Tag: toán 10

Giá trị lượng giác của góc từ 0 đến 180 độ
Toán 10 – Giá trị lượng giác của góc từ 0 đến 180 độ

1. Giá trị lượng giác của một góc từ 0 đến 180⁰

1.1. Nửa đường tròn đơn vị
- Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, nửa đường tròn đơn vị là nửa đường tròn có tâm $ O(0;0)$, bán kính bằng $ 1$ và đi qua các điểm $ A(1;0), B(0;1), A'(-1;0)$.
1.2. Giá trị lượng giác của một góc từ $0^\circ$ đến $180^\circ$
- Với mỗi góc $0^\circ \leqslant \alpha \leqslant 180^\circ$ thì có đúng một điểm $ M$ trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $ \widehat{AOM}=\alpha$. Ngược lại, với mỗi điểm $ M$ trên nửa đường tròn đơn vị thì tồn tại đúng một góc $0^\circ \leqslant \alpha \leqslant 180^\circ$ sao cho $ \widehat{AOM}=\alpha$.
- Giả sử điểm $ M$ có tọa độ $ M(x_0;y_0)$ thì chúng ta định nghĩa:
  - $ \sin \alpha =y_0$;
  - $ \cos \alpha = x_0$;
  - $ \tan \alpha =\frac{y_0}{x_0}=\frac{\sin x}{\cos x}$ nếu $ x_0\ne 0$;
  - $ \cot \alpha =\frac{x_0}{y_0}=\frac{\cos x}{\sin x}$ nếu $ y_0\ne 0$.
Trục hoành – trục nằm ngang – còn được gọi là trục cos, trục tung – trục thẳng đứng – còn được gọi là trục sin.

1.3. Tính chất của giá trị lượng giác
- Nếu $ a+b=180^\circ$ (hai góc bù nhau) thì \begin{align} \sin a =\sin b,\\ \cos a = -\cos b,\\ \tan a =-\tan b, \\ \cot a =-\cot b.\end{align}
- Các hệ thức lượng giác cơ bản:
  - $ \sin^2x+\cos^2x =1$
  - $ \tan x =\frac{\sin x}{\cos x}$
  - $ \cot x =\frac{\cos x}{\sin x}$
  - $ \tan x \cdot \cot x =1$
1.4. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt

2. Bài tập giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°

Bài 1. Cho $\cos \alpha=-\frac{2}{3}$. Tính $\sin \alpha;\tan \alpha$ và $\cot \alpha$.

Bài 2. Cho góc $\alpha$ biết $0^\circ < \alpha < 90^\circ $ và $\tan \alpha =3$. Tính $\sin \alpha$ và $\cos \alpha$.

Bài 3. Cho $\sin \alpha =\frac{3}{4}$ với $90^\circ <\alpha < 180^\circ$. Tính $\cos \alpha$ và $\tan \alpha$.

Bài 4. Cho $\cos \alpha=-\frac{\sqrt{2}}{4}$. Tính $\sin \alpha;\tan \alpha$ và $\cot \alpha$.

Bài 5. Cho góc $\alpha$ biết $0^\circ < \alpha < 90^\circ $ và $\tan \alpha = 2\sqrt{2}$. Tính $\sin \alpha$ và $\cos \alpha$.

Bài 6. Biết $\tan \alpha = \sqrt{2}$. Tính giá trị của biểu thức $$A=\frac{3\sin \alpha -\cos \alpha}{2\sin \alpha+\cos \alpha}$$

Bài 7. Biết $\tan \alpha = \sqrt{2}$. Tính giá trị của biểu thức $$T=\frac{\sin \alpha -\cos \alpha}{\sin^3 \alpha+3\cos^3 \alpha+2\sin \alpha}$$

Bài 8. Biết $\sin \alpha = \frac{2}{3}$. Tính giá trị của biểu thức $$B=\frac{\cot \alpha -\tan \alpha}{\cot \alpha+2\tan \alpha}$$

Bài 9. Cho $0^\circ \leqslant \alpha \leqslant 180^\circ$. Chứng minh rằng:
1. $(\sin \alpha +\cos \alpha)^2=1+2\sin \alpha\cos \alpha$.
2. $(\sin \alpha -\cos \alpha)^2=1-2\sin \alpha\cos \alpha$.
3. $\sin^4 \alpha +\cos^4 \alpha=1-2 \sin^2 \alpha\cos^2 \alpha$.
4. $\sin^4 \alpha -\cos^4 \alpha=2\sin^2 \alpha -1$.
5. $\sin^6 \alpha+\cos^6 \alpha = 1-3\sin^2 \alpha\cos^2 \alpha$.
6. $\sin \alpha\cos\alpha (1+\tan \alpha)(1+\cot\alpha)=1+2\sin \alpha\cos \alpha$.
Bài 10. Chứng minh rằng các biểu thức sau đây không phụ thuộc $\alpha$
- $A=(\sin \alpha+\cos \alpha)^2+(\sin \alpha -\cos \alpha)^2$.
- $B=\sin^4 \alpha-\cos^4 \alpha -2\sin^2 \alpha +1$.
Xem thêm Bài tập giá trị lượng giác của góc từ 0 đến 180°
01/12/2020
Giải và biện luận phương trình ax+b=0
Giải và biện luận phương trình ax+b=0

Giải và biện luận phương trình bậc nhất $ax+b=0$ là một dạng toán quan trọng giúp học sinh rèn luyện khả năng lập luận, tư duy logic.

Xem thêm Toán 10 – Biện luận hệ phương trình, hệ bất phương trình bằng đồ thị

1. Giải và biện luận phương trình ax+b=0

Để giải và biện luận phương trình $ax+b=0$, ta xét hai trường hợp:
- Trường hợp 1. Nếu $ a\ne 0$ thì phương trình đã cho là phương trình bậc nhất nên có nghiệm duy nhất $$ x=-\frac{b}{a}.$$
- Trường hợp 2. Nếu $ a = 0$ thì phương trình đã cho trở thành $ 0x+b=0$, lúc này:
  - Nếu $ b=0$ thì phương trình đã cho có tập nghiệm là $ \mathbb{R};$
  - Nếu $ b\ne 0$ thì phương trình đã cho vô nghiệm.
Bảng tóm tắt cách giải và biện luận phương trình $ax+b=0$

Chú ý khi giải và biện luận phương trình bậc nhất:
- Biến đổi để đưa phương trình đã cho về đúng dạng $ax+b=0$ trước khi xét các trường hợp.
- Nếu phương trình đã cho có điều kiện thì cần kiểm tra nghiệm tìm được có thỏa mãn điều kiện hay không rồi mới kết luận.
2. Ví dụ giải và biện luận phương trình ax+b=0

Ví dụ 1. Giải và biện luận phương trình $ mx+2-m=0$.

Chúng ta xét hai trường hợp:
- Trường hợp 1. Nếu $ m=0$, phương trình đã cho trở thành $$ 0x+2=0 $$ Rõ ràng phương trình này vô nghiệm, nên phương trình đã cho vô nghiệm.
- Trường hợp 2. Nếu $ m\ne 0$, phương trình đã cho là phương trình bậc nhất, nên nó có nghiệm duy nhất $ \displaystyle x=\frac{m-2}{m}.$
Vậy, $ m=0$ thì phương trình đã cho vô nghiệm; $ m\ne 0$ thì phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.

Ví dụ 2. Giải và biện luận phương trình $ (m-2)x+2-m=0$.

Chúng ta xét hai trường hợp:
- Trường hợp 1. $ m-2=0$ hay $ m=2$ thì phương trình đã cho trở thành $$ 0x+0=0 $$ Rõ ràng phương trình này có tập nghiệm là $ \mathbb{R}$ nên phương trình đã cho cũng có tập nghiệm là $ \mathbb{R}$.
- Trường hợp 2. $ m\ne 2$, phương trình đã cho là phương trình bậc nhất, nên nó có nghiệm duy nhất $ \displaystyle x=\frac{m-2}{m-2}=-1.$
Vậy, $ m=2$ thì phương trình đã cho có tập nghiệm là $ \mathbb{R}$; $ m\ne 2$ thì phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $ x=-1$.

Ví dụ 3. Giải và biện luận phương trình $ mx+(2-3m)x+5=0$.

Hướng dẫn. Trước tiên chúng ta biến đổi phương trình đã cho về dạng $ ax+b=0$. Có, phương trình đã cho tương đương với $$ (2-2m)x+5=0 $$ Chúng ta xét hai trường hợp:
- Trường hợp 1. $ 2-2m=0$ hay $ m=1$ thì phương trình đã cho trở thành $$ 0x+5=0 $$ Phương trình này vô nghiệm, nên phương trình đã cho vô nghiệm.
- Trường hợp 2. $ m\ne 1$, phương trình đã cho là phương trình bậc nhất, nên nó có nghiệm duy nhất $ \displaystyle x=\frac{-5}{2-2m}.$
Vậy, $ m=1$ thì phương trình đã cho vô nghiệm; $ m\ne 1$ thì phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $ x=\frac{-5}{2-2m}$.

Ví dụ 4. Giải và biện luận phương trình $ \frac{5x-m}{x-1}=0$.

Hướng dẫn. Trước tiên chúng ta tìm điều kiện xác định của phương trình, sau đó biến đổi đưa phương trình về dạng quen thuộc $ ax+b=0.$
- Điều kiện xác định: $ x\ne 1$. Với điều kiện đó, phương trình đã cho tương đương với $$ 5x-m=0 $$
- Phương trình này có nghiệm $ x=\frac{m}{5}$. Tuy nhiên đây chưa phải nghiệm của phương trình đã cho vì cần có điều kiện $ x\ne 1$. Do đó chúng ta xét hai trường hợp:
  - Trường hợp 1. Nếu $ \frac{m}{5}=1$ hay $ m=5$ thì phương trình đã cho vô nghiệm.
  - Trường hợp 2. Nếu $ m\ne 5$ thì phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $ x=\frac{m}{5}.$
Tóm lại, $ m=5$ thì phương trình đã cho vô nghiệm; $ m\ne 5$ thì phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $ x=\frac{m}{5}.$

Ví dụ 5. Giải và biện luận phương trình $$ \frac{mx+2m}{x-3}=0 $$

Ví dụ 6. Giải và biện luận phương trình $$ \frac{(m+1)x+2m}{x^2-4}=0 $$

Ví dụ 7. Giải và biện luận phương trình $$ \frac{x+2-m}{\sqrt{x-4}}=0 $$

Ví dụ 8. Tìm $m$ để phương trình $ (x-1)(x-3m)=0$ có hai nghiệm phân biệt.

Ví dụ 9. Tìm $m$ để phương trình $ \sqrt{x-3}(x+5-m)=0$ có hai nghiệm phân biệt.

Ví dụ 10. Tìm $m$ để phương trình $ (3-m)x+9-m^3=0$ có tập nghiệm là $ \mathbb{R}$.

Ví dụ 11. Tìm $m$ để phương trình $ (3-m)x+9-m^3=0$ vô nghiệm.

Ví dụ 12. Tìm $m$ để phương trình $ \frac{(3-m)x+3}{x-5}=0$ vô nghiệm.

3. Bài tập giải và biện luận phương trình bậc nhất

Bài 1. Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số $m$:
1. $mx = 3$
2. $( m -2) x = m -2$
3. $(2 m -1) x = 5m +3$
4. $( m ^2-1) x =2 m +2$
5. $m ( x -2)=x +1$
6. $( m -1) x =2 x + m -3$
7. $( m +1)( x -2)=3 m -1$
8. $( m -1)( x +1)= m ^{2}-1$
9. $( m -3) x = m ( m -1)-6$
10. $(2 m -3) x = m (2 m -5)+3$
09/11/2020
Đề thi giữa kì 1 toán 10 năm 2020 – THPT Nguyễn Công Trứ TP HCM
ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ I NĂM 2020 – THPT NGUYỄN CÔNG TRỨ HCM
O2 Education xin giới thiệu các đề thi giữa kì 1 Toán 10 để Quý thầy cô và các em học sinh tham khảo.

Đề thi giữa học kỳ I Toán 10 Xuân Trường B năm 2017

Câu 1. (2,0 điểm)

Cho mệnh đề: “$\forall n\in \mathbb{N}, n^2 >2$”. Hãy xét tính đúng sai (có giải thích) và lập mệnh đề phủ định của mệnh đề đã cho.

Cho mệnh đề: “Nếu $ABCD$ là hình bình hành thì $ \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$”. Phát biểu mệnh đề đảo của mệnh đề trên và xét tính đúng – sai của mệnh đề đảo này.

Câu 2. (1,0 điểm) Cho $ A=\left(-\infty;1\right), B=[-3;5)$. Tìm các tập hợp $ A\cup B, A\cap B, B\setminus A$ và $ \mathrm{C}_R A$.
Câu 3. (2,0 điểm)

Tìm tập xác định của hàm số $$ y=\frac{x^3+3}{\sqrt{x+2}}-\sqrt{1-x}+\frac{x^2+2}{x}. $$

Xét tính chẵn lẻ của hàm số $$ f(x)=\frac{|4x+1|-|4x-1|}{x^2-4}. $$

Câu 4. (1,25 điểm) Xét tính đồng biến nghịch biến của hàm số $ f(x)=\dfrac{4}{x-2}$ trên khoảng $ (-\infty;2).$
Câu 5. (1,25 điểm) Cho hàm số $ y=ax^2+bx+c$ có đồ thị là một parabol $ (\mathcal{P})$. Tìm hệ số $ a,b,c$ biết $ (\mathcal{P})$ có đỉnh là $ I(1;-4)$ và đi qua điểm $ A(2;-3)$.

Câu 6.(2,5 điểm) Cho tam giác $ABC$ vuông cân tại định $ A$, có $ AB=4$. Gọi $ I$ là điểm thỏa mãn $ \overrightarrow{AI}=\frac{3}{4} \overrightarrow{AB}$ và $ E$ là trung điểm $ AC$.
Tính $ \overrightarrow{IE}$ theo hai véc-tơ $ \overrightarrow{AB}$ và $ \overrightarrow{AC}$.

Điểm $ M$ thỏa mãn $3\overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{BA}$. Chứng minh $ MA$ song song với $ BC$.

Tính $ \left|\overrightarrow{EA}+3\overrightarrow{EB}\right|.$
30/10/2020
Đề thi giữa học kỳ I Toán 10 Xuân Trường B năm 2017
Đề thi giữa học kỳ I Toán 10 Xuân Trường B năm 2017

O2 Education xin giới thiệu đề thi 8 tuần kỳ 1 (đề thi giữa học kỳ I Toán 10), năm học 2017 – 2018 của trường Xuân Trường B – Nam Định.

Xem thêm các dạng toán ôn tập thi giữa học kì 1 lớp 10:
Đề thi giữa học kỳ I Toán 10: TRẮC NGHIỆM (5,0 điểm)

Câu 1: Cho tam giác $ ABC$ , gọi $ M$ là trung điểm của $ BC$ và $ G$ là trọng tâm của tam giác $ ABC$. Đẳng thức vectơ nào sau đây là đúng?
A. $ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AG}$.
B. $ 2\overrightarrow{AM}=3\overrightarrow{AG}$.
C. $ \overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{AG}$.
D. $ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{GM}$.

Câu 2: Cho mệnh đề “$ \forall x\in \mathbb{R},\,\,{{x}^{2}}+2>0$ ”. Mệnh đề phủ định của mệnh đề đã cho là
A. $ \forall x\in \mathbb{R},\,\,{{x}^{2}}+2\le 0.$
B. $ \exists x\in \mathbb{R},\,\,{{x}^{2}}+2<0.$
C. $ \exists x\in \mathbb{R},\,\,{{x}^{2}}+2\le 0.$
D. $ \forall x\in \mathbb{R},\,\,{{x}^{2}}+2<0.$

Câu 3: Xác định hàm số bậc nhất $ y=f\left( x \right)$ thoả mãn $ f\left( -1 \right)=2$ và $ f\left( 2 \right)=-3$.
A. $ y=\frac{-5x+1}{3}$.
B. $ y=\frac{-x+5}{3}$.
C. $ y\text{ }=-3×1$.
D. $ y=2x+4$.

Câu 4: Cho hai tập hợp $ A=\left\{ x\in \mathbb{R}\text{ }\left| \text{ }\left| x-1 \right|\le 2 \right. \right\}$ và $ B=\left( 0;+\infty \right)$. Tìm hợp của hai tập hợp $ A$ và $ B$.
A. $ A\cup B=\left( -1;+\infty \right).$
B. $ A\cup B=\left[ -1;+\infty \right).$
C. $ A\cup B=\left( -2;+\infty \right).$
D. $ A\cup B=\left[ -2;+\infty \right).$

Câu 5: Cho tam giác $ ABC$ đều cạnh $ a$. Tính $ \left| \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC} \right|$ theo $ a$.
A. $ \left| \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC} \right|=\frac{\sqrt{3}}{2}a$.
B. $ \left| \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC} \right|=2a$.
C. $ \left| \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC} \right|=a\sqrt{3}$.
D. $ \left| \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC} \right|=a$.

Câu 6: Trong mặt phẳng tọa độ $ Oxy$ , cho $ A\left( 5;2 \right),\text{ }B\left( 10;8 \right)$. Tọa độ của vec tơ $ \overrightarrow{AB}$ là:
A. $ \left( 5;6 \right)$.
B. $ \left( 2;4 \right)$.
C. $ \left( 15;10 \right)$.
D. $ \left( 50;6 \right)$.

Câu 7: Trong mặt phẳng tọa độ $ Oxy$ , cho $ A\left( -4;2 \right),\text{ }B\left( -2;6 \right)$. Tìm điểm $ M$ trên trục $ Oy$ sao cho ba điểm $ A,\text{ }B,\ M$ thẳng hàng.
A. $ M\left( 0;8 \right)$.
B. $ M\left( 0;-10 \right)$.
C. $ M\left( 0;-8 \right)$.
D. $ M\left( 0;10 \right)$.

Câu 8: Tìm tất cả các giá trị của tham số $ m$ để hàm số $ y=-{{x}^{2}}+2\left| m+1 \right|x-3$ nghịch biến trên$ \left( 2;+\infty \right).$
A. $ \left[ \begin{matrix} m\le -3 \\ m\ge 1 \\ \end{matrix} \right.\ .$
B. $ -3<m<1.$
C. $ -3\le m\le 1.$
D. $ \left[ \begin{matrix} m<-3 \\ m>1 \\ \end{matrix} \right.\ .$

Câu 9: Tìm tất cả các giá trị của tham số $ m$ để hàm số $ y=\left( 1-{{m}^{2}} \right)x+3m-1$ đồng biến trên $ \mathbb{R}$.
A. $ \left[ \begin{matrix} m\le -1 \\ m\ge 1 \\ \end{matrix} \right.$.
B. $ \left[ \begin{matrix} m<-1 \\ m>1 \\ \end{matrix} \right.$.
C. $ -1<m<1.$
D. $ -1\le m\le 1.$

Câu 10: Cho hai tập hợp $ A=\left\{ 2;4;6;9 \right\}$ và $ B=\left\{ 1;2;3;4 \right\}$. Tìm hiệu của hai tập hợp $ A$ và $ B$.
A. $ A\backslash B=\left\{ 1;3;6;9 \right\}.$
B. $ A\backslash B=\varnothing .$
C. $ A\backslash B=\left\{ 2;4 \right\}$.
D. $ A\backslash B=\left\{ 6;9 \right\}.$

Câu 11: Cho tứ giác $ ABCD$. Điểm $ M$ thuộc đoạn $ AB$ , $ N$ thuộc đoạn $ CD$ sao cho $ \frac{MA}{MB}=\frac{ND}{NC}=4$. Phân tích $ \overrightarrow{MN}$ theo hai vectơ $ \overrightarrow{AD}$ và $ \overrightarrow{BC}$ ta được kết quả là :
A. $ \overrightarrow{MN}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AD}+\frac{3}{4}\overrightarrow{BC}$.
B. $ \overrightarrow{MN}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AD}-\frac{3}{4}\overrightarrow{BC}$.
C. $ \overrightarrow{MN}=\frac{1}{5}\overrightarrow{AD}+\frac{4}{5}\overrightarrow{BC}$.
D. $ \overrightarrow{MN}=\frac{1}{5}\overrightarrow{AD}-\frac{4}{5}\overrightarrow{BC}$.

Câu 12: Hàm số nào dưới đây có bảng biến thiên như hình vẽ?

A. $ y=-{{x}^{2}}+4x-3.$
B. $ y=-{{x}^{2}}+2x+1.$
C. $ y={{x}^{2}}-4x+5.$
D. $ y={{x}^{2}}-2x+1.$

Câu 13: Cho các hàm số $ y=f\left( x \right)=\left| x-1 \right|-\left| x+1 \right|,\text{ }y=g\left( x \right)=-\left| x \right|$. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. $ y=f\left( x \right)$ là hàm số lẻ, $ y=g\left( x \right)$ là hàm số lẻ.
B. $ y=f\left( x \right)$ là hàm số lẻ, $ y=g\left( x \right)$ là hàm số chẵn.
C. $ y=f\left( x \right)$ là hàm số chẵn, $ y=g\left( x \right)$ là hàm số chẵn.
D. $ y=f\left( x \right)$ là hàm số chẵn, $ y=g\left( x \right)$ là hàm số lẻ.

Câu 14: Hàm số $ y=2{{x}^{2}}-4x+1$ đồng biến trên khoảng nào?
A. $ \left( -\infty ;-1 \right).$
B. $ \left( -\infty ;1 \right).$
C. $ \left( -1;+\infty \right).$
D. $ \left( 1;+\infty \right).$

Câu 15: Cho hình bình hành $ ABCD$. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai ?
A. $ \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$.
B. $ \left| \overrightarrow{AD} \right|=\left| \overrightarrow{CB} \right|$.
C. $ \overrightarrow{AD}=\overrightarrow{CB}$.
D. $ \left| \overrightarrow{AB} \right|=\left| \overrightarrow{CD} \right|$.

Câu 16: Cho tập $ A=\left\{ x\in \mathbb{Z}|-1\le x\le 5 \right\}$. Số phần tử của tập $ A$ là
A. $ 8$
B. $ 7$.
C. $ 5$.
D. $ 6$.

Câu 17: Cho hai tập hợp $ A=\left( -2;2 \right],\text{ }B=\left[ 1;3 \right)$. Tìm giao của hai tập hợp $ A$ và $ B$.
A. $ A\cap B=\left( 1;2 \right).$
B. $ A\cap B=\left[ 1;2 \right).$
C. $ A\cap B=\left( 1;2 \right].$
D. $ A\cap B=\left[ 1;2 \right].$

Câu 18: Cho hàm số $ y={{x}^{3}}-3x+2$. Điểm nào sau đây thuộc đồ thị hàm số đã cho?
A. $ \left( -2;0 \right)$.
B. $ \left( 1;1 \right)$.
C. $ \left( -2;-12 \right)$.
D. $ \left( 1;-1 \right)$.

Câu 19: Tập xác định của hàm số $ y=\frac{x}{x+1}-\sqrt{3-x}$ là:
A. $ \left( -\infty ;3 \right]\backslash \left\{ -1 \right\}$.
B. $ \left( -\infty ;3 \right)\backslash \left\{ -1 \right\}$.
C. $ \left( -\infty ;3 \right]$.
D. $ \mathbb{R}\backslash \left\{ -1 \right\}$.

Câu 20: Đường gấp khúc trong hình vẽ là dạng đồ thị của một trong bốn hàm số được liệt kê trong các phương án A, B, C, D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

A. $ y=\left| x \right|-1$.
B. $ y=-\left| x+1 \right|$.
C. $ y=-\left| x-1 \right|$.
D. $ y=1-\left| x \right|$.

Câu 21: Điều kiện nào dưới đây là điều kiện cần và đủ để điểm $ O$ là trung điểm của đoạn thẳng $ AB$.
A. $ \overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OB}$.
B. $ \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\vec{0}$.
C. $ \overrightarrow{AO}=\overrightarrow{BO}$.
D. $ OA=OB$.

Câu 22: Cho ba điểm phân biệt $ A,\text{ }B,\text{ }C$. Đẳng thức nào sau đây là đúng?
A. $ \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AC}$.
B. $ \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}$.
C. $ \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CB}$.
D. $ \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{CA}$.

Câu 23: Trong mặt phẳng tọa độ $ Oxy$ , cho $ A\left( -2;2 \right)\text{, }B\left( 3;5 \right)$. Gọi $ C\left( a;b \right)$ là điểm sao cho tam giác $ ABC$ có trọng tâm là gốc tọa độ $ O$. Tính $ T=a+b$
A. $ T=-8$.
B. $ T=6$.
C. $ T=0$.
D. $ T=-4$.

Câu 24: Cho hàm số $ y=a{{x}^{2}}+bx+c$ có đồ thị là parabol trong hình vẽ. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $ a>0;\text{ }b>0;\text{ }c>0.$
B. $ a>0;\text{ }b<0;\text{ }c>0.$
C. $ a>0;\text{ }b<0;\text{ }c<0.$
D. $ a>0;\text{ }b>0;\text{ }c<0.$

Câu 25: Cho điểm $ C$ thuộc đoạn $ AB$ sao cho $ C$ khác $ A$ và $ B$. Khẳng định nào sau đây là đúng ?
A. $ \overrightarrow{AC}$ và $ \overrightarrow{BC}$ ngược hướng.
B. $ \overrightarrow{AC}$ và $ \overrightarrow{BC}$ cùng hướng.
C. $ \overrightarrow{AB}$ và $ \overrightarrow{BC}$ cùng hướng.
D. $ \overrightarrow{AB}$ và $ \overrightarrow{CB}$ ngược hướng.

Đề thi giữa học kỳ I Toán 10: TỰ LUẬN (5,0 điểm)

Câu 1 (1,5 điểm). Cho hàm số $y=\left\{ \begin{matrix} x-2\text{ khi }x\ge 1 \\ -x\text{ khi }x<1 \\ \end{matrix} \right.$.

     a) Tìm tập xác định của hàm số.

     b) Vẽ đồ thị và lập bảng biến thiên của hàm số đã cho.

Câu 2 (1,5 điểm). Xác định parabol $\left( P \right): y=a{{x}^{2}}+bx-1$ biết rằng parabol đi qua $M\left( -1;-7 \right)$ và có trục đối xứng là đường thẳng $x=1$.

Câu 3 (1,5 điểm). Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho ba điểm $A\left( 1;2 \right),\text{ }B\left( -3;-2 \right),\text{ }C\left( -4;1 \right)$.

     a) Chứng minh rằng: Hai vec tơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ không cùng phương.

     b) Tìm tọa độ điểm $D$ sao cho tứ giác $ABCD$ là hình bình hành.

Câu 4 (0,5 điểm). Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB=a,\text{ }AC=b$ $\left( a,\text{ }b>0 \right)$. Xét các điểm $E,\text{ }F,\text{ }M,\text{ }N$ thay đổi sao cho tứ giác $AEBF$ và tứ giác $AMCN$ là các hình bình hành. Tìm giá trị nhỏ nhất của $T=EM+FN$.

————-HẾT————-
29/10/2020
Toán 10 – Khái niệm hàm số. Hàm số là gì?
Toán 10 – Khái niệm hàm số lớp 10. Hàm số là gì?

1. Hàm số là gì?

Hàm số chính là các quy tắc áp dụng trên các số. Nếu một đại lượng $y$ phụ thuộc vào một đại lượng thay đổi $x$ mà với một giá trị của $x$ ta luôn xác định được một và chỉ một giá trị tương ứng của $y$ thì $y$ được gọi là hàm số của $x$, và $x$ gọi là biến số. Nói chung hàm số xuất hiện khi có một đại lượng số nào đó phụ thuộc vào một đại lượng số khác. Các em đã được làm quen với hàm số từ lớp 7, lớp 9.

1.1. Khái niệm hàm số

Định nghĩa hàm số: Cho $ \mathbb{D} $ là tập con khác rỗng của $ \mathbb{R}. $ Hàm số $ f $ xác định trên $ \mathbb{D} $ là một quy tắc cho tương ứng mỗi số $ x\in \mathbb{D} $ với một và chỉ một số thực $ y $ gọi là giá trị của hàm số $ f $ tại $ x, $ kí hiệu $ y=f(x). $

Tập $ \mathbb{D} $ gọi là tập xác định (miền xác định, domain), $ x $ là đối số (biến số) của hàm số $ f, $ ta viết
\begin{align*}
f: \mathbb{D}& \longrightarrow \mathbb{R}\\
x\, &\longmapsto y=f(x)
\end{align*}

$ T=\left\{y=f(x)|x\in \mathbb{D} \right\} $ được gọi là tập giá trị hoặc miền giá trị của hàm số.

1.2. Cách cho một hàm số

Một hàm số có thể được cho bằng bốn cách: Mô tả bằng lời, cho bằng bảng giá trị, cho bằng đồ thị, hoặc cho bằng công thức tường minh.

Khi một hàm số được cho bởi công thức $ y=f(x) $ thì tập xác định của nó là tập hợp tất cả các số thực $ x $ sao cho biểu thức $ f(x) $ có nghĩa, tức là tập tất cả các giá trị của biến số $x$ mà có thể tính được giá trị $y$ tương ứng của hàm số (tính được giá trị $ f(x) $).

1.3. Đồ thị của hàm số

Đồ thị của hàm số bậc hai

Một trong những cách thường dùng nhất để minh họa một hàm số là sử dụng đồ thị. Nếu $ f $ là một hàm số có tập xác định $ \mathbb{D} $ thì đồ thị của nó là tập hợp $ (G) $ các điểm có tọa độ $\left( x;f(x) \right)$ với $x \in \mathbb{D}$.

Từ đó, điểm $M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\in (G) $khi và chỉ khi ${{x}_{0}}\in \mathbb{D}$ và ${{y}_{0}}=f({{x}_{0}})$. Mỗi hàm số có một đồ thị duy nhất và ngược lại đồng thời qua đồ thị của một hàm số, ta có thể nhận biết được hầu hết các tính chất của hàm số đó.

1.4. Hàm số đồng biến, nghịch biến

Cho hàm số $ y = f(x) $ xác định trên khoảng $ (a,b)\subset \mathbb{R}. $
- Hàm số $ f $ gọi là đồng biến (tăng) trên khoảng $ (a,b) $ nếu với mọi $ x_1,x_2\in (a,b) $ mà $ x_1<x_2 $ thì $ f(x_1)<f(x_2). $
- Hàm số $ f $ gọi là nghịch biến (giảm) trên khoảng $ (a,b) $ nếu với mọi $ x_1,x_2\in (a,b) $ mà $ x_1<x_2 $ thì $ f(x_1)>f(x_2). $
- Hàm số $ f $ gọi là không đổi (hàm số hằng) trên khoảng $ (a,b) $ nếu $f(x)=const$ với mọi $ x\in (a,b) $.
Thông thường, để xét sự biến thiên của hàm số trên khoảng $ (a,b) $ ta xét tỉ số $ \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} $ với $ x_1\ne x_2\in (a,b). $

1.5. Tính chẵn lẻ của hàm số

Cho hàm số $ y=f(x) $ xác định trên miền $ \mathbb{D}. $
- Hàm số $ f(x) $ được gọi là hàm số chẵn nếu với mọi $ x\in \mathbb{D} $ thì $ -x\in \mathbb{D} $ và $ f(-x)=f(x) $
- Hàm số $ f(x) $ được gọi là hàm số lẻ nếu với mọi $ x\in \mathbb{D} $ thì $ -x\in \mathbb{D} $ và $ f(-x)=f(x) $
Chú ý, đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng; đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng.

2. Các dạng toán hàm số lớp 10

2.1. Tìm tập xác định của hàm số

Xem chi tiết dạng toán tìm TXĐ tại đây Toán 10 – Tìm tập xác định của hàm số

2.2. Xét tính chẵn lẻ của hàm số lớp 10

Xem bài chi tiết tại đây Xét tính chẵn lẻ của hàm số lớp 10

2.3. Xét tính đồng biến nghịch biến của hàm số

Các em học sinh xem tại đây Toán 10 – Xét sự biến thiên của hàm số

2.4. Tìm tập giá trị của hàm số

2.5. Vẽ đồ thị hàm số
18/10/2020
Toán lớp 10 – Chứng minh thẳng hàng bằng vectơ
Phương pháp chứng minh thẳng hàng bằng vectơ

Một ứng dụng của phép toán nhân véc-tơ với một số thực chính là chứng minh thẳng hàng, song song, đồng quy bằng phương pháp véc-tơ. Trong bài học này, chúng tôi xin giới thiệu phương pháp và các ví dụ, bài tập chứng minh thẳng hàng bằng vectơ.

Quý thầy cô và các em có thể xem thêm:
- Bài tập vecto lớp 10 (Khái niệm vector, hai véc-tơ bằng nhau)
- Bài tập Các phép toán véc-tơ
1. Phương pháp chứng minh thẳng hàng bằng vectơ

Muốn chứng minh ba điểm $ A, B, C$ thẳng hàng bằng vectơ, chúng ta có hai cách sau:
- Chỉ ra $ \overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {AC}, $ với $ k$ là một số thực nào đó.
- Sử dụng kết quả: Điều kiện cần và đủ để ba điểm $ A, B, C$ thẳng hàng là $$ \overrightarrow {MC} = t\overrightarrow {MA} + (1 – t)\overrightarrow {MB}, $$ với điểm tuỳ ý $ M$ và số thực $ t$ bất kỳ.
Lưu ý khi chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương pháp véctơ.
- Đẳng thức $ \overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {AC}$ có thể thay bởi $\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{BC}, \overrightarrow{BC}=k\overrightarrow{AB}$… miễn là hai véc-tơ đó có các điểm đầu và cuối là 2 trong 3 điểm $A,B,C$.
- Để có được đẳng thức $ \overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {AC}$ ta có thể:
  - Biến đổi sử dụng các quy tắc véc-tơ đã học (quy tắc 3 điểm, quy tắc trung điểm, quy tắc trọng tâm);
  - Biểu diễn (phân tích) các $ \overrightarrow {AB}, \overrightarrow {AC}$ qua 2 véc-tơ không cùng phương đã biết.
2. Ví dụ chứng minh thẳng hàng bằng vectơ

Ví dụ 1. Cho hình bình hành $ ABCD. $ Gọi $ I $ là trung điểm của $ CD. $ Lấy điểm $ M $ trên đoạn $ BI $ sao cho $ BM = 2MI. $ Chứng minh ba điểm $ A,M,C $ thẳng hàng.

Hướng dẫn. Từ giả thiết ta có $$ \overrightarrow{BM}=2\overrightarrow{MI} $$ Suy ra $ \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{MI}.$ (*)
Mặt khác, vì $ ABCD$ là hình bình hành nên $ \overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CD}$.
Mà $ I$ là trung điểm $ CD$ nên $ \overrightarrow{CD}=2\overrightarrow{CI}$. Thay vào đẳng thức (*) ở trên ta có \begin{align}
&2\overrightarrow{CI} +\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{MI}\\
\Leftrightarrow &\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{MI}+2\overrightarrow{IC}\\
\Leftrightarrow &\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{MC}
\end{align} Đẳng thức $ \overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{MC}$ chứng tỏ ba điểm $ A,M,C$ thẳng hàng.

Qua ví dụ này chúng ta có nhận xét sau. Muốn chứng minh ba điểm $ A,M,C $ thẳng hàng ta phải từ các đẳng thức véc-tơ đã có, biến đổi để xuất hiện được các véc-tơ $\overrightarrow{AM},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{MC}…$.

Ví dụ 2. Cho tam giác $ ABC$, lấy các điểm $ I, J$ thoả mãn $$\overrightarrow {IA} = 2\overrightarrow {IB}, 3\overrightarrow {JA} + 2\overrightarrow {JC} = \vec 0.$$Chứng minh rằng đường thẳng $ IJ$ đi qua trọng tâm $ G$ của tam giác $ABC$.

Hướng dẫn. Ta có $ G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ thì với điểm $J$ bất kỳ, ta luôn có $$ \overrightarrow{JA}+\overrightarrow{JB}+\overrightarrow{JC}=3\overrightarrow{JG} $$ Nên suy ra $$ 2\overrightarrow{JA}+2\overrightarrow{JB}+2\overrightarrow{JC}=6\overrightarrow{JG} $$ Thay giả thiết $ 2\overrightarrow{JC}=-3\overrightarrow{JA}$ vào ta được $$ 2\overrightarrow{JA}+2\overrightarrow{JB}-3\overrightarrow{JA}=6\overrightarrow{JG} $$ hay $$ 2\overrightarrow{JB}= 6\overrightarrow{JG}+\overrightarrow{JA}.$$ Mặt khác, từ đẳng thức $ \overrightarrow{IA}=2\overrightarrow{IB}$ ta sử dụng quy tắc 3 điểm thì có $$ \overrightarrow{IJ}+\overrightarrow{JA}=2\overrightarrow{IJ}+2\overrightarrow{JB} $$ Tiếp tục thay kết quả $ 2\overrightarrow{JB}= 6\overrightarrow{JG}+\overrightarrow{JA}$ vừa có ở phần trước vào ta được $$ \overrightarrow{IJ}+\overrightarrow{JA}=2\overrightarrow{IJ}+6\overrightarrow{JG}+\overrightarrow{JA} $$
Thu gọn, ta được $$ \overrightarrow{IJ}=-6\overrightarrow{JG}. $$ Đẳng thức này chứng tỏ ba điểm $ I,J,G$ thẳng hàng.

Ví dụ 3. Cho tam giác $ABC$, lấy các điểm $ M, N, P$ thoả mãn: $$ \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = \vec 0, 3\overrightarrow {AN} – 2\overrightarrow {AC} = \vec 0, \overrightarrow {PB} = 2\overrightarrow {PC}. $$ Chứng minh rằng $ M, N, P$ thẳng hàng.

Hướng dẫn.

Từ đẳng thức $ 3\overrightarrow{AN}-2\overrightarrow{AC}=\vec{0}$ ta sử dụng quy tắc 3 điểm thì được \begin{align}
&3\overrightarrow{AM}+3\overrightarrow{MN}-2\overrightarrow{AP}-2\overrightarrow{PC}=\vec{0}\\
\Leftrightarrow &\overrightarrow{AM} + 3\overrightarrow{MN}+2\overrightarrow{PM}-2\overrightarrow{PC}=\vec{0}
\end{align}
Thay giả thiết $ \overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MB}$ và $ 2\overrightarrow {PC}=\overrightarrow {PB}$ vào ta được \begin{align}
&\overrightarrow{AM} + 3\overrightarrow{MN}+2\overrightarrow{PM}-2\overrightarrow{PC}=\vec{0}\\
\Leftrightarrow &\overrightarrow{MB} + 3\overrightarrow{MN}+2\overrightarrow{PM} +\overrightarrow{BP}=\vec{0}\\
\Leftrightarrow &\overrightarrow{MP} + 3\overrightarrow{MN}+2\overrightarrow{PM}=\vec{0}\\
\Leftrightarrow & 3\overrightarrow{MN} =\overrightarrow{MP}.
\end{align}

Đẳng thức $3\overrightarrow{MN} =\overrightarrow{MP}$ chứng tỏ ba điểm $ M, N, P$ thẳng hàng.

Ví dụ 4. Xác định vị trí điểm $ C $ sao cho $$ \overrightarrow{CA}-2 \overrightarrow{CB}=\vec{0}. $$ Cho điểm $ M $ bất kỳ trong mặt phẳng và gọi $ \overrightarrow{MN} $ là véc-tơ định bởi $$ \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}-2 \overrightarrow{MB}. $$ Chứng tỏ đường thẳng $ MN $ luôn đi qua một điểm cố định.

Hướng dẫn.
- Có $ \overrightarrow{CA}-2 \overrightarrow{CB}=\vec{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CB}, $ hay $ B $ là trung điểm của $ AC. $
- Từ đẳng thức $ \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}-2 \overrightarrow{MB}$ ta sử dụng quy tắc ba điểm thì có \begin{align}
  \overrightarrow{MN}&=\overrightarrow{MA}-2 \overrightarrow{MB}\\
  &=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CA}-2(\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CB})\\
  &=-\overrightarrow{MC} +\left(\overrightarrow{CA}-2 \overrightarrow{CB}\right)\\
  &=-\overrightarrow{MC}.\end{align}
  Vậy ba điểm $ M,N,C $ thẳng hàng hay đường thẳng $ MN $ luôn đi qua điểm $(C)$ cố định.
3. Bài tập chứng minh thẳng hàng bằng vectơ

Bài tập 1. Cho hình bình hành $ ABCD. $ Trên đoạn $ BC $ lấy điểm $ H, $ trên đoạn $ BD $ lấy điểm $ K $ sao cho: $ BH=CH, DK=2BK. $ Chứng minh $ A,K,H $ thẳng hàng.

Hướng dẫn. Phân tích véc-tơ $ \overrightarrow{AK},\overrightarrow{AH} $ theo các véc-tơ $ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}. $

Bài tập 2. Cho hình bình hành $ ABCD. $ Trên $ BC $ lấy điểm $ H, $ trên $ BD $ lấy điểm $ K $ sao cho: $$ \overrightarrow{BH}=\frac{1}{5}\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BK}=\frac{1}{6}\overrightarrow{BD}. $$ Chứng minh $ A,K,H $ thẳng hàng.
Hướng dẫn. Phân tích véc-tơ $ \overrightarrow{AK},\overrightarrow{AH} $ theo các véc-tơ $ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}. $

Bài tập 3. Cho tam giác $ ABC $ có $ M,N,P $ thỏa mãn $$ \overrightarrow{MB}=3\overrightarrow{MC},\overrightarrow{NA}+3\overrightarrow{NC}=\vec{0},\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}=\vec{0}. $$ Phân tích các véc-tơ $ \overrightarrow{MP},\overrightarrow{MN} $ theo hai véc-tơ $ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}. $ Suy ra $ M,N,P $ thẳng hàng.

Hướng dẫn. Có $ \overrightarrow{MP}=\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AM}, \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}. $ Ta đi tính $ \overrightarrow{AP},\overrightarrow{AN},\overrightarrow{AM} $ theo $ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} $ được $ \overrightarrow{AP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AM}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}. $ Từ đó phân tích $ \overrightarrow{MP},\overrightarrow{MN} $ theo $ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} $ và suy ra $ \overrightarrow{MP}=2\overrightarrow{MN}, $ do đó $ M,N,P $ thẳng hàng.

Bài tập 4. Cho tam giác $ ABC $ và hai điểm $ I,J $ thỏa mãn $$ \overrightarrow{IC}-\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IA}=\vec{0}, \overrightarrow{JA}+\overrightarrow{JB}-3\overrightarrow{JC}=\vec{0}. $$
- Chứng minh $ I,G,B $ thẳng hàng với $ G $ là trọng tâm tam giác $ ABC $.
- Chứng minh $ IJ $ cùng phương $ AC. $
Hướng dẫn.
- Từ $ \overrightarrow{IC}-\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IA}=\vec{0} $ suy ra $ \overrightarrow{IG}=2\overrightarrow{GB}, $ do đó $ I,G,B $ thẳng hàng.
- Ta có $ \overrightarrow{IC}-\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IA}=\vec{0} $, điều này tương đương với $$\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{IA}=\vec{0}. $$ Mặt khác $ \overrightarrow{JA}+\overrightarrow{JB}-3\overrightarrow{JC}=\vec{0}$ tương đương với $$\overrightarrow{JA}+(\overrightarrow{JA}+\overrightarrow{AB})-3(\overrightarrow{JA}+\overrightarrow{AC})=\vec{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{JA}-3\overrightarrow{AC}=\vec{0}.$$ Cộng từng vế hai đẳng thức được $ \overrightarrow{IJ}=2\overrightarrow{AC}, $ do đó $ IJ $ cùng phương $ AC. $
Bài tập 5. Cho tam giác $ ABC $ có $ M $ là điểm di động.
1. Dựng $ \overrightarrow{MN}=2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}. $ Chứng minh đường thẳng $ MN $ luôn đi qua một điểm cố định.
2. Gọi $ P $ là trung điểm $ CN, $ chứng minh rằng đường thẳng $ MP $ luôn đi qua một điểm cố định.
3. Kéo dài $ AB $ một đoạn $ BE=AB, $ gọi $ F $ là trung điểm $AC$, vẽ hình bình hành $ EAFG. $ Đường thẳng $ AG $ cắt $BC$ tại $ K. $ Tính tỉ số $ KB:KC. $
Hướng dẫn.
1. Gọi $ I $ là điểm xác định bởi $ 2\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IC} $ thì $ I $ cố định. Khi đó $ \overrightarrow{MN}= 2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}=4\overrightarrow{MI}.$ Suy ra $ M,N,I $ thẳng hàng hay $ MN $ luôn đi qua điểm $ I $ cố định.
2. Vì $ P $ là trung điểm $ CN $ nên $ \overrightarrow{MP}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{MC})=\frac{1}{2}(2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}). $ Gọi $ J $ là điểm xác định bởi $ 2\overrightarrow{JA}+3\overrightarrow{JB}=\vec{0} $ thì $ J $ cố định. Khi đó $ \overrightarrow{MP}=…=\frac{5}{2}\overrightarrow{MJ} $ hay $ MP $ luôn đi qua điểm $ J $ cố định.
3. Để xác định giao điểm $ K $ của $ AG $ và $BC$ ta tính $ \overrightarrow{AG} $ theo $ \overrightarrow{AB} $ và $ \overrightarrow{AC}. $
  Có $ \overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}. $ Do đó $ AG $ cắt $BC$ tại $ K$ mà $ 2\overrightarrow{KB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{KC} $ hay $ KB:KC=1:4. $
Bài tập 6. Cho $\Delta ABC$. Dựng $\overrightarrow{AB’}=\overrightarrow{BC},\overrightarrow{CA’}=\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC’}=\overrightarrow{CA}$. Chứng minh $A$ là trung điểm của $B’C’$. Chứng minh $AA’,BB’,CC’$ đồng quy.

Bài tập 7. Cho $\Delta ABC$ có điểm $I$ trên cạnh $AC$ sao cho $CI=\frac{1}{4}CA$, $J$ là điểm thỏa $\overrightarrow{BJ}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$. Chứng minh $\overrightarrow{BI}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$. Chứng minh $B,I,J$ thẳng hàng. Hãy dựng điểm $J$ thỏa mãn điều kiện đề bài.

Bài tập 8. Cho tam giác $ ABC $ có điểm $D$ định bởi $ \overrightarrow{BD}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BC} $ và $I$ là trung điểm $AD$. Gọi $ M $ là điểm thỏa mãn $ \overrightarrow{AM}=x\overrightarrow{AC} $ với $ x $ là số thực. Tính $ \overrightarrow{BI} $ theo $ \overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}. $ Tính $ \overrightarrow{BM} $ theo $ \overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}. $ Tìm $ x $ để ba điểm $ B,I,M $ thẳng hàng.

Hướng dẫn. Vì $ I $ là trung điểm $AD$ nên có $$ \overrightarrow{BI}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BD})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{BC})=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}. $$ Mặt khác, ta có $$ \overrightarrow{AM}=x\overrightarrow{AC} \Leftrightarrow \overrightarrow{BM}-\overrightarrow{BA}=x(\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}) \Leftrightarrow \overrightarrow{BM}=(1-x)\overrightarrow{BA}+x\overrightarrow{BC}. $$ Ba điểm $ B,I,M $ thẳng hàng khi và chỉ khi tồn tại số $ k $ sao cho $ \overrightarrow{BM}=k\overrightarrow{BI}$. Điều này tương đương với $$(1-x)\overrightarrow{BA}+x\overrightarrow{BC}=\frac{k}{2}\overrightarrow{BA}+\frac{k}{3}\overrightarrow{BC} \Leftrightarrow 2(1-x)=3x \Leftrightarrow x=\frac{2}{5}.$$
18/10/2020
Toán 10 – Xét sự biến thiên của hàm số
Xét sự biến thiên của hàm số lớp 10

Với hàm số cho bởi công thức $y=f(x)$, chúng ta có hai đại lượng thay đổi là $x$ và $y$. Nếu chúng thay đổi “cùng chiều” (cùng tăng hoặc cùng giảm) ta có hàm số đồng biến, nếu chúng thay đổi “ngược chiều” ta có hàm số nghịch biến. Do sự thay đổi của $y$ phụ thuộc vào $x$ nên ta có thể chọn $x$ thay đổi từ nhỏ đến lớn để xét sự thay đổi của $y$.

Xem thêm:
- Tìm tập xác định của hàm số
- Xét tính chẵn lẻ của hàm số lớp 10
1. Xét sự biến thiên của hàm số

1.1. Khái niệm hàm số đồng biến, nghịch biến

Cho hàm số $y=f(x)$ xác định trên $\mathbb{K}$ (là một khoảng, nửa khoảng hay đoạn).
- Hàm số đó được gọi là đồng biến (hay tăng) trên K nếu: $\forall {{x}_{1}},{{x}_{2}}\in \mathbb{K},{{x}_{1}}<{{x}_{2}}$ thì có $f({{x}_{1}})<f({{x}_{2}})$.
- Hàm số đó được gọi là nghịch biến (hay giảm) trên K nếu: $\forall {{x}_{1}},{{x}_{2}}\in \mathbb{K},{{x}_{1}}<{{x}_{2}}$ thì có $f({{x}_{1}})>f({{x}_{2}})$.
Khảo sát sự biến thiên của hàm số là xét xem hàm số đồng biến, nghịch biến hoặc có thể không đổi trên các khoảng (nửa khoảng hay đoạn) nào đó trong tập xác định của nó.

Đồ thị của hàm số đồng biến

Xét theo hướng từ trái qua phải (tức là chiều tăng của đối số $x$) thì:
- Đồ thị hàm số đồng biến có hướng đi lên (tăng).
- Đồ thị hàm số nghịch biến có hướng đi xuống (giảm).
Từ định nghĩa, ta có các cách xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số $y=f(x)$ trên $\mathbb{K}$.

1.2. Cách xét sự đồng biến nghịch biến của hàm số

Cách 1. Xét sự đồng biến nghịch biến của hàm số bằng định nghĩa. Sử dụng giả thiết ${{x}_{1}},{{x}_{2}}\in \mathbb{K}$ bất kỳ ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}$, đánh giá trực tiếp và so sánh $f(x_1)$ với $f(x_2)$.

Ví dụ 1. Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số $y=\sqrt{1-2x}$ trên $\left( -\infty ,\frac{1}{2} \right]$.

Ta có, $\forall {{x}_{1}},{{x}_{2}}\in \left( -\infty ,\left. \frac{1}{2} \right] \right.,{{x}_{1}}<{{x}_{2}}$ thì $$1-2{{x}_{1}}>1-2{{x}_{2}}\geqslant 0 \Rightarrow \sqrt{1-2{{x}_{1}}}>\sqrt{1-2{{x}_{2}}}$$ hay hàm số nghịch biến trên $\left( -\infty ,\frac{1}{2} \right]$.

Cách 2. Xét sự đồng biến nghịch biến của hàm số bằng xét dấu tỷ số biến thiên $$T=\frac{f({{x}_{2}})-f({{x}_{1}})}{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}$$ với ${{x}_{1}},{{x}_{2}}\in \mathbb{K}$ bất kỳ và ${{x}_{1}}\ne {{x}_{2}}$.
- Nếu $T > 0$ thì hàm số đồng biến trên $\mathbb{K}$;
- Nếu $T < 0$ thì hàm số nghịch biến trên $\mathbb{K}$.
Ví dụ 1. Khảo sát sự biến thiên của các hàm số $y = f(x) = x + 3$.

Hướng dẫn.
- Tập xác định $ \mathcal{D}=\mathbb{R}.$
- Với mọi $x_1, x_2 \in \mathbb{R}$ và $ x_1 \ne x_2$ ta có: \begin{align} T&= \frac{{f({x_1}) – f({x_2})}}{{{x_1} – {x_2}}}\\ &= \frac{{({x_1} + 3) – ({x_2} + 3)}}{{{x_1} – {x_2}}} = 1 > 0, \forall x\in \mathbb{R} \end{align}
- Vậy, hàm số đồng biến trên $ \mathbb{R}$.
Ví dụ 2. Khảo sát sự biến thiên của các hàm số $ y = f(x) = x^3 + 2x + 8.$

Hướng dẫn.
- Tập xác định $ \mathcal{D}=\mathbb{R}.$
- Với mọi $x_1, x_2 \in \mathbb{R}$ và $ x_1 \ne x_2$ ta có: \begin{align}
  T &= \frac{{f({x_1}) – f({x_2})}}{{{x_1} – {x_2}}}\\
  &= \frac{{(x_1^3 + 2{x_1} + 8) – (x_2^3 + 2{x_2} + 8)}}{{{x_1} – {x_2}}}\\
  &= \frac{{(x_1^3 – x_2^3) + (2{x_1} – 2{x_2})}}{{{x_1} – {x_2}}}\\
  &= x_1^2 + x_2^2 + x_1x_2 + 2\\
  &= \frac{1}{2}(x_1 + x_2)^2 + \frac{1}{2}(x_1^2 + x_2^2) + 2 > 0, \forall x\in \mathbb{R}.
  \end{align}
- Vậy, hàm số đồng biến trên $ \mathbb{R}$.
Ví dụ 3. Xét sự biến thiên của hàm số $y=\dfrac{3x+1}{x-2}$ trên các khoảng $\left( -\infty ;\,2 \right)$ và $\left( 2;+\infty \right)$.

Xét tỉ số biến thiên \begin{align} T&=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}\\ &=\frac{\frac{3{{x}_{1}}+1}{{{x}_{1}}-2}-\frac{3{{x}_{2}}+1}{{{x}_{2}}-2}}{{{x}_{1}}-{{x}_{2}}}\\ &=\frac{\left( 3+\frac{7}{{{x}_{1}}-2} \right)-\left( 3+\frac{7}{{{x}_{2}}-2} \right)}{{{x}_{1}}-{{x}_{2}}}\\& =-\frac{7}{\left( {{x}_{1}}-2 \right)\left( {{x}_{2}}-2 \right)}
\end{align}

Suy ra với ${{x}_{1}},{{x}_{2}}\in \left( -\infty ;\,2 \right)$ hoặc ${{x}_{1}},{{x}_{2}}\in \left( 2;+\infty \right)$ thì $T < 0$ nên hàm số nghịch biến trên các khoảng $\left( -\infty ;\,2 \right)$,$\left( 2;+\infty \right)$.

Cũng có thể xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số một cách gián tiếp thông qua tính đồng biến nghịch biến của các hàm số quen thuộc hoặc đã được xét trước đó.

Chẳng hạn ta dễ dàng có các tính chất sau: tổng của hai hàm số đồng biến (nghịch biến) trên $\mathbb{K}$ là một hàm số đồng biến (nghịch biến) trên đó; tích của hai hàm số đồng biến và nhận giá trị dương trên $\mathbb{K}$ là một hàm số đồng biến trên đó…

Ví dụ 4. Khảo sát sự biến thiên của hàm số $y = f(x) = \sqrt {{x^2} + 2}$.

Hướng dẫn.
- Tập xác định $ \mathcal{D}=\mathbb{R}$.
- Với $ x_1, x_2 \in \mathcal{D} $ và $ x_1 \ne x_2$ ta có: \begin{align}
  T&=\frac{{f({x_1}) – f({x_2})}}{{{x_1} – {x_2}}}\\
  &=\frac{{\sqrt {x_1^2 + 2} – \sqrt {x_2^2 + 2} }}{{{x_1} – {x_2}}}\\
  &=\frac{{(x_1^2 + 2) – (x_2^2 + 2)}}{{({x_1} – {x_2})(\sqrt {x_1^2 + 2} + \sqrt {x_2^2 + 2} )}}\\
  &=\frac{{{x_1} + {x_2}}}{{\sqrt {x_1^2 + 2} + \sqrt {x_2^2 + 2} }}.
  \end{align}
- Khi đó:
  - Nếu $x_1, x_2 >$ 0 thì $ T > 0$ và do đó hàm số đồng biến trên $ (0; +\infty)$.
  - Nếu $ x_1, x_2 < 0$ thì $ T < 0$ suy ra hàm số nghịch biến trên $ (-\infty; 0)$.
Ví dụ 5. Khảo sát sự biến thiên của hàm số hàm số $y={{x}^{3}}+\sqrt{2x+3}$ trên tập xác định của nó.

Hướng dẫn. Ta có hàm số đã cho có tập xác định là $\mathcal{D}=\left[ -\frac{3}{2};+\infty \right)$.

Các hàm số $y={{x}^{3}}$ và $y=\sqrt{2x+3}$ đều là các hàm số đồng biến trên $\mathcal{D}$ nên hàm số $y={{x}^{3}}+\sqrt{2x+3}$ là hàm số đồng biến trên $\mathcal{D}$.

Ví dụ 6. Khảo sát sự biến thiên của hàm số:
1. $f(x)={{x}^{3}}\sqrt{2x-3}$;
2. $g(x)={{x}^{3}}\sqrt{2x+3}$.
2. Các ví dụ khảo sát sự biến thiên của hàm số lớp 10

Bài 1. Xét sự biến thiên của hàm số sau trên khoảng $(1; +\infty)$
- $y = \frac{3}{x-1}$
- $y = x + \frac{1}{x}$
Bài 2. Xét sự biến thiên của hàm số sau trên tập xác định của nó:
- $y = \sqrt{3x-1}+\sqrt{x}$
- $y = x^3 +\sqrt{x}$
Bài 3. Xét tính đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau trên khoảng được chỉ ra
- $f(x)=-2x^2-7$ trên khoảng $(-4,0)$ và trên khoảng $(3,10)$;
- $f(x)=\frac{x}{x-7}$ trên khoảng $(-\infty,7)$ và trên khoảng $(7,+\infty)$;
- $y=-3x+2$ trên $\mathbb{R}$;
- $y=x^2+10x+9$ trên khoảng $(-5,+\infty)$;
- $y=-\frac{1}{x+1}$ trên khoảng $(-3,-2)$ và $(2,3)$.
Bài 4. Xét tính đồng biến hay nghịch biến của các hàm số trên khoảng cho trước:
- $y=\sqrt{x}$ trên $\left( 0;+\infty \right)$;
- $y=\frac{1}{x+2}$ trên $\left( -\infty ;-2 \right)$;
- $y={{x}^{2}}-3x$ trên $\left( 2;+\infty \right)$;
- $y={{x}^{3}}+2x-1$ trên $\left( -\infty ;+\infty \right)$;
- $y={{x}^{3}}-3x$ trên $\left( 1;+\infty \right)$;
- $y=\sqrt{{{x}^{2}}-1}+x$ trên $\left( 1;+\infty \right)$.
Bài 5. Xét sự biến thiên của hàm số $ y=\frac{x}{x-2} $ trên tập xác định của nó.

Bài 6. Xét sự biến thiên của hàm số $ y=\big| x+|2x-1|\big|$ trên tập xác định của nó.
15/10/2020
Xét tính chẵn lẻ của hàm số lớp 10
Xét tính chẵn lẻ của hàm số lớp 10

Xem thêm:
- Toán 10 – Tìm tập xác định của hàm số
- Đề cương ôn tập Toán 10 Giữa kì 1 năm 2020
1. Hàm số chẵn hàm số lẻ là gì?

Cho hàm số $ y=f(x) $ xác định trên miền $ \mathcal{D}. $
- Hàm số $ f(x) $ được gọi là hàm số chẵn nếu nó thỏa mãn 2 điều kiện sau:
  - Với mọi $ x\in \mathbb{D} $ thì $ -x\in \mathcal{D} $
  - $ f(-x)=f(x), \,\forall x\in \mathcal{D} $
- Hàm số $ f(x) $ được gọi là hàm số lẻ nếu nếu nó thỏa mãn 2 điều kiện sau:
  - Với mọi $ x\in \mathbb{D} $ thì $ -x\in \mathcal{D} $
  - $ f(-x)=-f(x), \,\forall x\in \mathcal{D} $
Chú ý:
- Một tập $\mathcal{D}$ thỏa mãn điều kiện $\forall x\in \mathbb{D} $ thì $ -x\in \mathcal{D} $ được gọi là một tập đối xứng.
- Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng (ví dụ hàm số $y=x^2$ là hàm số chẵn); đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng (ví dụ hàm số $y=x$ là hàm số lẻ).
- Một hàm số có thể không chẵn cũng không lẻ.
Đồ thị của một hàm số không chẵn không lẻ

2. Các ví dụ Xét tính chẵn lẻ của hàm số lớp 10

Cách xét tính chẵn lẻ của hàm số được thực hiện qua 3 bước sau:
1. Tìm tập xác định của hàm số.
2. Kiểm tra
  - Nếu $\forall x\in \mathbb{D} \Rightarrow -x\in \mathbb{D}$ thì chuyển qua bước tiếp theo.
  - Nếu $ \exists x_0\in \mathbb{D} $ mà $ -x_0\not\in \mathbb{D}$ thì kết luận hàm không chẵn cũng không lẻ.
3. Tính $f(-x)$ và so sánh với $f(x)$ để kết luận:
  - Nếu $f(-x) = f(x)$ thì kết luận hàm số là chẵn.
  - Nếu $f(-x)=-f(x)$ thì kết luận hàm số là lẻ.
  - Nếu tồn tại một giá trị $ x_0\in \mathbb{D}$ mà $f(-x_0)\ne \pm f(x_0)$ thì kết luận hàm số không chẵn cũng không lẻ.
Ví dụ 1. Xét tính chẵn lẻ của hàm số $y = f(x) = x^3 + x$.

Lời giải.
- TXĐ: $\mathcal{D}=\mathbb{R}$
- Ta có, với mọi $x\in \mathbb{D} $ thì cũng có $-x\in \mathbb{D}$ (điều kiện thứ nhất được thỏa mãn)
- Với mọi $x\in \mathbb{D} $ ta có $$f(-x) = (-x)^3 + (-x) = -( x^3 + x)= -f(x).$$ Kết luận: Hàm số $y = f(x) = x^3 + x$ là hàm số lẻ.
Ví dụ 2. Xét tính chẵn lẻ của hàm số $f(x) = x^4 + 2$.

Lời giải.
- TXĐ: $\mathcal{D}=\mathbb{R}$
- Ta có, với mọi $x\in \mathbb{D} $ thì cũng có $-x\in \mathbb{D}$ (điều kiện thứ nhất được thỏa mãn).
- Với mọi $x\in \mathbb{D} $ ta có $$f(-x) = (-x)^4+2 = x^4+2=f(x).$$ Suy ra, hàm sốđã cho là hàm số chẵn.
Ví dụ 3. Xét tính chẵn lẻ của hàm số $y=\sqrt{x+1}+2$.

Lời giải.
- Điều kiện xác định: $$x+1 \geqslant 0 \Leftrightarrow x \geqslant -1$$ Suy ra, TXĐ: $\mathcal{D}= [-1; +\infty)$$
- Tập $\mathcal{D} $ này không thỏa mãn điều kiện $\forall x\in \mathbb{D} \Rightarrow -x\in \mathbb{D}$. Thật vậy, xét số $x_0=5$ thuộc vào $\mathcal{D}$ nhưng $-x_0$ là $-5$ lại không thuộc $\mathcal{D}$.
- Kết luận: Hàm số đã cho không chẵn, không lẻ.
Ví dụ 4. Xét tính chẵn lẻ của hàm số $ y=\sqrt{x+5}+\sqrt{5-x}$.

Hướng dẫn.
- Tìm được tập xác định $\mathcal{D} = [-5;5]$.
- Với mọi $x \in [-5;5]$ ta có $-x \in [-5;5]$.
- Có $f(-x)=\sqrt{(-x)+5}+\sqrt{5-(-x)}=\sqrt{x+5}+\sqrt{5-x}=f(x)$.
- Kết luận: Hàm số đã cho là hàm số chẵn.
Ví dụ 5. Xét tính chẵn lẻ của hàm số $ y=\sqrt{x+5}+\frac{1}{\sqrt{5-x}}$.

Hướng dẫn.
- Tìm được tập xác định $\mathcal{D} = [-5;5)$.
- Với mọi $x \in [-5;5]$ thì ta không có $-x \in [-5;5]$. Thật vậy, xét một số $x_0=-5\in [-5;5)$ nhưng $-x_0=-(-5)=5$ lại không thuộc $[-5;5)$.
- Kết luận: Hàm số đã cho là hàm số không chẵn không lẻ.
3. Bài tập Xét tính chẵn lẻ của hàm số lớp 10

Bài 1. Hàm số sau là hàm số chẵn hay hàm số lẻ, vì sao”
1. $ f(x)=x+\frac{1}{x}$
2. $ f(x)=\frac{1}{|x|+1}+x^2$
3. $ f(x)=\sqrt{x-3}+5$
4. $ f(x)=x^4+x^6+|x|$
5. $ f(x)=|x-2|$
Bài 2. Xác định tính chẵn lẻ của các hàm số sau:
1. $f\left( x \right)=\frac{{{x}^{3}}+5x}{{{x}^{2}}+4}.$
2. $f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}+5}{{{x}^{2}}-1}.$
3. $f\left( x \right)=\sqrt{x+1}-\sqrt{1-x}.$
4. $f\left( x \right)=\frac{x-5}{x-1}.$
5. $f\left( x \right)=3{{x}^{2}}-2x+1.$
6. $f\left( x \right)=\frac{{{x}^{3}}}{\left| x \right|-1}.$
7. $f(x)=\frac{\left| x-1 \right|+\left| x+1 \right|}{\left| 2x-1 \right|+\left| 2x+1 \right|}.$
8. $f(x)=\frac{\left| x+2 \right|+\left| x-2 \right|}{\left| x-1 \right|-\left| x+1 \right|}$
Bài 3. Xét tính chẵn lẻ của hàm số $$ f(x)=\frac{2x}{x^2-4}$$

Bài 4. Xét tính chẵn lẻ của hàm số $$ f(x)=\frac{1}{\sqrt{x^2-x+1}-\sqrt{x^2+x+1}} $$

Bài 5. Xét tính chẵn lẻ của hàm số $$ f(x)=\frac{x^2}{x^2-3x+2} $$

Bài 6. Xét tính chẵn lẻ của hàm số $$ f(x)=\sqrt{2+x}-\sqrt{2-x} $$

Bài 7. Xét tính chẵn lẻ của hàm số $$ f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{1-x}-\sqrt{1+x}} $$

Bài 8. Cho hàm số $y=f\left( x \right)$, $y=g\left( x \right)$ có cùng tập xác định $D$. Chứng minh rằng:
- Nếu hai hàm số trên lẻ thì hàm số $y=f\left( x \right)+g\left( x \right)$ là hàm số lẻ.
- Nếu hai hàm số trên một chẵn, một lẻ thì hàm số $y=f\left( x \right)g\left( x \right)$ là hàm số lẻ.
Bài 9. Tìm $m$ để hàm số: $y=f\left( x \right)$ $=\frac{x\left( {{x}^{2}}-2 \right)+2m-1}{x-2m+1}$ là hàm số chẵn.

Bài 10. Chứng minh rằng với hàm số $f(x)$ bất kỳ, $ f(x)$ có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng tổng của một hàm số chẵn và một hàm số lẻ.
15/10/2020
Toán 10 – Tìm tập xác định của hàm số
Tìm tập xác định của hàm số

Bài chi tiết về hàm số xin mời xem Khái niệm hàm số. Xem thêm các dạng toán lớp 10:
- Xét tính chẵn lẻ của hàm số
- Xét sự biến thiên của hàm số
1. Tập xác định của hàm số là gì?

Đối với một hàm số cho bởi công thức $y=f(x)$ thì tập xác định (TXĐ) của hàm số là tập tất cả các giá trị của $x$ mà có thể tính được giá trị $y$ tương ứng, tức là tìm tập các giá trị của $x$ để biểu thức $f(x)$ có nghĩa (xác định).

Ví dụ, xét hàm số $y=\frac{1}{x-5}$. Số $5$ không thuộc tập xác định của hàm số vì khi ta thay $x=5$ vào biểu thức $\frac{1}{x-5}$ thì không tính được (biểu thức không xác định). Số $3$ thuộc tập xác định vì khi thay $x=3$ vào ta tính được kết quả là $y=-\frac{1}{2}$. Ngoài ra, đối với hàm số này chúng ta thấy có rất nhiều giá trị khác thuộc tập xác định, như $1,2,4,-1,-5…$. Nhiệm vụ của chúng ta là phải tìm tất cả các giá trị này.

Để tìm TXĐ của hàm số $y=f(x)$ chúng ta đi tìm tập các giá trị của $x$ mà biểu thức $f(x)$ có nghĩa (xác định). Lưu ý rằng:
- $ \frac{A}{B} $ xác định khi $ B\ne 0,$
- $ \sqrt{A}$ xác định khi $ A\ge 0,$
- $ \frac{A}{\sqrt{B}} $ xác định khi $ B>0. $
- $AB \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A \ne 0\\B \ne 0\end{array} \right.$
Chú ý, cần viết tập xác định của hàm số dưới dạng khoảng đoạn.

2. Các ví dụ tìm tập xác định của hàm số

Ví dụ 1. Tìm tập xác định của hàm số sau:
1. $f(x)=\sqrt{x-3}$
2. $g(x)=\frac{x+3}{x^2-4}$
3. $ h(x)= 2\sqrt{x-1}-\frac{3}{|x|-2}$
Hướng dẫn.
1. Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi $$ x-3 \geqslant 0 \Leftrightarrow x \geqslant 3$$ Kết luận: TXĐ $ \mathbb{D}=[3,+\infty) $.
2. Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi $$ x^2-4 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \pm2$$ Kết luận: TXĐ $ \mathbb{D}=\mathbb{R}\setminus\{\pm 2\} $.
3. Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi $$ \begin{cases} x-1 \geqslant 0\\ |x|-2\ne 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}
  x \geqslant 1\\ x\ne \pm 2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \geqslant 1\\ x\ne 2 \end{cases}$$ Kết luận: TXĐ $ \mathbb{D}=[1,2)\cup(2,+\infty) $.
Ví dụ 2. Tìm tập xác định của hàm số $$ f(x)= \sqrt{2x-3}+\frac{x+2}{\sqrt{3-x}}$$

Hướng dẫn. Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi $$ \begin{cases} 2x-3 \geqslant 0\\ 3-x >0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \geqslant \frac{3}{2}\\ x<3 \end{cases}$$ Kết luận. TXĐ $ \mathbb{D}=[\frac{3}{2},3) $.

Ví dụ 3. Tìm tập xác định của hàm số $$ f(x)= \sqrt{x^2-2x+3}+\frac{1}{|x|+1}$$

Hướng dẫn. Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi $$ \begin{cases} x^2-2x+3 \geqslant 0 \\ |x|+1 \ne 0 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} (x-1)^2+2\geqslant 0 \\ |x|+1 \ne 0 \end{cases}$$ Các điều kiện này đều luôn luôn đúng với mọi số thực $x$ do đó, tập xác định của hàm số là $ \mathbb{D}=\mathbb{R} $.

Ví dụ 4. Tìm $ m $ để hàm số $ f(x)=\frac{2x}{x-m+1} $ xác định trên $ (0,2). $

Hướng dẫn. Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi $$ x\ne m-1$$Do đó, muốn hàm số xác định trên $ (0,2) $ thì $ m-1$ không được nằm trong khoảng $ (0,2). $ Tức là $$ \left[\begin{array}{l} m-1 \leqslant 0\\ m-1 \geqslant 2 \end{array}\right. $$ Từ đó tìm được đáp số $ m\leqslant 1 $ hoặc $ m \geqslant 3. $

Ví dụ 5. Tìm $ m $ để hàm số $ f(x)= \sqrt{x-m+1}+\sqrt{2x-m} $ xác định với mọi $ x>0. $

Hướng dẫn. Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi $$ \begin{cases} x -m+1\geqslant 0\\ 2x-m \geqslant 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \geqslant m-1\\ x \geqslant \frac{m}{2} \end{cases}$$Do đó, muốn hàm số xác định với mọi $ x>0$ thì $$ \begin{cases} m-1 \leqslant 0\\ \frac{m}{2} \leqslant 0 \end{cases} $$ Từ đó tìm được đáp số $ m \leqslant 0. $

Ví dụ 6. Cho hàm số $$ f(x)=\begin{cases} 2x-1 &\text{ khi } -2\le x<0\\ -x &\text{ khi } 0\le x<1 \\ -2x+1 &\text{ khi } 1\le x<3 \end{cases} $$ Tìm tập xác định của hàm số và tính $ f(0),f(-1),f(1),f(2). $

Hướng dẫn. Tập xác định của hàm số là $ \mathbb{D}=[-2;3). $

3. Bài tập tìm tập xác định của hàm số Toán 10

Bài 1. Một sớm mai đầy sương thu và gió lạnh, ông Phương đi taxi đến nhà một người bạn chơi, quãng đường đi là 6 km, giá tiền được tính phụ thuộc vào độ dài đường đi như sau:
- Từ 1 km đến 10 km giá 10.000 đ/km.
- Bắt đầu từ km thứ 10 trở đi có giá 8.000 đ/km.
Hỏi ông phải trả bao nhiêu tiền taxi. Đến buổi chiều, ông và người bạn này đi câu cá ở cách đó 23 km nữa. Hỏi hai người phải trả số tiền là bao nhiêu?

Bài 2. Cho hàm số $$y=f(x)=\begin{cases} \frac{2x-3}{x-1} &\text{ với } x\leqslant 0\\ -x^2+3x &\text{ với } x>0. \end{cases}$$ Tìm tập xác định của hàm số và tính giá trị của hàm số đó tại $x=5,x=-2,x=0,x=2$.

Bài 3. Cho hàm số $$y=g(x)=\begin{cases} \sqrt{-3x+8} &\text{ với } x<2 \\ \sqrt{x+7} &\text{ với } x\geqslant 2. \end{cases}$$ Tìm tập xác định của hàm số và tính giá trị của hàm số đó tại $x=-3,x=2,x=1,x=9$.

Bài 4. Tìm tập xác định của hàm số sau:
1. $y=\frac{2x-3}{4x^2+5x-9}$
2. $y=\frac{2x+3}{x-3}+\sqrt{3x-7}$
3. $y=-x^3+3x-2$
4. $y=\frac{3+x}{x^2+2x-5}$
5. $y=\sqrt{4x+2}+\sqrt{-2x+1}$
6. $y=\frac{\sqrt{x+4}}{x^2+8x-20}$
7. $y=\frac{2x+3}{(2x-1)(x+3)}$
8. $y=\frac{x-2}{\sqrt{3x-6}}$
9. $y=\frac{1}{x^2-4}+\sqrt{x+2} $
Bài 5. Tìm tập xác định của hàm số:
1. $y=\sqrt{\frac{x+1}{x-2}}$
2. $y=\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}-1}$
3. $y=\sqrt{x-\sqrt{x+1}-1}$
4. $y=\frac{1}{{{x}^{2}}+x-\sqrt{{{x}^{2}}+x}-6}$
5. $ y=\frac{\sqrt{x+1}}{x}+\frac{x}{\sqrt{2-x}} $
6. $ y=\frac{1}{x-1}+\sqrt{-x^2+5x} $
Bài 6. Tìm $ a $ để hàm số $ y=\frac{1}{\sqrt{x+a-2}+\sqrt{a+1-x}} $ xác định trên đoạn $ [-1,1]. $

Bài 7. Tìm $a$ để hàm số
1. $y=\frac{2x+1}{{{x}^{2}}-6x+a-2}$ xác định trên $\mathbb{R}$.
2. $y=\frac{3x+1}{{{x}^{2}}-2ax+4}$xác định trên $\mathbb{R}$.
3. $y=\sqrt{x-a}+\sqrt{2x-a-1}$ xác định trên $(0;+\infty)$.
4. $y=\sqrt{2x-3a+4}+\frac{x-a}{x+a-1}$ xác định trên $(0;+\infty)$.
5. $y=\frac{x+2a}{x-a+1}$ xác định trên $(-1;0)$.
6. $y=\frac{1}{\sqrt{x-a}}+\sqrt{-x+2a+6}$ xác định trên $(-1;0)$.
7. $y=\sqrt{2x+a+1}+\frac{1}{x-a}$ xác định trên $(1;+\infty)$.
Đáp số.

1. $a > 11$. 2. $–2 < a < 2$. 3. $a \le 1$. 4. $1\le a\le \frac{4}{3}$. 5. $a \le 0$ hoặc $a \ge 1$. 6. $–3 \le a \le –1$. 7. $–1 \le a \le 1$

Bài 8. Tìm $ m $ để hàm số $ y=\sqrt{x-m}+\sqrt{2x-m-1} $ xác định với mọi $ x>0. $

Hướng dẫn. Hàm số xác định khi $ \begin{cases} x-m\geqslant 0 \\2x-m+1\geqslant 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x\geqslant m\\ x\geqslant \frac{m-1}{2} \end{cases} $

Do đó, hàm số xác định với mọi $ x>0 \Leftrightarrow \begin{cases} m\leqslant 0\\ \frac{m-1}{2}\leqslant 0 \end{cases} \Leftrightarrow m \leqslant 0 $.

Đáp số. $ m\leqslant 0 $

Bài 9. Tìm $ m $ để
1. Tập xác định của hàm số $y=\sqrt{x+2m-1}+\sqrt{4-x}$ là $\left[ 1;4 \right]$.
2. Hàm số $y=\sqrt{x-m}+\sqrt{x-3m+1}$ xác định trên $\left( 2;+\infty \right)$.
3. Hàm số $y=\sqrt{\frac{x-1}{2x-m}}$ xác định trên $\left( -\infty ;1 \right)$.
15/10/2020