$ \lim \frac{c}{n^k}=0 $ for some positive integers $ k $
$ \lim \frac{1}{\sqrt{n}}=0 $
$ \lim \frac{1}{\sqrt[k]{n}}=0 $ for some positive integers $ k $
$ \lim q^n=0 $ for $ |q|<1 $
$ \lim n=+\infty $
$ \lim n^k=+\infty $ for some positive integers $ k $
$ \lim \sqrt{n}=+\infty $
$ \lim \sqrt[k]{n}=+\infty $ for some positive integers $ k $
$ \lim q^n=+\infty $ for $ q>1. $
Squeeze Law
Let three sequences $ (u_n),(v_n) $ and $ (w_n) $ such that $ u_n\le v_n\le w_n $ and $ \lim u_n=\lim w_n=L ,$ then \[ \lim v_n=L\]
Specially, if $ |u_n|\le v_n $ and $ \lim v_n=0 $ then $ \lim u_n=0. $
Basic Limit Law
Finite limits: If $ \lim u_n=A $ and $ \lim v_n=B $ then
$ \lim (u_n\pm v_n)=\lim A\pm \lim B $
$ \lim (c\cdot u_n)= c\cdot A $
$ \lim (u_n\cdot v_n)=AB $
$ \lim \frac{u_n}{v_n}=\frac{A}{B} $ if $ b\ne 0 $
Infinite Limits:
$ \lim (u_n\cdot v_n) $
$ \lim \frac{u_n}{v_n} $
2. Example
Example 1. Find the limit of the following sequence, or determine that the limit does not exist: $$ \lim \frac{3n^3-1}{2n^3-1} $$ Hint. Divide numerator and denominator by $ n^3, $ we get \begin{align*}
\lim \frac{3n^3-1}{2n^3-1} &=\lim\frac{3-\frac{1}{n^3}}{2+\frac{1}{n^3}}\\
&=\frac{3}{2}
\end{align*}
So $ \lim \frac{3n^3-1}{2n^3-1} =\frac{3}{2}. $
Example 2. Find the limit of the following sequences if it exists:
Example 6. Find the limit of the following sequence \[ \lim \frac{1+2+3+\cdots+n}{1+n^3} \]
Example 7. Find the limit of the following sequences: $ u_n=\dfrac{\sin(2n+1)}{3^n},v_n=\dfrac{(-1)^n}{2n+3} $ Hint. For all $ n $ we have \[ \left|\frac{\sin(2n+1)}{3^n}\right|\le \frac{1}{3^n} \]
and \[ \lim \frac{1}{3^n}=0 \] and so $ \lim \frac{\sin(2n+1)}{3^n}=0. $
Example 8. Express the repeating decimal $ 0.777… $ as a fraction. Hint. We have \begin{align*} 0.777…&=0.7+0.07+0.0007+\cdots\\
&=\frac{7}{10}+\frac{7}{100}+\frac{7}{1000}+\cdots \end{align*}
This is the sum of an geometric sequence with $ u_1=\frac{7}{10} $ and the common ratio $ q=\frac{1}{10}<1 $. So \[ 0.777…=\frac{u_1}{1-q}=\frac{\frac{7}{10}}{1-\frac{1}{10}}=\frac{7}{9} \]
Dãy Fibonacci là dãy vô hạn các số tự nhiên bắt đầu bằng hai phần tử 0 và 1 hoặc 1 và 1, các phần tử sau đó được thiết lập theo quy tắc mỗi phần tử luôn bằng tổng hai phần tử trước nó. Công thức truy hồi của dãy Fibonacci là: $$ F(n)=\begin{cases} 1& \text{khi }&n=1\\ 1& \text{khi }&n=2\\ F(n-1)+F(n-2)& \text{khi }&n>2 \end{cases}$$
Dãy số Fibonacci (Phibônaxi) được Fibonacci, một nhà toán học người Ý, công bố vào năm 1202 trong cuốn sách Liber Abacci – Sách về toán đồ qua 2 bài toán: Bài toán con thỏ và bài toán số các “cụ tổ” của một ong đực.
Bài toán đếm số đôi thỏ
Một đôi thỏ (gồm một thỏ đực và một thỏ cái) không sinh cho đến khi chúng đủ 2 tháng tuổi. Sau khi đủ 2 tháng tuổi,mỗi đôi thỏ sinh một đôi thỏ con (gồm một thỏ đực và một thỏ cái) mỗi tháng. Hỏi sau n tháng có bao nhiêu đôi thỏ, nếu đầu năm (tháng Giêng) có một đôi thỏ sơ sinh
Trong hình vẽ trên, ta quy ước:
Cặp thỏ nâu là cặp thỏ có độ tuổi 1 tháng.
Cặp thỏ được đánh dấu (màu đỏ và màu xanh) là cặp thỏ có khả năng sinh sản.
Nhìn vào hình vẽ trên ta nhận thấy:
Tháng Giêng và tháng Hai: Chỉ có 1 đôi thỏ.
Tháng Ba: đôi thỏ này sẽ đẻ ra một đôi thỏ con, do đó trong tháng này có 2 đôi thỏ.
Tháng Tư: chỉ có đôi thỏ ban đầu sinh con nên đến thời điểm này có 3 đôi thỏ.
Tháng Năm: có hai đôi thỏ (đôi thỏ đầu và đôi thỏ được sinh ra ở tháng Ba) cùng sinh con nên ở tháng này có 2 + 3 = 5 đôi thỏ.
Tháng Sáu: có ba đôi thỏ (2 đôi thỏ đầu và đôi thỏ được sinh ra ở tháng Tư) cùng sinh con ở thời điểm này nên đến đây có 3 + 5 = 8 đôi thỏ.
Khái quát, nếu n là số tự nhiên khác 0, gọi f(n) là số đôi thỏ có ở tháng thứ n, ta có:
Với n = 1 ta được f(1) = 1.
Với n = 2 ta được f(2) = 1.
Với n = 3 ta được f(3) = 2.
Do đó với n > 2 ta có công thức tổng quát f(n) = f(n-1) + f(n-2).
Điều đó có thể được giải thích như sau: Các đôi thỏ sinh ra ở tháng n-1 không thể sinh con ở tháng thứ n, và ở tháng này đôi thỏ tháng thứ n-2 sinh ra một đôi thỏ con nên số đôi thỏ được sinh ra ở tháng thứ n chính là giá trị của f(n - 2).
Công thức tổng quát của dãy Fibonacci
Người ta chứng minh được rằng công thức tổng quát cho dãy Fibonacci là: $$F_{n}=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n}-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n}\right)$$
Liên hệ với tỉ lệ vàng
Tỷ lệ vàng $\varphi$ (phi), được đinh nghĩa là tỷ số khi chia đoạn thẳng thành hai phần sao cho tỷ lệ giữa cả đoạn ban đầu với đoạn lớn hơn bằng tỷ số giữa đoạn lớn và đoạn nhỏ.
Có thể chứng minh rằng nếu quy độ dài đoạn lớn về đơn vị thì tỷ lệ này là nghiệm dương của phương trình:$$\frac{1}{x}=\frac {x}{1+x},$$ hay tương đương $x^{2}-x-1=0$. Nghiệm dương đó chính là $\varphi =\frac{1+\sqrt {5}{2}\approx 1.618\,033\,989$.
Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc ba
1. Cách viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc ba
Cho hàm số bậc ba $y=f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ với $a\ne 0$ có đồ thị gọi là đường cong $(C)$ và $$y’=f'(x)=3ax^2+2bx+c$$
Nhận thấy $y’$ là một tam thức bậc hai có $$\Delta’_{y’}=b^2-3ac.$$ Do đó. có hai khả năng sau:
Nếu $\Delta’ \leq 0$ thì hàm số không có cực trị.
Nếu $\Delta’ >0 $ thì hàm số có hai điểm cực trị. Khi đó, đồ thị hàm số cũng có hai điểm cực trị và phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm này là \[y=kx+m,\] trong đó $kx+m$ là phần dư khi chia đa thức $ax^3+bx^2+cx+d$ cho $3ax^2+2bx+c$ (tức là phần dư khi chia $y$ cho $y’$).
Thật vậy, giả sử phương trình \(f'(x)=0\) có hai nghiệm phân biệt \(x_1, x_2\) thì ta có $f'(x_1) = f'(x_2)=0$ và toạ độ hai điểm cực trị của đồ thị hàm số có dạng \(A(x_1; f(x_1))\), \(B(x_2; f(x_2))\).
Thực hiện phép chia \(f(x)\) cho \(f'(x)\) và giả sử ta được thương \(q(x)\) và dư là \(r(x)\) ($r(x)$ có dạng $kx+m$) tức là \[f(x)=q(x)\cdot f'(x)+r(x).\]
Suy ra, $$f(x_1)=q(x_1)\cdot f'(x_1)+r(x_1)=r(x_1),$$ vì $f'(x_1)=0$. Hay toạ điểm $A$ là $(x_1,r(x_1))$. Tương tự tính được toạ độ điểm $B$ là $(x_2,r(x_2))$.
Như vậy toạ độ hai điểm \(A, B\) đều thỏa mãn phương trình \(y=r(x)=kx+m\) hay đường thẳng \(y=kx+m\) chính là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc ba đã cho.
2. Ví dụ minh hoạ
Đề bài. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y=f(x)=x^3-2x^2-x+1\).
Hướng dẫn. Ta có \(f'(x)=3x^2-4x-1\). Thực hiện phép chia đa thức \(f(x)\) cho \(f'(x)\) ta được thương là \(\frac{1}{3}x-\frac{2}{9}\) và dư là \(-\frac{14}{9}x-\frac{7}{9}\).
Suy ra phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là \(y=-\frac{14}{9}x-\frac{7}{9}\).
Chú ý. Nếu phương trình $y’=0$ có hai nghiệm đẹp thì ta dễ dàng tìm được toạ độ hai điểm cực trị của đồ thị hàm số và do đó việc viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm này khá dễ dàng.
“Integration by Substitution” (also called “u-Substitution” or “The Reverse Chain Rule”) is a method to find an integral, but only when it can be set up in a special way.
The first and most vital step is to be able to write our integral in this form:
Note that we have $g(x)$ and its derivative $g'(x)$
Like in this example:
Here $f=cos$, and we have $g=x^2$ and its derivative $2x$.
This integral is good to go!
When our integral is set up like that, we can do this substitution:
Then we can integrate $f(u)$, and finish by putting $g(x)$ back as $u$.
Substitution Rule
Example Integration by Substitution
Example 1. Find the integral $$\int \cos(x^2) 2x dx$$
We know (from above) that it is in the right form to do the substitution:
Now integrate: $$\int \cos(u) du = \sin(u) + C$$ And finally put $u=x^2$ back again: $$\sin(x^2) + C$$ So $\displaystyle \int\cos(x^2) 2x dx = \sin(x^2) + C.$$
That worked out really nicely! (Well, I knew it would.)
But this method only works on some integrals of course, and it may need rearranging:
Example 2. Find the integral $$\int \cos(x^2) 6x dx$$Oh no! It is $6x$, not $2x$ like before. Our perfect setup is gone.
Never fear! Just rearrange the integral like this: $$\int\cos(x^2) 6x dx = 3\int\cos(x^2) 2x dx$$
(We can pull constant multipliers outside the integration, see Rules of Integration.)
Then go ahead as before: $$3\int\cos(u) du = 3 \sin(u) + C$$
Now put $u=x^2$ back again: $$3 sin(x^2) + C$$
Done!
Now let’s try a slightly harder example:
Example 3. Find the integral $$\int \frac{x}{x^2+1} dx$$Let me see … the derivative of x^2 +1 is 2x … so how about we rearrange it like this: $$\int \frac{x}{x^2 +1} dx = \frac{1}{2}\int \frac{2x}{x^2 +1} dx$$ Then we have:
Then integrate:$$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} du = \frac{1}{2} \ln(u) + C$$
Now put $u=x^2 +1$ back again: $$\frac{1}{2}\ln(x^2 +1) + C$$
And how about this one:
Example 4. Find the integral $$\int (x+1)^3 dx$$
Let me see … the derivative of $x+1$ is … well it is simply 1.
So we can have this:$$\int (x+1)^3 dx = \int (x+1)^3 \cdot 1 dx$$ Then we have:
Then integrate:$$\int u^3 du = \frac{1}{4}\cdot u^4 + C$$
Now put $u=x+1$ back again:$$ \frac{(x+1)^4}{4} + C$$
We can take that idea further like this:
Example 5. Find the integral $$\int (5x+2)^7 dx$$
If it was in THIS form we could do it:$$\int (5x+2)^7\cdot 5dx$$
So let’s make it so by doing this: $$\frac{1}{5} \int (5x+2)^7\cdot 5dx$$ The $\frac{1}{5}$ and 5 cancel out so all is fine.
And now we can have $u=5x+2$
And then integrate: $$\frac{1}{5} \int u^7 du = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{8} u^8 +C$$ Now put $u=5x+2$ back again, and simplify: $$\frac{(5x+2)^8}{40} + C$$
Now get some practice, OK?
In Summary
When we can put an integral in this form:
Then we can make $u=g(x)$ and integrate $\displaystyle \int f(u) du$
And finish up by re-inserting $g(x)$ where $u$ is $g(x)$.
Để có kế hoạch, định hướng đúng đắn trong cuộc sống nhiều khi chúng ta phải biết được tốc độ tăng trưởng của một đại lượng nào đó, ví dụ, thị trường chứng khoán TQ mới bị khủng hoảng, suy thoái mà nếu theo dõi các bảng tin thời sự, tin tài chính ta sẽ thấy chỉ số của các sàn giao dịch được mô tả bằng các đường gấp khúc; theo chiều từ trái qua phải, nếu hướng lên là tăng, hướng xuống là giảm… (hoặc các biểu đồ giá vàng, USD, theo dõi nhiệt độ của các bệnh nhân, lượng mưa của một địa điểm, tốc độ tăng trưởng GDP, nợ công của VN…)
Hàm số $ y=f(x) $ được gọi là tăng (đồng biến) trên $ \mathbb{K} $ nếu với mọi $ x_1,x_2\in \mathbb{K} $: $$x_1<x_2 \Leftrightarrow f(x_1)<f(x_2) $$
Hàm số $ y=f(x) $ được gọi là giảm (nghịch biến) trên $ \mathbb{K} $ nếu với mọi $ x_1,x_2\in \mathbb{K} $: $$x_1<x_2 \Leftrightarrow f(x_1)>f(x_2) $$
2. Định lý về tính đơn điệu của hàm số
2.1. Mối quan hệ giữa đạo hàm và tính đồng biến nghịch biến của hàm số
Cho hàm số $ y=f(x) $ có đạo hàm trên $ \mathbb{K} $:
Nếu $ f'(x)>0 $ với mọi $ x $ thuộc $ \mathbb{K} $ thì hàm số $ f(x) $ đồng biến trên $ \mathbb{K}. $
Nếu $ f'(x)<0 $ với mọi $ x $ thuộc $ \mathbb{K} $ thì hàm số $ f(x) $ nghịch biến biến trên $ \mathbb{K}. $
Nếu $ f'(x)=0 $ với mọi $ x $ thuộc $ \mathbb{K} $ thì hàm số $ f(x) $ không đổi (là hàm hằng) trên $ \mathbb{K}. $
Ví dụ 1. Chứng minh rằng hàm số $ y=3x+1 $ luôn đồng biến trên $ \mathbb{R}. $
Ví dụ 2. Chứng minh rằng hàm số $ y=-x^3-5x $ nghịch biến trên $ \mathbb{R}. $
Ví dụ 3. Chứng minh rằng hàm số $ y = 2x + \cos x $ luôn đồng biến trên $ \mathbb{R}. $
Ví dụ 4. Khảo sát sự biến thiên của hàm số $ y=x^2-3x+1 $.
Ví dụ 5. Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số: $ y = -x^3 + 3x^2 $, $ y = \frac{{x + 1}}{{2x-3}} $?
Ví dụ 6. Tìm các khoảng đồng biến nghịch biến của hàm số $ y=\frac{4}{3}x^3-2x^2+x-3. $
Hướng dẫn. Bảng biến thiên của hàm số như hình vẽ sau:
Như vậy, hàm số đồng biến trên mỗi khoảng $ (-\infty,\frac{1}{2}) $ và $ (\frac{1}{2},+\infty) $. Nhưng tại $ x=\frac{1}{2} $ hàm số liên tục, nên ta có thể gộp lại, kết luận rằng hàm số đồng biến trên toàn bộ tập $ \mathbb{R}. $
Chú ý.
Cho hàm số $ y=f(x) $ có đạo hàm trên $ \mathbb{K} $:
Nếu $ f'(x)\geqslant 0 $ với mọi $ x $ thuộc $ \mathbb{K} $ và dấu đẳng thức chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm thì hàm số $ f(x) $ đồng biến trên $ \mathbb{K}. $
Nếu $ f'(x)\leqslant 0 $ với mọi $ x $ thuộc $ \mathbb{K} $ và dấu đẳng thức chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm thì hàm số $ f(x) $ nghịch biến biến trên $ \mathbb{K}. $
Lưu ý, nếu hàm số $f(x)$ xác định và liên tục trên đoạn $ [a,b] $ thì hàm số đồng biến trên đoạn $ [a,b] $ khi và chỉ khi hàm số đồng biến trên khoảng $ (a,b) $, tức là chỉ cần điều kiện $f'(x)\geqslant 0 $ với mọi $ x\in (a,b). $
Ví dụ 7. Chứng minh rằng hàm số $ y=\sqrt{3x+1} $ luôn đồng biến trên tập xác định.
Tập xác định $ \mathbb{D}=[-\frac{1}{3},+\infty) $.
Ta có, đạo hàm của hàm số là $$ y’=\frac{3}{2\sqrt{3x+1}} >0,\;\forall x\in (-\frac{1}{3},+\infty) $$
Mà hàm số liên tục trên $ [-\frac{1}{3},+\infty) $ nên hàm số luôn đồng biến trên $ [-\frac{1}{3},+\infty) $.
Ví dụ 8. Tìm các khoảng đồng biến nghịch biến của hàm số $ y=\sqrt{1-x^2} $.
Hướng dẫn. Chúng ta lập được bảng biến thiên như hình vẽ sau:
Căn cứ vào bảng biến thiên ta có, hàm số $ y=\sqrt{1-x^2} $ đồng biến trên khoảng $ (-1,0) $ và nghịch biến trên khoảng $ (0,1) $.
3. Các dạng toán đồng biến nghịch biến của hàm số
3.1. Tìm khoảng đơn điệu của hàm số
Bài toán. Tìm khoảng đơn điệu của hàm số $f(x)$ (tức là tìm các khoảng mà hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến).
Bước 1. Tìm tập xác định.
Bước 2. Tính đạo hàm $f'(x)$ và lập bảng xét dấu của nó.
Bước 3. Căn cứ vào bảng xét dấu để kết luận.
Dạng toán này đã xét kỹ ở phần 2, nên ở đây O2 Education xin đề nghị một ví dụ.
Ví dụ. Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số:
$y=3x^{3}+2x^{2}-5x+2$
$y=x+\frac{1}{x} $
$ y=\sqrt{2x-1} $
$y=\sqrt{x^{2}+2x-3}$
3.2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng lập bảng biến thiên
Trước tiên ta phải hiểu thế nào là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một hàm số.
Xét hàm số $ y=f(x) $ xác định trên tập $ \mathbb{K} $.
Nếu $ f(x)\leqslant M $ với mọi $ x\in \mathbb{K} $ và tồn tại $ x_0 $ thuộc $ \mathbb{K} $ sao cho $ f(x_0)=M $ thì $ M $ được gọi là giá trị lớn nhất\index{giá trị lớn nhất} của hàm số trên $ \mathbb{K}. $ Kí hiệu là $ \max\limits_{x\in \mathbb{K}}f(x) $.
Nếu $ f(x)\geqslant m $ với mọi $ x\in \mathbb{K} $ và tồn tại $ x_0 $ thuộc $ \mathbb{K} $ sao cho $ f(x_0)=m $ thì $ m $ được gọi là giá trị nhỏ nhất\index{giá trị nhỏ nhất} của hàm số trên $ \mathbb{K}. $ Kí hiệu là $ \min\limits_{x\in \mathbb{K}}f(x) $.
Bài toán. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $ y=f(x) $ trên tập $ \mathbb{K}. $
Phương pháp. Ta thực hiện ba bước sau.
Lập bảng biến thiên của hàm số trên tập $ \mathbb{K} $
Tính các giá trị đầu và cuối mũi tên (có thể phải sử dụng giới hạn)
Căn cứ vào bảng biến thiên để kết luận.
Ví dụ 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $ y=3x+5 $ trên đoạn $ [2;7] $
Ví dụ 2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $ f(x)=x+\frac{4}{x} $ trên đoạn $ [1,3]. $
Ví dụ 3. [DB2015] Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $ f(x)=x^3 +3x^2-9x+3 $ trên đoạn $ [0,2] $.
Đáp số $ \max\limits_{x\in[0,2]}f(x)=f(2)=5,\min \limits_{x\in[0,2]}f(x)=f(1)=-2 $.
Ví dụ 4. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:
Các tình huống còn lại, ta lập bảng biến thiên và biện luận.
Tương tự đối với bài toán tìm điều kiện để hàm số $ y=f(x) $ nghịch biến trên $ \mathbb{K}. $
Ví dụ 1. Tìm $ m $ để hàm số $ y = -x^3 + (m – 1)x^2 – (m – 1)x + 9 $ luôn nghịch biến trên $ \mathbb{R}. $
Tập xác định $\mathbb{D}=\mathbb{R}. $
Đạo hàm $ y’=-3x^2+2(m-1)x-m+1 $ có $ \Delta’=m^2-5m+4. $
Hàm số luôn nghịch biến trên $ \mathbb{R} \Leftrightarrow y’\leqslant 0 $ với mọi $ x\in \mathbb{R} $ khi và chỉ khi\[ \begin{cases} a<0\\ \Delta’\leqslant 0 \end{cases} \Leftrightarrow m\in [1,4]\]
Vậy với $ m\in [1,4] $ thì hàm số đã cho luôn nghịch biến trên $ \mathbb{R}. $
Ví dụ 2. Tìm $ m $ để hàm số $y={{x}^{3}}-3\left( 2m+1 \right){{x}^{2}}+\left( 12m+5 \right)x+2$ luôn đồng biến trên tập xác định.
Hướng dẫn. Đạo hàm $ y’ $ có $ \Delta=36{{m}^{2}}-6=6\left( 6{{m}^{2}}-1 \right)$. Đáp số $-\frac{1}{\sqrt{6}}\leqslant m\leqslant \frac{1}{\sqrt{6}}$.
Ví dụ 3. Tìm $ m $ để hàm số $ y = mx^3 + (3 – m)x^2 + 2x + 2 $ luôn đồng biến trên $ \mathbb{R}. $
Hướng dẫn. Tập xác định $\mathbb{D}=\mathbb{R}. $
Ta xét hai trường hợp:
Khi $ m=0 $ thì $ y=3x^2+2x+2 $ là một parabol nên không thể luôn đồng biến trên $ \mathbb{R}. $
Khi $ m\ne0 $ thì $ y’=3mx^2+2(3-m)x+2 $ có $ \Delta’=m^2-12m+9. $ Do đó, hàm số luôn đồng biến trên $ \mathbb{R} $ khi và chỉ khi \[ \begin{cases} a>0\\\Delta’\leqslant 0 \end{cases} \Leftrightarrow 6-3\sqrt{3}\leqslant m\leqslant 6+3\sqrt{3}\]
\end{itemize}
Vậy với $ 6-3\sqrt{3}\leqslant m\leqslant 6+3\sqrt{3} $ thì hàm số đã cho luôn đồng biến trên $ \mathbb{R}. $
Ví dụ 4. Cho hàm số $ y=\frac{1-m}{3}{{x}^{3}}-2\left( 2-m \right){{x}^{2}}+2\left( 2-m \right)x+5 $.
Tìm $ m $ để hàm số luôn đồng biến trên tập xác định.
Tìm $ m $ để hàm số luôn nghịch biến trên tập xác định.
Chú ý dấu bằng trong điều kiện $ y’\geqslant 0 $ hoặc $ y’\leqslant 0 $, cụ thể ta đi xét hai ví dụ sau:
Ví dụ 5. Tìm $ m $ để hàm số $ y=\frac{mx-2}{x+m-3} $ nghịch biến trên mỗi khoảng xác định.
Hướng dẫn.
Tập xác định $ \mathbb{D}=\mathbb{R}\setminus \{3-m\}. $ Đạo hàm $ y’=\frac{m^2-3m+2}{(x+m-3)^2} $.
Hàm số đã cho nghịch biến trên mỗi khoảng xác định khi và chỉ khi $$ y'<0, \forall x\in \mathbb{D} \Leftrightarrow m^2-3m+2<0 \Leftrightarrow 1<m<2$$
Vậy với $ m\in (1; 2) $ thì hàm số đã cho luôn nghịch biến trên mỗi khoảng xác định.
Ví dụ 6. Tìm $ m $ để hàm số $y=\frac{mx+4}{x+m}$ nghịch biến trong khoảng $\left( -\infty ;-1 \right)$.
Hướng dẫn. Có $ y’=\frac{{{m}^{2}}-4}{{{(x+m)}^{2}}}$ nên hàm số nghịch biến trong khoảng $\left( -\infty ;-1 \right)$ khi và chỉ khi
$$\begin{cases}
{{m}^{2}}-4<0 \\
\left( -\infty ;-1 \right) \subset (-\infty,m)
\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}
-2<m<2 \\
-m\geqslant -1
\end{cases} \Leftrightarrow -2<m\leqslant 1$$
Vậy với $ -2<m\leqslant 1 $ thì hàm số đã cho nghịch biến trong $ (-\infty,-1). $
Ví dụ 7. Tìm $ m $ để hàm số $y = – \frac{1}{3}{x^3} + {x^2} + \left( {m + 3} \right)x+5$ đồng biến trên $ [1;3] $.
Hướng dẫn.
Tập xác định: $ \mathbb{D}=\mathbb{R}. $
Đạo hàm: $ y’= -x^2+2x+m+3$
Hàm số đã cho đồng biến trên $ [1;3] $ khi và chỉ khi
\begin{align*}
y’&\geqslant 0,\;\forall x\in[1;3]\\
\Leftrightarrow -x^2+2x+m+3&\geqslant 0,\;\forall x\in[1;3]\\
\Leftrightarrow m&\geqslant x^2-2x-3,\;\forall x\in[1;3]\\
\Leftrightarrow m&\geqslant \max\limits_{x\in[1;3]}(x^2-2x-3)
\end{align*}
Xét hàm số $ f(x)= x^2-2x-3$ trên $ [1;3] $ ta có bảng biến thiên sau:
Suy ra $ \max\limits_{x\in[1;3]}f(x)=0 $ và do đó điều kiện cần tìm là $m \geqslant 0. $
Ví dụ 8. [A2013] Tìm $ m $ để hàm số $ y = -x^3+3x^2+3mx-1 $ nghịch biến trên $ \left( {0;+\infty} \right) $.
Hướng dẫn. Hàm số nghịch biến trên $ \left( {0;+\infty} \right) $ khi và chỉ khi $ y’\leqslant 0,\forall x\in \left( {0;+\infty} \right)$ khi và chỉ khi
\begin{align*}
-3x^2+6x+3m&\geqslant 0,\forall x\in \left( {0;+\infty} \right) \\
\Leftrightarrow m&\leqslant x^2-2x, \forall x\in \left( {0;+\infty} \right)\\
\Leftrightarrow m&\leqslant x^2-2x, \forall x\in \left[{0;+\infty} \right) \text{ (vì đạo hàm liên tục trên $ \left[{0;+\infty} \right) $) }\\
\Leftrightarrow m&\leqslant \min\limits_{x\in[0,+\infty)}\left( x^2-2x\right)
\end{align*}
Xét hàm số $ f(x)=x^2-2x $ trên $ \left[ {0;+\infty} \right) $ có $ f'(x)=2x-2; f'(x)=0\Leftrightarrow x=1. $ \\
Ta có bảng biên thiên như sau:
Dựa vào bảng biến thiên suy ra $ \min\limits_{x\in[0,+\infty)}f(x)=-1. $ Do đó, $ m\leqslant -1. $
Chú ý rằng, khi cô lập $ m, $ nếu phải chia cho biểu thức chứa $ x $ ta phải xét xem biểu thức đó âm hay dương trên tập đang xét! Cụ thể qua hai ví dụ sau đây.
Ví dụ 9. Tìm $ m $ để hàm số $y = – \frac{1}{3}{x^3} + \left( {m – 1} \right){x^2} + \left( {m + 3} \right)x – 4$ đồng biến trên $ [0,3] $.
Ví dụ 10. Tìm $ m $ để hàm số $y = – \frac{1}{3}{x^3} + \left( {m – 1} \right){x^2} + \left( {m + 3} \right)x – 4$ đồng biến trên $ [-4,-1] $.
Ví dụ 11. Cho hàm số $ y=x^4-2(m-1)x^2+m-2. $ Tìm $ m $ để hàm số đồng biến trên $ (1,3)? $
Ví dụ 1. [Chuyên KHTN năm 2020] Cho $ m$ là tham số thực. Phương trình $ 4^x-(m+4)\cdot 2^x+2=0$ có hai nghiệm thực $ x_1,x_2 $ thỏa mãn $ (x_1+2)(x_2+2)=4$. Tính giá trị của $ m$.
Hướng dẫn. Đặt $ t=2^x$, điều kiện $ t>0$ ta được phương trình bậc hai $$ t^2-(m+4)t+2=0 $$ Theo định lí Viét ta có $$ \begin{cases}
t_1+t_2=m+4,\\t_1\cdot t_2=2.
\end{cases}$$ Suy ra $$ 2=2^{x_1}\cdot 2^{x_2} =2^{x_1+x_2}$$ nên có $ x_1+x_2=1$. Kết hợp với giả thiết $ (x_1+2)(x_2+2)=4 $ ta tìm được $$ \begin{cases}
x_1=-1\\x_2=2
\end{cases} $$ Do đó, $ m+4=t_1+t_2=2^{x_1}+2^{x_2}=\frac{9}{2}$. Từ đó tìm được $ m=\frac{1}{2}$. Thử lại thấy nếu $ m=\frac{1}{2}$ thì phương trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn yêu cầu (cần phải thử lại vì ở đây chúng ta chưa tìm điều kiện cho phương trình $ t^2-(m+4)t+2=0 $ có hai nghiệm $ t>0$ ).
Ví dụ 2. Xét các số thực $ a,b>1$ và các số thực $x,y>0$ thỏa mãn $$ a^x=b^y=b^2\sqrt{a}. $$ Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ p=2020x+y$.
Hướng dẫn. Từ đẳng thức $ a^x=b^y=b^2\sqrt{a}$, lần lượt lấy logarit cơ số $ a,b$ hai vế ta được $$ \begin{cases}
x=\log_a\left(b^2\sqrt{a}\right)=2\log_a b+\frac{1}{2}\\
y=\log_b \left(b^2\sqrt{a}\right)=2+\frac{1}{2}\log_b a
\end{cases} $$ Suy ra, biểu thức cần tìm giá trị nhỏ nhất là $$ p= 2020\cdot \left(2\log_a b+\frac{1}{2}\right)+2+\frac{1}{2}\log_b a$$ Đặt $ t=\log_a b $ thì $ a,b>1$ nên $ t>0$ và biểu thức trên trở thành $$ p=2020\left(2t+\frac{1}{2}\right) +2+\frac{1}{2t}$$
Khảo sát hàm số này trên khoảng $ (0,+\infty)$, hoặc sử dụng bất đẳng thức AM–GM, ta tìm được giá trị nhỏ nhất của $ p$ là $ 1012+2\sqrt{2020}$.
Ví dụ 3. Có bao nhiêu số nguyên $ x$ để tồn tại số thực $ y$ thỏa mãn $$ \log_2 \frac{x}{x^2+y^2} =x^2+y^2 -4x-2$$
Hướng dẫn. Điều kiện $$\frac{x}{x^2+y^2}>0 \Leftrightarrow x>0 $$ Với điều kiện đó thì đẳng thức đã cho trở thành \begin{align}
\frac{x}{x^2+y^2} &= 2^{x^2+y^2-4x-2}\\
\Leftrightarrow \frac{x}{x^2+y^2} &=\frac{2^{x^2+y^2}}{2^{4x+2}}\\
\Leftrightarrow 4x\cdot 2^{4x}&=\left(x^2+y^2\right)\cdot 2^{x^2+y^2}
\end{align} Hàm số $ f(t)=t\cdot 2^t$ trên $ (0,+\infty)$ là một hàm đồng biến. Do đó $ f(4x)=f\left(x^2+y^2\right)$ xảy ra khi và chỉ khi $$ 4x=x^2+y^2. $$ Suy ra $ 4x-x^2=y^2 \geqslant 0$. Giải bất phương trình này, tìm được $ 0 \leqslant x \leqslant 4$. Mà $ x$ nguyên dương nên chọn được các giá trị là $ 1,2,3,4$.
Ví dụ 4. [Chuyên ĐHSP HN năm 2020] Cho các số thực $ x,y$ thỏa mãn $ x>y>0$ và $$ \ln (x-y)+\frac{1}{2}\ln (xy)=\ln(x+y). $$ Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ M=x+y$ bằng bao nhiêu?
Hướng dẫn. Biến đổi đẳng thức đã cho thành \begin{align}
\ln (x-y)^2+\ln(xy)&=\ln(x+y)^2\\
\Leftrightarrow (x-y)^2\cdot xy&=(x+y)^2\\
\Leftrightarrow \left((x+y)^2-4xy\right)\cdot xy& = (x+y)^2\\
\Leftrightarrow (x+y)^2(1-xy)&=4(xy)^2
\end{align} Nhận xét nếu $ xy=1 $ thì đẳng thức trên dẫn tới điều vô lý, do đó $ xy\ne 1$. Chia hai vế cho $ (1-xy)$ ta được $$ (x+y)^2=\frac{4(xy)^2}{1-xy} $$Đặt $ t=xy$ ta xét hàm số $ f(t)= \frac{4t^2}{t-1}$ trên khoảng $ (0;+\infty)$. Bảng biến thiên của hàm số này như sau
Suy ra $ (x+y)^2 \geqslant 16 \Leftrightarrow x+y \geqslant 4$ hay giá trị nhỏ nhất của $ M$ là $ 4$.
Cách khác, chúng ta có thể sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai.
Đặt $ t=xy $, điều kiện $ t>0$, ta được phương trình bậc hai ẩn $ t$ là \begin{align}
(M^2-4t)t&=M^2\\
\Leftrightarrow -4t^2+M^2t-M^2&=0
\end{align} Phương trình này có nghiệm $ t>0$ khi và chỉ khi hoặc là có hai nghiệm dương, hoặc là có hai nghiệm trái dấu. Nhưng khả năng hai nghiệm trái dấu không xảy ra do $P=4M^2>0 $, nên chỉ xảy ra khả năng hai nghiệm dương. Điều kiện cần và đủ là $$ \begin{cases}
\Delta \geqslant 0\\
S>0\\ P>0
\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}
M^4-16M^2 \geqslant 0\\ \frac{M^2}{4}>0\\ 4M^2>0
\end{cases}$$ Giải hệ này, ta cũng tìm được giá trị nhỏ nhất của $ M$ là $ 4.$
Ví dụ 5. [Lương Thế Vinh – HN Lần 2 năm 2020] Cho các số thực $ x,y$ thỏa mãn $ \ln y \geqslant \ln (x^3+2)-\ln 3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$ H=e^{4y-x^3-x-2}-\frac{x^2+y^2}{2}+x(y+1)-y. $$
Hướng dẫn. Trước tiên, ta có điều kiện xác định của các biểu thức là $$ \begin{cases}
x > \sqrt[3]{-2}\\ y >0
\end{cases} $$ Với điều kiện đó, bất đẳng thức đã cho trở thành $$ 3y \geqslant x^3+2 $$ Biến đổi biểu thức $ H$ ta được \begin{align}
H&=e^{y-x}\cdot e^{3y-x^3-2} -\frac{(y-x)^2}{2}-(y-x)\\
&\geqslant e^{y-x} -\frac{(y-x)^2}{2}-(y-x)
\end{align} Đặt $ t=y-x$ thì ta có \begin{align}
t=y-x \geqslant \frac{x^3+2}{3}-x
\end{align} Xét hàm số $ f(x)=\frac{x^3+2}{3}-x$ trên khoảng $ \sqrt[3]{-2}$ ta có bảng biến thiên sau
Suy ra điều kiện của biến $ t$ là $ t \geqslant 0$. Tiếp tục lập bảng biến thiên của hàm số $ H=e^t-\frac{t^2}{2}-t$ trên nửa khoảng $ [0;+\infty)$ ta tìm được giá trị nhỏ nhất của $ H $ là $ 1.$
Ví dụ 6. [SGD Vĩnh Phúc năm 2020] Cho hai số thực dương $ x,y$ thỏa mãn $ 2+2\log_2 x=\frac{1}{2}\log_{\sqrt{2}}y$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ P=10x^2-2(x+y)-3$.
Hướng dẫn. Biến đổi đẳng thức $ 2+2\log_2 x=\frac{1}{2}\log_{\sqrt{2}}y$, chúng ta có \begin{align}
\log_2 \left(4x^2\right)&=\log_2 y\\
\Leftrightarrow 4x^2&=y
\end{align} Thay vào biểu thức $ P$ ta được \begin{align}
P&=10x^2-2(x+4y^2)-3 \\
&=2\left(x-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{7}{2}
\end{align} Suy ra, giá trị nhỏ nhất của $ P$ là $ -\frac{7}{2}.$
Ví dụ 7. [Chuyên Thái Bình Lần 4 năm 2020] Cho hai số thực dương $ x,y$ thỏa mãn $ \log_2 x +x(x+y)=\log_2 (6-y)+6x$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ T=x^3+3y$.
Hướng dẫn. Biến đổi đẳng thức đã cho ta được \begin{align}
\log_2 x+x^2 &=\log_2 (6-y) +x(6-y)\\
\Leftrightarrow 2 \log_2 x +x^2 &= \log_2 x+ \log_2 (6-y) +x(6-y)\\
\Leftrightarrow \log_2 x^2 + x^2 &= \log_2 \big(x(6-y)\big) +x(6-y)
\end{align} Hàm số $ f(t)=\log_2 t+t$ với $ t>0$ là một hàm số đồng biến nên ta có $$ f(x^2)=f\big(x(6-y)\big) $$ xảy ra khi và chỉ khi $ x^2=x(6-y)$. Mà $ x>0$ nên điều này đồng nghĩa với $ x=6-y$ hay $ y=6-x$. Lúc này, biểu thức $ T$ trở thành $$ T=x^3+3(6-x) $$ Bảng biến thiên của $T$ trên $ (0,+\infty)$ như sau
Suy ra, giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ T$ là $ 16.$
Bài viết này tổng hợp các câu hỏi về chủ đề Nguyên hàm, Tích Phân và ứng dụng trong các đề thi minh họa, đề tham khảo TN THPT, đề thi thử THPTQG năm 2020 của các trường trên cả nước.
Mời thầy cô và các em học sinh tham khảo thêm các bài viết khác:
Câu 1. [Chuyên KHTN Lần 1 năm 2020] Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm trên khoảng \( (0;+\infty) \) và thỏa mãn \( f(x)=x\left(\sin x + f'(x) \right) +\cos x\) và \( f\left(\frac{\pi}{2}\right) =\frac{\pi}{2}\). Tính giá trị của \( f(\pi) \).
Hướng dẫn. Từ đẳng thức \( f(x)=x\left(\sin x + f'(x) \right) +\cos x\), sau khi nhân ra và chuyển hết số hạng liên quan đến hàm \( f(x) \) sang một vế ta được $$ f(x)-x\cdot f'(x)=x\cdot \sin x+\cos x\,\,\,\,(*) $$ Quan sát vế trái, ta có thể viết lại thành $$ f(x)-x\cdot f'(x)=x’\cdot f(x)-x\cdot f'(x) $$ Ở đây xuất hiện dấu trừ, trong khi nếu đạo hàm của một tích thì phải là \[x’\cdot f(x)+x\cdot f'(x). \]Do đó, chúng ta nghĩ tới công thức đạo hàm của một thương. Viết lại đẳng thức \( (*) \) và chia hai vế cho \( x^2 \) (lưu ý rằng hàm số đang xét trên khoảng \( (0;+\infty) \) nên \(x\ne 0\)) ta được \begin{align*}
\frac{f'(x)\cdot x – f(x)}{x^2}& =\frac{ – x\cdot \sin x -\cos x}{x^2}\\
\Leftrightarrow \left(\frac{f(x)}{x}\right)’&=\left(\frac{\cos x}{x}\right)’
\end{align*} Lấy nguyên hàm hai vế ta được $$ \frac{f(x)}{x}= \frac{\cos x}{x} + C$$ Theo đề bài có \( f\left(\frac{\pi}{2}\right) =\frac{\pi}{2} \) nên suy ra \( C=1 \). Do đó \( f(x)=\cos x+x \) và \( f(\pi)=\pi-1 \).
Câu 2.[Chuyên KHTN Lần 1 năm 2020] Cho hàm số \( f(x) \) liên tục trên \( \mathbb{R} \) và thỏa mãn \( f^3(x)+2f(x)=1-x \) với mọi \( x\in \mathbb{R} \). Tính tích phân \( \displaystyle \int_{-2}^1 f(x)dx \)
Hướng dẫn. Vì \( f^3(x)+2f(x)=1-x \) với mọi \( x\in \mathbb{R} \) nên cho \( x=1 \) ta có phương trình $$ f^3(1)+2f(1)=1-0 $$ Giải phương trình này, được \( f(1)=0 \). Tương tự, với \( x=-2 \) ta tìm được \( f(-2)=1 \).
Mặt khác, từ đẳng thức đã cho \( f^3(x)+2f(x)=1-x \), ta lấy vi phân hai vế thì được $$ -dx = \left(3f^2(x)+2\right)df(x) $$ nên tích phân cần tính trở thành \begin{align}
{\int \limits_{ – 2}^1 f (x)dx}&{\, =\, – \int \limits_{ – 2}^1 f (x)\left( {3{f^2}(x) + 2} \right)df(x)}\\
{}&{ =\, – \int \limits_1^0 {\left( {3{u^3} + 2u} \right)} du = \frac{7}{4}}
\end{align}
Câu 3. [Lương Thế Vinh – HN Lần 2 năm 2020] Cho hàm số \( y=f(x) \) liên tục trên \( \mathbb{R} \) và thỏa mãn $$ \sin x\cdot f\left(\cos x\right)+\cos x\cdot f\left(\sin x\right) =\sin 2x-\frac{1}{2}\sin^3 2x$$ với mọi \( x\in \mathbb{R} \). Tính tích phân \( \displaystyle I=\int_0^1 f(x)dx \).
Hướng dẫn. Lấy tích phân cận từ \( 0 \) đến \( \frac{\pi}{2} \) hai vế ta được \begin{align*}
\int_0^{\frac{\pi}{2}}\left(\sin x\cdot f\left(\cos x\right)+\cos x\cdot f\left(\sin x\right)\right)dx &= \int_0^{\frac{\pi}{2}}\left(\sin 2x-\frac{1}{2}\sin^3 2x\right)dx
\end{align*} Dễ dàng tính được tích phân ở vế phải \[\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}}\left(\sin 2x-\frac{1}{2}\sin^3 2x\right)dx=\frac{2}{3}\] Đối với tích phân ở vế trái, chúng ta tách thành hai tích phân và sử dụng phương pháp đổi biến số. Chẳng hạn, \( \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\left(\sin x\cdot f\left(\cos x\right)\right)dx \) chúng ta đặt \( t=\cos x \) thì tích phân này trở thành \begin{align*}
\int_1^{0}\left(-f\left(t\right)\right)dt
\end{align*} và cũng chính bằng $$ \int_1^{0}\left(-f\left(x\right)\right)dx=\int_0^{1}f\left(x\right)dx $$ do tích phân không phụ thuộc vào tên biến.
Hoàn toàn tương tự, chúng ta tính được $$ \int_0^{\frac{\pi}{2}}\left(\cos x\cdot f\left(\sin x\right)\right)dx= \int_0^{1}f\left(x\right)dx$$ Do đó, tích phân cần tính ban đầu là $$ 2I=2/3 $$ hay \( I=\frac{1}{3}. \)
Câu 4. [Chuyên ĐHSP HN] Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên tập \( \mathbb{R} \) và thỏa mãn $$ f(x)+(5x-2)f\left(5x^2-4x\right)=50x^3-60x^2+23x-1 $$ với mọi \( x\in \mathbb{R} \). Tính tích phân \( I=\displaystyle \int_0^1f(x) dx \)
Hướng dẫn. Lấy tích phân cận từ \( 0 \) đến \( 1 \) hai vế đẳng thức đã cho ta có \begin{align*}
\int_0^1\left(f(x)+(5x-2)f\left(5x^2-4x\right)\right)dx=\int_0^1\left(50x^3-60x^2+23x-1 \right)dx
\end{align*} Dễ dàng tính được tích phân ở vế phải $$ \int_0^1\left(50x^3-60x^2+23x-1 \right)dx=3 $$ Đối với tích phân ở vế trái, ta tách thành tổng hai tích phân, $$ \int_0^1\left(f(x)+(5x-2)f\left(5x^2-4x\right)\right)dx=I+\int_0^1(5x-2)f\left(5x^2-4x\right)dx $$ Đối với tích phân $$ \int_0^1(5x-2)f\left(5x^2-4x\right)dx $$ ta sử dụng phương pháp đổi biến số. Đặt \( t=5x^2-4x \) thì \( dt=2(5x-2)dx \), sau khi đổi cận ta được \begin{align*}
\int_0^1(5x-2)f\left(5x^2-4x\right)dx & = \int_0^1\frac{1}{2}f(t)dt\\
&=\frac{1}{2} \int_0^1f(x) dx
\end{align*} Do đó, ta có phương trình \( I+\frac{1}{2} I=3 \) hay \( I=2 \).
Câu 5. [Amsterdam HK2 năm 2020] Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm trên đoạn \([1;4]\). Biết rằng $$ 2x\cdot f'(x)+f(x)=2x\cdot \sqrt{x} $$ và \( f(1)=\frac{3}{2} \), tính giá trị \( f(4) \).
Hướng dẫn. Xét trên đoạn \([1;4]\) thì \( x>0 \) nên chia hai vế đẳng thức đã cho cho \( 2\sqrt{x} \) ta được \begin{align*}
\sqrt{x}\cdot f'(x)+\frac{1}{2\sqrt{x}}\cdot f(x)&=x\\
\Leftrightarrow \left(\sqrt{x}\cdot f(x)\right)’&=x
\end{align*} Lấy nguyên hàm hai vế, ta được $$ \sqrt{x}\cdot f(x)=\frac{1}{2}x^2+C $$ Mà \( f(1)=\frac{3}{2} \) nên suy ra \( C=1 \) hay \( \sqrt{x}\cdot f(x)=\frac{1}{2}x^2+1 \). Thay \( x=4 \) vào tìm được \( f(4)=\frac{9}{2} \).
Câu 6.[SGD Vĩnh Phúc năm 2020] Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên \( \mathbb{R} \) và thỏa mãn $$ \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\cot x\cdot f\left(\sin^2x\right)dx=\int_1^{16}\frac{f\left(\sqrt{x}\right)}{x}dx=1 $$ Tính tích phân \( \displaystyle I=\int _{\frac{1}{8}}^1\frac{f(4x)}{x} dx\).
Hướng dẫn. Đối với tích phân \( \displaystyle \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}}\cot x\cdot f\left(\sin^2x\right)dx= 1\) chúng ta đổi biến \( t=\sin^2x \) thì $$ dt=2\sin x\cos x dx=2\sin^2x \cdot \cot x dx $$ Suy ra \( \cot x dx=\frac{dt}{2t} \), do đó tích phân đã cho trở thành $$ 1=\int_{\frac{1}{2}}^1\frac{f(t)dt}{2t} $$ Vì tích phân không phụ thuộc vào tên biến nên suy ra $$ \int_{\frac{1}{2}}^1\frac{f(x)dx}{2x}=1\Leftrightarrow \int_{\frac{1}{2}}^1\frac{f(x)dx}{x}=2 $$ Đối với tích phân \( \displaystyle \int_1^{16}\frac{f\left(\sqrt{x}\right)}{x}dx=1 \), chúng ta cũng sử dụng phương pháp đổi biến với \( t=\sqrt{x} \) thì tìm được $$ \int_1^{4}\frac{f\left(x\right)}{x}dx=\frac{1}{2}. $$ Tiếp tục sử dụng đổi biến số cho tích phân cần tính \begin{align*}
I&=\int _{\frac{1}{8}}^1\frac{f(4x)}{x} dx\\
&=\int _{\frac{1}{2}}^4\frac{f(t)}{t}dt=\int_{\frac{1}{2}}^1\frac{f(t)}{t}dt+\int_{1}^4\frac{f(t)}{t}dt\\
&=2+\frac{1}{2}\\
&=\frac{5}{2}
\end{align*}
Câu 7. [Chuyên Thái Bình Lần 4 năm 2020] Cho \( f(x) \) là hàm số liên tục trên tập số thực \( \mathbb{R} \) và thỏa mãn $$ f\left(x^2+3x+1\right)=x+2 $$ Tính tích phân \( \displaystyle I=\int_1^5 f(x) dx \).
Hướng dẫn. Vì tích phân không phụ thuộc tên biến nên ta có $$ I=\int_1^5 f(x) dx=\int_1^5 f(t) dt $$ Sử dụng phương pháp đổi biến số, đặt \( t=x^2+3x+1 \) thì \( dt=(2x+3)dx \) và tích phân cần tính trở thành \begin{align*}
I&=\int_0^1f\left(x^2+3x+1)(2x+3)dx\right)\\
&=\int_0^1 (x+2)(2x+3)dx
\end{align*} Dễ dàng tính được tích phân cuối cùng này bằng $\frac{61}{6}$, tức là $I=\frac{61}{6}$.
Câu 8. [SGD Thái Nguyên năm 2020] Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm liên tục trên \( \mathbb{R} \) và thỏa mãn \( f'(x)>0, \;\forall x\in \mathbb{R} \). Biết \( f(0)=1 \) và \( f'(x)=(2-3x)\cdot f(x) \). Tính giá trị của \( f(1) \).
Hướng dẫn. Vì $ f(x)>0, \;\forall x\in \mathbb{R} $ nên chia hai vế đẳng thức đã cho cho $ f(x)$ ta được $$ \frac{f'(x)}{f(x)} =2-3x$$ Lấy nguyên hàm hai vế đẳng thức này, ta được \begin{align*}
\int \frac{f'(x)}{f(x)}dx & =\int (2-3x) dx\\
\Leftrightarrow \int \ln \left|f(x) \right|= \ln (f(x)) &= -\frac{3}{2}x^2+2x+C
\end{align*} Mặt khác $ f(0)=1$ nên suy ra $$ \ln (f(0)) =\ln 1=-\frac{3}{2}\cdot0^2+2\cdot 0 +C $$ hay $ C=0$. Suy ra $ \ln (f(x)) = -\frac{3}{2}x^2+2x$. Thay $ x=1$ vào ta được $ \ln (f(1))=\frac{1}{2}$ nên $ f(1)=e^{\frac{1}{2}}$.
Câu 9. [Chuyên Vĩnh Phúc – Lần 2 năm 2020] Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên $ \mathbb{R}$ và $$ \int_1^9\frac{f\left(\sqrt{x}\right)}{\sqrt{x}}dx=4, \int_0^{\frac{\pi}{2}}f\left(\sin x\right)\cos xdx=2$$ Tính tích phân $ \displaystyle I=\int_0^3f(x)dx$.
Hướng dẫn. Sử dụng phương pháp đổi biến số, đặt $ t=\sqrt{x}$ thì ta có \begin{align*}
4&=\int_1^9\frac{f\left(\sqrt{x}\right)}{\sqrt{x}}dx\\
&=2\int_1^3 f(t)dt
\end{align*} Vì tích phân không phụ thuộc tên biến, nên suy ra $\displaystyle \int_1^3 f(x)dx=2 $.
Tương tự, đổi biến $ t=\sin x$ thì tích phân thứ hai đã cho trở thành \begin{align*}
2&=\int_0^{\frac{\pi}{2}}f\left(\sin x\right)\cos xdx\\
&=\int_0^1 f(t)dt
\end{align*} hay suy ra $ \displaystyle \int_0^1f(x)dx=2$. Tóm lại, tích phân cần tính là \begin{align}
I&=\int_0^3f(x)dx\\
&=\int_0^1f(x)dx+\int_1^3f(x)dx\\
&=2+2=4
\end{align}
Câu 10. [THPT Bình Phú] Cho hàm số $f(x)$ là đa thức thỏa mãn $$ f(x)+\frac{1}{x}f'(x^2)+f”(x)=x^2+2x-2 $$ Biết $ f(-2)=0, f(0)=f'(-2)=-4$. Tính tích phân $ \displaystyle I=\int_0^{-2}f(x)dx.$
Hướng dẫn. Nhận xét rằng $ f(x)$ là đa thức bậc hai, nên đặt $ f(x)=ax^2+bx+c$ thì từ dữ kiện $ f(-2)=0, f(0)=f'(-2)=-4$ ta có hệ phương trình $$ \begin{cases}
4a-2b+c=0\\
c=-4\\
-4a+b=-4
\end{cases} $$ Giải hệ này ta được $ a=1,b=0,c=-4$ và do đó $ f(x)=x^2-4$. Từ đó tìm được $$ I=\int_0^{-2}f(x)dx=\frac{16}{3}. $$ Cách khác, chúng ta đồng nhất hệ số của đẳng thức $$ f(x)+\frac{1}{x}f'(x^2)+f”(x)=x^2+2x-2 $$ cũng lập được một hệ phương trình và từ đó tìm được $ f(x)=x^2-4$ như trên.
Câu 11. [Chuyên Lê Hồng Phong – Nam Định] Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên khoảng $ (0;+\infty)$ và $ f(1)=e$. Biết rằng $ x^3\cdot f'(x)=e^x(x-2)$ với mọi $ x\in (0;+\infty)$. Tính tích phân $ \displaystyle I=\int_1^{\ln 3}x^2 f(x)dx$.
Hướng dẫn. Xét trên khoảng $ (0;+\infty)$, từ $ x^3\cdot f'(x)=e^x(x-2)$, ta suy ra $$ f'(x)=\frac{e^x(x-2)}{x^3} $$ Lấy nguyên hàm hai vế ta được \begin{align}
\int f'(x) dx&=\int \frac{e^x(x-2)}{x^3}dx \\
f(x)&=\frac{1}{x^{2}}e^{x}+C
\end{align} Cho $ x=1$ ta được $ e=f(1)=e+C$ nên suy ra $ C=0$. Tức là ta có $ f(x)=\frac{1}{x^{2}}e^{x}$. Do đó, tích phân cần tính trở thành \begin{align}
I&=\int_1^{\ln 3}x^2\cdot \frac{e^x}{x^2}dx\\
&=\int_1^{\ln 3}e^xdx\\
&=3-e
\end{align}
Câu 12. [Kim Liên – HN HK2] Giả sử hàm số $f(x)$ có đạo hàm cấp hai trên $ \mathbb{R}$ và thỏa mãn $ f(1)=f'(1)=2$. Biết rằng $$ f(1-x)+x^2\cdot f”(x)=4x+2, $$ với mọi $ x\in \mathbb{R}$, tính tích phân $ \displaystyle \int_0^1 xf'(x)dx$.
Hướng dẫn. Ta sử dụng phương pháp tích phân từng phần, với $$ \begin{cases}
u=f'(x)\\ dv=xdx
\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}
du=f”(x)dx\\ v=\frac{1}{2}x^2
\end{cases}$$ Tích phân cần tính trở thành \begin{align}
I&=\frac{1}{2}x^2f'(x)\bigg|_0^1 -\frac{1}{2}\int_0^1 x^2f”(x)dx\\
&=\frac{1}{2}f'(1)-\frac{1}{2}\int_0^1\left(4x+2-f(1-x)\right)dx\\
&=1-\frac{1}{2}\int_0^1\left(4x+2\right)+\frac{1}{2}\int_0^1f(1-x)dx\\
&=-1-\frac{1}{2}\int_1^0f(t)dt\\
&=-1+\frac{1}{2}J
\end{align} Mặt khác, nếu đặt $$ \begin{cases}
u=x\\ dv=f'(x)dx
\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}
du=dx\\ v=f(x)
\end{cases}$$ thì thích phân cần tính trở thành \begin{align}
I&=xf(x)\bigg|_0^1 -\int_0^1 f(x)dx\\
&=2-J
\end{align} Tóm lại, chúng ta có hệ phương trình $$ \begin{cases}
I=2-J\\ I=-1+\frac{1}{2}J
\end{cases} $$
Giải hệ này tìm được $ I=0.$
Cách chứng minh hàm số liên tục tại một điểm, hàm số liên tục trên một khoảng
Hàm số liên tục là một trong những mảng kiến thức quan trọng của Giải tích, trong bài này chúng tôi xin giới thiệu tóm tắt lý thuyết về hàm số liên tục và các dạng toán liên quan.
Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên khoảng \((a;b)\) và \(x_0\) thuộc \( (a;b) \). Hàm số \(f(x)\) liên tục tại \( x_0 \) khi và chỉ khi $$\underset{x\to {{x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=f({{x}_{0}})$$
Hàm số không liên tục tại \( x_0 \) còn có thể gọi là hàm số gián đoạn tại \( x_0 \).
Giả sử các hàm số \( y = f(x), y = g(x) \) liên tục tại điểm \( x_0 \). Khi đó:
Các hàm số \( y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x), y = f(x).g(x) \) liên tục tại \( x_0 \).
Hàm số $y=\dfrac{f(x)}{g(x)}$ liên tục tại \( x_0 \) nếu \( g(x_0) \ne 0 \).
1.2. Hàm số liên tục trên một khoảng
Hàm số \( y = f(x) \) liên tục trên khoảng \( (a;b) \) khi và chỉ khi nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.
Nếu hàm số liên tục trên khoảng \( (a;b) \) thì trên khoảng đó, đồ thị hàm số là một đường nét liền liên tục (không bị đứt).
Tại điểm $x_0$ đồ thị hàm số bị đứt (rời) nên có thể nói hàm số gián đoạn tại $x_0$
1.3. Hàm số liên tục trên một đoạn
Hàm số \( y = f(x) \) liên tục trên đoạn \( [a;b] \) khi và chỉ khi nó liên tục trên khoảng \( (a;b) \) và
\[\underset{x\to {{a}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=f(a),\,\,\,\underset{x\to {{b}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=f(b)\]
1.4. Các hàm số liên tục thường gặp
Hàm số đa thức liên tục trên \( \mathbb{R} \).
Hàm số phân thức, căn thức, hàm số lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định của chúng.
1.5. Ứng dụng của hàm số liên tục
Nếu hàm số \( y = f(x) \) liên tục trên đoạn \( [a; b] \) và \( f(a). f(b)< 0 \) thì tồn tại ít nhất một số \( c \) thuộc khoảng \( (a; b) \) sao cho \( f(c) = 0 \).
Nói cách khác, nếu hàm số \( y = f(x) \) liên tục trên đoạn \( [a; b] \) và \( f(a). f(b)< 0 \) thì phương trình \( f(x) = 0 \) có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng \( (a; b) \).
Nếu hàm số liên tục \( y = f(x) \) trên đoạn \( [a; b] \). Đặt \(m = \mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} {\mkern 1mu} f(x)\), và \(M = \mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} {\mkern 1mu} f(x)\). Khi đó với mọi số \( T \) thuộc khoảng \( (m; M) \) luôn tồn tại ít nhất một số \( c \) thuộc khoảng \( (a; b) \) sao cho \( f(c) = T \).
2. Các ví dụ và dạng toán về hàm số liên tục
Dạng 1. Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm cụ thể
Để xét tính liên tục của hàm số \( y = f(x) \) tại điểm \( x_0 \) ta thực hiện các bước:
Kiểm tra xem hàm số có xác định trên một khoảng chứa \( x_0 \) hay không và tính giá trị \( f(x_0) \).
Tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x)\) (trong nhiều trường hợp ta cần tính \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } {\mkern 1mu} f(x),\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ – } f(x)\))
So sánh \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x)\) với \( f(x_0) \) và kết luận.
Ví dụ 1. Xét tính liên tục của hàm số $$f(x) = \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{{2 – 7x + 5{x^2}}}{{{x^2} – 3x + 2}}& &\text{nếu }x \ne 1\\ – 3& &\text{nếu }x = 1 \end{array} \right.$$ tại \( x = 1 \).
Hướng dẫn.
Hàm số xác định trên \(\mathbb{R} \setminus \{2\}\) chứa \( x=1 \) và \( f(1) = – 3 \)
Do \( \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) \ne f(1) \) nên hàm số đã cho gián đoạn tại \( x_0 = 1 \).
Ví dụ 3.Xét tính liên tục của hàm số tại điểm được chỉ ra: $$f(x)\,\, = \,\,\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{{2 – 7x + 5{x^2}}}{{{x^2} – 3x + 2}}& &\text{nếu }\,x > 1\,\,\,\,\,\,\\ 1& &\text{nếu }\,\,x \le 1 \end{array} \right.$$ tại điểm \( x = 1 \).
Hướng dẫn. Khác với ví dụ trước, ở đây chúng ta cần đi tính giới hạn trái và giới hạn phải tại $x=1$.
Hàm số xác định tại \( x=1 \) và \( f(1)=1 \)
Giới hạn trái tại \( x=1 \) \[ \lim\limits_{x\to 1^-}f(x)= \lim\limits_{x\to 1^-}1=1\]
Chúng ta thấy, \( \lim\limits_{x\to 0^+}f(x)=\lim\limits_{x\to 0^-}f(x) \) nhưng lại khác \(f(0)\) nên suy ra hàm số không liên tục tại điểm \( x = 0 \).
Dạng 2. Xét tính liên tục, chứng minh hàm số liên tục trên một khoảng đoạn hoặc tập xác định
Ví dụ 1. Xét tính liên tục của hàm số \[f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\dfrac{{{x^2} + 5x}}{x}}&{{\text{khi }}x \ne 0}\\
5&{{\text{khi }}x = 0}
\end{array}} \right.\] trên \(R\).
Hướng dẫn. Rõ ràng khi \(x\ne0\) thì hàm số đã cho là hàm phân thức và hoàn toàn xác định nên nó liên tục trên từng khoảng \( (-\infty;0) \) và \( (0;+\infty) \).
Chú ý không được nói hàm số đã cho liên tục trên \(( – \infty ;0) \cup (0; + \infty )\).
Do đó, chúng ta chỉ cần xét tính liên tục của hàm số tại \(x=0\). Chúng ta có:
Giá trị của hàm số tại \(x=0\) là \( f(0)=5 \).
Giới hạn của hàm số tại \(x=0\) là \[\begin{array}{*{20}{l}}
{\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x)}&{ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{{x^2} + 5x}}{x}}\\
{}&{ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \left( {x + 5} \right) = 5}
\end{array}\]
Ta thấy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f(x) = f(0)\) nên hàm số đã cho liên tục tại \(x=0\). Tóm lại, hàm số đã cho liên tục trên toàn bộ tập \(R\).
Ví dụ 2.Xét tính liên tục của hàm số\[f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{2x – 1}&{{\text{khi }}x < 0}\\
{\sqrt x }&{{\text{khi }}x \ge 0}
\end{array}} \right.\] trên tập xác định.
Hướng dẫn. Chúng ta có ngay tập xác định của hàm số là \(R\).
Tập xác định của hàm số là tập mà tại mọi điểm \(x\) của tập đó, hàm số có thể tính được giá trị \(f(x)\) tương ứng.
Khi \( x<0 \) thì \( f(x)=2x-1 \) là hàm số liên tục.
Khi \( x>0 \) thì \( f(x)=\sqrt{x} \) cũng là hàm số liên tục.
Do đó, chúng ta chỉ xét tính liên tục của hàm số tại điểm \( x=0 \) nữa là có thể kết luận. Tại \( x=0 \) thì \[\begin{array}{l}
\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \sqrt x = 0\\
f(0) = 0\\
\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} \left( {2x – 1} \right) = – 1
\end{array}\] Rõ ràng \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f(x) = f(0) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} f(x)\) nên hàm số gián đoạn tại \( x=0 \).
Tóm lại, hàm số đã cho không liên tục trên tập xác định.
Dạng 3. Tìm điều kiện để hàm số liên tục tại một điểm
Ví dụ 1.Tìm \( m \) để hàm số $$f(x) = \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{{2 – 7x + 5{x^2}}}{{{x^2} – 3x + 2}}& &\text{nếu }x \ne 1\\ – 3mx – 1& &\text{nếu }x = 1 \end{array} \right.$$ liên tục tại điểm \( x = 1 \).
Hướng dẫn.
Rõ ràng hàm số xác định tại \( x=1 \) và \( f(1) = – 3m.1 – 1 \).
Hàm số \( f(x) \) liên tục tại \( {x_0} = 1 \) khi và chỉ khi $$ \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = f(1) \Leftrightarrow – 3m – 1 = – 3 \Leftrightarrow m = – \frac{2}{3} $$
Vậy giá trị m cần tìm của \( m \) là \( -3 \).
Dạng 4. Tìm điều kiện để hàm số liên tục trên một khoảng đoạn hoặc tập xác định.
Ví dụ.Tìm \( m \) để hàm số sau liên tục trên tập xác định của nó:
$$ f(x)\,\, = \,\,\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{{2 – 7x + 5{x^2}}}{{x – 1}}& &\text{nếu}\,\,x \ne 1\,\,\,\,\,\,\\ – 3mx – 1& &\text{nếu}\,\,x = 1 \end{array} \right. $$ Hướng dẫn. Tập xác định: \( D = \mathbb{R} \).
Nếu \( x \ne 1 \), thì hàm số đã cho là \( f(x) = \dfrac{{2 – 7x + 5{x^2}}}{{x – 1}} \). Đây là hàm phân thức hữu tỉ có tập xác định là \( \left( { – \infty ;1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\) nên nó liên tục trên mỗi khoảng \( \left( { – \infty ;1} \right) \) và \( \left( {1; + \infty } \right) \)
Nếu \( x = 1 \) thì chúng ta có \( f(1) = – 3m – 1 \) và \[\begin{array}{*{20}{l}}
{}&{}\\
{\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x)}&{ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2 – 7x + 5{x^2}}}{{x – 1}}}\\
{}&{ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{\left( {x – 1} \right)\left( {5x – 2} \right)}}{{x – 1}}}\\
{}&{ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} (5x – 2) = 3}
\end{array}\] Hàm số \( f(x) \) liên tục tại \( {x_0} = 1 \) khi và chỉ khi \[\begin{array}{l}
\,\,\,\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = f(1)\\
\Leftrightarrow – 3m – 1 = 3\\
\Leftrightarrow m = – \frac{4}{3}.
\end{array}\]
Tóm lại, giá trị cần tìm là \( m = – \frac{4}{3} \).
Dạng 5. Ứng dụng hàm số liên tục chứng minh phương trình có nghiệm
Ví dụ 1.Chứng minh phương trình \( 3{x^3} + 2x – 2 = 0 \) có nghiệm trong khoảng \( \left( {0;1} \right) \).
Hướng dẫn.
Xét hàm số \( f(x) = 3{x^3} + 2x – 2 \), đây là hàm đa thức nên liên tục trên tập \( R \). Do đó, \( f(x) \) cũng liên tục trên đoạn \( \left[ {0;1} \right] \).
Suy ra tồn tại ít nhất một số \( c \) trong khoảng \( (0;1) \) sao cho \( f(c) = 0 \), nghĩa là phương trình \( f(x)=0 \) có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng \( \left( {0;1} \right) \).
Ví dụ 2. Chứng minh phương trình \( 2{x^3} – 6{x^2} + 5 = 0 \) có ba nghiệm trong khoảng \( \left( { – 1;3} \right) \).
Hướng dẫn.
Hàm số \( f(x) = 2{x^3} – 6{x^2} + 5 \) liên tục trên \( R \) nên suy ra \( f(x) \) liên tục trên các đoạn \( [-1;0] , [0;2]\) và \( [2;3] \).
Ta có: \( f( – 1) = – 3 , f(0) = 5, f(2) = – 3 , f(3) = 5 \). Suy ra \[\begin{array}{l}
f( – 1)\cdot f(0) < 0\\
f(0)\cdot f(2) < 0\\
f(2)\cdot f(3) < 0
\end{array}\] Do đó, phương trình đã cho có nghiệm trong mỗi khoảng \( \left( { – 1;0} \right) \), \( \left( {0;2} \right) \) và \( \left( {2;3} \right) \).
Kết luận, phương trìn có ba nghiệm trong khoảng \( \left( { – 1;3} \right) \).
Ví dụ 3.Chứng minh rằng phương trình \( a{x^2} + bx + c = 0 \) luôn có nghiệm trong đoạn \( \left[ {0;\frac{1}{3}} \right] \) với mọi \( a \ne 0 \) và \( 2a + 6b + 19c = 0 \).
Hướng dẫn. Hàm số \( f(x) = a{x^2} + bx + c \) liên tục trên \( \mathbb{R} \) nên cũng liên tục trên đoạn \( \left[ {0;\frac{1}{3}} \right] \).
Ta có $$ f(0) = c, f(\frac{1}{3}) = \frac{1}{9}(a + 3b + 9c) $$ Suy ra $f(0) + 18f(\frac{1}{3}) = 2a + 6b + 19c = 0 $ nên $$ f(0) =-18f(\frac{1}{3}) $$ Như vậy, chúng ta thấy
Nếu \( f(0) = f(\frac{1}{3}) = 0 \) thì phương trình có nghiệm chính là \( 0 \) và \( \frac{1}{3} \) thuộc đoạn \( \left[ {0;\frac{1}{3}} \right] \).
Nếu \( f(0) =-18 f(\frac{1}{3}) \ne 0 \) thì \( f(0)\cdot f(\frac{1}{3}) =-\left(f(0)\right)^2 < 0 \). Lúc này, phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng \( \left( {0;\frac{1}{3}} \right) \).
Tóm lại, phương trình đã cho luôn có nghiệm trong đoạn \( \left[ {0;\frac{1}{3}} \right] \) với mọi \( a \ne 0 \) và \( 2a + 6b + 19c = 0 \).
3. Bài tập hàm số liên tục
Bài 1.Xét tính liên tục của hàm số tại điểm được chỉ ra:
a) $f(x)=\left\{ \begin{align}
& \frac{x+3}{x-1}& \text{ khi }\,\,x\ne 1 \\
& -1& \text{ khi }\,\,x=1 \\
\end{align} \right.$
tại $x=-1$
b) $f(x)\,\,=\,\,\left\{ \begin{align}
& \frac{\sqrt{x+3}-2}{x-1}\,\,\,& \text{ khi }\,x\ne 1\,\,\,\,\,\, \\
& \frac{1}{4}& \text{ khi }\,\,x=1 \\
\end{align} \right.$
tại $x=1$
c) $f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\dfrac{{2 – 7x + 5{x^2} – {x^3}}}{{{x^2} – 3x + 2}}}&{{\rm{khi }}{\mkern 1mu} x \ne 2{\mkern 1mu} }\\
1&{{\text{khi }} x = 2}
\end{array}} \right. $
tại $x=2$
d) $f(x)\,=\,\left\{ \begin{align}
& \frac{x-5}{\sqrt{2x-1}-3}\,\,& \text{ khi }\,\,x>5 \\
& {{(x-5)}^{2}}+3\,\,\,\,\,& \text{ khi }\,x\le \,\,5 \\
\end{align} \right.$
tại $x=5$
e) $f(x)\,\,=\,\,\left\{ \begin{align}
& 1-\cos x& \text{ khi }\,x\le 0 \\
& \sqrt{x+1}& \text{ khi }\,\,x>0 \\
\end{align} \right.$
tại $x=0$
f) $f(x)=\left\{ \begin{align}
& \frac{x-1}{\sqrt{2-x}-1}& \text{ khi }\,\,x<1 \\
& -2x& \text{ khi }\,\,x\ge 1 \\
\end{align} \right.$
tại $x=1$
Bài 2.Tìm $m, n$ để hàm số liên tục tại điểm được chỉ ra:
a) $f(x)=\left\{ \begin{align}
& {{x}^{2}}& \text{ khi }\,\,x<1 \\
& 2mx-3& \text{ khi }\,\,x\ge 1 \\
\end{align} \right.$
tại $x=1$
b) $f(x)=\left\{ \begin{align}
& \frac{{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+2x-2}{x-1}& \text{ khi }\,\,x\ne 1 \\
& 3x+m& \text{ khi }\,\,x=1 \\
\end{align} \right.$
tại $x=1$
c) $f(x)=\left\{ \begin{align}
& m& \text{ khi }\,\,x=0 \\
& \frac{{{x}^{2}}-x-6}{x(x-3)}& \text{ khi }\,\,x\ne 0,x\ne 3 \\
& n& \text{ khi }\,\,x=3 \\
\end{align} \right.$
tại $x=0$ và $x=3$
d) $f(x)=\left\{ \begin{align}
& \frac{{{x}^{2}}-x-2}{x-2}& \text{ khi }\,\,x\ne 2 \\
& m& \text{ khi }\,\,x=2 \\
\end{align} \right.$
tại $x=2$
Bài 3. Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng:
a) $f(x)\,\,=\,\,\left\{ \begin{align}
& \frac{{{x}^{3}}+x+2}{{{x}^{3}}+1}& \text{ khi }\,\,x\ne -1 \\
& \frac{4}{3}& \text{ khi }\,\,x=-1 \\
\end{align} \right.$
b) $f(x)=\left\{ \begin{align}
& {{x}^{2}}-3x+4& \text{ khi }\,\,x<2 \\
& 5& \text{ khi }\,\,x=2 \\
& 2x+1& \text{ khi }\,\,x>2 \\
\end{align} \right.$
c) $f(x)=\left\{ \begin{align}
& \frac{{{x}^{2}}-4}{x+2}& \text{ khi }\,\,x\ne -2 \\
& -4& \text{ khi }\,\,x=-2 \\
\end{align} \right.$
d) $f(x)=\left\{ \begin{align}
& \frac{{{x}^{2}}-2}{x-\sqrt{2}}& \text{ khi }\,\,x\ne \sqrt{2} \\
& 2\sqrt{2}& \text{ khi }\,\,x=\sqrt{2} \\
\end{align} \right.$
Bài 4.Tìm các giá trị của tham số \(m\) để các hàm số sau liên tục trên tập xác định của chúng:
a) $f(x)=\left\{ \begin{align}
& \frac{{{x}^{2}}-x-2}{x-2}& \text{ khi }\,\,x\ne 2 \\
& m& \text{ khi }\,\,x=2 \\
\end{align} \right.$
b) $f(x)=\left\{ \begin{align}
&{{x}^{2}}+x& \text{ khi }\,\,x<1 \\
&2& \text{ khi }\,\,x=1 \\
&mx+1& \text{ khi }\,\,x>1 \\
\end{align} \right.$
c) $f(x)=\left\{ \begin{align}
&\frac{{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+2x-2}{x-1}&\text{ khi }\,\,x\ne 1 \\
&3x+m & \text{ khi }\,\,x=1 \\
\end{align} \right.$
d) $f(x)=\left\{ \begin{align}
&{{x}^{2}}& \text{ khi }\,\,x<1 \\
&2mx-3& \text{ khi }\,\,x\ge 1 \\
\end{align} \right.$
Bài 5.Chứng minh rằng các phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt:
a) ${{x}^{3}}-3x+1=0$
b) ${{x}^{3}}+6{{x}^{2}}+9x+1=0$
c) $2x+6\sqrt[3]{1-x}=3$
Bài 6.Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm:
a) ${{x}^{5}}-3x+3=0$
b) ${{x}^{5}}+x-1=0$
c) ${{x}^{4}}+{{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+x+1=0$
Bài 7. Chứng minh rằng phương trình: ${{x}^{5}}-5{{x}^{3}}+4x-1=0$ có 5 nghiệm trên khoảng \( (-2; 2) \).
Bài 8. Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số:
a) $m{{(x-1)}^{3}}(x-2)+2x-3=0$
b) ${{x}^{4}}+m{{x}^{2}}-2mx-2=0$
c) $a(x-b)(x-c)+b(x-c)(x-a)+c(x-a)(x-b)=0$
d) $(1-{{m}^{2}}){{(x+1)}^{3}}+{{x}^{2}}-x-3=0$
e) $\cos x+m\cos 2x=0$
f) $m(2\cos x-\sqrt{2})=2\sin 5x+1$
Bài 9.Chứng minh các phương trình sau luôn có nghiệm:
a) $a{{x}^{2}}+bx+c=0$ với $2a + 3b + 6c = 0$
b) $a{{x}^{2}}+bx+c=0$ với \( a + 2b + 5c = 0 \)
c) ${{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+bx+c=0$
Bài 10.Chứng minh rằng phương trình: $a{{x}^{2}}+bx+c=0$ luôn có nghiệm \( x \) thuộc $\left[ 0;\frac{1}{3} \right]$ với \( a \ne 0 \) và \( 2a + 6b + 19c = 0 \).
Định nghĩa. Dãy số $ (u_n) $ được xác định bởi $\begin{cases} u_1=u\\u_{n}=u_{n-1}+d \end{cases}$ được gọi là cấp số cộng với số hạng đầu bằng $ u $ và công sai $ d. $
Tính chất 3 số hạng liên tiếp của cấp số cộng $$ u_k=\frac{u_{k-1}+u_{k+1}}{2} $$
Công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng $$ u_n=u_1+(n-1)d $$
Tổng $ n $ số hạng đầu tiên của cấp số cộng $$ S_n=u_1+u_2+…+u_n=\frac{n(u_1+u_n)}{2} $$
https://www.youtube.com/watch?v=ZbBZiMQnkbQ
1.2. Cấp số nhân
Định nghĩa. Dãy số $ (u_n) $ được xác định bởi $\begin{cases} u_1=u\\u_{n}=u_{n-1}\cdot q \end{cases}$ được gọi là cấp số nhân với số hạng đầu bằng $ u$ và công bội $ q. $
Công thức số hạng tổng quátcủa cấp số nhân $$ u_n=u_1\cdot q^{n-1} $$
Tính chất 3 số hạng liên tiếp của cấp số nhân $$ u_k^2=u_{k-1}.u_{k+1} $$
Tổng $ n $ số hạng đầu tiên của cấp số nhân $$ S_n=u_1+u_2+…+u_n=u_1\frac{1-q^n}{1-q} \,\,\, (q\ne 1)$$
2. Bài tập cấp số cộng
Ví dụ 1.Cho cấp số cộng có $ u_1=10,d=-4. $ Tìm $ u_{10} $ và $ S_{10} $.
Hướng dẫn.Sử dụng công thức số hạng tổng quát, ta có số hạng thứ $10$ của cấp số cộng là $$ u_{10}=u_1 + (10-1)d = 10+9(-4)=-26 $$ Tổng \( 10 \) số hạng đầu tiên của cấp số cộng đã cho là $$ S_{10} = \frac{10\left(u_1+u_{10}\right)}{2}=-80 $$
Ví dụ 2. Cho ba số dương $ a, b, c $ lập thành cấp số cộng. Chứng minh rằng:
${{a}^{2}}+2bc={{c}^{2}}+2ab$
${{a}^{2}}+8bc={{(2b+c)}^{2}}$
$({{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}}),({{a}^{2}}+ac+{{c}^{2}}),({{b}^{2}}+bc+{{c}^{2}})$ lập thành cấp số cộng
Hướng dẫn.Ta có ba số dương $ a, b, c $ lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi $ 2b=a+c $.
${{a}^{2}}+2bc={{c}^{2}}+2ab$ tương đương với $$ a^2+(a+c)c=c^2+(a+c)a $$ Khai triển hai vế đẳng thức này được điều hiển nhiên đúng.
${{a}^{2}}+8bc={{(2b+c)}^{2}}$ tương đương với $$ a^2+4c(a+c)=(a+c+c)^2 $$ Khai triển hai vế đẳng thức này được điều hiển nhiên đúng.
$({{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}}),({{a}^{2}}+ac+{{c}^{2}}),({{b}^{2}}+bc+{{c}^{2}})$ lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi
$$ ({{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}}) + ({{b}^{2}}+bc+{{c}^{2}}) = 2 ({{a}^{2}}+ac+{{c}^{2}})$$ Khai triển và rút gọn ta được \begin{align*}
&ab+bc+2b^2=a^2+2ac+c^2\\
\Leftrightarrow & (a+c)b+2b^2=(a+c)^2
\end{align*} Thay \( a+c=2b \) vào hai vế đẳng thức trên ta được \( 4b^2=4b^2 \), đây là điều hiển nhiên đúng.
Ví dụ 3.Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng $ (u_n) $ biết
Ví dụ 4.Xác định $ x $ để ba số $ 10 – 3x, 2x^2 + 3, 7 – 4x $ lập thành một cấp số cộng.
Hướng dẫn.Ba số $ 10 – 3x, 2x^2 + 3, 7 – 4x $ lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi $$ 10-3x+7-4x=2(2x^2+3) $$ Giải phương trình này, tìm được \( x=1, x=-\frac{11}{4} \).
Ví dụ 5. Xác định một cấp số cộng có 3 số hạng, biết tổng của chúng bằng 9 và tổng bình phương là 125.
Giải: Gọi $d$ là công sai của cấp số cộng và ba số phải tìm là $(x – d),x, (x + d)$ thì ta có hệ phương trình:
Giải hệ trên, ta tìm được với $d = 7$ cấp số cộng đó là $-4, 3, 10$ và với $d = -7$ cấp số là $10;,3,-4$.
Ví dụ 6. Xác định 4 góc của một tứ giác lồi, biết rằng số đo 4 góc lập thành một cấp số cộng và góc lớn nhất bằng 5 lần góc nhỏ nhất.
Hướng dẫn.Gọi $d=2a$ là công sai thì bốn số phải tìm là $$x – 3a,x – a,x + a,x + 3a$$ Ta có hệ phương trình: $$ \begin{cases}
\left( x-3\text{a} \right)+\left( x-a \right)+\left( x+a \right)+\left( x+3a \right)=360^\circ\\
\left( x+3a \right)=5\left( x-3a \right)
\end{cases} $$ Giải hệ này, tìm được \( x=90^\circ \) và \( a=20^\circ \). Suy ra, bốn góc phải tìm là:A = 300; B = 700 ; C = 1100 ; D = 1500.
Ví dụ 7. Tìm tổng các số hạng liên tiếp từ thứ 6 đến thứ 14 của cấp số cộng có số hạng thứ ba là 16 và công sai bằng 4.
Ví dụ 8. Cho hàm số $ y=x^3-3x^2-9x+m $ có đồ thị là $ (C). $ Tìm $m$ để đồ thị $(C)$ cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng?
Hướng dẫn.Giả sử ba hoành độ là $ x_1,x_2,x_3 $. Từ $ x_1+x_3=2x_2 $ và Viét suy ra $ x_2=1. $ Từ đó tìm được $ m $ và thử lại. Đáp số $ m=11. $
Ví dụ 9.Tìm $m$ để đồ thị hàm số $ y=x^4-2(m-1)x^2+2m+1 $ cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt lập thành một cấp số cộng. Đáp số. $ m=4 $ và $ m=-\frac{4}{9}. $
Ví dụ 10. Cho phương trình : ${{x}^{4}}+3{{x}^{2}}-\left( 24+m \right)x-26-n=0$. Tìm hệ thức liên hệ giữa $m$ và $n$ để phương trình có 3 nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}$ lập thành một cấp số cộng?
Hướng dẫn.Vì 3 nghiệm phân biệt : ${{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}$ lập thành cấp số cộng , nên ta có thể đặt: $${{x}_{1}}={{x}_{0}}-d,{{x}_{2}}={{x}_{0}},{{x}_{3}}={{x}_{0}}+d\left( d\ne 0 \right)$$ Theo giả thiết ta có: $${x^3} + 3{x^2} – \left( {24 + m} \right)x – 26 – n = \left( {x – {x_1}} \right)\left( {x – {x_2}} \right)\left( {x – {x_3}} \right)$$
Nhân ra và đồng nhất hệ số ở hai vế của phương trình ta có hệ: $$\begin{array}{l}
\,\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}
– 3{x_0} = 3\\
3x_0^2 – {d^2} = – \left( {24 + m} \right)\\
– x_0^3 + {x_0}{d^2} = – 26 – n
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_0} = – 1\\
3 – {d^2} = – 24 – m\\
1 – {d^2} = – 26 – n
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_0} = – 1\\
m = n
\end{array} \right.
\end{array}$$ Vậy với $m=n$ thì ba nghiệm phân biệt của phương trình lập thành cấp số cộng.
Ví dụ 11. Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình $ \sin^23x-5\sin3x+4=0 $ trên khoảng $ (0;50\pi) $.
Đáp số. $ \frac{3725\pi}{2} $.
3. Bài tập cấp số nhân
Ví dụ 1. Cho dãy số $({u_n})$ xác định bởi ${u_n} = \frac{5}{2}$ và ${u_{n + 1}} = 3{u_n} – 1$ với mọi $n \geqslant 1$. Chứng minh rằng dãy số $({v_n})$ xác định bởi ${v_n} = {u_n} = \frac{{ – 1}}{2}$ với mọi $n \geqslant 1$ là một cấp số nhân. Hãy cho biết số hạng đầu và công bội của cấp số nhân đó.
Hướng dẫn.Từ công thức xác định dãy số $ (u_n) $ và $ (v_n) $ ta có
$${v_{n + 1}} = {u_{n + 1}} – \frac{1}{2} = 3{u_n} – 1 – \frac{1}{2} = 3\left( {{u_n} – \frac{1}{2}} \right) = 3{v_n} \text{ với mọi }n\geqslant 1. $$ Ta thấy ngay, $ (v_n) $ là một cấp số nhân với số hạng đầu $ v_1=2 $ và công bội $ q=3. $
Ví dụ 2.Một cấp số nhân có 5 số hạng , công bội bằng một phần bốn số hạng thứ nhất , tổng của hai số hạng đầu bằng 24. Tìm cấp số nhân đó.
Hướng dẫn. Theo giả thiết ta có $$\begin{array}{l}
\,\,\,\,\,\,{u_1} + {u_2} = {u_1} + \frac{1}{4}\left( {{u_1}} \right) = 24\\
\Rightarrow {u_1} + \frac{1}{4}u_1^2 – 24 = 0\\
\Leftrightarrow {u_1} = – 12 \vee {u_1} = 8
\end{array}$$ Vậy có hai cấp số nhân tương ứng là $8,16,32,128$ hoặc $-12,36,-108,-972$.
Ví dụ 3.Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân $ (u_n) $ biết
Ví dụ 4.Tìm bốn góc của một tứ giác, biết rằng các góc đó lập thành cấp số nhân và góc cuối gấp 9 lần góc thứ hai.
Ví dụ 5.Tìm các số dương $ a,b $ sao cho $ a,a+2b,2a+b $ lập thành một cấp số cộng còn $ (b+1)^2,ab+5,(a+1)^2 $ lập thành một cấp số nhân.
Ví dụ 6.Tìm $m$ để phương trình $ x^3+2x^2+(m+1)x+2(m+1)=0 $ có ba nghiệm lập thành một cấp số nhân.
Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với $$ (x+2)(x^{2}+m+1)=0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}
x=-2 \\ x^{2}=-m-1\end{array}\right.$$
Phương trình đã cho có ba nghiệm khi và chỉ khi $$ \begin{cases}m<-1\\m\neq{-5}\end{cases} $$ Khi đó, ba nghiệm của phương trình là $$ x=-2;x=\sqrt{-m-1};x=-\sqrt{-m-1} $$ Chúng ta xét hai trường hợp:
TH1. \( -5<m<-1 \) thì 3 nghiệm theo thứ tự là $$ -2;-\sqrt{-m-1};\sqrt{-m-1} $$ Để chúng lập thành cấp số nhân thì $$ -2\sqrt{-m-1}=-m-1 $$ Chú ý điều kiện \( -5<m<-1 \) nên phương trình ẩn \( m \) này vô nghiệm.
TH2. \( m<-5 \) thì 3 nghiệm theo thứ tự là $$ -\sqrt{-m-1};-2;\sqrt{-m-1} $$ Để chúng lập thành cấp số nhân thì $$ 4=-(-m-1)\Leftrightarrow m=3 $$ So sánh với điều kiện, thấy giá trị này không thỏa mãn.
Tóm lại, không có giá trị nào của \( m \) thỏa mãn yêu cầu.
Ví dụ 7. Tính tổng $$ S=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{3^{2015}} $$
Ví dụ 8. Tìm các số hạng đầu của cấp số nhân $(u_n)$ biết rằng $$ \begin{cases}
u_1+u_2+u_3+u_4=15\\
u_1^2+u_2^2+u_3^2+u_4^2=85
\end{cases} $$ Hướng dẫn.Giả sử cấp số nhân cần tìm có số hạng đầu bằng \( x \) và công bội \( q \ne 1\). Sử dụng công thức tổng $n$ số hạng đầu của một cấp số nhân, chúng ta có
$$ u_1+u_2+u_3+u_4=\frac{x\left(q^4-1\right)}{q-1}=15 $$ Bình phương hai vế ta được $$ x^2(q^4-1)^2/(q-1)^2 = 225 $$ Đối với tổng $ u_1^2+u_2^2+u_3^2+u_4^2$ ta có thể coi đây chính là tổng bốn số hạng đầu của một cấp số nhân với số hạng đầu là \( x^2 \) và công bội \( q^2 \) nên tổng của chúng là $$u_1^2+u_2^2+u_3^2+u_4^2=\frac{x^2\left(q^8-1\right)}{q^2-1}=85 $$
Chia từng vế hai phương trình trên ta được $$ \frac{\left(q^4-1\right)\left(q^2-1\right)}{\left(q-1\right)^2\left(q^8-1\right)} =\frac{225}{85}$$
Rút gọn rồi nhân chéo ta được phương trình $$ 14q^4 – 17q^3 – 17q^2 – 17q + 14 = 0 $$ Đến đây có thể sử dụng máy tính để giải, tìm được nghiệm \( q=2,q=\frac{1}{2} \). Hoặc đặt \( t=q+\frac{1}{q} \) và đưa về phương trình bậc hai ẩn \( t \).
Lời giải chi tiết cho ví dụ này, mời thầy cô và các em học sinh xem trong video sau:
