Thầy cô tham khảo thêm Bài tập dạy thêm Toán 9 Cánh Diều file word hoặc Bài tập dạy thêm Toán 9 Chân Trời Sáng Tạo file Word
Tag: toán 9
-
Tổng hợp Tài liệu Toán 9 chương trình mới (Cánh Diều, KNTT, CTST)
Chúng tôi xin tổng hợp các Tài liệu Toán 9 chương trình mới (GDPT 2018) của cả ba bộ sách Cánh Diều, Kết Nối Tri Thức và Cuộc Sống (KNTT), Chân Trời Sáng Tạo (CTST) để thầy cô tiện tham khảo.
#1 Bài tập Toán 9 KNTT
Xem tại đây WORD Bài tập Toán 9 Kết Nối Tri Thức
#2 SBT Toán 9 Cánh Diều file word
#3 Bài tập dạy thêm Toán 9 Cánh Diều
Thầy cô xem và tải tại đây Bài tập dạy thêm Toán 9 Cánh Diều
#4 Bài tập dạy thêm Toán 9 Chân Trời Sáng Tạo file Word
Thầy cô xem và tải tại đây Bài tập dạy thêm Toán 9 Chân Trời Sáng Tạo file Word
#5 Bài tập dạy thêm Toán 9 Kết Nối Tri Thức file Word
Thầy cô xem và tải tại đây Bài tập dạy thêm Toán 9 KNTT file Word
#6 Tài liệu ôn tập Toán 9 Cánh Diều
-
Bài tập dạy thêm Toán 9 Chân Trời Sáng Tạo file Word
Đề bài Bài tập dạy thêm Toán 9 Chân Trời Sáng Tạo file Word
Đáp án Bài tập dạy thêm Toán 9 CTST file Word
-
Bài tập dạy thêm Toán 9 Cánh Diều file word
Đề bài Bài tập dạy thêm Toán 9 Cánh Diều
C1- Bài 3-Giải hệ hai PT bậc nhất 2 ẩn-Chủ đề 2-Giải toán bằng cách lập hệ PT-ĐỀ BÀIDownloadC3- Bài 3-Căn thức bậc hai và căn thức bậc ba của biểu thức đại số-ĐỀ BÀIDownloadC3- Bài 4-Một số phép biến đổi về căn bậc hai của biểu thức đại số-ĐỀ BÀIDownloadC6- Bài 4-Phép thử ngẫu nhiên và không gian mẫu. Xác suất của biến cố-ĐỀ BÀIDownloadĐáp án Bài tập dạy thêm Toán 9 Cánh Diều
C1- Bài 3-Giải hệ hai PT bậc nhất 2 ẩn-Chủ đề 2-Giải toán bằng cách lập hệ PT-LỜI GIẢIDownloadC3- Bài 3-Căn thức bậc hai và căn thức bậc ba của biểu thức đại số-LỜI GIẢIDownloadC3- Bài 4-Một số phép biến đổi về căn bậc hai của biểu thức đại số-LỜI GIẢIDownload -
WORD Bài tập Toán 9 Kết Nối Tri Thức
Xin gửi thầy cô tham khảo bộ Bài tập Toán 9 Kết Nối Tri Thức file word.
-
Lời giải Đề thi vào 10 môn Toán Hà Nội năm 2021
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi có 1 trang)KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2021-2022
Đề thi môn: TOÁN
Ngày thi: 18/7/2021
Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đềBài I (2,0 diếm)
Cho hai biếu thức $A=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}$ và $B=\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}$ với 𝑥 ≥ 0, 𝑥 ≠ 9.- Tính giá trị biểu thức A khi x = 16.
- Chứng minh $$A+B=\frac{3}{\sqrt{x+3}}$$
Bài II (2,5 diểm)
- Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoăc hệ phương trình:
Một tổ sản xuất phải làm xong 4800 bộ đồ bảo hộ y tế trong một số ngày quy định. Thực tế, mỗi ngày tổ đó đã làm được nhiều hơn 100 bộ đồ bảo hộ y tế so với số bộ đồ bảo hiểm y tế phải làm trong một ngày theo kế hoạch. Vì thế, 8 ngày trước khi hết thời hạn, tổ sản xuất đã làm xong 4800 bộ đồ bảo hộ y tế đó. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày tổ sản xuất phải làm bao nhiêu bộ đồ bảo hộ y tế? (Giả định rằng só bộ đồ bảo hộ y tế mà tổ đó làm xong trong mỗi ngày là bằng nhau.) - Một thùng nước có dạng hình trụ với chiều cao 1,6 m và bán kính đáy 0,5 m. Người ta sơn toàn bộ phía ngoài mặt xung quanh của thùng nước này (trừ hai mặt đáy). Tỉnh diện tích bề mặt được sơn của thùng nước (lấy 𝜋 ≈ 3,14 ).
Bài III (2,0 điểm)
- Giải hệ phương trình $$\begin{cases} \frac{3}{6x+1}-2y=-1\\ \frac{5}{2x+1}+3y=11\end{cases}$$
- Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho parabol (P): $y=x^2$ và đường thẳng (d): y=2x+m-2. Tìm tất cả giá trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x_1,x_2$ sao cho $|x_1-x_2|=2$.
Bài IV (3,0 diểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ đường tròn tâm C, bán kính CA. Từ điềm B kẻ tiếp tuyến BM với đường tròn (C; CA) ( M là tiếp điềm, M và A nằm khác phía đối với đường thằng BC).
- Chứng minh bốn điểm A, C, M, B cùng thuộc một đường tròn.
- Lấy điểm N thuộc đoạn thẳng AB (N khác A, N khác B). Lấy điểm P thuộc tia đối của tia MB sao cho MP = AN. Chứng minh tam giác CNP là tam giác cân và đường thằng AM đi qua trung điểm của đoạn thẳng NP.
Bài V (0,5 điểm)
Với các số thực a vàb thỏa mãn $ a^2+b^2 =2$, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$P=3(a+b)+ab.$$Lời giải Đề thi vào 10 môn Toán Hà Nội năm 2021
-
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HSG LỚP 9 TP TÂN AN
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HSG LỚP 9 TP TÂN AN
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HSG LỚP 9 TP TÂN AN
Bài 1.1.a) Với điều kiện bài toán, ta đặt$$\begin{cases}a=\sqrt{1-x}\\ b=\sqrt{1+x}\\ a^2+b^2=2 \end{cases}$$
Biểu thức $A(x)$ viết lại như sau \begin{align}A(x)&=\dfrac{\sqrt{1+ab}(b^3-a^3)}{2+ab}\\
&=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot\dfrac{\sqrt{2+2ab}(b-a)(a^2+b^2+ab)}{2+ab}\\
&= \dfrac{1}{\sqrt{2}}\cdot |a+b|(b-a)\\
&=\pm x \sqrt{2}\end{align}
b) $\sin\alpha= A\left( \dfrac{1}{2}\right)= \dfrac{\sqrt{2}}{2}$Từ đây ta có $x=45^\circ $Bài 1.2. Với $x=3$ không là nghiệm ta viết phương trình nghiệm nguyên lại như sau$$y=3+\dfrac{9}{x-3}.$$ Để $y$ nguyên thì \begin{align}
\left[\begin{array}{l}x-3=\pm 1 \\ x-3=\pm 3 \\ x-3=\pm 9 \end{array} \right.
\\
\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x=4,y=12\\x=2,y=-6\\ x=0,y=0 \\ x=6, y=6\\ x=12, y=4\\ x=-6, y=2 \end{array}\right.
\end{align}Bài 2.1. Điều kiện là $x\neq 0$ và $x-\dfrac{1}{x}\ge 0$. Với điều kiện đó, ta viết lại phương trình như sau $$x-\dfrac{1}{x}+2 \sqrt{x-\dfrac{1}{x }} =3,$$ hay $$ \sqrt{x-\dfrac{1}{x }}=1.$$Bình phương 2 vế ta có ngay $x=\dfrac{1\pm \sqrt{5}}{2}.$Bài 2.2. Hệ viết lại như sau $$\begin{cases}(x+y)^2=4+xy \\ x+y=2-xy\end{cases}$$ $\Leftrightarrow \begin{cases}(x+y)^2=6-(x+y) \\ x+y=2-xy
\end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases} \left[\begin{array}{l}x+y=2\\ x+y=-3\end{array} \right.\\ x+y=2-xy \end{cases}$$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \begin{cases}x+y=2 \\ xy=0\end{cases} \\ \begin{cases}x+y=-3 \\ xy=5\end{cases} \end{array}\right. $Vì $(x+y)^2\ge 4xy$ nên ta có các cặp nghiệm $(x,y)\sim (0,2)\sim (2,0)$\\Bài 3.1. Gọi $H$ là hình chiếu của $C$ lên $AB$, ta có $$DE=CM\cdot\sin{\angle ACB}\ge CH \cdot\sin{\angle ACB}=constant $$ Vây nên $DE$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $M$ trùng với $H$Bài 3.a.) Gọi $H$ là trực tâm. Ta phải chứng minh $EF$ là đường trung bình của $\Delta HQN $. Có $$\begin{cases}\angle NQC=\angle NBC=\angle EBC= \angle EFC\\
\angle AQC= \angle ABC=\angle AEB=\angle AHF
\end{cases}$$b) Do các các đường cao đồng qui tại tại $H$ nên, ta có $$\dfrac{DH}{DA}+\dfrac{EH}{EB}+\dfrac{FH}{FC}=1, $$ hay $$\dfrac{AM-MD}{DA}+\dfrac{BN-NE}{EB}+\dfrac{CQ=QF}{FC}=2, $$$$\dfrac{AM-AD}{DA}+\dfrac{BN-BE}{EB}+\dfrac{CQ-CF}{FC}=1, $$$$\dfrac{AM}{DA}+\dfrac{BN}{EB}+\dfrac{CQ}{FC}=4. $$Bài 4. Ta có $$\dfrac{S_1}{S}\cdot \dfrac{S_2}{S}\cdot\dfrac{S_3}{S}=\dfrac{AF\cdot FB\cdot BD\cdot DC\cdot CE\cdot EA}{AB^2\cdot BC^2\cdot CA^2}\le \dfrac{1}{4^4}.$$Theo nguyên lí dirichlet ta được điều phải chứng minh.Dùng bất đẳng thức $xy\le \dfrac{(x+y)^2}{4}.$Bài 5.a) Áp dụng AM-GM, ta có $$(x-3)+1\ge 2 \sqrt{x-3},$$ hay $$\dfrac{x+ 8 \sqrt{x-3}+38}{ \sqrt{x-3} +4}\ge 10.$$b) Đưa bài toán về thuần nhất $$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{1}{a+b+c},$$$$\dfrac{a+b}{ab}+\dfrac{a+b}{c(a+b+c)}=0,$$$$(a+b) \left[\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{c(a+b+c)}\right]=0,$$$$\dfrac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc(a+b+c)}.$$Lại có $a+b+c=2022.$ Nên có ít nhất 1 số bằng 2022. -
ĐỀ CƯƠNG GIỮA HỌC KÌ 2 TOÁN 9
ĐỀ CƯƠNG GIỮA HỌC KÌ 2 TOÁN 9
I. ĐỀ BÀI ĐỀ CƯƠNG GIỮA HỌC KÌ 2 TOÁN 9
Dạng 1. Giải hệ phương trình
- \(\left\{ \begin{align} & x-4y=3 \\ & 2x-y=4 \\ \end{align} \right.\).
- \(\left\{ \begin{align} & \frac{x+y}{2}=\frac{x-y}{4} \\ & \frac{x}{3}=\frac{y}{5}+1 \\ \end{align} \right.\)
- \(\left\{ \begin{align} & \left( x+1 \right)\left( y-1 \right)=xy-1 \\ & \left( x-3 \right)\left( y-3 \right)=xy-3 \\ \end{align} \right.\)
- \(\left\{ \begin{align} & \frac{1}{2x-1}+\frac{4}{y+5}=3 \\ & \frac{3}{2x-1}-\frac{2}{y+5}=-5 \\ \end{align} \right.\)
- \(\left\{ \begin{align} & \left| x+5 \right|-\frac{2}{\sqrt{y}-2}=4 \\ & \left| x+5 \right|+\frac{1}{\sqrt{y}-2}=3 \\ \end{align} \right.\)
- \(\left\{ \begin{align} & \frac{x-1}{2x+1}-\frac{y-2}{y+2}=1 \\ & \frac{3x-3}{2x+1}+\frac{2y-4}{y+2}=3 \\ \end{align} \right.\)
- \(\left\{ \begin{align} & 2\left( x+2 \right)-3\left( x-3y \right)=4 \\ & 3\left( x+2 \right)+\left( x-3y \right)=6 \\ \end{align} \right.\)
- \(\left\{ \begin{align} & 2\left( x+y \right)+\sqrt{x+2}=7 \\ & 5\left( x+y \right)-2\sqrt{x+2}=4 \\ \end{align} \right.\)
- \(\left\{ \begin{align} & 2\sqrt{x-1}+\sqrt{y+2}=4 \\ & 6\sqrt{x-1}-2\sqrt{y+2}=2 \\ \end{align} \right.\)
- \(\left\{ \begin{align} & \frac{8}{\sqrt{x}-3}+\frac{1}{\left| 2y-1 \right|}=5 \\ & \frac{4}{\sqrt{x}-3}+\frac{1}{\left| 1-2y \right|}=3 \\
\end{align} \right.\) - \(\left\{ \begin{align} & \frac{x}{\sqrt{2x+3}}-2\sqrt{y+1}=3 \\ & \frac{2x}{\sqrt{2x+3}}+\sqrt{y+1}=4 \\ \end{align} \right.\)
- \(\left\{ \begin{align} & \frac{2y-5x}{3}+5=\frac{y+27}{4}-2x \\ & \frac{x+1}{3}+y=\frac{6y-5x}{7} \\
\end{align} \right.\)
Dạng 2. Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước.
Bài 1. Cho hệ phương trình $$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {(m + 1)x + my = 2m – 1}\\ {mx – y = {m^2} – 2} \end{array}} \right.$$
- Giải hệ phương trình khi $m=1$.
- Chứng minh hệ PT có nghiệm duy nhất với mọi $m$.
- Với $\left( x;\text{ }y \right)$ là nghiệm duy nhất của hệ phương trình, tìm hệ thức liên hệ giữa $x$, $y$ không phụ thuộc vào $m$.
- Gọi $\left( x;\text{ }y \right)$ là nghiệm duy nhất của hệ phương trình. Hãy tìm $m$ để:
- $\sqrt{2 x+1}=y$
- $\left| x \right|=2\left| y \right|$
- Biểu thức $P=xy$ đạt giá trị lớn nhất.
- $x-y<0$
Bài 2. Cho hệ phương trình: $$\left\{ \begin{align} & mx+4y=m+2 \\ & x+my=m \\ \end{align} \right.$$
- Giải hệ phương trình với $m=-3$
- Với $\left( x;y \right)$là nghiệm duy nhất hệ phương trình, tìm hệ thức $x;y$ không phụ thuộc vào $m$.
- Gọi $\left( x,y \right)$ là nghiệm duy nhất của hệ phương trình. Hãy tìm $m$ để:
- ${{x}^{2}}+{{y}^{2}}=2$ iii) Biểu thức $P=x-2{{y}^{2}}$ đạt giá trị lớn nhất
- $\left| 1-x \right|+y=3$ iv) $x+y=\frac{2m}{m-4}$
Dạng 3. Giải toán bằng cách lập hệ phương trình.
Em nào chưa nắm vững dạng toán này có thể tham khảo thêm trong bài Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình.
Toán tìm số
Bài 1. Tìm hai số tự nhiên biết tổng của chúng bằng $19$và tổng các bình phương của chúng bằng $185$.
Bài 2. Tìm hai số tự nhiên, biết tổng của chúng là $2216$ và nếu lấy số lớn chia cho $9$thì được thương là số kia và dư là $56$.
Bài 3. Cho một số tự nhiên có hai chữ số. Tổng hai chữ số của chúng bằng $13$. Tích hai chữ số ấy nhỏ hơn số đã cho là $25$. Tìm số đã cho.
Bài 4. Tổng ba lần chữ số hàng đơn vị và hai lần chữ số hàng chục của một số có hai chữ số là $14$. Nếu đổi chỗ chữ số hàng chục và hàng đơn vị cho nhau thì được số mới nhỏ hơn số ban đầu là $18$ đơn vị. Tìm số có hai chữ số đó.
Toán làm chung, làm riêng
Bài 1. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì sau $1$ giờ $20$ giờ sẽ đầy bể. Nếu để vòi $1$hảy một mình trong $10$phút, khóa lại rồi mở tiếp vòi $2$chảy trong $12$phút thì cả hai vòi chảy được $\frac{2}{15}$bể. Tính thời gian mỗi vòi chảu một mình đầy bể ?
Bài 2. Để hoàn thành một công việc, hai tổ làm chung và dự kiến hoàn thành sau 6 giờ. Trên thực tế, sau 2 giờ hai tổ làm chung, tổ II bị điều đi làm việc khác, tổ I hoàn thành nốt công việc còn lại trong 10 giờ. Hỏi nếu mỗi tổ làm riêng thì sau bao lâu sẽ hoàn thành công việc?
Bài 3. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì sau 2 giờ 55 phút đầy bể. Nếu để chảy một mình thì vòi thứ nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai là 2 giờ. Tính thời gian mỗi vòi chảy một mình mà đầy bể?
Toán chuyển động
Bài 1. Một ô tô dự định đi từ A đến B trong một thời gian nhất định. Nếu xe chạy mỗi giờ nhanh hơn 10km thì đến nơi sơm hơn dự định 3 giờ; còn nếu xe chạy chậm lại mỗi giờ 10km thì đến nơi chậm mất 5 giờ. Tính vận tốc của xe lúc đầu, thời gian dự định và chiều dài quãng đường AB?
Bài 2. Một ca nô chạy trên sông trong 7 giờ, xuôi dòng 108km và ngược dòng 63km. Một lần khác cũng trong 7 giờ ca nô xuôi dòng 81km và ngược dòng 84km.Tính vận tốc nước chảy và vận tốc canô lúc nước yên lặng?
Bài 3. Một khách du lịch đi trên ô tô 4 giờ, sau đó đi tiếp bằng tàu hỏa trong 7 giờ được quãng đường đường dài 640km. Hỏi vận tốc của tàu hỏa và ô tô, biết rằng mỗi giờ tàu hỏa đi nhanh hơn ô tô 5km?
Bài 4. Hai người khách du lịch xuất phát đồng thời từ hai thành phố cách nhau \(38km\). Họ đi ngược chiều và gặp nhau sau \(4\) giờ. Hỏi vận tốc của mỗi người, biết rằng đến khi gặp nhau, người thứ nhất đi được nhiều hơn người thứ hai \(2km\).
Toán liên quan tới yếu tố hình học
Bài 1. Một hình chữ nhật. Nếu tăng chiều dài thêm \(2m\) và tăng chiều rộng \(3m\) thì diện tích tăng \(100{{m}^{2}}\). Nếu cùng giảm chiều dài và chiều rộng \(2m\) thì diện tích giảm \(68{{m}^{2}}\). Tính diện tích hình chữ nhật đó.
Bài 2. Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích là \(720{{m}^{2}}\), nếu tăng chiều dài thêm \(6m\) và giảm chiều rộng đi \(4m\) thì diện tích mảnh vườn không đổi. Tính các kích thước của mảnh vườn.
Bài 3. Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi \(90m\). Nếu giảm chiều rộng đi \(4m\) và giảm chiều dài \(20%\) thì chu vi mảnh đất giảm đi \(18m\). Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn ban đầu?
Bài 4. Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi \(28m\) và độ dài đường chéo bằng \(10m\). Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh đất.
Toán phần trăm
Câu 1. Hai xí nghiệp theo kế hoạch phải làm tổng cộng 360 dụng cụ. Trên thực tế, xí nghiệp 1 vượt mức 12%, xí nghiệp 2 vượt mức 10% do đó cả hai xí nghiệp làm tổng cộng 400 dụng cụ. Tính số dụng cụ của mỗi xí nghiệp phải làm.
Câu 2. Hai trường A, B có 210 học sinh thi đỗ vào lớp 10 đạt tỉ lệ trúng tuyển 84%. Biết số học sinh đỗ của trường A chiếm 80%, số học sinh đỗ của trường B chiếm 90%. Tính số học sinh dự thi của mỗi trường.
Câu 3. Trong tuẩn đầu hai tổ sản xuất được 1500 bộ quần áo. Sang tuần thứ 2, tổ 1 vượt mức 25%, tổ 2 giảm mức 18% nên trong tuần này cả hai tổ sản xuất được 1617 bộ quần áo. Hỏi trong tuần đầu mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu bộ quần áo?
Dạng 4. Hàm số $y=a{{x}^{2}}\left( a\ne 0 \right)$. Phương trình bậc hai một ẩn
Câu 1. Cho hàm số $y={{x}^{2}}$ có đồ thị là Parabol $\left( P \right)$và hàm số $y=x+2$ có đồ thị là đường thẳng $\left( d \right)$.
- Chứng minh $\left( d \right)$ cắt $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt.
- Hãy xác định tọa độ các giao điểm $A,B$ của $\left( P \right)$ và $\left( d \right)$.
- Tính diện tích của tam giác $OAB$ ($O$ là gốc tọa độ).
Bài 2: Cho hàm số $y=a{{x}^{2}}\left( a\ne 0 \right)$có đồ thị là Parabol (P)
- Xác định $a$biết Parabol (P) đi qua điểm $M\left( -1;1 \right)$
- Vẽ đồ thị hàm số $y=a{{x}^{2}}$với $a$vừa tìm được ở câu trên.
- Cho đường thẳng $\left( d \right):y=2x+3$. Tìm tọa độ giao điểm của $\left( d \right)$và $\left( P \right)$với hệ số $a$ tìm được.
- Tính diện tích tam giác $AOB$với $A,B$ là các giao điểm của $\left( d \right)$và $\left( P \right)$
Bài 3: Cho hàm số $y=-{{x}^{2}}$ có đồ thị là Parabol $\left( P \right)$và hàm số $y=x-2$có đồ thị là đường thẳng $\left( d \right)$. Gọi $A,B$là giao điểm của $\left( d \right)$và $\left( P \right)$. Tính diện tích tam giác $AOB$
Bài 4: Cho hàm số $y=a{{x}^{2}}\left( a\ne 0 \right)$ có đồ thị là Parabol (P)và đường thẳng $\left( d \right):y=-2x+3$
- Xác định hệ số $a$ biết rằng $\left( P \right)$đi qua điểm $\left( -2;4 \right)$
- Gọi $A,B$là hai giao điểm của $\left( P \right),\left( d \right)$, $H,K$ lần lượt là hình chiếu của $A,B$ trên trục hoành. Tính diện tích tứ giác $AHKB$.
Câu 5. Giải phương trình bậc hai
- (2{{x}^{2}}-3x-5=0\)
- \({{x}^{2}}-6x+8=0\)
- \(9{{x}^{2}}-12x+4=0\)
- \(-3{{x}^{2}}+4x-4=0\)
Câu 6. Cho phương trình \(\left( m+1 \right){{x}^{2}}-2mx+m-3=0\) (\(m\) là tham số)
- Giải phương trình với \(m=2\).
- Tìm điều kiện của \(m\) để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.
Câu 7. Cho phương trình \({{x}^{2}}-\left( 2m-1 \right)x+{{m}^{2}}-m-6=0\) (\(m\) là tham số)
- Giải phương trình với \(m=-5\).
- Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của \(m\).
Câu 8. Cho phương trình \(m{{x}^{2}}-2\left( m-1 \right)x+m-3=0\) (\(m\) là tham số). Tìm các giá trị của \(m\) để phương trình:
- Có hai nghiệm phân biệt
- Có nghiệm kép
- Vô nghiệm
- Có nghiệm.
Câu 9. Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho \(\left( P \right):\,y={{x}^{2}}\) và đường thẳng \(\left( d \right):\,y=mx+3\).
- Chứng tỏ \(\left( d \right)\) luôn cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt.
- Tìm tọa độ các giao điểm \(A\,,\,B\) của Parabol \(\left( P \right)\) và đường thẳng \(\left( d \right)\) khi \(m=2\). Tính diện tích \(\Delta AOB\).
Dạng 5: Góc với đường tròn
Mời các em xem lại kiến thức và bài tập mẫu tại đây:
Câu 1. Cho đường tròn \(\left( O;R \right)\) và điểm \(A\) cố định ngoài đường tròn. Qua \(A\) kẻ hai tiếp tuyến \(AM,AN\) tới đường tròn (\(M,N\) là hai tiếp điểm). Một đường thẳng \(d\) đi qua \(A\) cắt đường tròn \(\left( O;R \right)\) tại \(B\) và \(C\)\(\left( AB<AC \right)\). Gọi \(I\) là trung điểm \(BC\).
- Chứng minh năm điểm \(A,M,N,O,I\) thuộc một đường tròn.
- Chứng minh \(A{{M}^{2}}=AB.AC\).
- Đường thẳng qua \(B\)song song với \(AM\) cắt \(MN\) tại \(E\). Chứng minh \(IE\text{//}MC\).
- Chứng minh khi \(d\) thay đổi quay quanh điểm \(A\) thì trọng tâm \(G\) của tam giác \(MBC\) luôn nằm trên một đường tròn cố định.
Câu 2. Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) và điểm \(M\) thuộc cạnh \(AC\). Vẽ đường tròn tâm \(O\) đường kính \(MC\) cắt \(BC\) tại \(E\). Nối \(BM\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(N\), \(AN\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(D\). Lấy \(I\) đối xứng với \(M\) qua \(A\), \(K\) đối xứng với \(M\) qua \(E\).
- Chứng minh \(BANC\) là tứ giác nội tiếp.
- Chứng minh \(CA\) là tia phân giác của \(\widehat{BCD}\).
- Chứng minh \(ABED\) là hình thang.
- Tìm vị trí \(M\) để đường tròn ngoại tiếp tam giác \(BIK\) có bán kính nhỏ nhất.
Câu 3. Cho hai số thực $x,\,\,y$thỏa mãn điều kiện \(xy=1\) và $x>y$. Chứng minh rằng $A=\frac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{x-y}\ge 2\sqrt{2}$
Câu 4. Cho các số thực dương \(x,\,\,y,\,\,z\) thỏa mãn $xy+yz+zx=3$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+3}}+\frac{y}{\sqrt{{{y}^{2}}+3}}+\frac{z}{\sqrt{{{z}^{2}}+3}}$
II. LỜI GIẢI ĐỀ CƯƠNG GIỮA HỌC KÌ 2 TOÁN 9
Mời thầy cô và các em xem trong file sau: DC-GK2-TOAN 9
-
TOÁN 9: LIÊN HỆ GIỮA CUNG VÀ DÂY CUNG
TOÁN 9: LIÊN HỆ GIỮA CUNG VÀ DÂY CUNG
Cung và dây cung có mối liên hệ như thế nào? Đây là một kiến thức quan trọng trong chương trình lớp 9. Mời các em cùng tham khảo:
1. TÓM TẮT LÝ THUYẾT LIÊN HỆ GIỮA CUNG VÀ DÂY CUNG
- Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau:
- Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau.
- Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau.
- Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau:
- Cung lớn hơn căng dây lớn hơn.
- Dây lớn hơn căng cung lớn hơn.
- Đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung ấy.
- Đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì đi qua điểm chính giữa của cung căng dây ấy.
- Đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây căng cung ấy và ngược lại.
- Trong một đường tròn hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau.
Ví dụ 1. Cho tam giác nhọn \(ABC\) nội tiếp đường tròn \(\left( O;R \right),\text{ }\left( AB\text{ }<\text{ }BC \right)\). Vẽ dây $BD$ của \(\left( O \right)\) và \(BD\bot OA\). So sánh \(\overset\frown{AD}\) và \(\overset\frown{BC}\).
Lời giải
Ta có $BD\bot OA$ nên $OB=OD$.
Tam giác $ABD$ có $OA$ vừa là đường cao và là đường trung tuyến nên cân tại $A$.
Suy ra $AD=AB$.
Mà $AB<BC$ (gt). Suy ra $AD<BC\Rightarrow \overset\frown{AD}<\overset\frown{BC}$.Ví dụ 2. Cho \(\left( O;R \right)\) và \(~A,\text{ }B\) thuộc \(\left( O \right)\) sao cho sđ\(\overset\frown{AB}=120{}^\circ \), \(C\)là điểm thuộc \(AB\) sao cho \(AC=R\). Chứng minh rằng \(OC\bot AB\).
Lời giải
Tam giác $OAC$ có $OA=OB=AC=R$ nên là tam giác đều. Suy ra $\widehat{AOC}=60{}^\circ $. Mà sđ\(\overset\frown{AB}=120{}^\circ \Rightarrow \widehat{AOB}=120{}^\circ \).
Suy ra $\widehat{AOC}=\frac{1}{2}\widehat{AOB}\Rightarrow $$OC$ là phân giác $\widehat{AOB}$.
Tam giác $OAB$ cân tại $O$ có $OC$ là phân giác nên cũng là đường cao. Suy ra $OC\bot AB$.
2. BÀI TẬP CUNG VÀ DÂY CUNG TRONG ĐƯỜNG TRÒN
Bài 6. Cho \(\Delta ABC\)cân tại A nội tiếp \(\left( O;R \right)\), có \(\widehat{A}=80{}^\circ \). So sánh các cung:
\(\overset\frown{AB}\), \(\overset\frown{BC}\),\(\overset\frown{CA}\).
Lời giải
Vì $\Delta ABC$cân tại $A$ nên \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}=50{}^\circ \). Vì $\widehat{BAC}$ chắn \(\overset\frown{BC}\), $\widehat{ABC}$ chắn cung \(\overset\frown{CA}\) và $\widehat{ACB}$ chắn cung \(\overset\frown{AB}\) nên ta có \(\overset\frown{AB}\) = \(\overset\frown{CA}\) ; \(\overset\frown{BC}>\overset\frown{AB}\) ; \(\overset\frown{BC}\) > \(\overset\frown{CA}\).
Bài 7. Cho \(AB\) là dây cung của đường tròn \(\left( O;R \right)\text{ (AB}\ne \text{2R)}\). Vẽ \(OH\bot AB\)tại \(H\). Tia \(OH\) cắt đường tròn \((O)\) ở \(C\). Vẽ dây \(AD\) của (O) và $AD\,\text{//}\,BC$. Chứng minh rằng \(AC=\text{ }BC=\text{ }BD.\)
Lời giải
Nhận thấy $OC$ nằm trên đường kính của đường tròn $\left( O \right)$, mặt khác $OC$ lại đi qua trung điểm $H$của dây cung $AB$ và vuông góc với $AB$. Suy ra $OC$đi qua điểm chính giữa của cung $\overset\frown{AB}$,từ đó suy ra $\overset\frown{AC}=\overset\frown{BC}$. Vì hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau nên suy ra $AC=BC$ (1) .
Mặt khác trong một đường tròn hai cung bị chắn bởi hai dây song song thì bằng nhau nên từ $AD\,\text{//}\,BC$ suy ra $AC=BD$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(AC=\text{ }BC=\text{ }BD.\)Bài 8. Cho nửa đường tròn $\left( O\,;\,R \right)$. Các điểm $M,N$ thuộc đường kính $BC$ sao cho $BM=MN=NC$. Các điểm $D,E$ thuộc $\overset\frown{BC}$ sao cho $BD=DE=EC$. Gọi $A$ là giao điểm của $DM$và $EN$. Chứng minh $\Delta ABC$ đều.
Lời giải
Nối $DO$, ta dễ dàng chứng minh được $DOCE$ là hình thoi. Suy ra $DE=OC=R$.
Vì $MN=\frac{BC}{3}=\frac{2R}{3}$ nên ta có $\frac{MN}{DE}=\frac{2R}{3}:R=\frac{2}{3}$.
Mặt khác $MN//DE$ nên $\frac{MA}{DA}=\frac{MN}{DE}=\frac{2}{3}$.
Từ đó suy ra $\Delta MDB\backsim \Delta MCA$ (c.g.c) $\Rightarrow $$AC=2BD=2R$. (1)
Chứng minh tương tự ta cũng có $AB=2R$(2)
Từ (1) và (2) suy ra $\Delta ABC$có $AB=AC=BC$ nên $\Delta ABC$đều.Bài 9. Cho nửa đường tròn $\left( O\,;\,R \right)$, đường kính $AB=4cm$. Dây $CD\,\text{//}\,AB$ ($D$thuộc $\overset\frown{AC}$). Cho biết chu vi của hình thang $ABCD$ bằng $10cm$. Tính độ dài các cạnh của hình thang $ABCD$.
Lời giải
Vì $CD\,\text{//}\,AB$nên $\overset\frown{AD}=\overset\frown{CB}$$\Rightarrow $$AD=CB$. Gọi $AD=CB=x$$\left( x>0 \right)$ thì ta có $CD=10-2x-4=6-2x$.
Từ $D$ và $C$ dựng các đường thẳng vuông góc với $AB$ lần lượt tại $E$ và \(F\).
Suy ra $BF$= $\frac{AB-DC}{2}=\frac{2x-2}{2}$.
Áp dụng hệ thức liên hệ giữa cạnh huyền, cạnh góc vuông và hình chiếu vào tam giác $ACB$vuông tại $C$ ta có: $AB.BF=B{{C}^{2}}$ $\Leftrightarrow $$4.\frac{2x-2}{2}={{x}^{2}}$
$\Leftrightarrow $${{x}^{2}}-4x+4=0$$\Leftrightarrow $${{\left( x-2 \right)}^{2}}=0$$\Leftrightarrow $$x=2$.
Suy ra $CD=6-2.2=2cm$.
Vậy $AD=BC=CD=2cm$.Bài 10. Cho nửa đường tròn \(\left( O;R \right)\) \(\left( AB\ne 2R \right)\), \(I\)là trung điểm của dây \(AB\); tia \(OI\) cắt \(\left( O \right)\)ở \(C\).
a) So sánh \(\overset\frown{AC}\) và \(\overset\frown{BC}\)
b) Vẽ dây \(MN\)qua \(I\). So sánh \(\overset\frown{MN}\) và \(\overset\frown{AB}\)Lời giải
a) Có \(I\) là trung điểm của \(AB\) và \(AB\) là dây cung \((AB\ne 2R)\). Suy ra \( OI\bot AB\) tại \(I\) (đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì vuông góc với dây đó)
Mà: \(OA=OB\)
\(AI=IB\)(gt)
\(OI\bot AB\)(cmt)
\(\Rightarrow OC\)là đường trung trực của \(AB\)
\(\Rightarrow AC=BC\Rightarrow \overset\frown{AC}=\overset\frown{BC}\)
b) Kẻ \(OH\bot MN\)
\(\Rightarrow \Delta OHI\) vuông tại H nên \(OH<OI\) Mà \(OH,OI\) lần lượt là các khoảng cách từ \(O\) đến hai dây \(MN\) và \(AB\) \(\Rightarrow MN>AB\)\(\Rightarrow \overset\frown{MN}>\overset\frown{AB}\)Bài 11. Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), nội tiếp \(\left( O\,;\,R \right)\). Qua \(B\) vẽ dây cung \(BD\parallel AC\). Chứng minh rằng tứ giác \(ABCD\) là hình chữ nhật.
Lời giải
Xét đường tròn \((O)\) có
- \(BD\parallel AC\)(gt)
- \(AC\bot AB\)( vì \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\))
\(\Rightarrow BD\bot AB\Rightarrow \widehat{ABD}=90{}^\circ \)
Xét \(\Delta BCD\) có \(D\in (O)\)
Suy ra \(\Delta BCD\) vuông tại \(D\). Do đó, \(BD\bot DC\Rightarrow \widehat{BDC}=90{}^\circ \)
Xét tứ giác \(ABCD\) có:
\(\begin{align}
& \widehat{ABD}=90{}^\circ \\
& \widehat{BDC}=90{}^\circ \\
& \widehat{BAC}=90{}^\circ \\
\end{align}\)
\(\Rightarrow \)Tứ giác \(ABCD\) là hình chữ nhậtBài 12. Cho điểm \(A\) cố định nằm trong đường tròn $\left( O\,;\,R \right)$ $\left( A\ne O \right)$. \(BC\) là dây cung di động qua \(A\). Xác định vị trí của dây \(BC\) để cung \(BC\) nhỏ nhất.
Lời giải
Giả sử dây \(BC\)đi qua \(A\)và \(BC\bot OA\)tại \(A\)
Vẽ dây cung \(MN\) đi qua \(A\) \(\left( M,N\ne B,C \right)\)
Kẻ \(OH\bot MN\)
Xét \(\Delta OHA\) vuông tại \(H\)\(\Rightarrow OA>OH\)\(\Rightarrow d(O,BC)>d(O,MN)\Rightarrow BC<MN\)
Vậy dây \(BC\)nhỏ nhất khi đi qua \(A\)là dây vuông góc với \(OA\) - Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau: