SKKN Các phương pháp nghiên cứu nguyên tử, ứng dụng của nguyên tử trong thực tiễn và trong các kì thi THPTQG, các kì thi Olympic Khu vực, Quốc tế

SKKN Các phương pháp nghiên cứu nguyên tử, ứng dụng của nguyên tử trong thực tiễn và trong các kì thi THPTQG, các kì thi Olympic Khu vực, Quốc tế

SIÊU SALE SHOPEE 12.12 https://shope.ee/1VOIDFMXxP TIKI https://bitly.global/CJK6J1

Điều kiện hoàn cảnh tạo ra sáng kiến:
II. Mô tả giải pháp
1. Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến
Vật lý nguyên tử là lĩnh vực vật lý học nghiên cứu các nguyên tử như một thể
cô lập của các electron và một hạt nhân nguyên tử. Nó chủ yếu quan tâm đến cấu
hình electron xung quanh nhân và các quá trình làm những cấu hình này thay đổi.
Điều này bao gồm các ion cũng như các nguyên tử trung hòa, trừ khi có quy định
khác, giả định rằng từ nguyên tử bao gồm các ion.
Ngành Vật lý nguyên tử sẽ cung cấp những kiến thức cơ bản về cấu trúc
nguyên tử, các nguyên tử một điện và nhiều điện tử hóa trị cũng như nguyên tắc sắp
xếp các nguyên tố trong bảng tuần hoàn, tác dụng của từ trường, điện trường lên
phổ năng lượng nguyên tử, quá trình hấp thụ và bức xạ của nguyên tử.
Vật lí nguyên tử luôn nằm trong chương trình thi Vật Lí trong nước và thế giới.
Tuy nhiên so với các phần khác Vật lí nguyên tử được đề cập đến ít hơn nhiều. Lí
do là những kiến thức cổ điển áp dụng cho nguyên tử đã bộc lộ nhiều thiếu hụt
nghiêm trọng như không giải quyết được như cường độ, bề rộng và cấu trúc tinh thể
của các vạch quang phổ, không thể làm rõ được những nguyên tử phức tạp hơn
hiđrô. Trong khi đó cơ học lượng tử có ưu thế hơn hẳn khi giải quyết các vấn đề
trên. Tuy nhiên trong giới hạn chương trình của học sinh chuyên THPT lại không
thể đề cập đến các nội dung liên quan đến xác suất, hàm sóng v.v… Chính vì vậy,
các tài liệu liên quan đến Vật lí nguyên tử cho học sinh chuyên là khá hiếm. Với
mong muốn giúp các em học sinh có thể tiếp cận Vật lí nguyên tử dưới quan điểm
cổ điển và hiện đại, chúng tôi đã biên soạn khá đầy đủ cả lí thuyết lẫn bài tập cũng
như ứng dụng lí thuyết về nguyên tử.
2. Mô tả giải pháp sau khi có sáng kiến
CHƯƠNG I. NGUYÊN TỬ
1.1 Mẫu nguyên tử Thomson.
1.1.1 Mẫu Nguyên tử Thomson.
Cuối thế kỷ 19 và đầu thế kỷ 20, các phát minh về thực nghiệm đã thực sự
chứng tỏ sự tồn tại của nguyên tử.Nhưng ngay sau đó, các nhà khoa học đã phát
hiện ra rằng, nguyên tử chưa phải là phần tử cuối cùng tạo nên mọi vật, bản thân
Các phương pháp nghiên cứu nguyên tử, ứng dụng của nguyên tử trong thực tiễn
và trong các kì thi THPTQG, các kì thi Olympic Khu vực, Quốc tế
Ths. Nguyễn Văn Huyên- THPT chuyên Lê Hồng Phong Nam Định Trang 3
nguyên tử có cấu trúc nội tại phức tạp nào đó.Việc đi tìm mô hình (mẫu) cấu trúc
của bản thân nguyên tử bỗng trở nên sôi động trong giới Vật lý.
Chỉ trong vòng 10 năm, từ 1903 đến 1913, ba giả thuyết về cấu trúc nội tại của
nguyên tử liên tiếp ra đời. Năm 1903, Joseph John Thomson, nhà vật lý người Anh
đưa ra một trong các mẫu nguyên tử đầu tiên, cho rằng vật chất trong nguyên tử
mang điện tích dương và được phân bố đều theo một hình cầu có đường kính vào
khoảng 1Å. Các điện tử (hay electron, ký hiệu e) mang điện âm phân bố đều và lơ
lửng trong hình cầu đó, khi điện tử dao động thì phát ra bức xạ điện từ vào không
gian.Mô hình về cấu trúc nguyên tử này được gọi là Mẫu nguyên tử Thomson, hay
mô hình “pudding mận”.
Hình 1: Mẫu nguyên tử “pudding mận” của Thomson
Trong thời gian dài mẫu nguyên tử củaThomson có vẻ như hợp lý. Nhưng sau
đó bằng cách cho những hạt đi xuyên sâu vào bên trong hạt nhân thì kết quả khác so
với đoán nhận lý thuyết theo mẫu Thomson.
1.1.2.Thí nghiệm Rutherford về tán xạ hạt anpha (α)
Các nhà khoa học dùng một nguồn phóng xạ tự nhiên phát ra chùm hạtanpha
(α) có vận tốc lớn.Chùm hạt α đi qua một khe hẹp đập vào một lá vàng mỏng, phía
sau lávàng là màn huỳnh quang, phủ lớp Sunfit kẽm nó cho ta một dấu hiệu loé sáng
khi có hạt α đập vào.
Hình 2: Thí nghiệm Rutherford về tán xạ hạt anpha
Các phương pháp nghiên cứu nguyên tử, ứng dụng của nguyên tử trong thực tiễn
và trong các kì thi THPTQG, các kì thi Olympic Khu vực, Quốc tế
Ths. Nguyễn Văn Huyên- THPT chuyên Lê Hồng Phong Nam Định Trang 4
Theo dự đoán hầu hết các hạt α sẽ xuyên qua lá vàng. Kết quả này dựa theo
