SKKN Một số bài toán tích phân hàm ẩn
Các thầy cô cần file liên hệ với chúng tôi tại fanpage facebook O2 Education
Hoặc xem nhiều SKKN hơn tại: Tổng hợp SKKN luận văn luận án O2 Education
ĐIỀU KIỆN HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN
1. Từ năm học 2017 Bộ Giáo dục và Đào đã chính thức tuyển sinh đại học
từ bài thi tự luận sang thi trắc nghiệm với môn toán học.Từ đó chúng ta cũng
chuyển dần hình thức kiểm tra đánh giá từ tự luận sang trắc nghiệm đó là tự luận
kết hợp với trắc nghiệm hoặc trắc nghiệm hoàn toàn.Để học sinh nắm vững
được kiến thức Toán học cơ bản và có khả trả lời tốt câu hỏi thi trắc nghiệm,qua
nhiều năm trực tiếp giảng dạy tôi nhận thấy việc đổi mới phương pháp giảng
dạy và ôn thi theo hướng trắc nghiệm hiện nay là cần thiết nhằm giúp cho học
sinh nắm vững kiến thức, biết cách học đúng để trả lời chính xác câu hỏi theo
hướng thi trắc nghiệm.
2.Trên thực tế môn toán học nói chung, toán học 12 nói riêng có nhiều
kiến thức lý thuyết rất khó học,khó nhớ học sinh rất ngại học .Khi chuyển sang
kiểm tra đánh giá bằng trắc nghiệm thì có nhiều thuận lợi hơn,học sinh chỉ cần
nắm vững được bản chất của các đơn vị kiến thức,các tính chất là có thể làm tốt
bài thi trắc nghiệm.
Xuất phát từ lí do trên, là giáo viên tham gia trực tiếp giảng dạy môn toán học
lớp 12 trong đó có ôn thi HSG và ôn thi THPT quốc gia tôi đã dần hoàn thiện hệ
thống câu hỏi phần tích phân hàm ẩn chương trình toán học 12 để giúp học sinh
dễ nắm bắt nội dung bài mới,ôn tập bài cũ một cách có hiệu quả và hứng thú hơn
trong học môn toán học. Trong các năm gần đây kết quả cao trong các kì thi từ
năm 2017 đến nay ở trường THPT Mỹ Tho và đã nhận thấy hiệu quả rất tích
cực.Vì vậy tôi mạnh dạn báo cáo sáng kiến kinh nghiệm này trước hội đồng
khoa học của Trường THPT Mỹ Tho,Sở GD-ĐT Nam Định, cùng bạn bè đồng
nghiệp hy vọng góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy bộ môn Toán học ở
trường THPT Mỹ Tho nói riêng, Sở GD –ĐT Nam Định nói chung.
II. MÔ TẢ GIẢI PHÁP.
1.Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến:
* Học sinh thấy phần tích phân kiến thức lý thuyết nhiều, nhiều kiến thức trừu
tượng khó nhớ, khó học, làm mất nhiều thời gian.
*Việc ôn tập phần tích phân cho học sinh thường giáo viên phát đề cương có
sẵn hoặc yêu cầu học sinh tự làm một đơn vị kiến thức nào đó,điều đó chưa định
hướng được kiến thức trọng tâm cần nhớ, dàn trải. Học sinh áp dụng tích phân vào
2
các bài toán tích phân hàm ẩn khi áp dụng trả lời câu hỏi trắc nghiệm vẫn chưa đạt
được kết quả cao.
2.Mô tả giải pháp sau khi có sáng kiến:
2.1. Khi áp dụng đề tài vào thực tế giảng dạy, tôi nhận thấy học sinh nắm
chắc được kiến thức tự tin hơn, hứng thú hơn mỗi tiết học, thấy phần tích phân
hàm ẩn trở nên dễ học, dễ nhớ hơn.Việc xây dựng câu hỏi giúp định hướng
trong việc khai thác, nắm vững kiến thức một cách thuận lợi cho học sinh. Kết
quả các bài kiểm, bài thi nâng lên rõ rệt.
2.2 Các bước thực hiện sáng kiến:
Bước 1: Xác định mục tiêu
-Học sinh nắm được trọng tâm kiến thức cơ bản, ngắn gọn,dễ nhớ.
-Có câu hỏi vận dụng và vận dụng cao cho ôn thi HSG và nâng cao
điểm thi vào đại học.
-Vận dụng được vào làm bài thi đạt hiệu quả cao.
Bước 2: Biên tập hệ thống câu hỏi
-Hệ thống câu hỏi được xây dựng trên các mức độ nhận biết, thông
hiểu, vận dụngcho từng bài,từng chương theo đúng chuẩn kiến thức kỹ năngphù
hợp với khả năng nhận thức của các đối tượng học sinh.
-Dựa vào câu hỏi thi trắc nghiệm có sẵn nội dung kiến thức phù hợp
để soạn nội dung ôn tập câu hỏi giúp tăng hiệu quả làm bài thi trắc nghiệm.
– Hệ thống câu hỏi được sắp xếp logic.Chú trọng khai thác tốt kiến
thức trong sách giáo khoa nhằm giúp học sinh nắm thật vững kiến thức.
Bước 3: Xây dựng đáp án chi tiết tương ứng.
-Đáp án ngắn gọn đảm bảo đi vào trong trọng tâm câu hỏi ,giúp học
sinh dễ nhớ.
Bước 4:Vận dụng vào quá trình dạy học
* Phương pháp tiến hành:
-Nội dung đã soạn được sử dụng để dạy và hướng dẫn học sinh ôn tập
Tùy theo đối tượng học sinh ( lớp đại trà, lớp chọn, ôn thi HSG ) giáo viên điều
chỉnh hệ thống câu hỏi đã biên soạn cho phù hợp.
3
– Thống kê và so sánh kết quả của các lớp thực nghiệm và các lớp đối
chứng thông qua các bài kiểm tra trong năm 2017-2018, Để đánh giá nhận thức
toàn diện của học sinh tôi tiến hành song song hình thức kiểm tra trắc nghiệm và
tự luận bằng câu hỏi ngắn. Đề kiểm tra trắc nghiệm khách quan cũng được xây
dựng dựa trên nền kiến thức câu hỏi ôn tập.Từ đó đánh giá hiệu quả mà sáng
kiến mang lại và chia sẻ với các đồng nghiệp trong nhóm bộ môn toán ở trường
cùng áp dụng sáng kiến vào thực tiễn giảng dạy cho đến nay.
2.3 Điều kiện để áp dụng sáng kiến.
– HS có thể sử dụng sau khi học tích phân.
2.4.Khả năng áp dụng của sáng kiến.
-Với giáo viên bộ môn: Có thể sử dụng hệ thống câu trong việc khai thác
kiến thức mới, kiểm tra bài cũ, ôn tập sau mỗi chương, mỗi phần phục vụ cho ôn
thi học kì, ôn thi THPT quốc gia, ôn thi HSG lớp 12.
-Với học sinh: Sử dụng như một tài liệu tham khảo định hướng để học
tốt môn toán học 12cho học sinh đại trà ôn thi các bài kiểm tra, bài thi học kì, sử
dụng ôn thi THPT quốc gia cho học sinh đội tuyển HSG môn toán.
4
Nội dung sáng kiến:
Phần I :Tính nguyên hàm tích phân các hàm ẩn bằng phương pháp đổi biến
TÍCH PHÂN HÀM ẨN ĐỔI BIẾN DẠNG 1
Bài toán 1 “Cho tích phân
( )
( )
( ) x
u b
u a
f x d m = .Tính ‘( ) ( ( ))
b a
u x f u x dx
Phương pháp :Ta đặt t=u(x) đổi cận
( )
( )
x a t u a
x b t u b
= =
= =
( ) ( )
( ) ( )
‘( ) ( ( )) ( ) ( )
b u b u b
a u a u a
= = = u x f u x dx f t dt f x dx m
Khi đó ta có công thức tổng quát
( )
( )
‘( ) ( ( )) ( ) x
b u b
a u a
u x f u x dx f x d m = = (*)
Ví dụ minh họa
Câu 1.(Đề minh họa lần 2 của Bộ Giáo Dục và đào tạo năm 2016-2017)
Cho hàm số f x ( ) liêntục trên [0;2] và
4 0
f x dx ( ) 16 = . Tính
2 0
f x dx (2 )
A.16. B.4. C.32. D.8.
Lời giải
Cách 1 :Tính trực tiếp nếu không nhớ công thức
Xét tích phân
2 0
f x dx (2 ) ta có đặt t x dt dx = = 2 2
Đổi cận: x t x t = = = = 0 0; 2 4
2 4 4
0 0 0
1 1
(2 ) (t) (x) 8
2 2
f x dx f dt f dx = = =
Cách 2: Dùng công thức (*)với
2 4 2
0 0 0
u x f f x d f ( ) 2x 2 (2x)dx ( ) x 16 (2x)dx 8 = = = =
Câu 2.(THPTKINHMÔN-HẢIDƯƠNG-LẦN1-2018) Cho a là hằng số thực
và hàm số liên tục trên thỏa mãn
2 1
f x a dx ( ) 2017 – = . Tính giá trị của
tích phân
2 1
( )
a a
I f x dx
– –
=
A. I = 2017 . B. I = -2017. C. I a = + 2017 . D. I a = – 2017 .
Lờigiải
Cách 1 :Tính trực tiếp nếu không nhớ công thức :
Xét
2 1
f x a dx ( ) 2017 – = . Đặt t x a dt dx = – =
Đổi cận x t a x t a = = – = = – 1 1 ; 2 2
5
Khi đó
2 2 2
1 1 1
2017 ( ) (t) (x)
a a
a a
f x a dx f dt f dx
– –
– –
= – = = .
Cách 2: Dùng công thức (*)
2 2
1 1
( ) 2017 ( ) ( ) x
a a
u x x a f x a dx f x d
– –
= – = – =
Câu 3.(THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG – NAM ĐỊNH – LẦN 2 – 2018)
Cho hàm f x ( ) thỏa mãn
5
1
f x dx ( ) 4
–
= . Tính
2 1
I f x dx (2 1)
–
= + .
A. I = 2 . B. 5
2
I = . C. I = 4 . D. 3
2
.
Lời giải :
Cách 1:Tính trực tiếp nếu không nhớ công thức :
Đặt t x dt dx = + = 2 1 2 .
Đổi cận x t x t = – = – = = 1 1; 2 5.
Khi đó ta có
2 5 5
1 1 1
1 1
(2 1) (t) (x) 2
2 2
f x dx f dt f dx
– – –
+ = = = .
Cách 2: Dùng công thức (*)
5 2 2
1 1 1
u x f x d f dx f dx ( ) 2x 1 4 ( ) x 2 (2x 1) (2x 1) 2
– – –
= + = = + + =
Câu 4. (THPT Hậu Lộc -Thanh Hoá lần 2 -18-19)Cho hàm f x ( ) thỏa
mãn
2017
0
f x dx ( ) 1 = . Tính tích phân
1 0
I f x dx = (2017 ) .
A. I = 2017 . B. I =1. C. 1
2017
I = . D. I = 0.
Lời giải
Cách 1 :Tính trực tiếp nếu không nhớ công thức :
Đặt t x dt dx = = 2017 2017 .
Đổi cận x t x t = = = = 0 0; 1 2017 .
Khi đó ta có
1 2017 2017
0 0 0
1 1 1
(2017 ) (t) (x)
2017 2017 2017
f x dx f dt f dx = = = .
| Cách 2: Dùng công thức (*) |
1 2017
0 0
1 1
( ) 2017x (2017 ) (x)
2017 2017
u x f x dx f dx = = =
Câu 5.(THPT Hậu Lộc -Thanh Hoá lần 2 -18-19)Cho hàm f x ( ) thỏa mãn
2 1
f x dx a ( ) = . Hãytính tích phân
1
2
0
I xf x dx = + ( 1) theo .
A.
a 4
I = . B.
a 2
I = . C. I a = 2 . D. I a = 4 .
Lời giải Chọn B
Cách 1 :Tính trực tiếp nếu không nhớ công thức :
Đặt t x dt xdx = + = 2 1 2 .
Đổi cận x t x t = = = = 0 1; 1 2.
a
6
Khi đó ta có
1 2 2
2
0 1 1
1 1
( 1) (t) (x)
2 2 2
a
xf x dx f dt f dx + = = = .
Cách 2 :Dùng công thức (*)
1 2
2 2
0 1
1
( ) 1 ( 1) (x)
2 2
a
u x x xf x dx f dx = + + = =
Câu 6.(HỒNG LĨNH – HÀ TĨNH – LẦN 1 – 2018)Cho hàm f x ( ) liên tục trên
thỏa mãn
16
1
( )
f x dx 6
x
= và
2 0
f (sinx)cosxdx 3
= . Tính tích phân
4 0
I f x dx = ( )
A. I = -2 . B. I = 6. C. I = 9. D. I = 2 .
Lời giải
Cách 1 :Tính trực tiếp nếu không nhớ công thức
+ Xét A=
16
1
( )
f x dx 6
x
= , đặt 1
2
t x dt dx
x
= =
Đổi cận: với x=1 t=1, với x=16 t=4
A=
4 4 4
1 1 1
2 ( ) 6 ( ) 3 (x) 3 f t dt f t dt f dx = = = .
+
2 0
J f (sinx)cosxdx 3
= = , đặt t x dt xdx = = sin cos
| Đổi cận: |
0 0; 1;
2
x t x t
= = = =
1 1
0 0
J f t dt f dx = = = ( ) 3 (x) 3
4 1 4
0 0 1
I f x dx f x dx f x dx = = + = ( ) ( ) ( ) 6 .
Cách 2: Dùng công thức (*) với
16 4 4
1 1 1
( )
( ) 6 2 x 2 ( ) x ( ) x=3
2
f x
u x x d f x d f x d
x
= = =
Dùng công thức (*) với
2 1
0 0
u x x f f x d ( ) sin 3 (sinx)cosxdx ( ) x
= = =
nên
4 1 4
0 0 1
I f x dx f x dx f x dx = = + = ( ) ( ) ( ) 6
Câu7. Chuyên Lê Quý Đôn Đà Nẵng
Cho
2017
0
f(x) x=2 d . Tính tích phân
2017
1
2
2
0
f(ln(x 1) x
1
e
x
I d
x
–
= +
+ .
A. I=1 B. I=2 C. I=4 D. I=5
Lời giải.
Cách 1 :Tính trực tiếp nếu không nhớ công thức
Đặt t x = + ln( 1) 2 suy ra 2xdx 1 xdx 2 2
1 2 1
dt dt
x x
= =
+ +
Đổi cận:
Xem bản đầy đủ trên google drive: TẠI ĐÂY
Các thầy cô cần file liên hệ với chúng tôi tại fanpage facebook O2 Education
Hoặc xem nhiều SKKN hơn tại: Tổng hợp SKKN môn hóa học cấp THPT
Hoặc xem thêm các tài liệu khác của môn hóa