2: Cho phương trình

    $${{z}^{2}}+\left( \sqrt{3}-1-i \right)z-\sqrt{3}\left( 1+i \right)=0$$

    Giả sử phương trình có hai nghiệm là ${{z}_{1}};{{z}_{2}}$. Tính giá trị biểu thức $M=\frac{1}{z_{1}^{2}}+\frac{1}{z_{2}^{2}}$

    Luyện tập: Cho phương trình ${{z}^{2}}+\left( 3-2i \right)z+5\left( 1-i \right)=0$. Giả sử phương trình có hai nghiệm là ${{z}_{1}};{{z}_{2}}$. Tính giá trị biểu thức $M=\frac{1}{z_{1}^{{}}}+\frac{1}{z_{2}^{{}}}-{{z}_{1}}{{z}_{2}}$

    Ví dụ 3: Giải hệ phương trình

    $$\begin{cases} {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=4+i \\
    z_{1}^{2}+z_{2}^{2}=5-2i \\
    \end{cases}$$

    Luyện tập: Giải hệ phương trình

    $$\begin{cases} {{z}_{1}}+{{z}_{2}}=8-8i \\
    z_{1}^{2}+z_{2}^{2}=63-16i \end{cases}$$

    Ví dụ 4: Giả sử phương trình ${{z}^{2}}+bz+c=0$ với $b,c\in R$ có hai nghiệm ${{z}_{1}};{{z}_{2}}$ được biểu diễn bởi các điểm ${{M}_{1}},{{M}_{2}}$ trên mặt phảng toạ độ $Oxy$. Tìm điều kiện của $b$ và $c$ để tam giác $OM_1M_2$ vuông cân tại đỉnh $O$.

    Nhận xét. Nếu phương trình ${{z}^{2}}+bz+c=0$ có hai nghiệm ${{z}_{1}};{{z}_{2}}$ thì chúng phải có dạng $${{z}_{1}}=m+ni;{{z}_{2}}=m-ni$$

    Do đó luôn có tam giác $O{{M}_{1}}{{M}_{2}}$ cân đỉnh $O$. Để tam giác $O{{M}_{1}}{{M}_{2}}$ vuông cân thì một trong hai số phức ${{z}_{1}};{{z}_{2}}$ phải có một argument là $45^\circ$ hoặc $135^\circ$ do đó $m=\pm n$.

    Một số phương trình có dạng đặc biệt, ngoài cách làm trên có thể sử dụng các phép biến đổi tương đương để đưa phương trình về dạng quen thuộc đã biết cách giải

    Ví dụ: Giải phương trình

    $${{\left( \frac{z+i}{z-i} \right)}^{4}}=-1$$

    2.3. Phương trình bậc ba $a{{z}^{3}}+b{{z}^{2}}+cz+d=0$ với hệ số phức, $ a\ne 0$.

    Ví dụ 1: Giải phương trình $\left( iz+\frac{1}{2i} \right)\left( \left( 2-i \right)\overline{z}+i+3 \right)=0$

    Nhận xét: Trên cơ sở ví dụ 1, khi giải phương trình bậc ba ẩn phức em chỉ cần nhẩm nghiệm rồi biến đổi phương trình về dạng tích.

    Ví dụ 2: Giải phương trình $${{z}^{3}}-2(1+i){{z}^{2}}+3iz+1-i=0$$
    Hướng dẫn: nhận thấy $a+b+c+d=0$ nên $z=1$ là một nghiệm

    Ví dụ 3: Giải phương trình $${{z}^{3}}-2i{{z}^{2}}+z-2i=0$$
    Hướng dẫn: Dùng định lí Bezout nhẩm được 1 nghiệm là $z=1$.

    Nếu các hệ số của phương trình đều là số thực thì bấm Casio để tìm một nghiệm.

    Ví dụ 4: Giải các phương trình

    • $2{{z}^{3}}+{{z}^{2}}+z-1=0$
    • ${{z}^{3}}+i{{z}^{2}}-iz+1=0$

    2.4. Phương trình trùng phương $a{{z}^{4}}+b{{z}^{2}}+c=0$ với hệ số phức, $a\ne 0 $.

    Phương pháp: Chỉ cần đặt $t={{z}^{2}}$ tương tự như với phương trình thực nhưng không có điều kiện $t\ge 0$

    Chú ý: Một số phương trình chưa có sẵn dạng trùng phương như trên thì phải thực hiện các phép biến đổi tương đương hoặc đặt ẩn phụ để đưa về dạng trùng phương

    Ví dụ: Giải các phương trình

    • ${{\left( \frac{z+i}{z-i} \right)}^{4}}=-1$
    • ${{z}^{4}}-{{z}^{3}}+\frac{{{z}^{2}}}{2}+z+1=0$
    • ${{z}^{4}}+5{{z}^{3}}-4{{z}^{2}}+5z+1=0$

    2.5. Một số dạng phương trình có chứa $z;\overline{z};\left| z \right|$.

    Phương pháp: Chỉ cần giả sử $z=x+yi$ với $x,y\in R$ rồi sử dụng điều kiện bằng nhau của hai số phức để lập và giải hệ hai phương trình hai ẩn $x,y\in R$

    Ví dụ: Giải các phương trình

    • ${{z}^{2}}+\left| z \right|=0$
    • $z+2\overline{z}=2-4i$
    • $\left| z \right|-2z=-1-8i$
    • ${{z}^{2}}+\overline{z}=0$

    Chú ý: Cách làm trên cũng được áp dụng với hệ phương trình ẩn phức

    Ví dụ: Giải hệ phương trình

    $$\begin{cases} \left| z-2i \right|=\left| z \right| \\
    \left| z-i \right|=\left| z-1 \right| \\
    \end{cases}$$

  • Thiết diện là gì và các phương pháp tìm thiết diện

    Thiết diện là gì và các phương pháp tìm thiết diện

    Thiết diện là gì là một câu hỏi thường xuyên xuất hiện trong các đề thi của chương trình lớp 11. Đây là một bài toán gây khó khăn cho rất nhiều em học sinh khi mới bước đầu tiếp xúc với hình học không gian. Bài viết này, O2 Education sẽ giúp các em học sinh trả lời được câu hỏi thế nào là thiết diện của một hình chóp khi cắt bởi một mặt phẳng. Đồng thời, chúng tôi xin giới thiệu hai cách xác định thiết diện của hình chóp, đó là phương pháp giao tuyến gốc và phương pháp phép chiếu xuyên tâm.

    BỘ SÁCH HHKG GIÁ TỐT TRÊN SHOPEE
    Thiết diện là gì và các phương pháp tìm thiết diện 1CHUYÊN ĐỀ THIẾT DIỆN FILE PDF
    Thiết diện là gì và các phương pháp tìm thiết diện 2

    Mời các em học sinh lớp 11 xem thêm:

    1. Thiết diện của một hình là gì?

    Định nghĩa: Thiết diện (hay mặt cắt) của hình H khi cắt bởi mặt phẳng (P) là phần chung nhau của mặt phẳng (P) và hình H. Tìm thiết diện tức là tìm hình dạng mặt cắt này, thường là một đa giác như tam giác, tứ giác… Như trong hình vẽ sau thì thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (MNP) chính là ngũ giác MKNPQ (được tô màu xanh lá cây).

    thiet dien la gi cách tim thiet dien

    Giải đáp chi tiết cho câu hỏi thế nào là thiết diện, mời các em xem trong video sau:

    https://www.youtube.com/watch?v=MNIP5U5AfGs

    2. Cách để xác định thiết diện làm như thế nào?

    Để xác định thiết diện của một hình chóp khi cắt bởi một mặt phẳng, ta có hai phương pháp tìm thiết diện chính là phương pháp giao tuyến gốc và phương pháp phép chiếu xuyên tâm.

