Số chính phương là gì?
Số chính phương là số có giá trị bằng bình phương đúng (lũy thừa bậc hai) của một số nguyên. Hay nói cách khác, số chính phương là một số tự nhiên có căn bậc hai cũng là một số tự nhiên.
Ví dụ, $100$ là số chính phương vì $100=10^2$, $36$ là số chính phương vì $36=6^2$,…
Nhận xét, số $m$ là một số chính phương khi và chỉ khi có thể sắp xếp $m$ điểm thành một hình vuông:
Do đó, số chính phương còn được gọi là số hình vuông bởi số chính phương là lũy thừa bậc hai của một số tự nhiên mà diện tích hình vuông cũng có giá trị bằng bình phương của 1 cạnh.
Xem thêm Hình vuông số chính phương kì diệu của Vianney
Phân loại số chính phương
Có hai loại số chính phương là: số chẵn và số lẻ. Trong đó, số chính phương chẵn là bình phương của một số chẵn. Ngược lại, số chính phương lẻ lại là lũy thừa bậc hai của một số lẻ.
Ví dụ: 9 (= 3²), 81 (= 9²), 121 (= 11²),… là các số chính phương lẻ. 4 (= 2²), 16 (= 4²), 100 (= 10²),… là các số chính phương chẵn.
Tính chất của số chính phương
- Những số có chữ số tận cùng là 9, 6, 5, 4, 1, 0 có thể là số chính phương. Các số có tận cùng là 8, 7, 3, 2 không thể là số chính phương.
- Khi phân tích một số chính phương ra thừa số nguyên tố ta được các thừa số là lũy thừa của số nguyên tố với số mũ chẵn.
- Số chính phương chia hết cho số nguyên tố $p$ thì cũng chia hết cho $p^2$. Ví dụ, nếu số chính phương chia hết được cho 2 thì cũng chia hết cho 4. Số chính phương chia hết cho 3 thì cũng sẽ chia hết cho 9. Số chính phương chia hết cho 5 thì cũng sẽ chia hết 25.Số chính phương chia hết cho 8 thì cũng sẽ chia hết cho 16.
- Số chính phương chỉ có thể tồn tại dưới các dạng $4n$, $4n + 1$, $3n$ và $3n + 1$, với $n$ là số tự nhiên. Không có bất kỳ số chính phương nào tồn tại dưới dạng $4n + 2$, $4n + 3$ hoặc $3n + 2$. Nói cách khác:
- Số chính phương khi chia cho 3 chỉ có số dư là 0 hoặc 1.
- Số chính phương chẵn thì chia hết cho 4, số chính phương lẻ chia 4 dư 1 hoặc 3.
- Số chính phương khi chia cho 5 chỉ có số dư là 0, 1 hoặc là -1 (hay dư 4).
- Tất cả các số chính phương có thể viết thành dãy tổng của các số lẻ tăng dần từ 1:
\begin{align} 1&=1\\
4&=1 + 3\\
9&=1 + 3 + 5\\
16&=1 + 3 + 5 + 7\\
25&=1 + 3 + 5 + 7 + 9\\
&… \end{align}
Bài tập số chính phương
Bài 1. Chứng minh số $n = 2004^2 + 2003^2 +2002^2 – 2001^2$ không phải là số chính phương
Hướng dẫn. Dễ dàng thấy chữ số tận cùng của của các số $2004^2 $, $2003^2$, $2002^2$, $2001^2$ lần lượt là $6 ; 9 ; 4 ; 1$. Do đó số n có chữ số tận cùng là $6+9+4-1=8$ nên $n$ không phải là số chính phương.
Bài 2. Chứng minh số $1234567890$ không phải là số chính phương.
Hướng dẫn. Thấy ngay số $1234567890$ chia hết cho $5$ ( vì chữ số tận cùng của số này là $0$) nhưng không chia hết cho $25$ (vì hai chữ số tận cùng của nó là $90$). Do đó số $1234567890$ không phải là số chính phương.
Bài 3. Chứng minh rằng nếu một số có tổng các chữ số là $2004$ thì số đó không phải là số chính phưuong.
Hướng dẫn. Ta thấy tổng các chữ số của 2004 là 6 nên 2004 chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9 nên số có tổng các chữ số là 2004 cũng chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9 do đó số này không phải là số chính phương.
Bài 4. Chứng minh một số có tổng các chữ số là 2006 không phải là số chính phương
Hướng dẫn. Vì số chính phương khi chia cho 3 chỉ có số dư là 0 hoặc 1 do tổng các chữ số của số đó là 2006 nên số đó chia cho 3 dư 2. Chứng tỏ số đã cho không phải số chính phương.
Bài 5. Chứng minh rằng số $333^{333} + 555^{555} + 777^{777}$ không phải là một số chính phương.
Bài 6. Lúc đầu có hai mảnh bìa, một cậu bé tinh nghịch cứ cầm một mảnh bìa lên lại xé ra làm bốn mảnh. Cậu ta mong rằng cứ làm như vậy đến một lúc nào đó sẽ được số mảnh bìa là một số chính phương. Cậu ta có thực hiện được mong muốn đó không?
