Phương pháp chứng minh thẳng hàng bằng vectơ

Một ứng dụng của phép toán nhân véc-tơ với một số thực chính là chứng minh thẳng hàng, song song, đồng quy bằng phương pháp véc-tơ. Trong bài học này, chúng tôi xin giới thiệu phương pháp và các ví dụ, bài tập chứng minh thẳng hàng bằng vectơ.

Quý thầy cô và các em có thể xem thêm:

• Bài tập vecto lớp 10 (Khái niệm vector, hai véc-tơ bằng nhau)
• Bài tập Các phép toán véc-tơ

1. Phương pháp chứng minh thẳng hàng bằng vectơ

Muốn chứng minh ba điểm $ A, B, C$ thẳng hàng bằng vectơ, chúng ta có hai cách sau:

• Chỉ ra $ \overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {AC}, $ với $ k$ là một số thực nào đó.
• Sử dụng kết quả: Điều kiện cần và đủ để ba điểm $ A, B, C$ thẳng hàng là $$ \overrightarrow {MC} = t\overrightarrow {MA} + (1 – t)\overrightarrow {MB}, $$ với điểm tuỳ ý $ M$ và số thực $ t$ bất kỳ.

Lưu ý khi chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương pháp véctơ.

• Đẳng thức $ \overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {AC}$ có thể thay bởi $\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{BC}, \overrightarrow{BC}=k\overrightarrow{AB}$… miễn là hai véc-tơ đó có các điểm đầu và cuối là 2 trong 3 điểm $A,B,C$.
• Để có được đẳng thức $ \overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {AC}$ ta có thể:
  • Biến đổi sử dụng các quy tắc véc-tơ đã học (quy tắc 3 điểm, quy tắc trung điểm, quy tắc trọng tâm);
  • Biểu diễn (phân tích) các $ \overrightarrow {AB}, \overrightarrow {AC}$ qua 2 véc-tơ không cùng phương đã biết.

2. Ví dụ chứng minh thẳng hàng bằng vectơ

Ví dụ 1. Cho hình bình hành $ ABCD. $ Gọi $ I $ là trung điểm của $ CD. $ Lấy điểm $ M $ trên đoạn $ BI $ sao cho $ BM = 2MI. $ Chứng minh ba điểm $ A,M,C $ thẳng hàng.

Hướng dẫn. Từ giả thiết ta có $$ \overrightarrow{BM}=2\overrightarrow{MI} $$ Suy ra $ \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{MI}.$             (*)
Mặt khác, vì $ ABCD$ là hình bình hành nên $ \overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CD}$.
Mà $ I$ là trung điểm $ CD$ nên $ \overrightarrow{CD}=2\overrightarrow{CI}$. Thay vào đẳng thức (*) ở trên ta có \begin{align}
&2\overrightarrow{CI} +\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{MI}\\
\Leftrightarrow &\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{MI}+2\overrightarrow{IC}\\
\Leftrightarrow &\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{MC}
\end{align} Đẳng thức $ \overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{MC}$ chứng tỏ ba điểm $ A,M,C$ thẳng hàng.

Qua ví dụ này chúng ta có nhận xét sau. Muốn chứng minh ba điểm $ A,M,C $ thẳng hàng ta phải từ các đẳng thức véc-tơ đã có, biến đổi để xuất hiện được các véc-tơ $\overrightarrow{AM},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{MC}…$.

Ví dụ 2. Cho tam giác $ ABC$, lấy các điểm $ I, J$ thoả mãn $$\overrightarrow {IA} = 2\overrightarrow {IB}, 3\overrightarrow {JA} + 2\overrightarrow {JC} = \vec 0.$$Chứng minh rằng đường thẳng $ IJ$ đi qua trọng tâm $ G$ của tam giác $ABC$.

Hướng dẫn. Ta có $ G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ thì với điểm $J$ bất kỳ, ta luôn có $$ \overrightarrow{JA}+\overrightarrow{JB}+\overrightarrow{JC}=3\overrightarrow{JG} $$ Nên suy ra $$ 2\overrightarrow{JA}+2\overrightarrow{JB}+2\overrightarrow{JC}=6\overrightarrow{JG} $$ Thay giả thiết $ 2\overrightarrow{JC}=-3\overrightarrow{JA}$ vào ta được $$ 2\overrightarrow{JA}+2\overrightarrow{JB}-3\overrightarrow{JA}=6\overrightarrow{JG} $$ hay $$ 2\overrightarrow{JB}= 6\overrightarrow{JG}+\overrightarrow{JA}.$$ Mặt khác, từ đẳng thức $ \overrightarrow{IA}=2\overrightarrow{IB}$ ta sử dụng quy tắc 3 điểm thì có $$ \overrightarrow{IJ}+\overrightarrow{JA}=2\overrightarrow{IJ}+2\overrightarrow{JB} $$ Tiếp tục thay kết quả $ 2\overrightarrow{JB}= 6\overrightarrow{JG}+\overrightarrow{JA}$ vừa có ở phần trước vào ta được $$ \overrightarrow{IJ}+\overrightarrow{JA}=2\overrightarrow{IJ}+6\overrightarrow{JG}+\overrightarrow{JA} $$
Thu gọn, ta được $$ \overrightarrow{IJ}=-6\overrightarrow{JG}. $$ Đẳng thức này chứng tỏ ba điểm $ I,J,G$ thẳng hàng.

Ví dụ 3. Cho tam giác $ABC$, lấy các điểm $ M, N, P$ thoả mãn: $$ \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = \vec 0, 3\overrightarrow {AN} – 2\overrightarrow {AC} = \vec 0, \overrightarrow {PB} = 2\overrightarrow {PC}. $$ Chứng minh rằng $ M, N, P$ thẳng hàng.

Hướng dẫn.

Từ đẳng thức $ 3\overrightarrow{AN}-2\overrightarrow{AC}=\vec{0}$ ta sử dụng quy tắc 3 điểm thì được \begin{align}
&3\overrightarrow{AM}+3\overrightarrow{MN}-2\overrightarrow{AP}-2\overrightarrow{PC}=\vec{0}\\
\Leftrightarrow &\overrightarrow{AM} + 3\overrightarrow{MN}+2\overrightarrow{PM}-2\overrightarrow{PC}=\vec{0}
\end{align}
Thay giả thiết $ \overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MB}$ và $ 2\overrightarrow {PC}=\overrightarrow {PB}$ vào ta được \begin{align}
&\overrightarrow{AM} + 3\overrightarrow{MN}+2\overrightarrow{PM}-2\overrightarrow{PC}=\vec{0}\\
\Leftrightarrow &\overrightarrow{MB} + 3\overrightarrow{MN}+2\overrightarrow{PM} +\overrightarrow{BP}=\vec{0}\\
\Leftrightarrow &\overrightarrow{MP} + 3\overrightarrow{MN}+2\overrightarrow{PM}=\vec{0}\\
\Leftrightarrow & 3\overrightarrow{MN} =\overrightarrow{MP}.
\end{align}

Đẳng thức $3\overrightarrow{MN} =\overrightarrow{MP}$ chứng tỏ ba điểm $ M, N, P$ thẳng hàng.

Ví dụ 4. Xác định vị trí điểm $ C $ sao cho $$ \overrightarrow{CA}-2 \overrightarrow{CB}=\vec{0}. $$ Cho điểm $ M $ bất kỳ trong mặt phẳng và gọi $ \overrightarrow{MN} $ là véc-tơ định bởi $$ \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}-2 \overrightarrow{MB}. $$ Chứng tỏ đường thẳng $ MN $ luôn đi qua một điểm cố định.

Hướng dẫn.

• Có $ \overrightarrow{CA}-2 \overrightarrow{CB}=\vec{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CB}, $ hay $ B $ là trung điểm của $ AC. $
• Từ đẳng thức $ \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}-2 \overrightarrow{MB}$ ta sử dụng quy tắc ba điểm thì có \begin{align}
  \overrightarrow{MN}&=\overrightarrow{MA}-2 \overrightarrow{MB}\\
  &=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CA}-2(\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CB})\\
  &=-\overrightarrow{MC} +\left(\overrightarrow{CA}-2 \overrightarrow{CB}\right)\\
  &=-\overrightarrow{MC}.\end{align}
  Vậy ba điểm $ M,N,C $ thẳng hàng hay đường thẳng $ MN $ luôn đi qua điểm $(C)$ cố định.

3. Bài tập chứng minh thẳng hàng bằng vectơ

Bài tập 1. Cho hình bình hành $ ABCD. $ Trên đoạn $ BC $ lấy điểm $ H, $ trên đoạn $ BD $ lấy điểm $ K $ sao cho: $ BH=CH, DK=2BK. $ Chứng minh $ A,K,H $ thẳng hàng.

Hướng dẫn. Phân tích véc-tơ $ \overrightarrow{AK},\overrightarrow{AH} $ theo các véc-tơ $ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}. $

Bài tập 2. Cho hình bình hành $ ABCD. $ Trên $ BC $ lấy điểm $ H, $ trên $ BD $ lấy điểm $ K $ sao cho: $$ \overrightarrow{BH}=\frac{1}{5}\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BK}=\frac{1}{6}\overrightarrow{BD}. $$ Chứng minh $ A,K,H $ thẳng hàng.
Hướng dẫn. Phân tích véc-tơ $ \overrightarrow{AK},\overrightarrow{AH} $ theo các véc-tơ $ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}. $

Bài tập 3. Cho tam giác $ ABC $ có $ M,N,P $ thỏa mãn $$ \overrightarrow{MB}=3\overrightarrow{MC},\overrightarrow{NA}+3\overrightarrow{NC}=\vec{0},\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}=\vec{0}. $$ Phân tích các véc-tơ $ \overrightarrow{MP},\overrightarrow{MN} $ theo hai véc-tơ $ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}. $ Suy ra $ M,N,P $ thẳng hàng.

Hướng dẫn. Có $ \overrightarrow{MP}=\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AM}, \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}. $ Ta đi tính $ \overrightarrow{AP},\overrightarrow{AN},\overrightarrow{AM} $ theo $ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} $ được $ \overrightarrow{AP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AM}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}. $ Từ đó phân tích $ \overrightarrow{MP},\overrightarrow{MN} $ theo $ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} $ và suy ra $ \overrightarrow{MP}=2\overrightarrow{MN}, $ do đó $ M,N,P $ thẳng hàng.

Bài tập 4. Cho tam giác $ ABC $ và hai điểm $ I,J $ thỏa mãn $$ \overrightarrow{IC}-\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IA}=\vec{0}, \overrightarrow{JA}+\overrightarrow{JB}-3\overrightarrow{JC}=\vec{0}. $$

• Chứng minh $ I,G,B $ thẳng hàng với $ G $ là trọng tâm tam giác $ ABC $.
• Chứng minh $ IJ $ cùng phương $ AC. $

Hướng dẫn.

• Từ $ \overrightarrow{IC}-\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IA}=\vec{0} $ suy ra $ \overrightarrow{IG}=2\overrightarrow{GB}, $ do đó $ I,G,B $ thẳng hàng.
• Ta có $ \overrightarrow{IC}-\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IA}=\vec{0} $, điều này tương đương với $$\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{IA}=\vec{0}. $$ Mặt khác $ \overrightarrow{JA}+\overrightarrow{JB}-3\overrightarrow{JC}=\vec{0}$ tương đương với $$\overrightarrow{JA}+(\overrightarrow{JA}+\overrightarrow{AB})-3(\overrightarrow{JA}+\overrightarrow{AC})=\vec{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{JA}-3\overrightarrow{AC}=\vec{0}.$$ Cộng từng vế hai đẳng thức được $ \overrightarrow{IJ}=2\overrightarrow{AC}, $ do đó $ IJ $ cùng phương $ AC. $

Bài tập 5. Cho tam giác $ ABC $ có $ M $ là điểm di động.

1. Dựng $ \overrightarrow{MN}=2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}. $ Chứng minh đường thẳng $ MN $ luôn đi qua một điểm cố định.
2. Gọi $ P $ là trung điểm $ CN, $ chứng minh rằng đường thẳng $ MP $ luôn đi qua một điểm cố định.
3. Kéo dài $ AB $ một đoạn $ BE=AB, $ gọi $ F $ là trung điểm $AC$, vẽ hình bình hành $ EAFG. $ Đường thẳng $ AG $ cắt $BC$ tại $ K. $ Tính tỉ số $ KB:KC. $

Hướng dẫn.

1. Gọi $ I $ là điểm xác định bởi $ 2\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IC} $ thì $ I $ cố định. Khi đó $ \overrightarrow{MN}= 2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}=4\overrightarrow{MI}.$ Suy ra $ M,N,I $ thẳng hàng hay $ MN $ luôn đi qua điểm $ I $ cố định.
2. Vì $ P $ là trung điểm $ CN $ nên $ \overrightarrow{MP}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{MC})=\frac{1}{2}(2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}). $ Gọi $ J $ là điểm xác định bởi $ 2\overrightarrow{JA}+3\overrightarrow{JB}=\vec{0} $ thì $ J $ cố định. Khi đó $ \overrightarrow{MP}=…=\frac{5}{2}\overrightarrow{MJ} $ hay $ MP $ luôn đi qua điểm $ J $ cố định.
3. Để xác định giao điểm $ K $ của $ AG $ và $BC$ ta tính $ \overrightarrow{AG} $ theo $ \overrightarrow{AB} $ và $ \overrightarrow{AC}. $
   Có $ \overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}. $ Do đó $ AG $ cắt $BC$ tại $ K$ mà $ 2\overrightarrow{KB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{KC} $ hay $ KB:KC=1:4. $

Bài tập 6. Cho $\Delta ABC$. Dựng $\overrightarrow{AB’}=\overrightarrow{BC},\overrightarrow{CA’}=\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC’}=\overrightarrow{CA}$. Chứng minh $A$ là trung điểm của $B’C’$. Chứng minh $AA’,BB’,CC’$ đồng quy.

Bài tập 7. Cho $\Delta ABC$ có điểm $I$ trên cạnh $AC$ sao cho $CI=\frac{1}{4}CA$, $J$ là điểm thỏa $\overrightarrow{BJ}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$. Chứng minh $\overrightarrow{BI}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$. Chứng minh $B,I,J$ thẳng hàng. Hãy dựng điểm $J$ thỏa mãn điều kiện đề bài.

Bài tập 8. Cho tam giác $ ABC $ có điểm $D$ định bởi $ \overrightarrow{BD}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BC} $ và $I$ là trung điểm $AD$. Gọi $ M $ là điểm thỏa mãn $ \overrightarrow{AM}=x\overrightarrow{AC} $ với $ x $ là số thực. Tính $ \overrightarrow{BI} $ theo $ \overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}. $ Tính $ \overrightarrow{BM} $ theo $ \overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}. $ Tìm $ x $ để ba điểm $ B,I,M $ thẳng hàng.

Hướng dẫn. Vì $ I $ là trung điểm $AD$ nên có $$ \overrightarrow{BI}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BD})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{BC})=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}. $$ Mặt khác, ta có $$ \overrightarrow{AM}=x\overrightarrow{AC} \Leftrightarrow \overrightarrow{BM}-\overrightarrow{BA}=x(\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}) \Leftrightarrow \overrightarrow{BM}=(1-x)\overrightarrow{BA}+x\overrightarrow{BC}. $$ Ba điểm $ B,I,M $ thẳng hàng khi và chỉ khi tồn tại số $ k $ sao cho $ \overrightarrow{BM}=k\overrightarrow{BI}$. Điều này tương đương với $$(1-x)\overrightarrow{BA}+x\overrightarrow{BC}=\frac{k}{2}\overrightarrow{BA}+\frac{k}{3}\overrightarrow{BC} \Leftrightarrow 2(1-x)=3x \Leftrightarrow x=\frac{2}{5}.$$