Tag: toán 10

Giáo án Toán 10 Kết Nối Tri Thức

Bên cạnh 2 bộ Giáo án Toán 10 Cánh Diều file Word, O2 Education xin tiếp tục giới thiệu bộ Giáo án Toán 10 Kết Nối Tri Thức file Word để thầy cô tham khảo.

Bài-1.-Mệnh-dề-o2.edu_.vn_Download

Bài-2.-Tập-hợp-và-các-phép-toán-trên-tập-hợp-o2.edu_.vn_Download

Bài-3.-Bất-phương-trình-bậc-nhất-hai-ẩn-o2.edu_.vn_Download

Bài-4.-Hệ-bất-phương-trình-bậc-nhất-hai-ẩn-o2.edu_.vn_Download

Bài-5.-Giá-trị-lượng-giác-của-góc-từ-0-dến-180-dộ-o2.edu_.vn_Download

Bài-6.-Hệ-thức-lượng-trong-tam-giác-o2.edu_.vn_Download

Bài-7.-Các-khái-niệm-mở-dầu-o2.edu_.vn_Download

Bài-8.-Tổng-và-hiệu-của-hai-vecto-o2.edu_.vn_Download

Bài-9.-Tích-một-vecto-với-một-số-o2.edu_.vn_Download

Bài-10.-Vecto-trong-mặt-phẳng-tọa-dộ-o2.edu_.vn_Download

Bài-11.-Tích-vô-hướng-của-hai-vecto-o2.edu_.vn_Download

Bài-12.-Số-gần-dúng-và-sai-số-o2.edu_.vn_Download

Bài-13.-Các-số-dặc-trưng-do-xu-thế-trung-tâm-o2.edu_.vn_Download

Bài-14.-Các-số-dặc-trưng-do-dộ-phân-tán-o2.edu_.vn_Download

Bài-15.-Hàm-số-o2.edu_.vn_Download

Bài-16.-Hàm-số-bậc-hai-o2.edu_.vn_Download

Bài-18.-Phương-trình-quy-về-phương-trình-bậc-hai-o2.edu_.vn_Download

Bài-19.-Phương-trình-dường-thẳng-o2.edu_.vn_Download

Bài-20.-Vị-trí-tương-dối-giữa-hai-dường-thẳng.-Góc-và-khoảng-cách-o2.edu_.vn_Download

Bài-21.-Dường-tròn-trong-mặt-phẳng-tọa-dộ-o2.edu_.vn_Download

Bài-22.-Ba-dường-conic-o2.edu_.vn_Download

Bài-23.-Quy-tắc-dếm-o2.edu_.vn_Download

Bài-24.-Hoán-vị-chỉnh-hợp-tổ-hợp-o2.edu_.vn_Download

Bài-25.-Nhị-thức-Newton-o2.edu_.vn_Download

Bài-26.-Biến-cố-và-dịnh-nghĩa-cổ-diển-của-xác-suất-o2.edu_.vn_Download

25/08/2022
Giáo án Toán 10 Cánh Diều file Word

Cùng với bộ Giáo án Toán 10 Kết Nối Tri Thức, O2 Education xin gửi tới thầy cô 2 bộ Giáo án Toán 10 Cánh Diều file word.

Giáo án Toán 10 Cánh Diều file Word Bộ 1

C1-Bài-1.-Mệnh-dề-toán-học-mớio2.edu_.vn_Download

C1-Bài-2-Tập-hợp-mớio2.edu_.vn_Download

C1-Bài-tập-cuối-chương-1o2.edu_.vn_Download

C2-Bài-1.-Bất-phương-trình-bậc-nhất-hai-ẩno2.edu_.vn_Download

C2-Bài-2.-Hệ-bất-phương-trình-bậc-nhất-hai-ẩno2.edu_.vn_Download

C2-Bài-tập-cuối-chương-2o2.edu_.vn_Download

C3-Bài-1-HÀM-SỐ-DỒ-THỊ-Cánh-diềuo2.edu_.vn_Download

C3-Bài-2.-HÀM-SỐ-BẬC-HAI-Cánh-Diềuo2.edu_.vn_Download

C3-Bài-3.-DẤU-TAM-THỨC-BẬC-2-Cánh-Diềuo2.edu_.vn_Download

C3-Bài-4.-Bất-phương-trình-bậc-hai-một-ẩno2.edu_.vn_Download

C3-Bài-5.-Hai-dạng-phương-trình-quy-về-pt-bậc-haio2.edu_.vn_Download

C3-Bài-tập-cuối-chương-3o2.edu_.vn_Download

C4-Bài-1.-Giá-trị-lượng-giác-DL-Sin-Cosino2.edu_.vn_Download

C4-Bài-2.-GIẢI-TAM-GIÁCo2.edu_.vn_Download

C4-Bài-3.-Khái-niệm-Vecs-too2.edu_.vn_Download

C4-Bài-4.-Tổng-và-hiệu-của-hai-vectơo2.edu_.vn_Download

C4-Bài-5.-Tích-của-1-số-Với-1-vectơo2.edu_.vn_Download

C4-Bài-6.-Tích-vô-hướng-của-hai-vec-tơ.o2.edu_.vn_Download

C4-Bài-tập-cuối-chương-4o2.edu_.vn_Download

C5-Bài-1.-QUY-TẮC-CỘNG.-QUY-TẮC-NHÂN.-SƠ-DỒ-HÌNH-CÂYo2.edu_.vn_Download

C5-Bài-2.-Hoán-vị-Chỉnh-hợpo2.edu_.vn_Download

C5-Bài-3.-Tổ-hợpo2.edu_.vn_Download

C5-Bài-4.-Nhị-thức-Niu-tơno2.edu_.vn_Download

C5-Bài-tập-cuối-chương-Vo2.edu_.vn_Download

C6-Bài-1.-SỐ-GẦN-DÚNG.-SAI-SỐo2.edu_.vn_Download

C6-Bài-2.-Các-số-dặc-trưng-do-xu-thế-trung-tâmo2.edu_.vn_Download

C6-Bài-3.-Các-số-dặc-trưng-do-mức-dộ-phân-táno2.edu_.vn_Download

C6-Bài-4.-Xác-suất-trong-một-số-trò-chơio2.edu_.vn_Download

C6-Bài-5.-Xác-suất-của-biến-cốo2.edu_.vn_Download

C6-Bài-tập-cuối-chương-6o2.edu_.vn_Download

C7-Bài-1.Tọa-dộ-vectơo2.edu_.vn_Download

C7-Bài-2.-BIEU-THUC-TOA-DO-VECTOo2.edu_.vn_Download

C7-Bài-3-PHƯƠNG-TRÌNH-DƯỜNG-THẲNG-CÁNH-DIỀUo2.edu_.vn_Download

C7-Bài-4.-Vị-trí-tương-dối-giữa-hai-dường-thẳng.-Góc-và-khoảng-cácho2.edu_.vn_Download

C7-Bài-5.-PHƯƠNG-TRÌNH-DƯỜNG-TRÒNo2.edu_.vn_Download

C7-Bài-6.-BA-DƯỜNG-CONICo2.edu_.vn_Download

C7-Bài-tập-cuối-chương-VIIo2.edu_.vn_Download

CD-Bài-1.-Elip-_-Trần-Nguyên-Hãno2.edu_.vn_Download

CD-Bài-1.-HPT-BAC-NHAT-BA-ANo2.edu_.vn_Download

CD-Bài-1.-PP-quy-nạp-toán-họco2.edu_.vn_Download

CD-Bài-2.-Hypebol-_-Trần-Nguyên-Hãno2.edu_.vn_Download

CD-Bài-2.-Nhị-Thức-NewTono2.edu_.vn_Download

CD-Bài-2.-ỨNG-DỤNG-HPT-BẬC-NHẤT-3-ẨN-theo-mẫuo2.edu_.vn_Download

CD-Bài-3.-Parabolo2.edu_.vn_Download

CD-Bài-4.-Ba-dường-conico2.edu_.vn_Download

HDTHTN-Chủ-dề-1.-Do-góco2.edu_.vn_Download

HDTHTN-Chủ-dề-2.-Ham-so-THPT-Nguyen-Khuyen-o2.edu_.vn_Download

HDTHTN-Thực-hành-phần-mềm-GeoGebra-THPT-Nguyen-Khuyen-o2.edu_.vn_Download

Giáo án Toán 10 Cánh Diều file Word Bộ 2

Bài-2-Giải-tam-giác-Tính-diện-tích-tam-giáco2.edu_.vn_Download

Bài-2.-Hoán-vị-Chỉnh-hợpo2.edu_.vn_Download

BAI-3-DẤU-TAM-THỨC-BẬC-HAIo2.edu_.vn_Download

BÀI-3-TỔ-HỢPo2.edu_.vn_Download

Bài-3.Sách-cánh-diều-Bất-phương-trình-bậc-nhất-hai-ẩno2.edu_.vn_Download

Bài-23.-QUY-TẮC-CỘNG.-QUY-TẮC-NHÂN.-SƠ-DỒ-HÌNH-CÂYo2.edu_.vn_Download

BAI-SOAN-TICH-VO-HƯƠNG-CUA-HAI-VECTOo2.edu_.vn_Download

Bài-4-Tổng-và-hiệu-hai-vec-tơo2.edu_.vn_Download

BT-cuối-chương-2-cánh-diều-sửao2.edu_.vn_Download

Chương-3-Bài-2-Hàm-số-bậc-hai-Dồ-thị-hàm-số-bậc-2-và-ứng-dụngo2.edu_.vn_Download

Chương-II-Bài-2-Hệ-bất-phương-trình-bậc-nhất-hai-ẩno2.edu_.vn_Download

Chương-IV_Bài-5_Tích-của-một-số-với-một-vec-tơ-Cánh-Diềuo2.edu_.vn_Download

chương-iv.-Bài-5.-Tích-của-một-số-với-một-vectoo2.edu_.vn_Download

D10.C3-BÀI-4.-BẤT-PHƯƠNG-TRÌNH-BẬC-HAI-MỘT-ẨNo2.edu_.vn_Download

D10.C3-ÔN-TẬP-CHƯƠNG-IIIo2.edu_.vn_Download

D10.C5-BÀI-4-NHỊ-THỨC-NEWTONo2.edu_.vn_Download

DS10_C1_B1_MENH-DE-CANH-DIEUo2.edu_.vn_Download

DS10-BÀI-2-TẬP-HỢP-VÀ-CÁC-PHÉP-TOÁN-TRÊN-TẬP-HỢPo2.edu_.vn_Download

GA.-Mệnh-dềo2.edu_.vn_Download

HAI-DẠNG-PHƯƠNG-TRÌNH-QUY-VỀ-BẬC-HAIo2.edu_.vn_Download

HÀM-SỐ-BẬC-HAI-CDo2.edu_.vn_Download

KẾ-HOẠCH-BÀI-DẠY-BÀI-3-KHÁI-NIỆM-VÉC-TƠo2.edu_.vn_Download

KHBD-Giá-trị-lượng-giác-của-một-góc-từ-0-dến-180o2.edu_.vn_Download

KHBH-ÔN-TẬP-CHƯƠNG-4-TOÁN-10-NỘPo2.edu_.vn_Download

mẫu-DẤU-TAM-THỨC-BẬC-HAI-MODUL9o2.edu_.vn_Download

MẪU-GIÁO-ÁN-TOÁN-10o2.edu_.vn_Download

Nhị-Thức-Newton-hoàn-chỉnho2.edu_.vn_Download

ÔN-TẬP-CHƯƠNG-Io2.edu_.vn_Download

ÔN-TẬP-CHƯƠNG-V_DẠI-SỐ-TỔ-HỢPo2.edu_.vn_Download

PHÂN-PHỐI-CHƯƠNG-TRÌNH-TOAN-10-CANH-DIEUo2.edu_.vn_Download

25/08/2022

PPCT Toán 10 Cánh Diều

PHÂN PHỐI CHƯƠNG TRÌNH VÀ DỰ KIẾN KẾ HOẠCH DẠY HỌC SÁCH TOÁN 10 (BỘ SÁCH CÁNH DIỀU)

Mời thầy cô tham khảo thêm Giáo án Toán 10 Cánh Diều file Word và Giáo án Toán 10 Kết Nối Tri Thức.

Tên chương, bài học trong sách giáo khoa Toán 10	*Số tiết*
CHƯƠNG I. MỆNH ĐỀ TOÁN HỌC. TẬP HỢP	7
§1. Mệnh đề toán học	3
§2. Tập hợp. Các phép toán trên tập hợp	3
Bài tập cuối chương I	1
CHƯƠNG II. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN	6
§1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn	2
§2. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn	3
Bài tập cuối chương II	1
CHƯƠNG III. HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ	17
§1. Hàm số và đồ thị	5
§2. Hàm số bậc hai. Đồ thị hàm số bậc hai và ứng dụng	2
§3. Dấu của tam thức bậc hai	3
§4. Bất phương trình bậc hai một ẩn	3
§5. Hai dạng phương trình quy về phương trình bậc hai	2
Bài tập cuối chương III	2
CHƯƠNG IV. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC. VECTƠ	16
1. Giá trị lượng giác của một góc từ 0^o đến 180^o . Định lí côsin và định lí sin trong tam giác	4
§2. Giải tam giác. Tính diện tích tam giác	2
§3. Khái niệm vectơ	2
§4. Tổng và hiệu của hai vectơ	2
§5. Tích của một số với một vectơ	2
§6. Tích vô hướng của hai vectơ	2
Bài tập cuối chương IV	2
HOẠT ĐỘNG THỰC HÀNH VÀ TRẢI NGHIỆMChủ đề 1. Đo góc	3
Chương V. ĐẠI SỐ TỔ HỢP	11
§1. Quy tắc cộng. Quy tắc nhân. Sơ đồ hình cây	4
§2. Hoán vị. Chỉnh hợp	2
§3. Tổ hợp	2
§4. Nhị thức Newton	2
Bài tập cuối chương V	1
Chương VI. MỘT SỐ YẾU TỐ THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT	17
§1. Số gần đúng. Sai số	3
§2. Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm cho mẫu số liệu không ghép nhóm	3
§3. Các số đặc trưng đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu không ghép nhóm	4
§4. Xác suất của biến cố trong một số trò chơi đơn giản	2
§5. Xác suất của biến cố	3
Bài tập cuối chương VI	2
HOẠT ĐỘNG THỰC HÀNH VÀ TRẢI NGHIỆMChủ đề 2. Xây dựng mô hình hàm số bậc nhất, bậc hai biểu diễn số liệu dạng bảng	4
Chương VII. PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG	18
§1. Toạ độ của vectơ	2
§2. Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ	3
§3. Phương trình đường thẳng	3
§4. Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng. Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng	2
§5. Phương trình đường tròn	3
§6. Ba đường conic	3
Bài tập cuối chương VII	2
THỰC như sau:Mạch kiến thứcSố tiếtTỉ số %Quy định của CT môn Toán 2018Đại số4343,4%44%Hình học3434,3%35%Thống kê – Xác suất1515,2%14%Hoạt động TH và TN77,1%7% HÀNH PHẦN MỀM GEOGEBRA
Tên chuyên đề, bài học trong sách chuyên đề học tập Toán 10
Chuyên đề I. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN	10
§1. Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn	5
§2. Ứng dụng hệ phương trình bậc nhất ba ẩn	5
Chuyên đề II. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC. NHỊ THỨC NEWTON	10
§1. Phương pháp quy nạp toán học	5
§2. Nhị thức Newton	5
Chuyên đề III. BA ĐƯỜNG CONIC VÀ ỨNG DỤNG	15
§1. Elip	4
§2. Hypebol	4
§3. Parabol	3
§4. Ba đường conic	4

Chú ý: Tổng cộng SGK là 99 tiết, còn dư ra 6 tiết phân phối vào các tiết kiểm tra.

10/06/2022

Chứng minh bất đẳng thức bằng biến đổi tương đương
Chứng minh bất đẳng thức bằng biến đổi tương đương

Chứng minh bất đẳng thức bằng biến đổi tương đương là chúng ta sử dụng định nghĩa và các tính chất cơ bản của bất đẳng thức.

Phương pháp giải. Để chứng minh bất đẳng thức (BĐT) A ≥ B ta có thể sử dụng các cách sau:
- Ta đi chứng minh A-B ≥ 0. Để chứng minh nó ta thường sử dụng các hằng đẳng thức để phân tích A-B thành tổng hoặc tích của những biểu thức không âm.
- Xuất phát từ BĐT đúng, biến đổi tương đương về BĐT cần chứng minh.
Ví dụ minh họa Chứng minh bất đẳng thức bằng biến đổi tương đương

1. Biến đổi tương đương về bất đẳng thức đúng.

Ví dụ 1: Cho hai số thực $a,b,c$. Chứng minh rằng các bất đẳng thức sau:
1. $ab\le \frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{2}$
2. $ab\le {{\left( \frac{a+b}{2} \right)}^{2}}$
3. $3\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)\ge {{\left( a+b+c \right)}^{2}}$
4. ${{\left( a+b+c \right)}^{2}}\ge 3\left( ab+bc+ca \right)$
Lời giải
1. Ta có ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2ab={{(a-b)}^{2}}\ge 0\Rightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ge 2ab$. Đẳng thức$\Leftrightarrow a=b$.
2. Bất đẳng thức tương đương với ${{\left( \frac{a+b}{2} \right)}^{2}}-ab\ge 0$
  $\Leftrightarrow {{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}}\ge 4ab\Leftrightarrow {{\left( a-b \right)}^{2}}\ge 0$ (đúng) ĐPCM.
  Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b$
3. BĐT tương đương $3\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)\ge {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+2ab+2bc+2ca$
  $\Leftrightarrow {{\left( a-b \right)}^{2}}+{{\left( b-c \right)}^{2}}+{{\left( c-a \right)}^{2}}\ge 0$ (đúng) ĐPCM.
  Đẳng thức xảy ra$\Leftrightarrow a=b=c$
4. BĐT tương đương ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+2ab+2bc+2ca\ge 3\left( ab+bc+ca \right)$
  $\Leftrightarrow 2\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)-2\left( ab+bc+ca \right)\ge 0$ $\Leftrightarrow {{\left( a-b \right)}^{2}}+{{\left( b-c \right)}^{2}}+{{\left( c-a \right)}^{2}}\ge 0$ (đúng) ĐPCM.
  Đẳng thức xảy ra$\Leftrightarrow a=b=c$
Nhận xét: Các BĐT trên được vận dụng nhiều, và được xem như là “bổ đề” trong chứng minh các bất đẳng thức khác.

Ví dụ 2: Cho năm số thực $a,b,c,d,e$. Chứng minh rằng $${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+{{d}^{2}}+{{e}^{2}}\ge a(b+c+d+e)$$.

Lời giải. Ta có: ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+{{d}^{2}}+{{e}^{2}}-a(b+c+d+e)=$
$=(\frac{{{a}^{2}}}{4}-ab+{{b}^{2}})+(\frac{{{a}^{2}}}{4}-ac+{{c}^{2}})+(\frac{{{a}^{2}}}{4}-ad+{{d}^{2}})+(\frac{{{a}^{2}}}{4}-ae+{{e}^{2}})$
$={{(\frac{a}{2}-b)}^{2}}+{{(\frac{a}{2}-c)}^{2}}+{{(\frac{a}{2}-d)}^{2}}+{{(\frac{a}{2}-e)}^{2}}\ge 0\Rightarrow $ đpcm.
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow b=c=d=e=\frac{a}{2}$.

Ví dụ 3: Cho $ab\ge 1$. Chứng minh rằng: $$\frac{1}{{{a}^{2}}+1}+\frac{1}{{{b}^{2}}+1}\ge \frac{2}{1+ab}$$

Lời giải. Ta có $\frac{1}{{{a}^{2}}+1}+\frac{1}{{{b}^{2}}+1}-\frac{2}{1+ab}=(\frac{1}{{{a}^{2}}+1}-\frac{1}{1+ab})+(\frac{1}{{{b}^{2}}+1}-\frac{2}{1+ab})$
$=\frac{ab-{{a}^{2}}}{({{a}^{2}}+1)(1+ab)}+\frac{ab-{{b}^{2}}}{({{b}^{2}}+1)(1+ab)}=\frac{a-b}{1+ab}(\frac{b}{1+{{b}^{2}}}-\frac{a}{1+{{a}^{2}}})=\frac{a-b}{1+ab}.\frac{b-a+{{a}^{2}}b-{{b}^{2}}a}{(1+{{b}^{2}})(1+{{a}^{2}})}$$=\frac{a-b}{1+ab}\frac{(a-b)(ab-1)}{(1+{{b}^{2}})(1+{{a}^{2}})}=\frac{{{(a-b)}^{2}}(ab-1)}{(1+ab)(1+{{b}^{2}})(1+{{a}^{2}})}\ge 0$ (Do $ab\ge 1)$.

Nhận xét: Nếu $-1<b\,\le 1$ thì BĐT có chiều ngược lại: $\frac{1}{{{a}^{2}}+1}+\frac{1}{{{b}^{2}}+1}\le \frac{2}{1+ab}$.

Ví dụ 4: Cho số thực $x$. Chứng minh rằng
1. ${{x}^{4}}+3\ge 4x$
2. ${{x}^{4}}+5>{{x}^{2}}+4x$
3. ${{x}^{12}}+{{x}^{4}}+1>{{x}^{9}}+x$
Lời giải
1. Bất đẳng thức tương đương với ${{x}^{4}}-4x+3\ge 0$
  $\Leftrightarrow \left( x-1 \right)\left( {{x}^{3}}+{{x}^{2}}+x-3 \right)\ge 0\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( {{x}^{2}}+2x+3 \right)\ge 0$
  $\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}\left[ {{\left( x+1 \right)}^{2}}+1 \right]\ge 0$ (đúng với mọi số thực $x$ )
  Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=1$.
2. Bất đẳng thức tương đương với ${{x}^{4}}-{{x}^{2}}-4x+5>0$
  $\Leftrightarrow {{x}^{4}}-2{{x}^{2}}+1+{{x}^{2}}-4x+4>0\Leftrightarrow {{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}^{2}}+{{\left( x-2 \right)}^{2}}>0$
  Ta có ${{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}^{2}}\ge 0,\,{{\left( x-2 \right)}^{2}}\ge 0\Rightarrow {{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}^{2}}+{{\left( x-2 \right)}^{2}}\ge 0$
  Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\left\{ \begin{matrix}
  {{x}^{2}}-1=0 \\
  x-2=0 \\
  \end{matrix} \right.$ (không xảy ra)
  Suy ra ${{\left( {{x}^{2}}-1 \right)}^{2}}+{{\left( x-2 \right)}^{2}}>0$ ĐPCM.
3. Bất đẳng thức tương đương với ${{x}^{12}}-{{x}^{9}}+{{x}^{4}}-x+1>0$
  + Với $x<1$: Ta có ${{x}^{12}}-{{x}^{9}}+{{x}^{4}}-x+1={{x}^{12}}+{{x}^{4}}\left( 1-{{x}^{5}} \right)+\left( 1-x \right)$
  Vì $x<1$ nên $1-x>0,\,\,1-{{x}^{5}}>0$ do đó ${{x}^{12}}-{{x}^{9}}+{{x}^{4}}-x+1>0$.
  + Với $x\ge 1$: Ta có ${{x}^{12}}-{{x}^{9}}+{{x}^{4}}-x+1={{x}^{9}}\left( {{x}^{3}}-1 \right)+x\left( {{x}^{3}}-1 \right)+1$
  Vì $x\ge 1$ nên ${{x}^{3}}-1\ge 0$ do đó ${{x}^{12}}-{{x}^{9}}+{{x}^{4}}-x+1>0$.
  Vậy ta có ${{x}^{12}}+{{x}^{4}}+1>{{x}^{9}}+x$.
Ví dụ 5: Cho $a,b,c$ là các số thực. Chứng minh rằng:
1. ${{a}^{4}}+{{b}^{4}}-4ab+2\ge 0$
2. $2\left( {{a}^{4}}+1 \right)+{{\left( {{b}^{2}}+1 \right)}^{2}}\ge 2{{\left( ab+1 \right)}^{2}}$
3. $3\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)-ab+4\ge 2\left( a\sqrt{{{b}^{2}}+1}+b\sqrt{{{a}^{2}}+1} \right)$
Lời giải
1. BĐT tương đương với $\left( {{a}^{4}}+{{b}^{4}}-2{{a}^{2}}{{b}^{2}} \right)+\left( 2{{a}^{2}}{{b}^{2}}-4ab+2 \right)\ge 0$
  $\Leftrightarrow {{\left( {{a}^{2}}-{{b}^{2}} \right)}^{2}}+2{{\left( ab-1 \right)}^{2}}\ge 0$ (đúng)
  Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=\pm 1$.
2. BĐT tương đương với $2\left( {{a}^{4}}+1 \right)+\left( {{b}^{4}}+2{{b}^{2}}+1 \right)-2\left( {{a}^{2}}{{b}^{2}}+2ab+1 \right)\ge 0$
  $\Leftrightarrow \left( {{a}^{4}}+{{b}^{4}}-2{{a}^{2}}{{b}^{2}} \right)+\left( 2{{a}^{2}}-4ab+2{{b}^{2}} \right)+\left( {{a}^{4}}-4{{a}^{2}}+1 \right)\ge 0$
  $\Leftrightarrow {{({{a}^{2}}-{{b}^{2}})}^{2}}+2{{(a-b)}^{2}}+{{({{a}^{2}}-1)}^{2}}\ge 0$(đúng)
  Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=\pm 1$.
3. BĐT tương đương với $6\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)-2ab+8-4\left( a\sqrt{{{b}^{2}}+1}+b\sqrt{{{a}^{2}}+1} \right)\ge 0$
  $\Leftrightarrow \left[ {{a}^{2}}-4a\sqrt{{{b}^{2}}+1}+4\left( {{b}^{2}}+1 \right) \right]+\left[ {{b}^{2}}-4b\sqrt{{{a}^{2}}+1}+4\left( {{a}^{2}}+1 \right) \right]+\left( {{a}^{2}}-2ab+{{b}^{2}} \right)\ge 0$
  $\Leftrightarrow {{\left( a-2\sqrt{{{b}^{2}}+1} \right)}^{2}}+{{\left( b-2\sqrt{{{a}^{2}}+1} \right)}^{2}}+{{\left( a-b \right)}^{2}}\ge 0$(đúng)
  Đẳng thức không xảy ra.
Ví dụ 6: Cho hai số thực $x,\,\,y$ thỏa mãn $x\ge y$. Chứng minh rằng:
1. $4\left( {{x}^{3}}-{{y}^{3}} \right)\ge {{\left( x-y \right)}^{3}}$
2. ${{x}^{3}}-3x+4\ge {{y}^{3}}-3y$
Lời giải
1. Bất đẳng thức tương đương $4\left( x-y \right)\left( {{x}^{2}}+xy+{{y}^{2}} \right)-{{\left( x-y \right)}^{3}}\ge 0$
  $\Leftrightarrow \left( x-y \right)\left[ 4\left( {{x}^{2}}+xy+{{y}^{2}} \right)-{{\left( x-y \right)}^{2}} \right]\ge 0\Leftrightarrow \left( x-y \right)\left[ 3{{x}^{2}}+3xy+{{y}^{2}} \right]\ge 0$
  $\Leftrightarrow 3\left( x-y \right)\left[ {{\left( x+\frac{y}{2} \right)}^{2}}+\frac{3{{y}^{2}}}{4} \right]\ge 0$ (đúng với $x\ge y$) ĐPCM.
  Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y$.
2. Bất đẳng thức tương đương ${{x}^{3}}-{{y}^{3}}\ge 3x-3y-4$
  Theo câu a) ta có ${{x}^{3}}-{{y}^{3}}\ge \frac{1}{4}{{\left( x-y \right)}^{3}}$, do đó ta chỉ cần chứng minh
  $\frac{1}{4}{{\left( x-y \right)}^{3}}\ge 3x-3y-4$ (*), Thật vậy,
  BĐT (*) $\Leftrightarrow {{\left( x-y \right)}^{3}}-12\left( x-y \right)+16\ge 0$
  $\Leftrightarrow \left( x-y-2 \right)\left[ {{\left( x-y \right)}^{2}}+2\left( x-y \right)-8 \right]\ge 0$
  $\Leftrightarrow {{\left( x-y-2 \right)}^{2}}\left( x-y+4 \right)\ge 0$ (đúng với$x\ge y$ )
  Đẳng thức xảy không xảy ra.
2. Xuất phát từ một BĐT đúng ta biến đổi đến BĐT cần chứng minh.

Đối với loại này thường cho lời giải không được tự nhiên và ta thường sử dụng khi các biến có những ràng buộc đặc biệt.

Chú ý hai mệnh đề sau thường dùng:
- $a\in \left[ \alpha ;\beta \right]\Rightarrow \left( a-\alpha \right)\left( a-\beta \right)\le 0$ $\left( * \right)$
- $a,b,c\in \left[ \alpha ;\beta \right]\Rightarrow \left( a-\alpha \right)\left( b-\alpha \right)\left( c-\alpha \right)+\left( \beta -a \right)\left( \beta -b \right)\left( \beta -c \right)\ge 0\left( ** \right)$
Ví dụ 7: Cho $a,b,c$ là độ dài ba cạnh tam giác. Chứng minh rằng: $${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}<2(ab+bc+ca)$$

Lời giải. Vì a,b,c là độ dài ba cạnh tam giác nên ta có:$$a+b>c\Rightarrow ac+bc>{{c}^{2}}$$ Tương tự $$bc+ba>{{b}^{2}}$$ $$ca+cb>{{c}^{2}}$$ cộng ba BĐT này lại với nhau ta có đpcm.

Nhận xét: Ở trong bài toán trên ta đã xuất phát từ BĐT đúng đó là tính chất về độ dài ba cạnh của tam giác. Sau đó vì cần xuất hiện bình phương nên ta nhân hai vế của BĐT với c.
Ngoài ra nếu xuất phát từ BĐT $|a-b|<c$ rồi bình phương hai vế ta cũng có được kết quả.

Ví dụ 8: Cho $a,b,c\in [0;1]$. Chứng minh: $${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\le 1+{{a}^{2}}b+{{b}^{2}}c+{{c}^{2}}a$$
Lời giải.

Cách 1: Vì $a,b,c\in [0;1]\Rightarrow (1-{{a}^{2}})(1-{{b}^{2}})(1-{{c}^{2}})\ge 0$
$\Leftrightarrow 1+{{a}^{2}}{{b}^{2}}+{{b}^{2}}{{c}^{2}}+{{c}^{2}}{{a}^{2}}-{{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}\ge {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}$ (*)
Ta có: ${{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}\ge 0;\text{ }{{a}^{2}}{{b}^{2}}+{{b}^{2}}{{c}^{2}}+{{c}^{2}}{{a}^{2}}\le {{a}^{2}}b+{{b}^{2}}c+{{c}^{2}}a$ nên từ (*) ta suy ra
${{a}^{\text{2}}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}\le 1+{{a}^{2}}{{b}^{2}}+{{b}^{2}}{{c}^{2}}+{{c}^{2}}{{a}^{2}}\le 1+{{a}^{2}}b+{{b}^{2}}c+{{c}^{2}}a$ đpcm.

Cách 2: BĐT cần chứng minh tương đương với ${{\text{a}}^{\text{2}}}\left( 1-b \right)+{{b}^{2}}\left( 1-c \right)+{{c}^{2}}\left( 1-a \right)\le 1$
Mà $a,b,c\in \left[ 0;1 \right]$ $\Rightarrow {{a}^{2}}\le a,{{b}^{2}}\le b,{{c}^{2}}\le c$ do đó
${{a}^{2}}\left( 1-b \right)+{{b}^{2}}\left( 1-c \right)+{{c}^{2}}\left( 1-a \right)\le a\left( 1-b \right)+b\left( 1-c \right)+c\left( 1-a \right)$
Ta chỉ cần chứng minh $a\left( 1-b \right)+b\left( 1-c \right)+c\left( 1-a \right)\le 1$
Thật vậy: vì $a,b,c\in \left[ 0;1 \right]$ nên theo nhận xét $\left( ** \right)$ ta có
$abc+\left( 1-a \right)\left( 1-b \right)\left( 1-c \right)\ge 0$
$\Leftrightarrow $$a+b+c-\left( ab+bc+ca \right)\le 1$
$\Leftrightarrow $$a\left( 1-b \right)+b\left( 1-c \right)+c\left( 1-a \right)\le 1$
vậy BĐT ban đầu được chứng minh.

Ví dụ 9: Cho các số thực a,b,c thỏa mãn: ${{a}^{\text{2}}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=1$. Chứng minh: $$2(1+a+b+c+ab+bc+ca)+abc\ge 0$$
Lời giải. Vì ${{a}^{\text{2}}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=1\Rightarrow a,b,c\in [-1;1]$ nên ta có:$$(1+a)(1+b)(1+c)\ge 0\Leftrightarrow 1+a+b+c+ab+bc+ca+abc\ge 0$$ Mặt khác: $$\frac{{{(1+a+b+c)}^{2}}}{2}\ge 0\Leftrightarrow 1+a+b+c+ab+bc+ca\ge 0$$
Cộng hai bất đẳng thức trên ta có đpcm.

