Chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Côsi (Cauchy)

Chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Côsi (Cauchy)

Cách chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Côsi (Cauchy hay tên chính xác là AM-GM, mời bạn xem trong bài Các bất đẳng thức thường sử dụng) hay chính là cách dự đoán dấu bằng xảy ra trong BĐT Cauchy.

Chọn điểm rơi là gì?

Chọn điểm rơi ở đây chính là dự đoán giá trị của biến làm dấu bằng trong các bất đẳng thức xảy ra.

Các dấu hiệu nhận biết thường thấy:

  • Nếu biểu thức có điều kiện ràng buộc thì GTLN, GTNN của biểu thức thường đạt được tại vị trí biên.
  • Nếu biểu thức có tính đối xứng thì dấu “=” thường xảy ra khi các biến bằng nhau.
  • Nếu biểu thức không có tính đối xứng thì tuỳ theo bài toán mà linh hoạt áp dụng.

Chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Côsi

Chúng ta xuất phát từ một bài toán quen thuộc sau:

BÀI TẬP 1: Chứng minh rằng $$x+\frac{1}{x}\ge 2,\forall x>0$$ Đẳng thức xảy ra khi $x=2$.

Hướng dẫn.  Bài tập trên chỉ cần sử dụng bất đẳng thức Cauchy (AM-GM) chi hai số dương là xong. Tuy nhiên, khá nhiều bạn bạn lúng túng khi gặp bất đẳng thức sau:

BÀI TẬP 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$S=x+\frac{1}{x},\forall x\ge 2.$$

Hướng dẫn.

Sai lầm thường gặp: $$S=x+\frac{1}{x} \ge 2\sqrt{x\cdot \frac{1}{x}}=2$$

Tuy nhiên, dấu bằng xảy ra khi $x=\frac{1}{x} $ hay $x=1$, không thỏa mãn giả thiết $x \ge 2$.

Nhận thấy rằng khi $x$ tăng thì $S$ cũng tăng theo (bằng cách thử trực tiếp hoặc dùng máy tính CASIO vào tính năng lập bảng TABLE để thử). Từ đó dẫn đến dự đoán khi $x=2$ thì $S$ nhận giá trị nhỏ nhất.

Do bất đẳng thức Côsi xảy ra dấu bằng tại điều kiện các tham số tham gia phải bằng nhau, nên tại “điểm rơi $x=2$” ta không thể sử dụng bất đẳng thức Côsi trực tiếp cho hai số$x$ và $\frac{1}{x}$ vì khi đó $x=2$ còn $\frac{1}{x}=1/2$.

Lúc này ta sẽ giả định sử dụng bất đẳng thức Côsi cho cặp số $kx$ và $\frac{1}{x}$ thì biểu thức $S$ viết lại thành $$x+\frac{1}{x}=kx +\frac{1}{x}+\left( 1-k \right)x.$$ Cần tìm số $k>0$ sao cho phương trình $kx=\frac{1}{x}$ xảy ra tại $x=2$. Dễ dàng tìm được $k=\frac{1}{4}$ và khi đó $$S=\frac{1}{4}x+\frac{1}{x}+\frac{3}{4}x.$$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương ta có: $$\frac{1}{4}x+\frac{1}{x}\ge 2\sqrt{\frac{1}{4}x\frac{1}{x}}=1.$$ Mặt khác, vì $x\ge 2$ nên $$\frac{1}{4}x+\frac{1}{x}+\frac{3}{4}x\ge 1+\frac{3}{2}=\frac{5}{2}$$

Dấu đẳng thức xảy ra khi $x = 2$. Vậy, giá trị nhỏ nhất của $S$ là $2$.

BÀI TẬP 3: Cho $x > 0,y > 0$ và thoả mãn điều kiện $x+y=1$, chứng minh: $$xy + \frac{1}{xy}\ge \frac{17}{4}$$

Hướng dẫn. Từ $x > 0 , y > 0$ và $x + y = 1$ suy ra $$1\ge 2\sqrt{xy}\Rightarrow xy\le \frac{1}{4}$$

Đặt $y =\frac{1}{xy}$ Ta có bất đẳng thức cần chứng minh trở thành $$y+\frac{1}{y}\ge \frac{17}{4}$$ với y$\ge 4$, cách chứng minh tương tự BÀI TẬP 2.

BÀI TẬP 4: Cho $x>0, y>0,z>0$ và $x+y+z=1$. Chứng minh rằng: $$xyz+\frac{1}{xyz}\ge 27+\frac{1}{27}$$ Dấu bằng xảy ra khi $x = y = z = \frac{1}{3}$.

Sử dụng các bài tập 2, 3, 4, chúng ta có thể chứng minh bài tập sau:

BÀI TẬP 5:

a) Cho $x>0,y>0$ và $x+y=1$, chứng minh rằng $$\sqrt{x+\frac{1}{{{x}^{2}}}}+\sqrt{y+\frac{1}{{{y}^{2}}}}\ge \sqrt{18},$$ dấu đẳng thức xảy ra khi $x=y=\frac{1}{2}$.

b) Cho $x>0,y>0,z>0$ và thoả mãn $x+y+z=1$. Chứng minh $$\sqrt{{{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}}}+\sqrt{{{y}^{2}}+\frac{1}{{{y}^{2}}}}+\sqrt{{{z}^{2}}+\frac{1}{{{z}^{2}}}}\ge \sqrt{82}$$ Dấu đẳng thức xảy ra khi $x = y = z = \frac{1}{3}$.

Hướng dẫn.

a) Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 2 số dương ta có: $$VT\ge 2\sqrt[4]{\left( x+\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)\left( y+\frac{1}{{{y}^{2}}} \right)}$$ $$\left( x+\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)\left( y+\frac{1}{y} \right)=xy+\frac{x}{{{y}^{2}}}+\frac{y}{{{x}^{2}}}+\frac{1}{{{x}^{2}}{{y}^{2}}}$$ Mặt khác, $0<x+y=1\Rightarrow 0<xy\le \frac{1}{4}$ nên suy ra $$xy+\frac{1}{{{x}^{2}}{{y}^{2}}}\ge \frac{1}{4}+{{4}^{2}}=\frac{65}{4}; \frac{x}{{{y}^{2}}}+\frac{y}{{{x}^{2}}}\ge 2\sqrt{\frac{1}{xy}}\ge 4$$ Do đó, $$VT\ge 2\sqrt[4]{\frac{65}{4}+4}=2\sqrt[4]{\frac{81}{4}}=\sqrt{18}$$

b) Áp dụng bất đẳng thức cô si cho 3 số dương ta có: $$\sqrt{{{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}}}+\sqrt{{{y}^{2}}+\frac{1}{{{y}^{2}}}}+\sqrt{{{z}^{2}}+\frac{1}{{{z}^{2}}}}\ge 3\sqrt[6]{\left( {{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)\left( {{y}^{2}}+\frac{1}{{{y}^{2}}} \right)\left( {{z}^{2}}+\frac{1}{{{z}^{2}}} \right)}$$ Ta tiếp tục biến đổi như sau \begin{align} & \left( {{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)\left( {{y}^{2}}+\frac{1}{{{y}^{2}}} \right)\left( {{z}^{2}}+\frac{1}{{{z}^{2}}} \right) \\ & ={{x}^{2}}{{y}^{2}}{{z}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}{{y}^{2}}{{z}^{2}}}+\frac{{{x}^{2}}}{{{y}^{2}}{{z}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{x}^{2}}{{z}^{2}}}+\frac{{{z}^{2}}}{{{x}^{2}}{{y}^{2}}}+\frac{{{x}^{2}}{{y}^{2}}}{{{z}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}{{z}^{2}}}{{{x}^{2}}}+\frac{{{z}^{2}}{{x}^{2}}}{{{y}^{2}}} \end{align}

Ta có $0<xyz\le \frac{1}{27}$ nên suy ra $${{x}^{2}}{{y}^{2}}{{z}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}{{y}^{2}}{{z}^{2}}}\ge 729+\frac{1}{729}$$ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm, chúng ta có \begin{align} \frac{{{x}^{2}}}{{{y}^{2}}{{z}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{x}^{2}}{{z}^{2}}}+\frac{{{z}^{2}}}{{{x}^{2}}{{y}^{2}}}&\ge 3\sqrt[3]{\frac{1}{{{x}^{2}}{{y}^{2}}{{z}^{2}}}} \\  \frac{{{x}^{2}}{{y}^{2}}}{{{z}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}{{z}^{2}}}{{{x}^{2}}}+\frac{{{z}^{2}}{{x}^{2}}}{{{y}^{2}}}&\ge 3\sqrt[3]{{{x}^{2}}{{y}^{2}}{{z}^{2}}} \end{align} Suy ra \begin{align} \frac{{{x}^{2}}}{{{y}^{2}}{{z}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{x}^{2}}{{z}^{2}}}+\frac{{{z}^{2}}}{{{x}^{2}}{{y}^{2}}}+\frac{{{x}^{2}}{{y}^{2}}}{{{z}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}{{z}^{2}}}{{{x}^{2}}}+\frac{{{z}^{2}}{{x}^{2}}}{{{y}^{2}}}&\ge 3\sqrt[3]{\frac{1}{{{x}^{2}}{{y}^{2}}{{z}^{2}}}}+3\sqrt[3]{{{x}^{2}}{{y}^{2}}{{z}^{2}}} \\  & \ge \text{3}\left(\frac{\text{1}}{\text{9}}+9\right) \end{align} Từ đó suy ra $$\sqrt{{{x}^{2}}+\frac{1}{{{x}^{2}}}}+\sqrt{{{y}^{2}}+\frac{1}{{{y}^{2}}}}+\sqrt{{{z}^{2}}+\frac{1}{{{z}^{2}}}}\ge 3\sqrt[6]{729+\frac{1}{729}+3(9+\frac{1}{9})}\ge \sqrt{82}$$

Đối với các bài toán khó hơn, mời các bạn tham khảo SỬ DỤNG AM-GM ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC DẤU BẰNG KHÔNG TẠI TÂM