mẫu nguyên tử Thomson là nguyên tử có các điện tích dương phân bố đều trong
nguyên tử. Như vậy các hạt α chỉ chịu tác dụng của điện trường rất yếu, và coi như
không chịu ảnh hưởng gì khi đi qua lá vàng, do vậy mà phương chuyển động ban
đầu không thay đổi. Thế nhưng kết quả thí nghiệm hoàn toàn khác với dự đoán.
Kết quả thí nghiệm là: Đa số các hạt α bay thẳng, xuyên qua lá vàng, nhưng số
ít bị lệch với những góc rất lớn, thậm chí có hạt bay trở lại. Kết quả thí nghiệm mâu
thuẫn với mẫu nguyên tử Thomson.
Hình 3: Kết quả thí nghiệm Rutherford về tán xạ hạt anpha
Như vậy để giải thích được hiện tượng này thì phải giả thuyết rằng trong
nguyên tử phải có một điện trường cực mạnh mới có thể làm cho các hạt α bị lệch
so với góc lớn.Từ đó Rutherfordbỏ mẫu nguyên tử Thomson và cho rằng các điện
tích dương trong nguyên tử phải tập trung lại trung tâm của nguyên tử và được gọi
là hạt nhân của nguyên tử. Như vậy mẫu nguyên tử của Rutherford được hình dung
gồm hạt nhân ở giữa tại đó tập trung toàn bộ điện tích dương và gần như toàn bộ
khối lượng của nguyên tử, xung quanh có các electron chuyển động.Với mô hình
như vậy có thể giải thích được hiện tượng tán xạ của chùm hạt.
1.2. Mẫu hành tinh nguyên tử của Rutherford
1.2.1. Mẫu hành tinh nguyên tử của RUTHERFORD
Năm 1911 dựa vào kết quả thí nghiệm tán xạ hạt anpha của mình,
RUTHERFORD đã đưa ra mẫu nguyên tử khác với mẫu nguyên tử của THOMSON
gọi là mẫu hành tinh nguyên tử RUTHERFORD có các nội dung cơ bản như sau:
– Nguyên tử gồm có hạt nhân chiếm một thể tích cực nhỏ ở chính giữa. Hạt nhân
mang điện tích dương và chiếm hầu hết khối lượng nguyên tử.
– Xung quanh hạt nhân là các electron chuyển động theo quỹ đạo elip hoặc tròn.
– Số electron đúng bằng nguyên tử số Z của nguyên tử. Tổng số điện tích dương của
Các phương pháp nghiên cứu nguyên tử, ứng dụng của nguyên tử trong thực tiễn
và trong các kì thi THPTQG, các kì thi Olympic Khu vực, Quốc tế
Ths. Nguyễn Văn Huyên- THPT chuyên Lê Hồng Phong Nam Định Trang 5
hạt nhân bằng tổng trị tuyệt đối của điện tích âm của các electron nên nguyên tử
trung hoà về điện. Mẫu hành tinh nguyên tử RUTHERFORD là mẫu nguyên tử cổ
điển thích hợp nhất cho phép áp dụng để giải thích được rất nhiều hiện tượng và tính
chất vật lý nên nó được sử dụng rộng rãi cho đến ngày nay.
Như vậy có thể thấy điểm khác biệt cơ bản của hai mẫu nguyên tử của
THOMSON và RUTHERFORD là ở sự phân bố của điện tích dương vầ điện tích
âm trong phân tử. Sự khác biệt này có thể hiểu dưới hình 4
Hình 4. Sự khác biệt giữa mẫu nguyên tử của Thomson và Rudơpho
Hạt nhân
mang
điện
tích
dương
Electron
chuyển
động
quanh hạt
nhân
Electron
Không gian
đồng nhất và
điện tích
dương
Các phương pháp nghiên cứu nguyên tử, ứng dụng của nguyên tử trong thực tiễn
và trong các kì thi THPTQG, các kì thi Olympic Khu vực, Quốc tế
Ths. Nguyễn Văn Huyên- THPT chuyên Lê Hồng Phong Nam Định Trang 6
1.2. 2. Góc tán xạ Rơdơpho (Rutherford)
Khi khảo sát sự tán xạ của chùm hạt  chiếu tới lá vàng mỏng, Rơdơpho không
thể giải thích được hiện tượng bằng mẫu nguyên tử Tomxơn. Ông đã đưa ra giả
thuyết mới là trong nguyên tử có một trung tâm tích điện dương và hầu như tập
trung toàn bộ khối lượng của nguyên tử có bán kính nhỏ hơn bán kính nguyên tử
nhiều lần gọi là hạt nhân nguyên tử. Kích thước của nguyên tử xác định bởi khoảng
cách từ tâm là hạt nhân cho đến các electron phân bố xung quanh hạt nhân.
Để chứng minh giả thuyết này, ông đã xây dựng lí thuyết tán xạ và đối chiếu
nó với thực nghiệm như sau: Một hạt  khối lượng m điện tích q = 2e bay với vận
tốc v thâm nhập vào vùng tác dụng của lực Culông của hạt nhân mang điện tích Z.e
gây ra. Giả sử hạt nhân đứng yên và hạt  sẽ bị lực đẩy của hạt nhân thay đổi quỹ
đạo bay như hình vẽ.
Lực Culông giữa hạt  và hạt nhân.
2
2
2Ze
F k
r
= (1)
Từ hình vẽ ta có thể thấy, b càng nhỏ thì r càng nhỏ, lực Culông càng mạnh và
góc tán xạ  càng lớn và ngược lại. Chúng ta sẽ khảo sát hiện tượng trên bằng lí
thuyết.
Các phương pháp nghiên cứu nguyên tử, ứng dụng của nguyên tử trong thực tiễn
và trong các kì thi THPTQG, các kì thi Olympic Khu vực, Quốc tế
Ths. Nguyễn Văn Huyên- THPT chuyên Lê Hồng Phong Nam Định Trang 7
Độ biến thiên động lượng của hạt  là:
2 sin 2 sin 0
2 2
p p mv
 
 = = (2)
Mặt khác,
0 0
cos sin
2
t
p F dt F d
 

  
–  
 = = +  
    (3)
Do tương tác giữa hạt  với hạt nhân trong trường xuyên tâm nên mômen động
lượng được bảo toàn:
mvb m r const = =  2 (4)
Thay (1) và (4) vào (3):
2 2
0
2 4
sin cos
2 2
kZe Ze
p d
vb vb
 
 
 
–  
 = + =  
   (5)
Từ (2) và (5), ta có:
2
2
2
tan
2
Ze
mv b

= (6)
Kết quả (6) phản ánh quá trình tán xạ của một hạt lên một hạt nhân phù hợp với
thực nghiệm.
Bây giờ ta sẽ xét cả chùm hạt  tới lá
kim loại. Giả thiết chùm hạt  bay song
song và cách đều nhau có tiết diện ngang là
S. Những hạt  cách trục một khoảng b thì
sẽ tán xạ với góc , còn những hạt  cách
trục một khoảng b db + thì sẽ tán xạ dước
góc   + d .
Xác suất hạt  bị tán xạ trên một hạt nhân là
tỉ số giữa diện tích hình vành khăn
Các phương pháp nghiên cứu nguyên tử, ứng dụng của nguyên tử trong thực tiễn
và trong các kì thi THPTQG, các kì thi Olympic Khu vực, Quốc tế
Ths. Nguyễn Văn Huyên- THPT chuyên Lê Hồng Phong Nam Định Trang 8
dS bdb = 2 bao quanh hạt nhân và tiết diện S của chùm hạt :
2
d nS bn db W 2 bdb
S

= =    (7)
Trong đó: n là mật độ nguyên tử lá kim loại gây tán xạ
 là bề dày lá kim loại

SIÊU SALE SHOPEE 12.12 https://shope.ee/1VOIDFMXxP TIKI https://bitly.global/CJK6J1
Mà từ (6) ta có:

2 2
1 2
2 2
sin
2
d mv
db
Ze



= (8)
Thay (6), (8) vào (7):
2
2 2
4
W
sin
4
kZe d
d n
mv


  
=  
 
(9)
Trong đó: d d  = 2 sin    là góc khối bao quanh góc tán xạ của chùm hạt  từ
góc  đến   + d .
Công thức (9) là công thức Rơdơpho đối với quá trình tán xạ của chùm hạt 
lên lá kim loại.
Rơdơpho cho rằng electron phải chuyển động quanh hạt nhân theo các quỹ đạo
khép kín tương tự như các hành tinh quay quanh Mặt Trời. Vì vậy mẫu nguyên tử
của ông còn gọi là mẫu hành tinh nguyên tử.
Nhưng theo quan điểm của điện động lực học thì một hệ như vậy không thế tồn
tại bền vững vì khi electron chuyển động tròn thì tương đương với một dòng điện
tròn khép kín có mômen lưỡng cực điện và mômen từ. Mômen lưỡng cực điện quay
sẽ biến thiên tuần hoàn theo thời gian gây nên bức xạ sóng điện từ. Năng lượng liên
kết giữa electron và hạt nhân sẽ giảm dần và cuối cùng electron sẽ rơi vào trong hạt
nhân, nguyên tử sẽ không tồn tại. Ý tưởng xây dựng mẫu nguyên tử theo cơ học
thiên thể đã không thành công.
1.2.3. Hạn chế của mẫu hành tinh nguyên tử của RUTHERFORD
– Theo mẫu nguyên tử RUTHERFORD thì các elctrron quay tròn (gần tròn)
xung quanh hạt nhân, như vậy nó sẽ tạo thành dòng điện tròn (dòng điện phân tử).
Trong trường hợp đó nó phải bức xạ năng lượng liên tục và quang phổ của nguyên
Các phương pháp nghiên cứu nguyên tử, ứng dụng của nguyên tử trong thực tiễn
và trong các kì thi THPTQG, các kì thi Olympic Khu vực, Quốc tế
Ths. Nguyễn Văn Huyên- THPT chuyên Lê Hồng Phong Nam Định Trang 9
tử phải là quang phổ liên tục. Thực nghiệm lại thu được quang phổ của nguyên tử là
quang phổ vạch. Đây là một hạn chế của mẫu hành tinh nguyên tử RUTHERFORD:
không cho phép giải thích nguyên nhân gây ra quang phổ vạch của nguyên tử.
– Theo mẫu hành tinh nguyên tử RUTHERFORD thì electron khi quay quanh
hạt nhân trong nguyên tử phải bức xạ năng lượng liên tục (sóng điện từ) như vậy
năng lượng của nó phải giảm dần theo thời gian. Vận tốc quỹ đạo của electron sẽ
giảm dần, nó sẽ bị rơi vào hạt nhân và nguyên tử sẽ bị huỷ trong thời gian rất bé.
Như vậy nguyên tử không thể tồn tại bền vững. Điều này trái với thực tế: trong tự
nhiên nguyên tử tồn tại vô cùng bền vững.
1.3. Mẫu nguyên tử Bohn
1.3.1. Quy luật quang phổ nguyên tử Hydro
Thí nghiệm cho thấy các bước sóng trong quang phổ Hydro hợp thành một dãy
vạch gián đoạn.
Hình 5:Quang phổ vạch của nguyên tử hiđrô
Phổ vạch nguyên tử không thể giải thích được bằng thuyết cổ điển.
1.3.2. Hai tiên đề của BOHR
Nhìn lại hai mẫu nguyên tử THOMSON và RUTHERFORD, ta nhận thấy có
những mặt được và mặt chưa được. Trong mẫu nguyên tử THOMSON bắt các
electron “bơi” trong quả cầu nhiễm điện dương, còn trong mẫu nguyên tử
RUTHERFORD bắt các electron “quay quanh” hạt nhân đều không hợp lý. Như vậy
chứng tỏ không thể áp dụng rập khuôn cơ học cổ điển cho thế giới nguyên tử. Muốn
thoát khỏi những bế tắc này chỉ có cách phải từ bỏ các phương pháp truyền thống
của vật lý học cổ điển, sáng tạo ra lý thuyết mới. N.BOHR là người đã đi theo
hướng tìm kiếm lý thuyết mới cho thế giới vi mô – thế giới nguyên tử.
Các phương pháp nghiên cứu nguyên tử, ứng dụng của nguyên tử trong thực tiễn
và trong các kì thi THPTQG, các kì thi Olympic Khu vực, Quốc tế
Ths. Nguyễn Văn Huyên- THPT chuyên Lê Hồng Phong Nam Định Trang 10
1. Tiên đề về trạng thái dừng
Nguyên tử chỉ tồn tại trong những trạng thái có năng lượng xác định và gián
đoạn, hợp thành một chuỗi các giá tr ị E1, E2, …, En, .. gọi là trạng thái dừng. Trong
trạng thái dừng electron không bức xạ mà chỉ chuyển động trên quỹ đạo tròn gọi là
quỹ đạo lượng tử có bán kính thoả mãn điều kiện lượng tử hoá của BOHR:
Mômen động lượng L = mevr = nℏ
Trong đó: n là số nguyên dương, ℏ = h/2π = 1,055.10-34 Js là hằng số Plank rút gọn,
r là bán kính quỹ đạo BOHR, me là khối lượng electron, v là vận tốc electron trên
quỹ đạo dừng.
2. Tiên đề về bức xạ và hấp thụ
Nguyên tử chỉ phát xạ hay hấp thụ năng lượng dưới dạng bức xạ điện từ khi nó
chuyển từ trạng thái dừng này sang trạng thái dừng khác, tức là electron chuyển từ
quỹ đạo dừng này sang quỹ đạo dừng khác. Tần số của bức xạ điện từ mà nguyên tử
phát xạ hay hấp thụ được tính theo biểu thức:
E E nk ni
f
– h
= (10)
Trong đó Enk; Ein là mức năng lượng trạng thái đầu và trạng thái cuối của
nguyên tử (tức năng lượng electron). Nếu Enk > Ein thì nguyên tử phát xạ năng
lượng, ngược lại thì nguyên tử hấp thụ năng lượng.
1.3.3. Cấu trúc của nguyên tử theo lý thuyết BOHR
1. Cấu trúc của nguyên tử Hyđrô
Trong nguyên tử nói chung, trong nguyên tử Hyđrô nói riêng, lực tĩnh điện (
Lực Coulumb) đóng vai trò làm lực hướng tâm (ta bỏ qua tương tác hấp dẫn vì nó
rất nhỏ).
2 2 2 2
2 2 2
e e
hd ht
ke ke m v m v
F f
r r r
=  =  = (11)
Vì năng lượng của hạt electron trong nguyên tử bao gồm động năng
2
e 2
d
m v
E =
và thế năng trong trường tĩnh điện nên ta có thể tính năng lượng
2
t
ke
E
r
= – của
electron theo công thức:
Các phương pháp nghiên cứu nguyên tử, ứng dụng của nguyên tử trong thực tiễn
và trong các kì thi THPTQG, các kì thi Olympic Khu vực, Quốc tế
Ths. Nguyễn Văn Huyên- THPT chuyên Lê Hồng Phong Nam Định Trang 11
2 2 2
0
2 2
e
d t
m v ke ke
E E E
r r
= + = – = – 

