Bài tập phương trình lượng giác cơ bản
Sau khi nắm vững lý thuyết và các ví dụ Phương trình lượng giác cơ bản, các em học sinh có thể tự luyện các Bài tập phương trình lượng giác cơ bản sau:
Bài 1. Giải các phương trình lượng giác sau:
- $ \sin4x=\dfrac{4}{3} $
- $ \cos x=\dfrac{1}{4} $
- $ \cot x=-\dfrac{1}{\sqrt{3}} $
- $ \sin(x-\dfrac{\pi}{3})=\dfrac{\sqrt{2} }{2} $
- $ \cos(\pi-x)=-1 $
- $ \tan(45^\circ-3x)=-\sqrt{3} $
- $\tan(2x+20^{\circ})+\sqrt{3}=1$
- $\tan(2x+1)-\tan(3x-1)=1$
- $\cos\Big(2x-\dfrac{\pi}{4}\Big)+\sin\Big(x+\dfrac{\pi}{4}\Big)=0$
Bài 2. Giải các phương trình lượng giác sau:
- $ \cos\Big(5x+\dfrac{\pi}{4}\Big)=\cos2x $
- $ \sin\Big(\dfrac{\pi}{3}-x\Big)-\sin\Big(3x+\dfrac{\pi}{6}\Big)=0 $
- $ \sin(30^\circ-x)=\cos2x $
- $ \cos\Big(x+\dfrac{\pi}{3}\Big)+\sin5x=0 $
- $ 3-4\sin^2{2x}=0$
- $(1-\cos x)(1+\cos x)=0 $
- $(3-\sin x)(1-2\sin x)=0$
- $ \sin^2{x}=\dfrac{1}{4}$
- $\sin^2{\Big(5x+\dfrac{2\pi}{3}\Big)}=\cos^2{\Big(3x-\dfrac{\pi}{4}\Big)} $
- $\cos{\Big(2x+\dfrac{\pi}{3}\Big)}=\cos x $
- $\cos x=\sin \Big(3x+\dfrac{\pi}{6}\Big) $
- $\sin \Big(2x+\dfrac{\pi}{3}\Big)= \sin \Big(\dfrac{2\pi}{3}-x\Big) $
- $4\sin \Big(3x+\dfrac{\pi}{3}\Big)=\sqrt 6+\sqrt 2 $
Bài 3. Tìm nghiệm của các phương trình lượng giác sau trên khoảng đã cho:
- $ \sin2x=0 $ trên $ [0,2\pi] $
- $ \cos(x-\dfrac{\pi}{4})=1 $ trên $ [-\pi,3\pi] $
- $ \sqrt{3}\tan x-3=0 $ trên $ (0,3\pi) $
- $ \cot(2x+\dfrac{\pi}{6})=-1 $ trên $ (0,5\pi) $
Bài 4. Tìm $x\in \left( 0;3\pi \right)$ sao cho:$\sin \left( x-\frac{\pi }{3} \right)+2\cos \left( x+\frac{\pi }{6} \right)=0$.
Bài 5. Giải phương trình $$ 4x^3-\sqrt{1-x^2}-3x=0$$
Hướng dẫn. Điều kiện $ -1\le x\le 1 $ nên đặt $ x=\cos t $ với $ t\in[0,\pi] $ được phương trình $ \cos3t=\sin t. $ Đáp số $ x=\cos \dfrac{\pi}{8},x=\cos \dfrac{5\pi}{8}. $
Bài 6. Giải phương trình $$ x^3-3x=\sqrt{x+2} $$
Hướng dẫn. Điều kiện $ x\ge -2. $ Có nhận xét: Nếu $ x>2 $ thì $ x^3-3x>4x-3x=x>\sqrt{x+2} $ nên $ x\le 2. $ Vậy $ -2\le x\le 2 $ do đó đặt $ x=2\cos\alpha $ với $ \alpha\in[0,\pi]. $ Phương trình trở thành
\[ 2\cos3\alpha=\sqrt{2(1+\cos\alpha)}=2\cos\dfrac{\alpha}{2} \]
Giải phương trình này tìm được $ \alpha=0,\dfrac{4\pi}{7},\dfrac{4\pi}{5}. $\\
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là $ x=2,x=-\dfrac{1+\sqrt{5}}{2},x=2\cos\dfrac{4\pi}{7}. $
Bài 7. [VMO 1984] Giải phương trình $$ \sqrt{1+\sqrt{1-x^2}}\left( \sqrt{(1+x^3)}-\sqrt{(1-x)^3} \right)=2+ \sqrt{1-x^2}.$$
Hướng dẫn. Điều kiện $ x\in[-1,1] $ nên đặt $ x=\cos \alpha $ với $ \alpha \in [0,\pi] $ được phương trình
\begin{align*}
&\sqrt{1+\sqrt{1- \cos^2 \alpha}} \left( \sqrt{(1+\cos \alpha)^3}-\sqrt{(1-\cos \alpha)^3} \right)=2+ \sqrt{1- \cos^2 \alpha}\\
\Leftrightarrow &\sqrt{1+ \sin \alpha} \left(\sqrt{8 \left(\frac{1+ \cos \alpha}{2}\right)^3}- \sqrt{8 \left(\frac{1- \cos \alpha}{2}\right)^3} \right) = 2+ \sin \alpha\\
\Leftrightarrow & 2\sqrt{2} \left( \sin \frac{\alpha}{2}+ \cos \frac{\alpha}{2} \right) \left( \cos \frac{\alpha}{2}- \sin \frac{\alpha}{2} \right) \left(1+ \frac{1}{2} \sin \alpha \right)=2 + \sin \alpha\\
\Leftrightarrow & \sqrt{2}\cos \alpha(2+ \sin \alpha)=2+ \sin \alpha\\
\Leftrightarrow & \cos\alpha=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow x=\dfrac{1}{\sqrt{2}}.
\end{align*}
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $ x=\dfrac{1}{\sqrt{2}}. $
