dàn âm thanh hội trường, âm thanh lớp học, âm thanh phòng họp, loa trợ giảng

Bài toán mũ và logarit trong các đề thi năm 2020

Bài toán mũ và logarit trong các đề thi năm 2020

Xem thêm Nguyên Hàm – Tích Phân trong đề thi 2020

SGK, sách ôn thi, sách tham khảo giá rẻ

Ví dụ 1.  [Chuyên KHTN năm 2020] Cho $ m$ là tham số thực. Phương trình $ 4^x-(m+4)\cdot 2^x+2=0$ có hai nghiệm thực $ x_1,x_2 $ thỏa mãn $ (x_1+2)(x_2+2)=4$. Tính giá trị của $ m$.

Hướng dẫn. Đặt $ t=2^x$, điều kiện $ t>0$ ta được phương trình bậc hai $$ t^2-(m+4)t+2=0 $$ Theo định lí Viét ta có $$ \begin{cases}
t_1+t_2=m+4,\\t_1\cdot t_2=2.
\end{cases}$$ Suy ra $$ 2=2^{x_1}\cdot 2^{x_2} =2^{x_1+x_2}$$ nên có $ x_1+x_2=1$. Kết hợp với giả thiết $ (x_1+2)(x_2+2)=4 $ ta tìm được $$ \begin{cases}
x_1=-1\\x_2=2
\end{cases} $$ Do đó, $ m+4=t_1+t_2=2^{x_1}+2^{x_2}=\frac{9}{2}$. Từ đó tìm được $ m=\frac{1}{2}$. Thử lại thấy nếu $ m=\frac{1}{2}$ thì phương trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn yêu cầu (cần phải thử lại vì ở đây chúng ta chưa tìm điều kiện cho phương trình $ t^2-(m+4)t+2=0 $ có hai nghiệm $ t>0$ ).

Ví dụ 2. Xét các số thực $ a,b>1$ và các số thực $x,y>0$ thỏa mãn $$ a^x=b^y=b^2\sqrt{a}. $$ Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ p=2020x+y$.

Hướng dẫn. Từ đẳng thức $ a^x=b^y=b^2\sqrt{a}$, lần lượt lấy logarit cơ số $ a,b$ hai vế ta được $$ \begin{cases}
x=\log_a\left(b^2\sqrt{a}\right)=2\log_a b+\frac{1}{2}\\
y=\log_b \left(b^2\sqrt{a}\right)=2+\frac{1}{2}\log_b a
\end{cases} $$ Suy ra, biểu thức cần tìm giá trị nhỏ nhất là $$ p= 2020\cdot \left(2\log_a b+\frac{1}{2}\right)+2+\frac{1}{2}\log_b a$$ Đặt $ t=\log_a b $ thì $ a,b>1$ nên $ t>0$ và biểu thức trên trở thành $$ p=2020\left(2t+\frac{1}{2}\right) +2+\frac{1}{2t}$$
Khảo sát hàm số này trên khoảng $ (0,+\infty)$, hoặc sử dụng bất đẳng thức AM–GM, ta tìm được giá trị nhỏ nhất của $ p$ là $ 1012+2\sqrt{2020}$.

SGK, sách ôn thi, sách tham khảo giá rẻ

Ví dụ 3.  Có bao nhiêu số nguyên $ x$ để tồn tại số thực $ y$ thỏa mãn $$ \log_2 \frac{x}{x^2+y^2} =x^2+y^2 -4x-2$$

Hướng dẫn. Điều kiện $$\frac{x}{x^2+y^2}>0 \Leftrightarrow x>0 $$ Với điều kiện đó thì đẳng thức đã cho trở thành \begin{align}
\frac{x}{x^2+y^2} &= 2^{x^2+y^2-4x-2}\\
\Leftrightarrow \frac{x}{x^2+y^2} &=\frac{2^{x^2+y^2}}{2^{4x+2}}\\
\Leftrightarrow 4x\cdot 2^{4x}&=\left(x^2+y^2\right)\cdot 2^{x^2+y^2}
\end{align} Hàm số $ f(t)=t\cdot 2^t$ trên $ (0,+\infty)$ là một hàm đồng biến. Do đó $ f(4x)=f\left(x^2+y^2\right)$ xảy ra khi và chỉ khi $$ 4x=x^2+y^2. $$ Suy ra $ 4x-x^2=y^2 \geqslant 0$. Giải bất phương trình này, tìm được $ 0 \leqslant x \leqslant 4$. Mà $ x$ nguyên dương nên chọn được các giá trị là $ 1,2,3,4$.

Ví dụ 4. [Chuyên ĐHSP HN năm 2020] Cho các số thực $ x,y$ thỏa mãn $ x>y>0$ và $$ \ln (x-y)+\frac{1}{2}\ln (xy)=\ln(x+y). $$ Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ M=x+y$ bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn. Biến đổi đẳng thức đã cho thành \begin{align}
\ln (x-y)^2+\ln(xy)&=\ln(x+y)^2\\
\Leftrightarrow (x-y)^2\cdot xy&=(x+y)^2\\
\Leftrightarrow \left((x+y)^2-4xy\right)\cdot xy& = (x+y)^2\\
\Leftrightarrow (x+y)^2(1-xy)&=4(xy)^2
\end{align} Nhận xét nếu $ xy=1 $ thì đẳng thức trên dẫn tới điều vô lý, do đó $ xy\ne 1$. Chia hai vế cho $ (1-xy)$ ta được $$ (x+y)^2=\frac{4(xy)^2}{1-xy} $$Đặt $ t=xy$ ta xét hàm số $ f(t)= \frac{4t^2}{t-1}$ trên khoảng $ (0;+\infty)$. Bảng biến thiên của hàm số này như sau

SGK, sách ôn thi, sách tham khảo giá rẻ

mũ và logarit trong các đề thi năm 2020
Suy ra $ (x+y)^2 \geqslant 16 \Leftrightarrow x+y \geqslant 4$ hay giá trị nhỏ nhất của $ M$ là $ 4$.

Cách khác, chúng ta có thể sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai.
Đặt $ t=xy $, điều kiện $ t>0$, ta được phương trình bậc hai ẩn $ t$ là \begin{align}
(M^2-4t)t&=M^2\\
\Leftrightarrow -4t^2+M^2t-M^2&=0
\end{align} Phương trình này có nghiệm $ t>0$ khi và chỉ khi hoặc là có hai nghiệm dương, hoặc là có hai nghiệm trái dấu. Nhưng khả năng hai nghiệm trái dấu không xảy ra do $P=4M^2>0 $, nên chỉ xảy ra khả năng hai nghiệm dương. Điều kiện cần và đủ là $$ \begin{cases}
\Delta \geqslant 0\\
S>0\\ P>0
\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}
M^4-16M^2 \geqslant 0\\ \frac{M^2}{4}>0\\ 4M^2>0
\end{cases}$$ Giải hệ này, ta cũng tìm được giá trị nhỏ nhất của $ M$ là $ 4.$

Ví dụ 5.  [Lương Thế Vinh – HN Lần 2 năm 2020] Cho các số thực $ x,y$ thỏa mãn $ \ln y \geqslant \ln (x^3+2)-\ln 3$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$ H=e^{4y-x^3-x-2}-\frac{x^2+y^2}{2}+x(y+1)-y. $$

Hướng dẫn. Trước tiên, ta có điều kiện xác định của các biểu thức là $$ \begin{cases}
x > \sqrt[3]{-2}\\ y >0
\end{cases} $$ Với điều kiện đó, bất đẳng thức đã cho trở thành $$ 3y \geqslant x^3+2 $$ Biến đổi biểu thức $ H$ ta được \begin{align}
H&=e^{y-x}\cdot e^{3y-x^3-2} -\frac{(y-x)^2}{2}-(y-x)\\
&\geqslant e^{y-x} -\frac{(y-x)^2}{2}-(y-x)
\end{align} Đặt $ t=y-x$ thì ta có \begin{align}
t=y-x \geqslant \frac{x^3+2}{3}-x
\end{align} Xét hàm số $ f(x)=\frac{x^3+2}{3}-x$ trên khoảng $ \sqrt[3]{-2}$ ta có bảng biến thiên sau

SGK, sách ôn thi, sách tham khảo giá rẻ

mũ logarit trong đề thi 2020
Suy ra điều kiện của biến $ t$ là $ t \geqslant 0$. Tiếp tục lập bảng biến thiên của hàm số $ H=e^t-\frac{t^2}{2}-t$ trên nửa khoảng $ [0;+\infty)$ ta tìm được giá trị nhỏ nhất của $ H $ là $ 1.$

Ví dụ 6. [SGD Vĩnh Phúc năm 2020] Cho hai số thực dương $ x,y$ thỏa mãn $ 2+2\log_2 x=\frac{1}{2}\log_{\sqrt{2}}y$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ P=10x^2-2(x+y)-3$.

Hướng dẫn. Biến đổi đẳng thức $ 2+2\log_2 x=\frac{1}{2}\log_{\sqrt{2}}y$, chúng ta có \begin{align}
\log_2 \left(4x^2\right)&=\log_2 y\\
\Leftrightarrow 4x^2&=y
\end{align} Thay vào biểu thức $ P$ ta được \begin{align}
P&=10x^2-2(x+4y^2)-3 \\
&=2\left(x-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{7}{2}
\end{align} Suy ra, giá trị nhỏ nhất của $ P$ là $ -\frac{7}{2}.$

Ví dụ 7. [Chuyên Thái Bình Lần 4 năm 2020] Cho hai số thực dương $ x,y$ thỏa mãn $ \log_2 x +x(x+y)=\log_2 (6-y)+6x$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ T=x^3+3y$.

SGK, sách ôn thi, sách tham khảo giá rẻ

Hướng dẫn. Biến đổi đẳng thức đã cho ta được \begin{align}
\log_2 x+x^2 &=\log_2 (6-y) +x(6-y)\\
\Leftrightarrow 2 \log_2 x +x^2 &= \log_2 x+ \log_2 (6-y) +x(6-y)\\
\Leftrightarrow \log_2 x^2 + x^2 &= \log_2 \big(x(6-y)\big) +x(6-y)
\end{align} Hàm số $ f(t)=\log_2 t+t$ với $ t>0$ là một hàm số đồng biến nên ta có $$ f(x^2)=f\big(x(6-y)\big) $$ xảy ra khi và chỉ khi $ x^2=x(6-y)$. Mà $ x>0$ nên điều này đồng nghĩa với $ x=6-y$ hay $ y=6-x$. Lúc này, biểu thức $ T$ trở thành $$ T=x^3+3(6-x) $$ Bảng biến thiên của $T$ trên $ (0,+\infty)$ như sau

giá trị nhỏ nhất của T=x^3+3y

Suy ra, giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ T$ là $ 16.$

Ví dụ 8.

SGK, sách ôn thi, sách tham khảo giá rẻ

Hướng dẫn.

Ví dụ 9. 

Hướng dẫn.

 

SGK, sách ôn thi, sách tham khảo giá rẻ

Ví dụ 10. 

 

Hướng dẫn.

SGK, sách ôn thi, sách tham khảo giá rẻ

Comments

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *