Phương pháp xác định thiết diện sử dụng quan hệ vuông góc trong không gian

Xem thêm:

• Thiết diện là gì và các phương pháp tìm thiết diện
• Cách chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
• Cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
• Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong không gian

Bài toán xác định thiết diện, các phương pháp tìm thiết diện của một hình chóp khi cắt bởi một mặt phẳng đã được xét kĩ khi học về quan hệ song song trong không gian. Tuy nhiên, khi học sang chương quan hệ vuông góc trong không gian, học sinh tiếp tục gặp bài toán thiết diện cắt bởi một mặt phẳng mà mặt phẳng đó xác định bởi các kết quả sau đây.

• Trong không gian, có đúng một mặt phẳng đi qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng cho trước.

• Trong không gian, có đúng một mặt phẳng chứa một đường thẳng và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

Từ hai kết quả đó, chúng ta có hai bài toán cơ bản sau về thiết diện vuông góc.

1. Bài toán tìm thiết diện sử dụng quan hệ vuông góc

1.1. Thiết diện cắt bởi mặt phẳng đi qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng

Bài toán 1. Xác định thiết diện cắt bởi mặt phẳng \((P)\) mà \(P\) đi qua điểm \(M\) và vuông góc với đường thẳng \(d\).

Cách 1. Ta tìm hai đường thẳng \(a\) và \(b\) cắt nhau và cùng vuông góc với đường thẳng \(d\), trong đó có ít nhất một đường đi qua điểm \( M \). Khi đó mặt phẳng \((P)\) chính là mặt phẳng tạo bởi hai đường thẳng \( a \) và \( b \).

Cách 2. Ta tìm một mặt phẳng \((Q)\) nào đó vuông góc với đường thẳng \(d\) thì mặt phẳng \((P)\) chính là mặt phẳng đi qua \(M\) và song song với \( (Q) \).

1.2. Thiết diện cắt bởi mặt phẳng chứa một đường thẳng và vuông góc với một mặt phẳng

Bài toán 2. Xác định thiết diện tạo bởi mặt phẳng \((P)\) biết \(P\) chứa đường thẳng \( a \) và mặt phẳng \((P)\) vuông góc với mặt phẳng \((Q)\).
Từ một điểm \( M \) trên đường thẳng \( a \), ta dựng đường thẳng \( b \) vuông góc với mặt phẳng \((Q)\) thì mặt phẳng \((P)\) chính là mặt phẳng tạo bởi \( a \) và \( b \)

3. Các ví dụ xác định thiết diện vuông góc với một đường thẳng

Ví dụ 1. Cho tứ diện đều $ABCD$. Xác định thiết diện của tứ diện $ABCD$ và mặt phẳng trung trực của cạnh $BC$.

Hướng dẫn. Gọi \( M \) là trung điểm \( BC \) thì có \( BC \) vuông góc với \( AM \) và \( DM \) nên suy ra \( AMD \) chính là mặt phẳng \((P)\) trung trực của \( BC \). Thiết diện cần tìm là tam giác \( AMD \).

Ví dụ 2. Cho tứ diện đều $ABCD$. Trên cạnh $BC$ lấy điểm \( F \) sao cho \( BF<FC \). Gọi \( (P) \) là mặt phẳng đi qua \( F \) và vuông góc với cạnh \( BC \). Xác định thiết diện của tứ diện và mặt phẳng \((P)\).

Hướng dẫn. Trong mặt phẳng \( (ABC) \) kẻ \( FG \) vuông góc với \( BC \) (điểm \( G \) thuộc \( AB \) và \( GF \) song song với trung tuyến \( AI \)). Trong mặt phẳng \( (BCD) \) kẻ \( FE \) vuông góc với \( BC \) (điểm \( E \) thuộc \( BD \) và \( FE \) song song với \( DI \)).

Dễ dàng thấy ngay mặt phẳng \((P)\) chính là mặt phẳng \( FEG \) và thiết diện cần tìm chính là tam giác \( FEG \).

Ví dụ 3. Cho hình lập phương \( ABCD.A’B’C’D’ \) có cạnh bằng \( a \). Tính diện tích của thiết diện khi cắt hình lập phương này bởi mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng \( BD’ \).

Hướng dẫn. Gọi \( O \) là trung điểm \( BD’ \). Trong mặt phẳng \( (BDD’B’) \), kẻ đường thẳng đi qua \( O \) và vuông góc với \( BD \). Đường thẳng này cắt cạnh \( BD \) và \( B’D’ \) lần lượt tại \( E \) và \( F \). Chú ý rằng điểm \( E \) nằm trong đoạn \( BD \), xem hình vẽ sau để rõ hơn.

Trong mặt phẳng \((ABCD)\), qua \( E \) kẻ đường thẳng song song với \( AC \), đường thẳng này cắt \( AD \) và \( CD \) lần lượt tại \( M \) và \( N \). Vì \( AC \) vuông góc với mặt phẳng \( (BDD’B’) \) nên suy ra \( MN \) cũng vuông góc với mặt phẳng \( (BDD’B’) \). Do đó, đường thẳng \( MN \) vuông góc với đường thẳng \( BD \).

Như vậy có $$ \begin{cases} BD\perp EF\\ BD\perp MN \end{cases} $$ nên \( BD \) vuông góc với mặt phẳng chứa \( EF \) và \( MN \). Nói cách khác, mặt phẳng trung trực của \( BD \) chính là mặt phẳng chứa \( EF \) và \( MN \). Từ đó, dựng được thiết diện là lục giác đều màu vàng như trong hình vẽ. Cạnh của lục giác đều có độ dài bằng \( \frac{a\sqrt{2}}{2} \) nên từ đó tính được diện tích là \( \frac{3\sqrt{3}}{4} \).

Ví dụ 4. Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \( a \), tâm là điểm \( O \). Cạnh \( SA=a\sqrt{2} \) và vuông góc với đáy. Gọi \( H \) là hình chiếu vuông góc của \( A \) lên \( SB \). Xác định thiết diện và tính diện tích thiết diện tạo bởi hình chóp và

• Mặt phẳng \((P)\) đi qua \( H \) và vuông góc với \( SB \).
• Mặt phẳng \((Q)\) đi qua \( B \) và vuông góc với \( SC \).

Hướng dẫn.

Mặt phẳng \((P)\) vuông góc với \( SB \) nên mặt phẳng \((P)\) chứa \( AH \). Trong mặt phẳng \( (SBC) \) kẻ đường thẳng qua \( H \) và vuông góc với \( SB \), đường thẳng này cắt \( SC \) tại \( M \) thì \( HM \) song song với \( BC \).

Mặt khác có \( AD \) vuông góc với \( SB \) (do \( AD \) vuông góc với mặt phẳng \( (SAB) \)) nên suy ra mặt phẳng \((P)\) chính là mặt phẳng chứa \( AH,HM,AD \) và thiết diện cần tìm chính là hình thang \( AHMD \).

Dễ chứng minh được \( BD \) vuông góc với \( SC \) nên suy ra mặt phẳng \((Q)\) chứa \( BD \). Từ \( O \) kẻ \( OK \) vuông góc với \( SC \) tại \( K \). Thiết diện cần tìm chính là tam giác \( BDK \).

Ví dụ 5. Cho hình chóp \( S.ABCD \) có đáy \( ABCD \) là hình thang vuông tại \( A \), đáy lớn \( AD=8 \) cm, \( BC = 6 \) cm. Cạnh \( SA =6\) cm và vuông góc với mặt phẳng \( (ABCD) \). Gọi \( M \) là trung điểm của cạnh \( AB \). Giả sử \( (P) \) là mặt phẳng đi qua \( M \) và vuông góc với \( AB \). Tính diện tích thiết diện tạo bởi \( (P) \) và hình chóp \( S.ABCD \).

Hướng dẫn. Dễ thấy \( AB \) vuông góc với mặt phẳng \( (SAD) \) nên suy ra mặt phẳng \((P)\) và \( SAD \) song song với nhau. Từ đó suy ra cách dựng như sau. Từ \( M \) kẻ \( MN \) song song với \( SA \), \( N \) thuộc \( SB \). Từ \( N \) kẻ \( NE \) song song với \( BC \), \( E \) thuộc \( SC \). Từ \( M \) kẻ \( MF\) song song với \( AD \), \( F \) thuộc \( CD \).
Thiết diện cần tìm là hình thang vuông \( MNEF \).

Có \( MN=\frac{1}{2}SA=3 \) cm, \( NE=\frac{1}{2}BC=3 \) cm, \( MF=\frac{BC+AD}{2}=7 \) cm. Do đó, diện tích hình thang vuông \( MNEF \) là
$$ MN\cdot \frac{NE+MF}{2}=15 $$

Ví dụ 6. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ và cạnh $SA$ vuông góc với đáy $\left(ABCD\right).$ Gọi $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng qua $A$ vuông góc với $SC.$ Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng $\left( \alpha \right).$

Hướng dẫn. Giả sử $\left( \alpha \right)$ cắt $SC$ tại $H$. Khi đó $AH \subset \left( \alpha \right) \bot SC $ nên suy ra $AH$ vuông góc với $SC.$

• Vì $BD \bot \left( {SAC} \right)$ nên suy ra $BD $ vuông góc với $ SC.$
• Mà $\left( \alpha \right) $ vuông góc với $SC.$

Suy ra, mặt phẳng $ \left( \alpha \right)\parallel BD.$ Do đó, chúng ta có được giao tuyến của hai mặt phẳng $ \left( \alpha \right) $ và $\left( {SBD} \right)$ là đường thẳng $ d$ song song với $BD.$

Mặt khác gọi $O$ là tâm hình vuông và $E$ là giao điểm của $AH $ và $SO $ thì $E $ phải thuộc vào đường thẳng $d.$

Suy ra giao tuyến $d$ chính là đường thẳng đi qua $E$, song song với $BD$ và lần lượt cắt $SB,SD$ tại $M,N$. Vậy thiết diện cần tìm là tứ giác $AMHN.$

3. Các ví dụ xác định thiết diện vuông góc với một mặt phẳng

Ví dụ 7. Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \( a \), tâm là điểm \( O \). Cạnh \( SA=a\sqrt{2} \) và vuông góc với đáy. Xác định thiết diện và tính diện tích thiết diện tạo bởi hình chóp và  mặt phẳng \((P)\) chứa \( AB \) và vuông góc với \( (SCD) \).

Hướng dẫn. Ta cần dựng một đường thẳng cắt \( AB \) và vuông góc với \( (SCD) \). Chú ý rằng mặt phẳng \( (SCD) \) và \( (SAD) \) vuông góc và cắt nhau theo giao tuyến \( AD \). Nên để dựng một đường thẳng vuông góc với \( (SCD) \), cách dễ nhất là trong mặt phẳng \( (SAD) \) ta dựng một đường thẳng vuông góc với giao tuyến này.

Trong mặt phẳng \( (SAD) \), hạ \( AH \) vuông góc với \( SD \) tại \( H \) thì dễ chứng minh được \( AH \) vuông góc với \( (SCD) \). Do đó, mặt phẳng \((P)\) chính là mặt phẳng xác định bởi hai đường thẳng cắt nhau \( AB \) và \( AH \). Từ \( H \) dựng đường thẳng song song với \( CD \), cắt \( SC \) tại \( K \). Thiết diện cần tìm là hình thang \( ABKH \).

Ví dụ 8.  Cho hình chóp \( S.ABCD \) với \( ABCD \) là hình chữ nhật tâm \( O \) và \( AB = a \), \( AD = 2a \). Cạnh \( SA =a\) và vuông góc với đáy. Gọi \( (P) \) là mặt phẳng chứa \( SO \) và vuông góc với \( (SAD) \). Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng \((P)\) và hình chóp \( S.ABCD \).

Hướng dẫn. Nhận xét rằng \( AB \) vuông góc với \( (SAD) \) nên để dựng một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng \( (SAD) \) ta chỉ việc kẻ song song với \( AB\). Qua \( O \) kẻ đường thẳng song song với \( AB \), đường thẳng này cắt \( BC,AD \) lần lượt tại \( E,F \). Thiết diện cần tìm chính là tam giác \( SEF \).

Tam giác \( SEF \) vuông tại \( F \) nên dễ dàng tính được diện tích bằng \( \frac{a^2\sqrt{2}}{2} \).

Ví dụ 9. Cho lăng trụ đứng \( ABC.A’B’C’ \) có đáy \( ABC \) là tam giác vuông tại \( B \). Gọi \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm \( BC \) và \( BB’ \). Giả sử \( (P) \) là mặt phẳng chứa \( MN \) và vuông góc với mặt phẳng \( (BCC’B’) \). Xác định thiết diện của lăng trụ khi cắt bởi mặt phẳng \((P)\).

 

Hướng dẫn. Dễ thấy \( AB \) vuông góc với mặt phẳng \( (BCC’B’) \) nên suy ra \( AB \) song song với mặt phẳng \((P)\). Do đó, cách dựng thiết diện như sau:

• Qua \( M \) kẻ đường thẳng song song với \( AB \), đường thẳng này cắt \( AC \) tại trung điểm \( Q \).
• Qua \( N \) kẻ đường thẳng song song với \( AB \), đường thẳng này cắt \( AA’ \) tại trung điểm \( P \).

Thiết diện cần tìm là hình thang \( MNPQ \).