    Xem thêm: Cách tìm giao tuyến của hai mặt phẳng

    Nếu bài viết hữu ích, bạn hãy tặng tôi 1 cốc cafe vào số tài khoản Agribank 3205215033513.  Xin cảm ơn!

    Với các bài toán liên quan thiết diện, học sinh cần nắm vững kiến thức cơ bản như sau:

    • Khái niệm thiết diện (mặt cắt): Cho hình T và mặt phẳng (P), phần mặt phẳng của (P) nằm trong T được giới hạn bởi các giao tuyến sinh ra do (P) cắt một số mặt của T được gọi là thiết diện (mặt cắt).
    • Hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng nếu có cũng song song với hai đường thẳng ấy hoặc trùng một trong hai đường thẳng đó.
    • Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song một đường thẳng thì giao tuyến của chúng nếu có cũng song song với đường thẳng đó.

    Các cách xác định mặt phẳng: Biết ba điểm không thẳng hàng; hai đường thẳng cắt nhau; một điểm nằm ngoài một đường thẳng; hai đường thẳng song song.

    Lưu ý.

    • Giả thiết mặt phẳng cắt là (P), hình đa diện là T. Dựng thiết diện là bài toán dựng hình nhưng chỉ cần nêu phần dựng và phần biện luận nếu có.
    • Đỉnh của thiết diện là giao của mặt phẳng (P) và các cạnh của hình T nên việc dựng thiết diện thực chất là tìm giao điểm của (P) và các cạnh của T.
    • Mặt phẳng (P) có thể không cắt hết các mặt của T. Các phương pháp dựng thiết diện được đưa ra tùy thuộc dạng giả thiết của đầu bài.

    Chúng ta cùng thực hành bằng một bài toán sau:

    Bài tập 1. Cho hình chóp S.ABC có M, N lần lượt là trung điểm của SA, SB. P là điểm trên cạnh SC sao cho SP lớn hơn PC (tức là MP không song song với AC). Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (MNP).

    https://www.youtube.com/watch?v=y5ljnpx5gc8

    Các bài toán liên quan thiết diện thường là: Tính diện tích thiết diện; tìm vị trí mặt phẳng (P) để thiết diện có diện tích lớn nhất, nhỏ nhất; thiết diện chia khối đa diện thành 2 phần có tỉ số cho trước.(hoặc tìm tỉ số giữa 2 phần).

    3. Một số phương pháp tìm thiết diện nhanh nhất

    Mặt phẳng (P) cho dạng tường minh: Ba điểm không thẳng hàng, hai đường thẳng cắt nhau hoặc một điểm nằm ngoài một đường thẳng…

    Phương pháp giao tuyến gốc.

    • Trước tiên, tìm cách xác định giao tuyến của (P) với một mặt của T (giao tuyến này thường được gọi là giao tuyến gốc).
    • Trên mặt phẳng này của T, tìm thêm giao điểm của giao tuyến gốc và các cạnh của T nhằm tạo ra thêm một số điểm chung.
    • Lặp lại quá trình này với các mặt khác của T cho tới khi tìm được thiết diện.

    Bài tập 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông (hoặc hình bình hành). Gọi M, N,P lần lượt là trung điểm của BC,CD,SA. Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (MNP).

    https://www.youtube.com/watch?v=Aag4lMyGRqI

    Các ví dụ về phương pháp giao tuyến gốc xin mời xem tại đây

    Phương pháp phép chiếu xuyên tâm

    Mời thầy cô và các em học sinh xem trong bài viết sau Xác định thiết diện bằng phép chiếu xuyên tâm.

  • Công thức lượng giác – Giá trị lượng giác của góc lớp 10

    Công thức lượng giác – Giá trị lượng giác của góc lớp 10

    Công thức lượng giác – Giá trị lượng giác của góc lớp 10

    Công thức lượng giác lớp 10 là một phần kiến thức quan trọng. Để giải được phương trình lượng giác ở lớp 11 thì học sinh cần nắm vững các kiến thức:

    • Cách biểu diễn một góc lượng giác, một cung lượng giác trên đường tròn đơn vị (đường tròn lượng giác).
    • Cách tính các giá trị lượng giác của một cung bằng định nghĩa.
    • Công thức lượng giác của các góc và cung có liên quan đặc biệt (còn gọi là cung liên kết).
    • Các công thức lượng giác bao gồm công thức cộng, công thức nhân đôi, công thức nhân ba, công thức hạ bậc, công thức biến đổi tích thành tổng, công thức biến đổi tổng thành tích.

    Mời thầy cô và các em học sinh xem thêm

    1. Biểu diễn cung và góc lượng giác trên đường tròn lượng giác

    Cong thuc luong giac lop 10 gia tri luong giac duong tron luong giac

    Biểu diễn cung và góc lượng giác trên đường tròn lượng giác. Mỗi một góc lượng giác có số đo $\alpha$ khi biểu diễn trên đường tròn lượng giác sẽ tương ứng với một điểm $M$ duy nhất (xem hình vẽ).

    Khi đó, hoành độ của điểm $M$ được gọi là cosin của góc lượng giác $\alpha$, tung độ của điểm $M$ được gọi là sin của góc $\alpha$.

    https://www.youtube.com/watch?v=G1hvKHfqi6Y

    2. Công thức lượng giác cơ bản

    • \(\sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha=1\)
    • \(1+\tan ^{2} \alpha=\frac{1}{\cos ^{2} \alpha}, \alpha \neq \frac{\pi}{2}+k \pi, k \in { Z }\)
    • \(1+\cot ^{2} \alpha=\frac{1}{\sin ^{2} \alpha}, \alpha \neq k \pi, k \in Z\)
    • \(\tan \alpha \cdot \cot \alpha=1, \alpha \neq k \frac{\pi}{2}, k \in Z\)

    3. Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt

    https://www.youtube.com/watch?v=CFssEI_Ag6w&lc

    Để dễ nhớ, chúng ta có câu “cos đối, sin bù, phụ chéo, khác pi tang”

    3.1. Giá trị lượng giác của các cung hơn nhau số chẵn lần \(\pi\)

    • \(\sin (\alpha\pm k2\pi)=\sin \alpha\)
    • \(\cos (\alpha\pm k2\pi)=\cos \alpha\)
    • \(\tan (\alpha\pm k2\pi)=\tan \alpha\)
    • \(\cot (\alpha\pm k2\pi)=\cot \alpha\)

    Vì các điểm hơn kém nhau chẵn lần \(\pi\) thì có cùng điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác nên các giá trị lượng giác của chúng là như nhau.

    3.2. Giá trị lượng giác của các cung đối nhau \(\alpha\) và \(-\alpha\)

    • \(\cos (-\alpha)=\cos \alpha\)
    • \(\sin (-\alpha)=-\sin \alpha\)
    • \(\tan (-\alpha)=-\tan \alpha\)
    • \(\cot (-\alpha)=-\cot \alpha\)

    3.3. Giá trị lượng giác của các cung bù nhau

    Hai cung bù nhau (góc bù nhau) là 2 cung có tổng bằng \(\pi\).

    • \(\sin (\pi-\alpha)=\sin \alpha\)
    • \(\cos (\pi-\alpha)=-\cos \alpha\)
    • \(\tan (\pi-\alpha)=-\tan \alpha\)
    • \(\cot (\pi-\alpha)=-\cot \alpha\)

    3.4. Giá trị lượng giác của các cung hơn kém \(\pi\)

    • \(\sin (\alpha\pm\pi)=-\sin \alpha\)
    • \(\cos (\alpha\pm\pi)=-\cos \alpha\)
    • \(\tan (\alpha\pm\pi)=\tan \alpha\)
    • \(\cot (\alpha\pm\pi)=\cot \alpha\)

    3.5. Giá trị lượng giác của các cung phụ nhau

    Hai cung phụ nhau (góc phụ nhau) là 2 cung có tổng bằng \(\frac{\pi}{2}\).

    • \(\sin \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\cos \alpha\)
    • \(\cos \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\sin \alpha\)
    • \(\tan \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\cot \alpha\)
    • \(\cot \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\tan \alpha\)

    3.6. Giá trị lượng giác của các cung hơn nhau \(\frac{\pi}{2}\)

    Các cung hơn nhau \(\frac{\pi}{2}\) tức là \(\left(\alpha+\frac{\pi}{2}\right)\) và \(\alpha \).

    • \(\sin \left(\alpha+\frac{\pi}{2}\right)=\cos \alpha\)
    • \(\cos \left(\alpha+\frac{\pi}{2}\right)=-\sin \alpha\)
    • \(\tan \left(\alpha+\frac{\pi}{2}\right)=-\cot \alpha\)
    • \(\cot \left(\alpha+\frac{\pi}{2}\right)=-\tan \alpha\)

    4. Công thức lượng giác

    4.1. Công thức lượng giác công thức cộng

    • \(\cos (a-b)=\cos a \cos b+\sin a \sin b\)
    • \(\cos (a+b)=\cos a \cos b-\sin a \sin b\)
    • \(\sin (a-b)=\sin a \cos b-\cos a \sin b\)
    • \(\sin (a+b)=\sin a \cos b+\cos a \sin b\)
    • \(\tan (a-b)=\frac{\tan a-\tan b}{1+\tan a \tan b}\)
    • \(\tan (a+b)=\frac{\tan a+\tan b}{1-\tan a \tan b}\)

    4.2. Công thức nhân đôi

    • \(\sin 2 \alpha=2 \sin \alpha \cos \alpha\)
    • \(\cos 2 \alpha=\cos ^{2} \alpha-\sin ^{2} \alpha=2 \cos ^{2} \alpha-1=1-2 \sin ^{2} \alpha\)
    • \(\tan 2 \alpha=\frac{2 \tan \alpha}{1-\tan ^{2} \alpha}\)

    4.3. Công thức hạ bậc

    • \(\cos ^{2} \alpha=\frac{1+\cos 2 \alpha}{2} \)
    • \(\sin ^{2} \alpha=\frac{1-\cos 2 \alpha}{2} \)
    • \(\tan ^{2} \alpha=\frac{1-\cos 2 \alpha}{1+\cos 2 \alpha}\)

    4.4. Công thức biến đổi tổng thành tích

    • \(\cos \alpha+\cos \beta=2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2}\)
    • \(\cos \alpha-\cos \beta=-2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \sin \frac{\alpha-\beta}{2}\)
    • \(\sin \alpha+\sin \beta=2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2}\)
    • \(\sin \alpha-\sin \beta=2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2} \sin \frac{\alpha-\beta}{2}\)

    4.5. Công thức biến đổi tích thành tổng

    • \(\cos a \cos b=\frac{1}{2}[\cos (a-b)+\cos (a+b)]\)
    • \(\sin a \sin b=\frac{1}{2}[\cos (a-b)-\cos (a+b)]\)
    • \(\sin a \cos b=\frac{1}{2}[\sin (a-b)+\sin (a+b)]\)
  • Tính đạo hàm của hàm số

    Tính đạo hàm của hàm số

    Cách tính đạo hàm của hàm số

    1. Quy tắc tính đạo hàm của hàm số

    Chúng ta có 3 quy tắc sau để sử dụng:

    • Đạo hàm của tổng, hiệu các hàm số $$ (u\pm v)’=u’\pm v’ $$
    • Đạo hàm của tích hai hàm số
      $$ (uv)’=u’v+uv’$$
      Đặc biệt, nếu \( k \) là một hằng số thì
      $$ (k.u)’ = k. u’ $$
    • Đạo hàm của thương 2 hàm số
      $$\left(\frac{u}{v}\right)’=\frac{u’v-uv’}{v^2} $$

    2. Bảng đạo hàm các hàm số cơ bản

    Ngoài các công thức, chúng ta còn cần sử dụng bảng đạo hàm của các hàm số cơ bản

    đạo hàm của hàm số, cách tính đạo hàm, đạo hàm hàm số hợp, bảng đạo hàm

    3. Cách tính đạo hàm hàm số

    Chi tiết về hướng dẫn tính đạo hàm của hàm số, mời các bạn xem trong bài giảng sau:

    https://youtu.be/kfuPnowd098

    3. Cách tìm đạo hàm của hàm số hợp

    Nói riêng về hàm số hợp, nếu bạn vẫn chưa biết cách tìm đạo hàm của hàm số hợp thì có thể xem thêm video sau:

    https://youtu.be/pawCA2VLpUc

  • Tìm điều kiện để tam thức bậc hai luôn dương, luôn âm

    Tìm điều kiện để tam thức bậc hai luôn dương, luôn âm

    Tìm điều kiện của tham số để tam thức bậc hai luôn dương, luôn âm

    Từ định lí về dấu tam thức bậc hai chúng ta có thể giải được các phương trình, bất phương trình tích, phương trình chứa căn, giải bất phương trình chứa căn. Đồng thời, từ đó có thể suy ra cách giải bài toán tìm điều kiện của tham số để tam thức bậc 2 (bất phương trình bậc hai) luôn dương, luôn âm với mọi \(x\) thuộc \(\mathbb{R}\), tìm điều kiện để bất phương trình nghiệm đúng với mọi số thực \(x\), tìm điều kiện để bất phương trình vô nghiệm… Đây là một dạng toán quan trọng, xuyên suốt chương trình Đại số và Giải tích ở cấp THPT.

    Nếu bài viết hữu ích, bạn hãy tặng tôi 1 cốc cafe vào số tài khoản Agribank 3205215033513.  Xin cảm ơn!

    Để hiểu về các dạng toán tìm điều kiện để phương trình luôn đúng, vô nghiệm… chúng ta cần thành thạo các dạng bài Lý thuyết và bài tập dấu tam thức bậc hai.

    ✅Xem thêm ĐỀ CƯƠNG HỌC KÌ 2 TOÁN 10 

    1. Tìm điều kiện để tam thức bậc hai luôn dương, luôn âm

    Bài toán 1. Cho tam thức bậc hai \( f(x)=ax^2 +bx+c \), tìm điều kiện của tham số \(m\) để \( f(x) >0\) với mọi \( x \) thuộc \( \mathbb{R}\).

    Để giải quyết bài toán trên, chúng ta cần xét hai trường hợp:

    • Khi \( a=0 \), ta kiểm tra xem lúc đó \( f(x) \) như thế nào, có thỏa mãn yêu cầu bài toán hay không.
    • Khi \( a\ne 0 \), thì \(f(x)\) là một tam thức bậc hai, nên \( f(x)>0 \) với mọi \( x\in \mathbb{R} \) khi và chỉ khi \[\begin{cases}
      a>0\\ \Delta <0
      \end{cases}\]

    Tương tự, chúng ta có các bài toán sau:

    Bài toán 2. Cho \( f(x)=ax^2 +bx+c \), tìm điều kiện của tham số \(m\) để \( f(x) <0\) với mọi \( x \) thuộc \( \mathbb{R} \).

    Cần xét hai trường hợp:

    • Kiểm tra khi \( a=0 \).
    • Khi \( a\ne 0 \), thì \( f(x)>0 \) với mọi \( x\in \mathbb{R} \) tương đương với \[\begin{cases}
      a<0\\ \Delta <0
      \end{cases}\]

    Bài toán 3. Cho \( f(x)=ax^2 +bx+c \), tìm điều kiện của tham số \(m\) để \( f(x) \ge 0\) với mọi \( x \) thuộc \( \mathbb{R} \).

    Xét hai trường hợp:

    • Khi \( a=0 \), ta kiểm tra xem lúc đó \( f(x) \) như thế nào, có thỏa mãn yêu cầu bài toán hay không.
    • Khi \( a\ne 0 \), thì \( f(x)>0 \) với mọi \( x\in \mathbb{R} \) tương đương với \[\begin{cases}
      a>0\\ \Delta \le 0
      \end{cases}\]

    Bài toán 4. Cho hàm số \( f(x)=ax^2 +bx+c \), tìm điều kiện của tham số \(m\) để \( f(x) \le 0\) với mọi \( x \) thuộc \( \mathbb{R} \).

    Để giải quyết bài toán trên, chúng ta cần xét hai trường hợp:

    • Khi \( a=0 \), ta kiểm tra xem lúc đó \( f(x) \) như thế nào, có thỏa mãn yêu cầu bài toán hay không.
    • Khi \( a\ne 0 \), thì \( f(x)>0 \) với mọi \( x\in \mathbb{R} \) tương đương với \[\begin{cases}
      a<0\\ \Delta \le 0
      \end{cases}\]

    Ví dụ 1. Tìm \(m\) để hàm số \(f(x)=3 x^{2}+ x+m+1>0\) với mọi \(x\in \mathbb{R}\).

    Hướng dẫn. Hàm số \(f(x)=3 x^{2}+ x+m+1>0\) với mọi \(x\in \mathbb{R}\) khi và chỉ khi \[\begin{cases}
    a=3>0\\ \Delta =-12m-11<0
    \end{cases} \] Giải hệ này, từ đó tìm được đáp số \( m<\frac{-11}{12} \).

    Ví dụ 2.  Tìm \(m\) để biểu thức sau luôn dương với mọi \(x\) \[f(x)=(m-1) x^{2}+(2 m+1) x+m+1.\]

    Hướng dẫn. Chúng ta xét hai trường hợp:

    • Trường hợp 1. \( m-1=0 \Leftrightarrow m=1 \). Lúc này bất phương trình \(f(x)>0\) tương đương với \( 3 x+2>0 \Leftrightarrow x>-\frac{2}{3} \) Rõ ràng tập nghiệm này không đáp ứng được mong muốn của đề bài (đề bài yêu cầu là \(f(x)>0\) với mọi \( x\in R \)), do đó \( m=1 \) không thỏa mãn yêu cầu.
    • Trường hợp 2. \(m \neq 1\), khi đó  \(f(x)>0,\,\forall x \in \mathbb{R}\) tương đương với \( \begin{array}{l}
      & \left\{\begin{array}{l}
      m-1>0 \\
      \Delta=4 m+5<0
      \end{array}\right. \\
      \Leftrightarrow& \left\{\begin{array}{l}
      m>1 \\
      m<-\frac{5}{4}
      \end{array}\right.
      \end{array} \) Rất tiếc hệ này cũng vô nghiệm.

    Tóm lại, không tìm được giá trị nào của \(m\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

    2. Tìm điều kiện để bất phương trình luôn đúng, vô nghiệm

    Đối với các bài toán tìm điều kiện để bất phương trình luôn đúng (nghiệm đúng) với mọi \(x\) thuộc \( \mathbb{R}\) thì ta làm như phần trên. Đối với các bài toán tìm điều kiện để bất phương trình vô nghiệm thì ta sử dụng các lập luận sau

    • Bất phương trình \( f(x)>0 \) vô nghiệm tương đương với
      \[ f(x) \le 0, \forall x\in \mathbb{R}\]
    • Bất phương trình \( f(x)<0 \) vô nghiệm tương đương với
      \[ f(x) \ge 0, \forall x\in \mathbb{R}\]
    • Bất phương trình \( f(x)\ge 0 \) vô nghiệm tương đương với
      \[ f(x) < 0, \forall x\in \mathbb{R}\]
    • Bất phương trình \( f(x)\le 0 \) vô nghiệm tương đương với
      \[ f(x) > 0, \forall x\in \mathbb{R}\]

    Đây chính là 4 bài toán đã xét ở phần trước. Sau đây chúng ta sử dụng các kết quả trên để giải quyết một số bài tập.

    Ví dụ 1. Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để bất phương trình \[ (m-1){{{x}}^{2}}+2(m-1)x+1\ge 0 \] nghiệm đúng với \( \forall x\in \mathbb{R} \).

    Hướng dẫn. Bất phương trình nghiệm đúng với mọi \(x\in \mathbb{R}\) thì cũng chính là \[f(x)\ge 0,\, \forall x\in \mathbb{R},\]  trong đó \(f(x)=(m-1){{x}^{2}}+2(m-1)x+1\). Do đó, chúng ta xét hai trường hợp:

    • Trường hợp 1. Khi \(m=1\), bất phương trình trở thành \[0x^2+0x+1\ge 0\] Rõ ràng bất phương trình này luôn đúng với mọi \(x\in \mathbb{R}\). Nên giá trị \(m=1\) thỏa mãn yêu cầu.
    • Trường hợp 2. Khi \( m\ne 1 \), thì \(f(x)\) là tam thức bậc hai nên \(f(x) \ge 0,\, \forall x\in \mathbb{R}\) khi và chỉ khi
      \begin{align}
      &\begin{cases}
      m-1>0 \\
      {{(m-1)}^{2}}-(m-1)\le 0 \\
      \end{cases}\\
      \Leftrightarrow & \begin{cases}
      m>1 \\
      {{m}^{2}}-3m+2\le 0 \\
      \end{cases}\\
      \Leftrightarrow & \begin{cases}
      m>1 \\
      1\le m\le 2 \\
      \end{cases} \Leftrightarrow 1<m\le 2
      \end{align}

    Kết luận. Kết hợp cả 2 trường hợp, chúng ta có đáp số \( m\in \left[ 1;2 \right] \).

    Ví dụ 2. Cho hàm số \(f(x)=(m-1){{x}^{2}}+2mx-3\) trong đó \(m\) là tham số. Tìm tất cả giá trị của \(m\) để bất phương trình \(f(x)>0\) vô nghiệm.

    Hướng dẫn. Chúng ta xét hai trường hợp:

    • Khi \( m=1 \), bất phương trình \(f(x)>0\) trở thành \[ 2x-3>0\Leftrightarrow x>\frac{3}{2}. \] Suy ra \(m=1\) không thỏa mãn yêu cầu.
    • Khi \( m\ne 1 \) thì \(f(x)\) là tam thức bậc hai. Yêu cầu bài toán tương đương với \[f(x)\le 0,\forall x\in \mathbb{R}\]
      Điều kiện cần và đủ là \[ \left\{ \begin{align}
      & m-1<0 \\
      & \Delta’={{m}^{2}}+3(m-1)\le 0 \\
      \end{align} \right. \]Giải hệ bất phương trình trên, tìm được đáp số \( m\in \left[ \frac{-3-\sqrt{21}}{2};\frac{-3+\sqrt{21}}{2} \right]. \)

    Ví dụ 3. Cho \(f(x)=(m-2){{x}^{2}}-2(2-m)x+2m-1\), với \(m\) là tham số.

    1. Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để phương trình \(f(x)=0\) nhận \( x=-2 \) làm nghiệm.
    2. Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để hàm số \( y=\sqrt{f(x)} \) được xác định với mọi giá trị của \( x\in \mathbb{R} \).

    Hướng dẫn. 

    1. Phương trình \(f(x)=0\) nhận \(x=-2\) làm nghiệm khi và chỉ khi \(f(-2)=0\). Điều này tương đương với
    \[ (m-2){{(-2)}^{2}}-2(2-m)(-2)+2m-1=0\Leftrightarrow m=\frac{1}{2} \] Vậy \( m=\frac{1}{2} \) là giá trị cần tìm.

    2. Hàm số \( y=\sqrt{f(x)} \) được xác định với mọi giá trị của \(x\in \mathbb{R}\) khi và chỉ khi: \[f(x)\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}\] \[ \Leftrightarrow (m-2){{x}^{2}}-2(2-m)x+2m-1\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}\,\,\,\,(1) \] Chúng ta xét hai trường hợp:

    • Trường hợp 1: \( m-2=0\Leftrightarrow m=2 \) thì (1) có dạng \(3\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}\) (luôn đúng)
    • Trường hợp 2: \( m-2\ne 0\Leftrightarrow m\ne 2 \). Lúc đó (1) xảy ra khi và chỉ khi: \begin{align}
      &\left\{ \begin{array}{l}
      m \ne 2\\
      \Delta’ \le 0\\
      m – 2 > 0
      \end{array} \right.\\
      \Leftrightarrow &\left\{ \begin{array}{l}
      m > 2\\
      {(2 – m)^2} – (m – 2)(2m – 1) \le 0
      \end{array} \right.\\
      \Leftrightarrow &\left\{ \begin{array}{l}
      m > 2\\
      (2 – m)(m + 1) \le 0
      \end{array} \right.\\
      \Leftrightarrow &\left\{ \begin{array}{l}
      m > 2\\
      \left[ \begin{array}{l}
      m \le – 1\\
      m \ge 2
      \end{array} \right.
      \end{array} \right. \Leftrightarrow m > 2
      \end{align}

    Kết luận: Vậy các số thực \( m\ge 2 \) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

    3. Bài giảng về bất phương trình bậc 2

    Chi tiết về các dạng toán trên, mời các bạn xem trong video sau:

    https://youtu.be/7Kl3U3qa5HY
  • Cách giải phương trình chứa căn, bất phương trình chứa căn

    Cách giải phương trình chứa căn, bất phương trình chứa căn

    Phương trình chứa căn – Bất phương trình chứa căn

    Các dạng phương trình chứa căn bậc hai, bất phương trình chứa căn thức bậc hai luôn là một dạng toán xuất hiện nhiều trong các kì thi học kì, thi tuyển sinh vào lớp 10, thi THPTQG.

    Để giải được phương trình, bất phương trình chứa căn, các em học sinh cần nắm vững kiến thức sau:

    1. Nguyên tắc chung để giải phương trình, bất phương trình chứa căn bậc 2

    Nguyên tắc chung để khử dấu căn thức là bình phương 2 vế của một phương trình, bất phương trình. Tuy nhiên, để đảm bảo việc bình phương này cho chúng ta một phương trình, bất phương trình mới tương đương thì cần phải có điều kiện cả 2 vế pt, bpt đều không âm.

    Do đó, về bản chất, chúng ta lần lượt kiểm tra 2 trường hợp âm, và không âm của các biểu thức (thường là 1 vế của phương trình, bất phương trình đã cho).

    Nếu bài viết hữu ích, bạn có thể  tặng tôi 1 cốc cafe vào số tài khoản Agribank 3205215033513.  Xin cảm ơn!

    2. Các dạng phương trình chứa căn, bất phương trình chứa căn cơ bản

    Có khoảng 4 dạng phương trình chứa căn, bất phương trình chứa căn cơ bản đó là

    phương trình chứa căn bất phương trình chứa căn

    3. Cách giải phương trình chứa căn, cách giải bất phương trình chứa căn

    Chi tiết về phương pháp giải các dạng phương trình, bất phương trình chứa căn, xin mời thầy cô và các em học sinh theo dõi trong video sau đây.

    4. Một số ví dụ về phương trình và bất phương trình chứa căn thức

    Ví dụ 1. Giải phương trình

    $$\sqrt {4 + 2x – {x^2}} = x – 2$$

    Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với

    \[\begin{array}{l}
    \,\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}
    x – 2 \ge 0\\
    4 + 2x – {x^2} = {(x – 2)^2}
    \end{array} \right.\\
    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    x \ge 2\\
    {x^2} – 3x = 0
    \end{array} \right.\\
    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    x \ge 2\\
    x = 0\, \vee \,x = 3
    \end{array} \right. \\ \Leftrightarrow x = 3
    \end{array}\] Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x = 3$.

    Ví dụ 2. Giải phương trình

    \[\sqrt {25 – {x^2}} = x – 1\]

    Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với

    \[\begin{array}{l}
    \,\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}
    x – 1 \ge 0\\
    25 – {x^2} = {(x – 1)^2}
    \end{array} \right.\\
    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    x \ge 1\\
    2{x^2} – 2x – 24 = 0
    \end{array} \right.\\
    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    x \ge 1\\
    x = 4\, \vee \,x = – 3
    \end{array} \right. \\ \Leftrightarrow x = 4
    \end{array}\] Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=4$.

    Ví dụ 3. Giải phương trình \[\sqrt {3{x^2} – 9x + 1} + 2 = x\]

    Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với

    \[\begin{array}{l}
    \,\,\,\,\,\,\,\,\sqrt {3{x^2} – 9x + 1} = x – 2\\
    \, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    x – 2 \ge 0\\
    3{x^2} – 9x + 1 = {(x – 2)^2}
    \end{array} \right.\\
    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    x \ge 2\\
    2{x^2} – 5x – 3 = 0
    \end{array} \right.\\
    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    x \ge 2\\
    x = 3 \vee \,x = – \frac{1}{2}
    \end{array} \right. \\ \Leftrightarrow x = 3
    \end{array}\] Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x = 3$.

    Ví dụ 4. Giải phương trình $$\sqrt {{x^2} – 3x + 2} = x – 1$$

    Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với $$\begin{array}{l}
    \,\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}
    x – 1 \ge 0\\
    {x^2} – 3x + 2 = {\left( {x – 1} \right)^2}
    \end{array} \right.\\
    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    x \ge 1\\
    x = 1
    \end{array} \right. \\ \Leftrightarrow x = 1
    \end{array}$$ Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x = 1$.

    Ví dụ 5. Giải phương trình $$\sqrt {{x^2} – 5x + 4} = \sqrt { – 2{x^2} – 3x + 12} $$

    Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với $$\begin{array}{l}
    \,\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}
    {x^2} – 5x + 4 \ge 0\\
    {x^2} – 5x + 4 = – 2{x^2} – 3x + 12
    \end{array} \right.\\
    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    \left( {x – 1} \right)\left( {x – 4} \right) \ge 0\\
    3{x^2} – 2x – 8 = 0
    \end{array} \right. & \\
    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    \left[ \begin{array}{l}
    x \le 1\\
    x \ge 4
    \end{array} \right.\\
    \left[ \begin{array}{l}
    x = 2\\
    x = \frac{{ – 8}}{6}
    \end{array} \right.
    \end{array} \right. \Leftrightarrow x = \frac{{ – 8}}{6}
    \end{array}$$ Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x = \frac{-8}{6}$.

    Ví dụ 6. Giải bất phương trình $$x + 1 \ge \sqrt {2\left( {{x^2} – 1} \right)} $$

    Hướng dẫn. Bất phương trình đã cho tương đương với $$\begin{array}{l}
    \,\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}
    x + 1 \ge 0\\
    {\left( {x + 1} \right)^2} \ge 2\left( {{x^2} – 1} \right) \ge 0
    \end{array} \right.\\
    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    x \ge – 1\\
    {x^2} – 2x – 3 \le 0\\
    {x^2} – 1 \ge 0
    \end{array} \right.\\
    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    x \ge – 1\\
    – 1 \le x \le 3\\
    \left[ \begin{array}{l}
    x \le – 1\\
    x \ge 1
    \end{array} \right.
    \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
    x = – 1\\
    1 \le x \le 3
    \end{array} \right.
    \end{array}$$

    Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = \left[ {1;3} \right] \cup \left\{ { – 1} \right\}$.

    Ví dụ 7. Giải bất phương trình $$2x – 5 < \sqrt { – {x^2} + 4x – 3} $$

    Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với $$\left[ \begin{array}{l}
    \left\{ \begin{array}{l}
    2x – 5 < 0\\
    – {x^2} + 4x – 3 \ge 0
    \end{array} \right. &  \left( 1 \right)\\
    \left\{ \begin{array}{l}
    2x – 5 \ge 0\\
    {\left( {2x – 5} \right)^2} < – {x^2} + 4x – 3
    \end{array} \right. & \left( 2 \right)
    \end{array} \right.$$

    • Hệ bất phương trình (1) tương đương với $$\left\{ \begin{array}{l}
      x < \frac{5}{2}\\
      1 \le x \le 3
      \end{array} \right. \Leftrightarrow 1 \le x < \frac{5}{2}$$
    • Hệ bất phương trình (2) tương đương với $$\begin{array}{l}
      \,\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}
      x \ge \frac{5}{2}\\
      5{x^2} – 24x + 28 < 0
      \end{array} \right.\\
      \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
      x \ge \frac{5}{2}\\
      2 < x < \frac{{14}}{5}
      \end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{5}{2} \le x < \frac{{14}}{4}
      \end{array}$$

    Lấy hợp tập nghiệm của 2 trường hợp trên, được đáp số cuối cùng là $S = \left[ {1;\frac{{14}}{5}} \right)$.

    Ví dụ 8. Giải phương trình $$\sqrt {x + 4} – \sqrt {1 – x} = \sqrt {1 – 2x} $$

    Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với

    $$\begin{array}{l}
    \,\,\,\,\,\,\,\sqrt {x + 4} = \sqrt {1 – 2x} + \sqrt {1 – x} \\
    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    – 4 \le x \le \frac{1}{2}\\
    x + 4 = 1 – x + 2\sqrt {(1 – x)(1 – 2x)} + 1 – 2x
    \end{array} \right.\\
    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    – 4 \le x \le \frac{1}{2}\\
    \sqrt {(1 – x)(1 – 2x)} = 2x + 1
    \end{array} \right.\\
    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    – 4 \le x \le \frac{1}{2}\\
    x \ge – \frac{1}{2}\\
    (1 – x)(1 – 2x) = 4{x^2} + 4x + 1
    \end{array} \right.\\
    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    – \frac{1}{2} \le x \le \frac{1}{2}\\
    x = 0 \vee x = – \frac{7}{2}
    \end{array} \right. \Leftrightarrow x = 0
    \end{array}$$ Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x = 0$.

    Ví dụ 9. Giải phương trình $$\sqrt {3x + 1} – \sqrt {2x – 1} = \sqrt {6 – x} $$

    Hướng dẫn. Điều kiện $\left\{ \begin{align}  & 3x+1\ge 0 \\ & 2x-1\ge 0 \\ & 6-x\ge 0 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow \left\{ \frac{1}{2}\le x\le 6 \right.$

    Với điều kiện đó, phương trình đã cho tương đương với $$\begin{array}{l}
    \,\,\,\,\,\,\,\sqrt {3x + 1} – \sqrt {2x – 1} = \sqrt {6 – x} \\
    \Leftrightarrow \,\,\,\sqrt {3x + 1} = \sqrt {6 – x} + \sqrt {2x – 1} \\
    \Leftrightarrow \,\,\,3x + 1 = 6 – x + 2x – 1 + 2\sqrt {6 – x} \sqrt {2x – 1} \\
    \Leftrightarrow \,\,\,2x – 4 = 2\sqrt {6 – x} \sqrt {2x – 1} \\
    \Leftrightarrow \,\,x – 2 = \sqrt {6 – x} \sqrt {2x – 1} \\
    \Leftrightarrow \,\,{x^2} – 4x + 4 = – 2{x^2} + 13x – 6\,\,\,(x \ge 2)\\
    \Leftrightarrow \,\,3{x^2} – 17x + 10 = 0\\
    \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
    x = 5\\
    x = \frac{2}{3}\left( l \right)
    \end{array} \right.
    \end{array}.$$ Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x=5$.

    Ví dụ 10. Giải bất phương trình $$2\sqrt{x-3}-\frac{1}{2}\sqrt{9-2x}\ge \frac{3}{2}$$

    Hướng dẫn. Điều kiện $\left\{ \begin{align}  & x-3\ge 0 \\ & 9-2x\le 0 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow 3\le x\le \frac{9}{2}$

    Với điều kiện trên, bất phương trình đã cho tương đương với \[\begin{array}{l}
    \,\,\,\,\,\,\,2\sqrt {x – 3} \ge \frac{1}{2}\sqrt {9 – 2x} + \frac{3}{2}\\
    \Leftrightarrow 4\left( {x – 3} \right) \ge \frac{1}{4}\left( {9 – 2x} \right) + \frac{9}{4} + \frac{3}{2}\sqrt {9 – 2x} \\
    \Leftrightarrow 16x – 48 \ge 18 – 2x + 6\sqrt {9 – 2x} \\
    \Leftrightarrow 9x – 33 \ge 3\sqrt {9 – 2x} \\
    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    18x – 64 \ge 0\\
    {\left( {9x – 33} \right)^2} \ge 9\left( {9 – 2x} \right)
    \end{array} \right.\\
    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    x \ge \frac{{32}}{9}\\
    81{x^2} – 576x + 1008 \ge 0
    \end{array} \right.\\
    \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    x \ge \frac{{32}}{9}\\
    \left[ \begin{array}{l}
    x \le \frac{{28}}{9}\\
    x \ge 4
    \end{array} \right.
    \end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge 4
    \end{array}\]

    Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm của bất phương trình là $S=\left[ 4;\,\frac{9}{2} \right]$.

    Xem các ví dụ khác nữa tại đây: Phương pháp biến đổi tương đương giải phương trình chứa căn

  • Tìm m để hàm số đồng biến trên các khoảng

    Tìm m để hàm số đồng biến trên các khoảng

    Tìm m để hàm số đồng biến trên các khoảng

    Xem chi tiết các dạng toán về tính đơn điệu của hàm số Sự đồng biến nghịch biến của hàm số

    Bài toán. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số \[ y=\frac{1}{3}x^{3}-(m-1)x^{2}-(m-3)x+1 \] đồng biến trên các khoảng $(-3;-1)$ và $(0;3)$.

    Hướng dẫn.

    • Đạo hàm của hàm số đã cho là \[ y’=x^{2}-2(m-1)x-(m-3) \]
    • Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng $(-3;-1)$ và $(0;3)$ khi và chỉ khi $$y’\geqslant0,\forall x\in(-3;1)\cup(0;3)$$
    • Điều kiện này tương đương với
      \begin{align*}
      & m(2x+1)\leqslant x^{2}+2x+3,\forall x\in(-3;1)\cup(0;3)\\
      \Leftrightarrow & \begin{cases}
      m\leqslant\frac{x^{2}+2x+3}{2x+1},\forall x\in[0;3]\\
      m\geqslant\frac{x^{2}+2x+3}{2x+1},\forall x\in[-3-1]
      \end{cases}
      \end{align*}
      Xét hàm số $g(x)=\frac{x^{2}+2x+3}{2x+1}$ trên đọan $[-3;-1]$
      chúng ta có bảng biến thiên như sau:

    Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y=1/3x^3-(m-1) x^2-(m-3) x+1 đồng biến trên các khoảng (-3;-1) và (0;3)

    Do đó, điều kiện $m\geqslant\frac{x^{2}+2x+3}{2x+1},\forall x\in[-3-1]$ tương đương với
    \[ m\geqslant\max\limits _{[-3;-1]}g(x)=-1. \]

    • Làm tương tự, điều kiện $m\leqslant\frac{x^{2}+2x+3}{2x+1},\forall x\in[0;3]$
      cho ta $m\leqslant2.$

    Kết hợp hai điều kiện, được đáp số cần tìm là $-1\leqslant m\leqslant2.$

  • Phương pháp biến đổi vi phân và đổi biến số loại II

    Phương pháp biến đổi vi phân và đổi biến số loại II

    Phương pháp biến đổi vi phân và đổi biến số loại II

    Bài toán. Đối với bài toán tìm nguyên hàm, tích phân có dạng
    \[ \int f(u(x))\cdot u'(x)\,\mathrm{d}x \]
    chúng ta thường sử dụng phương pháp đổi biến số [hoặc biến đổi vi phân] thành
    \[ \int f(u) \,\mathrm{d}u \]
    và sử dụng bảng các nguyên hàm mở rộng. Thường ta chọn những phần phức tạp của biểu thức để đổi biến, chẳng hạn

    • Đặt $ u $ là mẫu thức, căn thức, cơ số, số mũ hoặc biểu thức dưới dấu căn.
    • Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có dạng $ f\left(\ln x\right)\cdot \frac{1}{x} $ thì đặt $ u= \ln x.$
    • Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có dạng $ \sin^n x\cdot \cos^m x $, và $ n $ lẻ thì ta đặt $ u= \cos x$, nếu $ m $ lẻ thì đặt $ u=\sin x $, nếu không thì hạ bậc cho đến khi xuất hiện số mũ lẻ.
    • Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có dạng phân thức thì ta chia tử cho mẫu, sau đó sử dụng phương pháp đồng nhất hệ số để tách thành các phân thức đơn giản.

    Bài giảng phương pháp biến đổi vi phân, phương pháp đổi biến số loại 2

    Một số bài tập trắc nghiệm phương pháp biến đổi vi phân, đổi biến số loại 2:

      1. Kết quả của $ I= \int \left(2x(x-1)+2^x\right)\,\mathrm{d}x $ là
        1. $ I=\frac{2}{3}x^3-x^2+\frac{2^x}{\ln 2} +C$}
        2. $ I=x^3-x^2+2^x +C$
        3. $ I=\frac{2}{3}x^3-x^2+2^x\ln 2 +C$
        4. $ I=x^3-x^2+2^x\ln 2 +C$
      2. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
        1. $ \int \frac{\,\mathrm{d}x}{x}=\ln|x|+C $.
        2. $ \int e^{2x}\,\mathrm{d}x=e^{2x}+C $.
        3. $ \int 2x\,\mathrm{d}x=x^2+C $.
        4. $ \int \,\mathrm{d}x=x+C $.
      3. Cho $ I=\int_{0}^{\sqrt{3}}x\sqrt{x^2+1}\,\mathrm{d}x $ và $ t=\sqrt{x^2+1} $. Khẳng định nào sau đây là sai?
        1. $ x\,\mathrm{d}x=t\,\mathrm{d}t $.
        2. $ I=\int_{1}^{2}t^2\,\mathrm{d}t $.
        3. $ I=\int_{0}^{\sqrt{3}}t^2\,\mathrm{d}t $.
        4. $ I=\frac{7}{3} $.
      4. Biết $ \int f(u)du=F(u)+C $. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
        1. $ \int f(2x-3)\,\mathrm{d}x=2F(x)-3+C $.
        2. $ \int f(2x-3)\,\mathrm{d}x=F(2x-3)+C $.
        3. $ \int f(2x-3)\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2}F(2x-3)+C $.
        4. $ \int f(2x-3)\,\mathrm{d}x=2F(2x-3)+C $.
      5. Nguyên hàm của hàm số $ f(x)=\sqrt{4x+2} $ là
        1. $ \int f(x)\,\mathrm{d}x = -\frac{1}{3}(4x+2)\sqrt{4x+2} +C$.
        2. $ \int f(x)\,\mathrm{d}x = \frac{3}{2}\sqrt{4x+2} +C$.
        3. $ \int f(x)\,\mathrm{d}x = \frac{1}{6}(4x+2)\sqrt{4x+2} +C$.
        4. $ \int f(x)\,\mathrm{d}x = \frac{2}{3}(4x+2)\sqrt{4x+2} +C$.
      6. Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x)=e^{3x+2}$.
        1. $ \int f(x)\,\mathrm{d}x = e^{3x+2}+C$.
        2. $ \int f(x)\,\mathrm{d}x = \frac{1}{3}e^{3x+2}+C$.
        3. $ \int f(x)\,\mathrm{d}x = -\frac{1}{3}e^{3x+2}+C$.
        4. $ \int f(x)\,\mathrm{d}x = \frac{2}{3}e^{3x+2}+C$.
      7. Cho $ I= \int_{0}^{\frac{\pi}{6}}\sin^nx\cos x \,\mathrm{d}x=\frac{1}{64} $. Khi đó giá trị của $ n $ bằng bao nhiêu?
        1. $ n=3 $.
        2. $ n=6 $.
        3. $ n=5 $.
        4. $ n=4 $.
      8. Tìm nguyên hàm của hàm số $ f(x)=\cos2x. $
        1. $ \int f(x)\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2} \sin2x +C. $
        2. $ \int f(x)\,\mathrm{d}x=-\frac{1}{2} \sin2x +C. $
        3. $ \int f(x)\,\mathrm{d}x=2\sin2x +C. $
        4. $ \int f(x)\,\mathrm{d}x=-2\sin2x +C. $
      9. Tìm nguyên hàm của hàm số $f(x)=\cos^2x$.
        1. $ \int f(x)\,\mathrm{d}x=\frac{x}{2}-\frac{\cos 2x}{4}+C$.
        2. $ \int f(x)\,\mathrm{d}x=\frac{x}{2}-\frac{\sin 2x}{4}+C$.
        3. $ \int f(x)\,\mathrm{d}x=\frac{x}{2}+\frac{\cos 2x}{4}+C$.
        4. $ \int f(x)\,\mathrm{d}x=\frac{x}{2}+\frac{\sin 2x}{4}+C$.
      10. Biết $ F(x) $ là một nguyên hàm của hàm số $f(x)=\frac{1}{x-1}$ và $ F(2)=1. $ Tính $ F(3). $
        1. $ F(3)=\ln 2-1. $
        2. $ F(3)=\ln 2+1. $
        3. $ F(3)=\frac{1}{2}. $
        4. $ F(3)=\frac{7}{4}. $
      11. Tính tích phân $I =\int\limits_0^1 {\frac{x\,\mathrm{d}x}{x^2 + 1}} $.
        1. $I = – 1 +\ln 2$.
        2. $I =\frac{1}{2}\ln 2$.
        3. $I =\ln 2$.
        4. $I =\frac{1}{2}\left( – 1 +\ln 2\right)$.
      12. Biết $ \int\limits_0^1 {\frac{{5x + 18}}{{{x^2} + 7x + 12}}\,\mathrm{d}x} = \ln a$. Tính $a$.
        1. $a=\frac{27}{100}$.
        2. $a=\frac{100}{3}$.
        3. $a=\frac{100}{27}$.
        4. $a=\frac{100}{7}$.
      13. Tìm nguyên hàm $\int\frac{x + 3}{x^2 + 3x + 2}\,\mathrm{d}x $.
        1. $2\ln |x + 2| -\ln |x + 1| + C$.
        2. $\ln |x + 1| + 2\ln |x + 2| + C$.
        3. $2\ln |x + 1| +\ln |x + 2| + C$.
        4. $\ln |x + 1| – 2\ln |x + 2| + C$.
      14. Biết $ \int_{3}^{4}\frac{\,\mathrm{d}x}{x^2+x}=a\ln 2+b\ln 3+c\ln 5 $ với $ a,b,c $ là các số nguyên. Tính giá trị $ S=a+b+c. $
        1. $ S=6. $
        2. $ S=2. $
        3. $ S=-2. $
        4. $ S=0. $
      15. Tìm nguyên hàm
        \[ \int 2xe^{x^2}\,\mathrm{d}x \]
      16. Cho tích phân $ I=\int_0^4\frac{\,\mathrm{d}x}{3+\sqrt{2x+1}} =a+b\ln\frac{2}{3}$, với $ a,b $ là các số nguyên. Mệnh đề nào sau đây đúng?
        1. $ a+b=5 $.
        2. $ a-b=3 $.
        3. $ a-b=5 $.
        4. $ a+b=3 $.
      17. Tính tích phân
        $$ I=\int_0^1 x(x^2+1)^9\,\mathrm{d}x.$$
      18. Tính tích phân
        \[ I=\int_{0}^{1}x^3\cdot\sqrt{1-x^2}\,\mathrm{d}x \]
      19. Tính $I = \int\limits_{0}^{1} \frac{2x^2+5x-2}{x^3+2x^2-4x-8}\,\mathrm{d}x$.
        1. $I=\frac{1}{6}+\ln12$.
        2. $I=\frac{1}{6}+\ln \frac{3}{4}$.
        3. $I=\frac{1}{6}-\ln3+2\ln2$.
        4. $I=\frac{1}{6}- \ln \frac{3}{4}$.
      20. Tính tích phân $ I = \int_0^{\pi/6}\frac{\sin 3x}{4\cos^3 x – 3\cos x + 2}\,\mathrm{d}x$
        1. $I=\frac{1}{3}\ln 3 – \ln 2$.
        2. $I=\ln 3 – \ln 2$.
        3. $I=\frac{1}{3}\ln 2 – \frac{1}{3}\ln 3$.
        4. $I=\frac{1}{3}\ln3 – \frac{1}{3}\ln 2$.
      21. [Đề tham khảo 2018]
        Cho hàm số $ f(x) $ xác định trên $ \mathbb{R}\setminus\left\{ \frac{1}{2}\right\}$ và thỏa mãn
        \[ f'(x)=\frac{2}{2x-1},\quad f(0)=1,\quad f(1)=2. \]
      22. Tính giá trị của biểu thức $ f(-1)+f(3). $
        1. $ 4+\ln 15. $
        2. $ 2+\ln 15. $
        3. $ 3+\ln 15. $
        4. $ \ln 15. $
      23. [Đề tham khảo 2018]
        Biết $ \int_1^2\frac{\,\mathrm{d}x}{(x+1)\sqrt{x}+x\sqrt{x+1}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}-c $, với $ a,b,c $ là các số nguyên dương. Tính giá trị biểu thức $ P=a+b+c. $

        1. $ P=24. $
        2. $ P=12. $
        3. $ P=18. $
        4. $ P=46. $
  • Các dạng toán Tổ Hợp Xác Suất Nhị Thức Newton

    Các dạng toán Tổ Hợp Xác Suất Nhị Thức Newton

    Các dạng toán Tổ Hợp Xác Suất Nhị Thức Newton

    Các dạng toán Tổ Hợp Xác Suất Nhị Thức Newton điển hình trong đề thi ĐH, THPTQG 2020.

    Mục lục Các dạng toán Tổ Hợp Xác Suất Nhị Thức Newton

    1 Ba quy tắc cơ bản của bài toán đếm 2
    1.1 Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
    1.2 Kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
    1.3 Các dạng toán và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
    1.3.1 1. Dùng qui tắc cộng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
    1.3.2 2. Dùng qui tắc nhân. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
    1.4 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
    2 Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp 8
    2.1 Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
    2.2 Kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
    2.3 Các dạng toán và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
    2.3.1 Dạng 1. Bài toán đếm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
    2.3.2 Dạng 2. Chứng minh các đẳng thức tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
    2.3.3 Dạng 3. Phương trình, bất phương trình tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
    2.4 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
    3 Xác suất 22
    3.1 Kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
    3.1.1 1. Phép thử ngẫu nhiên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
    3.1.2 2. Biến cố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
    3.1.3 3. Xác suất của một biến cố . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
    3.2 Các dạng toán và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
    3.2.1 Dạng 1. Tính xác suất bằng định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
    3.2.2 Dạng 2. Các qui tắc tính xác suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
    3.3 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
    4 Nhị thức Newton 32
    4.1 Kiến thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
    4.2 Các dạng toán và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
    4.2.1 Dạng 1. Khai triển nhị thức Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
    4.2.2 Dạng 2. Số hạng trong khai triển nhị thức Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
    4.2.3 Dạng 3. Hệ số lớn nhất trong khai triển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
    4.2.4 Dạng 4. Khai triển tam thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
    4.2.5 Dạng 5. Sử dụng nhị thức Newton để tính tổng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
    4.3 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

    Tải tại đây https://o2.edu.vn/wp-content/uploads/2020/01/To-Hop-Xac-Suat-Nhi-Thuc-Newton.pdf