Chúng tôi xin giới thiệu bài viết “HỌC BẤT ĐẲNG THỨC NHƯ THẾ NÀO?” của thầy Phùng Quyết Thắng.
7 kĩ năng quan trọng khi giải các bài toán Bất đẳng thức
Định luật bảo toàn dấu bằng hay còn gọi là điểm rơi của bài toán
Mời bạn xem trong bài Chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Côsi (Cauchy)
Bậc của B.Đ.T và kĩ năng đồng bậc hoá
B.Đ.T đồng bậc là tất cả các hạng tử của đa thức đó có bậc bằng nhau.VD: a² +b² ≥ 2ab đều cùng bậc 2 cả vế trái và vế phải.
Đồng bậc hoá B.Đ.T là quá trình sử dụng giả thiết để đưa B.Đ.T không đồng bậc về dạng tương đương với một B.Đ.T đồng bậc. Đây là cơ sở để người ra đề giấu bản chất bài toán, khiến người giải bị lạc lối .
VD: Cho xy= 1. CMR: x² + y² ≥ 2.
B.Đ.T cần chứng minh vế trái và vế phải ko đồng bậc, tìm cách làm vế phải có bậc giống vế trái dựa vào gt và biến đổi tương đương (quy tắc 3), B.Đ.T được giải quyết xong!
x² + y² ≥ 2xy ⇔ (x-y)²≥ 0
Ghép đối xứng
Thành thạo bài toán cosi tổng ta tích với điểm rơi tự nhiên và điều chỉnh hệ số với điểm rơi nhân tạo.
Cosi: mx + n/x ≥ 2√(mn) trong đó điểm rơi tự nhiên: x =√(n/m) > x của TXD
Khi điểm rơi tự nhiên < x của TXD thì hệ số điều chỉnh a = n/x² với x là điểm rơi nhân tạo ≥ x của TXD khi đó biến đổi biểu thức thành dạng n/x + ax + (m-a)x. trong đó n/x + ax đánh giá theo Cosi (m-a)x đánh giá theo TXD
Kĩ thuật biến đổi tương đương
Kĩ thuật biến đổi tương đương: là các phép biến đổi đại số đưa B.Đ.T về dạng tương đương để đánh giá thuận tiện hơn, đa phần B.Đ.T cuối cùng đưa về dạng bậc chẵn hoặc dạng tích mà điều kiện của TXD giúp chúng ta chứng minh được B.Đ.T≥ 0
Sắp xếp các biến
Đây là câu hỏi nhiều bạn ko biết tại sao và khi nào dùng được quy tắc này khi thấy nhiều lời giải hay ghi câu “Không mất tính tổng quát, giả sử a≥b≥c…” mà ko nói tại sao??? họ biết nhưng họ bỏ câu phía trước rồi!
- Tính chất 1: B.Đ.T là hoán vị có thể giả sử một số là lớn nhất (nhỏ nhất) hoặc nằm giữa trong ba số.
- Tính chất 2: B.Đ.T là đối xứng ta có thể giả sử a≥b≥c.
Vậy B.Đ.T có tính hoán vị, đối xứng được định nghĩa ntn?
B.Đ.T f(a,b,c)≥ 0 có tính hoán vị nếu f(a,b,c)=f(b,c,a)=f(c,b,a)
B.Đ.T f(a,b,c) có tính đối xứng là B.Đ.T hoán vị + đổi chỗ b và c vẫn bằng nhau, tức là: f(a,b,c)=f(b,c,a)=f(c,b,a)=f(a,c,b)
Phân biệt và hiểu về độ mạnh yếu (độ chặt) trong B.Đ.T
Hệ quả quan trọng: nếu B.Đ.T (1) suy ra được B.Đ.T (2) nhưng (2) ko suy ngược lại (1) thì B.Đ.T (1) mạnh hơn B.Đ.T (2)
Khái niệm mạnh yếu giúp chúng ta lí giải thật sự logic và rõ ràng tình huống “bị ngược dấu” khi chứng minh B.Đ.T
Một số ý tưởng đơn giản hoá bài toán
- Tìm cách đưa B.Đ.T về bậc càng thấp.
- Giảm số lượng biến bằng hai cách: đổi biến (đặt ẩn phụ) và phương pháp dồn biến.
- B.Đ.T chứa căn thì phải tìm cách phá căn bằng: + Nâng lũy thừa + Đặt ẩn phụ + Áp dụng B.Đ.T cơ bản và bổ đề : cosi tích ra tổng, Bunhiacopsk
