SKKN Bồi dưỡng năng lực tự học, năng lực tư duy sáng tạo cho học sinh THPT qua dạy bài toán Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng; Góc giữa hai mặt phẳng
Các thầy cô cần file liên hệ với chúng tôi tại fanpage facebook O2 Education
Hoặc xem nhiều SKKN hơn tại: Tổng hợp SKKN luận văn luận án O2 Education
ĐIỀU KIỆN HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN
Mỗi môn học ở trường phổ thông với đặc trưng của mình đều góp phần thực hiện
mục tiêu giáo dục trong đó có môn Toán. Môn Toán ở trường phổ thông không chỉ
trang bị cho học sinh những kiến thức cơ bản của bộ môn mà còn bồi dưỡng tư
tưởng, tình cảm đúng đắn đồng thời giúp các em phát triển toàn diện. Song để thực
hiện chức năng đó cần thiết phải đổi mới phương pháp dạy học theo tinh thần: phát
huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của học sinh, bồi dưỡng cho
học sinh năng lực tự học, lòng say mê học tập và ý chí vươn lên.
Quán triệt sâu sắc quan điểm chỉ đạo của Bộ Giáo dục và Đào tạo, Sở Giáo dục –
Đào tạo Nam Định về đổi mới phương pháp dạy học, giáo viên trường THPT Giao
Thủy đã từng bước tích cực áp dụng các phương pháp, hình thức dạy học theo
hướng phát triển phẩm chất, năng lực của học sinh.
Năm học 2021 – 2022 là năm học thứ sáu Bộ Giáo dục tổ chức thi THPT Quốc
Gia môn toán dưới hình thức trắc nghiệm nên một số nội dung giảng dạy theo
phương pháp truyền thống không còn phù hợp, cần có hướng khai thác mới phát
huy tư duy học sinh để đạt hiệu quả cao nhất.
Chuyên đề “Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng; Góc giữa hai mặt phẳng” là
một nội dung quan trọng của hình học lớp 11. Nếu hệ thống bài tập được khai thác
và sử dụng hợp lý thì sẽ rèn luyện cho học sinh khả năng phát triển tư duy biểu
hiện ở các mặt như: khả năng tìm hướng đi mới (khả năng tìm nhiều lời giải khác
nhau cho một bài toán), khả năng tìm ra kết quả mới (khai thác các kết quả của một
bài toán, xem xét các khía cạnh khác nhau của một bài toán), khả năng sáng tạo ra
bài toán mới trên cơ sở những bài toán quen thuộc.
Xuất phát từ lí do trên, qua kinh nghiệm giảng dạy của bản thân và dự giờ học
tập đồng nghiệp, tôi viết sáng kiến kinh nghiệm
BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC, NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO
CHO HỌC SINH THPT QUA DẠY BÀI TOÁN
GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG;
GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG
2
II. MÔ TẢ GIẢI PHÁP
- Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến
Trong các kì thi, đặc biệt kì thi THPTQG và học sinh giỏi thì bài toán về Góc
giữa đường thẳng và mặt phẳng; Góc giữa hai mặt phẳng làm cho nhiều học sinh
lúng túng vì nghĩ rằng nó trừu tượng và thiếu tính thực tế. Có thể nói bài toán về
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng; Góc giữa hai mặt phẳng có sự phân loại đối
tượng học sinh rất cao. - Mô tả giải pháp sau khi có sáng kiến
Trong quá trình học tập, tôi khuyến khích HS sử dụng bất cứ nội lực nào, bất cứ
phương pháp nào, bất cứ kiến thức nào có thể, miễn sao phát hiện và giải quyết
được vấn đề. SKKN hướng đến việc phát triển phẩm chất, năng lực học sinh, rèn
luyện tính linh hoạt của tư duy, thể hiện ở khả năng chuyển hướng quá trình tư
duy. Trước hết cần rèn luyện cho HS khả năng đảo ngược quá trình tư duy, lấy
đích của một quá trình đã biết làm điểm xuất phát cho một quá trình mới, còn điểm
xuất phát của quá trình đã biết lại trở thành đích của quá trình mới. Việc chuyển
hướng quá trình tư duy không chỉ là đảo ngược quá trình này mà còn có thể là
chuyển từ hướng này sang hướng khác không nhất thiết là ngược với hướng ban
đầu. Rèn luyện cho học sinh tính độc lập: Tính độc lập của tư duy thể hiện ở khả
năng tự mình phát hiện vấn đề, tự xác định phương hướng và tìm ra cách giải
quyết, tự kiểm tra và hoàn thiện kết quả đạt được. Tính độc lập liên hệ mật thiết
với tính phê phán của tư duy nó thể hiện ở khả năng đánh giá nghiêm túc ý nghĩ và
tư tưởng của người khác và bản thân mình, có tinh thần hoài nghi khoa học, biết
đặt những câu hỏi “tại sao?”, “như thế nào?” đúng chỗ, đúng lúc. Như vậy qua việc
nghiên cứu sâu bài toán có thể giúp HS sáng tạo ra được bài toán mới thể hiện tính
sáng tạo của tư duy.
Sau đây tôi trình bày những nội dung cụ thể của giải pháp trong sáng kiến.
BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC TỰ HỌC, NĂNG LỰC TƯ DUY SÁNG TẠO
CHO HỌC SINH THPT QUA DẠY BÀI TOÁN
GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG;
GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG
3
Những điểm mới mà sáng kiến của tôi đề cập đến bao gồm:
- Phần 1 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: đưa ra thêm một số phương pháp
để tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng (Trang 4)
Bài tập minh họa với nhiều lời giải theo hướng tiếp cận các phương pháp nói
trên (Trang 8) - Phần 2 Góc giữa hai mặt phẳng: đưa ra thêm một số phương pháp để tính góc
giữa hai mặt phẳng (Trang 39)
Bài tập minh họa với nhiều lời giải theo hướng tiếp cận các phương pháp nói
trên (Trang 43) - Phần 3 Một số biện pháp bồi dưỡng năng lực tự học, năng lực tư duy sáng tạo:
tìm ra nhiều cách giải khác nhau; đề xuất bài toán mới từ bài toán đã cho; phát
hiện những sai lầm trong lời giải, nguyên nhân và cách khắc phục những sai
lầm đó (Trang 60) - Phần 4 Tứ diện vuông: khai thác – ứng dụng các tính chất cơ bản về Góc giữa
đường thẳng và mặt phẳng; Góc giữa hai mặt phẳng để phát triển thêm một số
bài toán (Trang 68)
4
PHẦN 1. GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
I. Phương pháp
- Phương pháp 1. Dựng góc
SGK định nghĩa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng như sau:
- Nếu đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng thì góc giữa đường thẳng d và
mặt phẳng bằng . - Nếu đường thẳng d không vuông góc với mặt phẳng thì góc giữa đường
thẳng d và hình chiếu d’ của nó trên mặt phẳng gọi là góc giữa đường thẳng
d và mặt phẳng .
Chú ý: Gọi
là góc giữa đường thẳng
d
và mặt phẳng
(P)
0 90
( )
( )
0
=
d P
d P
- Để tìm hình chiếu d’ của d trên ta có thể
làm như sau:
Tìm giao điểm
M d P = ( )
Lấy một điểm tùy ý trên d khác và
xác định hình chiếu của trên . Khi
đó d’ là đường thẳng đi qua hai điểm và
.
Ta có
= AMH cos =
MH
MA
sin , = 0 90 AH
AM
Tuy nhiên việc xác định hình chiếu của một đường thẳng lên mặt phẳng không phải
lúc nào cũng thuận lợi. Chính vì vậy, việc đưa ra thêm một số phương pháp để tính
góc giữa đường thẳng và mặt phẳng nhằm khắc phục khó khăn đó.
(P)
(P) 90
(P)
(P)
(P)
(P)
A M
H A (P)
H
M
P
A
M H
5
- Phương pháp 2. Sử dụng quan hệ song song
a. Hướng 1: Chọn một đường thẳng
d
. Khi đó góc giữa đường thẳng
d
và mặt
phẳng
(P)
bằng góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng
(P).
b. Hướng 2: Chọn một mặt phẳng
(Q P ) ( )
. Khi đó góc giữa đường thẳng
d
và mặt
phẳng
(P)
bằng góc giữa đường thẳng
d
và mặt phẳng
(Q).
c. Hướng 3: Chọn một đường thẳng
d
. Chọn một mặt phẳng
(Q P ) ( )
. Khi đó góc
giữa đường thẳng
d
và mặt phẳng
(P)
bằng góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng
(Q).
Chú ý: Với phương pháp trên, học sinh sẽ thay thế một trong hai đối tượng đường thẳng
và mặt phẳng nhằm mục đích xác định hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng thuận
lợi. - Phương pháp 3. Sử dụng khoảng cách
Nhận thấy ở Phương pháp 1 việc xác định hình chiếu của một điểm lên mặt phẳng
không phải lúc nào cũng thuận lợi. Chính vì vậy, việc sử dụng khoảng cách để tính
góc giữa đường thẳng và mặt phẳng nhằm khắc phục khó khăn đó.
Cho đường thẳng
d
cắt mặt phẳng
(P)
tại M.
Gọi
là góc giữa đường thẳng
d
và mặt phẳng
(P)
Khi đó
( ,( ))
sin , = 0 9 0
d A P
AM
( ( ))
2 2
,
cos
−
MA d A P
MA
Chú ý: Với phương pháp trên, học sinh không cần xác định góc mà có thể tính ngay
được góc giữa đường thẳng và mặt phẳng thông qua khoảng cách, và cách tính khoảng
cách có thể đơn giản hơn nhiều so với cách xác định góc và tính góc.
- Phương pháp 4. Sử dụng dãy tỉ số bằng nhau của khoảng cách (KHÔNG CẦN
TÌM GIAO ĐIỂM của đường thẳng và mặt phẳng)
Nhận thấy ở Phương pháp 3 việc xác định giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng
không phải lúc nào cũng thuận lợi. Khắc phục khó khăn đó bằng cách lấy hai điểm
phân biệt thuộc đường thẳng và xem vị trí tương đối của hai điểm đó với mặt phẳng
P
A
M H
6
Cho đường thẳng d đi qua hai điểm A, M.
a. Hai điểm A, M nằm về 2 phía của mặt phẳng
(P)
( , , , , ( )) ( ( )) ( ( )) ( ( ))
sin
d M P d A P d M P d A P
MO AO MA
+
= = =
b. Hai điểm A, M nằm về cùng một phía của mặt phẳng
(P)
( , , ( )) ( ( )) ( , , ( )) ( ( ))
sin
−
= = =
d M P d A P d M P d A P
MO AO MA
Chú ý: Cách tiếp cận này thích hợp cho học sinh nắm chắc việc tính khoảng cách từ một
điểm đến một mặt phẳng. - Phương pháp 5. Sử dụng góc phụ
Cho đường thẳng
vuông góc với
mặt phẳng
(P)
Gọi
là góc giữa đường thẳng
d
và
mặt phẳng
(P)
Gọi
là góc giữa đường thẳng
d
và
đường thẳng
+ = 90
Ta có
sin cos , = 0 90
2
cos sin 1 cos = = −
Chú ý: Thông qua phương pháp này, ta cũng có thể áp dụng tính góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng thông qua tính góc giữa hai đường thẳng.
d
P
M
O
K
A
H
d
P
A
O H
M
K
P
A
M H
7
- Phương pháp 6. Sử dụng góc phụ
Gọi
là góc giữa hai mặt phẳng
(P)
và
(Q)
Cho đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng
(P)
Gọi
là góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng
(Q)
+ = 90
Ta có
2
cos sin 1 cos = = − sin cos , = 0 90
Chú ý: Thông qua phương pháp này, ta cũng có thể áp dụng tính góc giữa đường thẳng
và mặt phẳng thông qua tính góc giữa hai mặt phẳng.
- Phương pháp 7. Sử dụng phương pháp tọa độ không gian
Đường thẳng
d
có một vectơ chỉ phương
u
Mặt phẳng
(P)
có một vectơ pháp tuyến
n
Gọi
là góc giữa đường thẳng
d
và mặt phẳng
(P)
Ta có
.
sin ,
.
= 0 90
u n
u n
a
8
Sau đây tôi đưa ra một số bài tập minh họa với nhiều lời giải theo hướng tiếp cận
các phương pháp nói trên
II. Bài tập minh họa
Bài 1: Cho hình lập phương
ABCD A B C D .
có cạnh bằng
a
. Tính góc giữa đường thẳng
AD
và mặt phẳng
( A BD ).
Lời giải
Lời giải 1: Phương pháp 1
Tìm hình chiếu của
A
trên mặt phẳng
( A BD ).
Tìm giao điểm của
AD
và mặt phẳng
( A BD ).
Cụ thể: Ta có
AI A BD ⊥( )
tại
I
Giao điểm của
AD
và mặt phẳng
( A BD )
chính là giao điểm của
AD
và
AD
Lời giải 2: Phương pháp 2
Ta có
AD BC
nên góc giữa đường thẳng
AD
và mặt phẳng
( A BD )
bằng góc giữa
đường thẳng
BC
và mặt phẳng
( A BD ).
Gọi
là góc giữa đường thẳng
BC
và mặt phẳng
( A BD ).
Hướng 1: Hình chiếu của
BC
trên mặt phẳng
( A BD )
là
BI C BI =
3 3
cos arccos
3 3
= = =
BI
BC
Hướng 2: Ta có
( , 2 , ( )) ( ( ))
sin
= =
d C A BD d A A BD
C B C B
Mà
( ( ))
( ( )) 2 2 2 2 2
1 1 1 1 3 3
,
, 3
= + + = =
a
d A A BD
d A A BD AA AB AD a
, C B a
= 2
9
6 6 sin arcsin
3 3
= =
Lời giải 3: Phương pháp 3
Tìm giao điểm của
AD
và mặt phẳng
( A BD ).
Tính
d A A BD ( ,( ))
Lời giải 4: Phương pháp 4 (KHÔNG CẦN tìm giao điểm của
AD
và mặt phẳng
( A BD )
)
Gọi
là góc giữa đường thẳng
AD
và mặt phẳng
( A BD ).
Ta có
A D,
nằm hai phía mặt phẳng
( A BD )
( , , 2 , ( )) ( ( )) ( ( ))
sin
+
= =
d A A BD d D A BD d A A BD
AD AD
Mà
d D A BD d A A BD (
, , ( )) = ( ( )),
( ( ))
( ( )) 2 2 2 2 2
1 1 1 1 3 3
,
, 3
= + + = =
a
d A A BD
d A A BD AA AB AD a
, A D a
= 2
2 , ( ( )) 6 6 sin arcsin
3 3
= = =
d A A BD
AD
Lời giải 5: Phương pháp 5
Gọi
là góc giữa đường thẳng
AD
và mặt phẳng
( A BD ).
Ta có
AC A BD ⊥( ). Gọi
là góc giữa hai đường thẳng
AD
và
AC.
2 2 2
sin cos cos
2 .
+ −
= = =
AC AD C D
C AD
AC AD
Lời giải 6: Phương pháp 6
Ta có
AD A B CD ⊥( )
Gọi
là góc giữa đường thẳng
AD
và mặt phẳng
( A BD ).
Gọi
là góc giữa hai mặt phẳng
( A BD )
và
( A B CD )
= sin cos
Lời giải 7: Phương pháp 7
10
Chọn hệ trục tọa độ
Bài 2: Cho hình chóp
S ABCD .
có đáy
ABCD
là hình vuông cạnh
a
, cạnh bên
SA
vuông
góc với đáy và
SA a =
. Gọi
M N,
lần lượt là trung điểm của các cạnh
BC
và
SD ,
là
góc giữa đường thẳng
MN
và mặt phẳng
(SAC). Tính
tan .
Lời giải
Lời giải 1: Phương pháp 2
+) Gọi
I
là giao điểm của
DM
và
AB
. Ta có
1
,
2
BM AD BM AD BM // =
là đường trung
bình của tam giác
AID
nên
M
là trung điểm của
ID
. Suy ra
MN SI // .
+) Ta có tứ giác
BDCI
là hình bình hành nên
BD IC //
, mà
BD SAC ⊥ ( )
nên
IC SAC ⊥ ( ).
Suy ra hình chiếu của điểm
I
lên mặt phẳng
(SAC)
là điểm
C .
+) Góc giữa đường thẳng
MN
và mặt phẳng
(SAC)
bằng góc giữa đường thẳng
SI
và
mặt phẳng
(SAC)
cũng bằng góc giữa
SI
và
SC
hay góc
ISC = .
+) Ta có
SC a IC BD a = = = 3, 2 2 6
tan
3 3
IC a
SC a
= = = .
Lời giải 2: Phương pháp 7
11
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, gốc tọa độ
O
trùng với
A
. Không mất tính tổng quát,
giả sử
a =1
Khi đó
B(1;0;0), D(0;1;0), C(1;1;0), S (0;0;1)
1 1 1 1; ;0 , 0; ;
2 2 2
M N
.
Mặt phẳng
(SAC)
có vectơ pháp tuyến là
n BD = = −( 1;1;0) .
Đường thẳng
MN
có vectơ chỉ phương là
1
1;0;
2
u MN
= = −
.
Mà
là góc giữa đường thẳng
MN
và mặt phẳng
(SAC)
nên
. 1 2 sin
. 5 5 2.
2
n u
n u
= = = .
Do đó
2 3
cos 1 sin
5
= − =
sin 2 6
tan
cos 3 3
= = = .
Bài 3: Cho hình chóp
S ABCD .
có
SA
vuông góc với mặt phẳng đáy,
ABCD
là hình chữ
nhật có
AD a AC a = = 3 , 5
, góc giữa hai mặt phẳng
(SCD)
và
( ABCD)
bằng
45 . Tính
cosin của góc giữa đường thẳng
SD
và mặt phẳng
(SBC).
Lời giải
Lời giải 1: Phương pháp 1
12
Gọi
H
là hình chiếu của
A
lên
SB.
Ta có
( )
BC AB BC SAB BC AH
BC SA
⊥
⊥ ⊥
⊥
.
( )
BC AH AH SBC
SB AH
⊥
⊥
⊥
.
Dựng hình chữ nhật
AHED AH // DE ⊥ DE SBC ( ).
Do đó,
(SD SBC SD SE DSE , , ( )) = = ( ) .
Hai mặt phẳng
(SCD)
và
( ABCD)
cắt nhau theo giao tuyến
CD , AD ABCD ( )
và
AD CD ⊥ , SD SCD ( )
và
SD CD ⊥
nên
(( ) ( )) SCD ABCD SDA , 45 = = .
Tam giác
SAD
vuông tại
A
, có
AD a = 3
nên
3
3 2
cos cos45
AD a SD a
SDA
= = =
;
SA AD a = = .tan45 3 .
Đáy
ABCD
là hình chữ nhật nên
( ) ( )
2 2 2 2 AB DC AC AD a a a = = − = − = 5 3 4 .
Tam giác
SAB
vuông tại
A
có đường cao
AH
nên
( ) ( )
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 25
AH SA AB a 3 4 a a 144
= + = + = 12
5
a
= AH .
AHDE
là hình chữ nhật nên
12
5
a
AH DE = = .
13
Tam giác
SDE
vuông tại
E
nên
12
5 2 2 sin
3 2 5
a
DE DSE
SD a
= = =
Suy ra:
2 17 cos 1 sin
5
DSE DSE = − = .
Lời giải 2: Phương pháp 3
Ta có thể không cần xác định chính xác hình chiếu của
D
lên mặt phẳng
(SBC)
mà vẫn
tính được góc giữa đường thẳng
SD
và mặt phẳng
(SBC)
như sau:
Gọi
là góc giữa
SD
và mặt phẳng
(SBC).
Ta có
( ,( )) 2 2 sin
5
d D SBC AH
SD SD
= = = .
Suy ra:
2 17 cos 1 sin
5
= − = .
Lời giải 3: Phương pháp 2
14
Tam giác
SAD
vuông tại
A
, có
AD a = 3
nên
3
3 2
cos cos45
AD a SD a
SDA
= = =
;
SA AD a = = .tan45 3 .
Dựng hình chữ nhật
SABP
, khi đó
SP AB CD SB = = , // AB// CD
nên
SDCP
là hình bình
hành, mà
CD SD ⊥
nên
SDCP
là hình chữ nhật. Suy ra
SD CP SD CP a // , 3 2 = = .
Từ
P
kẻ
PH SB ⊥
tại
H
, tam giác
SPB
vuông tại
P
, đường cao
PH
nên
( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1
PH SP PB AB SA 4 3 a a
= + = + = + 12
5
a
= PH
Ta có
( ( )) ( ( )) SD SBC CP SBC PCH , ,
= = .
12
5 2 2 sin
3 2 5
a
PH PCH
PC a
= = = .
Suy ra:
2 17 cos 1 sin
5
PCH PCH = − = .
15
Bài 4: Câu 24.3 Đề khảo sát chất lượng học kỳ 2 năm học 2019-2020 của trường THPT
Giao Thủy
Đáp án của trường Câu 24.3 làm theo Phương pháp 3
M
I
N O
C
B
D
A
S
H
P
E
16
Lời giải 1: Phương pháp 3
Lời giải học sinh lớp tôi dạy
Xem bản đầy đủ trên google drive: TẠI ĐÂY
Các thầy cô cần file liên hệ với chúng tôi tại fanpage facebook O2 Education
Hoặc xem nhiều SKKN hơn tại: