Loa nghe nhạc, loa bluetooth, dàn karaoke, âm thanh sân khấu trường học lớp học

Các bất đẳng thức thường sử dụng

Các bất đẳng thức thường sử dụng

1. Các bất đẳng thức thường sử dụng

Bất đẳng thức AM-GM

Với $a_1,a_2,\ldots,a_n$ là các số thực không âm, khi đó $$a_1+a_2+\cdots +a_{n}\ge n\sqrt[n]{a_1a_2\ldots a_n}.$$ Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a_1=a_2=\cdots =a_n$.

các bất đẳng thức thường sử dụng
Chứng minh bất đẳng thức AM-GM cho hai số không âm bằng hình học

Bất đẳng thức AM-GM suy rộng

Cho $p_1,p_2\ldots p_n$ là các số thực dương thỏa $$p_1+p_2+\cdots +p_n=1.$$ Với $a_1,a_2\ldots a_n$ là các số thực không âm thì ta có $$p_1a_1+p_2a_2+\cdots +p_na_n\ge a_1^{p_1}a_2^{p_2}\ldots a_n^{p_n}.$$ Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a_1=a_2=\cdots =a_n.$

Bất đẳng thức AM-HM

Với $a_1,a_2,\ldots,a_n$ là các số thực không âm, khi đó $$\left(a_1+a_2+\cdots +a_n \right)\left(\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}\cdots +\dfrac{1}{a_n} \right)\ge n^2$$ Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a_1=a_2=\cdots =a_n.$

Bất đẳng thức Bernoulli

Với số thực $x\ge -1$, ta có:

  • $(1+x)^r\ge 1+rx $ khi $r\ge 1$ hoặc $r\le 0$
  • $(1+x)^r\le 1+rx $ khi $0\le r\le 1$

Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz

Cho các số thực $a_1,a_2,\ldots ,a_n$ và $b_1,b_2,\ldots ,b_n$, ta có $$\left(a_1^2+a_2^2+\cdots +a_n^2\right)\left(b_1^2+b_2^2+\cdots +b_n^2\right)\ge \left(a_1b_1+a_2b_2+\cdots +a_nb_n\right)^2.$$ Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $\dfrac{a_1}{b_1}=\dfrac{a_2}{b_2}=\cdots =\dfrac{a_n}{b_n}.$

Bất đẳng thức Hölder

Cho $x_{ij}$ là các số thực không âm (với $i=\overline{1;m}, \ \ j=\overline{1;n}$ ), khi đó ta có $$\prod_{i=1}^{m}\left(\sum_{j=1}^n x_{ij}\right)\ge \left(\sum_{j=1}^{n}\sqrt[m]{\prod_{i=1}^{m}x_{ij}} \right)^m.$$

Bất đẳng thức Chebyshev

Cho $a_1\ge a_2\ge\cdots\ge a_n$ là các số thực.

  1. Nếu $b_1\ge b_2\ge\cdots\ge b_n$ thì $$n\sum_{i=1}^na_ib_i\ge\left(\sum_{i=1}^n a_i\right)\left(\sum_{i=1}^n b_i\right).$$
  2. Nếu $b_1\le b_2\le\cdots\le b_n$ thì $$n\sum_{i=1}^na_ib_i\le\left(\sum_{i=1}^n a_i\right)\left(\sum_{i=1}^n b_i\right).$$

Bất đẳng thức hoán vị

Cho $a_1\ge a_2\ge\ldots\ge a_n$ là hai dãy số thực và $(z_1,z_2,\ldots ,z_n)$ là hoán vị nào đó của $(x_1,x_2,\ldots ,x_n)$. Khi đó ta có:

  1. Nếu $b_1\ge b_2\ge\cdots\ge b_n$ thì $$a_1b_1+a_2b_2+\cdots a_nb_n\ge z_1b_2+z_2b_2+\cdots +z_nb_n.$$
  2. Nếu $b_1\le b_2\le\cdots\le b_n$ thì $$a_1b_1+a_2b_2+\cdots a_nb_n\le z_1b_2+z_2b_2+\cdots +z_nb_n.$$

Bất đẳng thức Maclaurin và bất đẳng thức Newton

Với $a_1,a_2,\ldots,a_n$ là các số thực không âm, khi đó:

  1. (Maclaurin) $S_1\ge S_2\ge \cdots\ge S_n$
  2. (Newton) $S_k^2\ge S_{k-1}S_{k+1}$

với $$S_{k}=\sqrt[k]{\dfrac{\displaystyle\sum_{1\le i_1< i_2<\cdots <i_n}^n a_{i_1}a_{i_2}\ldots a_{i_n} }{ C_{n}^k}}.$$

Bất đẳng thức Karamata

Cho hai bộ số $(x_1,x_2\ldots ,x_n)$ và $(y_1,y_2\ldots ,y_n)$ với $(x_1,x_2\ldots ,x_n)\succ\succ(y_1,y_2\ldots ,y_n)$ sao cho $x_i,y_i\in \mathbb{I}\subseteq \mathbb{R}$. Nếu hàm số $f$ xác định lồi trên khoảng $\mathbb{I}\subseteq \mathbb{R}$ thì
$$f(x_1)+f(x_2)+\cdots +f(x_n)\ge f(y_1)+f(y_2)+\cdots +f(y_n).$$

Ghi chú: $$(x_1,x_2\ldots ,x_n)\succ\succ(y_1,y_2\ldots ,y_n)\Leftrightarrow\begin{cases}x_1\ge y_1\\
x_2+x_2\ge y_1+y_2\\
\cdots \cdots \cdots\cdots \cdots \cdots\cdots \cdots\\
x_1+x_2+\cdots +x_{n-1}\ge y_1+y_2+\cdots +y_{n-1}\\
x_1+x_2+\cdots +x_{n}= y_1+y_2+\cdots +y_{n}\end{cases}$$

Bất đẳng thức Popoviciu

Cho hàm số $f$ xác định lồi trên khoảng $\mathbb{I}\subseteq \mathbb{R}$. Khi đó với $a_1,a_2,\ldots ,a_n\in\mathbb{I}$ thì
$$f(a_1)+f(a_2)+\cdots +f(a_n)+n(n-2)f\left(\dfrac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}\right)\ge (n-1)\left[f(b_1)+f(b_2)+\cdots +f(b_2)\right],$$ với $$b_i=\dfrac{1}{n-1}\sum_{j\neq i}a_j \ \ ,\ \ i=\overline{1;n}.$$

Bất đẳng thức Schur

  • Cho các số thực không âm $a,b,c$ và số thực dương k, khi đó ta có $$a^k(a-b)(a-c)+b^k(b-c)(b-a)+c^k(c-a)(c-b)\ge 0,$$ Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$ hoặc $a=0$ và $b=c$ hoặc một vài hoán vị.
  • Với $k=1$ chúng ta thu được một vài phát biểu quen thuộc sau: $$a^3+b^3+c^3+3abc\ge ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)$$
    $$(a+b+c)^3+9abc\ge 4(a+b+c)(ab+bc+ca)$$ $$a^2+b^2+c^2+\dfrac{9abc}{a+b+c}\ge 2(ab+bc+ca)$$ $$\sum_{cyc}\dfrac{a}{b+c} +\dfrac{4abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\ge 2.$$

Bất đẳng thức Vornicu-Schur

Cho các số thực không âm $a,b,c,x,y,z$ sao cho $(a,b,c)$ và $(x,y,z)$ đều là các bộ đơn điệu. Khi đó ta có $$x(a-b)(a-c)+y(b-a)(b-c)+z(c-a)(c-b)\ge 0$$

Bất đẳng thức Vasc

Với mọi số thực $a,b,c$, ta có $$(a^2+b^2+c^2)^2\ge 3(a^3b+b^3c+c^3a). $$ Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$ hoặc $\dfrac{a}{sin^2\dfrac{4\pi}{7}}=\dfrac{b}{sin^2\dfrac{2\pi}{7}}=\dfrac{c}{sin^2\dfrac{\pi}{7}}$, (hoặc một vài hoán vị).

Bất đẳng thức Vasc

Cho $f_{n}(a,b,c)$ là một đa thức đối xứng bậc $n=3$, $n=4$, $n=5.$

  1. Với $a,b,c$ các số thực thì $f_{4}(a,b,c)\ge 0$ khi và chỉ khi $f_{4}(a,1,1)\ge 0$
  2. Với $a,b,c$ các số thực không âm thì $f_{n}(a,b,c)\ge 0$ khi và chỉ khi $f_{n}(a,1,1)\ge 0$ và $f_{n}(0,b,c)\ge 0$.

Bất đẳng thức $(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2\ge 0$

Với các số thực $a,b,c$, ta có $$27(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2= 4(p^2-3q)^3-(2p^3-9pq+27r)^2\ge 0,$$ từ đây ta có
$$ \dfrac{-2p^3+9pq-2(p^2-3q)\sqrt{p^2-3q}}{27} \le r\le \dfrac{-2p^3+9pq+2(p^2-3q)\sqrt{p^2-3q}}{27} $$

2. Một số tiêu chuẩn khi chứng minh bất đẳng thức

SOS

Cho các số thực không âm thỏa $a\ge b\ge c $ và cần chứng minh $$f(a,b,c)=(a-b)^2S_c+(b-c)^2S_a+(c-a)^2S_b\ge 0.$$
Sau đấy chúng ta sẽ tạo ra một vài tiêu chuẩn thường sử dụng:

  1. Tiêu chuẩn 1. Nếu $S_a,S_b,S_c\ge 0$ thì $f(a,b,c)\ge 0$ là hiển nhiên.
  2. Tiêu chuẩn 2. Nếu $S_b\ge 0$ và $S_b+S_c\ge 0$ và $S_a+S_b\ge 0$ thì $f(a,b,c)\ge 0$.
    Thật vậy $$(a-c)^2=(a-b)^2+(b-c)^2+2(a-b)(b-c)\ge (a-b)^2+(b-c)^2,$$
    do đó ta có $$f(a,b,c)\ge (a-b)^2(S_b+S_c)+(b-c)^2(S_a+S_b)\ge 0,$$ do đó để bất đẳng thức đúng ta cần chứng minh $S_b+S_c\ge 0$ và $S_a+S_b\ge 0$.
  3. Tiêu chuẩn 3. Nếu $S_b\le 0$ và $S_a+2S_b\ge 0$ và $S_c+2S_b\ge 0$ thì $f(a,b,c)\ge 0$.
    Thật vậy $$(a-c)^2=(a-b)^2+(b-c)^2+2(a-b)(b-c)\le 2\left[(a-b)^2+(b-c)^2 \right]$$ do đó ta có
    $$f(a,b,c)\ge (a-b)^2(S_c+2S_b)+(b-c)^2(S_a+2S_b),$$ vậy nên để bất đẳng thức đúng ta cần chứng minh $S_c+2S_b\ge 0$ và $S_a+2S_b\ge 0$.
  4. Tiêu chuẩn 4. Nếu $S_b,S_c\ge 0$ và $b^2S_a+a^2S_b\ge 0$ thì $f(a,b,c)\ge 0$.
    Thật vậy theo bất đẳng thức tỉ lệ thì $$\dfrac{a-c}{b-c}\ge \dfrac{a}{b},$$ do đó ta có $$f(a,b,c)\ge (b-c)^2S_a+\dfrac{(b-c)^2a^2}{b^2}S_b,$$ vậy nên để bất đẳng thức đúng ta cần chứng minh $b^2S_a+a^2S_b\ge 0.$
  5. Tiêu chuẩn 5. Nếu $S_b,S_c\ge 0$ và $b(b-c)S_a+a(a-c)S_b\ge 0$ thì $f(a,b,c)\ge 0$.
    Thật vậy theo bất đẳng thức tỉ lệ thì $$\dfrac{a-c}{b-c}\ge \dfrac{a}{b},$$ do đó ta có $$f(a,b,c)\ge (b-c)^2S_a+\dfrac{(b-c)^2a(a-c)}{b(b-c)}S_b,$$ vậy nên để bất đẳng thức đúng ta cần chứng minh $b(b-c)S_a+a(a-c)S_b\ge 0.$

Tiêu chuẩn Vornicu-Schur

\begin{aligned}x(a-b)(a-c)&+y(b-c)(b-a)+z(c-a)(c-b)=\left[a\sqrt{x}-(\sqrt{x}+\sqrt{z})b+c\sqrt{z} \right]^2+\\
&+(\sqrt{x}-\sqrt{y}+\sqrt{z})^2(a-b)(b-c)+2\sqrt{y}(a-b)(b-c)(\sqrt{x}-\sqrt{y}+\sqrt{z})\end{aligned}

Leave a Comment