1000 bài bất đẳng thức trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10

O2 Education xin giới thiệu các bài toán Bất đẳng thức trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 qua các năm trên cả nước. Hiện tại chúng tôi đã sưu tầm được các đề thi từ năm 2011 đến nay và đang cập nhật dần đề thi cùng lời giải lên website. Quý Thầy cô và các em học sinh tham khảo thêm dạng toán Giải phương trình bằng phương pháp nhân liên hợp

Bất đẳng thức trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm 2022

Bài 1. (KHTN HN 2022) Cho \(a,b,c\) là những số thực dương. Chứng minh rằng: \[\frac{2 a}{a+b}+\frac{a+b}{a+c}+\frac{6 a+2 c}{3 b+c}+\frac{4 a+3 b+c}{b+c} \geq \frac{32 a}{2 a+b+c}.\]

Bài 2. (Chuyên Tin Lam Sơn Thanh Hóa) Xét ba số thực dưong \(x, y, z\) thỏa mãn \(x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 14\). Tim giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[P=2 x+y+48\left(\frac{1}{\sqrt{x+z}}+\frac{1}{\sqrt{y+2}}\right).\]

Bài 3. (Lê Hồng Phong – Nam Định) Xét hai số thực \(x, y\) thay đổi luôn thoả mân điều kiện \(x+y \geq 2\). Timm giá trị nhó nhất của biếu thức \[P=4 \sqrt{2\left(x^{2}+y^{2}\right)}+\frac{8}{x+y}+1.\]

Bài 4. (Chuyên Toán Lê Hồng Phong – Nam Định) Xét các số thực không âm \(x, y, z\) thoả mãn \(x+y+z \geq 6\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[P=\frac{x^{2}}{y z+\sqrt{1+x^{3}}}+\frac{y^{2}}{z x+\sqrt{1+y^{3}}}+\frac{z^{2}}{x y+\sqrt{1+z^{3}}}.\]

Bài 5. (SGD Hải Dương) Cho \(a, b, c\) là các số thực dương thay đối thỏa mãn \(\sqrt{\frac{a b}{c}}+\sqrt{\frac{b c}{a}}+\sqrt{\frac{c a}{b}}=3\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[T=\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\frac{2022}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}.\]

Bài 6. (SGD Vĩnh Phúc)Cho \(x, y, z\) là các số thực ḍương thỏa mẫn điều kiện \(x+y+z=1\). Chứng minh rằng \[
\frac{y z}{x^{2}+x y z}+\frac{z x}{y^{2}+x y z}+\frac{x y}{z^{2}+x y z} \geq \frac{1}{4 x}+\frac{1}{4 y}+\frac{1}{4 z} .\]

Bài 7. (SGD Hà Tĩnh) 7. (1,0 điểm) Cho \(a, b\) là các số thực thỏa mãn \(a \geq 1, b \geq 1\) và \(a+b+3=ab\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \[\mathrm{F}=\frac{\sqrt{a^2-1}}{a}+\frac{\sqrt{b^2-1}}{b}+\frac{1}{a^2+b^2}.\]

Bài 8. (SGD Hoà Bình)

1. Cho các số thực không âm \(x, y, z\) thỏa mãn: \[\left\{\begin{array}{l}2 x-3 y-8 z=-9 \\ 4 x+y+12 z=17\end{array}\right.\] Chứng minh rằng: \[25 \leq 5 x+2 y+26 z \leq 35.\]
2. Cho các số thực \(a, b, c\) thỏa mãn: \(a^{2}+b^{2}+c^{2}=2022\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \[P=a b+2 b c+a c.\]

Bất đẳng thức trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm 2021

Bài 1. (Hà Nội 2021) Với các số thực \( a \) và \( b \) thỏa mãn \( a^2+b^2=2, \) tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[ P=3(a+b)+ab.\] Hướng dẫn.
Đặt \( x=a+b, y=ab \) thì ta có \( x^2-2y=2 \). Suy ra \( y=\frac{x^2-2}{2} \). Biểu thức đã cho trở thành \[ P=3x+\frac{x^2-2}{2}=\frac{x^2+6x-2}{2} \]
Chúng ta lại luôn có bất đẳng thức sau \[ a^2+b^2 \geqslant \frac{(a+b)^2}{2} \] nên suy ra \( (a+b)^2 \leqslant 4 \) hay \( x\in [-2;2] \).Chúng ta đi chứng minh \( P \geqslant -5 \).
Thật vậy, có \( P \geqslant -5 \) tương đương với \[ x^2+6x-2 \geqslant -10 \Leftrightarrow (x+2)(x+4) \geqslant 0 \] Bất đẳng thức cuối cùng này luôn đúng do \( x\in [-2;2] \).Như vậy, \( P \geqslant -5 \) và dấu bằng xảy ra tại \( x=-2,y=1 \) hay \( a=b=-1 \).Tóm lại, giá trị nhỏ nhất cần tìm là \( -5 \) khi \( a=b=-1 \).

Bài 2. (Chuyên Hùng Vương – Gia Lai 2021) Cho \( x, y \) là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện \( x + y = 2 \). Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[ P = (5x^2+7y)(5y^2+7x) + 151xy. \] Hướng dẫn. Đặt \( t=xy \) và sử dụng điều kiện  \( x+y=2 \) ta tính được \( P \) theo \( t \) là \[ P=25t^2-10t+280=(5t-1)^2+279. \]

Bài 3. (Quảng Bình 2021) Cho \( x, y, z \in [5, 7] \). Chứng minh rằng \[ \sqrt{xy+1} + \sqrt{yz+1} + \sqrt{zx+1} > x + y + z. \] Hướng dẫn. Vì \( x,y\in [5;7] \) nên \( \big|x-y\big| \leqslant 5\). Từ đó suy ra \[ 1+xy \geqslant \frac{(x-y)^2}{4}+xy=\frac{(x+y)^2}{4} \]

Bài 4. (Tây Ninh 2021) Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn \( 0 \leqslant x, y, z \leqslant 1 \). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \[ T = 2(x^3 + y^3 + z^3) – (x^2y + y^2z + z^2x) \]

Bài 5. (Bình Dương 2021) Cho \( x, y, z > 0 \) thỏa mãn \( xy + yz + zx = 1 \). Chứng minh rằng: \[ 10x^2 + 10y^2 + z^2 \geqslant 4 \] Dấu bằng xảy ra khi nào?

Bài 6. (Cần Thơ 2021) Cho \( x, y, z \) là các số thực dương. Chứng minh rằng \[ \frac{(x+2)^2}{y+z}+ \frac{(y+2)^2}{z+x}+ \frac{(z+2)^2}{x+y} \geqslant 12.\]

Bài 7. (Quảng Trị 2021) Cho \( a,b,c \) là các số thực tùy ý. Chứng minh rằng:

1. \( a^2-ab+b^2 \geqslant \frac{1}{4}(a+b)^2\)
2. \( 4(a^2+b^2)(b^2-bc+c^2)(3c^2+2ca+3a^2) \geqslant (a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2 \)

Bài 8. (Thanh Hóa 2021) Cho ba số thực \( x,y,z \) thay đổi thỏa mãn \( x>\frac{1}{4},y>\frac{1}{3},z>\frac{1}{2} \) và \[ \frac{4}{4x+3}+\frac{3}{3y+2}+\frac{z}{2z+1} \geqslant 2 \] Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \[ Q=(4x-1)(3y-1)(2z-1). \]

Bài 9. (Quốc học Huế 2021) Cho \( x,y,z \) là các số thực dương thỏa mãn \( x+y+z=3. \) Chứng minh rằng \[ \frac{1}{\sqrt{x(2 y+3 z)}}+\frac{1}{\sqrt{y(2 z+3 x)}}+\frac{1}{\sqrt{z(2 x+3 y)}} geeq \frac{3 \sqrt{5}}{5} \]

Bài 10. (Tiền Giang 2021) Cho \( a, b, c \) là các số thực dương thay đổi thỏa mãn \( abc = 1 \). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \[ M = \frac{1}{(a^2+2b^2+3)} + \frac{1}{b^2+2c^2+3} + \frac{1}{c^2+2a^2+3} \]

Bài 11. (Quảng Nam) Cho ba số thực dương \(x, y, z\) thỏa mãn \( xy + yz + zx = xyz \). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[ H = \frac{x^2}{9z+zx^2} + \frac{y^2}{9x+xy^2} + \frac{z^2}{9y+yz^2} \]

Bài 12. (Ninh Thuận) Cho các số thực dương \(x, y, z\) thỏa mãn \( xyz = \frac{1}{8}\). Chứng minh rằng \[ \frac{1}{xy+yz+zx} – \frac{1}{x+y+z} \leqslant \frac{2}{3}.\]

Bài 13. (Nghệ An) Cho các số dương \(a, b, c\) thỏa mãn \( ab + bc + ca \leqslant 3abc \). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\[ P = \sqrt{a+b} + \sqrt{b+c} + \sqrt{c+a} – \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2a+2b}} – \sqrt{\frac{b^2+c^2}{2b+2c}} – \sqrt{\frac{c^2+a^2}{2c+2a}} \]

Bài 14. (Chuyên Lê Quý Đôn, Bà Rịa – Vũng Tàu) Xét các số thực không âm \(a, b, c\) thỏa mãn \( a^2 + b^2 + c^2 = 1 \). Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[ S = \frac{a}{1+bc} + \frac{b}{1+ca} + \frac{c}{1+ab}. \]

Bài 15. (Quảng Trị) Cho \( a, b, c \) là các số thực tùy ý. Chứng minh rằng:

1. \( a^2 – ab + b^2 \geqslant \dfrac{(a+b)^2}{4} \);
2. \( 4(a^2+b^2)(b^2-bc+c^2)(3c^2+2ca+3a^2) \geqslant (a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2 \).

Bài 16. (Thái Bình) Cho \( a, b, c \) là các số thực dương thỏa mãn \( a^2 + b^2 + c^2 = 3abc \). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \[ T = \frac{a}{3a^2+2b^2+c^2} + \frac{b}{3b^2+2c^2+a^2} + \frac{c}{3c^2 + 2a^2 + b^2}\]

Bài 17. (Quảng Ninh) Cho hai số thực \( x, y \) thỏa mãn \( 0 < x < y \leqslant 8 \) và \( xy \leqslant 4x + 3y \). Chứng minh \( x^2 + y^2 \leqslant 100 \).

Bài 18. (Lào Cai)

1. Cho hai số thực dương \( x, y \) thỏa mãn \( x + y \leqslant 2/3 \). Tìm giá trị nhỏ nhất của \[ A = 53x + 53y + 1/x^2 + 1/y^2.\]
2. Cho ba số thực dương \(x, y, z\) thỏa mãn \( x^2 + y^2 + z^2 \geqslant 3 \). Chứng minh rằng \[ x^4 + y^4 + z^4 + x^3 + y^3 + z^3 \geqslant 3 + x + y + z. \]

Bài 19. (Khánh Hòa) Cho các số thực \( x_1, x_2, …, x_{21} \) thỏa mãn \( x_1, x_2, …, x_{21} \geqslant – 2 \) và \( x_1^3+ x_2^3+ … x_{21}^3= 12 \). Chứng minh rằng \[ x_1 + x_2 + … + x_{21} \leqslant 18. \]

Bài 20. (PTNK, ĐHQG TP HCM) Cho dãy \( n \) số thực \( x_1, x_2, …, x_n (n \geqslant 5) \) thỏa mãn điều kiện \( x_1 \leqslant x_2 \leqslant … \leqslant x_n \) và \( x_1 + x_2 + … + x_n = 1 \).

1. Chứng minh rằng nếu \( x_n \geqslant \frac{1}{3} \) thì \( x_1 + x_2 \leqslant x_n \).
2. Chứng minh rằng nếu thì tồn tại số nguyên dương \( k < n \) sao cho \[ \frac{1}{3} \leqslant x_1 + … + x_k \leqslant \frac{2}{3}.\]

Bài 21. (Lâm Đồng) Cho \( a, b, c \) là các số dương và \( a + b + c = 6 \). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[ P = \frac{a^3}{a^2+4ab+b^2} + \frac{b^3}{b^2+4bc+c^2} + \frac{c^3}{c^2+4ca+a^2} \]

Bài 22. (Hà Nam) Cho ba số thực dương \(x, y, z\) thỏa mãn \( x + y + z \leqslant 1 \). Chứng minh rằng \[ \left(\frac{1}{x^2} – 1\right)\left(\frac{1}{y^2} – 1\right)\left(\frac{1}{x^2} – 1\right) \geqslant 512. \]

Bài 23. (Daklak) Cho các số thực dương \(a, b, c\) thỏa mãn \( a + b + c \leqslant 2 \). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\[ P = \frac{b(a^2+1)^2}{a^2(b^2+1)} + \frac{c(b^2+1)^2}{b^2(c^2+1)} + \frac{a(c^2+1)^2}{c^2(a^2+1)} \]

Bài 24. (Bình Phước) Cho \( a, b, c \) là các số dương. Chứng minh rằng:

1. \( \dfrac{a^3}{a^2+b^2} \geqslant a – \dfrac{b}{2} \)
2. \( \dfrac{a^3}{a^2+ab+b^2} + \dfrac{b^3}{b^2+bc+c^2} + \dfrac{c^3}{c^2+ca+a^2} \geqslant \dfrac{a+b+c}{3} \)

Bài 25. (Quảng Ngãi) Cho các số thực \( a, b, c \) đôi một khác nhau và thỏa mãn \( (c+a)(c+b) = 4 \). Chứng minh rằng \[ \frac{1}{(a-b)^2} + \frac{1}{(c+a)^2} + \frac{1}{(c+b)^2} \geqslant 1. \]

Bài 26. (Daknong) Cho hai số thực \( a, b \) thỏa mãn \( 2021 \leqslant a \leqslant 2022\), \(2021 \leqslant b \leqslant 2022 \). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \[ A = (a+b)(\frac{2021}{a} + \frac{2021}{b}). \]

Bài 27. (Hòa Bình) Cho các số thực dương \(x, y, z\) thỏa mãn \( x + y + z = 4 \). Chứng minh rằng \[ \frac{1}{xy} + \frac{1}{xz} \geqslant 1. \]

Bài 28. (Vĩnh Long) Cho số thực x thỏa mãn \( 1 \leqslant x \leqslant 2 \). Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[ T = \frac{3+x}{x} + \frac{6 – x}{3-x}. \]

Bài 29. (Kiên Giang) Cho \(x, y, z\) là các số thực lớn hơn \( 2021 \) và thỏa mãn \[ \frac{1}{x} +\frac{1}{y} +\frac{1}{z} = \frac{2}{2021}.\]Chứng minh rằng ta có bất đẳng thức sau
\[ \sqrt{x+y+z} \geqslant \sqrt{x-2021} + \sqrt{y-2021} + \sqrt{z-2021} \]

Bài 30. (Bình Định) Cho các số thực \( x, y \). Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[ T = \frac{x – y}{x^4+y^4+6} \]

Bài 31. (Bình Định) Cho \(x, y, z\) là ba số dương thỏa \( x + y + z = 1 \). Chứng minh rằng \[ P = \frac{1-x^2}{x+yz} + \frac{1-y^2}{y+zx} + \frac{1-z^2}{z+xy} \geqslant 6. \]

Bài 32. (Cà Mau) Cho \( a, b \) là hai số thực dương sao cho \( \sqrt{a} + \sqrt{b} = 1 \). Chứng minh rằng \[ \sqrt{3a+b} + \sqrt{3b+a} \leqslant 2\sqrt{3a+b}\sqrt{3b+a} \]

Bài 33. (Bình Định, chuyên Tin) Cho \( a, b \) là các số dương thỏa mãn \( a + 2b \geqslant 3 \). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\[ P = \frac{3a^2 + a^2b + \frac{9ab^2}{2} + (8+a)b^3}{ab} \]

Bài 34. (Thanh Hóa, chuyên tin) Cho ba số thực dương \(x, y, z\) thỏa mãn \( x + y + z = 1 \). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[ P = 15\sqrt{3(x^4+y^4+z^4)} + \frac{xy+yz+zx}{x^2y+y^2z+z^2x} \]

Bài 35. (Hải Phòng) Cho các số thực dương \(x, y, z\). Chứng minh rằng \[ \frac{x\sqrt{xy}}{\sqrt{2x+y}} + \frac{y\sqrt{yz}}{\sqrt{2y+z}} + \frac{z\sqrt{zx}}{\sqrt{2z+x}} \geqslant \sqrt{3xyz} \]

Bài 36. (Yên Bái) Cho \( a, b, c \) là các số thực dương thỏa mãn \( 18abc = a + 2b + 3c \). Chứng minh \[ (1+a^2)(1+4b^2)(1+9c^2) \geqslant 8. \]

Bài 37. (Ninh Bình) Cho \(x, y, z\) là các số thực dương thỏa mãn \[ \frac{1}{x+y} + \frac{1}{y+z} + \frac{1}{z+x}= 12 \] Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \[ P = \frac{1}{2x+3y+3z} + \frac{1}{3x+2y+3z} + \frac{1}{3x+3y+2z} \]

Bài 38. (Phú Thọ) Cho ba số dương \(x, y, z\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[ P = \frac{xz}{y^2+yz}+ \frac{y^2}{xz+yz} + \frac{\sqrt{x} + \sqrt{z}}{2\sqrt{x}} \]

Bài 39. (Bình Thuận) Cho \(x, y, z\) là các số thực dương thỏa mãn điều kiện \( x + y + z = 3 \). Chứng minh rằng \[ \frac{2xz}{x^2+2yz+3} + \frac{2yx}{y^2+2zx+3} + \frac{2zy}{z^2+2xy+3} \leqslant 1. \]

Bất đẳng thức trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 năm 2017

Bài 1. (Hòa Bình 2017) Cho các số dương \( a,b,c\) thỏa mãn \( a+b+c=1 \). Chứng minh rằng \[ \sqrt{\frac{a}{1-a}} +\frac{b}{1-b}+\frac{c}{1-c}>2.\]

Bài 2. (Lạng Sơn 2017) Cho \( x,y,z \) là các số thực dương và thỏa mãn \( xy+yz+zx=xyz \). Chứng minh rằng \[ \frac{xy}{z^3(1+x)(1+y)}+\frac{yz}{x^3(1+y)(1+z)}+\frac{zx}{y^3(1+z)(1+x)} \geqslant \frac{1}{16} \]

Bài 3. (Bắc Giang 2017) Cho hai số thực dương \( a, b \) thỏa mãn \( 2a + 3b \leqslant 4 \). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[ Q=\frac{2002}{den}a +\frac{2017}{b}+2996a-5501b.\]

Bài 4. (Hà Nội 2017) Cho các số thực dương \( a,b,c \) thay đổi luôn thỏa mãn \( a \geqslant 1, b \geqslant 1, c \geqslant 1 \) và \( ab+bc+ca=9 \). Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức \[ P=a^2+b^2+c^2. \]

Bài 5. (Hải Dương 2017) Cho các số thực dương \( x,y,z \) thỏa mãn \( x+y+z=3 \). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[ Q=\frac{x+1}{1+y^2}+\frac{y+1}{1+z^2}+\frac{z+1}{1+x^2} \]

Bài 6. (Vĩnh Phúc 2017) Cho các số thực \( x,y \). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \[ P=\frac{(x^2-y^2)(1-x^2y^2)}{(1+x^2)^2(1+y^2)^2} \]

Bài 7. (Bắc Ninh 2017) Cho bốn số thực dương \( x,y,z,t \) thỏa mãn \( x+y+z+t=2 \). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[ A=\frac{(x+y+z)(x+y)}{xyzt} \]

Bài 8. (Hưng Yên 2017) Cho hai số thực dương $x,y$ thỏa mãn \( x+y \leqslant 4 \). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[ P=\frac{2}{x^2+y^2}+\frac{35}{xy}+2xy. \]

Bài 9. (Hà Nam 2017) Cho các số thực \( a,b,c \) thỏa mãn điều kiện \( ab+bc+ca=3 \) và \( a \geqslant c \). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[ P=\frac{1}{(a+1)^2)}+\frac{1}{(b+1)^2}+\frac{1}{(c+1)^2}. \]

Bài 10. (Hải Phòng 2017)

1. Cho hai số dương \( x,y \). Chứng minh rằng \[ \frac{1}{x+y} \geqslant \frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right) \]
2. Cho ba số \( a,b,c \) thỏa mãn \( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=16 \). Chứng minh rằng \[ \frac{1}{3a+2b+c}+\frac{1}{a+3b+2c}+\frac{1}{2a+b+3c}\leqslant \frac{8}{3} \]

Bài 11. (Hải Phòng 2017)

1. Cho hai số thực \( x \geqslant 1, y \geqslant 1 \). Chứng minh rằng \[ \frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2} \geqslant \frac{2}{1+xy} \]
2. Cho hai số thực \( x \geqslant 1, y \geqslant 0 \) và \( 6xy+2x-3y \leqslant 2 \). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[ A=\frac{1}{x^2-4x+2}+\frac{1}{9y^2+6y+2} \]