Ví dụ 10: Chứng minh rằng nếu $a\ge 4,b\ge 5,c\ge 6$ và ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=90$ thì $a+b+c\ge 16$.

Lời giải. Từ giả thiết ta suy ra $a<9,b<8,c\le 7$ do đó áp dụng $\left( * \right)$ ta có
$\left( a-4 \right)\left( a-9 \right)\le 0,\left( b-5 \right)\left( b-8 \right)\le 0,\left( c-6 \right)\left( c-7 \right)\le 0$ nhân ra và cộng các BĐT cùng chiều lại ta được:
${{\text{a}}^{\text{2}}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-13(a+b+c)+118\le 0$suy ra
$a+b+c\ge \frac{1}{13}\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}+118 \right)=16$ vì ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}=90$
vậy $a+b+c\ge 16$ dấu “=” xảy ra khi $a=4,b=5,c=7$.

Ví dụ 11: Cho ba số $a,\,\,b,\,\,c$ thuộc $\left[ -1;1 \right]$ và không đồng thời bằng không. Chứng minh rằng
$\frac{{{a}^{4}}{{b}^{2}}+{{b}^{4}}{{c}^{2}}+{{c}^{4}}{{a}^{2}}+3}{{{a}^{2012}}+{{b}^{2012}}+{{c}^{2012}}}\ge 2$

Lời giải. Vì ba số $a,\,\,b,\,\,c$ thuộc $\left[ -1;1 \right]$ nên $0\le {{a}^{2}},{{b}^{2}},{{c}^{2}}\le 1$
Suy ra$(1-{{b}^{2}})(1+{{b}^{2}}-{{a}^{4}})\ge 0$$\Leftrightarrow {{a}^{4}}+{{b}^{4}}-{{a}^{4}}{{b}^{2}}\le 1$ (*)
Mặt khác ${{a}^{4}}\ge {{a}^{2012}},\,{{b}^{4}}\ge {{b}^{2012}}$ đúng với mọi $a,\,\,b$ thuộc $\left[ -1;1 \right]$
Suy ra ${{a}^{4}}+{{b}^{4}}-{{a}^{4}}{{b}^{2}}\ge {{a}^{2012}}+{{b}^{2012}}-{{a}^{4}}{{b}^{2}}$ (**)
Từ (*) và (**) ta có ${{a}^{2012}}+{{b}^{2012}}\le {{a}^{4}}{{b}^{2}}+1$ hay $\frac{{{a}^{4}}{{b}^{2}}+{{c}^{2012}}+1}{{{a}^{2012}}+{{b}^{2012}}+{{c}^{2012}}}\ge 1$
Tương tự ta có $\frac{{{b}^{4}}{{c}^{2}}+{{a}^{2012}}+1}{{{a}^{2012}}+{{b}^{2012}}+{{c}^{2012}}}\ge 1$ và $\frac{{{c}^{4}}{{a}^{2}}+{{b}^{2012}}+1}{{{a}^{2012}}+{{b}^{2012}}+{{c}^{2012}}}\ge 1$
Cộng vế với ta được $\frac{{{a}^{4}}{{b}^{2}}+{{b}^{4}}{{c}^{2}}+{{c}^{4}}{{a}^{2}}+{{a}^{2012}}+{{b}^{2012}}+{{c}^{2012}}+3}{{{a}^{2012}}+{{b}^{2012}}+{{c}^{2012}}}\ge 3$
Hay $\frac{{{a}^{4}}{{b}^{2}}+{{b}^{4}}{{c}^{2}}+{{c}^{4}}{{a}^{2}}+3}{{{a}^{2012}}+{{b}^{2012}}+{{c}^{2012}}}\ge 2$ ĐPCM.
20/12/2021
Tóm tắt lý thuyết thức bất đẳng thức lớp 10
Tóm tắt lý thuyết thức bất đẳng thức lớp 10

1. Định nghĩa bất đẳng thức

Cho $a,b$ là hai số thực. Các mệnh đề “a>b”, “a<b”, “a≥b”, “a ≤ b” được gọi là những bất đẳng thức.
- Chứng minh bất đẳng thức là chứng minh bất đẳng thức đó đúng (mệnh đề đúng)
- Với $A,B$ là mệnh đề chứa biến thì $A>B$ cũng là mệnh đề chứa biến. Chứng minh bất đẳng thức $A>B$ (với điều kiện nào đó) nghĩa là chứng minh mệnh đề chứa biến $A>B$ đúng với tất cả các giá trị của biến (thỏa mãn điều kiện đó).
- Khi nói ta có bất đẳng thức $A>B$ mà không nêu điều kiện đối với các biến thì ta hiểu rằng bất đẳng thức đó xảy ra với mọi giá trị của biến là số thực.
2. Tính chất của bất đẳng thức lớp 10
- $\begin{cases} a>b\\ b>c \end{cases}\Rightarrow a>c$
- $a>b\Leftrightarrow a+c>b+c$
- $\begin{cases} a>b>0\\ c>d >0\end{cases} \Rightarrow ac>bd$
- $\begin{cases} a>b\\ c>d \end{cases} \Rightarrow a+c>b+d$
- Nếu $c>0$ thì $a>b\Leftrightarrow ac>bc$
- Nếu $c<0$ thì $a>b\Leftrightarrow ac<bc$
- $a>b\ge 0\Rightarrow \sqrt{a}>\sqrt{b}$
- $a\ge b\ge 0\Leftrightarrow {{a}^{2n}}\ge {{b}^{2n}}$, với mọi số tự nhiên dương $n$.
- $a>b \Leftrightarrow {{a}^{2n+1}}>{{b}^{2n+1}}$, với mọi số tự nhiên $n$.
3. Các bất đẳng thức thông dụng

Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân AM-GM (Bất đẳng thức Cauchy)

a) Đối với hai số không âm

Cho $a\ge 0,b\ge 0$, ta có $$\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}$$ Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi $a=b$.

Hệ quả:
- Hai số dương có tổng không đổi thì tích lớn nhất khi hai số đó bằng nhau.
- Hai số dương có tích không đổi thì tổng nhỏ nhất khi hai số đó bằng nhau.
b) Đối với ba số không âm.

Cho $a\ge 0,b\ge 0,c\ge 0$, ta có $$\frac{a+b+c}{3}\ge \sqrt[3]{abc}$$ Dấu ‘=’ xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$.

Bất đẳng thức Bunhia (Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz)

Cho các số thực $a_1,a_2,\ldots ,a_n$ và $b_1,b_2,\ldots ,b_n$, ta có $$\left(a_1^2+a_2^2+\cdots +a_n^2\right)\left(b_1^2+b_2^2+\cdots +b_n^2\right)\ge \left(a_1b_1+a_2b_2+\cdots +a_nb_n\right)^2.$$ Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\dfrac{a_1}{b_1}=\dfrac{a_2}{b_2}=\cdots =\dfrac{a_n}{b_n}.$

Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối.
- $-\left| a \right|\le a\le \left| a \right|$ với mọi số thực $a$ .
- $\left| x \right|<a\Leftrightarrow -a<x<a$ ( với $a>0$)
- $\left| x \right|>a\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x>a \\ & x<-a \\ \end{align} \right.$ ( với $a>0$)
Bất đẳng thức tam giác

\[|a|+|b| \geqslant |a\pm b| \geqslant \big| |a|-|b|\big|\]

Ngoài ra còn rất nhiều bất đẳng thức khác, mời các bạn xem trong bài Các bất đẳng thức thường sử dụng
20/12/2021
Đề thi HSG Toán tiếng Anh lớp 10 Nam Định 2021
Đề thi HSG Toán tiếng Anh lớp 10 Nam Định 2021

Xem thêm:
- Đề thi HSG Toán tiếng Anh Lớp 11 SGD Nam Định năm 2018
- Đề thi HSG Toán tiếng Anh Lớp 11 năm 2019 SGD Nam Định
PART 1. MULTIPLE CHOICE QUESTIONS (7,0 points)

Question 1. Given three distinct points $A$, $B$ and $C$. Which of the following statements is true?
A. $ \overrightarrow{CA}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB} $.
B. $ \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CA}=-\overrightarrow{BC} $.
C. $ \overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CB} $.
D. $ \overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC} $.

Question 2. In the $ Oxy $ coordinate plane, given $ \triangle ABC $ with $ A(-1;-4) ,B(6;7)$ and $ C(-2;9) $. Let $ G $ be the centroid of $ \triangle ABC $. The coordinates of $ G $ are
A. $ G(1;4) $.
B. $ G(-1;4) $.
C. $ G(1;-4) $.
D. $ G(3;12) $.

Question 3. Given a right triangle $ ABC $ at A. Which of the following statements is false?
A. $ \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC} < \overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BC} $.
B. $ \overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BC} < \overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{AB} $.
C. $ \overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC} < \overrightarrow{CA}\cdot \overrightarrow{CB} $.
D. $ \overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{CB} < \overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{BC} $.

Question 4. Given $ A=\{1;2;3;4\}$. How many subsets does the set $ A $ have?
A. $18$.
B. $16$.
C. $15$.
D. $14$.

Question 5. Given equation $ (x^2-x+1)(x-1)(x+1)=0 $. Which of the following equations is equivalent to the given equation?
A. $ x+1=0 $.
B. $ x-1=0 $.
C. $ x^2-x+1=0 $.
D. $ (x-1)(x+1)=0 $.

Question 6. Find all values of $ m $ such that function $ y=(m-1)x+2-21 $ is decreasing on its domain.
A. $m>1$.
B. $ m \geqslant 1 $.
C. $ m \leqslant 1 $.
D. $ m<1 $.

Question 7. Let $a, b, c$ be three positive real numbers satisfying $a+b+c=3$. Determine the maximum value of $T=\sqrt{a b}+\sqrt{b c}+\sqrt{c a}$.
A. $3$.
B. $4$.
C. $2$.
D. $6$.

Question 8. Given the fact that the system of equations $\left\{\begin{array}{l}x^{3}(2+3 y)=8 \\ \left(y^{3}-2\right) x=6\end{array}\right.$ has exactly two distinct solutions $\left(x_{1}, y_{1}\right) ;\left(x_{2}, y_{2}\right)$. The value of $S=x_{1}^{4}+y_{1}^{4}+x_{2}^{4}+y_{2}^{4}$ is
A. $34$.
B. $40$.
C. $28$.
D. $36$.

Question 9. Find all parameters $m$ such that equation $x^{2}+(m-1) x+m^{2}-1=0$ has two distinct roots and these roots have the same sign.
A. $m<-1$ or $m>1$.
B. $1<m<\frac{5}{3}$.
C. $-1<m<1$.
D. $\frac{-5}{3}<m<-1$.

Question 10. Given two equations $m x^{2}-2(m-1) x+m-2=0$ and $(m-2) x^{2}-3 x+m^{2}-15=0$. How many values of $m$ which make these above equations equivalent?
A. $2$.
B. $3$.
C. $0$.
D. $1$.

Question 11. Given $\triangle A B C$ with $A B=13, B C=2 \sqrt{33}, C A=17$. Compute the length of the median $A M$ of $\triangle A B C$.
A. $A M=2 \sqrt{35}$.
B. $A M=15$.
C. $A M=\sqrt{194}$.
D. $A M=14$.

Question 12. A ball is thrown straight up from 60 meters above the ground with a velocity of 20 meters per second $(20 \mathrm{~m} / \mathrm{s})$. The height of the ball at second $t$ after throwing can be computed by the quadratic function $s(t)=-5 t^{2}+20 t+60$, where $s(t)$ is in meters. After how many seconds does the ball hit the ground?
A. $t=2$.
B. $t=1$.
C. $t=4$.
D. $t=6$.

Question 13. Given $\triangle A B C$ with the sides $A C=3 \sqrt{3}$, side $B C=3 \sqrt{2}, A=45^{\circ}$ and $B>A+C$. Compute the degree measure of $\widehat{A B C}$.
A. $\widehat{A B C}=60^{\circ}$.
B. $\widehat{A B C}=150^{\circ}$.
C. $\widehat{A B C}=30^{\circ}$.
D. $\widehat{A B C}=120^{\circ}$.

Question 14. In the $O x y$ coordinate plane, given Parabol $(P): y=x^{2}-5 x+2 m$. Let $S$ be the set of all values of $m$ such that the Parabol $(P)$ cuts $O x$ at two distinct points $A, B$ satisfying $O A=4 O B$. Determine the sum of all elements of $S$.
A. $\frac{2}{9}$.
B. $\frac{-32}{9}$.
C. $2$.
D. $\frac{-16}{9}$.

Question 15. Which of the following two inequations are not equivalent?
A. $2 x-1>0$ and $2 x-1+\frac{1}{2 x^{2}+1}>\frac{1}{2 x^{2}+1}$.
B. $-2 x+1>0$ and $2 x-1<0$.
C. $3 x^{2}+1 \leq 2 x-1$ and $3 x^{2}-2 x+2 \leq 0$.
D. $5 x-1+\frac{1}{x-2}>\frac{1}{x-2}$ and $5 x-1>0$.

Question 16. Given an isosceles right triangle $A B C$ with sides $A B=A C=42 \mathrm{~cm} .$ Two medians $B E$ and $C F$ intersect at point $G$. The area of the triangle $G E C$ is
A. $7 \sqrt{21} \mathrm{~cm}^{2}$.
B. $21 \sqrt{7} \mathrm{~cm}^{2}$.
C. $147 \mathrm{~cm}^{2}$.
D. $174 \mathrm{~cm}^{2}$.

Question 17. In the $O x y$ coordinate plane, given two vectors $\vec{a}=(6 ;-4)$ and $\vec{b}=(-10,-2) .$ Compute the angle between two vectors $\vec{a}$ and $\vec{b}$.
A. $45^{\circ}$.
B. $60^{\circ}$.
C. $135^{\circ}$.
D. $120^{\circ}$.

Question 18. Given rectangle $A B C D$ with $A D=2$. Suppose that $E$ is the point which lies on the side $A B$ such that $A E=2 B E$ and $\sin \widehat{B D E}=\frac{1}{5}$. Compute the length of the segment $A B$.
A. $A B=2 \sqrt{2}$.
B. $A B=3 \sqrt{3}$.
C. $A B=\sqrt{3}$.
D. $A B=\sqrt{6}$.

Question 19. In the $O x y$ coordinate plane, given $A(2 ;-6)$. Let $B$ be the point which is symmetric to point $A$ with respect to the origin $O$. Find the coordinates of point $C$ satisfying that its horizontal coordinate equals $-4$ and $\triangle A B C$ has the right angle at $C$.
A. $C(2 \sqrt{6} ;-4)$ or $C(-2 \sqrt{6} ;-4)$.
B. $C(-4 ; 24)$ or $C(-4 ;-24)$.
C. $C(-4 ;-2 \sqrt{6})$ or $C(-4 ; 2 \sqrt{6})$.
D. $C(24 ;-4)$ or $C(-24 ;-4)$.

Question 20. In the $O x y$ coordinate plane, let $M$ be the vertex of Parabol $y=a x^{2}+b x+c(a \neq 0)$. The coordinates of $M$ are
A. $\left(\frac{b}{2 a} ; \frac{4 a c-b^{2}}{4 a}\right)$.
B. $\left(\frac{-b}{4 a} ; \frac{4 a c-b^{2}}{4 a}\right)$.
C. $\left(\frac{-b}{2 a} ; \frac{b^{2}-4 a c}{4 a}\right)$.
D. $\left(\frac{-b}{2 a} ; \frac{4 a c-b^{2}}{4 a}\right)$.

Question 21. In the $O x y$ coordinate plane, given $A(1 ;-3)$ and $B(-5 ; 4)$. The coordinates of vector $\overrightarrow{B A}$ are
A. $\overrightarrow{B A}=(6 ; 7)$.
B. $\overrightarrow{B A}=(6 ;-7)$.
C. $\overrightarrow{B A}=(-4 ; 1)$.
D. $\overrightarrow{B A}=(-6 ; 7)$.

Question 22. Among the following propostions, whose inverse proposition is true?
A. If a triangle is not regular then it has at least one interior angle less than 60 degrees.
B. If two triangles are congruent then their corresponding angles are equal.
C. If $n$ is a natural number then $n$ is a real number.
D. If a quadrilateral is an isosceles trapezoid then its two diagonals have the same length.

Question 23. Given $\triangle A B C$. Let $M$ and $N$ be the mid-points of sides $A B$ and $A C$, respectively. Find the scalars $m$ and $n$ such that $\overrightarrow{N M}=m \overrightarrow{A B}-n \overrightarrow{A C}$.

A. $m=-\frac{1}{2}, n=\frac{1}{2}$.
B. $m=-\frac{1}{2}, n=-\frac{1}{2}$.
C. $m=\frac{1}{2}, n=\frac{1}{2}$.
D. $m=\frac{1}{2}, n=-\frac{1}{2}$.

Question 24. Given two non-zero vectors $\vec{a}$ and $\vec{b}$. Which of the following statements is false?
A. Two vectors $\vec{a}$ and $\vec{b}$ with opposite direction to another nonzero vector are parallel.
B. Two vectors $\vec{a}$ and $k \vec{a}$ are parallel.
C. Two vectors $\vec{a}$ and $-3 \vec{a}$ have the same direction.
D. Two vectors $\vec{a}$ and $\vec{b}$ with the same direction are parallel.

Question 25. The domain of the function $y=\frac{2}{\sqrt{6-2 x}}$ is
A. $D=(-\infty ; 3]$.
B. $D=(-\infty ; 3)$.
C. $D=(3 ;+\infty)$.
D. $D=\mathbb{R} \backslash\{3\}$.

Question 26. In the $O x y$ coordinate plane, given $\triangle A B C$. Points $M(-2 ; 3), N(4 ;-1), P(1 ; 1)$ are the mid-points of sides $B C, C A$ and $A B$, respectively. The coordinates of vertex $A$ are
A. $A(-10 ; 0)$.
B. $A(7 ;-3)$.
C. $A(-7 ; 3)$.
D. $A(10 ; 0)$.

Question 27. Which of the following sentences is not a proposition?
A. Five divides twenty.
B. If “$3+x=4$” then “$x=1$”.
C. If “$1+2=7$” then “$7$ is an odd number.
D. What a nice day!

Question 28. In the $O x y$ coordinate plane, let $A(-3 ;-5) ; B(2 ; 5)$. Determine the slope of line $A B$.
A. $-5$.
B. $5$.
C. $2$.
D. $-3$.

Question 29. Given a right triangle $A B C$ at $B$ with $A B=2 a, A C=5 a$. Compute the dot product $\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{C A}$.
A. $-5 a^{2}$
B. $4 a^{2}$.
C. $-4 a^{2}$
D. $5 a^{2}$

Question 30. Given an isosceles triangle $A B C$ with the right angle $A$, inscribed in a circle with center $O$ and radius $R$. Let $r$ be the radius of the incircle of triangle $A B C$. The ratio of $R$ to $r$ is
A. $\frac{R}{r}=\frac{1+\sqrt{2}}{2}$.
B. $\frac{R}{r}=1+\sqrt{2}$.
C. $\frac{R}{r}=\frac{2+\sqrt{2}}{2}$
D. $\frac{R}{r}=\frac{\sqrt{2}-1}{2}$.

Question 31. A man travels from city $X$ to city $Y$ by train, then returns to city $Y$ by his car. Given that the distance between these two cities is $200 \mathrm{~km}$ and the average speed of his car is $10 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ faster than the train’s average speed. His journey takes 9 hours, find the sum of average speeds of the train and his car.
A. $90$.
B. $80$.
C. $60$.
D. $100$.

Question 32. Let $a, b, c$ be real numbers and $a+2021 c>b+2021 c$. Which of the following statements is true?
A. $a^{2}>b^{2}$.
B. $-2020 a>-2020 b$.
C. $2021 a>2021 b$
D. $\frac{1}{a}>\frac{1}{b}$.

Question 33. Given two sets $X=\{A ; 1 ; 2 ; 4 ; 6\}, Y=\{3 ; 7 ; 4 ; \varnothing\}$, the union of $X$ and $Y$ is
A. $\{1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 7\}$.
B. $\{A ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 7 ; \varnothing\}$.
C. $\{1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7\}$.
D. $\{A ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 7\}$.

Question 34. In the $O x y$ coordinate plane, let Parabol $(P): y=a x^{2}+b x+3$ and a point $M(-1 ; 9)$ belongs to the graph of $(P)$. The symmetric axis of $(P)$ has equation $x=-2$. Find the value of $S=a+b$.
A. $-6$.
B. $16$.
C. $6$.
D. $-10$.

Question 35. The negation of the proposition “Fourteen is a composite number” is
A. Fourteen has four positive factors.
B. Fourteen has only two factors 1 and 14 .
C. Fourteen is a prime number.
D. Fourteen is not a composite number.

PART 2. PROBLEMS SOLVING (3,0 points)

Write the solutions to the following problems in the provided space on your answer sheet.

Problem 1. (1,0 point)

To measure the height of the Cham temple tower Po Klong Garai in Ninh Thuan province (Figure 1), two points $A$ and $B$ which are chosen on the ground with the length $A B=16 \mathrm{~m}$ and the bottom $C$ of the tower are collinear (Figure 2). Two total stations whose tripods have a height $h=1,6 m$ are put at point $A$ and point $B$. Let $D$ be the top of the tower and two points $A_{1}, B_{1}$ be collinear to $C_{1}$ on height $C D$ of the tower. The measurements are $\widehat{D A_{1} C_{1}}=54^{0}$ and $\widehat{D B_{1} C_{1}}=32^{\circ} .$ Caculate the height $C D$ of the tower then round the result to 3 decimal places.

Problem 2 (1,0 point).

Let $f(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x+d$ be a cubic function with $f(0)=k, f(1)=2 k, f(-1)=3 k$, where $k$ is a given constant. What is the value of $f(2)+f(-2)$?

Problem 3 (1,0 point).

The sum of 2025 consecutive positive integers is a perfect square. Find the minimum value of the largest of these integers?
29/09/2021
100 Bài tập công thức lượng giác lớp 10
100 bài tập công thức lượng giác lớp 10

1. Kiến thức cần nhớ
- Định nghĩa các giá trị lượng giác $sin x, cos x, tan x, cot x$ của một cung, góc lượng giác
- Các công thức lượng giác cơ bản
- Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt (cung liên kết): cung đối nhau, cung bù nhau, cung phụ nhau…
- Các công thức lượng giác: công thức cộng, công thức nhân đôi, công thức hạ bậc, công thức biến đổi tổng thành tích, công thức biến đổi tích thành tổng
2. Bài tập công thức lượng giác lớp 10

Bài tập 1. Rút gọn các biểu thức lượng giác sau:
1. $sin x cos 5 x-cos x sin 5 x$
2. $sin 4 x cot 2 x-cos 4 x$
3. $cos 6 x tan 3 x-sin 6 x$
4. $sin (x+y) cos (x-y)+sin (x-y) cos (x+y)$
5. $cos 7 x cdot cos 5 x-sqrt{3} sin 2 x+sin 7 x cdot sin 5 x$
6. $sqrt{3} cos 2 x+sin 2 x+2 sin left(2 x-dfrac{pi}{6}right)$
7. $dfrac{tan 2 x+cot left(90^{0}+xright)}{1+cot left(90^{0}-2 xright) tan x}$
8. $dfrac{tan ^{2} 2 x-tan ^{2} x}{1-tan ^{2} 2 x tan ^{2} x}$
9. $sin (a+b)+sin left(dfrac{pi}{2}-aright) sin (-b)$
10. $cos left(dfrac{pi}{2}-aright) cos left(dfrac{pi}{2}-bright)-cos (a-b)$
11. $cos left(dfrac{pi}{4}+aright) cos left(dfrac{pi}{4}-aright)+dfrac{1}{2} sin ^{2} a$
12. $sin ^{2} a sin ^{2} b-cos ^{2} a cos ^{2} b$
13. $dfrac{2 sin (a+b)}{cos (a+b)+cos (a-b)}-tan b$
14. $(sin x+cos x)^{2}$
15. $sin x cos x cos 2 x$
16. $1-4 sin ^{2} x cos ^{2} x$
17. $cos ^{4} 2 x-sin ^{4} 2 x$
18. $cos ^{2}left(x+dfrac{pi}{2}right)-sin ^{2}left(x+dfrac{pi}{2}right)$
19. $sin x cos x cos 2 x$
20. $4sin x sin left(x+dfrac{pi}{2}right) sin left(2 x+dfrac{pi}{2}right)$
21. $sin 8 x+2 cos ^{2}left(45^{circ}+4 xright)$
22. $sin ^{2}left(dfrac{pi}{8}+dfrac{x}{2}right)-sin ^{2}left(dfrac{pi}{8}-dfrac{x}{2}right)$
23. $sin 2 x+cos 2 x-2 cos x(sin x+cos x)+1$
24. $dfrac{2 cos ^{2} x-1}{sin x+cos x}$
25. $dfrac{1-2 sin ^{2} 2 x}{cos 2 x-sin 2 x}$
26. $dfrac{2}{(1-tan x)(1+cot x)}$
27. $left(1-tan ^{2} xright) cot x$
28. $dfrac{cot x-tan x}{cos 2 x}$
29. $dfrac{sin 2 x}{sin x}-dfrac{cos 2 x}{cos x}$
30. $dfrac{1+sin left(dfrac{3 pi}{2}-xright)}{1+sin left(dfrac{pi}{2}+xright)}$
31. $dfrac{sin ^{2} 2 x-4 sin ^{2} x}{sin ^{2} 2 x+4 sin ^{2} x-4}$
32. $dfrac{sin 4 x}{1+cos 4 x} cdot dfrac{cos 2 x}{1+cos 2 x}$
33. $dfrac{sin 3 x-cos 3 x}{sin x+cos x}$
34. $tan left(dfrac{pi}{4}+dfrac{x}{2}right) cdot dfrac{1+cos left(dfrac{pi}{2}+xright)}{sin left(dfrac{pi}{2}+xright)}$
35. $dfrac{1-cos 2 x+sin 2 x}{1+cos 2 x+sin 2 x} cdot cot x$
Bài tập 2. Chứng minh rằng
1. $sin 3 x=3 sin x-4 sin ^{3} x$
2. $cos 3 x=4 cos ^{3} x-3 cos x$
3. $cos ^{4} x-sin ^{4} x=cos 2 x$
4. $cos ^{2} 2 x-sin ^{2} x=cos x cos 3 x$
5. $sin 4 x=4 sin x cos xleft(1-2 sin ^{2} xright)$
6. $cos 4 x=8 cos ^{4} x-8 cos ^{2} x+1$
7. $sin ^{4}+cos ^{4} x=dfrac{3}{4}+dfrac{1}{4} cos 4 x$
8. $8 sin ^{4} x=3-4 cos 2 x+cos 4 x$
9. $sin ^{4}+cos ^{4} x-6 cos ^{2} x sin ^{2} x=cos 4 x$
10. $cos x+sin x=sqrt{2} cos left(x-dfrac{pi}{4}right)$
11. $cos x-sin x=sqrt{2} cos left(x+dfrac{pi}{4}right)$
12. $sin left(dfrac{pi}{4}+xright)-sin left(dfrac{pi}{4}-xright)=sqrt{2} sin x$
13. $tan (x+y)-tan x-tan y=tan (x+y) tan x tan y$
14. $dfrac{sin (a-b)}{cos a cos b}+dfrac{sin (b-c)}{cos b cos c}+dfrac{sin (c-a)}{cos c cos a}=0$
15. $dfrac{sin (a+b) sin (a-b)}{cos ^{2} a cos ^{2} b}=tan ^{2} a-tan ^{2} b$
16. $dfrac{1-cos 2 x}{sin 2 x}=tan x$
17. $tan x+cot x=dfrac{2}{sin 2 x}$
18. $dfrac{cos x}{1-sin x}=cot left(dfrac{pi}{4}-dfrac{x}{2}right)$
19. $cot x-tan x=2 cot 2 x$
20. $dfrac{1+cos x}{1-cos x} cdot tan ^{2} dfrac{x}{2}=1$
21. $dfrac{1}{sin 2 x}+cot 2 x=cot x$
22. $(tan 2 x-tan x) cos 2 x=tan x$
23. $(tan 2 x-tan x) cos 2 x=tan x$
24. $dfrac{cos dfrac{x}{2}-sin dfrac{x}{2}}{cos dfrac{x}{2}+sin dfrac{x}{2}}=dfrac{1}{cos x}-tan x$
25. $2left(dfrac{1}{sin 2 x}+cot 2 xright)=cot dfrac{x}{2}-tan dfrac{x}{2}$
Bài tập 3. Chứng minh các biểu thức sau độc lập đối với biến $ x $.
1. $sin ^{2} x+cos left(dfrac{pi}{3}-xright) cos left(dfrac{pi}{3}+xright)$
2. $cos ^{2} x+cos ^{2}left(dfrac{pi}{3}+xright)+cos ^{2}left(dfrac{pi}{3}-xright)$
3. $sin ^{2} x+sin ^{2}left(dfrac{2 pi}{3}+xright)+sin ^{2}left(dfrac{2 pi}{3}-xright)$
4. $cos ^{2} x+cos ^{2}left(x+dfrac{2 pi}{3}right)+cos ^{2}left(x-dfrac{2 pi}{3}right)$
5. $dfrac{a cos ^{3} x-cos 3 x}{cos x}+dfrac{a sin ^{3} x+sin 3 x}{sin x}$
6. $dfrac{sin 2 x-2 sin x}{sin 2 x+2 sin x}+tan ^{2} dfrac{x}{2}$
Bài tập 3. Cho tam giác $ABC$, chứng minh rằng:
1. $sin {C}=sin {A} cdot cos {B}+sin {B} cdot cos {A}$
2. $sin {A}=sin {B} cos {C}+sin {C} cos {B}$
3. $cos {A}=sin {B} sin {C}-cos {B} cos {C}$
4. $dfrac{sin {C}}{cos {A} . cos {B}}=tan {A}+tan {B}, quadleft({A}, {B} neq 90^{circ}right)$
5. $tan A+tan B+tan C=tan A .$ tan $B cdot tan C$
6. $cot A cdot cot B+cot B cdot cot C+cot C cdot cot A=1$
7. $sin dfrac{A}{2}=cos dfrac{B}{2} cos dfrac{C}{2}-sin dfrac{B}{2} sin dfrac{C}{2}$
8. $cos dfrac{A}{2}=sin dfrac{B}{2} cos dfrac{C}{2}-cos dfrac{B}{2} sin dfrac{C}{2}$
9. $tan dfrac{{A}}{2} cdot tan dfrac{{B}}{2}+tan dfrac{{B}}{2} cdot tan dfrac{{C}}{2}+tan dfrac{{C}}{2} cdot tan dfrac{{A}}{2}=1$
10. $cot dfrac{{A}}{2}+cot dfrac{{B}}{2}+cot dfrac{{C}}{2}=cot dfrac{{A}}{2} cdot cot dfrac{{B}}{2} cdot cot dfrac{{C}}{2}$
Bài tập 4. Tính giá trị lượng giác của các biểu thức sau:
1. $cos xleft(x+dfrac{pi}{3}right)$ biết $sin x=dfrac{1}{sqrt{3}}$ và $0<x<dfrac{pi}{2}$.
2. $sin left(dfrac{pi}{3}-xright)$ biết $cos x=-dfrac{12}{13}$ và $pi<x<dfrac{3 pi}{2}$.
3. $cos left(x-30^{0}right)$ biết $tan x=sqrt{2}$ và $0<x<90^{0}$.
4. $sin left(2 x+dfrac{7 pi}{4}right)$ biết $cot x=dfrac{2}{3}$.
5. $sin 2 x, cos 2 x$ khi $sin x=dfrac{3}{5}, dfrac{pi}{2}<x<pi$.
6. $sin 2 x, cos 2 x$ khi $sin x+cos x=sqrt{2}$.
7. $cos 2 x, sin 2 x, tan 2 x $ biết rằng $tan x=2$.
13/04/2021
ĐỀ CƯƠNG HỌC KÌ 2 TOÁN 10
ĐỀ CƯƠNG HỌC KÌ 2 TOÁN 10

1. Nội dung ôn tập đề cương học kì 2 Toán 10
- Lý thuyết và bài tập dấu nhị thức bậc nhất
- Lý thuyết và bài tập dấu tam thức bậc hai
- Phương trình chứa căn, bất phương trình chứa căn
- Công thức lượng giác – Giá trị lượng giác của góc lớp 10
- Bài tập công thức lượng giác
- Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng (Phương trình đường thẳng, phương trình đường tròn)
2. Bài tập trắc nghiệm ôn tập HK2 môn Toán 10

2.1. Tam thức bậc hai

Câu 1: Tìm tập xác định của hàm số.

A. $\left( -\infty ;\frac{1}{2} \right]$.

B. $\left[ \frac{1}{2};2 \right]$.

C. $\left( -\infty ;\frac{1}{2} \right]\cup \left[ 2;+\infty \right)$.

D. $\left[ 2;+\infty \right)$.

Câu 2: Tam thức nào dưới đây luôn dương với mọi giá trị của $x$?

A. ${{x}^{2}}-10x+2$.
B. ${{x}^{2}}-2x-10$.
C. ${{x}^{2}}-2x+10$.
D. $-{{x}^{2}}+2x+10$

Câu 3: Giá trị nào của $m$ thì phương trình $\left( m-3 \right){{x}^{2}}+\left( m+3 \right)x-\left( m+1 \right)=0\,$ $\left( 1 \right)$ có hai nghiệm phân biệt?

A. $m\in \mathbb{R}\backslash \left\{ 3 \right\}$
B. $m\in \left( -\infty ;\,-\frac{3}{5} \right)\cup \left( 1;\,+\infty \right)\backslash \left\{ 3 \right\}$.
C. $m\in \left( -\frac{3}{5};\,1 \right)$.
D. $m\in \left( -\frac{3}{5};\,+\infty \right)$.

Câu 4: Gọi $S$ là tập nghiệm của bất phương trình ${{x}^{2}}-8x+7\ge 0$. Trong các tập hợp sau, tập nào không là tập con của $S$?
A. $\left[ 8;+\infty \right)$.
B. $\left( -\infty ;-1 \right]$.
C. $\left( -\infty ;0 \right]$.
D. $\left[ 6;+\infty \right)$.

Câu 5: Tìm nghiệm của tam thức bậc hai $f\left( x \right)={{x}^{2}}+4x-5$.

A. $x=5$; $x=-1$.
B. $x=-5$; $x=-1$.
C. $x=5$; $x=1$.
D. $x=-5$; $x=1$.

Câu 6: Cho tam thức bậc hai $f\left( x \right)=-{{x}^{2}}-4x+5$. Tìm tất cả giá trị của $x$ để $f\left( x \right)\ge 0$.

A. $x\in \left( -\infty ;\,-1 \right]\cup \left[ 5;\,+\infty \right)$.
B. $x\in \left[ -1;\,5 \right]$.
C. $x\in \left[ -5;\,1 \right]$.
D. $x\in \left( -5;\,1 \right)$.

Câu 7: Tìm tập nghiệm $S$ của bất phương trình ${{x}^{2}}-4>0$.

A. $S=\left( -\infty ;-2 \right)\cup \left( 2;+\infty \right)$
B. $S=\left( -2;2 \right)$
C. $S=\left( -\infty ;-2 \right]\cup \left[ 2;+\infty \right)$.
D. $S=\left( -\infty ;0 \right)\cup \left( 4;+\infty \right)$

Câu 8: Tìm tập nghiệm $S$ của bất phương trình ${{x}^{2}}-4x+4>0$.

A. $S=\mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}$.
B. $S=\mathbb{R}$.
C. $S=\left( 2;+\infty \right)$.
D. $S=\mathbb{R}\backslash \left\{ -2 \right\}$.

Câu 9: Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau?

A. $f\left( x \right)=3{{x}^{2}}+2x-5$ là tam thức bậc hai.
B. $f\left( x \right)=2x-4$ là tam thức bậc hai.

C. $f\left( x \right)=3{{x}^{3}}+2x-1$ là tam thức bậc hai.
D. $f\left( x \right)={{x}^{4}}-{{x}^{2}}+1$ là tam thức bậc hai.

Câu 10: Cho $f\left( x \right)=a{{x}^{2}}+bx+c$, $\left( a\ne 0 \right)$ và $\Delta ={{b}^{2}}-4ac$. Cho biết dấu của $\Delta $ khi $f\left( x \right)$ luôn cùng dấu với hệ số $a$ với mọi $x\in \mathbb{R}$.
A. $\Delta <0$.
B. $\Delta =0$.
C. $\Delta >0$.
D. $\Delta \ge 0$.

Câu 11: Hệ bất phương trình $\left\{ \begin{align}
& {{x}^{2}}-4<0 \\
& \left( x-1 \right)\left( {{x}^{2}}+5x+4 \right)\ge 0 \\
\end{align} \right.$ có số nghiệm nguyên là

A. $2$.
B. $1$.
C. Vô số.
D. $3$.

Câu 12: Dấu của tam thức bậc hai $f\left( x \right)=-{{x}^{2}}+5x-6$ được xác định như sau

A. $f\left( x \right)<0$ với $2<x<3$ và $f\left( x \right)>0$ với $x<2$ hoặc $x>3$.

B. $f\left( x \right)<0$ với $-3<x<-2$ và $f\left( x \right)>0$ với $x<-3$ hoặc $x>-2$.

C. $f\left( x \right)>0$ với $2<x<3$ và $f\left( x \right)<0$ với $x<2$hoặc $x>3$.

D. $f\left( x \right)>0$ với $-3<x<-2$ và $f\left( x \right)<0$ với $x<-3$ hoặc $x>-2$.

Câu 13: Số nghiệm nguyên của bất phương trình $2{{x}^{2}}-3x-15\le 0$ là

A. $6$.
B. $5$.
C. $8$.
D. $7$.

Câu 14: Gọi $S$ là tập nghiệm của bất phương trình $\frac{{{x}^{2}}+x+3}{{{x}^{2}}-4}\ge 1$. Khi đó $S\cap \left( -2;\,2 \right)$ là tập nào sau đây?

A. $\left( -2;\,-1 \right)$.
B. $\left( -1;\,2 \right)$.
C. $\varnothing $.
D. $\left( -2;\,-1 \right]$.

Câu 15: Để bất phương trình $5{{x}^{2}}-x+m\le 0$ vô nghiệm thì $m$ thỏa mãn điều kiện nào sau đây?

A. $m\le \frac{1}{5}$.
B. $m>\frac{1}{20}$.
C. $m\le \frac{1}{20}$.
D. $m>\frac{1}{5}$.

Câu 16: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y=\sqrt{{{x}^{2}}-2mx-2m+3}$ có tập xác định là $\mathbb{R}$.

A. $4$.
B. $6$.
C. $3$.
D. $5$.

Câu 17: Tập nghiệm của bất phương trình $\sqrt{8-x}\le x-2$ là

A. $S=\left[ 4,\,+\infty \right)$.
B. $S=\left( -\infty ;\,-1 \right)\cup \left( 4;\,8 \right)$.
C. $S=\left[ 4;\,8 \right]$.
D. $S=\left( -\infty ;\,-1 \right]\cup \left[ 4;\,+\infty \right)$.

Câu 18: Cho hàm số $f\left( x \right)={{x}^{2}}+2x+m$. Với giá trị nào của tham số $m$ thì $f\left( x \right)\ge 0,\,\forall x\in \mathbb{R}$.

A. $m\ge 1$.
B. $m>1$.
C. $m>0$.
D. $m<2$.

Câu 19: Với giá trị nào của $m$ thì phương trình $\left( m-1 \right){{x}^{2}}-2\left( m-2 \right)x+m-3=0$ có hai nghiệm ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$ thỏa mãn ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{1}}{{x}_{2}}<1$?
A. $1<m<3$.
B. $1<m<2$.
C. $m>2$.
D. $m>3$.

Câu 20: Cho phương trình $\left( m-5 \right){{x}^{2}}+2\left( m-1 \right)x+m=0$ $\left( 1 \right)$. Với giá trị nào của $m$ thì $\left( 1 \right)$ có $2$ nghiệm ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$ thỏa ${{x}_{1}}<2<{{x}_{2}}$?
A. $m\ge 5$.
B. $m<\frac{8}{3}$.
C. $\frac{8}{3}<m<5$.
D. $\frac{8}{3}\le m\le 5$.
Câu 21: Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để bất phương trình $-{{x}^{2}}+x-m>0$ vô nghiệm.

A. $m\ge \frac{1}{4}$.
B. $m\in \mathbb{R}$.
C. $m>\frac{1}{4}$.
D. $m<\frac{1}{4}$.

Câu 22: Tìm các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình $\left( m-1 \right){{x}^{2}}-2mx+m=0$ có một nghiệm lớn hơn $1$ và một nghiệm nhỏ hơn $1$?
A. $0<m<1$.
B. $m>1$.
C. $m\in \varnothing $.
D. $\left\{ \begin{align}
& m>0 \\
& m\ne 1 \\
\end{align} \right.$.

Câu 23: Bất phương trình $\left( m-1 \right){{x}^{2}}-2\left( m-1 \right)x+m+3\ge 0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ khi

A. $m\in \left[ 1;+\infty \right)$.
B. $m\in \left( 2;+\infty \right)$.
C. $m\in \left( 1;+\infty \right)$.
D. $m\in \left( -2;7 \right)$.

Câu 24: Tập nghiệm của bất phương trình $\left( {{x}^{2}}-3x \right)\sqrt{2{{x}^{2}}-3x-2}\ge 0$ là

A. $\left[ \begin{matrix}
x\ge 3\text{ } \\
x=2\text{ } \\
x\le -\frac{1}{2} \\
\end{matrix} \right.$.
B. $\left[ \begin{matrix}
x\ge 3 \\
x\le 0 \\
\end{matrix} \right.$.
C. $\left[ \begin{matrix}
x\ge 2\text{ } \\
x\le -\frac{1}{2} \\
\end{matrix} \right.$.
D. $x\in \left\{ -\frac{1}{2};0;2;3 \right\}$.

Câu 25: Hệ bất phương trình $\left\{ \begin{align}
& {{x}^{2}}-1\le 0 \\
& x-m>0 \\
\end{align} \right.$ có nghiệm khi
A. $m>1$.
B. $m<1$.
C. $m\ne 1$.
D. $m=1$.

Câu 26: Xác định $m$ để phương trình $\left( x-1 \right)\left[ {{x}^{2}}+2\left( m+3 \right)x+4m+12 \right]=0$ có ba nghiệm phân biệt lớn hơn $-1$.

A. $-\frac{7}{2}<m<-3$ và $m\ne -\frac{19}{6}$.
B. $m<-\frac{7}{2}$.
C. $-\frac{7}{2}<m<-1$ và $m\ne -\frac{16}{9}$.
D. $-\frac{7}{2}<m<3$ và $m\ne -\frac{19}{6}$.

Câu 27: Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình ${{x}^{2}}-2mx+m+2=0$ có hai nghiệm ${{x}_{1}}$, ${{x}_{2}}$ thỏa mãn $x_{1}^{3}+x_{2}^{3}\le 16$.
A. Không có giá trị của $m$.
B. $m\ge 2$.
C. $m\le -1$.
D. $m\le -1$ hoặc $m=2$.

Câu 28: Giải bất phương trình $\sqrt{-{{x}^{2}}+6x-5}>8-2x$ có nghiệm là

A. $-5<x\le -3$.
B. $3<x\le 5$.
C. $2<x\le 3$.
D. $-3\le x\le -2$.
Câu 29: Giá trị lớn nhất của hàm số $f(x)=\sqrt{(x-1)(9-3x)}$ với $1 \leqslant x \leqslant 3$ là:
A. $\sqrt{2}$
B. $0$
C. $\sqrt{3}$
D. $2$
Câu 30: Cho hàm số $f\left( x \right)=-{{x}^{2}}-2\left( m-1 \right)x+2m-1$. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để $f\left( x \right)>0$, $\forall x\in \left( 0;\,1 \right)$.
A. $m>1$.
B. $m<\frac{1}{2}$.
C. $m\ge 1$.
D. $m\ge \frac{1}{2}$.

2.2. CUNG, GÓC LƯỢNG GIÁ
C. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

Câu 1: Góc có số đo ${{108}^{\text{o}}}$đổi ra radian là
A. $\frac{3\pi }{5}.$
B. $\frac{\pi }{10}.$
C. $\frac{3\pi }{2}.$
D. $\frac{\pi }{4}.$

Câu 2: Biết một số đo của góc $\left( Ou,Ov \right)=\frac{3\pi }{2}$. Giá trị tổng quát của góc $\left( Ou,Ov \right)$ là

A. $\left( Ou,Ov \right)=\frac{3\pi }{2}+k\pi $
B. $\left( Ou,Ov \right)=\pi +k2\pi $
C. $\left( Ou,Ov \right)=\frac{\pi }{2}+k\pi $
D. $\left( Ou,Ov \right)=\frac{-\pi }{2}+k2\pi $

Câu 3: Góc có số đo $\frac{2\pi }{5}$đổi sang độ là
A. ${{240}^{\text{o}}}$
B. ${{135}^{\text{o}}}$
C. ${{72}^{\text{o}}}$
D. ${{270}^{\text{o}}}$

Câu 4: Một đường tròn có bán kính $R=\frac{10}{\pi }\,\text{cm}$. Tìm độ dài của cung $\frac{\pi }{2}$ trên đường tròn.

A. $10\,\text{cm}$
B. $5\,\text{cm}$
C. $\frac{20}{{{\pi }^{2}}}\,\text{cm}$
D. $\frac{{{\pi }^{2}}}{20}\,\text{cm}$

Câu 5: Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A. Số đo của một cung lượng giác luôn là một số không âm.

B. Số đo của một cung lượng giác luôn không vượt quá $2\pi $.

C. Số đo của một cung lượng giác luôn là một số thực thuộc đoạn $\text{ }\!\![\!\!\text{ }0;2\pi \text{ }\!\!]\!\!\text{ }$.

D. Số đo của một cung lượng giác là một số thực.

Câu 6: Cho đường tròn có bán kính $6\ \text{cm}$. Tìm số đo (${rad}$) của cung có độ dài là $3\ \text{cm}$:

A. 0,5
B. 3
C. 2
D. 1

Câu 7: Xét góc lượng giác $\left( OA;OM \right)=\alpha $, trong đó $M$ là điểm không nằm trên các trục tọa độ $Ox$ và $Oy$. Khi đó $M$ thuộc góc phần tư nào để $\sin \alpha $ và $\text{cos}\alpha $ cùng dấu

A. (I) và (II)
B. (I) và (III)
C. (I) và (IV)
D. (II) và (III)

Câu 8: Cho $\alpha $ là góc tù. Điều khẳng định nào sau đây đúng?

A. $\sin \alpha <0$
B. $\cos \alpha >\text{0}$
C. $\tan \alpha <0$
D. $\cot \alpha >0$

Câu 9: Chọn điểm $A\left( 1;0 \right)$làm điểm đầu của cung lượng giác trên đường tròn lượng giác. Tìm điểm cuối $M$ của cung lượng giác có số đo $\frac{25\pi }{4}$.

A. $M$ là điểm chính giữa của cung phần tư thứ $\text{I}$.

B.$M$là điểm chính giữa của cung phần tư thứ $\text{II}$.

C. $M$ là điểm chính giữa của cung phần tư thứ $\text{III}$.

D. $M$ là điểm chính giữa của cung phần tư thứ$\text{IV}$.

Câu 10: Cho bốn cung (trên một đường tròn định hướng): $\alpha =-\frac{5\pi }{6}$, $\beta =\frac{\pi }{\text{3}}$, $\gamma =\frac{\text{25}\pi }{\text{3}}$, $\delta =\frac{\text{19}\pi }{\text{6}}$. Các cung nào có điểm cuối trùng nhau:

A. $\alpha $ và $\beta $; $\gamma $và $\delta $.
B. $\beta $ và $\gamma $; $\alpha $ và $\delta $.
C. $\alpha $, $\beta $, $\gamma $.
D. $\beta $, $\gamma $, $\delta $.

Câu 11: Giá trị $k$ để cung $\alpha =\frac{\pi }{2}+k2\pi $ thỏa mãn $10\pi <\alpha <11\pi $ là

A. $k=4.$
B. $k=6.$
C. $k=7.$
D. $k=5.$

Câu 12: Cung $\alpha $ có mút đầu là $A$ và mút cuối là $M$ thì số đo của $\alpha $ là

A.$\frac{3\pi }{4}+k\pi. $

B.$-\frac{3\pi }{4}+k\pi. $

C. $\frac{3\pi }{4}+k2\pi. $

D. $-\frac{3\pi }{4}+k2\pi. $

Câu 13: Nếu góc lượng giác có $s\left( Ox,Oz \right)=-\frac{63\pi }{2}$thì hai tia $Ox$ và $Oz$

A. Trùng nhau.
B. Vuông góc.
C. Tạo với nhau một góc bằng $\frac{3\pi }{4}$.
D. Đối nhau.

Câu 14: Một bánh xe có $72$ răng. Số đo góc mà bánh xe đã quay được khi di chuyển $10$ răng là

A.${{30}^{\text{o}}}.$

B.${{40}^{\text{o}}}.$

C.${{50}^{\text{o}}}.$

D.${{60}^{\text{o}}}.$

Câu 15: Trong ${20}$ giây bánh xe của xe gắn máy quay được ${60}$ vòng.Tính độ dài quãng đường xe gắn máy đã đi được trong vòng $3$ phút, biết rằng bán kính bánh xe gắn máy bằng $6,5\text{ cm}$ (lấy $\pi =3,1416$).

A. $22054\text{ cm}$.
B. $22063\text{ cm}$.
C. $22054\text{ mm}$.
D. $22044\text{ cm}$

Câu 16: Cho hai góc lượng giác có sđ$\left( Ox,Ou \right)={{45}^{\text{o}}}+m{{360}^{\text{o}}},m\in \mathbb{Z}$ và sđ$\left( Ox,Ov \right)=-{{135}^{\text{o}}}+n{{360}^{\text{o}}},n\in \mathbb{Z}$. Ta có hai tia $Ou$ và $Ov$

A. Tạo với nhau góc ${{45}^{\text{o}}}$.
B. Trùng nhau.
C. Đối nhau.
D. Vuông góc.

Câu 17: Một đồng hồ treo tường, kim giờ dài $10,57\text{ cm}$ và kim phút dài $13,34\text{ cm}$.Trong 30 phút mũi kim giờ vạch lên cung tròn có độ dài là:
A. $2,77\text{ cm}$
B. $2,9\text{ cm}$
C. $2,76\text{ cm}$
D. $2,8\text{ cm}$

Câu 18: Cho $\frac{3\pi }{2}<a<2\pi $. Kết quả đúng là
A. $\sin a>0$, $\cos a>0$.
B. $\sin a<0$, $cosa<0$.
C. $\sin a>0$, $cosa<0$.
D. $\sin a<0$, $cosa>0$

Câu 19: Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng ?

A. $\cos \left( {{180}^{0}}a \right)=\cos a$.
B. $\sin \left( {{180}^{0}}a \right)=-\sin a$.
C. $\sin \left( {{180}^{0}}a \right)=-\sin a$.
D. $\sin \left( {{180}^{0}}a \right)=\cos a$.

Câu 20: Chọn đẳng thức sai trong các đẳng thức sau

A. $\sin \left( \frac{\pi }{2}-x \right)=\cos x$.
B. $\sin \left( \frac{\pi }{2}+x \right)=-\cos x$.
C. $\tan \left( \frac{\pi }{2}-x \right)=\cot x$.
D. $\tan \left( \frac{\pi }{2}+x \right)=-\cot x$

Câu 21: Trong các giá trị sau, $\sin \alpha $ có thể nhận giá trị nào?

A. $-1,7$.
B. $\frac{2}{3}$.
C. $-\sqrt{3}$.
D. $\frac{\sqrt{10}}{3}$.

Câu 22: Trong các công thức sau, công thức nào sai?

A. ${{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha =1$.

B. $1+{{\tan }^{2}}\alpha =\frac{1}{{{\cos }^{2}}\alpha }\,\left( \alpha \ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,\,k\in \mathbb{Z} \right)$.

C. $1+{{\cot }^{2}}\alpha =\frac{1}{{{\sin }^{2}}\alpha }\ \left( \alpha \ne k\pi ,\,k\in \mathbb{Z} \right)$.

D. $\tan \alpha +\cot \alpha =1\,\left( \alpha \ne \frac{k\pi }{2},\,k\in \mathbb{Z} \right)$.

Câu 23: Cho biết $\tan \alpha =\frac{1}{5}$. Tính $\cot \alpha $

A. $\cot \alpha =5$.
B. $\cot \alpha =\frac{1}{25}$.
C. $\cot \alpha =\frac{1}{5}$.
D. $\cot \alpha =\sqrt{5}$

Câu 24: Đơn giản biểu thức $A=\cos \left( \frac{\pi }{2}-\alpha \right)+\sin \left( \frac{\pi }{2}-\alpha \right)-\sin \left( \pi -\alpha \right)-\cos \left( \pi -\alpha \right)$, ta có:

A. $A=2\sin a$.
B. $A=2\cos a$.
C. $A=\sin a\cos a$.
D. $A=0$.

Câu 25: Đơn giản biểu thức $A=\left( 1{{\cos }^{2}}x \right).{{\tan }^{2}}x+\left( 1{{\tan }^{2}}x \right),$ ta có

A. $A={{\sin }^{2}}x$.
B. $A={{\cos }^{2}}x$.
C. $A={{\sin }^{2}}x$.
D. $A=co{{s}^{2}}x$.

Câu 26: Cho $\sin \alpha =\frac{4}{5}$ và $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi $. Giá trị của $\text{cos}\alpha $ là:
A. $\frac{3}{5}$.
B. $-\frac{3}{5}$.
C. $\pm \frac{3}{5}$
D. $\frac{9}{25}$.

Câu 27: Cho $\tan \alpha =2$. Giá trị của $A=\frac{5\sin \alpha +\cos \alpha }{\sin \alpha -3\cos \alpha }$ là:
A. $5$.
B. $\frac{5}{3}$.
C. $-11$.
D. $\frac{-1}{3}$.

Câu 28: Các cặp đẳng thức nào sau đây đồng thời xảy ra?

A. $\sin \alpha =1$ và $\cos \alpha =1$.
B. $\sin \alpha =\frac{1}{2}$ và $\cos \alpha =-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

C. $\sin \alpha =\frac{1}{2}$ và $\text{cos}\alpha =-\frac{1}{2}$.
D. $\sin \alpha =\sqrt{3}$ và $\cos \alpha =0$.

Câu 29: Cho $\cos \alpha =\frac{4}{5}$ với $0<\alpha <\frac{\pi }{2}$. Tính $\sin \alpha $.
A. $\sin \alpha =\frac{1}{5}$.
B. $\sin \alpha =-\frac{1}{5}$
C. $\sin \alpha =\frac{3}{5}$
D. $\sin \alpha =\pm \frac{3}{5}$.

Câu 30: Đơn giản biểu thức $A\text{ }=\frac{2{{\cos }^{2}}x-1}{\sin x-\cos x}$ ta có

A. $A=\cos x+\sin x$.
B. $A=\cos x\sin x$.
C. $A=\sin x\cos x$.
D. $A=-\sin x\cos x$.

Câu 31: Tính $\alpha $ biết $\cos \alpha =-1$

A. $\alpha =k\pi \ \ \left( k\in \mathbb{Z} \right)$.
B. $\alpha =k2\pi \ \ \left( k\in \mathbb{Z} \right)$.
C. $\alpha =\frac{\pi }{2}+k2\pi \ \ \left( k\in \mathbb{Z} \right)$.
D. $\alpha =-\pi +k2\pi \ \ \left( k\in \mathbb{Z} \right)$.

Câu 32: Biết $\tan \alpha =2$ và ${{180}^{\circ }}<\alpha <{{270}^{\circ }}$. Giá trị $\cos \alpha +\sin \alpha $ bằng
A. $-\frac{3\sqrt{5}}{5}$.
B. $1\sqrt{5}$.
C. $\frac{3\sqrt{5}}{2}$.
D. $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$.
Câu 33: Giá trị của $A={{\cos }^{2}}\frac{\pi }{8}+{{\cos }^{2}}\frac{3\pi }{8}+{{\cos }^{2}}\frac{5\pi }{8}+{{\cos }^{2}}\frac{7\pi }{8}$ bằng
A. $0$.
B. $1$.
C. $2$
D. $-1$.

Câu 34: Biểu thức $D={{\cos }^{2}}x.co{{t}^{2}}x+4{{\cos }^{2}}xco{{t}^{2}}x+3{{\sin }^{2}}x$ không phụ thuộc $x$ và bằng
A. 2.
B. $2$.
C. 3.
D. $3$.

Câu 35: Biết $\sin \alpha +\cos \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}$. Trong các kết quả sau, kết quả nào sai ?
A. $\sin \alpha. \cos \alpha =\frac{1}{8}$.
B. $\sin \alpha -\cos \alpha =\pm \frac{\sqrt{5}}{2}$.
C. ${{\sin }^{4}}\alpha +{{\cos }^{4}}\alpha =\frac{5}{4}$.
D. ${{\tan }^{2}}\alpha +{{\cot }^{2}}\alpha =62$.

Câu 36: Tính giá trị của biểu thức $A={{\sin }^{6}}x+{{\cos }^{6}}x+3{{\sin }^{2}}x{{\cos }^{2}}x$.
A. $A=1$.
B. $A=1$.
C. $A=4$.
D. $A=4$.

Câu 37: Biểu thức $A=\frac{{{\left( 1-{{\tan }^{2}}x \right)}^{2}}}{4{{\tan }^{2}}x}-\frac{1}{4{{\sin }^{2}}x{{\cos }^{2}}x}$ không phụ thuộc vào $x$ và bằng
A. $1$.
B. $1$.
C. $\frac{1}{4}$.
D. $-\frac{1}{4}$.

Câu 38: Biểu thức $C=2{{\left( {{\sin }^{4}}x+{{\cos }^{4}}x+{{\sin }^{2}}x{{\cos }^{2}}x \right)}^{2}}\left( {{\sin }^{8}}x+{{\cos }^{8}}x \right)$ có giá trị không đổi và bằng
A. $2$.
B. $2$.
C. $1$.
D. $1$.

Câu 39: Trong các công thức sau, công thức nào sai?
A. $\cot 2x=\frac{{{\cot }^{2}}x-1}{2\cot x}$.
B. $\tan 2x=\frac{2\tan x}{1+{{\tan }^{2}}x}$.
C. $\cos 3x=4{{\cos }^{3}}x-3\cos x$.
D. $\sin 3x=3\sin x-4{{\sin }^{3}}x$

Câu 40: Trong các công thức sau, công thức nào sai?
A. $\cos 2a={{\cos }^{2}}a{{\sin }^{2}}a.$
B. $\cos 2a={{\cos }^{2}}a+{{\sin }^{2}}a.$
C. $\cos 2a=2{{\cos }^{2}}a1.$
D. $\cos 2a=12{{\sin }^{2}}a.$

Câu 41: Trong các công thức sau, công thức nào đúng?
A. $\cos \left( ab \right)=\cos a.\cos b+\sin a.\sin b.$
B. $\cos \left( a+b \right)=\cos a.\cos b+\sin a.\sin b.$
C. $\sin \left( ab \right)=\sin a.\cos b+\cos a.\sin b.$
D. $\sin \left( a+b \right)=\sin a.\cos b-\cos. \sin b.$

Câu 42: Trong các công thức sau, công thức nào đúng?
A. $\tan \left( a-b \right)=\frac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}.$
B. $\tan \left( ab \right)=\tan a-\tan b.$
C. $\tan \left( a+b \right)=\frac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}.$
D. $\tan \left( a+b \right)=\tan a+\tan b.$

Câu 43: Trong các công thức sau, công thức nào sai?
A. $\cos a\cos b=\frac{1}{2}\left[ \cos \left( ab \right)+\cos \left( a+b \right) \right].$
B. $\sin a\sin b=\frac{1}{2}\left[ \cos \left( ab \right)\cos \left( a+b \right) \right].$
C. $\sin a\cos b=\frac{1}{2}\left[ \sin \left( ab \right)+\sin \left( a+b \right) \right].$
D. $\sin a\cos b=\frac{1}{2}\left[ \sin \left( a-b \right)-\cos \left( a+b \right) \right].$

Câu 44: Trong các công thức sau, công thức nào sai?

A. $\cos a+\cos b=2\cos \frac{a+b}{2}.\cos \frac{a-b}{2}.$

B. $\cos a\cos b=2\sin \frac{a+b}{2}.\sin \frac{a-b}{2}.$

C. $\sin a+\sin b=2\sin \frac{a+b}{2}.\cos \frac{a-b}{2}.$

D. $\sin a\sin b=2\cos \frac{a+b}{2}.\sin \frac{a-b}{2}.$

Câu 45: Rút gọn biểu thức: $\sin \left( a17{}^\circ \right).\cos \left( a+13{}^\circ \right)\sin \left( a+13{}^\circ \right).\cos \left( a17{}^\circ \right)$, ta được:
A. $\sin 2a.$
B. $\cos 2a.$
C. $-\frac{1}{2}.$
D. $\frac{1}{2}.$

Câu 46: Giá trị đúng của $\tan \frac{\pi }{24}+\tan \frac{7\pi }{24}$ bằng:
A. $2\left( \sqrt{6}-\sqrt{3} \right).$
B. $2\left( \sqrt{6}+\sqrt{3} \right).$
C. $2\left( \sqrt{3}-\sqrt{2} \right).$
D. $2\left( \sqrt{3}+\sqrt{2} \right).$

Câu 47: Rút gọn biểu thức $\cos 54{}^\circ. \cos 4{}^\circ \cos 36{}^\circ. \cos 86{}^\circ $, ta được:
A. $\cos 50{}^\circ. $
B. $\cos 58{}^\circ. $
C. $\sin 50{}^\circ. $
D. $\sin 58{}^\circ. $

Câu 48: Cho $x,\text{ }y$ là các góc nhọn, $\cot x=\frac{3}{4}$, $\cot y=\frac{1}{7}$. Tổng $x+y$ bằng:
A. $\frac{\pi }{4}.$
B. $\frac{3\pi }{4}.$
C. $\frac{\pi }{3}.$
D. $\pi. $

Câu 49: Biểu thức $A={{\cos }^{2}}x+{{\cos }^{2}}\left( \frac{\pi }{3}+x \right)+{{\cos }^{2}}\left( \frac{\pi }{3}-x \right)$ không phụ thuộc $x$ và bằng:
A. $\frac{3}{4}.$
B. $\frac{4}{3}.$
C. $\frac{3}{2}.$
D. $\frac{2}{3}.$

Câu 50: Cho $A$, $B$ , $C$ là ba góc của một tam giá
C. Hãy chỉ ra hệ thức SAI.
A. $\cos \frac{A+B}{2}=\sin \frac{C}{2}.$
B. $\cos \left( A+B+2C \right)=\cos C.$
C. $\sin \left( A+C \right)=\sin B.$
D. $\cos \left( A+B \right)=\cos C.$

Câu 51: Rút gọn biểu thức $A=\frac{\sin x+\sin 2x+\sin 3x}{\cos x+\cos 2x+\cos 3x}$
A. $A=\tan 6x.$
B. $A=\tan 3x.$
C. $A=\tan 2x.$
D. $A=\tan x+\tan 2x+\tan 3x.$

Câu 52: Rút gọn biểu thức: $\cos \left( 120{}^\circ \text{ }x \right)+\cos \left( 120{}^\circ +\text{ }x \right)\cos x$ ta được kết quả là
A. $0.$
B. $\cos x.$
C. $2\cos x.$
D. $\sin x\cos x.$

Câu 53: Cho $\cos a=\frac{3}{4}$; $\sin a>0$; $\sin b=\frac{3}{5}$; $\cos b<0$. Giá trị của $\cos \left( a+b \right).$ bằng:

A. $\frac{3}{5}\left( 1+\frac{\sqrt{7}}{4} \right).$
B. $-\frac{3}{5}\left( 1+\frac{\sqrt{7}}{4} \right).$
C. $\frac{3}{5}\left( 1-\frac{\sqrt{7}}{4} \right).$
D. $-\frac{3}{5}\left( 1-\frac{\sqrt{7}}{4} \right).$

Câu 54: Biểu thức $\frac{\sin \left( a+b \right)}{\sin \left( a-b \right)}$ bằng biểu thức nào sau đây? (Giả sử biểu thức có nghĩa)

A. $\frac{\sin \left( a+b \right)}{\sin \left( a-b \right)}=\frac{\sin a+\sin b}{\sin a-\sin b}.$
B. $\frac{\sin \left( a+b \right)}{\sin \left( a-b \right)}=\frac{\sin a-\sin b}{\sin a+\sin b}.$

C. $\frac{\sin \left( a+b \right)}{\sin \left( a-b \right)}=\frac{\tan a+\tan b}{\tan a-\tan b}.$
D. $\frac{\sin \left( a+b \right)}{\sin \left( a-b \right)}=\frac{\cot a+\cot b}{\cot a-\cot b}.$

Câu 55: Giá trị đúng của $\cos \frac{2k\pi }{7}+\cos \frac{4k\pi }{7}+\cos \frac{6k\pi }{7}$ ( k℃∈Z) bằng:
A. $\frac{1}{2}.$
B. $-\frac{1}{2}.$
C. $\frac{1}{4}.$
D. $-\frac{1}{4}.$

Câu 56: Cho $A$, $B$, $C$ là các góc nhọn và $\tan A=\frac{1}{2}$, $\tan B=\frac{1}{5}$, $\tan C=\frac{1}{8}$. Tổng $A+B+C$ bằng:

A. $\frac{\pi }{6}.$
B. $\frac{\pi }{5}.$
C. $\frac{\pi }{4}.$
D. $\frac{\pi }{3}.$

Câu 57: Cho $\cot a=15$, giá trị $\sin 2a$ có thể nhận giá trị nào dưới đây:
A. $\frac{11}{113}.$
B. $\frac{13}{113}.$
C. $\frac{15}{113}.$
D. $\frac{17}{113}.$

Câu 58: Cho $A$, $B$, $C$ là ba góc của một tam giá
C. Hãy chọn hệ thức đúng trong các hệ thức sau.

A. ${{\cos }^{2}}A+{{\cos }^{2}}B+{{\cos }^{2}}C=1+\cos A.\cos B.\cos C.$
B. ${{\cos }^{2}}A+{{\cos }^{2}}B+{{\cos }^{2}}C=1\cos A.\cos B.\cos C.$

C. ${{\cos }^{2}}A+{{\cos }^{2}}B+{{\cos }^{2}}C=1+2\cos A.\cos B.\cos C.$
D. ${{\cos }^{2}}A+{{\cos }^{2}}B+{{\cos }^{2}}C=12\cos A.\cos B.\cos C.$

Câu 59: Biểu thức $A=\frac{2{{\cos }^{2}}2\alpha +\sqrt{3}\sin 4\alpha -1}{2{{\sin }^{2}}2\alpha +\sqrt{3}\sin 4\alpha -1}$ có kết quả rút gọn là:

A. $\frac{\cos \left( 4\alpha +30{}^\circ \right)}{\cos \left( 4\alpha -30{}^\circ \right)}.$
B. $\frac{\cos \left( 4\alpha -30{}^\circ \right)}{\cos \left( 4\alpha +30{}^\circ \right)}.$
C. $\frac{\sin \left( 4\alpha +30{}^\circ \right)}{\sin \left( 4\alpha -30{}^\circ \right)}.$
D. $\frac{\sin \left( 4\alpha -30{}^\circ \right)}{\sin \left( 4\alpha +30{}^\circ \right)}.$

Câu 60: Nếu $5\sin \alpha =3\sin \left( \alpha +2\beta \right)$ thì:

A. $\tan \left( \alpha +\beta \right)=2\tan \beta. $
B. $\tan \left( \alpha +\beta \right)=3\tan \beta. $
C. $\tan \left( \alpha +\beta \right)=4\tan \beta. $
D. $\tan \left( \alpha +\beta \right)=5\tan \beta. $

2.3. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG (GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH)

Câu 1: Tìm côsin góc giữa $2$ đường thẳng ${{\Delta }_{1}}$: $10x+5y-1=0$và ${{\Delta }_{2}}$: $\left\{ \begin{align}
& x=2+t \\ & y=1-t \\ \end{align} \right.$.
A. $\frac{3}{10}$.
B. $\frac{\sqrt{10}}{10}.$
C. $\frac{3\sqrt{10}}{10}.$
D. $\frac{3}{5}.$

Câu 2: Khoảng cách từ điểm $M\left( 15;1 \right)$đến đường thẳng $\Delta: \left\{ \begin{align}
& x=2+3t \\ & y=t \\ \end{align} \right.$ là
A. $\sqrt{5}$.
B. $\frac{1}{\sqrt{10}}$.
C. $\sqrt{10}$.
D. $\frac{16}{\sqrt{5}}$

Câu 3: Có hai giá trị ${{m}_{1}},\,\,{{m}_{2}}$ để đường thẳng $mx+y-3=0$ hợp với đường thẳng $x+y=0$ một góc $60{}^\circ $.Tổng ${{m}_{1}}+{{m}_{2}}$ bằng
A. $-3.$
B. $3.$
C. $4.$
D. $-4.$

Câu 4: Tìm tọa độ điểm $M$nằm trên trục $Ox$và cách đều $2$đường thẳng: ${{\Delta }_{1}}: 3x-2y-6=0$ và ${{\Delta }_{2}}: 3x-2y+3=0$

A. $\left( 0;\sqrt{2} \right)$.
B. $\left( \frac{1}{2};0 \right)$.
C. $\left( 1;0 \right)$.
D. $\left( \sqrt{2};0 \right)$.

Câu 5: Tính chiều cao tương ứng với cạnh $BC$ của tam giác $ABC$ biết $A\left( 1;2 \right)$, $C\left( 4;0 \right)$, $B\left( 0;3 \right)$

A. $3$.
B. $\frac{1}{5}$.
C. $\frac{1}{25}$.
D. $\frac{3}{5}$.

Câu 6: Khoảng cách giữa hai đường thẳng ${{\Delta }_{1}}: 5x-7y+4=0$ và ${{\Delta }_{2}}: 5x-7y+6=0$ là

A. $\frac{4}{\sqrt{74}}$.
B. $\frac{6}{\sqrt{74}}$.
C. $\frac{2}{\sqrt{74}}$.
D. $\frac{10}{\sqrt{74}}$.

Câu 7: Cho đường thẳng đi qua hai điểm $A\left( 2;2 \right)$, $B\left( 5;1 \right)$. Tìm tọa độ điểm $C$ trên đường thẳng $\Delta: x-2y+8=0$ sao cho diện tích tam giác $ABC$ bằng $17$.

A. $C\left( 12;10 \right)$ và$C\left( -\frac{76}{5};-\frac{18}{5} \right)$
B. $C\left( -12;10 \right)$.
C. $C\left( -4;2 \right)$.
D. $C\left( \frac{1}{5};\frac{41}{10} \right)$.

Câu 8: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ $Oxy$$\Delta ABC$có đỉnh $A\left( 2;-3 \right),$$B\left( 3;-2 \right)$ và diện tích $\Delta ABC$bằng $\frac{3}{2}$. Biết trọng tâm $G$của $\Delta ABC$ thuộc đường thẳng $
D. 3x-y-8=0$. Tìm tọa độ điểm $C$.

A. $C\left( 1;-1 \right)$và $C\left( 4;8 \right)$.
B. $C\left( 1;-1 \right)$và $C\left( -2;10 \right)$.
C. $C\left( -1;1 \right)$và $C\left( -2;10 \right)$.
D. $C\left( -1;1 \right)$và $C\left( 2;-10 \right)$.

Câu 9: Cho hai điểm $A\left( 3;2 \right)$, $B\left( -2;2 \right)$. Tìm phương trình đường thẳng đi qua $A$ và cách $B$ một khoảng bằng $3$là:

A. $3x+4y-17=0$ và $3x+7y-23=0$.
B. $x+2y-7=0$và $3x-7y+5=0$

C. $3x-4y-1=0$và $3x-7y+5=0$
D. $3x+4y-17=0$.và $3x-4y-1=0$

Câu 10: Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc $Oxy$, cho hai đường thẳng ${{d}_{1}}: 2x-y-2=0$ và ${{d}_{2}}: 2x+4y-7=0$. Viết phương trình đường thẳng qua điểm $P\left( 3;1 \right)$ cùng với ${{d}_{1}}$, ${{d}_{2}}$ tạo thành tam giác cân có đỉnh là giao điểm của ${{d}_{1}}$ và ${{d}_{2}}$

A. $\left[ \begin{align}
&
D. 3x+y-10=0 \\
&
D. x+3y=0 \\
\end{align} \right.$.
B. $\left[ \begin{align}
&
D. 3x-y-10=0 \\
&
D. x-3y=0 \\
\end{align} \right.$.
C. $\left[ \begin{align}
&
D. 2x+y-7=0 \\
&
D. x-2y-1=0 \\
\end{align} \right.$.
D. $\left[ \begin{align}
&
D. 3x+y-10=0 \\
&
D. x-3y=0 \\
\end{align} \right.$.

2.4. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN

Câu 1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$ cho đường tròn $\left( C \right)$ có phương trình ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x+4y-4=0$. Tâm $I$ và bán kính $R$ của $\left( C \right)$ lần lượt là

A. $I\left( 1;\,2 \right)$, $R=1$.
B. $I\left( 1;\,-2 \right)$, $R=3$.
C. $I\left( -1;\,-2 \right)$, $R=3$.
D. $I\left( 2;\,-4 \right)$, $R=9$.

Câu 2: Trong mặt phẳng $Oxy$, đường tròn nào sau đây đi qua điểm$A\left( 4;-2 \right)$?

A. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x-20=0$.
B. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x+7y-8=0$.
C. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-6x-2y+9=0$.
D. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+6y=0$.

Câu 3: Phương trình nào dưới đây là phương trình của đường tròn?

A. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}+x+y+4=0$.
B. ${{x}^{2}}-{{y}^{2}}+4x-6y-2=0$.
C. ${{x}^{2}}+2{{y}^{2}}-2x+4y-1=0$.
D. ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x-1=0$.

Câu 4: Cho đường tròn $\left( C \right): {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+4y+1=0$. Chỉ ra mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:

A. $\left( C \right)$ có tâm $I\left( 1;\,-2 \right)$.
B. $\left( C \right)$ đi qua $M\left( 1;\,0 \right)$.
C. $\left( C \right)$ đi qua $A\left( 1;\,1 \right)$.
D. $\left( C \right)$ có bán kính $R=2$.

Câu 5: Cho đường tròn $\left( C \right)$ có tâm thuộc đường thẳng $
D. \left\{ \begin{align}
& x=1+2t \\
& y=3-t \\
\end{align} \right.$ và đi qua hai điểm $A\left( 1;1 \right)$ và $B\left( 0;-2 \right)$. Tính bán kính đường tròn $\left( C \right)$
A. $R=\sqrt{565}$.
B. $R=\sqrt{10}$.
C. $R=2$.
D. $R=25$.

Câu 6: Trong mặt phẳng $Oxy$, cho đường tròn $\left( C \right): {{\left( x-3 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}=10$. Phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại điểm $A\left( 4;4 \right)$ là
A. $x+3y-16=0$.
B. $x+3y-4=0$.
C. $x-3y+5=0$.
D. $x-3y+16=0$.

Câu 7: Cho đường tròn $\left( C \right): \,{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+3 \right)}^{2}}=10$ và đường thẳng $\Delta: x+y+1=0$ biết đường thẳng $\Delta $ cắt $\left( C \right)$ tại hai điểm phân biệt $A$, $B$. Độ dài đoạn thẳng $AB$ bằng
A. $\frac{19}{2}$.
B. $\sqrt{38}$.
C. $\frac{\sqrt{19}}{2}$.
D. $\frac{\sqrt{38}}{2}$.

Câu 8: Cho đường tròn $\left( C \right): {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+3 \right)}^{2}}=10$ và đường thẳng $\Delta: x+3y+m+1=0$. Đường thẳng $\Delta $ tiếp xúc với đường tròn $\left( C \right)$ khi và chỉ khi

A. $m=1$ hoặc $m=-19$.
B. $m=-3$ hoặc $m=17$.
C. $m=-1$ hoặc $m=19$.
D. $m=3$ hoặc $m=-17$.

Câu 9: Cho đường tròn $\left( C \right): \,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+2y-7=0$ và đường thẳng $
D. \,x+y+1=0$. Tìm tất cả các đường thẳng song song với đường thẳng $
D. và cắt đường tròn $\left( C \right)$ theo dây cung có độ dài bằng $2$.

A. $x+y+4=0$ và $x+y-4=0$.
B. $x+y+2=0$.
C. $x+y+4=0$.
D. $x+y+2=0$ và $x+y-2=0$.

Câu 10: Cho đường tròn $\left( C \right): {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+6x-2y+5=0$ và điểm $A\left( -4;2 \right)$. Đường thẳng $
D. qua $A$ cắt $\left( C \right)$ tại $2$ điểm $M$, $N$ sao cho $A$ là trung điểm của $MN$ có phương trình là

A. $x-y+6=0$.
B. $7x-3y+34=0$.
C. $7x-y+30=0$.
D. $7x-y+35=0$

2.5. ĐƯỜNG ELIP

Câu 1: Trong các phương trình sau,phương trình nào là phương trình chính tắc của elip:

A. $4x{}^\text{2}+8y{}^\text{2}=32$.
B. $\frac{x{}^\text{2}}{\frac{1}{8}}+\frac{y{}^\text{2}}{\frac{1}{4}}=1$.
C. $\frac{x{}^\text{2}}{64}+\frac{y{}^\text{2}}{16}=-1$.
D. $\frac{x{}^\text{2}}{8}-\frac{y{}^\text{2}}{4}=1$.

Câu 2: Elip $(E)$ có độ dài trục bé bằng $8$ và độ dài trục lớn bằng $12$ có phương trình chính tắc là:

A. $\frac{x{}^\text{2}}{36}-\frac{y{}^\text{2}}{16}=1$.
B. $\frac{x{}^\text{2}}{36}+\frac{y{}^\text{2}}{16}=1$.
C. $\frac{x{}^\text{2}}{36}+\frac{y{}^\text{2}}{16}=-1$.
D. $\frac{x{}^\text{2}}{144}+\frac{y{}^\text{2}}{64}=1$.

Câu 3: Đường Elip $\left( E \right): \frac{{{x}^{2}}}{9}+\frac{{{y}^{2}}}{6}=1$ có một tiêu điểm là:

A. $\left( 0;3 \right)$.
B. $(0\ ;\ \sqrt{3)}$.
C. $(-\sqrt{3};0)$.
D. $\left( 3;0 \right)$.

Câu 4: Phương trình chính tắc của elip đi qua $A\left( 0;\,-4 \right)$ và có tiêu điểm $F\left( 3;\,0 \right)$ là:

A. $\frac{x{}^\text{2}}{25}-\frac{y{}^\text{2}}{16}=1$.
B. $\frac{x{}^\text{2}}{13}+\frac{y{}^\text{2}}{4}=1$.
C. $\frac{x{}^\text{2}}{5}+\frac{y{}^\text{2}}{4}=1$.
D. $\frac{x{}^\text{2}}{25}+\frac{y{}^\text{2}}{16}=1$.

Câu 5: Tìm phương trình chính tắc của Elip có trục lớn gấp đôi trục bé và có tiêu cự bằng $4\sqrt{3}$

A. $\frac{{{x}^{2}}}{36}+\frac{{{y}^{2}}}{9}=1$.
B. $\frac{{{x}^{2}}}{36}+\frac{{{y}^{2}}}{24}=1$.
C. $\frac{{{x}^{2}}}{24}+\frac{{{y}^{2}}}{6}=1$.
D. $\frac{{{x}^{2}}}{16}+\frac{{{y}^{2}}}{4}=1$.

Câu 6: Cho elip có phương trình $16{{x}^{2}}+\text{ }25{{y}^{2}}=\text{ }100$. Tính tổng khoảng cách từ điểm $M$ thuộc elip có hoành độ bằng $2$ đến hai tiêu điểm.
A. $\sqrt{3}.$
B. $2\sqrt{2}.$
C. $5$.
D. $4\sqrt{3}.$

Câu 7: Trong mặt phẳng ${Oxy}$,cho (E) có hai tiêu điểm F_1 (-4;0); F_2 (4;0) và đi qua điểm A(0;3). Điểm $M$ nào sau đây thuộc (E) thỏa$M{{F}_{1}}=3M{{F}_{2}}$.

A. $M\left( -\frac{25}{8};\frac{\sqrt{551}}{8} \right)$.
B. $M\left( \frac{25}{8};\frac{\sqrt{551}}{8} \right)$.
C. $M\left( -\frac{25}{8};-\frac{\sqrt{551}}{8} \right)$.
D. $M\left( \frac{25}{4};\frac{\sqrt{551}}{4} \right)$.

Câu 8: Cho $\left( E \right): \frac{{{x}^{2}}}{20}+\frac{{{y}^{2}}}{16}=1$. Một đường thẳng đi qua điểm $A\left( 2;2 \right)$ và song song với trục hoành cắt $\left( E \right)$ tại hai điểm phân biệt $M$ và $N$. Tính độ dài $MN$.
A. $3\sqrt{5}.$
B. $15\sqrt{2}.$
C. $2\sqrt{15}.$
D. $5\sqrt{3}.$

Câu 9: Lập phương trình chính tắc của elip $\left( E \right),$ biết đi qua điểm $M\left( \frac{3}{\sqrt{5}};\frac{4}{\sqrt{5}} \right)$ và $\Delta M{{F}_{1}}{{F}_{2}}$ vuông tại $M$.

A. $\frac{{{x}^{2}}}{9}+\frac{{{y}^{2}}}{4}=1$.
B. $\frac{{{x}^{2}}}{9}+\frac{{{y}^{2}}}{36}=1$.
C. $\frac{{{x}^{2}}}{4}+\frac{{{y}^{2}}}{9}=1$.
D. $\frac{{{x}^{2}}}{36}+\frac{{{y}^{2}}}{9}=1$.

Câu 10: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ ${Oxy}$ cho elíp $\left( E \right): \frac{{{x}^{2}}}{9}+\frac{{{y}^{2}}}{4}=1$ và hai điểm $A\left( -3;2 \right)$,$B\left( -3;-2 \right)$ Tìm trên $\left( E \right)$ điểm $C$ sao cho tam giác ${ABC}$ có diện tích lớn nhất.

A. $C\left( 0;3 \right)$.
B. $C\left( 0;2 \right)$.
C. $C\left( 3;0 \right)$.
D. $C\left( 2;0 \right)$.

3. BÀI TẬP TỰ LUẬN ÔN TẬP HỌC KÌ 2 TOÁN 10

Bài 1: Giải các hệ phương trình:
1. $\left\{ \begin{align} & \frac{5x+2}{3}\ge 4-x \\ & \frac{6-5x}{13}<3x+1 \\ \end{align} \right.$
2. $\left\{ \begin{align} & x-1\le 2x-3 \\ & 3x<x+5 \\ & \frac{5-3x}{2}\le x-3 \\ \end{align} \right.$
Bài 2: Giải các bất phương trình sau:
1. $\left( 2-x \right)\left( 2{{x}^{2}}-5x+2 \right)\ge 0$
2. $\frac{{{x}^{2}}+3x-1}{2-x}>-x$
3. $\left| x+1 \right|\le \left| x \right|-x+2$
4. $\frac{3-3x}{15-2x-{{x}^{2}}}\ge 1$
Bài 3: Tìm giá trị của tham số để phương trình sau nghiệm đúng với mọi $x$:
1. $mx^2 –10x –5 < 0$
2. $(m + 1)x^2 –2(m – 1)x +3m – 3\ge 0$
Bài 4: Tìm giá trị của tham số để phương trình sau vô nghiệm:
- $5x^2 – x + m \le 0$
- $mx^2 -10x -5 \ge 0$
Bài 5: Cho phương trình: $(m-5){{x}^{2}}-4mx+m-2=0$ với giá nào của $m$ thì
- Phương trình có nghiệm?
- Phương trình có 2 nghiệm trái dấu?
- Phương trình có hai nghiệm phân biệt?
- Có hai nghiệm dương phân biệt?
Bài 6: Với giá trị nào của $m$ thì hệ sau có nghiệm: $$\left\{ \begin{align} & {{x}^{2}}-9x+20\le 0 \\ & 3x-2m>0 \\
\end{align} \right.$
$\left\{ \begin{align}
& {{x}^{2}}-5x+4>0 \\
& m-2x\ge 0 \\
\end{align} \right.$$

Bài 7: Giải các phương trình và bất phương trình sau
1. $\sqrt{{{x}^{2}}+3x+2}={{x}^{2}}+3x-4$
2. $\sqrt{{{x}^{2}}-4x}<x-3$ $c)|x+1|+|x+3|=x+4$
3. $\sqrt{{{x}^{2}}-2x-15}=x-3$
4. $\frac{2}{2x_{{}}^{2}-5x+3}>\frac{1}{x_{{}}^{2}-9}$
5. $\frac{x_{{}}^{2}-4x+3}{3-2x}<1-x$
6. $\sqrt{3{{x}^{2}}+24x+22}\ge 2x+1$
Bài 8:
1. Cho $cosx =\frac{-3}{5}$ và $180^\circ < x < 270^\circ$. Tính giá trị của $\sin x, \tan x, \cot x$.
2. Cho $tan \alpha=\frac{3}{4}$ và $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}$. Tính $\cot\alpha \sin\alpha $ và $\cos\alpha $.
Bài 9. Cho $0<\alpha <\frac{\pi }{2}$. Xét dấu các biểu thức sau:
1. $\cos (\alpha +\pi )$
2. $\tan(\alpha +\pi )$
3. $\sin\left( \alpha +\frac{2\pi }{5} \right)$
Bài 10. Rút gọn các biểu thức:
- $A=\frac{1-2{{\cos }^{2}}x}{\sin x-\cos x}$
- $B=\sqrt{{{\sin }^{2}}x(1+\cot x)+{{\cos }^{2}}(1+\tan x)}$
Bài 11. Tính giá trị của biểu thức:
- $A=\frac{\cot \alpha +\tan \alpha }{\cot \alpha -\tan \alpha }$ biết $\sin\alpha = \frac{3}{5}$ và $0 < \alpha <\frac{\pi }{2}$.
- Cho $\tan \alpha =3$. Tính $\frac{2\sin \alpha +3\cos \alpha }{4\sin \alpha -5\cos \alpha }$; $\frac{3\sin \alpha -2\cos \alpha }{5{{\sin }^{3}}\alpha +4{{\cos }^{3}}\alpha }$.
Bài 12. Chứng minh các đẳng thức sau:
1. $\frac{\sin x}{1+\cos x}+\frac{1+\cos x}{\sin x}=\frac{2}{\sin x}$
2. $\sin4x+\cos4x=1-2\sin2x\cos2x$
3. $\frac{1}{\cos x}-\frac{\cos x}{1+\sin x}=\tan x$
4. $\sin6x + \cos6x = 1 – 3\sin2x\cos2x$
5. $\frac{{{\cos }^{2}}x-{{\sin }^{2}}x}{{{\cot }^{2}}x-{{\tan }^{2}}x}={{\sin }^{2}}x.{{\cos }^{2}}x$
6. $\frac{1+{{\sin }^{2}}x}{1-{{\sin }^{2}}x}=1+2{{\tan }^{2}}x$
Bài 13. Tính $\cos \left( \frac{\pi }{3}-\alpha \right)$ nếu $\sin \alpha =-\frac{12}{13}$ và $\frac{3\pi }{2}<\alpha <2\pi $.

Bài 14. Chứng minh rằng:
1. $\frac{1-\tan x}{1+\tan x}=\tan \left( \frac{\pi }{4}-x \right)$
2. $\frac{1+\tan x}{1-\tan x}=\tan \left( \frac{\pi }{4}+x \right)$
Bài 15. Tính giá trị của các biểu thức
- $A=\sin \frac{\pi }{24}.\cos \frac{\pi }{24}.\cos \frac{\pi }{12}.\cos \frac{\pi }{6}$
- $B=2{{\cos }^{2}}{{75}^{0}}-1$
- $C=\left( \cos {{15}^{0}}-\sin {{15}^{0}} \right).\left( \cos {{15}^{0}}+\sin {{15}^{0}} \right)$
Bài 16. Rút gon biểu thức:
- $A=\frac{\sin 2\alpha +\sin \alpha }{1+\cos 2\alpha +\cos \alpha }$
- $B=\frac{4{{\sin }^{2}}\alpha }{1-{{\cos }^{2}}\frac{\alpha }{2}}$
- $\frac{1+\cos \alpha -\sin \alpha }{1-\cos \alpha -\sin \alpha }$
Bài 17. Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào $\alpha ,\beta $:
1. $\sin 6\alpha. \cot 3\alpha -\cos 6\alpha $
2. $(\tan \alpha -\tan \beta )\cot (\alpha -\beta )-\tan \alpha. \tan \beta $
3. $\left( \cot \frac{\alpha }{3}-\tan \frac{\alpha }{3} \right).\tan \frac{2\alpha }{3}$
Bài 18. Cho biết trung điểm ba cạnh của một tam giác là $M1(2; 1); M2 (5; 3); M3 (3; -4)$. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng chứa mỗi cạnh của tam giác đó.

Bài 19. Trong mặt phẳng tọa độ cho tam giác với $M (-1; 1)$ là trung điểm của một cạnh, hai cạnh kia có phương trình là: $x + y -2 = 0$ và $2x + 6y +3 = 0$. Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác.

Bài 20. Lập phương trình tổng quát của đường thẳng $d$ trong các trường hợp sau:
- $d$ đi qua điểm $M (1; -2)$ và vuông góc với đường thẳng $\Delta: 3x + y = 0$
- $d$ đi qua gốc tọa độ và song song với đường thẳng $\left\{ \begin{align} & x=2-5t \\ & y=1+t \\ \end{align} \right.$
Bài 21. Xét vị trí tương đối của mỗi cặp đường thẳng sau:
- $d_1: 2x – 5y +6 = 0$ và $d_2: – x + y – 3 = 0$
- $d_1: \left\{ \begin{align} & x=-1-5t \\ & y=2+4t \\ \end{align} \right.$ và $d_2: \left\{ \begin{align}
  & x=-6+5u \\ & y=2-4u \\ \end{align} \right.$
- $d_1: 8x + 10y – 12 = 0$ và $d_2: \left\{ \begin{align} & x=-6+5t \\
  & y=6-4t \\ \end{align} \right.$
Bài 22. Cho điểm $M(1; 2)$ và đường thẳng $d: 2x – 6y + 3 = 0$. Viết ptrình đường thẳng $d’$ đi qua $M$ và tạo với $d$ một góc $45^\circ$.

Bài 23. Cho hai điểm $M(2; 5)$ và $N(5; 1)$. Viết phương trình đường thẳng $d$ đi qua $M$ và cách điểm $N$ một khoảng bằng $3$.

Bài 24. Cho đường thẳng $\Delta: 2x – y – 1 = 0$ và điểm $M(1; 2)$.
1. Viết phương trình đường thẳng $(\Delta’) $ đi qua $M$ và vuông góc với $\Delta $.
2. Tìm tọa độ hình chiếu $H$ của $M$ trên $\Delta $.
3. Tìm điểm $M’$ đối xứng với $M$ qua $\Delta $.
Bài 25. Cho đường thẳng $\Delta $ có phương trình tham số: $\left\{ \begin{align} & x=2+2t \\ & y=3+t \\
\end{align} \right.$
- Tìm điểm $M$ nằm trên $\Delta $ và cách điểm $A(0 ;1)$ một khoảng bằng $5$.
- Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng $\Delta $ với đường thẳng $x + y + 1 = 0$.
- Tìm điểm $M$ trên $\Delta $ sao cho $AM$ là ngắn nhất.
Bài 26. Cho phương trình $$x^2 + y2 – 2mx – 2(m- 1)y + 5 = 0 $$ với $m$ là tham số. Với giá trị nào của $m$ thì phương trình trên là phương trình đường tròn? Khi đó hãy tìm tọa độ tâm và bán kính của đường tròn theo $m$.

Bài 27. Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm $A(2; 0); B(0; – 1)$ và $C(- 3; 1)$.

Bài 28. Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng $\Delta: \left\{ \begin{align} & x=1+2t \\ & y=-2+t \\ \end{align} \right.$ và đường tròn $(C): (x – 1)^2 + (y – 2)^2 = 16$.

Bài 29. Viết phương trình đường tròn đi qua $A(1; 1), B(0; 4)$ và có tâm thuộc đường thẳng $d: x – y – 2 = 0$.

Bài 30. Viết phương trình đường tròn đi qua $A(2; 1), B(-4;1)$ và có bán kính $R=10$.

Bài 31. Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn $(C ): {{(x-2)}^{2}}+{{(y-1)}^{2}}=13$ tại điểm $M$ thuộc đường tròn có hoành độ bằng 2.

Bài 32. Cho đường tròn $(C): {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+6y+5=0$ và đường thẳng $d: 2x + y – 1 = 0$. Viết phương trình tiếp tuyến $\Delta $ biết $\Delta $ song song với $d$. Tìm tọa độ tiếp điểm.

Bài 33. Cho đường tròn $(C): {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-6x+2y+6=0$ và điểm $A(1; 3)$.
- Chứng minh rằng $A$ nằm ngoài đường tròn $(C).$
- Viết phương trình tiếp tuyến của $(C)$ kẻ từ $A$.
- Viết phương trình tiếp tuyến của $(C )$ biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng $d: 3x – 4y + 1 = 0$.
27/02/2021
XÁC ĐỊNH HỆ SỐ HÀM SỐ BẬC 2 BẰNG MÁY TÍNH CASIO
XÁC ĐỊNH HỆ SỐ HÀM SỐ BẬC 2 BẰNG MÁY TÍNH CASIO

Hướng dẫn cách tìm các hệ số $a,b,c$ của hàm số hậc hai $y=ax^2+bx+c$ bằng máy tính biết parabol đi qua 3 điểm có tọa độ cụ thể cho trước.

MUA MÁY TÍNH CASIO 580VNX GIÁ TỐT

Xem thêm: Đề thi học kì 1 Toán 10 Xuân Trường B năm 2020

Phương pháp xác định hệ số hàm số bậc 2 bằng máy tính

https://www.youtube.com/watch?v=q_sXAtPfm3M&feature=emb_logo

Phương pháp nhanh lập phương trình parabol đi qua ba điểm bằng máy tính CASIO fx 580 VNX hoặc máy tính VINACAL
- Toán 10 lập phương trình hàm số bậc hai biết parabol đi qua ba điem có tọa độ cho trước. (Tìm phương trình parabol đi qua 3 điểm bằng máy tính cầm tay CASIO, VINACAL)
- Xác định tìm phương trình của parabol biết tọa độ đỉnh, trục đối xứng và tọa độ một điểm đi qua.
- Hướng dẫn giải đề thi thử đại học THPTQG môn toán năm 2021 trường Lương Thế Vinh Hà Nội và Trần Phú Hà Tĩnh
- Một vật chuyển động trong 4 giờ với vận tốc v (km/ h) phụ thuộc thời gian t (h) có đồ thị là một phần của đường parabol có đỉnh I(1;1) và trục đối xứng song song với trục tung như hình bên. Tính quãng đường s mà vật đi được trong 4 giờ kể từ lúc xuất phát.
- Một chiếc cổng có hình dạng là một Parabol có khoảng cách giữa hai chân cổng là AB = 8m. Người ta treo một tấm phông hình chữ nhật có hai đỉnh M,N nằm trên Parbol và hai đỉnh P,Q nằm trên mặt đất (như hình vẽ). Ở phần phía ngoài phông (phần không tô đen) người ta mua hoa để trang trí với chi phí cho 1 m2 cần số tiền mua hoa là 200.000 đồng cho 1 m2 . Biết MN = 4m,MQ = 6m. Hỏi số tiền dùng để mua hoa trang trí chiếc cổng gần với số tiền nào sau đây?
  - A. 3.735.300 đồng.
  - B. 3.437.300 đồng.
  - C. 3.734.300 đồng.
  - D. 3.733.300 đồng.
Ở bài viết xác định nhanh các hệ số hàm số bậc 2 trên casio fx 580vnx ta đã biết cách sử dụng máy tính cầm tay CASIO fx 580VNX để tìm các hệ số của một hàm số bậc 2, mời các bạn cùng thực hành thao tác trên máy tính với bài toán tương tự trích trong một đề thi học kỳ.
22/01/2021

Tag: toán 10

Giáo án Toán 10 Cánh Diều file Word Bộ 1

Giáo án Toán 10 Cánh Diều file Word Bộ 2

Chứng minh bất đẳng thức bằng biến đổi tương đương

Ví dụ minh họa Chứng minh bất đẳng thức bằng biến đổi tương đương

1. Biến đổi tương đương về bất đẳng thức đúng.

2. Xuất phát từ một BĐT đúng ta biến đổi đến BĐT cần chứng minh.

Tóm tắt lý thuyết thức bất đẳng thức lớp 10

1. Định nghĩa bất đẳng thức

2. Tính chất của bất đẳng thức lớp 10

3. Các bất đẳng thức thông dụng

Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân AM-GM (Bất đẳng thức Cauchy)

Bất đẳng thức Bunhia (Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz)

Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối.

Bất đẳng thức tam giác

Đề thi HSG Toán tiếng Anh lớp 10 Nam Định 2021

PART 1. MULTIPLE CHOICE QUESTIONS (7,0 points)

PART 2. PROBLEMS SOLVING (3,0 points)

100 bài tập công thức lượng giác lớp 10

1. Kiến thức cần nhớ

2. Bài tập công thức lượng giác lớp 10

Bài tập 1. Rút gọn các biểu thức lượng giác sau:

Bài tập 2. Chứng minh rằng

Bài tập 3. Chứng minh các biểu thức sau độc lập đối với biến $ x $.

Bài tập 3. Cho tam giác $ABC$, chứng minh rằng:

Bài tập 4. Tính giá trị lượng giác của các biểu thức sau:

ĐỀ CƯƠNG HỌC KÌ 2 TOÁN 10

1. Nội dung ôn tập đề cương học kì 2 Toán 10

2. Bài tập trắc nghiệm ôn tập HK2 môn Toán 10

2.1. Tam thức bậc hai

2.2. CUNG, GÓC LƯỢNG GIÁ C. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

2.3. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG (GÓC VÀ KHOẢNG CÁCH)

2.4. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN

2.5. ĐƯỜNG ELIP

3. BÀI TẬP TỰ LUẬN ÔN TẬP HỌC KÌ 2 TOÁN 10

XÁC ĐỊNH HỆ SỐ HÀM SỐ BẬC 2 BẰNG MÁY TÍNH CASIO

Phương pháp xác định hệ số hàm số bậc 2 bằng máy tính

2.2. CUNG, GÓC LƯỢNG GIÁ
C. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC