Tag: hình học không gian

Các quy tắc biểu diễn hình trong không gian
Các quy tắc biểu diễn hình trong không gian

Để vẽ hình biểu diễn của các hình không gian, chúng ta sử dụng các quy tắc biểu diễn hình trong không gian sau:
- Hình biểu diễn của đường thẳng là đường thẳng, của đoạn thẳng là đoạn thẳng;
- Hình biểu diễn của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song, của hai đường thẳng cắt nhau là hai đường thẳng cắt nhau;
- Hình biểu diễn phải giữ nguyên quan hệ thuộc giữa điểm và đường thẳng;
- Đường nhìn thấy vẽ nét liền, đường bị che khuất vẽ nét đứt;
- Trên cùng một đường thẳng hoặc trên hai đường thẳng song song thì tỉ lệ về độ dài được giữ nguyên, do đó, ta cần vẽ chính xác trung điểm của các đoạn thẳng.
Một số hình biểu diễn thường gặp
- Các hình tam giác thường, tam giác đều, tam giác vuông đều vẽ thành một tam giác tù như dưới đây:
- Các hình bình hành, hình vuông, hình chữ nhật, hình thoi đều vẽ thành một hình bình hành:
- Hình thang có thể vẽ như hình dưới đây:
- Hình thang vuông có thể vẽ như hình dưới đây:
Hình chóp có đáy là tam giác

Hình chóp có đáy là tứ giác

Hình tứ diện

Hình chóp có đáy là hình vuông, hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi

Hình lăng trụ tam giác, tứ giác

Hình hộp
16/01/2022
Chứng minh ba đường thẳng đồng quy trong không gian
Chứng minh ba đường thẳng đồng quy trong không gian

Nhờ việc sử dụng định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng phân biệt trong không gian hoặc đồng quy, hoặc đôi một so sánh nên trong không gian để chứng minh ba đường thẳng a, b, c đồng quy ta có thể làm như sau:
- Tìm giao điểm I của hai trong ba đường thẳng đã cho, chẳng hạn a và b;
- Giả sử c là giao tuyến của hai mặt phẳng (α) và (β) nào đó lần lượt chứa đường thẳng a và đường thẳng b;
- Chứng minh rằng I là điểm chung của (α) và (β), tức là I phải thuộc vào giao tuyến c;
- Kết luận: a, b, c đồng quy tại O.
Xem thêm Cách chứng minh thẳng hàng trong hình học không gian

Ví dụ. Cho tứ diện ABCD. Gọi M; N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Mặt phẳng (P) qua MN và cắt AD; BC lần lượt tại P và Q. Biết MP cắt NQ tại I. Chứng minh rằng MP, NQ và BD đồng quy tại I.

Lời giải

Ta có: (ABD) ∩ (BCD) = BD

Lại có I ∈ MP ⊂ (ABD) và I ∈ NQ ⊂ (BCD) nên I là điểm chung của hai mặt phẳng (ABD) và (BCD). Nói cách khác, I thuộc vào giao tuyến của hai mặt phẳng (ABD) và (BCD).

Do đó, I ∈ BD hay ba đường thẳng MP, NQ và BD đồng quy tại I.

Bài 1. Cho tứ diện ABCD mặt phẳng(P) không chứa AB và CD cắt các cạnh AC, BC, AD lần lượt tại M, N, R, S.
1. Chứng minh 3 đường thẳng AB, MN, RS đồng qui.
2. Chứng minh 3 đường thẳng CD, MS, NR đồng qui
Bài 2. Cho tứ diện ABCD. M, N lần lượt là trung điểm BC, BD. Các điểm P và S lần lượt thuộc AD, AC sao cho AR= AD:3 ; AS= AC:3. CMR ba đường thẳng AB, MS, NR đồng qui.

Bài 3. Cho hình thang ABCD (AB// CD) điểm S nằm ngoài mặt phẳng chứa ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SC, SD. Gọi I là giao điểm của AD và BC, J là giao điểm của AN và BM. Gọi O là giao điểm của AC và BD. CMR : SO, AM, BN đồng qui.
16/01/2022
Hình chóp, hình lăng trụ, hình hộp là gì?
Hình chóp, hình lăng trụ, hình hộp là gì?

Hình chóp, hình lăng trụ, hình hộp là những hình cơ bản trong hình học không gian. Đa số các bài toán ở cấp THPT đều làm việc trên các hình này. Để có thể giải quyết được các bài toán không gian, bước đầu chúng ta ta phải hiểu được thế nào là hình chóp, hình lăng trụ hay hình hộp.

Xem thêm 38+ tài liệu hình học không gian 11 hay nhất

1. Hình chóp

Hình chóp là gì?

Cho đa giác $A_1A_2A_3… A_n$ nằm trong mặt phẳng $(P)$ và một điểm $S$ nằm ngoài mặt phẳng $(P)$. Nối $S$ với các đỉnh của đa giác ta được $n$ miền tam giác $SA_1A_2, SA_2A_3,…, SA_nA_1$. Hình tạo bởi $n$ tam giác đó và đa giác $A_1A_2A_3… A_n$ gọi là hình chóp và kí hiệu là $S.A_1A_2A_3… A_n$.

Trong đó:
- $S$ được goi là đỉnh của hình chóp;
- $A_1A_2A_3… A_n$ là mặt đáy của hình chóp;
- $SA_1, SA_2,…, SA_n$ là các cạnh bên của hình chóp;
- A1A2, A2A3,…, AnA1 là các cạnh đáy của hình chiếu;
- Các miền tam giác $SA_1A_2, SA_2A_3,…, SA_nA_1$ là mặt bên của hình chóp.
Cách gọi tên hình chóp bằng tên của đỉnh và mặt đáy, ví dụ như hình vẽ sau là hình chóp $S.ABCDE$ hoặc cụ thể hơn là hình chóp ngũ giác $S.ABCDE$
- Đường cao của hình chóp là đường vuông góc kẻ từ đỉnh của hình chóp đến mặt đáy.
Xem thêm Các phương pháp tính thể tích khối chóp

Hình tứ diện

Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Hình gồm bốn tam giác ABC, BCD, CDA, ABD gọi là tứ diện ABCD.
- A, B, C, D là các đỉnh của tứ diện;
- AB, BC, CD, CA là các cạnh bên của tứ diện;
- Các tam giác ABC, BCD, CDA, ABD là các mặt bên của tứ diện;
- Hai cạnh không đi qua một đỉnh được gọi là hai cạnh đối nhau;
- Đỉnh không nằm trên một mặt được gọi là đỉnh đối diện với mặt đó.
Hình chóp và hình tứ diện đều có 4 đỉnh, 4 mặt và 6 cạnh như nhau, nhưng hình chóp có phân biệt mặt bên và mặt đáy, trong khi hình tứ diện thì không quy ước gọi đâu là mặt đáy, đâu là mặt bên.

Hình chóp đều
- Định nghĩa: Hình chóp đều là hình chóp có các cạnh bên bằng nhau và mặt đáy là một đa giác đều.
- Tính chất: Trong hình chóp đều, chân đường cao của hình chóp trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
Hình chóp đều có đáy lần lượt là tam giác đều, hình vuông (tứ giác đều) và lục giác đều

Như vậy, từ định nghĩa suy ra:
- Hình chóp là hình chóp đều khi và chỉ khi đáy của nó là đa giác đều và chân đường cao của nó trùng với tâm của đa giác đáy.
- Hình chóp là hình chóp đều khi và chỉ khi đáy của nó là đa giác đều và các cạnh bên tạo với mặt đáy các góc bằng nhau.
2. Hình chóp cụt

Hình chóp cụt

Hình chóp cụt đều

Cho hình chóp cụt đều $S.A_1A_2…A_n$. Một mặt phẳng $(P)$ song song với mặt đáy cắt các cạnh bên $SA_1, SA_2,…,SA_n$ lần lượt tại $A’_1, A’_2,…, A’_n$. Phần hình nằm giữa đáy và mặt phẳng $(P)$ gọi là hình chóp đều.
- Đa giác $A_1A_2A_3… A_n$ và thiết diện $A’_1A’_2A’_3… A’_n$ gọi là hai mặt đáy;
- Các hình thang cân $A_1A’_1A’_2A_2,…, A_nA’_nA’_1A_1$ là các mặt bên;
- Đoạn thẳng nối hai tâm O và O’ của hai đáy gọi là đường cao của hình chóp cụt đều.
3. Hình lăng trụ

Hình lăng trụ là gì?

Hình hợp bởi các hình bình hành $A_1A’_1A’_2A_2,A_2A_3A’_3A’_2…, A_nA’_nA’_1A_1$ và hai miền đa giác $A_1A_2A_3… A_n; A’_1A’_2A’_3… A’_n$ nằm trong hai mặt phẳng song song đươc goi là hình lăng trụ.
- Các hình bình hành $A_1A’_1A’_2A_2,A_2A_3A’_3A’_2…, A_nA’_nA’_1A_1$ là các mặt bên;
- Hai miền đa giác $A_1A_2A_3… A_n; A’_1A’_2A’_3… A’_n$ là hai mặt đáy (hai hình đa giác này bằng nhau);
- Các đoạn thẳng $A_1A’_1,…, A_nA’_n$ là các cạnh bên;
- Các đoạn thẳng $A_1A_2,A’_1A’_2,…, A_nA_1, A’_nA’_1$ là các cạnh đáy của hình lăng trụ.
Ký hiệu hình lăng trụ: $A_1A_2…A_n.A’_1A’_2…A’_n$.

Gọi tên lăng trụ theo tên các đa giác đáy: Lăng trụ tam giác (có đáy là tam giác), lăng trụ tứ giác (có đáy là tứ giác),…

Hình lăng trụ đứng
- Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với mặt đáy.
- Nhận xét: Các mặt bên của hình lăng trụ đứng là các hình chữ nhật và vuông góc với mặt đáy.
Hình lăng trụ đều
- Hình lăng trụ đều là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.
- Nhận xét: Các mặt bên của hình lăng trụ đều là các hình chữ nhật bằng nhau. Ngoài ra, hình lăng trụ đều có các tính chất của hình lăng trụ đứng.
4. Hình hộp

Hình hộp là gì?

Hình lăng trụ tứ giác có đáy là hình bình hành được gọi là hình hộp.

Nhận xét:
- Sáu mặt (bốn mặt bên và hai mặt đáy) đều là những hình bình hành.
- Mỗi mặt có một mặt song song với nó, hai mặt như thế gọi là hai mặt đối diện.
Hình hộp đứng
- Hình hộp đứng là hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành.
- Nhận xét: Trong hình hộp đứng có bốn mặt bên là hình chữ nhật.
Hình hộp chữ nhật

Hình hộp chữ nhật là hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật.

Nhận xét: Tất cả sáu mặt của hình hộp chữ nhật đều là hình chữ nhật.

Hình lập phương

Hình lập phương là hình hộp có tất cả sáu mặt là hình vuông. (Các hình vuông này bằng nhau).
14/01/2022
Góc giữa hai đường thẳng trong không gian
Góc giữa hai đường thẳng trong không gian

1. Góc giữa hai đường thẳng trong không gian là gì?

Trong không gian cho 2 đường thẳng a, b bất kỳ. Từ một điểm O nào đó ta vẽ 2 đường thẳng a’, b’ lần lượt song song với a và b. Ta nhận thấy rằng khi điểm O thay đổi thì góc giữa 2 đường thẳng a và b không thay đổi.

Định nghĩa: Góc giữa hai đường thẳng trong không gian là góc giữa 2 đường thẳng cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với hai đường thẳng đã cho.

Xem thêm:
- Cách tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng lớp 11
- Cách tính góc giữa hai mặt phẳng trong không gian
2. Cách xác định góc giữa hai đường thẳng

Ngoài việc làm như trong định nghĩa, để xác định góc giữa 2 đường thẳng a và b ta có thể lấy điểm O thuộc một trong hai đường thẳng đó rồi vẽ một đường thẳng qua O và song song với đường thẳng còn lại.

Hoặc ta có thể sử dụng tích vô hướng:
- Nếu \(\overrightarrow{u}\) là vecto chỉ phương của đường thẳng a và \(\overrightarrow{v}\) là vecto chỉ phương của đường thẳng b và \(\left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{v} \right)=\alpha \) thì góc giữa 2 đường thẳng a và b bằng \(\alpha \) nếu \(0\le \alpha \le 90^\circ \) và bằng \(180^\circ -\alpha \) nếu \(90^\circ <\alpha \le 180^\circ \).
- Nếu 2 đường thẳng a và b song song hoặc trùng nhau thì góc giữa chúng bằng \(0^\circ \). Góc giữa 2 đường thẳng là góc có số đo \(0\le \alpha \le 90^\circ \).
3. Cách tính góc giữa hai đường thẳng

Để tính được góc giữa hai đường thẳng trong không gian, nếu xác định (dựng) được góc giữa hai đường thẳng trong không gian và gắn chúng vào một tam giác cụ thể thì có thể sử dụng các hệ thức lượng trong tam giác để tìm số đo của góc đó:
- Định lý hàm số cosin trong tam giác ABC: \(\cos \widehat{BAC}=\frac{A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}-B{{C}^{2}}}{2.AB.AC}\)
- Tương tự ta có: \(\cos \widehat{ABC}=\frac{B{{A}^{2}}+B{{C}^{2}}-A{{C}^{2}}}{2.BA.BC}\) và \(\cos \widehat{ACB}=\frac{C{{A}^{2}}+C{{B}^{2}}-A{{B}^{2}}}{2.CA.CB}\)
  Chú ý: \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB.AC\cos \widehat{BAC}=\frac{1}{2}\left( A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}-B{{C}^{2}} \right)\)
Ngoài ra, để tính góc giữa hai véc-tơ \(\vec{u}, \vec{v} \) chúng ta sử dụng định nghĩa tích vô hướng: \[\vec{u} . \vec{v} = |\vec{u}|.|\vec{v}|.\cos\left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{v} \right)\].

Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD ta tính góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{CD}\) dựa vào công thức \(\cos \left( \overrightarrow{AB};\overrightarrow{CD} \right)=\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}}{\left| \overrightarrow{AB} \right|.\left| \overrightarrow{CD} \right|}\Rightarrow \cos \left( AB;CD \right)=\frac{\left| \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD} \right|}{\left| \overrightarrow{AB} \right|.\left| \overrightarrow{CD} \right|}\) từ đó suy ra góc giữa hai đường thẳng AB và CD.

4. Bài tập góc giữa hai đường thẳng trong không gian

Ví dụ 1. Cho hình lập phương $A B C D \cdot A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$ có cạnh là $a$. Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau đây:
1. AB và A’D’.
2. AD và A’C’.
3. BC’ và B’D’.
Lời giải.
1. Ta có $A^{\prime} D^{\prime} / / A D$ nên $\left(A B, A^{\prime} D^{\prime}\right)=(A B, A D)=\widehat{B A D}=90^{\circ}$.
2. Ta có $A^{\prime} C^{\prime} / / A C$ nên $\left(A D, A^{\prime} C^{\prime}\right)=(A D, A C)=\widehat{D A C}=45^{\circ}$.
3. Ta có $B^{\prime} D^{\prime} / / B D$ nên $\left(B C^{\prime}, B^{\prime} D^{\prime}\right)=\left(B C^{\prime}, B D\right)=\widehat{D B C^{\prime}}$.
  Ta có $B D=B C^{\prime}=C^{\prime} D=A B \sqrt{2}$ nên $\triangle B D C^{\prime}$ dều, suy ra $\widehat{D B C^{\prime}}=60^{\circ}$.
  Vậy $\left(B C^{\prime}, B^{\prime} D^{\prime}\right)=60^{\circ}$.
Ví dụ 2. Cho hình chóp $S . A B C$ có $S A=S B=S C=A B=A C=a \sqrt{2}$ và $B C=2 a$. Tính góc giữa hai đường thẳng $A C$ và $S B$.

Lời giải.

Ta có $S A B$ và $S A C$ là tam giác đều, $A B C$ và $S B C$ là tam giác vuông cân cạnh huyền $B C$.
Gọi $M, N, P$ lần lượt là trung điểm của $S A, A B, B C$, ta có $M N / / S B, N P / / A C$ nên $(A C, S B)=(N P, M N)$.

\begin{aligned}
&M N=\frac{S B}{2}=\frac{a \sqrt{2}}{2}, N P=\frac{A C}{2}=\frac{a \sqrt{2}}{2} . \\
&A P=S P=\frac{B C}{2}=a, S A=a \sqrt{2}
\end{aligned}

Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, \(SA\bot \left( ABC \right)\) và \(SA=a\sqrt{3}\). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và SC. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng AN và CM.

Cách 1: Dựng hình bình hành AMCE suy ra \(AM=CE=\frac{a}{2}\).

Khi đó \(AE//CM\Rightarrow \left( \widehat{AE;CM} \right)=\left( \widehat{AN;AE} \right)=\varphi .\)

Mặt khác \(SC=\sqrt{S{{A}^{2}}+A{{C}^{2}}}=2a\Rightarrow \) độ dài đường trung tuyến AN là \(AN=\frac{SC}{2}=a.AE=CM=\frac{a\sqrt{3}}{2}.\)

Do \(\Delta ABC\) đều nên \(CM\bot AM\Rightarrow \) AMCE là hình chữ nhật.

Khi đó \(CE\bot AE\) mà \(CE\bot SA\Rightarrow CE\bot \left( SAE \right)\Rightarrow CE\bot SE.\)

\(\Delta SEC\) vuông tại E có đường trung tuyến \(EN=\frac{1}{2}SC=a.\)

Ta có: \(\cos \widehat{NAE}=\frac{A{{N}^{2}}+A{{E}^{2}}-N{{E}^{2}}}{2.AN.AE}=\frac{\sqrt{3}}{4}>0\Rightarrow \cos \varphi =\frac{\sqrt{3}}{4}.\)

Cách 2: Ta có: \(\overrightarrow{AN}=\frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AS}+\overrightarrow{AC} \right);\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}.\)

Khi đó \(\overrightarrow{AN}.\overrightarrow{CM}=\frac{1}{2}\left( \overrightarrow{AS}+\overrightarrow{AC} \right)\left( \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC} \right)=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}-\frac{1}{2}A{{C}^{2}}=\frac{1}{4}{{a}^{2}}\cos 60{}^\circ -\frac{{{a}^{2}}}{2}=\frac{-3{{a}^{2}}}{8}.\)

Lại có: \(AN=\frac{SC}{2}=a;CM=\frac{a\sqrt{3}}{2}\Rightarrow \cos \varphi =\frac{\left| \frac{-3{{a}^{2}}}{8} \right|}{a.\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{4}.\)

Bình luận: Dựa vào hai cách làm trên ta thấy rằng, trong một số trường hợp, việc sử dụng công cụ vectơ để tính góc giữa hai đường thẳng giúp bài toán trở nên dễ ràng hơn rất nhiều!.

Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABC có \(SA=SB=SC=AB=a;AC=a\sqrt{2}\) và \(BC=a\sqrt{3}\). Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SC và AB.

Cách 1: Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SA, SB và AC. Khi đó \(\left\{ \begin{align}

& MP//SC \\

& N//AB \\

\end{align} \right.\Rightarrow \left( \widehat{SC;AB} \right)=\left( \widehat{MP;MN} \right).\)

Ta có: \(MN=\frac{AB}{2}=\frac{a}{2};MP=\frac{SC}{2}=\frac{a}{2}.\)

Mặt khác \(\Delta SAC\) vuông tại S \(\Rightarrow SP=\frac{AC}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}.\)

\(B{{P}^{2}}=\frac{B{{A}^{2}}+B{{C}^{2}}}{2}-\frac{A{{C}^{2}}}{4}=\frac{3}{2}{{a}^{2}}\Rightarrow BP=\frac{a\sqrt{6}}{2}.\)

Suy ra \(P{{N}^{2}}=\frac{P{{S}^{2}}+P{{B}^{2}}}{2}-\frac{S{{B}^{2}}}{4}=\frac{3{{a}^{2}}}{4}\Rightarrow NP=\frac{a\sqrt{3}}{2}.\)

Khi đó \(\cos \widehat{NMP}=\frac{M{{N}^{2}}+M{{P}^{2}}-N{{P}^{2}}}{2.MN.MP}=-\frac{1}{2}\Rightarrow \widehat{NMP}=120{}^\circ \Rightarrow \varphi =\left( \widehat{SC;AB} \right)=60{}^\circ .\)

Cách 2: Ta có: \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{SB}-\overrightarrow{SA}\Rightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{SC}=\left( \overrightarrow{SB}-\overrightarrow{SA} \right).\overrightarrow{SC}=\overrightarrow{SB}.\overrightarrow{SC}-\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{SC}\)

\(=\frac{1}{2}\left( S{{B}^{2}}+S{{C}^{2}}-A{{C}^{2}} \right)-\frac{1}{2}\left( S{{A}^{2}}+S{{C}^{2}}-A{{B}^{2}} \right)=-\frac{{{a}^{2}}}{2}.\)

Suy ra \(\cos \left( SC;AB \right)=\frac{\left| \frac{-{{a}^{2}}}{2} \right|}{a.a}=\frac{1}{2}\Rightarrow \left( SC;AB \right)=60{}^\circ .\)
05/01/2022
Điểm và đường thẳng trong không gian lớp 11
Điểm và đường thẳng trong không gian

1. Tóm tắt lý thuyết về điểm và đường thẳng trong không gian

Ba cách xác định một mặt phẳng
- Qua ba điểm không thẳng hàng $ A,B,C $; kí hiệu là $ (ABC) $ hoặc $ mp(ABC). $
- Qua đường thẳng $ d$ và điểm $M\notin d$; kí hiệu là $ mp(d,M) $
- Qua hai đường thẳng $ d_1,d_2 $ cắt nhau; kí hiệu là $ mp(d_1,d_2) $
Quy tắc vẽ hình biểu diễn của hình không gian
- Hình biểu diễn của đường thẳng là đường thẳng, của đoạn thẳng là đoạn thẳng.
- Hình biểu diễn của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song, của hai đường thẳng cắt nhau là hai đường thẳng cắt nhau.
- Hình biểu diễn phải giữ nguyên quan hệ liên thuộc giữa điểm và đường thẳng.
- Đường nhìn thấy vẽ nét liền, đường bị che khuất vẽ nét đứt.
- Trên cùng một đường thẳng} hoặc trên hai đường thẳng song song} thì tỉ lệ về độ dài được giữ nguyên. Đặc biệt, hình biểu diễn của trung điểm là trung điểm.
Các tính chất thừa nhận
- Có một và chỉ một đường thẳng qua hai điểm phân biệt
- Nếu một đường thẳng có hai điểm nằm trong mặt phẳng thì tất cả các điểm còn lại của đường thẳng đó đều thuộc mặt phẳng đã cho.
- Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung , thì chúng còn có điểm chung khác nữa. Do đó, chúng có chung một đường thẳng, gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng.
- Trên mỗi mặt phẳng, các kết quả đã biết trong hình học phẳng đều đúng.
- Có ít nhất bốn điểm không đồng phẳng.
Hình chóp
- Cho đa giác $ A_1A_2…A_n $ nằm trên mặt phẳng $(P)$ và điểm $ S $ nằm ngoài mặt phẳng $(P)$ thì hình chóp $ S.A_1A_2…A_n $ là hình gồm đa giác $ A_1A_2…A_n $ và $ n $ tam giác có $ S $ là đỉnh chung: $ SA_1A_2,SA_2A_3,… SA_nA_1. $
- Ta gọi tên hình chóp tùy theo số cạnh của đa giác đáy, ví dụ hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác, hình chóp ngũ giác…
- Tứ diện là hình gồm có bốn điểm không đồng phẳng.
Một số hình không gian thường gặp

Để học tốt hình học không gian, việc đầu tiên là các em cần vẽ hình đúng các quy tắc. Khi vẽ hình đúng rồi, chúng ta cần lựa chọn cách vẽ làm sao cho dễ nhìn nhất có thể. Dưới đây là cách vẽ hình chuẩn của một số hình không gian thường gặp.
- Hình chóp tam giác, tứ diện
- Hình chóp tứ giác có đáy không là hình thang (đáy là một tứ giác bất kì)
- Hình chóp tứ giác có đáy là hình thang
- Hình chóp tứ giác có đáy là hình bình hành, hình chữ nhật, hình vuông
- Hình chóp ngũ giác
- Hình chóp lục giác
2. Bài tập điểm và đường thẳng trong không gian

Dạng 1. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng

Mời thầy cô và các em xem chi tiết trong bài Cách tìm giao tuyến của hai mặt phẳng

Dạng 2. Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng

Mời thầy cô và các em xem chi tiết trong bài Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng

Dạng 3. Chứng minh thẳng hàng, đồng quy

Mời thầy cô và các em xem chi tiết trong bài Cách chứng minh thẳng hàng trong hình học không gian

Dạng 4. Xác định giao tuyến của hình chóp khi cắt bởi một mặt phẳng

Mời thầy cô và các em học sinh xem chi tiết trong các bài viết sau:
10/09/2021
Tính thể tích khối chóp
Tính thể tích khối chóp

Tính thể tích khối chóp là một dạng toán quan trọng trong các kì thi tốt nghiệp và xét tuyển vào ĐH CĐ. Để tính được thể tích của một khối chóp đòi hỏi học sinh ghi nhớ và vận dụng được nhiều phần kiến thức của hình học không gian, đặc biệt là kiến thức về góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa hai mặt phẳng trong không gian.

Dưới đây là cách tính thể tích khối chóp trực tiếp, ngoài ra còn cách tính gián tiếp bằng Phương pháp so sánh thể tích.

1. Công thức tính thể tích khối chóp

Khối chóp đỉnh $ S $ và đáy là một đa giác có diện tích $ B $ thì $$ V=\frac{1}{3}B\times h $$

Trong công thức trên, việc tính được diện tích $B$ của đáy là bài toán tính diện tích đa giác (tam giác, tứ giác…) quen thuộc trong chương trình hình học cấp 2. Mọi khó khăn của bài toán tính thể tích khối chóp quy về việc xác định và tính được chiều cao của khối chóp. Dưới đây là các cách xác định đường cao của khối chóp.

2. Cách xác định chiều cao của hình chóp

Đường cao của một hình chóp là đoạn thẳng hạ vuông góc từ đỉnh hình chóp xuống mặt đáy tương ứng của nó. Trong thực tế, đối khi người ta không cần dựng đường cao mà chỉ cần tính chiều cao khối chóp, tức là tính khoảng cách từ đỉnh tới mặt đáy của nó. (Bạn đọc có thể xem lại cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng)

Dĩ nhiên, ngoài các kiến thức nêu dưới đây, thì các em học sinh cần ôn tập kĩ lại phần kiến thức về góc trong không gian:
- Cách tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian
- Cách tính góc giữa hai mặt phẳng trong không gian
2.1. Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy

Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy thì đường cao khối chóp là cạnh bên đó.

Ví dụ, hình chóp $S.ABCD$ có cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng đáy thì thể tích của nó là $$ V =\frac{1}{3} SA\cdot S_{ABCD}$$

2.2. Hình chóp chứa hai mặt phẳng vuông góc với đáy

Hình chóp chứa hai mặt phẳng vuông góc với đáy thì đường cao là giao tuyến của hai mặt phẳng đó.

Ví dụ, hình chóp $S.ABCD$ có hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SBC)$ cùng vuông góc với mặt phẳng đáy thì đường cao của hình chóp chính là giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SBC)$. Tức là đường thẳng $SB$. Do đó, thể tích của hình chóp là $$
V =\frac{1}{3} SB\cdot S_{ABCD} $$

2.3. Hình chóp chứa một mặt phẳng vuông góc với đáy

Hình chóp chứa một mặt phẳng vuông góc với đáy, mặt phẳng đó thường là một tam giác thì đường cao của hình chóp chính là đường cao của tam giác đó.

Cho hình chóp $S.ABC$ có $ (SAC) $ vuông góc với mặt phẳng đáy. Khi đó, để xác định đường cao của hình chóp chúng ta làm như sau:
- Trong mặt phẳng $ (SAC) $ kẻ $ SH $ vuông góc với $ AC $, $ H $ thuộc $ AC $.
- Sử dụng tính chất của Hai mặt phẳng vuông góc với nhau , ta chứng minh được $ SH $ vuông góc với $ (ABC) $ hay $ SH $ là đường cao của hình chóp.
Do đó, thể tích khối chóp $ S.ABC $ là $$ V=\frac{1}{3}SH\cdot S_{ABC} $$

2.4. Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau và hình chóp đều

Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau và hình chóp đều thì đường cao đi qua đỉnh và tâm đường tròn ngoại tiếp của đáy.
- Các em học sinh cần lưu ý hình chóp đều là hình chóp có đáy là một đa giác đều và có các cạnh bên bằng nhau. Các cạnh bên này và cạnh đáy có thể bằng nhau hoặc không bằng nhau đều được.
- Một hình chóp đều thì có các cạnh bên bằng nhau nhưng hình chóp có các cạnh bên bằng nhau thì chưa đủ điều kiện để là một hình chóp đều. Tuy nhiên, một hình chóp mà có các cạnh bên bằng nhau (bao gồm cả hình chóp đều) thì có tính chất:
- Hình chiếu vuông góc của đỉnh hình chóp lên mặt đáy trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp của đáy.
Chẳng hạn, với hình chóp đều tứ giác $S.ABCD$ thì gọi $ O $ là tâm hình vuông (tức là giao điểm hai đường chéo của hình vuông, đồng thời cũng là tâm đối xứng, tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn ngoại tiếp hình vuông) thì chứng minh được $ SO $ vuông góc với mặt phẳng đáy.

Như vậy, chiều cao hình chóp $S.ABCD$ là $ SO $ và thể tích của khối chóp $ S.ABCD $ là $$ V=\frac{1}{3}SO\cdot S_{ABCD} $$

3. Các dạng toán tính thể tích khối chóp

3.1. Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy

Ví dụ 1. [TN2013] Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy là hình vuông cạnh $ a $ và $ SA $ vuông góc với đáy. Cạnh $ SD $ tạo với mặt phẳng $ (SAB) $ góc $ 30^\circ. $ Tính thể tích khối chóp.

Đáp số $ V=\frac{a^3\sqrt{3}}{3} $.

Ví dụ 2. [TN2011] Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy là hình thang vuông tại $ A $ và $ D. $ Cạnh $ AD=CD=a,$ cạnh $AB=3a. $ Cạnh $ SA $ vuông góc với đáy và $ SC $ tạo với đáy một góc $ 45^\circ. $ Tính thể tích khối chóp $ S.ABCD $.

Đáp số $ V=\frac{2a^3\sqrt{2}}{3} $.

Ví dụ 3. [TN2010] cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy là hình vuông cạnh $ a $, cạnh $ SA $ vuông góc với đáy. Góc giữa mặt phẳng $ (SBD) $ và đáy là $ 60^\circ. $ Tính thể tích khối chóp $ S.ABCD $?

Hướng dẫn. Gọi $ O $ là tâm của đáy thì $ \widehat{SOA}=60^\circ. $ Đáp số $ V=\frac{a^3\sqrt{6}}{6}. $

Ví dụ 4. [TN2009] Cho hình chóp $ S.ABC $ có mặt bên $ SBC $ là tam giác đều cạnh $ a $, cạnh $ SA $ vuông góc với đáy, $ \widehat{BAC}=120^\circ. $ Tính thể tích khối chóp $ S.ABC $.

Hướng dẫn. Hai tam giác vuông $ SAB $ và $ SAC $ bằng nhau nên $ AB=AC. $ Áp dụng định lí cosin có $ BC=\frac{a\sqrt{3} }{3}. $ Từ đó tìm được $ SA =\frac{a\sqrt{3}}{6} $ và thể tích bằng $ \frac{a^3\sqrt{2}}{36}. $

Ví dụ 5. Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy là hình chữ nhật, cạnh $ AB=a,AD=2a. $ Cạnh $ SB $ vuông góc với đáy và khoảng cách từ $ B $ tới $ (SAD) $ bằng $ \frac{2a}{\sqrt{5}}. $ Tính thể tích khối chóp.

Hướng dẫn. Dựng $ BH $ vuông góc với $ SA $ thì $ BH=\frac{2a}{\sqrt{5}}. $ Suy ra $ SB=2a $, và từ đó tìm được $ V=\frac{4}{3}a^3. $

3.2. Hình chóp chứa hai mặt phẳng vuông góc với đáy

Ví dụ 1. Cho hình chóp $ S.ABC $ đáy là tam giác vuông tại $ A,AB=3a,AC=4a, $ SC $ =5a $. Hai mặt bên $ (SAB) $ và $ (SAC) $ cùng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp?

Hướng dẫn. Từ giả thiết suy ra $ SA $ vuông góc với đáy và tìm được $ SA=3a. $ Đáp số $ V=6a^3. $

Ví dụ 2. Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy $ ABCD $ là hình chữ nhật với $ AB=a,BC=2a. $ Hai mặt phẳng $ (SAB) $ và $ (SAD) $ cùng vuông góc với đáy, cạnh $ SC $ hợp với đáy góc $ 60^\circ. $ Tính thể tích khối chóp $ S.ABCD $?

Hướng dẫn. Chỉ ra $ \widehat{SCA}=60^\circ $ và tìm được $ SA=a\sqrt{15} $. Từ đó tìm được đáp số $ {{V}_{ABCD}}=\frac{2{{a}^{3}}\sqrt{15}}{3}. $

Ví dụ 3. Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy là hình vuông cạnh $ a $. Các mặt bên $ (SAB) $ và $ (SAD) $ cùng vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa mặt phẳng $ (SBD) $ và đáy bằng $ {{45}^\circ} $. Tính thể tích khối chóp $ S.ABCD $ theo $ a $.

Đáp số $ V = \frac{{a^3}\sqrt{2}}{6} $

Ví dụ 4. [A2009] Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy là hình thang vuông tại $ A $ và $ D,$ cạnh $AB=AD=2a,$ cạnh $CD=a,$ góc giữa hai mặt phẳng $ \left( SBC \right) $ và $ \left( ABCD \right) $ bằng $ {{60}^\circ} $. Gọi $ I $ là trung điểm của $ AD $. Biết rằng hai mặt phẳng $ \left( SBI \right) $ và $ \left( SCI \right) $ cùng vuông góc với mặt đáy. Tính thể tích khối chóp $ S.ABCD $?

Hướng dẫn. Vì hai mặt phẳng $ \left( SBI \right) $ và $ \left( SCI \right) $ cùng vuông góc với mặt đáy nên giao tuyến của chúng cũng vuông góc với đáy, tức là $ SI\perp (ABCD) $. Kẻ $ IK\perp BC $ với $ K\in BC $ thì $ \widehat{SKI}=60^\circ. $ Gọi $ J $ là trung điểm $ BC $ từ tam giác vuông $ IKJ $ tìm được $ IK= \frac{3a\sqrt{5}}{5}. $ Từ đó tìm được $ SI=\frac{3a\sqrt{15}}{5}$. Đáp số $ V=\frac{3{{a}^{3}}\sqrt{15}}{5}. $

Ví dụ 5. [A2011] Cho hình chóp $ S.ABC $ có đáy $ ABC $ là tam giác vuông cân tại $ B, AB = BC = 2a $, hai mặt phẳng $ (SAB) $ và $ (SAC) $ cùng vuông góc với đáy. Gọi $ M $ là trung điểm của $ AB, $ mặt phẳng qua $ SM $ và song song với $ BC $, cắt $ AC $ tại $ N $. Biết góc giữa hai mặt phẳng $ (SBC) $ và $ (ABC) $ bằng $ 60^\circ $. Tính thể tích khối chóp $ S.BCNM $.

Hướng dẫn. Chỉ ra $ SA\perp(ABC) $ và góc giữa hai mặt phẳng $ (SBC) $ và $ (ABC) $ là $ \widehat{SBA} $. Mặt khác, chứng minh được $ N $ là trung điểm $ AC $. Từ đó, tìm được đáp số là $ {V_{S.BCNM}} = \sqrt 3 {a^3}. $

Ví dụ 6. Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy $ ABCD $ là hình thoi, $ AC = 2\sqrt{3}a, BD = 2a.$ Hai cạnh $AC $ và $ BD $ cắt nhau tại $ O. $ Hai mặt phẳng $ (SAC) $ và $ (SBD) $ cùng vuông góc với đáy. Biết khoảng cách từ điểm $ O $ đến mặt phẳng $ (SAB) $ bằng $ \frac{a\sqrt{3}}{4} $.Tính thể tích khối chóp $ S.ABCD $ theo $ a $.

Hướng dẫn. Hai mặt phẳng $ (SAC) $ và $ (SBD) $ cùng vuông góc với đáy nên giao tuyến $ SO $ của chúng chính là đường cao của hình chóp. Chỉ ra tam giác $ ABD $ đều. Gọi $ H $ là trung điểm của $ AB, K $ là trung điểm của $ HB $ và $ I $ là hình chiếu của $ O $ lên $ SK $ thì $ OI $ chính là khoảng cách từ điểm $ O $ đến mặt phẳng $ (SAB) $. Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, có $$ \frac{1}{{O{I^2}}} = \frac{1}{{O{K^2}}} + \frac{1}{{S{O^2}}} $$ và tìm được $SO = \frac{a}{2} $. Đáp số $ {{V}_{S.ABCD}}=\frac{\sqrt{3}{{a}^{3}}}{3}. $

3.3. Hình chóp chứa một mặt phẳng vuông góc với đáy

Ví dụ 1. Cho hình chóp $ S.ABC $ có đáy $ ABC $ là tam giác vuông tại $ A $, cho $ AB=a,AC=a\sqrt{3} $, mặt bên $ SBC $ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích của khối chóp $ S.ABC $.

Đáp số $ \frac{a^3}{2}. $

Ví dụ 2. [CĐ2010] Hình chóp $ S.ABCD $ có đáy là hình vuông cạnh $ a $. Mặt phẳng $ (SAB) $ vuông góc với đáy và $ SA=SB. $ Góc giữa $ SC $ và đáy là $ 45^\circ. $ Tính thể tích khối chóp $ S.ABCD $.

Hướng dẫn. Gọi $ I $ là trung điểm $ AB $ thì $ SI\perp (ABCD). $ Đáp số $ V=\frac{a^3\sqrt{5}}{6}. $

Ví dụ 3. Cho hình chóp $ S.ABCD $, đáy là hình thang vuông tại $ A $ và $ B,$ cạnh $AB=BC=a,$ cạnh $AD=2a. $ Mặt phẳng $ SAD $ vuông góc với đáy và tam giác $ SAD $ vuông tại $ S. $ Biết $ SB=a\sqrt{2} $, tính thể tích khối chóp $ S.ABCD $.

Ví dụ 4. Cho hình chóp $ S.ABC $ có $ BC=2a $ và đáy là tam giác vuông tại $ C. $ Tam giác $ SAB $ vuông cân tại $ S $ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Mặt phẳng $ (SAC) $ hợp với đáy một góc $ 60^\circ. $ Tính thể tích khối chóp $ S.ABC $.

Hướng dẫn. Gọi $ H,K $ là trung điểm của $ AB,AC $ thì $ SH\perp(ABC) $ và $ \widehat{SKH}=60^\circ. $ Đáp số $ V=\frac{2{{a}^{3}}\sqrt{6}}{3}. $

Ví dụ 5. [B2008] Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy là hình vuông cạnh $ 2a, SA = a, SB = a\sqrt{3} $ và mặt phẳng $ (SAB) $ vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi $ M, N $ lần lượt là trung điểm $ AB, BC $. Tính theo $ a $ thể tích khối chóp $ S.BMDN $ và tính cosin góc giữa hai đường thẳng $ SM, DN $.

Đáp số: $ V=\frac{{{a}^{3}}}{\sqrt{3}}$ và $\cos (SM,DN)=\frac{1}{\sqrt{5}} $.

Ví dụ 6. [B2006] Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy $ ABCD $ là hình chữ nhật với $ AB=a,$ $AD=a\sqrt{2},$ cạnh $SA=a $ và vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi $ M,N $ lần lượt là trung điểm của $ AD,SC $ và $ I $ là giao điểm của $ BM $ và $ AC $. Tính thể tích khối tứ diện $ ANIB $.

Hướng dẫn. Chỉ ra đường thẳng $ NO$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD) $ nên ${{V}_{ANIB}}={{V}_{N.AIB}}$ và được tính bởi công thức $$\frac{1}{3}.{{S}_{\Delta AIB}}.NO$$ Tính được $ AI,BI $ và suy ra tam giác $ AIB $ vuông tại $ I $. Từ đó tìm được đáp số ${{V}_{N.AIB}}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{36} $

Ví dụ 7. [A2007] Cho hình chóp $ S.ABCD $ đáy $ ABCD $ là hình vuông cạnh $ a $, mặt bên $ SAD $ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi $ M,N,P $ lần lượt là trung điểm của $ SB,BC,CD $. Chứng minh rằng $ AM\perp PB $ và tính thể tích khối tứ diện $ CMNP $.

Hướng dẫn. Gọi $ H $ là trung điểm của $ AD $ thì $ SH\perp AD $. Kẻ $ MK\parallel SH$ với $K\in HB $ thì chứng minh được $ MK\perp(ABCD) $ và $ MK=\frac{SH}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{4}. $ Do đó, thể tích khối chóp cần tính là \begin{align}
V&=V_{M.CNP}\\
&=\frac{1}{3}MK.S_{CNP}\\
&=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{96}
\end{align}

3.4. Hình chóp đều – Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau

Ví dụ 1. Hình chóp tam giác đều $ S.ABC $ có đáy là tam giác đều cạnh bằng $ a $, các cạnh bên tạo với đáy một góc $ 60^\circ $. Hãy tính thể tích của khối chóp $ S.ABC $.

Hướng dẫn. Gọi $ M $ là trung điểm $ BC $ và $ O $ là tâm của đáy thì $ \widehat{SAO}=60^\circ $. Từ đó tìm được $ SO=a $ và $ V=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{12} $

Ví dụ 2. Cho hình chóp tứ giác đều $ S.ABCD $ có cạnh đáy $ 2a $, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng $ {{60}^\circ} $. Tính thể tích của khối chóp $ S.ABCD $.

Hướng dẫn. Gọi $ O $ là tâm của đáy, $ M $ là trung điểm của $ AB $ thì $ \widehat{SMO}=60^\circ. $ Đáp số $ V=\frac{4{{a}^{3}}\sqrt{3}}{3}. $

Ví dụ 3. Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy $ ABCD $ là hình chữ nhật, $ AB = a , AD = 2a $. Đỉnh $ S $ cách đều các đỉnh $ A,B,C,D $ của mặt đáy và $ SB = a\sqrt{5} $. Tính thể tích khối chóp $ S.ABCD. $

Hướng dẫn. Đáp số \begin{align} {V} &= \frac{1}{3}SO.{S_{ABCD}} \\ &= \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt {15} }}{2}.2{a^2} \\ &= \frac{{{a^3}\sqrt {15} }}{3} \end{align}

Ví dụ 4. Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy là hình thoi cạnh $ a,\widehat{ABC} =60^\circ$, cạnh $SB = 2a $. Đỉnh $ S $ cách đều các đỉnh $ A,B,C $ của mặt đáy $ ABCD $. Tính thể tích khối chóp $ S.ABCD.$

Hướng dẫn. Chỉ ra tam giác $ ABC $ đều và gọi $ H $ là tâm của tam giác $ ABC $ thì $ SH\perp(ABCD). $ Từ đó tìm được \begin{align}
{{V}}&=\frac{1}{3}SH.{{S}_{ABCD}}\\
&=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{33}}{9}.\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}\\
&=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{11}}{18}
\end{align}

Ví dụ 5. Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy là hình thoi cạnh $ a $ và $SA=a$. Các góc $\widehat{SAB},\widehat{SAD} ,\widehat{BAD}$ cùng bằng $60^\circ $. Tính thể tích khối chóp $ S.ABCD $.

Hướng dẫn. Gọi $ O $ là tâm hình thoi $ ABCD $. Từ $ SA=AB=AD=a $ và $ \widehat{SAB}=\widehat{SAD}=60^\circ $ suy ra các tam giác $ SAB,SAD $ đều.

Do đó, $ SA=SB=SD $ nên hình chiếu của đỉnh $S$ lên mặt đáy sẽ trùng với tâm $ H $ của tam giác $BAD $.

Có cạnh $ BD=a$ nên suy ra $ AC=a\sqrt{3}$ và tính được diện tích $ABCD$ là $\frac{1}{2}AC.BD=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}. $

Trong tam giác $ BAD $ có $ AH=\frac{2}{3}AO=\frac{a\sqrt{3}}{3} $ nên suy ra $ SH=\sqrt{SA^2-AH^2}$. Từ đó tính được $SH=\frac{a\sqrt{6}}{3}. $
Suy ra $ V=\frac{a^3\sqrt{2}}{6}. $

4. Bài tập . thể tích khối chóp

Hình chóp có chứa một cạnh bên vuông góc với đáy

Bài tập 1. Cho hình chóp $ S.ABC $ có đáy $ ABC $ là tam giác vuông tại $ B $ với $ AC=a,SA\perp \left( ABC \right) $ và $ SB $ hợp với mặt phẳng đáy $ (ABC) $ một góc $ {{60}^\circ} $. Tính thể tích của khối chóp.
Đáp số: $ V=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{24} $.

Bài tập 2. Cho hình chóp $ S.ABC $ có đáy $ ABC $ là tam giác vuông tại $ B,SA\perp \left( ABC \right) $. Biết rằng $ AB=a, AC=2a $, góc giữa hai mặt phẳng $ \left( SBC \right) $ và $ \left( ABC \right) $ bằng $ {{60}^\circ} $. Tính thể tích khối chóp $ S.ABC $ theo $ a $.
Đáp số: $ V=\frac{a^3}{2} $.

Bài tập 3. [CĐ2008] Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy $ ABCD $ là hình thang, các góc $ \widehat{BAD}$, $\widehat{ABC}$ cùng bằng ${{90}^\circ}$, $AB=BC=a,$ $AD=2a$, cạnh $ SA$ vuông góc với $\left( ABCD \right)$ và dài bằng $2a $. Gọi $ M,N $ lần lượt là trung điểm của $ SA,SD $. Chứng minh rằng $ BCNM $ là hình chữ nhật và tính thể tích của khối chóp $ S.BNM $?
Hướng dẫn. Có \begin{align}
V_{S.BNM}&=V_{N.BMS}\\
&=\frac{1}{3}NM.S_{\Delta BMS} \\
&=\frac{a^3}{6}
\end{align}

Bài tập 4. [CĐKT Cao Thắng 2007] Cho hình chóp $ S.ABC $ có đáy $ \Delta ABC $ là tam giác vuông tại $ B $ và $ SA\perp \left( ABC \right) $ với $ \widehat{ACB}={{60}^\circ} $, $ BC=a,SA=a\sqrt{3} $. Gọi $ M $ là trung điểm của cạnh $ SB $. Chứng minh $ \left( SAB \right)\perp \left( SBC \right) $ và tính thể tích khối tứ diện $ MABC $.
Hướng dẫn. Có \begin{align}
V_{MABC }&=V_{C.MAB}\\
&=\frac{1}{3}CB.S_{\Delta MAB} \\
&=\frac{{{a}^{3}}}{4}.
\end{align}

Bài tập 5. Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là $\Delta ABC$ vuông tại $A$ và $SB\perp \left( ABC \right)$. Biết $SB=a,SC$ hợp với mặt phẳng $\left( SAB \right)$ một góc ${{30}^\circ}$ và mặt phẳng $\left( SAC \right)$ hợp với mặt phẳng $\left( SAB \right)$ một góc ${{60}^\circ}$. Chứng minh $SC^2=SB^2+AB^2+AC^2$ và tính thể tích khối chóp $S.ABC$.

Hướng dẫn. Chỉ ra $ AC\perp (SAB) $ nên tam giác $ SAC $ vuông. Do đó $ SC^2=SA^2+AC^2$ và suy ra $SC^2=SB^2+AB^2+AC^2. $ Thể tích $V=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{27}$.

Bài tập 6. Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy $ ABCD $ là hình chữ nhật với $ AB=3a, BC=4a $. Biết $ SD $ vuông góc với đáy và tam giác $ SBC $ có diện tích $ 6\sqrt{2} a^2 $. Tính thể tích khối chóp $ S.ABCD $ theo $ a $.
Đáp số: $ 12a^3 $

Bài tập 7. [A2010] Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy $ ABCD $ là hình vuông cạnh $ a $. Gọi $ M $ và $ N $ lần lượt là trung điểm của các cạnh $ AB $ và $ AD,H $ là giao điểm của $ CN $ và $ DM $. Biết $ SH\perp \left( ABCD \right) $ và $ SH=a\sqrt{3} $. Tính thể tích khối chóp $ S.CDNM $.
Hướng dẫn. Tính diện tích của tứ giác $ CDNM$ bằng cách lấy diện tích ${ABCD}$ trừ đi diện tích tam giác ${AMN}$ và ${BMC} $. Đáp số $ V=\frac{5{{a}^{3}}\sqrt{3}}{24}$.

Bài tập 8. [DB A2006] Cho hình hộp đứng $ABCD.A’B’C’D’$ có $AB=AD=a,$ cạnh bên $AA’=\frac{a\sqrt{3}}{2},$ góc ${BAD}={{60}^{0}}$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $A’D’$ và $A’B’$. Chứng minh rằng: $AC’\bot \left( BDMN \right)$ và tính thể tích khối chóp $A.BDMN$.

Hướng dẫn. Nhận thấy $ABCD$ là hình thoi nên chứng minh được $ BD\perp(ACC’A’) $. Do đó $ AC’\perp BD. $ Gọi $ E=MD\cap AA’ $ thì $ A’ $ là trung điểm $ AE $ và $ AA’,BN,DM $ đồng quy tại $ E. $ Hai tam giác vuông $ AOE $ và $ CC’A $ bằng nhau nên suy ra $ AC’\perp OE. $ Như vậy $ AC’ $ vuông góc với $ BD $ và $ OE $ nên $ AC’\perp(BDMN) $. Gọi $ H=AC’\cap OE $ thì $ AH $ là đường cao của hình chóp $ A.BDMN $. Khi đó, $ V=\frac{1}{3}AH.S_{BDMN}=\frac{3{{a}^{3}}}{16}. $

Hình chóp có chứa hai mặt phẳng vuông góc với đáy

Bài tập 9. Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy $ ABCD $ là hình vuông cạnh $ a $, hai mặt bên $ \left( SAB \right) $ và $ \left( SAD \right) $ cùng vuông góc với $ \left( ABCD \right) $. Cho $ SB=3a $. Gọi $ M $ là trung điểm của $ CD $. Tính thể tích của khối chóp $ S.ABCM $.
Đáp số: $ V=\frac{3\sqrt{2}a^3}{2} $

Bài tập 10. Hình chóp $ S.ABC $ có các cạnh $ SB,SC,BC,CA$ bằng nhau và cùng bằng $a, $ hai mặt $ (ABC) $ và $ (ASC) $ cùng vuông góc với $ (SBC). $ Tính thể tích khối chóp $S.ABC$.
Đáp số: Chọn $ A $ làm đỉnh hình chóp. Đáp số $ V=\frac{a^3\sqrt{3}}{12} $

Bài tập 11. Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy $ ABCD $ là hình chữ nhật, các mặt bên $ \left( SAB \right) $ và $ \left( SAD \right) $ cùng vuông góc với mặt đáy $ \left( ABCD \right) $, cho $ AB=a,AD=2a,$ cạnh $SC $ tạo với mặt đáy $ \left( ABCD \right) $ một góc $ {{45}^\circ} $. Tính thể tích của khối chóp $ S.ABCD $.
Đáp số: $ V=\frac{2\sqrt{3}a^3}{3}.$

Bài tập 12. Hình chóp $ S.ABC $ có hai mặt bên $ (SAB) $ và $ (SAC) $ cùng vuông góc với mặt đáy. Biết rằng đáy $ ABC $ là tam giác vuông cân đỉnh $ A $ với trung tuyến $ AD = a $, cạnh bên $ SB $ tạo với đáy một góc $ \alpha $. Biết $ $SA$=a\sqrt{6} $, hãy tìm góc $ \alpha $ và tính thể tích khối chóp $ S.ABC$.
Đáp số:
$ \alpha=\widehat{SBA}=60^\circ $, $ V=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{6}}{3} $.

Bài tập 13. Cho hình chóp $ S.ABC $ có các mặt bên đôi một vuông góc. Diện tích các mặt bên lần lượt là $ 4a^2,6a^2 $ và $ 12a^2. $ Tính thể tích khối chóp.

Hướng dẫn. Chỉ ra $ SA,SB,SC $ đôi một vuông góc. Đặt $ SA=x,$ $SB=y,$ $SC=z $ và biểu diễn tích $ xyz $ theo $ a. $ Từ đó tìm được thể tích $ V=8a^3 $.

Bài tập 14. Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy $ ABCD $ là hình thang vuông tại $ A $ và $ D $, $ AD=DC=a,AB=2a $. Biết rằng hai mặt phẳng $ \left( SAB \right) $ và $ \left( SAD \right) $ cùng vuông góc với mặt đáy $ \left( ABCD \right),SC $ tạo với mặt phẳng đáy $ \left( ABCD \right) $ một góc $ {{60}^\circ} $. Gọi $ I $ là trung điểm của $ SB $.
1. Tính thể tích của khối chóp $ S.ABCD $ theo $ a $.
2. Chứng minh tam giác $ SBC $ vuông và tính thể tích khối chóp $ S.ACI $.
Hướng dẫn. Có \begin{align}
V&=V_{I.SAC}\\
&=\frac{1}{3}d(I,(SAC)).S_{\Delta SAC}\\
&= \frac{1}{3}.\frac{1}{2}d(B,(SAC)).S_{\Delta SAC}
\end{align} Đáp số $ V_{S.ABCD}=\frac{\sqrt{6}a^3}{2},$ và $V_{S.ACI}=\frac{a^3\sqrt{6}}{6}. $

Hình chóp có chứa một mặt phẳng vuông góc với đáy

Bài tập 15. Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy là hình thang cân với $ AD\parallel BC $. Mặt phẳng $ (SAD) $ vuông góc với đáy. Cho $ AB=BC=CD=a$ và $SA=SD=AD=2a $. Tính thể tích khối chóp $ S.ABCD. $ Tính thể tích khối chóp $ S.ABC$.

Đáp số: $ V_{S.ABCD}=\frac{3a^3}{4}$ và $V_{S.ABC}=\frac{a^3}{4}. $

Bài tập 16. Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy $ ABCD $ là hình thang vuông tại $ A $ và $ D,AD=DC=a,AB=2a $. Biết rằng $ \Delta SAB $ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với $ \left( ABCD \right) $. Tính thể tích khối chóp $ S.ABCD $.

Đáp số: $ V=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{3}}{2} $.

Bài tập 17. Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy là hình vuông cạnh $ a, $ mặt phẳng $ (SAC) $ vuông góc với đáy, $ \widehat{ASC}=90^\circ $ và $ SA $ tạo với đáy một góc $ \alpha. $ Tính thể tích khối chóp.

Hướng dẫn. Kẻ $ AH $ vuông góc với $ AC $ tại $ H $ thì $ AH $ là đường cao của hình chóp. Đáp số: $ V=\frac{a^3\sqrt{2}\sin2\alpha}{6} $

Bài tập 18. Hình chóp $ S.ABC $ có $ \widehat{BAC}=90^\circ,$ $\widehat{ABC}=\alpha.$ Tam giác $SBC $ là tam giác đều cạnh $ a $ và $ (SAB)\perp (ABC). $ Tính thể tích khối chóp $ S.ABC $.

Hướng dẫn. Hạ $ SH\perp AB $ thì có hai tam giác $ SHB,SHC $ bằng nhau nên suy ra $ HB=HC $. Gọi $ I $ là trung điểm $ BC $ thì $ HI $ là đường trung tuyến và đường cao của tam giác cân $ HBC $ nên tính được $ HB =\frac{a}{2\cos\alpha} $. Từ đó tìm được $ SH=\frac{a\sqrt{4\cos^2\alpha-1}}{2\cos\alpha} $. Đáp số: $ \frac{1}{12}a^3\sin\alpha\sqrt{4\cos^2\alpha-1} $

Bài tập 19. Hai hình thang $ ABCD $ và $ ABEF $ cùng vuông tại $ A,B $ và nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Cho $ AB=5a$, $AD=AF=a$, $BC=4a$, $BE=x. $ Định $ x $ để hai tứ diện $ ABDF $ và $ ABCE $ có thể tích bằng nhau.

Đáp số: $ x=\frac{a}{4}. $

Hình chóp đều và hình chóp có các cạnh bên bằng nhau

Bài tập 20. [TN2008] Cho hình chóp đều $ S.ABC $ có cạnh đáy bằng $ a $, cạnh bên bằng $ 2a $. Gọi $ I $ là trung điểm của cạnh $ BC $. Chứng minh: $ SA\perp BC $ và tính thể tích khối chóp $ S.ABI $ theo $ a $.

Bài tập 21. Tính thể tích tứ diện đều có các cạnh bằng $ a $.

Đáp số: $ \frac{a^2\sqrt{2}}{12} $

Bài tập 22. Tính thể tích khối chóp tứ giác đều có cạnh bên và cạnh đáy cùng bằng $ a $.

Đáp số: $ \frac{a^2\sqrt{2}}{6} $

Bài tập 23. Hình chóp tứ giác đều $ S.ABCD $ có cạnh đáy bằng $ a $, các cạnh bên tạo với mặt đáy góc $ {{60}^\circ} $. Tính thể tích hình chóp đó.
Đáp số: $ \frac{{{a}^{3}}}{\sqrt{6}} $

Bài tập 24. Cho hình chóp đều $ S.ABCD $ có cạnh đáy bằng $ a $, các cạnh bên tạo với mặt đáy góc $ {{45}^\circ} $. Tính thể tích khối chóp.
Đáp số: $ \frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{6} $

Bài tập 25. Hình chóp tứ giác đều $ S.ABCD $ có chiều cao $ SH = h $, góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng $ \alpha $. Tính thể tích khối chóp theo $ h $ và $ \alpha $.

Đáp số: $ \frac{4{{h}^{3}}{{\cot }^{2}}\alpha }{3} $

Bài tập 26. [Cao Đẳng Kinh Tế Đối Ngoại 2007]
Cho hình chóp $ S.ABCD $ có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Chứng minh rằng $ S.ABCD $ là hình chóp đều. Tính độ dài cạnh của hình chóp này khi biết thể tích của nó bằng $ \frac{9{{a}^{3}}\sqrt{2}}{2} $.
Đáp số: $ 3a $.

Bài tập 27. [DB D2006] Cho hình chóp tứ giác đều $ S.ABCD $ có cạnh đáy bằng $ a $. Gọi $ SH $ là đường cao của hình chóp. Khoảng cách từ trung điểm $ I $ của $ SH $ đến mặt bên $ \left( SBC \right) $ bằng $ b $. Tính thể tích khối chóp $ S.ABCD $.

Hướng dẫn. Gọi $ M $ là trung điểm của $ CD $, hạ $ IK\perp SM $ thì $ IK $ chính là khoảng cách từ $ I $ đến mặt phẳng $ (SCD). $ Đáp số: $ V=\frac{2{{a}^{3}}b}{3\sqrt{{{a}^{2}}-16{{b}^{2}}}} $.

Bài tập 29. [B2004] Cho hình chóp tứ giác đều $ S.ABCD $ có cạnh đáy bằng $ a $, góc giữa cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng $ \varphi$. Tính tang góc giữa hai mặt phẳng $ \left( SAB \right) $ và mặt phẳng $ \left( ABCD \right) $ theo $ \varphi $. Tính thể tích khối chóp theo $ a $ và $ \varphi $.

Đáp số: $ \sqrt{2}\tan \varphi$, $V=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}.\tan \varphi }{6} $.
11/04/2021
Chuyên đề thiết diện trong hình học không gian
Chuyên đề thiết diện trong hình học không gian

Thầy cô tải file PDF chuyên đề thiết diện ở cuối bài viết.

Xem thêm: Thiết diện là gì và các phương pháp tìm thiết diện

Bài toán xác định thiết diện của một hình chóp, một hình lăng trụ khi cắt bởi một mặt phẳng gắn liền với các cách xác định một mặt phẳng trong không gian.

Ở bài này, chúng tôi xin giới thiệu 3 loại toán xác định thiết diện của một hình không gian cắt bởi mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ trong các trường hợp sau:

1. Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ xác định bởi ba điểm phân biệt không thẳng hàng.

Đối với loại toán này, chúng tôi giới thiệu 2 phương pháp để xác định thiết diện là phương pháp giao tuyến gốc và phương pháp phép chiếu xuyên tâm.

1.1. Phương pháp giao tuyến gốc (Trace method)
- Xác định giao tuyến $d$ của mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ với một mặt ${\cal H}$ của hình chóp, hình lăng trụ (thường là với mặt đáy).
- Tìm các giao điểm của giao tuyến $d$ với các cạnh, đường chéo của mặt ${\cal H}$.
- Các giao điểm này thuộc mặt đáy nhưng cũng thuộc vào các mặt bên của hình ${\cal H}$. Từ các giao điểm này, chúng ta sẽ xác định được giao tuyến của $\left( \alpha \right)$ và các mặt còn lại của hình chóp. Từ đó dựng được thiết diện.
Ví dụ 1. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy không là hình thang. Giả sử $M$ là một điểm trên $SD$, xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng $\left( {ABM} \right)$.

Hướng dẫn.
- Rõ ràng rằng giao tuyến của mặt phẳng $\left( {ABM} \right)$ với mặt đáy $\left( {ABCD} \right)$ là đường thẳng $AB$, nên chúng ta lựa chọn đường thẳng $AB$ làm giao tuyến gốc.
- Tiếp theo, ta xác định các giao điểm của đường thẳng $AB$ với các cạnh của đáy, nếu không được thì sẽ sử dụng đến giao điểm với đường chéo. Vì tứ giác $ABCD$ không là hình thang nên kéo dài hai đường thẳng $AB$ và $CD$ thì chúng sẽ cắt nhau, giả sử là điểm $I$.
- Lúc này, đường thẳng $IM$ nằm trong mặt phẳng $\left( {SCD} \right)$ nên nó sẽ cắt được đường thẳng $SC$, giả sử cắt tại điểm $N$.
- Thấy ngay, mặt phẳng $\left( {ABM} \right)$ lần lượt cắt các mặt của hình chóp $S.ABCD$ theo các giao tuyến tạo thành một tứ giác là $AMNB$ nên thiết diện chính là tứ giác $AMNB$.
Ví dụ 2. Cho tứ diện $ABCD$ có $M,N$ là trung điểm của $AB,CD$. Giả sử $P$ là một điểm nằm trên cạnh $AD$ nhưng không là trung điểm. Xác định thiết diện của mặt phẳng $\left( {MNP} \right)$ và tứ diện?

Hướng dẫn. Chúng ta lựa chọn $MP$ là giao tuyến gốc. Trong mặt phẳng $\left( {ABD} \right),\;$kéo dài $MP$ cắt $BD$ tại $E$. Trong mặt phẳng $\left( {BCD} \right)$, nối $EN$ cắt $BC$ tại $Q$. Thiết diện là tứ giác $MPNQ$.

Ví dụ 3. Cho hình chóp $S.ABCD$ có điểm $M$ là trung điểm $SC,N$ là một điểm trên cạnh $SD$ sao cho $SN < DN$. Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng $\left( {AMN} \right)$.

Hướng dẫn. Chúng ta lựa chọn $MN$ làm giao tuyến gốc. Trong mặt phẳng $\left( {SCD} \right)$, kéo dài $MN$ cắt $CD$ tại $P$. Trong mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$, nối $AP$ cắt $BC$ tại $Q$, tùy thuộc vào vị trí điểm $Q$ nằm trong hay ngoài đoạn $BC$ mà ta được thiết diện là như trong 2 hình vẽ sau đây.

Ví dụ 4. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của $BC,CD$ và $SA$. Xác định thiết diện của hình chóp và mặt phẳng $\left( {MNP} \right)$.

Hướng dẫn. Chúng ta chọn $MN$ làm giao tuyến gốc. Trong mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$, kéo dài $MN$ cắt $AB,AD$ lần lượt tại $J,I$. Trong mặt phẳng $\left( {SAD} \right)$, gọi giao điểm của $PI$ và $SD$ là $O.$ Trong mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$, gọi $Q$ là giao điểm của $PJ$ và $SB$. Thiết diện là ngũ giác $MNOPQ$.

Ví dụ 5. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Gọi $M,N,P$ lần lượt là trung điểm của $CD,BC$ và $SB$. Xác định thiết diện của hình chóp và mặt phẳng $\left( {MNP} \right)$.

Hướng dẫn. Trong mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ gọi $O,K$ lần lượt là giao điểm của $MN$ với $AB$ và $AD$. Trong mặt phẳng $\left( {SAB} \right)$ gọi $Q$ là giao điểm của $SA$ và $PO$. Trong mặt phẳng $\left( {SAD} \right)$ gọi $R$ là giao điểm của $QK$ và $SD$. Thiết diện là ngũ giác $MNPQR$.

Ví dụ 6. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành tâm $O$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $BC,CD$. Trên đoạn $SO$ lấy điểm $P$ sao cho $SP > OP$. Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng $\left( {MNP} \right)$.

Hướng dẫn. Trong mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ gọi $E,F,G$ lần lượt là giao điểm của $MN$ với $AB,AD,AC$. Trong mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ gọi $J = \;GP \cap SA$, trong $\left( {SAB} \right)$ gọi $K = JE \cap SB$, trong $\left( {SAD} \right)$ gọi$\;I = JF \cap SD$. Thiết diện là ngũ giác $MNIJK$.

Ví dụ 7. Cho tứ diện $ABCD$ có $M$ là trung điểm của $AB$ và $G$ là trọng tâm tam giác $ACD.\;N$ là một điểm bất kì thuộc đoạn $BC$. Xác định thiết diện của tứ diện khi cắt bởi mặt phẳng $\left( {MNG} \right).$

Hướng dẫn. Tình huống này học sinh dễ ngộ nhận $MN$ cắt $AC,\;$điều này chưa chắc xảy ra vì nếu $N$ ở vị trí trung điểm $BC$ thì khi đó $MN$ và $AC$ song song với nhau.

Chúng ta có thể sử dụng phương pháp phép chiếu xuyên tâm hoặc chọn giao tuyến gốc như sau:
- Trong mặt phẳng $(ACD$), kéo dài $AG$ cắt $CD$ tại $F$.
- Trong mặt phẳng $\left( {ABF} \right)$ gọi $I$ là giao điểm của $MG$ và $BF$, hai đường thẳng này chắc chắn cắt nhau vì $\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{1}{2} \ne \frac{{AG}}{{AF}} = \frac{1}{3}$. Giao tuyến gốc ở đây chính là đường thẳng $NI$.
- Trong mặt phẳng $\left( {BCD} \right)$ gọi $P$ là giao điểm của $CD$ và $NI$.
- Thiết diện là tứ giác $MNPQ$.
1.2. Phương pháp phép chiếu xuyên tâm (Inner Projection Method).

Phép chiếu xuyên tâm (còn được gọi là phép phối cảnh, tiếng Anh: inner projection) được giới thiệu ngay từ lớp 8, trong chương trình công nghệ – vẽ kỹ thuật.

Trong không gian, cho một điểm $S$ và một mặt phẳng $\left( P \right)$ không đi qua $S$. Quy tắc biến mỗi điểm $M$ trong không gian thành điểm là giao điểm của mặt phẳng $\left( P \right)$ và đường thẳng $SM$ được gọi là phép chiếu xuyên tâm (tâm $S$) xuống mặt phẳng $\left( P \right)$.

Phương pháp phép chiếu xuyên tâm còn được gọi là phương pháp đường gióng.
- Chọn một tam giác trên mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ làm tam giác cơ sở và xác định hình chiếu của nó lên mặt đáy qua phép chiếu xuyên tâm với tâm là đỉnh của hình chóp.
- Xác định các giao điểm của tam giác hình chiếu với các cạnh, đường chéo của đáy.
- Dựa vào quan hệ liên thuộc, tìm các điểm trên mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ tương ứng với các điểm ở dưới mặt đáy.
Ví dụ 1. Cho hình chóp $S.ABCD$ có $C’$ là một điểm trên cạnh $SC$. Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng $\left( {ABC’} \right)$ trong trường hợp:
1. $AB$ không song song với $CD$;
2. $AB$ song song với $CD$.
Hướng dẫn. Rõ ràng phần 1 học sinh có thể làm bằng phương pháp giao tuyến gốc. Tuy nhiên sang phần 2 học sinh sẽ không thể giải được theo phương pháp đó mà phải sử dụng phương pháp phép chiếu xuyên tâm.
- Chọn tam giác $ABC’$ làm tam giác cơ sở. Qua phép chiếu xuyên tâm $S$ lên mặt phẳng $(ABCD$) thì tam giác cơ sở biến thành tam giác $ABC$. Chúng ta sẽ lần lượt đi tìm giao điểm của các cạnh tam giác này với các cạnh và đường chéo của đáy.
- Trong mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Nhận thấy rằng điểm $O$ thuộc tam giác $ABC$ thì sẽ có một điểm $O’$ tương ứng thuộc tam giác cơ sở $ABC’$ mà qua phép chiếu sinh ra điểm $O$ này. Nhiệm vụ của chúng ta là tìm ra điểm $O’$ đó.
- Trong mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ thấy ngay $O’$ là giao điểm của $SO$ và $AC’$.
- Cuối cùng, trong mặt phẳng $\left( {SBD} \right)$ gọi $D’$ là giao điểm của $BO’$ và $SD$. Thiết diện là tứ giác $ABC’D’.$
Ví dụ 2. Cho hình chóp $S.ABCD$ có ba điểm $M,N,P$ lần lượt thuộc $SA,SB,SC$. Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng $\left( {MNP} \right)$.

Hướng dẫn. Chọn tam giác $MNP$ làm tam giác cơ sở. Chiếu lên đáy được tam giác $ABC$. Cạnh $AC$ của tam giác hình chiếu này cắt đường chéo $BD$ của đáy tại $O$. Trong mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ gọi $I$ là giao điểm của $SO$ và $MN$. Trong mặt phẳng $\left( {SBD} \right)$ gọi $Q$ là giao điểm của $NI$ và $SD$. Thiết diện là tứ giác $MNPQ.$

Ví dụ 3. [Ví dụ 7 ở phần 1.1.] Cho tứ diện $ABCD$ có $M$ là trung điểm của $AB$ và $G$ là trọng tâm tam giác $ACD.\;N$ là một điểm bất kì thuộc đoạn $BC$. Xác định thiết diện của tứ diện khi cắt bởi mặt phẳng $\left( {MNG} \right).$

Hướng dẫn.
- Chọn tam giác $MNG$ làm tam giác cơ sở, chiếu lên đáy được tam giác $BNF$. Cạnh $BF$ của tam giác hình chiếu này cắt $ND$ tại $O$.
- Trong mặt phẳng $\left( {ABF} \right)$, gọi giao điểm của $MG$ và $SO$ là $I$.
- Trong mặt phẳng $\left( {AND} \right)$, đường thẳng $NI$ cắt $AD$ tại $Q.$
- Trong mặt phẳng $\left( {ACD} \right)$, đường thẳng $QG$ cắt $CD$ tại $P$.
- Thiết diện là tứ giác $MNPQ.$
Ví dụ 4. Cho hình chóp $S.ABCD$ có $M$ là một điểm thuộc miền trong tam giác $SCD$. Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng $\left( {ABM} \right)$.

Hướng dẫn. Trong mặt phẳng $\left( {SCD} \right)$ gọi $E = SM \cap CD$, trong mặt phẳng $\left( {ABCD} \right)$ gọi $F = AC \cap BE$, trong mặt phẳng $\left( {SBE} \right)$ gọi$\;I = BM \cap SF$, trong mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ gọi $N = AI \cap SC$, trong mặt phẳng $\left( {SCD} \right)$ gọi $H = MN \cap SD$. Thiết diện là tứ giác $ABNH$.

Ví dụ 5. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành tâm $O.$ Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm $SA,SD$. Xác định thiết diện của hình chóp và mặt phẳng $\left( {OMN} \right).$

Hướng dẫn. Nếu ta chọn tam giác cơ sở là $OMN$ thì chiếu xuống mặt đáy được tam giác $OAD$. Tam giác hình chiếu này không cắt được cạnh nào của hình bình hành $ABCD$. Do đó ta pahir chọn một tam giác cơ sở khác.

Lấy điểm $K$ bất kì thuộc $MO$ và chọn $MNK$ làm tam giác cơ sở. Chiếu tam giác này lên mặt đáy được tam giác $ADH$. Kéo dài $DH$ cắt $NK$ tại $J$. Đường thẳng $OJ$ cắt $AB,CD$ tại $Q,P$. Thiết diện là tứ giác $MNPQ.$

Cách giải khác cho ví dụ này xin mời xem Ví dụ 1 ở phần 2 sau đây.

2. Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua một điểm và song song với hai đường thẳng

Chúng ta thường sử dụng 2 kết quả sau để dựng thiết diện.
- Nếu mặt phẳng $\left( \alpha \right){\rm{\;}}$chứa đường thẳng $d$ mà $d\parallel \left( \beta \right)$ thì giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ và $\left( \beta \right)$ cũng song song với đường thẳng $d$.
- Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng cũng song song với đường thẳng đó.
Ví dụ 1. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành tâm $O$. Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua $O$ và song song với $SB,SC.$ Thiết diện là hình gì?

Hướng dẫn.
- Qua $O$ kẻ đường thẳng song song với $SB$, nó cắt $SD$ tại $N$. $N$ là trung điểm $SD$ vì $ON$ là đường trung bình của tam giác $SBD.$
- Tương tự, qua $O$ kẻ đường thẳng song song với $SC$, nó cắt $SA$ tại trung điểm $M$.
- Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ chính là mặt phẳng $\left( {OMN} \right)$.
- Đường thẳng $MN$ nằm trong mặt phẳng $\left( {OMN} \right)$ và song song với $\left( {ABCD} \right)$, nên giao tuyến $d$ của hai mặt phẳng $\left( {OMN} \right)$ và $\left( {ABCD} \right)$ phải song song với đường thẳng $MN$.
- Mà giao tuyến $d$ chắc chắn phải chứa điểm $O$. Do đó, $d$ là đường thẳng đi qua $O$ và song song $MN$, tức là cũng song song với $AD$.
- Đường thẳng $d$ cắt $AB,CD\;$tại $Q,P$ thì thiết diện là hình thang $MNPQ$.
Ví dụ 2. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng đi qua điểm $M$ thuộc đoạn $AC$ và song song với hai đường thẳng $BD,SA$. Hãy dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng $\left( P \right).$

Hướng dẫn. Chúng ta phải xét hai trường hợp, điểm $M$ nằm trong đoạn $AO$ và nằm trong đoạn $OC$, với $O$ là tâm hình bình hành.

Trường hợp 1. Nếu $M$ nằm trong đoạn $AO.$
- Qua $M$ dựng đường thẳng song song với $BD$, nó cắt $AB$ ở $E$, cắt $AD$ ở $F.$
- Qua $E,M,F$ lần lượt dựng các đường thẳng song song với $SA.$ Chúng cắt $SB,SC,SD$ lần lượt tại $I,H,G$.
- Thiết diện là ngũ giác $EFGHI$.
Trường hợp 2. Nếu $M$ nằm trong đoạn $OC.$
- Qua $M$ dựng đường thẳng song song với $BD$, nó cắt $DC$ ở $E’$, cắt $BC$ ở $F’.$
- Qua $M$ dựng đường thẳng song song với $SA$, nó cắt $SC$ tại $H’$.
- Thiết diện là tam giác $E’F’H’.$
Ví dụ 3. Cho tứ diện $ABCD$ có $I,J$ lần lượt là trung điểm của $AB,CD$. Gọi $M$ là một điểm trên đoạn $IJ$ và $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng qua $M$ đồng thời song song với $AB,CD$. Xác định thiết diện của tứ diện khi cắt bởi mặt phẳng $\left( \alpha \right)$, thiết diện là hình gì?

Hướng dẫn.
- Trong mặt phẳng $\left( {ABJ} \right),$ qua $M$ kẻ đường thẳng $d$ song song với $AB.$ Đường thẳng $d$ cắt $BJ,AJ$ lần lượt tại $E$ và $F.$
- Qua $E$ kẻ đường thẳng song song với $CD$, nó cắt $BC,BD$ tại $H$ và $K$.
- Qua $F$ kẻ đường thẳng song song với $CD$, nó cắt $AC,AD$ tại $P$ và $Q$.
- Thiết diện là hình bình hành $HKQP$.
Ví dụ 4. Cho hình chóp $S.ABCD$ có $M,\;N$ là hai điểm trên $AB,\;CD$. Gọi $\left( \alpha \right)\;$là mặt phẳng chứa $MN$ và song song với $SA$. Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng $\left( \alpha \right)$.

Hướng dẫn. Gọi $MN \cap AC = O$. Qua $M,O$ các kẻ đường thẳng song song với $SA,$ chúng cắt $SB,SC$ lần lượt tại $P,Q$. Thiết diện là tứ giác $MNQP$.

3. Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ đi qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng

Chúng ta chuyển quan hệ vuông góc sang quan hệ song song nhờ định lý:

Cho đường thẳng $d$ vuông góc với mặt phẳng $\left( P \right)$ thì mọi đường thẳng $\Delta $ vuông góc với $d$ đều song song hoặc nằm trong mặt phẳng $\left( P \right).$

Trường hợp mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ chứa đường thẳng $a$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( P \right)$ thì chúng ta tìm một đường thẳng $b$ vuông góc với mặt phẳng $\left( P \right).\;$Khi đó, mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ sẽ song song hoặc chứa đường thẳng $b$.

Ví dụ 1. Cho lăng trụ đứng $ABC.A’B’C’$ có đáy là tam giác nhọn$.$ Mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua $A$ và vuông góc với $A’C$. Biết rằng $CC’ > AC,$ hãy dựng thiết diện của lăng trụ khi cắt bởi mặt phẳng $\left( P \right)$.

Hướng dẫn.
- Kẻ đường cao $BH$ của tam giác $ABC$ thì dễ thấy $BH$ vuông góc với $\left( {ACC’A’} \right).$ Do đó $BH$ vuông góc với $CA’$. Mà $\left( P \right)$ cũng vuông góc với $CA’$ nên suy ra $BH$ song song hoặc nằm trong $\left( P \right)$. Dễ thấy khả năng $BH$ nằm trong mặt phẳng $\left( P \right)$ không xảy ra, vì khi đó $AH$ vuông góc với $A’C$, đây là điều vô lý.
- Trong mặt phẳng $\left( {ACC’A’} \right)$ kẻ đường thẳng vuông góc với $A’C$, đường thẳng này cắt $CC’$ tại $F$. Điểm $F$ nằm trong đoạn $CC’$, vì $CC’ > AC.$
- Qua $H$ kẻ đường thẳng song song với $AA’,$ nó cắt $AF$ tại $K$. Từ $K$ kẻ đường thẳng song song với $BH,$ đường thẳng này cắt $BB’$ tại $E.$
- Thiết diện cần tìm là tam giác $AEF.$
Ví dụ 2. Cho lăng trụ đứng $ABC.A’B’C’$ có đáy là tam giác nhọn$.$ Mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua $B$ và vuông góc với $A’C$. Biết rằng $CC’ > AC,$ hãy dựng thiết diện của lăng trụ khi cắt bởi mặt phẳng $\left( P \right)$.

Hướng dẫn. Kẻ đường cao $BH$ của tam giác $ABC$ thì dễ thấy $BH$ vuông góc với $\left( {ACC’A’} \right).$ Do đó $BH$ vuông góc với $CA’$. Mà $\left( P \right)$ chứa $B$ và vuông góc với $CA’$ nên suy ra $BH$ nằm trong mặt phẳng $\left( P \right)$.

Qua $H$, kẻ đường thẳng $d$ vuông góc với $A’C$. Lúc này có 2 trường hợp có thể xảy ra:
- Đường thẳng $d$ cắt $CC’$ tại $K$ nằm trong đoạn $CC’$ thì thiết diện là tam giác $BHK$.
- Đường thẳng $d$ cắt $CC’$ tại $K$ nằm ngoài đoạn $CC’$ và cắt cạnh $A’C’$ tại $M$. Nối $BK$ cắt $B’C’$ tại $N$. Thiết diện là hình thang $BHMN.$
Ví dụ 3. Hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông, cạnh $SA$ vuông góc với đáy $\left( {ABCD} \right).$ Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng đi qua $A$ và vuông góc với $SC$. Xác định thiết diện của hình chóp và mặt phẳng $\left( P \right).$

Hướng dẫn.
- Gọi $H,K,I$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ lên các cạnh $SB,SC,SD$.
- Ta có $AK$ vuông góc với $SC$ mà mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa $A$ và vuông góc với $SC$ nên suy ra $AK$ nằm trong mặt phẳng $\left( P \right)$.
- Chứng minh được $AH$ vuông góc với $\left( {SBC} \right)$ nên suy ra $AH \bot SC$. Mà $\left( P \right) \bot SC$, nên suy ra $AH$ cũng nằm trong mặt phẳng $\left( P \right)$.
- Chứng minh tương tự có $AI$ cũng nằm trong mặt phẳng $\left( P \right)$.
- Thiết diện là tứ giác $AHKI.$
Ví dụ 4. Hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$, cạnh $SA = a\sqrt 2 $ và vuông góc với đáy. Dựng đường cao $AH$ của tam giác $SAB$. Chứng minh tỉ số $\frac{{SH}}{{SB}} = \frac{2}{3}$. Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng qua $A$ và vuông góc với $SB$. Mặt phẳng $\left( P \right)$ cắt hình chóp theo thiết diện là hình gì? Tính diện tích thiết diện.

Hướng dẫn.
- Chứng minh được $CB$ vuông góc với $\left( {SAB} \right)$ nên suy ra $CB$ vuông góc với $SB$.
- Mà $\left( P \right)$ vuông góc với $SB$ nên suy ra $CB$ song song với $\left( P \right),CB$ không thể nằm trong mặt phẳng $\left( P \right)$ vì khi đó $A,B,C,D$ đồng phẳng.
- Qua $H$ kẻ đường thẳng song song với $CB$, nó cắt $SC$ tại $K.$
- Thiết diện là hình thang $AHKD,$ diện tích bằng $\frac{{5{a^2}\sqrt 6 }}{{18}}$.
Ví dụ 5. Hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thang vuông tại $A$ và $B$ với $AB = BC = a,\;AD = 2a$. Cạnh $SA = 2a$ và vuông góc với đáy $\left( {ABCD} \right).$ Gọi $M$ là một điểm trên cạnh $AB$ sao cho $AM = x$ với$\;0\; < \;x\; < \;a$. Giả sử mặt phẳng $\left( P \right)$ là mặt phẳng qua $M$ đồng thời vuông góc với $AB$. Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng $\left( P \right)$, thiết diện là hình gì? Tính diện tích thiết diện theo $a$ và $x$.

Hướng dẫn. Vì $\left( P \right)$ và $SA$ cùng vuông góc với $AB$ nên suy ra $SA$ song song với $\left( P \right).$ Qua $M$ kẻ các đường thẳng song song với $SA,AD$, chúng cắt $SB,CD$ lần lượt tại $M$ và $Q$. Qua $N$ kẻ đường thẳng song song với $AD,$ nó cắt $SC$ tại $P$.

Thiết diện là hình thang vuông $MNPQ$ có diện tích bằng $2a\left( {a – x} \right)$.

Ví dụ 6. Hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác đều cạnh $a$. Cạnh $SA = 2a$ và vuông góc với đáy. Mặt phẳng $\left( P \right)$ qua $B$ và vuông góc với $SC$. Tìm thiết diện của hình chóp với mặt phẳng $\left( P \right)$ và tính diện tích của thiết diện này.

Hướng dẫn.
- Gọi $H$ là trung điểm $AC$ thì vì tam giác $ABC$ đều nên có $BH \bot AC$. Mà $BH \bot SA$ nên suy ra $BH \bot \left( {SAC} \right).$
- Suy ra $BH \bot SC$, tức là $BH$ nằm trong mặt phẳng $\left( P \right).$
- Qua $H$ kẻ đường thẳng vuông góc với $SC,$ nó cắt $SC$ tại $K$.
- Thiết diện cần tìm là tam giác $BHK$ vuông tại $H$. Dễ dàng có $BH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$. Từ tam giác đồng dạng $SAC$ và $HKC$ tính được $HK$ và suy ra diện tích tam giác $BHK$ bằng $\frac{{{a^2}\sqrt {15} }}{{20}}$.
Ví dụ 7. Hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác vuông cân tại $B$, cạnh $AB = a$. Cạnh $SA = a\sqrt 3 $ và vuông góc với đáy. Lấy $M$ là một điểm tuỳ ý trên cạnh $AB$, đặt $AM\; = \;x$ với $0\; < \;x\; < \;a.$ Gọi $\left( P \right)$ là mặt phẳng qua $M$ và vuông góc với $AB$. Xác định thiết diện của hình chóp và mặt phẳng$\;\left( P \right)$. Tính diện tích của thiết diện đó theo $a$ và $x$, tìm $x$ để diện tích thiết diện có giá trị lớn nhất.

Hướng dẫn.
- Mặt phẳng $\left( P \right)$ chính là mặt phẳng đi qua $M$ và song song với $SA,BC$.
- Qua $M$ kẻ các đường thẳng song song với $SA,BC$, chúng cắt $SB,AC$ lần lượt tại $N,Q$.
- Qua $N$ kẻ đường thẳng song song với $BC$, nó cắt $SC$ tại $P$.
- Thiết diện là hình chữ nhật $MNPQ$ nên diện tích được tính bởi công thức $$s = MN \times MP$$
- Vì $MN\parallel SA$ nên có $\frac{{MN}}{{SA}} = \frac{{MB}}{{AB}}$ từ đó tính được $MN = \sqrt 3 \left( {a – x} \right)$. Làm tương tự, cũng tính được $MP = x$ và suy ra diện tích thiết diện là $s = \sqrt 3 x\left( {a – x} \right)$. Sử dụng bất đẳng thức Cauchy, chúng ta có $$\sqrt {x\left( {a – x} \right)} \le \frac{{x + a – x}}{2} = \frac{a}{2}\;$$
- Từ đó suy ra diện tích lớn nhất là $\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}$ đạt được khi $x = \frac{a}{2}$.
Link tải Chuyên đề thiết diện

Quý thầy cô tải tại đây chuyen_de_thiet_dien
28/12/2020
Cách chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng
Phương pháp chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng

Thành thạo cách chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng sẽ giúp các em học sinh có thể chứng minh được hai mặt phẳng song song với nhau.

Xem thêm 3 cách chứng minh hai mặt phẳng song song

1. Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng

Trong không gian, xét một đường thẳng $d$ và mặt phẳng $(\alpha)$ thì có ba khả năng về vị trí giữa chúng:
- Đường thẳng $d$ cắt $ (\alpha) $: có một điểm chung.
- Đường thẳng $d$ nằm trên $ (\alpha) $: có vô số điểm chung.
- Đường thẳng $ d $ song song $ (\alpha) $: không có điểm chung.
Định nghĩa đường thẳng và mặt phẳng song song.

Đường thẳng và mặt phẳng được gọi là song song nếu chúng không có điểm chung.

Tính chất của đường thẳng và mặt phẳng song song.
- Nếu một đường thẳng không nằm trên mặt phẳng mà song song với một đường thẳng của mặt phẳng đó thì đường thẳng đã cho song song với mặt phẳng đó. $$ \begin{cases} d\not\subset (\alpha)\\ d\parallel a\\ a\subset (\alpha) \end{cases} \Rightarrow d \parallel (\alpha)$$
- Nếu mặt phẳng $(\alpha)$ chứa đường thẳng $d$ mà $ d\parallel(\beta) $ thì giao tuyến của hai mặt phẳng $(\alpha)$ và $ (\beta) $ cũng song song với đường thẳng $ d. $ $$ \begin{cases} d \subset (\alpha)\\ d \parallel (\beta)\\ b=(\alpha) \cap (\beta) \end{cases} \Rightarrow d \parallel b$$
  Đặc biệt, nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng cũng song song với đường thẳng đó. $$ \begin{cases} (P) \parallel a\\ (Q) \parallel a\\ \Delta=(P) \cap (Q) \end{cases} \Rightarrow a \parallel \Delta$$
- Cho hai đường thẳng chéo nhau thì có duy nhất mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.
2. Phương pháp chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng

Để chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng ta chứng minh đường thẳng đó không nằm trên mặt phẳng đã cho và song song với một đường thẳng của mặt phẳng đó.

3. Ví dụ cách đường thẳng song song với mặt phẳng

Ví dụ 1. Cho hình chóp $S.ABCD$ có $ M,N $ lần lượt là trung điểm của $ SA$ và $SB. $ Chứng minh rằng $ MN\parallel(ABCD). $

Hướng dẫn. Vì $ MN $ là đường trung bình trong tam giác $ SAB $ nên $ MN\parallel AB. $ Như vậy ta có \[ \begin{cases}
MN\not\subset (ABCD)\\ MN\parallel AB\subset (ABCD) \end{cases} \] Suy ra $ MN\parallel(ABCD). $

Ví dụ 2. Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy là hình bình hành. Gọi $ M,N $ lần lượt là trung điểm của $ AB,CD $. Chứng minh rằng $ MN\parallel(SBC),MN\parallel(SAD). $ Gọi $ P $ là trung điểm $ SA, $ chứng minh rằng $ SB,SC $ cùng song song với mặt phẳng $ (MNP). $ Gọi $ G_1,G_2 $ lần lượt là trọng tâm tam giác $ ABC $ và $ SBC. $ Chứng minh rằng $ G_1G_2\parallel(SAB).$

Hướng dẫn. Gọi $ O $ là tâm hình bình hành thì $ SC\parallel PO. $ Gọi $ I $ là trung điểm $ BC $ và xét tam giác $ SAI $ có $ G_1G_2\parallel SA. $

Ví dụ 3. Cho tứ diện $ABCD$ có $ G $ là trọng tâm tam giác $ ABD. $ Lấy điểm $ M $ thuộc cạnh $ BC $ sao cho $ MB=2MC. $ Chứng minh rằng $ MG\parallel (ACD) $.

Hướng dẫn. Kéo dài $ BG $ cắt $ AD $ tại $ E $ thì $ (BMG)\cap(ACD)=CE. $ Đi chứng minh $ MG\parallel CE $ và suy ra điều phải chứng minh.

Ví dụ 4. Cho hai hình bình hành $ ABCD $ và $ ABEF $ không đồng phẳng. Chứng minh rằng bốn điểm $ C, D, E, F $ đồng phẳng. Gọi $ O, I $ là tâm các hình bình hành $ ABCD, ABEF $. Chứng minh rằng $ OI\parallel (BCE), OI \parallel (ADF). $ Gọi $ M, N $ lần lượt là trọng tâm tam giác $ ABD, ABF $. Chứng minh rằng $ MN\parallel (CDFE) $.

Hướng dẫn. Chỉ ra $ MN\parallel DF $ nên….

Ví dụ 5. Hai hình bình hành $ ABCD,ABEF $ có chung cạnh $ AB $ và không đồng phẳng. Trên các cạnh $ AD, BE $ lần lượt lấy các điểm $ M, N $ sao cho $\frac{AM}{AD}=\frac{BN}{BE}$. Chứng minh đường thẳng $ MN $ song song với mặt phẳng $ (CDFE) $.

Hướng dẫn. Trên $ CE $ lấy điểm $ P $ sao cho $ \frac{CP}{CE}=\frac{BN}{BE} $. Chứng minh tứ giác $ DMNP $ là hình bình hành. Từ đó suy ra $ MN\parallel DP $ và có điều phải chứng minh.

Ví dụ 6. Cho hình chóp $ S.ABCD $ có $ ABCD $ là hình bình hành, $ G $ là trọng tâm của tam giác $ SAB $ và $ E $ là điểm trên cạnh $ AD $ sao cho $ DE = 2EA $. Chứng minh rằng $ GE\parallel(SCD)$.

Hướng dẫn. Gọi $ H $ là trọng tâm tam giác $ SCD $ thì chứng minh được $ GE\parallel HD. $

4. Bài tập chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng

Bài 1. Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình bình hành. Gọi $M, N, P$ lần lượt là trung điểm $AB, CD, SA.$ Chứng minh: $MN \parallel (SBC); MN \parallel (SAD)$; $SB \parallel (MNP); SC \parallel (MNP)$. Gọi $I, J$ là trọng tâm tam giác $ ACD,SCD $. Chứng minh: $IJ \parallel (SAB), IJ \parallel (SAD), IJ \parallel (SAC).$

Bài 2. Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình bình hành tâm $O.$ Gọi $I, J$ là trung điểm $BC, SC$ và $ K\in SD$ sao cho $KD=2SK.$ Chứng minh: $OJ \parallel (SAD), OJ \parallel (SAB) $; $IO \parallel (SCD), IJ \parallel (SBD)$. Gọi $M$ là giao điểm của $AI$ và $BD$. Chứng minh: $MK \parallel (SBC)$.

Bài 3. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thoi tâm $O$ và $M, N, P$ là trung điểm $SB, SO, OD.$ Chứng minh: $MN \parallel (ABCD), MO \parallel (SCD)$; $NP \parallel (SAD),$ tứ giác $ NPOM$ là hình gì? Gọi $I\in SD$ sao cho $SD = 4ID$. Chứng minh $PI \parallel (SBC), PI \parallel (SAB)$.
01/11/2020
3 cách chứng minh hai mặt phẳng song song
3 cách chứng minh hai mặt phẳng song song trong không gian

Để biết cách chứng minh hai mặt phẳng song song, chúng ta cần phải xem thế nào là hai mặt phẳng song song, và từ đó sẽ có các phương pháp chứng minh 2 mặt phẳng song song trong không gian.

1. Thế nào là hai mặt phẳng song song?

1.1. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng.

Trong không gian, cho hai mặt phẳng $(\alpha)$ và $ (\beta) $ thì có ba khả năng về vị trí của chúng:
- Mặt phẳng $(\alpha)$ và mặt phẳng $ (\beta) $ trùng nhau. Khi đó, hai mặt phẳng có vô số điểm chung.
- Mặt phẳng $(\alpha)$ và mặt phẳng $ (\beta) $ cắt nhau theo giao tuyến là một đường thẳng. Khi đó, hai mặt phẳng có vô số điểm chung.
- Mặt phẳng $(\alpha)$ và mặt phẳng $ (\beta) $ song song. Khi đó, hai mặt phẳng không có điểm chung.
Từ đó, người ta định nghĩa hai mặt phẳng song song như sau:

Hai mặt phẳng gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung

1.2. Định lý về hai mặt phẳng song song
- Nếu một mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau mà cả hai đường thẳng này song song với mặt phẳng còn lại thì hai mặt phẳng đó song song với nhau.
Xem thêm: Cách chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng.
- Nếu một mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau mà hai đường thẳng này lần lượt song song với hai đường thẳng của mặt phẳng còn lại thì hai mặt phẳng đó song song với nhau.
1.3. Tính chất hai mặt phẳng song song
- Cho hai mặt phẳng song song, mọi đường thẳng nằm trên mặt phẳng thứ nhất đều song song với mặt phẳng thứ hai.
- Hai mặt phẳng cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.
- Hai mặt phẳng song song bị cắt bởi mặt phẳng thứ ba thì hai giao tuyến song song với nhau.
- Định lý Thales trong không gian: Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến bất kì những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.
1.4. Hình lăng trụ, hình chóp cụt
- Hình lăng trụ là hình gồm có hai đáy là hai đa giác bằng nhau đồng thời nằm trên hai mặt phẳng song song và các mặt bên là các hình bình hành.
- Hình lăng trụ có đáy là hình bình hành thì gọi là hình hộp. Như vậy, hình hộp là hình có tất cả các mặt đều là hình bình hành.
- Cắt hình chóp bởi một mặt phẳng song song với đáy thu được một hình chóp mới và một hình chóp cụt.
2. Cách chứng minh hai mặt phẳng song song

Phương pháp chứng minh hai mặt phẳng song song: Để chứng minh hai mặt phẳng song song chúng ta có thể sử dụng một trong ba cách:
- Chỉ ra trong mặt phẳng thứ nhất chứa hai đường thẳng cắt nhau, mà hai đường thẳng này lần lượt song song với mặt phẳng thứ hai.
- Chỉ ra trong mặt phẳng thứ nhất chứa hai đường thẳng cắt nhau, mà hai đường thẳng này lần lượt song song với hai đường thẳng của mặt phẳng thứ hai.
- Chứng minh chúng cùng song song với một mặt phẳng thứ ba.
3. Ví dụ về cách chứng minh hai mặt phẳng song song

Ví dụ 1. Cho hai hình bình hành $ ABCD $ và $ ABEF $ nằm trong hai mặt phẳng khác nhau.
1. Chứng minh rằng $ (ADF)\parallel(BCE) $;
2. Gọi $ I,J,K $ là trung điểm của các cạnh $ AB,CD,EF $. Chứng minh rằng $ (DIK)\parallel(JBE) $.
Ví dụ 2. Cho tứ diện $ ABCD $ có $ M,N,P $ lần lượt là trọng tâm của các tam giác $ ABC, ABD, ACD $. Chứng minh rằng $ (MNP)\parallel(BCD) $.

Ví dụ 3. Cho hình bình hành $ ABCD.$ Từ $ A $ và $ C $ kẻ hai tia $ Ax $ và $ Cy $ song song, cùng chiều và không nằm trong mặt phẳng $ (ABCD). $ Chứng minh mặt phẳng $ (BAx)\parallel (DCy). $

Ví dụ 4. Cho hình chóp $ S.ABCD $ với $ ABCD $ là hình bình hành. Gọi $ I $ là trung điểm của $ SD. $
1. Xác định giao điểm $K$ của $BI $ và $(SAC)$.
2. Trên $ IC $ lấy điểm $ H $ sao cho $ HC=2HI $. Chứng minh $ KH\parallel(SAD)$.
3. Gọi $ N $ là điểm trên $ SI $ sao cho $ SN=2NI $. Chứng minh $ (KHN)\parallel(SBC) $.
4. Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng $ (KHN). $
Hướng dẫn. Chỉ ra $ K $ là trọng tâm tam giác $ SBD. $

Ví dụ 5. Cho lăng trụ tam giác $ ABC.A’B’C’ $ có $ I ,K ,G $ lần lượt là trọng tâm của các tam giác $ ABC, A’B’C’ $ và $ ACC’ $. Chứng minh rằng: $ (IKG) \parallel (BB’C’C), (A’KG)\parallel(AIB’) $.

Hướng dẫn. Gọi $ M,N $ lần lượt là trung điểm của $ BC $ và $ B’C’ $ thì mặt phẳng $ (A’KG) $ chính là mặt phẳng $ (A’CN) $, còn mặt phẳng $ (AIB’) $ chính là mặt phẳng $ (AMB’). $ Hai mặt phẳng này song song vì có $ AM\parallel A’N $ và $ B’M\parallel CN. $

4. Bài tập chứng minh 2 mặt phẳng song song

Bài 1. Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình bình hành tâm $O$. Gọi $M, N, P, Q$ là trung điểm $SA, SD, AB, ON.$ Chứng minh: $(OMN) \parallel (SBC)$. Chứng minh: $PQ \parallel (SBC)$.

Bài 2. Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình bình hành tâm $O$. Gọi $M, N, P$ là trung điểm $SA, CD, AD.$ Chứng minh $(OMN) \parallel (SBC)$. Gọi $I$ là điểm trên $MP$. Chứng minh: $OI \parallel (SCD)$.

Bài 3. Cho hình chóp $S.ABCD$, đáy là hình bình hành. Gọi $M, N, P, Q$ là trung điểm $BC, AB, SB, AD.$ Chứng minh $(MNP) \parallel (SAC)$, $PQ \parallel (SCD)$. Gọi $I$ là giao điểm $AM$ và $BD, JSA$ sao cho $AJ = 2JS$, chứng minh $IJ \parallel (SBC)$. Gọi $K$ là một điểm trên $AC$, tìm giao tuyến $(SKM)$ và $(MNC)$.

Bài 4. Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình bình hành. Gọi $I, J, G, P, Q$ là trung điểm $DC, AB, SB, BG, BI.$ Chứng minh $(IJG) \parallel (SAD)$, $PQ \parallel (SAD)$. Tìm giao tuyến của $(SAC)$ và $(IJG)$; $(ACG)$ và $(SAD)$.

Bài 5. Cho hai hình bình hành $ABCD$ và $ABEF$ không đồng phẳng. Gọi $I, J, K$ là trung điểm $AB, CD, EF.$ Chứng minh $(ADF) \parallel (BCE)$; $(DIK) \parallel (JBE)$.
31/10/2020