(12)

Công thức trên cho thấy năng lượng electron trong nguyên tử là âm, chứng tỏ
nguyên tử tồn tại bền vững.
Theo điều kiện lượng tử hoá của BOHR ta có:
2 2
2
e e 2 4 2 2
e
h n h
L m vr n m v
  r m
= =  =

SIÊU SALE SHOPEE 12.12 https://shope.ee/1VOIDFMXxP TIKI https://bitly.global/CJK6J1
(13)

Kết hợp (13) và (14) ta được:
2 2 2 2 2
4 4 2 2 2
e e
ke n h n h
r
r m r km e  
=  =
Vì bán kính quỹ đạo r phụ thuộc vào số nguyên n nên ta thêm chỉ số n :
2 2
n 4 2 2
e
n h
r
km e 
= (15)
Công thức (15) là công thức xác định bán kính quỹ đạo dừng trong nguyên tử
Hyđrô. Công thức này cho thấy bán kính quỹ đạo dừng không thể nhận giá trị liên
tục mà chỉ có khả năng nhận một số giá trị gián đoạn, rời rạc. Đây là một tính chất
hoàn toàn mới chỉ có thể nhận được từ lý thuyết BOHR:
Tính chất lượng tử hoá quỹ đạo.
Cũng từ (I.5) cho ta thấy bán kính quỹ đạo lượng tử tỷ lệ với bình phương các số tự
nhiên. Khi n = 1 thì bán kính nhận giá trị nhỏ nhất và được gọi là bán kính quỹ đạo
BOHR thứ nhất. Giá trịcủa bán kính quỹ đạo BOHR thứ nhất là:
11 0
r a m 1 =  = 5,3.10 ( ) 0,53(A ) – (16)
Tương tự ta thiết lập công thức tính vận tốc của electron trên quỹ đạo dừng như
sau:m
e n n 2 2
n e
h nh
L m v r n v
  r m
= =  =

Thay (I.5) vào ta được:

2 2
n
ke
v
nh

= (17)
(17) là công thức xác định vận tốc của electron trên quỹ đạo dừng. Vận tốc
cũng bị lượng tử hoá. Trên một quỹ đạo xác định thì vận tốc của electron hoàn toàn
Các phương pháp nghiên cứu nguyên tử, ứng dụng của nguyên tử trong thực tiễn
và trong các kì thi THPTQG, các kì thi Olympic Khu vực, Quốc tế
Ths. Nguyễn Văn Huyên- THPT chuyên Lê Hồng Phong Nam Định Trang 12
xác định và không hề thay đổi theo thời gian, điều đó cũng có nghĩa là nguyên tử
tồn tại bền vững. Vận tốc của electron ở quỹ đạo BOHR thứ nhất là lớn nhất. Càng
“nhảy lên” quỹ đạo cao vận tốc của electron càng giảm (tỷ lệ nghịch với số nguyên
n). Ta có thể tính vận tốc electron trên quỹ đạo bất kì. Chẳng hạn trên quỹ đạo cơ
bản vận tốc của nó là :
9 19 2
1 34
2. 9.10 .(1,6.10 )
2183889( / s)
1.6,625.10
v m
 –

=  (18)
Ta thấy rằng vận tốc này rất lớn.
Thay biểu thức bán kính quỹ đạo BOHR vào biểu thức năng lượng (I.3) ta thu được
biểu thức:
2 2 2 4
2 2
2
2
e
n
n
ke k e m
E
r n h

= – = – (19)
Công thức này cũng cho thấy năng lượng cũng bị lượng tử hoá.
Vì vận tốc, bán kính quỹ đạo, năng lượng đều bị lượng tử hoá và đều phụ thuộc vào
số nguyên dương n, nên n được gọi là lượng tử số chính
Kết quả tính toán trên cho thấy khi electron nhảy lên trạng thái kích thích càng
cao thì các mức năng lượng càng xích lại gần nhau hơn. Đây là lý do vì sao ta rất kh
ó phân biệt các mức năng lượng cao kế tiếp nhau. Cũng vì vậy ta khó quan s át đượ
c các vạch quang phổ bậc cao trong thí nghiệm. Thực tế chỉ có thể quan sát đượ c
một số vạch quang phổ ở đầu mỗi d ãy quang phổ nguyên tử.
Khi cho n → ∞ thì En → 0 nghĩa là nguyên tử đã bị Iôn hoá. Ta cũng có thể xem
năng lượng cơ bản E1 là năng lượng Iôn hoá nguyên tử.
Công thức Balmer tổng quát
Từ các công thức thực nghiệm về quang phổ phát xạ của nguyên tử Hyđrô ,
Balmer đã xây dựng một công thức cho phép xác định bước sóng của vạch quang
phổ nguyên tử Hyđrô bất kì. Công thức đó được gọi là công thức Balmer tổng quát:
2 2
1 1 1
i k
R
 n n
 
= –  
 
(20)
Công thức này cũng có thể được chứng minh dựa trên tiên đề thứ hai của
BOHR.
Các phương pháp nghiên cứu nguyên tử, ứng dụng của nguyên tử trong thực tiễn
và trong các kì thi THPTQG, các kì thi Olympic Khu vực, Quốc tế
Ths. Nguyễn Văn Huyên- THPT chuyên Lê Hồng Phong Nam Định Trang 13
2 2 4
3 2 2
2 2 4
3 2 2 2 2
2 1 1
1 1 1 1 1 2
n n k i e
i k
e
i k i k
c E E k m e
f
h h n n
k m e
R
ch n n n n




–  
= = = –  
 
   
 = – = –    
   
trong đó:
2 2 4 2 9 2 31 19 4
7
3 8 34 3
2 2 .(9.10 ) .9,1.10 .(1,6.10 )
1,09.10 (1/ )
3.10 .(6,625.10 )
k m e e
R m
ch
  – –

= =  là hằng số
Ridberg. Giá trị tính toán này chỉ có ý nghĩa gần đúng vì các hằng số ta sử dụng ở
đây có sai số.
2. Cấu trúc của các Iôn tương tự Hyđrô
Những Iôn mà chỉ có duy nhất một electron ở lớp vỏ ngoài thì gọi là Iôn tương
tự Hyđrô Ví dụ He+1; Li+2,…Xét về mặt tương tác giữa electron với hạt nhân thì
Iôn tương tự Hyđrô hoàn toàn tương tự nguyên tử Hyđrô vì không có tương tác
nhiễu loạn giữa các electron với nhau.
Cấu trúc của các Iôn tương tự Hyđrô
Do chỉ có duy nhất một electron ở lớp ngoài nguyên tử nên ta có thể xét cấu
trúc các Iôn tương tự Hyđrô hoàn toàn tương tự như xét cấu trúc của nguyên tử
Hyđrô. Điều khác biệt duy nhấtở đây là điện tích hạt nhân của các Iôn này là +Ze
thay vì điện tích +1e như trường hợp của nguyên tử Hyđrô. Thực hiện tương tự như
mục (3.2) ta thu được các kết quả là:
– Bán kính quỹ đạo:
2 2
n 4 2 2
e
n h
r
Z km e 
= (21)

SIÊU SALE SHOPEE 12.12 https://shope.ee/1VOIDFMXxP TIKI https://bitly.global/CJK6J1
– Vận tốc trên quỹ đạo dừng:

vn Z ke 2 2
nh

= (22)
– Năng lượng electron trên quỹ đạo dừng:
2 2 2 4
2 2
2
e
n
Z k e m
E
n h

= – (23)
Các công thức (21,22,23) cho ta thấy bán kính quỹ đạo giảm đi Z lần, trong khi
đó vận tốc tăng lên Z lần. Khoảng cách giữa các mức năng lượng thì lớn hơn so với
của nguyên tử Hyđrô, và như vậy quang phổ của chúng chủ yếu nằm trong miền tử
ngoại.
Các phương pháp nghiên cứu nguyên tử, ứng dụng của nguyên tử trong thực tiễn
và trong các kì thi THPTQG, các kì thi Olympic Khu vực, Quốc tế
Ths. Nguyễn Văn Huyên- THPT chuyên Lê Hồng Phong Nam Định Trang 14
1.3.4. Phương pháp trường xuyên tâm trong mẫu BOHR
1. Chuyển động của electron trong trường thế xuyên tâm theo quan điểm của
cơ học cổ điển
Ta xét chuyển động của electron khối lượng m0 quanh hạt nhân, khi đó thế
năng của hệ electron – hạt nhân được cho bởi
V r ( )
 r
= – , với  =  kq2 0
lực tĩnh điện tác dụng lên m0 có độ lớn chỉ phụ thuộc vào r và có đường tác
dụng luôn đi qua tâm O của trường lực.
Momen của lực F với tâm O luôn bằng 0 và do đó momen xung lượng của
electron đối với tâm O là một đại lượng bảo toàn, nghĩa là
L r m v const =  = 0 (24)
Bán kính r xác định vị trí củaelectron luôn vuông góc với vecto L không đổi
cho nên:
quỹ đạo của electron là đường cong nằm trong mặt phẳng cố định ( ) P vuông
góc với L đi qua tâm O .
Hình 2.1 – Mặt phẳng quỹ đạo của electron
L
r
( ) P
Các phương pháp nghiên cứu nguyên tử, ứng dụng của nguyên tử trong thực tiễn
và trong các kì thi THPTQG, các kì thi Olympic Khu vực, Quốc tế
Ths. Nguyễn Văn Huyên- THPT chuyên Lê Hồng Phong Nam Định Trang 15
Khi nghiên cứu chuyển động của electron, thuận lợi hơn cả ta dùng hệ tọa độ
cực nằm trong mặt phẳng ( ) P có gốc tọa độ trùng với tâm O của trường lực.
Trọng hệ tọa độ cực, ta có:
2
L m r = 0 → 2
L 0
m r
 = (25)
Và E m r r V r = + + 12 0(   2 2 ) ( ) (26)
(Ở đây biểu thức về momen động lượng và năng lượng trong hệ tọa độ cực đã
được xây dựng ở phần I.)

Thay (1.3) vào (1.4), ta thu được:
(27)

( )
2
0 2
2 2
2 0
m L
r V r E
m r
 
   + + =
 
Nếu đặt : ( ) ( )
2 2 2
2 2
hd 2 2 0 0
L L
V r V r
m r r m r

= + = – + (1.6)

SIÊU SALE SHOPEE 12.12 https://shope.ee/1VOIDFMXxP TIKI https://bitly.global/CJK6J1
thì ta có thể đưa phương trình (1.5) về dạng:

2 ( )
0
2
r E V r
m
 = –     (28)

hay :

( )
1 2
0
2
hd
dr
r E V r
dt m
 
 = =  –      
 
(29)
trong đó V r hd ( ) được gọi là thế năng hiệu dụng.
Hình 2.2 – thế năng hiệu dụng theo khoảng cách
Từ đồ thị thế năng hiệu dụng, ta có các nhận xét sau:
okhi E  0 thì
r r r A B   → mô tả chuyển động của electron tiến nhanh về hạt
nhân, trường hợp này không phù hợp với tính bền vững của nguyên tử.
o(V E hd )min   0 thì r r r B D   → chuyển động của electron là hữu hạn.
Vhd
E  0
(Vhd )min
O
rB
rA
rF rD
r
(V E hd )min   0
Các phương pháp nghiên cứu nguyên tử, ứng dụng của nguyên tử trong thực tiễn
và trong các kì thi THPTQG, các kì thi Olympic Khu vực, Quốc tế
Ths. Nguyễn Văn Huyên- THPT chuyên Lê Hồng Phong Nam Định Trang 16
o ( )
2
0
hd min 2 2
m
E V
 L
= = – thì
r r = F nghĩa là electron chuyển động theo quỹ đạo
là một đường tròn với tâm của quỹ đạo trùng với tâm trường lực.
Ta lấy dấu cộng trong (29) ứng với quá trình hàm r t ( ) tăng và lấy dấu trừ ứng
với quá trình hàm r t ( ) giảm.
Phân li biến số r , t trong (29) và tích phân hai vế, ta được
( )
1 0
2
0
2
hd
dr
t t
E V r
m
=  +
 
      –
 
 (30)

SIÊU SALE SHOPEE 12.12 https://shope.ee/1VOIDFMXxP TIKI https://bitly.global/CJK6J1
trong đó .

t const 0 = Rõ ràng, từ (30) ta xác định được hàm r t ( ) và sau đó đặt r t ( ) vào phương
trình (25) ta sẽ tìm được  (t).
Thật vậy, từ (25), ta có:
0 2 ( )
Ldt
d
m r t
 = (31)
Lấy tích phân hai vế phương trình này ta nhận được
( )
0 2 ( ) 0
L dr
t
m r t
  = +

(32)

ở đây 0 = const . Các phương trình (30) và (32) là các phương trình chuyển
động của electron trong nguyên tử Hidro. Rút dt từ (29) và sau đó thay vào (32) ta
nhận được phương trình quỹ đạo
( )
( )
2
0
1 0
2
0
2
hd
Ldr
m r
t
E V r
m
  = +
 
      –
 

hay ( )
2
0
0 1
2 2 2
2
0 0
2
2
Ldr
m r
L
E
m r m r
 

 – =
     
    + –
     
 (33)
Các phương pháp nghiên cứu nguyên tử, ứng dụng của nguyên tử trong thực tiễn
và trong các kì thi THPTQG, các kì thi Olympic Khu vực, Quốc tế
Ths. Nguyễn Văn Huyên- THPT chuyên Lê Hồng Phong Nam Định Trang 17
Đặt
o
1
u
r
= .
o
2 2 0
2
2m E
A B
L
= + .
o 0
2
m
B
L

= .
Thì phương trình (12) có thể viết lại: ( ) ( )
 ( )
0 1
2 2
d u B
A u B
 

 – = –
– –
 (34)
Thực hiện phép tích phân, ta được: ( 0 ) arccos u B
A
 
  –
 – =  
 
hay
1 cos( 0 )
p
r
e  
=
+ –
(35)

SIÊU SALE SHOPEE 12.12 https://shope.ee/1VOIDFMXxP TIKI https://bitly.global/CJK6J1
trong đó:

(36)

2
2
0
1 L
p
B m e
= = 1
2 2
2
0
2
e A EL 1
B m 
 
= = +  
 
Vì hàm cos là hàm số chẵn nên ta có thể bỏ dấu trừ phía trước (  – 0).
Phương trình (36) là phương trình của đường conic có tâm sai e , có tham số p và
có tiêu điểm nằm ở tâm của trường lực. Giá trị của 0 phụ thuộc vào cách chọn
hướng của trục cực trong mặt phẳng quỹ đạo. Nếu trục cực nối từ tâm của trường
lực đến điểm gần nhất của quỹ đạo thì 0 = 0 .
Theo giá trị của tâm sai e , ta phân loại quỹ đạo của electron như sau
okhi E  0 thì e  0. Quỹ đạo của electron là một đường hyberbol và chuyển
động của nó là vô hạn.
okhi E = 0 thì e =1. Quỹ đạo của electron là đường parabol và chuyển động
của nó là vô hạn.
okhi 0
V E mim   thì e 1. Quỹ đạo của electron là đường elip và chuyển động
của nó là giới nội.
Các phương pháp nghiên cứu nguyên tử, ứng dụng của nguyên tử trong thực tiễn
và trong các kì thi THPTQG, các kì thi Olympic Khu vực, Quốc tế
Ths. Nguyễn Văn Huyên- THPT chuyên Lê Hồng Phong Nam Định Trang 18
okhi ( )
2
0
hd min 2 2
m
E V
 L
= = – thì e = 0 và electron chuyển động theo đường tròn.
2. Chuyển động của electron trong nguyên tử
Bây giờ ta xét chi tiết hơn chuyển động của electron theo quỹ đạo elip. Từ
phương trình (1.14), ta có bán trục lớn a và bán trục nhỏ b của elip được xác định
từ các công thức đã biết trong hình giải tích
2
a
 E
= và
2 0
L
b
m E
= (37)
Trường hợp đơn giản nhất, e = 0, electron chuyển động trên quỹ đạo tròn. Từ
(36), ta có
2
0
1 2
m 2
E
 L
= – (38)
Như vậy, từ việc khảo sát bài toán chuyển động của electron trong trường thế
xuyên tâm theo cơ học cổ điển, ta có thể rút ra một số kết quả quan trọng sau:
oQuỹ đạo của electron là các trường tròn hoặc elip trong mặt phẳng cố định
( ) P vuông góc với L đi qua tâm O .
phương trình quỹ đạo trong hệ tọa độ cực, có dạng
1 cos( 0 )
p
r
e  
=
+ –
oMối liên hệ giữa các thông số quỹ đạo với năng lượng
2
a
 E
= và
2 0
L
b
m E
=
Mặc khác Bohr thừa nhận rằng momen động lượng của electron bị lượng tử
hóa đối với quỹ đạo tròn. Theo đó
L n =
Thay vào (38)
Các phương pháp nghiên cứu nguyên tử, ứng dụng của nguyên tử trong thực tiễn
và trong các kì thi THPTQG, các kì thi Olympic Khu vực, Quốc tế
Ths. Nguyễn Văn Huyên- THPT chuyên Lê Hồng Phong Nam Định Trang 19
0 2 0 ( )2
1 2 2 2 2
1
2 2
m m kq
E
n n

= – = –
Đặt :
0 ( 2 )2
1 2 13,6
2
m kq
E = – = – eV
Vậy mức năng lượng của electron trên các quỹ đạo tròn n là
2
13,6
n
E
n
= – eV
→ Mức năng lượng của electron tỉ lệ nghịch với bình phương các số nguyên.
Từ (1.17), ta có
2
2
2
2 0
r a n
E ke m
  
= = =  
 

đặtm là bán kính Bohr.

2
11
0 2
0
r 5,29.10
ke m

= = Vậy r n r = 2 0
→ Bán kính quỹ đạo tròn của electron tỉ lệ với bình phương các số nguyên.
Như vậy, kết hợp giữa cơ học cổ điển và thừa nhận sự lượng tử hóa của
momen quỹ đạo, ta xây dựng được một số kết quả quang trọng về mẫu nguyên tử
Hidro.
Các phương pháp nghiên cứu nguyên tử, ứng dụng của nguyên tử trong thực tiễn
và trong các kì thi THPTQG, các kì thi Olympic Khu vực, Quốc tế
Ths. Nguyễn Văn Huyên- THPT chuyên Lê Hồng Phong Nam Định Trang 20
CHƯƠNG II: NGUYÊN TỬ THEO LY THUYẾT LƯƠNG TỬ
2.1. Những luận điểm cơ bản của cơ học lượng tử :
2.1.1. Lương tinh song và hạt của hạt vi mô:
– Anh sáng là chùm các photon có khối lượng tĩnh bằng 0
– Anh sáng có tính lướng tính sóng hạt:
– Anh sáng có tính chất hạt và lan truyền theo các lượng tử có giá trị năng
lượng hoàn toàn xác định, có khối lượng, xung lượng và được hấp thụ cũng như
bức xạ các lượng tử năng lượng  = hf
– Anh sáng là một sóng điện từ được mô tả bằng phương trinh sóng và được
đặc trưng bằng cá đại lượng tần số và bước sóng.
– Các hạt vật chất khác như điện tử, proton, notron mezon, nguyên tử , phân tử
…là những hạt có khối lượng tĩnh khác 0.
– Khi nói đến tính chất hạt là nối đến tính chất mà vật lý cổ điển gắn cho nó.
Nghĩa là chuyển động trên các quỹ đạo xác định và được đặc trưng bằng các đại
lượng: năng lượng, xung lượng, khối lượng.
– Tính chất sóng là tính chất được mô tả bởi phương trình sóng và được đặc
trưng băng các đại lượng tần số và bước sóng.
Năm 1924, De Broiligle đã mở rộng quan điểm sóng hạt của ánh sáng và cho
rằng không chỉ ánh sáng mà mội hạt vật chất đề mang tính chất sóng. Giả thuyết
của De Broiligle “Chuyển động của mọi hạt tự do với xung lượng p và năng lượng
 được biểu diễn bởi sóng phẳng lan truyền theo phương chuyển
động của hạt với bước sóng  và tần số f được biểu diễn qua hệ thức:
 = ;
h
hf p

=
.
– Bản chất hạt: Các hạt vi mô đều có khối lượng m, kích thước r và chuyển
động với một tốc độ v xác định.
Các phương pháp nghiên cứu nguyên tử, ứng dụng của nguyên tử trong thực tiễn
và trong các kì thi THPTQG, các kì thi Olympic Khu vực, Quốc tế
Ths. Nguyễn Văn Huyên- THPT chuyên Lê Hồng Phong Nam Định Trang 21
– Bản chất sóng: Khi hạt vi mô chuyển động sẽ tạo ra một sóng, đặc trưng bởi
bước sóng . Tính chất sóng được thể hiện qua hiện tượng giao thoa và nhiễu xạ.
– Quan hệ giữa tính sóng và hạt của các hạt vi mô được thể hiện qua hệ thức:
mv
h
λ =
h – hằng số Planck = 6,625.10-27J.s;
m – khối lượng tĩnh của hạt vi mô.
v – tốc độ hạt vi mô.
2.1.2. Nguyên ly bất đinh Heisenberg;
Trong cơ học cổ điển chuyển động của hạt vĩ mô được xác định nếu biết
chính xác vị trí x và vận tốc của hạt, do đó có thể vẽ được quỹ đạo của hạt. Vì
phép đo không ảnh hưởng gì tới hệ được đo, vì năng lượng dừng để truyền đạt
thông tin là nhỏ và không đáng kể đối với hệ vĩ mô. Trong cơ học lượng tử, khái
niệm vận tốc không còn được xác định như đạo hàm của thời gian của quãng
đường đi của hạt giống như trong cơ học cổ điển.
Trong cơ học lượng tử một đại lượng nào đó có giá trị xác định tại thời điểm
nào đó thì sẽ không có các giá trị xác định ở các thời điểm tiếp theo. Các giá trị này
được xác định với mức độ xác suất. Vì khi chuyển sang hệ vi mô, năng lượng dùng
để truyền thông tin trở nên đáng kể vì nó cùng bậc với chính năng lượng phải đo,
do đó có thể làm thay đỏi trạng thái của hệ. Như vậy, vận tốc và vị trí của hạt
không được chính xác đồng thời và khái niệm quỹ đạo của hạt không còn chính
xác trong cơ học lượng tử . Đó là kết luận được Heisenberg đưa ra vào năm 1925:
“ Không thể xác định đồng thời chính xác toạ độ và xung lượng của một hạt
vi mô. Nếu toạ độ x được xác định với độ bất định ∆x và thành phần xung lượng px
được xác định với đọ bất định ∆px. Thì tích ∆x. ∆px có giá trị ít nhất vào bậc bằng
hằng số Plank : ∆x. ∆px ≥  .
Ý nghĩa: Hệ thức bất định là hệ thức cơ bản nhất của cơ học lượng tử. Hệ
thức được xem như một tiêu chuẩn để đánh giá, phân biệt trường hợp nào hạt tuân
theo quy luật cổ điển trường hợp nào hạt tuân theo quy luật lượng tử.
Các phương pháp nghiên cứu nguyên tử, ứng dụng của nguyên tử trong thực tiễn
và trong các kì thi THPTQG, các kì thi Olympic Khu vực, Quốc tế
Ths. Nguyễn Văn Huyên- THPT chuyên Lê Hồng Phong Nam Định Trang 22
2.1.3. Hàm song :
Trong cơ học lượng tử không thể mô tả chính xác đồng thời cả vị trí và xung
lượng.Vì vậy để mô tả trạng thái của hệ người ta dùng khái niệm mới là hàm sóng
 . Tất cả các thông tin về một hệ vật lý vi mô tại một thời điểm cho sẵn đều thu
được từ một hàm sóng  nào đó của hệ. Hàm  là một hàm phức,
đơn trị, liên tục của bán kính r và thời gian t và mô tả  = i (pr – Et)

.
2.1.4. Nguyên ly chông chất các trạng thái :
– Nếu một hệ lượng tử có thể ở một trong các trạng thái  1 hay ở trong một
trạng thái mô tả bằng hàmc  2  3 …..  n thì cũng có thể ở trong một trạng
thái được mô tả bằng hàm sóng  sao cho:
 = c11 + c22 + …….+ cnn (c1,c2 ….cn là hằng số phức tuỳ ý)
– Nếu nhân hàm sóng với một số phức tuỳ ý khác 0 thì hàm sóng mới đó cũng
sẽ tương ứng với một trạng thía mới của hệ:  ‘ = c .
– Sự chồng chất trạng thái trong cơ học lượng tử khác cơ bản với sự chồng
chất trạng thái trong cơ học cổ điển, tróng đó sự chồng chất trạng thái với chính nó
dẫn tới một doa động mới có biên độ lớn hơn hay nhỏ hơn. Thêm nữa là trong cơ
học cổ điển tồn tại trạng thái nghỉ, trong đó biên đọ bằng nhau tại mọi nơi. Còn lý
thuyết lượng tử , hàm sóng bằng không tại mọi điểm không gian tương ứng với sự
không có mặt của trạng thái.
2.1.5. Y nghia thống kê của hàm song:
Hàm sóng là một khái niệm bổ trợ được dùng trong cơ học lượng tử được
dùng để xác định các giá trị của đại lượng vật lý ở trong trạng thoá được xác định
bởi hàm sóng đó. Khi có hàm sóng thì ta sẽ thu được xác suất để xác định vị trí của
hạt trong hệ, chúng ta thấy chúng tại nơi nào đó trong không gian. Tức là đại lượng

SIÊU SALE SHOPEE 12.12 https://shope.ee/1VOIDFMXxP TIKI https://bitly.global/CJK6J1
bình phương momen modun của hàm sóng
tỷ lệ với xác suất tìm
thấy các giá trị toạ độ( vị trí ) của các hạt trong một thể tích nào đó

 2 = * = A2 d dV dV
2 2
 =  ; =  . Khả năng tìm thấy hạt trong toàn miền là: 2dV =1
V

Các phương pháp nghiên cứu nguyên tử, ứng dụng của nguyên tử trong thực tiễn
và trong các kì thi THPTQG, các kì thi Olympic Khu vực, Quốc tế
Ths. Nguyễn Văn Huyên- THPT chuyên Lê Hồng Phong Nam Định Trang 23
2.2. Phương trình Schrodinger cho nguyên tử H2 và các ion tương tự H2.
Xét nguyên tử hidro và các ion tương tự hidro như một hệ gồm eletron mang
điện tích –e và hạt nhân mạng điện tích + Ze. Hạt nhân coi như đứng yên, còn
electron chuyển động quanh hạt nhân dưới tác dụng của trường lực thế culông : U = – KZe2
r
Thành lập phương trình schordinger cho trường lực dừng (U không phụ
thuộc vào thời gian): ∆φ(x, y, z) + 2me (E -U) (x, y, z) = 0

U là hàm không phụ thuộc vào thời gian mà phụ thuộc vào khoảng cách từ hạt
nhân tới e . Để giải phương trình tách biến và giả trong hệ toạ độ cầu:

  

 




 = r12 r (r 2 r ) + r12 sin1     sin  + sin12 22 

=>

 + 2 2 ( + 2 ) = 0
r
kZe
me E

(39)
Phương trình (1) có nghiệm (r,,)duy nhất khi nghiệm  thỏa mãn điều kiện
chuẩn hoá ( đơn trị , liên tục, hữu hạn). Giải phương trình ta có:
+ Nếu E > 0: Phương trình cho nghiệm là hàm sóng với mọi giá trị E tuỳ ý
liên tục. Trường hợp này ứng với sự tán xạ của electron trên hạt nhân và phổ
năng lượng liên tục( không tạo thành nguyên tử).
+ Nếu E<0: phương trình cho nghiệm là hàm sóng khi E có các giá trị
2 4
2
n 2 2 2
mZ e
E k
n
= – . Trường hợp này ứng với trạng thái liên kết của hệ thống electron và
hạt nhân, đó chính là các trạng thái năng lượng dừng của nguyên tử H2. Phổ năng
lượng gián đoạn.
Giải phương trình Schodinger cho ta xác suất tìm thâý electron trong nguyên
tử ở chỗ này hay chỗ khác của nguyên tử . Nói chung electron không chuyển động

SIÊU SALE SHOPEE 12.12 https://shope.ee/1VOIDFMXxP TIKI https://bitly.global/CJK6J1

Xem bản đầy đủ trên google drive: TẠI ĐÂY

Các thầy cô cần file liên hệ với chúng tôi tại fanpage facebook O2 Education

SIÊU SALE SHOPEE 12.12 https://shope.ee/1VOIDFMXxP TIKI https://bitly.global/CJK6J1

Hoặc xem nhiều SKKN hơn tại:  Tổng hợp SKKN luận văn luận án O2 Education

SIÊU SALE SHOPEE 12.12 https://shope.ee/1VOIDFMXxP TIKI https://bitly.global/CJK6J1

Leave a Comment