Phương pháp so sánh thể tích

Để tính thể tích của một khối chóp, khối lăng trụ chúng ta có thể tính trực tiếp bằng cách xác định diện tích đáy và chiều cao như trong bài Tính thể tích khối chóp. Tuy nhiên, có một cách rất hiệu quả để tính thể tích của khối chóp, khối lăng trụ, khối đa diện mà đề bài yêu cầu là so sánh chúng với các khối có thể tích dễ dàng tính được.

1. Lý thuyết Phương pháp so sánh thể tích

Từ công thức tính thể tích khối chóp, ta thấy thể tích của khối chóp không đổi khi:

• Đáy cố định, đỉnh của hình chóp di chuyển trên một mặt phẳng hoặc một đường thẳng song song với đáy.
• Đỉnh của hình chóp cố định, đáy của hình chóp biến đổi trên một mặt phẳng cố định thành những đa giác tương đương (tức là những đa giác có cùng diện tích).

Do đó, khi tính thể tích khối chóp, chúng ta thường sử dụng các kết quả:

• Hai khối chóp có chung đáy thì ta đi so sánh vị trí của hai đỉnh.
• Hai khối chóp có chung đỉnh thì ta đi so sánh diện tích của hai đáy.
• Sử dụng công thức tỉ số thể tích.

2. Ví dụ Phương pháp so sánh thể tích

Ví dụ 1. Chia khối lăng trụ $ABC.A’B’C’$ thành ba khối tứ diện bởi các mặt phẳng $(A’BC’)$ và $(A’BC)$. Hãy kể tên ba khối tứ diện đó và chứng tỏ rằng chúng có cùng thể tích.

Lời giải

• Chia khối lăng trụ $ABC.A’B’C’$ bởi các mặt phẳng $(A’BC’)$ và $(A’BC)$ thành ba khối tứ diện: $CC’A’B’$, $CBA’B’$, $CABA’$.
• Xét hai hình chóp $C.ABA’$ và $C.BA’B’$ có cùng độ dài đường cao là khoảng cách từ $C$ tới mặt phẳng $(ABB’A’)$ và đáy là các tam giác $ABA’$, $BB’A’$ là hai tam giác cùng diện tích (cùng bằng một nửa diện tích của hình bình hành $ABB’A’$). Vậy \[{{V}_{C.{ABA}}}={{V}_{C.{BA}B’}}\] hay \[{{V}_{{CABA}}}={{V}_{{CBA}B’}}\]
• Ta có:  $BB’//(ACC’A’)$  nên suy ra  $d(B; (ACC’A’))=d(B’; (ACC’A’))$ hay $$d(B; (ACA’))=d(B’; (CC’A’)).$$
• Lại có $ACA’$ và $CC’A’$ la hai tam giác có cùng diện tích nên \[V_{B.ACA’}=V_{B’.CC’A}\]  hay \[V_{CABA’}=V_{CC’AB’}\]

Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

Ví dụ 2. [CĐ2011] Cho hình chóp $ S.ABC $ có đáy là tam giác vuông cân tại $ B, AB=a,SA $ vuông góc với đáy. Góc giữa hai mặt phẳng $ (SBC) $ và $ (ABC) $ bằng $ 30^\circ. $ Gọi $ M,N $ lần lượt là trung điểm $ SC,AB $. Tính thể tích các khối chóp $ S.ABM, S.BMN. $

Hướng dẫn. Chỉ ra $ \widehat{SBA}=30^\circ $ và $ V_{S.ABM}=\frac{1}{2}V_{S.ABC} =\frac{a^3\sqrt{3}}{36}. $

Ví dụ 3. Cho hình chóp $ S.ABC $ có đáy là $ \Delta ABC $ vuông cân ở $ B$, $AC=a\sqrt{2},SA\perp\left( ABC \right), SA=a $. Gọi $ G $ là trọng tâm của $ \Delta SBC $, mặt phẳng $ \left( \alpha \right) $ đi qua $ AG $ và song song với $ BC $ cắt $ SC,SB $ lần lượt tại $ M,N $. Tính thể tích khối chóp $ S.AMN $?

Hướng dẫn. Tính được $ V_{S.ABC}=\frac{{{a}^{3}}}{6}. $ Ta có \[ \frac{{{V}_{S.AMN}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\frac{SA}{SA}.\frac{SM}{SB}.\frac{SN}{SC}=\frac{4}{9} \] Suy ra $ {{V}_{S.AMN}}=\frac{4}{9}.{{V}_{S.ABC}}=\frac{4}{9}.\frac{{{a}^{3}}}{6}=\frac{2{{a}^{3}}}{27}. $

Ví dụ 4. [D2006] Cho hình chóp $ S.ABC $ có đáy là $ \Delta ABC $ đều cạnh $ a $ và $ SA\perp \left( ABC \right), SA=2a $. Gọi $ H,K $ lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm $ A $ lần lượt lên cạnh $ SB,SC $. Tính thể tích khối $ A.BCKH $ theo $ a $.

Hướng dẫn. Tính ngay được \[{{V}_{S.ABC}}=\frac{1}{3}.{{S}_{\Delta ABC}}.SA=\frac{1}{3}.\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}.2a=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{6}\] Mặt khác lại có \[\frac{{{V}_{S.AHK}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\frac{SA}{SA}.\frac{SH}{SB}.\frac{SK}{SC}=\frac{SH.SB}{S{{B}^{2}}}.\frac{SK.SC}{S{{C}^{2}}}=\frac{16}{25}\] Suy ra \[ {{V}_{A.BCKH}}={{V}_{S.ABC}}-{{V}_{S.AHK}}=\frac{9}{25}.{{V}_{S.ABC}}=\frac{3{{a}^{3}}\sqrt{3}}{50} \]

Ví dụ 5. Cho hình chóp tứ giác đều $ S.ABCD $ có đáy là hình vuông cạnh $ a $, cạnh bên tạo với đáy một góc $ 60^\circ $. Gọi $ M $ là trung điểm $ SC $. Mặt phẳng đi qua $ AM $ và song song với $ BD $, cắt $ SB $ tại $ E $ và cắt $ SD $ tại $ F $. Tính thể tích khối chóp $ S.AEMF $.

Hướng dẫn. $ {{V}_{SAMF}}=\frac{1}{3}{{V}_{SACD}}=\frac{1}{6}{{V}_{S.ABCD}}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{36}\Rightarrow {{V}_{S.AEMF}}=2.\frac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{36}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{18} $

Ví dụ 6. Cho hình chóp $S.ABC$ có các góc $ \widehat{ASB}=\widehat{BSC}=\widehat{CSA}=60^\circ $. Độ dài các cạnh $ SA,SB,SC $ lần lượt là $ a,b,c $. Tính thể tích khối chóp $ S.ABC. $

Hướng dẫn.
Trên các cạnh $ SB,SC $ lần lượt lấy $ B’,C’ $ sao cho $ SB’=SC’=SA=a $. Như vậy, hình chóp $S.AB’C’$ là một tứ diện đều cạnh bằng $ a $ nên có thể tích \[ V_{SAB’C’}=\frac{a^3\sqrt{2}}{12}. \] Mặt khác, theo tỉ số thể tích thì
\[ \frac{V_{S.ABC}}{V_{S.AB’C’}}=\frac{SA}{SA}\cdot\frac{SB}{SB’}\cdot\frac{SC}{SC’}=\frac{bc}{a^2}\]
Do đó, thể tích khối chóp cần tìm là \[ V_{S.ABC}=\frac{abc\sqrt{2}}{12}. \]

Ví dụ 7. [CĐ2008] Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy $AB=a$, cạnh bên $SA=a\sqrt{2}$. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của $SA,SB,CD$. Tính thể tích tứ diện $AMNP$?

Hướng dẫn. Vì $MS=MA$ nên $ d\left(A,(MNP) \right)=d\left(S,(MNP) \right)$. Do đó $ V_{A.MNP}=V_{S.MNP} $. Mặt khác \[\frac{{{V}_{S.MNP}}}{{{V}_{S.ABP}}}=\frac{SM}{SA}.\frac{SN}{SB}.\frac{SP}{SP}=\frac{1}{4}\]
Từ đó tìm được $ {{V}_{A.MNP}}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{48}. $

3. Bài tập sử dụng Phương pháp so sánh thể tích

Bài 1. [CĐ2009] Cho hình chóp tứ giác đều $ S.ABCD $ có $ AB=a,SA=a\sqrt{2} $. Gọi $ M,N,P $ lần lượt là trung điểm của các cạnh $ SA,SB,CD $. Chứng minh rằng đường thẳng $ MN $ vuông góc với đường thẳng $ SP $. Tính theo $ a $ thể tích khối tứ diện $ AMNP $.

Hướng dẫn. Vì $ MN\parallel CD $ mà $ CD\perp SP $ nên $ MN\perp SP. $ Ta có $ V_{AMNP}=\frac{1}{4}V_{ABSP}= \frac{1}{8}V_{S.ABCD}$. Đáp số. $ V=\frac{a^3\sqrt{6}}{48} $

Bài 2. Cho tứ diện đều $ ABCD $ có cạnh $ a $. Lấy các điểm $ B’,C’ $ trên $ AB $ và $ AC $ sao cho $ AB’=\frac{a}{2},AC’=\frac{2a}{3} $. Tính thể tích khối tứ diện $ AB’C’D $.

Đáp số. $ V=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{36} $.

Bài 3. Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy là hình vuông cạnh $ a, SC\perp(ABCD) $ cho $ SA=a\sqrt{3} $. Gọi $ H $ là hình chiếu của $ C $ lên $ SB,K $ là trung điểm của $ SD. $ Tính thể tích khối chóp $ S.ABCD $ và khối chóp $ C.BDKH? $

Hướng dẫn. Xét tam giác vuông $ SCB $ có $ SH.SB=SC^2 $ nên $ \frac{SH}{SB}=\frac{SC^2}{SB^2}=\frac{2}{3}. $ Suy ra \[ \frac{V_{S.CKH}}{V_{S.CDB}}=\frac{SC}{SC}.\frac{SK}{SD}.\frac{SH}{SB}=\frac{1}{3} \] Do đó, $ V_{C.BDKH}=\frac{2}{3}V_{S.CBD}=\frac{1}{3}V_{S.ABCD} $

Đáp số. $ V_{S.ABCD}=\frac{a^3\sqrt{2}}{3}$, $V_{C.BDKH}=\frac{a^3\sqrt{2}}{9}. $

Bài 4. Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy là hình chữ nhật với $ AB=a,\,AD=2a, $ cạnh $ SA $ vuông góc với đáy, cạnh $ SB $ tạo với mặt đáy một góc $ {{60}^{\circ }} $. Trên cạnh $ SA $ lấy điểm $ M $ sao cho $ AM=\frac{a\sqrt{3}}{3} $. Mặt phẳng $ (BCM) $ cắt cạnh $ SD $ tại $ N $. Tính thể tích khối chóp $ S.BCMN? $

Hướng dẫn. $ {{V}_{S.BCMN}}={{V}_{SMBC}}+{{V}_{SMNC}}=\frac{5}{9}{{V}_{S.ABCD}}=\frac{5}{9}.\frac{1}{3}.SA.{{S}_{ABCD}}=\frac{10\sqrt{3}}{27}{{a}^{3}} $

Bài 5. Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy là hình vuông cạnh $ a $, cạnh bên $ SA $ vuông góc với đáy và $ SA = a $. Gọi $ M $ là một điểm trên cạnh $ SA $ sao cho $ AM = x $. Mặt phẳng $ (MBC) $ cắt $ SD $ tại $ N $. Tính thể tích khối đa diện $ ABCDMN $ theo $ a $ và $ x $.

Đáp số. $ V=\frac{ax.(3a-x)}{6} $

Bài 6. Cho hình chóp $ S.ABC $ có đáy $ ABC $ là tam giác đều cạnh $ a\sqrt{3} $, đường cao $ SA=a $. Mặt phẳng qua điểm $ A $ và vuông góc với $ SB $ tại $ H $ và cắt $ SC $ tại $ K $. Tính thể tích hình chóp $ S.AHK $.

Đáp số. $ V=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{40} $.

Bài 7. Cho hình chóp $ S.ABCD $ có $ ABCD $ là hình bình hành, $ M $ thuộc cạnh $ SA $ và $ \frac{SM}{SA}=x $. Tìm $ x $ để mặt phẳng $ (MBC) $ chia hình chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau?

Hướng dẫn. Mặt phẳng $ (MBC) $ cắt $ (SAD) $ theo giao tuyến $ MN\parallel AD. $ Phân chia $ V_{S.MNBC} =V_{S.MBC}+V_{S.MNC} $ để so sánh.

Đáp số. $ x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2} $

Bài 8. [DB B2006] Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy $ ABCD $ là hình thoi cạnh $ a $ và góc $ \widehat{BAD}={{60}^\circ} $. Biết rằng $ SA\perp \left( ABCD \right),SA=a $. Gọi $ C’ $ là trung điểm của cạnh $ SC $. Mặt phẳng $ \left( P \right) $ đi qua $ AC’ $ và song song với $ BD $, cắt các cạnh $ SB,SD $ lần lượt tại $ B’ $ và $ D’ $. Tính thể tích khối chóp $ S.ABC’D’ $.

Đáp số. $ V=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{18} $.

Bài 9. Cho hình chóp $ S.ABCD $ có thể tích là $ V.$ Tứ giác $ ABCD $ là hình bình hành, $ M $ là trung điểm của $ BC $ và $ G $ là trọng tâm tam giác $ SCD $. Tính thể tích tứ diện $ SAMG? $

Hướng dẫn. So sánh thể tích hình chóp $ S.AMG $ với thể tích hình chóp $ S.AMN $ bằng cách coi $ \Delta SAM $ làm đáy chung.

Đáp số. $ V_{SAMG}=\frac{1}{4}V $

Bài 10. Cho hình chóp $ S.ABCD $ có thể tích là $ V.$ Tứ giác $ ABCD $ là hình bình hành. Gọi $ M,N,P $ lần lượt là trung điểm của $ BC,CD,SD $. Tính thể tích tứ diện $ AMNP? $

Bài 11. Cho hình chóp $ S.ABC $ có điểm $ M\in SA,N\in SB $ sao cho $ \frac{SM}{MA}=\frac{1}{2},\frac{SN}{NB}=2. $ Gọi $ (\alpha) $ là mặt phẳng qua $ MN $ và song song với $ SC $. Mặt phẳng này cắt $ AC $ tại $ E,BC $ tại $ F. $

1. Chứng minh rằng $ AB,MN,EF $ đồng quy, gọi điểm này là $ I, $ tính tỉ số $ \frac{BI}{BA}? $
2. Mặt phẳng $ (\alpha) $ chia hình chóp thành hai phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần này?

Hướng dẫn. Gọi $ L $ là trung điểm của $ SN. $

Đáp số. $ \frac{BI}{BA}=\frac{1}{3},\frac{V_1}{V_2}=\frac{4}{5}. $