Phương pháp rút về đơn vị – Phương pháp tỉ số

Phương pháp rút về đơn vị – Phương pháp tỉ số

Phương pháp rút về đơn vị, phương pháp tỉ số là một trong những PHƯƠNG PHÁP BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN TIỂU HỌC.

Phương pháp rút về đơn vị là gì?

Trong một bài toán đơn giản về đại lượng tỉ lệ thuận, đại lượng tỉ lệ nghịch người ta thường cho biết hai giá trị của đại lượng thứ nhất và một giá trị của đại lượng thứ hai. Bài toán đó đòi hỏi phải tìm một giá trị chưa biết của đại lượng thứ hai.

Để tìm giá trị đó, ở tiểu học có thể sử dụng một trong những phương pháp thường dùng như phương pháp rút về đơn vị, phương pháp tỉ số.

Ví dụ, có 45 m vải may được 9 bộ quần áo như nhau. Hỏi phải dùng bao nhiêu mét vải loại đó để may được 7 bộ quần áo như thế?

Phương pháp rút về đơn vị - Phương pháp tỉ số

Ở bài toán này, từ dữ kiện thứ nhất có 45 m vải may được 9 bộ quần áo như nhau” chúng ta phải:

  • Tìm được 1 bộ quần áo may hết mấy mét vải;
  • Khi biết được 1 bộ quần áo may cần bao nhiêu mét vải thì chúng ta sẽ tìm được 7 bộ quần áo hết bao nhiêu mét vải?

Ví dụ Phương pháp rút về đơn vị

Ví dụ 1. Có 45 m vải may được 9 bộ quần áo như nhau. Hỏi phải dùng bao nhiêu mét vải loại đó để may được 7 bộ quần áo như thế?

Phân tích. Trong bài toán này người ta đã cho biết hai giá trị của đại lượng thứ nhất (9 bộ và 7 bộ  và một giá trị của đại lượng thứ hai (45 m). Ta phải tìm một giá trị chưa biết của đại lượng thứ hai (đó là số mét vải để may 7 bộ quần áo).
Ta tóm tắt bài toán như sau:

9 bộ : 45 m
7 bộ : ? m

Bài toán này sẽ được giải theo hai bước sau đây:

1 bộ : ? m
7 bộ : ? m

Lời giải

Số mét vải để may một bộ quần áo là:

45: 9 = 5 (m)

Số mét vải để may một bộ quần áo là

5 × 7 = 35 (m)

Bài toán trên đã được giải bằng phương pháp rút về đơn vị. Cách giải theo phương pháp này thường được tiến hành theo hai bước:

  1. Tìm xem một đơn vị của đại lượng thứ nhất tương ứng với một giá trị nào của đại lượng thứ hai (ở bài toán này thì 1 bộ quần áo ứng với 5m vải). Để làm việc này ta có thể thực hiện phép tính chia.
  2. Có bao nhiêu đơn vị của đại lượng thứ nhất thì có bấy nhiêu lần giá trị tương ứng (vừa tìm) của đại lượng thứ hai. Giá trị này của đại lượng thứ hai chính là số phải tìm trong bài toán (ở bài toán này thì 7 bộ quần áo ứng với 35m vải). Để làm việc này ta có thể thực hiện phép tính nhân.

Ví dụ 2. Có 50 m vải may được 10 bộ quần áo như nhau. Hỏi có 40m vải cùng loại thì may được mấy bộ quần áo như thế?

Phân tích. Trong bài toán này người ta đã cho biết hai giá trị của đại lượng thứ nhất (50m và 40m) và một giá trị của đại lượng thứ hai (10 bộ). Ta phải tìm một giá trị chưa biết của đại lượng thứ hai (đó là số bộ quần áo may được từ 40m vải). Ta tóm tắt bài toán như sau:

50m : 10 bộ
40m : ? bộ

Bài toán này sẽ được giải theo hai bước sau đây:

? m : 1 bộ
40m : ? bộ

Lời giải

Số mét vải để may 1 bộ quần áo là

50: 10 = 5 (m)

Số bộ quần áo may được là:

40: 5 = 8 (bộ)

Ví dụ 3. Một xe máy đi 3 giờ được 60km. Hỏi xe đó đi trong 6 giờ được bao nhiêu ki lô mét? (Coi như vận tốc không đổi).

Phân tích. Tóm tắt bài toán như sau:

3 giờ : 60km
6 giờ : ?km

Lời giải
So sánh 6 giờ với 3 giờ ta thấy:

6: 3 = 2 (lần)

Vậy trong 6 giờ xe máy đi được:

60 × 2 = 120 (km)

Bài toán trên đã được giải bằng phương pháp tỉ số. Cách giải theo phương pháp này thường được tiến hành theo hai bước:

  • So sánh hai giá trị của đại lượng thứ nhất xem số này gấp mấy lần số kia (ở bài toán này 6 giờ gấp 2 lần 3 giờ)
  • Giá trị đã biết của đại lượng thứ hai cũng được tăng (hoặc giảm) đúng một số lần vừa tìm ở bước a, (ở bài toán này 60km được tăng gấp hai lần). Kết quả tìm được chính là số phải tìm trong bài toán.

Ngoài cách giải bằng phương pháp tỉ số, bài toán ở ví dụ 3 còn có thể giải bằng phương pháp rút về đơn vị:

Trong 1 giờ xe máy đi được là:

60: 3 = 20 (km)

Trong 6 giờ xe máy đi được là:

20 × 6 = 120 (km)

Ứng dụng phương pháp rút về đơn vị và phương pháp tỉ số về giải toán về đại lượng tỉ lệ thuận.

Ví dụ 4. Xe ô tô đi từ A đến B với vận tốc 36km/ giờ thì hết 4 giờ. Nếu đi từ A đến B hết 6 giờ thì ô tô đi với vận tốc bao nhiêu km/ giờ?

Phân tích. Tóm tắt bài toán như sau:

4 giờ: 36km/ giờ
6 giờ:?km/ giờ

Giả sử ô tô đi từ A đến B hết một giờ thì khi đó vận tốc của ô tô là:

36 × 4 = 144 (km/ giờ)

Nếu đi từ A đến B hết 6 giờ thì vận tốc của ô tô là:

144: 6 = 24 (km/ giờ)

Bài toán trên đã được giải theo phương pháp rút về đơn vị. Ngoài phương pháp rút về đơn vị, có thể giải bài toán này theo phương pháp tỉ số
bằng cách lập luận như sau:

Trên cùng một quãng đường thì thời gian và vận tốc tỉ lệ nghịch với nhau. Theo đầu bài ta vẽ sơ đồ vận tốc của ô tô trong hai lần chạy.

Vận tốc phải tìm của ô tô là:

36: 6 = 24 (km/ giờ)

Ví dụ 5. Để chuyên chở 39kg hàng hóa trên quãng đường dài 74km phải chi phí hết 12000 đồng. Hỏi phải chi phí hết bao nhiêu tiền nếu chuyên chở 26kg trên quãng đường dài 185km? (Giá cước chuyên chở tỷ lệ thuận với khối lượng hàng hóa và đường dài).

Phân tích. Tóm tắt bài toán như sau:

39kg – 74km – 12000 đồng
26 kg – 185km -? đồng

Ta có thể “tách” bài toán đã cho thành hai bài toán đơn giản hơn và tiến hành giải liên tiếp hai bài toán đó. Kết quả của bài toán thứ hai chính là đáp số của bài toán đã cho.

Ta tiến hành như sau:

a) Cứ chuyên chở 39kg (đi 74km) thì chi phí là 12 000 đồng. Vậy chuyên chở 26kg (đi 74km) thì chi phí là:

$\displaystyle \frac{12000 \times 26}{39}= 8000$ (đồng)

b) Chuyên chở (26kg) trên đường dài 74km thì chi phí là 8000 đồng. Vậy chuyên chở (26kg) đi trên đường dài 185km thì chi phí là:

$\displaystyle \frac{8000 \times 185}{74}= 20000$ (đồng)

Ứng dụng phương pháp rút về đơn vị và phương pháp tỉ số về giải toán về đại lượng tỉ lệ nghịch

Ví dụ 6. Hai bạn An và Cường được lớp phân công đi mua kẹo về liên hoan. Hai bạn nhẩm tính nếu mua loại kẹo giá 4000 đồng một gói thì được 21 gói. Hỏi cùng số tiền đó mà các bạn mua loại kẹo giá 7000 đồng 1 gói thì được bao nhiêu gói?

Phân tích: Trong bài toán này xuất hiện ba đại lượng:

  • một đại lượng không đổi là số tiền mua kẹo.
  • hai đại lượng biến thiên theo tương quan tỉ lệ nghịch là số gói kẹo mua được và tiền 1 gói kẹo.

Lời giải.

Cách 1:

Nếu giá 1000 đồng/gói thì số gói kẹo mua được là:

21 × 4 = 84 (gói kẹo)

Nếu giá 7000 đồng/gói thì số gói kẹo mua được là:

84 : 7 = 12 (gói kẹo)

Đáp số: 12 gói kẹo

Cách 2:

Nếu giá 1000 đồng/gói thì số gói kẹo mua được là:

21 × 4000 = 84000 (gói )

Nếu giá 7000 đồng/gói thì số gói kẹo mua được là:

84000 : 7000 = 12 (gói)

Đáp số: 12 gói kẹo

Cách 3:

Số tiền hai bạn mang đi mua kẹo là:

4000 × 21 = 84000 (đồng)

Số gói kẹo 7000 đ mua được là:

84000 : 7000 = 12 (gói)

Bài tập phương pháp rút về đơn vị, phương pháp tỉ số

Bài 1. Mua 6 ngòi bút hết 3000 đồng. Hỏi mua 12 ngòi bút như thế hết bao nhiêu tiền?

Bài 2. Một người tính rằng nếu mua 15kg gạo thì phải trả 30 000 đồng. Hỏi nếu người đó trả 6000 đồng thì mua được bao nhiêu kilôgam gạo?

Bài 3. Quãng đường từ cột điện thứ nhất đến cột điện thứ nhất đến cột điện thứ năm dài 480 bước. Hỏi quãng đường từ cột điện thứ hai đến cột điện thứ mười dài bao nhiêu bước, biết rằng khoảng cách giữa hai cột điện liên tiếp đều như nhau?

Bài 4. Một người đi xe máy từ A đến B mỗi giờ đi được 30km thì hết 3 giờ. Khi trở về từ B đến A người đó đi hết 6 giờ. Hỏi khi trở về mỗi giờ đi được bao nhiêu kilômét, biết rằng cả lúc đi và về đều không nghỉ ở dọc đường?

Bài 5. Trong kì thi chọn học sinh giỏi người ta thấy rằng cứ 5 bạn thì có hai bạn gái còn lại là con trai. Hãy tinh xem trong kì thi đó có bao nhiêu bạn gái, biết rằng có 240 bạn trai tham gia?

Bài 6. Một đơn vị có 45 người đã chuẩn bị đủ gạo ăn trong 15 ngày. Sau 5 ngày đơn vị đó tiếp nhận thêm 5 người nữa. Hãy tính xem số gạo còn lại đủ cho đơn vị ăn trong bao ngày nữa?

Bài 7. Theo dự định thì một đơn vị thanh niên xung phong phải làm xong quãng đường trong 10 ngày. Ngày hôm sau, vì có 10 người đã chuyển đi nơi khác trong 7 ngày nên đội thanh niên đã phải làm xong quãng đường đó trong 12 ngày. Hỏi lúc đầu đội thanh niên có bao nhiêu người?

Bài 8. Một đội 15 công nhân dự địng lắp xong một cái máy trong 20 ngày, mỗi ngày làm việc 8 giờ. Nếu thêm 5 người nữa mà cả đội mỗi ngày làm việc 10 giờ, thì lắp xong cái máy đó trong bao nhiêu ngày?

Bài 9. Người ta tính rằng cứ 3 ô tô chở hàng, mỗi ô tô đi 50km thì tiền chi phí tất cả là 120000 đồng. Vậy nếu 5 ô tô như thế, mỗi ô tô đi 100km thì chi phí hết tất cả bao nhiêu tiền?

Bài 10. Một ô tô chạy từ tỉnh A đến tỉnh B. Nếu chạy mỗi giờ 60km thì ô tô sẽ đến B vào lúc 15 giờ. Nếu chạy mỗi giờ 40km thì ô tô sẽ đến B vào lúc 17 giờ cùng ngày.

a) Hỏi tỉnh A cách tỉnh B bao nhiêu kilômét?
b) Hãy tính xem trung bình mỗi giờ ô tô phải chạy bao nhiêu kilômét để đến B vào lúc 16 giờ?