Toán 10 Hàm số bậc nhất y=ax+b

1. Hàm số bậc nhất là gì?

Hàm số bậc nhất   đối với biến số $x$ là hàm số có dạng $y = ax + b$ trong đó $a\ne  0$.

Tập xác định: $\mathcal{D}=\mathbb{R}$.

Xem thêm: Cách tìm tập xác định của hàm số

Sự biến thiên:

• Khi $a > 0$, hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.
• Khi $a < 0$, hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

Đồ thị hàm số bậc nhất là đường thẳng có hệ số góc bằng $a$, cắt trục tung tại điểm có toạ độ $(0; b)$, cắt trục hoành tại điểm có toạ độ $(-\frac{b}{a};0)$.

2. Vị trí tương đối của hai đồ thị hàm số bậc nhất

Cho hai đường thẳng $d: y = ax + b$ và $d’: y = a’x + b’$:

• $d$ song song $d’$ khi và chỉ khi $a = a’$ và $b\ne b’$.
• $d$ trùng $d’$ khi và chỉ khi $a = a’$ và $b=b’$.
• $d$ cắt $d’$ khi và chỉ khi $a \ne a’$.
• $d$ vuông góc $d’$ khi và chỉ khi $a\cdot a’=-1$.

3. Hàm số y = b

Trong trường hợp đặc biệt, khi $a=0$ thì hàm số bậc nhất trở thành hàm số hằng (hàm hằng) có đồ thị là một đường thẳng song song hoặc trùng với trục hoành, cắt trục tung tại điểm $(0;b)$ như hình dưới đây:

4. Hàm số $y=\left| ax+b \right|$

Sử dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối chúng ta viết lại hàm số $y=\left| ax+b \right|$ dưới dạng $$y=\begin{cases} ax+b& \text{khi } x\ge -\frac{b}{a} \\ -(ax+b)&\text{khi } x<-\frac{b}{a} \end{cases} $$

Để vẽ đồ thị của hàm số $y=\left| ax+b \right|$ ta có thể vẽ hai đường thẳng $y = ax + b$ và $y = –ax – b$, rồi xoá đi hai phần đường thẳng nằm ở phía dưới trục hoành.

Đồ thị hàm số $y=\left| ax+b \right|$ có dạng như hình vẽ sau:

5. Bài tập Toán 10 Hàm số bậc nhất $y=ax+b$

Bài 1. Vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) $y=2x-7$
b) $y=-3x+5$
c) $y=\frac{x-3}{2}$
d) $y=\frac{5-x}{3}$

Bài 2. Tìm toạ độ giao điểm của các cặp đường thẳng sau:

a) $y=3x-2;y=2x+3$
b) $y=-3x+2;y=4(x-3)$
c) $y=2x;y=-x-3$
d) $y=\frac{x-3}{2};y=\frac{5-x}{3}$

Bài 3. Trong mỗi trường hợp sau, tìm giá trị $k$ để đồ thị của hàm số $y=-2x+k(x+1)$:

1. Đi qua gốc tọa độ $O$
2. Đi qua điểm $M(–2 ; 3)$
3. Song song với đường thẳng $y=\sqrt{2} x$

Bài 4. Xác định $a$ và $b$ để đồ thị của hàm số $y=ax+b$:

1. Đi qua hai điểm $A(–1; –20), B(3; 8)$.
2. Đi qua điểm $M(4; –3)$ và song song với đường thẳng $d: y=-\frac{2}{3}x+1$.
3. Cắt đường thẳng $d_1: y=2x+5$ tại điểm có hoành độ bằng $–2$ và cắt đường thẳng $d_2:y=3x+4$ tại điểm có tung độ bằng $–2$.
4. Song song với đường thẳng $y=\frac{1}{2}x$ đồng thời đi qua giao điểm của hai đường thẳng $y=-\frac{1}{2}x+1$ và $y=3x+5$.

Bài 5. Trong mỗi trường hợp sau, tìm các giá trị của $m$ sao cho ba đường thẳng sau phân biệt và đồng qui:

1. $y=2x;y=-x-3;y=mx+5$
2. $y=5(x+1);y=mx+3;y=3x+m$
3. $y=2x-1;y=8-x;y=(3-2m)x+2$
4. $y=(5-3m)x+m-2;y=-x+11;y=x+3$
5. $y=-x+5;y=2x-7;y=(m-2)x+{{m}^{2}}+4$

Bài 6. Tìm điểm sao cho đường thẳng sau luôn đi qua dù $m$ lấy bất cứ giá trị nào:

1. $y=2mx+1-m$
2. $y=mx-3-x$
3. $y=(2m+5)x+m+3$
4. $y=m(x+2)$
5. $y=(2m-3)x+2$
6. $y=(m-1)x-2m$

Bài 7. Với giá trị nào của $m$ thì hàm số sau đồng biến? nghịch biến?

1. $y=(2m+3)x-m+1$
2. $y=(2m+5)x+m+3$
3. $y=mx-3-x$
4. $y=m(x+2)$

Bài 8. Tìm các cặp đường thẳng song song trong các đường thẳng cho sau đây:

1. $3y-6x+1=0$
2. $y=-0,5x-4$
3. $y=3+\frac{x}{2}$
4. $2y+x=6$
5.  $2x-y=1$
6. $y=0,5x+1$

Bài 9. Với giá trị nào của $m$ thì đồ thị của các cặp hàm số sau song song với nhau:

1. $y=(3m-1)x+m+3;y=2x-1$
2. $y=\frac{m}{1-m}x+\frac{2(m+2)}{m-1};y=\frac{3m}{3m+1}x-\frac{5m+4}{3m+1}$
3. $y=m(x+2);y=(2m+3)x-m+1$

Bài 10. Vẽ đồ thị của các hàm số sau:

1. $y= \begin{cases}  -x&\text{khi }x\le -1 \\  1&\text{khi }-1<x<2 \\ x-1&\text{khi }x\ge 2 \\
   \end{cases} $
2. $y= \begin{cases} -2x-2&\text{khi }x<-1 \\ 0&\text{khi }-1\le x\le 2 \\ x-2&\text{khi }x\ge 2 \\ \end{cases} $
3. $y=\left| 3x+5 \right|$
4. $y=-2\left| x-1 \right|$
5. $y=-\frac{1}{2}\left| 2x+3 \right|+\frac{5}{2}$
6.  $y=\left| x-2 \right|+\left| 1-x \right|$
7. $y=\left| x \right|-\left| x-1 \right|$
8. $y=x+\left| x-1 \right|+\left| x+1 \right|$