dàn âm thanh hội trường, âm thanh lớp học, âm thanh phòng họp, loa trợ giảng

SKKN Hướng dẫn học sinh lớp 11,12 giải quyết bài toán góc, khoảng cách từ 2, 3 nét vẽ

SKKN Hướng dẫn học sinh lớp 11,12 giải quyết bài toán góc, khoảng cách từ 2, 3 nét vẽ

SGK, sách ôn thi, sách tham khảo giá rẻ

Các thầy cô cần file liên hệ với chúng tôi tại fanpage facebook O2 Education

Hoặc xem nhiều SKKN hơn tại:  Tổng hợp SKKN luận văn luận án O2 Education

SGK, sách ôn thi, sách tham khảo giá rẻ

Điều kiện hoàn cảnh tạo ra sáng kiến:
Trong môn toán ở trường THPT phần hình học không gian giữ một vai
trò, vị trí hết sức quan trọng. Ngoài việc cung cấp cho học sinh kiến thức, kĩ
năng giải toán hình học không gian, còn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm
chất của con người lao động mới như tính cẩn thận, chính xác, tính kỉ luật, tính
sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ, tư duy sáng tạo cho học sinh.
Trong chương trình toán lớp 11, 12, các bài toán về góc, khoảng cách
trong không gian xuất hiện ở hầu hết các đề thi định kì, đề thi học sinh giỏi, đề
thi THPTQG. Đối với học sinh đại trà, phần khoảng cách là mảng kiến thức khó
và thường để mất điểm trong các kì thi trên. Đối với học sinh giỏi, các em có thể
làm tốt phần này, tuy nhiên cách giải còn rời rạc, làm bài nào biết bài đấy và
thường tốn khá nhiều thời gian.
Trong sách giáo khoa, sách bài tập loại bài tập này khá nhiều song chỉ
dừng ở các bài tập đơn giản. Các tài liệu tham khảo ít có tài liệu phân loại một
cách rõ nét các phương pháp tính khoảng cách trong không gian.
Đối với các giáo viên, do lượng thời gian ít ỏi và việc tiếp cận các phần
mềm vẽ hình không gian còn hạn chế nên việc biên soạn một chuyên đề sắc nét,
có tính hệ thống về phần này còn gặp khó khăn.
Bản thân tôi đã dạy môn Toán 11, 12, giảng dạy các đối tượng học sinh
khác nhau, tôi thấy nếu chỉ giới thiệu đơn giản như sách giáo khoa, sách bài tập,
thậm chí theo một số tài liệu tham khảo thì nhiều học sinh Khá, Giỏi cũng chưa
tích cực giải quyết các bài toán khoảng cách ở mức độ vận dụng, vận dụng cao;
học sinh trung bình, yếu thì thường có tư tưởng bỏ qua các câu đó. Tuy nhiên
khi giới thiệu cách làm như trong sáng kiến tôi trình bày thì tôi thấy các ưu điểm
như:

  • Nhiều học sinh giải quyết được dễ dàng, nhanh chóng các bài toán về
    góc, khoảng cách, kể cả các bài toán khoảng cách trong các đề thi đại học. Với
    học sinh Khá, Giỏi, ý thức học tốt thì giải quyết càng nhanh và trơn tru. Với học
    sinh trung bình đòi hỏi các em phải luyện tập nghiêm túc thì cũng giải quyết tốt.
  • Do nắm được hướng giải quyết nên các học sinh đều tích cực, sẵn sàng
    tiếp nhận các bài toán khoảng cách, mà khi nói đến bài toán khoảng cách trong
    các đề thi đại học thì học sinh càng hào hứng.
  • Thay đổi được tư tưởng bỏ qua bài toán góc, khoảng cách ở một số học
    sinh.
  • Làm cho học sinh trở nên yêu thích phần Hình học không gian nói riêng
    và bộ môn Toán nói chung, bởi từ một phần học được học sinh coi là khó thì nay
    trở nên giải quyết một cách dễ dàng.
    2
  • Rèn tư duy, phát triển tư duy cho học sinh, điều đó sẽ giúp các em có
    hướng giải quyết tốt các vấn đề khó khăn trong cuộc sống, phát huy tính sáng
    tạo trong công việc.
    Những lí do đó là nguồn cảm hứng, là động lực thúc đẩy tôi viết ra sáng
    kiến kinh nghiệm này. Tài liệu cũng có thể giúp cho giáo viên bồi dưỡng chuyên
    môn, nâng cao khả năng bản thân.
    II. Mô tả giải pháp kỹ thuật
    II.1. Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến
    Tôi xin nhắc lại các dạng toán chính về góc và khoảng cách đó là góc giữa
    hai đường thẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng;
    khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, khoảng cách giữa hai đường thẳng
    chéo nhau mà sách Bài tập Hình học 11 và một số tài liệu tham khảo hướng dẫn:
    1) Góc giữa hai đường thẳng:
    Góc giữa hai đường thẳng
    a

    b
    trong không gian là góc giữa hai đường
    thẳng
    a ‘

    b’
    cùng đi qua một điểm bất kì lần lượt song song với
    a

    b .
    2) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
    Cho đường thẳng
    d
    và mặt phẳng
    ( ) P .
    +) Nếu đường thẳng
    d
    vuông góc với mặt phẳng
    ( ) P
    thì góc giữa đường
    thẳng
    d
    và mặt phẳng
    ( ) P
    bằng
    0
    90 .
    +) Nếu đường thẳng
    d
    không vuông góc với mặt phẳng
    ( ) P
    thì góc giữa
    đường thẳng
    d
    và hình chiếu
    d ‘
    của nó trên
    ( ) P
    được gọi là góc giữa đường
    thẳng
    d
    và mặt phẳng
    ( ) P .
    a
    b
    b’
    a’
    O
    d’
    d
    P
    O
    A
    H
    3
    3) Góc giữa hai mặt phẳng
  • Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với
    hai mặt phẳng đó.
    Nếu hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhau thì góc giữa hai mặt phẳng
    đó bằng
    0
    0 .
  • Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau:
    Cho hai mặt phẳng
    ( ) P

    ( ) Q
    cắt nhau theo giao tuyến
    c
    . Từ một điểm
    I
    bất kì trên
    c
    ta dựng đường thẳng
    a
    trong
    ( ) P
    vuông góc với
    c
    và dựng đường
    thẳng
    b
    trong
    ( ) Q
    vuông góc với
    c
    . Khi đó góc giữa
    ( ) P

    ( ) Q
    là góc giữa hai
    đường thẳng
    a

    b .
    4) Tìm khoảng cách từ điểm
    M đến
    mp P( )
  • Tìm hình chiếu
    H
    của
    M
    trên
    mp P( )
  • Tính
    MH
  • Phương pháp tìm hình chiếu
    H
    của
    M
    trên
    mp P( )
    :
    n
    Q m
    P
    c
    b
    a
    Q
    P
    I
    4
  • Tìm
    mp Q( )
    chứa
    M
    và vuông góc với
    mp P( )
    theo giao tuyến
    d
  • Từ
    M
    hạ
    MH
    vuông góc với
    d
    (
    H d 
    )

  • ( ) ( )
    ( ) ( )
    ( )
    ( )
    P Q
    P Q d MH P
    MH Q
    MH d
     ⊥

      =   ⊥
     

     ⊥
     = d M P MH ( ,( ))
    5) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
  • Trường hợp 1:
    a b,
    chéo nhau và
    a b,
    vuông góc với nhau
  • Chọn
    mp( ) 
    chứa
    a
    vuông góc với
    b
    tại
    B
  • Trong
    mp( ) 
    kẻ
    BA
    vuông góc với
    a
    tại
    A.
    Suy ra
    AB
    là đoạn vuông góc chung của
    a b, .
  • Trường hợp 2:
    a b,
    chéo nhau và
    a b,
    không vuông góc với nhau.
    Cách 1:
  • Dựng mặt phẳng
    ( ) 
    chứa
    a
    và song song với
    b .
    d
    mp(Q)
    P
    M
    H
    a
    α
    b
    B
    A
    a
    b
    α
    b’
    B
    A
    M
    M’
    5
  • Chọn
    M b 
    , dựng
    MM ‘ ( ) ⊥ 
    tại
    M ‘.
  • Từ
    M ‘
    dựng đường thẳng
    b b ‘/ /
    , cắt
    a
    tại
    A.
  • Từ
    A
    dựng
    AB MM / / ‘
    , cắt
    b
    tại
    B.

    AB
    là đoạn vuông góc chung của
    a b, .
    Chú ý:
    d a b AB MM d b ( , ) ‘ ( ,( )) = = = 
    Cách 2:
  • Dựng mặt phẳng
    ( )  ⊥ a
    tại O,
    ( ) 
    cắt
    b
    tại
    I .
  • Dựng hình chiếu vuông góc
    b’
    của
    b
    trên
    ( )  .
  • Trong mp
    ( ) 
    , dựng
    OH b ⊥ ‘
    tại
    H .
  • Từ
    H
    dựng đường thẳng song song với
    a
    , cắt
    b
    tại B.
  • Từ
    B
    dựng đường thẳng song song với
    OH
    , cắt
    a
    tại
    A.

    AB
    là đoạn vuông góc chung của
    a

    b .
    Chú ý:
    d a b AB OH ( , ) = =
    Nếu triển khai như sách giáo khoa, sách bài tập Hình học và một số tài liệu
    tham khảo thì cách làm đó là tổng quát, học sinh áp dụng được với các bài toán
    đơn giản, tuy nhiên thao tác phức tạp, khó nhớ nên các bài toán ở mức độ vận
    dụng cao hơn thì đa số học sinh gặp khó khăn trong việc xác định khoảng cách
    và tính toán.
    II.2. Mô tả giải pháp sau khi có sáng kiến
    a) Từ 2 nét vẽ xác định được góc giữa hai đường thẳng, góc giữa đường
    thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng, cụ thể:
  • Xác định góc giữa hai đường thẳng và ta lấy điểm bất kì và thực hiện:
    b’
    b
    a
    α
    A
    I H
    O
    B
    a b O
    a
    b
    b’
    a’
    (2)
    (1)
    O
    6
    +) Nét 1: Vẽ
    a a ‘/ /
    +) Nét 2: Vẽ
    b b ‘/ /
    Khi đó
    (a b a b , ‘; ‘ ) = ( )
  • Xác định góc giữa đường thẳng
    d
    và mặt phẳng
    ( P)
    , ta thực hiện theo các
    bước sau:
    +) Tìm giao điểm
    O
    của
    d
    với
    ( P)
    (thường có sẵn giao điểm hoặc xác
    định giao điểm dễ dàng).
    +) Nét 1: Từ điểm
    A
    bất kì trên
    d
    (không trùng
    O
    ) vẽ
    AH P ⊥ ( )
    tại
    H
    +) Nét 2: Nối
    OH
    . Đường thẳng
    d ‘
    chính là đường thẳng
    OH .
    Khi đó
    (d P d d AOH , , ( )) = = ( ) .
  • Xác định góc giữa hai mặt phẳng:
    Giả sử
    (P Q c )  = ( ) .
  • Nét 1: Từ điểm
    I c 
    , vẽ
    a P a c  ⊥ ( ),
  • Nét 2: Từ điểm
    I c 
    , vẽ
    b Q b c  ⊥ ( ),
    Khi đó
    ((P Q a b ); ; ( )) = ( )
    b) Từ 3 nét vẽ xác định được khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
    Từ ba đối tượng điểm, đường thẳng, mặt phẳng có các loại khoảng cách:
    d’
    d
    (2)
    (1)
    P
    O
    A
    H
    c
    a
    b
    (2)
    (1)
    Q
    P
    I
    7

Như vậy từ ba đối tượng: điểm, đường thẳng, mặt phẳng có các loại khoảng
cách trên, trong đó hai loại khoảng cách quan trọng nhất là khoảng cách từ một
điểm đến một mặt phẳng, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. Hai loại
khoảng cách này thường xuất hiện trong các đề thi, nhiều câu là câu hỏi dùng để
phân loại học sinh.
Trong các loại khoảng cách trên thì vấn đề trọng tâm là khoảng cách từ một
điểm đến một mặt phẳng, trong đó mấu chốt là khoảng cách từ chân đường cao
đến một mặt phẳng chứa đỉnh. Tài liệu này tôi giúp học sinh giải quyết dễ dàng
bài toán mấu chốt đó từ 3 nét vẽ cơ bản.
Chẳng hạn tính khoảng cách từ chân đường cao
H
đến mặt phẳng
( ) P
như
hình:
Đường thẳng Mặt phẳng
Điểm
Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song
Mặt phẳng
Đường thẳng
Khoảng cách từ điểm→ mặt phẳng
Khoảng cách từ điểm→ đường thẳng
Khoảng cách từ điểm→ điểm (là bài toán cơ bản xuyên suốt trong mọi bài
toán tính khoảng cách, thường tính bằng hệ thức lượng trong tam giác) Điểm
Các đối tượng
8
3 nét cơ bản đó là:

  • Nét 1: Kẻ
    HI a ⊥
    tại
    I
    (
    a
    là giao tuyến của mp(P) và mp đáy)
  • Nét 2: Nối
    SI
  • Nét 3: Kẻ
    HK SI ⊥
    tại
    K
    Khi đó:
    d H P HK ( ,( )) =
    Có thể nói đây là 3 nét vẽ vi diệu, vì nó đơn giản nhưng giúp ta giải quyết
    hầu hết các bài toán khoảng cách ở mức độ vận dụng, vận dụng cao.
    Các loại khoảng cách: khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau,
    khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, khoảng cách giữa hai
    mặt phẳng song song đều được chuyển về bài toán khoảng cách từ một điểm đến
    một mặt phẳng.
    So với giải pháp cũ thì cách làm này đơn giản, dễ nhớ lại giải quyết dễ dàng
    bài toán. Vì vậy nắm được 3 nét vẽ cơ bản trên ta sẽ giải quyết được dễ dàng bài
    toán mấu chốt: Khoảng cách từ chân đường cao đến một mặt phẳng chứa đỉnh,
    từ đó giải quyết được hầu hết các bài toán khoảng cách.
    Trong lời giải tự luận bài toán tính khoảng cách, thường yêu cầu học sinh
    trình bày được 3 ý chính:
  • Dựng hình
  • Chứng minh
  • Tính
    Sáng kiến đi sâu vào hai loại khoảng cách quan trọng nhất là khoảng cách
    từ một điểm đến một mặt phẳng, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
    với nhiều ví dụ minh họa từ dễ đến khó, nhiều mô hình chóp như chóp tam giác
    (tam giác vuông, tam giác đều,…), chóp tứ giác (đáy là hình vuông, hình thoi,
    hình chữ nhật, hình thang vuông,…) , chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy,
    một mặt bên vuông góc với đáy, hai mặt bên vuông góc với đáy,…; mô hình
    hình lăng trụ. Sáng kiến cũng cập nhật nhiều bài toán khoảng cách trong các đề
    thi Đại học, đề thi THPT Quốc gia những năm gần đây. Từ đó học sinh được
    thực hành, trải nghiệm với nhiều mô hình, được tiếp xúc với các đề thi Đại học,
    đề thi THPT Quốc gia, tăng thêm kĩ năng, tư duy, kinh nghiệm cho bản thân.
    a (3)
    (2)
    (1)
    mp đáy
    mp(P)
    H I
    S
    K
    9
    NỘI DUNG SÁNG KIẾN
    A. KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NHỚ
    I. Góc
  1. Góc giữa hai đường thẳng:
    Định nghĩa: Góc giữa hai đường thẳng
    a

    b
    trong không gian là góc
    giữa hai đường thẳng
    a ‘

    b’
    cùng đi qua một điểm bất kì lần lượt song song
    với
    a

    b .
  2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
    Định nghĩa: Cho đường thẳng
    d
    và mặt phẳng
    ( ) P .
    +) Nếu đường thẳng
    d
    vuông góc với mặt phẳng
    ( ) P
    thì góc giữa đường
    thẳng
    d
    và mặt phẳng
    ( ) P
    bằng
    0
    90 .
    +) Nếu đường thẳng
    d
    không vuông góc với mặt phẳng
    ( ) P
    thì góc giữa
    đường thẳng
    d
    và hình chiếu
    d ‘
    của nó trên
    ( ) P
    được gọi là góc giữa đường
    thẳng
    d
    và mặt phẳng
    ( ) P .
  3. Góc giữa hai mặt phẳng
  • Định nghĩa: Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt
    vuông góc với hai mặt phẳng đó.
    Nếu hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhau thì góc giữa hai mặt phẳng
    đó bằng
    0
    0 .
    a
    b
    b’
    a’
    O
    d’
    d
    P
    O
    A
    H
    10
  • Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau:
    Cho hai mặt phẳng
    ( ) P

    ( ) Q
    cắt nhau theo giao tuyến
    c
    . Từ một điểm
    I
    bất kì trên
    c
    ta dựng đường thẳng
    a
    trong
    ( ) P
    vuông góc với
    c
    và dựng đường
    thẳng
    b
    trong
    ( ) Q
    vuông góc với
    c
    . Khi đó góc giữa
    ( ) P

    ( ) Q
    là góc giữa hai
    đường thẳng
    a

    b .
    II. Khoảng cách
  1. Khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng.
    Cho điểm
    M
    và một đường thẳng

    . Trong
    mp M( ,)
    gọi
    H
    là hình chiếu
    vuông góc của
    M
    trên

    . Khi đó khoảng cách
    MH
    được gọi là khoảng cách từ
    điểm
    M
    đến
    .
    Kí hiệu là
    d M MH ( , =)
  2. Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng.
    n
    Q m
    P
    c
    b
    a
    Q
    P
    I
    α
    M
    H
    11
    Cho mặt phẳng
    ( )
    và một điểm
    M
    , gọi
    H
    là hình chiếu của điểm
    M
    trên
    mặt phẳng
    ( )
    . Khi đó khoảng cách
    MH
    được gọi là khoảng cách từ điểm
    M
    đến mặt phẳng
    ( ).
    Kí hiệu là
    d M MH ( ,( )) =
  3. Khoảng cách từ một đường thẳng tới một mặt phẳng song song.
    Cho đường thẳng

    và mặt phẳng
    ( )
    song song với nhau. Khi đó khoảng
    cách từ một điểm bất kì trên

    đến mặt phẳng
    ( )
    được gọi là khoảng cách
    giữa đường thẳng

    và mặt phẳng
    ( ).
    d d M M ( =  , , , (  )) ( ( )) .
  • Nếu

    cắt
    ( ) 
    hoặc

    nằm trong
    ( ) 
    thì
    d( ,( )) 0  =  .
  1. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song.
    Cho hai mặt phẳng
    ( )

    ( )
    song song với nhau, khoảng cách từ một
    điểm bất kì trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia được gọi là khoảng cách giữa
    hai mặt phẳng
    ( )

    ( ).
    α
    H
    M
    α
    H
    M
    β
    α
    H
    M
    12
    d d M d H ((    ), , , ( )) = = ( ( )) ( ( ))
    với
    M H   (  ), ( ) .
  2. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
  • Đường thẳng
    a
    cắt cả
     , ‘
    và cùng vuông góc với
     , ‘
    được gọi là đường
    vuông góc chung của
     , ‘
    .
  • Nếu
    a
    cắt
     , ‘
    tại M, N thì MN được gọi là đoạn vuông góc chung của
     , ‘ .
    Độ dài đoạn MN được gọi là khoảng cách giữa
     , ‘ .
  • Cách dựng đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau:
    +) Bước 1: Chọn mặt phẳng
    ( ) 
    chứa
    ’
    và song song với
     .
    +) Bước 2: Dựng
    d
    là hình chiếu vuông góc của

    xuống
    ( ) 
    bằng cách
    lấy điểm
    M 
    dựng đoạn
    MN ⊥ ( )
    , lúc đó
    d
    là đường thẳng đi qua
    N

    song song với
    .
    +) Bước 3: Gọi
    H d =  ’
    , dựng
    HK MN / /
    Khi đó
    HK
    là đoạn vuông góc chung của


    ’
    d HK MN ( , ‘)   = = .
  • Nhận xét:
    +) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa
    một trong hai đường thẳng đó với mặt phẳng chứa đường thẳng kia và song song
    với nó.
    +) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa
    hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó.

    a
    M
    N
    d
    α ‘
    K
    H
    M
    N
    13
    B. MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP CƠ BẢN
    I. GÓC
  1. DẠNG 1: XÁC ĐỊNH GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
    Phương pháp giải:
  • Cách 1
    Để xác định góc giữa hai đường thẳng
    a và
    b
    ta lấy điểm
    O
    bất kì và
    thực hiện:
    +) Nét 1: Vẽ
    a a ‘/ /
    +) Nét 2: Vẽ
    b b ‘/ /
    Khi đó
    (a b a b , ‘, ‘ ) = ( )
  • Cách 2 (Ít sử dụng)
    Tìm hai vectơ chỉ phương lần lượt của hai đường thẳng . Khi
    đó góc giữa hai đường thẳng xác định bởi .
    Chú ý:
    +) Để tính ta chọn ba vec tơ không đồng phẳng mà có
    thể tính được độ dài và góc giữa chúng, sau đó biểu thị các vec tơ qua các
    vec tơ rồi thực hiện các tính toán.
    +) Ta thường chọn điểm O là điểm có sẵn trê

Xem bản đầy đủ trên google drive: TẠI ĐÂY

SGK, sách ôn thi, sách tham khảo giá rẻ

Các thầy cô cần file liên hệ với chúng tôi tại fanpage facebook O2 Education

Hoặc xem nhiều SKKN hơn tại: 

Tổng hợp SKKN luận văn luận án O2 Education

Tổng hợp SKKN môn hóa học cấp THPT

SGK, sách ôn thi, sách tham khảo giá rẻ


Comments

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *