3 cách chứng minh hai mặt phẳng song song trong không gian
Để biết cách chứng minh hai mặt phẳng song song, chúng ta cần phải xem thế nào là hai mặt phẳng song song, và từ đó sẽ có các phương pháp chứng minh 2 mặt phẳng song song trong không gian.
1. Thế nào là hai mặt phẳng song song?
1.1. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng.
Trong không gian, cho hai mặt phẳng $(\alpha)$ và $ (\beta) $ thì có ba khả năng về vị trí của chúng:
Mặt phẳng $(\alpha)$ và mặt phẳng $ (\beta) $ trùng nhau. Khi đó, hai mặt phẳng có vô số điểm chung.
Mặt phẳng $(\alpha)$ và mặt phẳng $ (\beta) $ cắt nhau theo giao tuyến là một đường thẳng. Khi đó, hai mặt phẳng có vô số điểm chung.
Mặt phẳng $(\alpha)$ và mặt phẳng $ (\beta) $ song song. Khi đó, hai mặt phẳng không có điểm chung.
Từ đó, người ta định nghĩa hai mặt phẳng song song như sau:
Hai mặt phẳng gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung
Nếu một mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau mà hai đường thẳng này lần lượt song song với hai đường thẳng của mặt phẳng còn lại thì hai mặt phẳng đó song song với nhau.
1.3. Tính chất hai mặt phẳng song song
Cho hai mặt phẳng song song, mọi đường thẳng nằm trên mặt phẳng thứ nhất đều song song với mặt phẳng thứ hai.
Hai mặt phẳng cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.
Hai mặt phẳng song song bị cắt bởi mặt phẳng thứ ba thì hai giao tuyến song song với nhau.
Định lý Thales trong không gian: Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến bất kì những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.
1.4. Hình lăng trụ, hình chóp cụt
Hình lăng trụ là hình gồm có hai đáy là hai đa giác bằng nhau đồng thời nằm trên hai mặt phẳng song song và các mặt bên là các hình bình hành.
Hình lăng trụ có đáy là hình bình hành thì gọi là hình hộp. Như vậy, hình hộp là hình có tất cả các mặt đều là hình bình hành.
Cắt hình chóp bởi một mặt phẳng song song với đáy thu được một hình chóp mới và một hình chóp cụt.
2. Cách chứng minh hai mặt phẳng song song
Phương pháp chứng minh hai mặt phẳng song song: Để chứng minh hai mặt phẳng song song chúng ta có thể sử dụng một trong ba cách:
Chỉ ra trong mặt phẳng thứ nhất chứa hai đường thẳng cắt nhau, mà hai đường thẳng này lần lượt song song với mặt phẳng thứ hai.
Chỉ ra trong mặt phẳng thứ nhất chứa hai đường thẳng cắt nhau, mà hai đường thẳng này lần lượt song song với hai đường thẳng của mặt phẳng thứ hai.
Chứng minh chúng cùng song song với một mặt phẳng thứ ba.
3. Ví dụ về cách chứng minh hai mặt phẳng song song
Ví dụ 1. Cho hai hình bình hành $ ABCD $ và $ ABEF $ nằm trong hai mặt phẳng khác nhau.
Chứng minh rằng $ (ADF)\parallel(BCE) $;
Gọi $ I,J,K $ là trung điểm của các cạnh $ AB,CD,EF $. Chứng minh rằng $ (DIK)\parallel(JBE) $.
Ví dụ 2.Cho tứ diện $ ABCD $ có $ M,N,P $ lần lượt là trọng tâm của các tam giác $ ABC, ABD, ACD $. Chứng minh rằng $ (MNP)\parallel(BCD) $.
Ví dụ 3. Cho hình bình hành $ ABCD.$ Từ $ A $ và $ C $ kẻ hai tia $ Ax $ và $ Cy $ song song, cùng chiều và không nằm trong mặt phẳng $ (ABCD). $ Chứng minh mặt phẳng $ (BAx)\parallel (DCy). $
Ví dụ 4. Cho hình chóp $ S.ABCD $ với $ ABCD $ là hình bình hành. Gọi $ I $ là trung điểm của $ SD. $
Xác định giao điểm $K$ của $BI $ và $(SAC)$.
Trên $ IC $ lấy điểm $ H $ sao cho $ HC=2HI $. Chứng minh $ KH\parallel(SAD)$.
Gọi $ N $ là điểm trên $ SI $ sao cho $ SN=2NI $. Chứng minh $ (KHN)\parallel(SBC) $.
Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng $ (KHN). $
Hướng dẫn.Chỉ ra $ K $ là trọng tâm tam giác $ SBD. $
Ví dụ 5. Cho lăng trụ tam giác $ ABC.A’B’C’ $ có $ I ,K ,G $ lần lượt là trọng tâm của các tam giác $ ABC, A’B’C’ $ và $ ACC’ $. Chứng minh rằng: $ (IKG) \parallel (BB’C’C), (A’KG)\parallel(AIB’) $.
Hướng dẫn. Gọi $ M,N $ lần lượt là trung điểm của $ BC $ và $ B’C’ $ thì mặt phẳng $ (A’KG) $ chính là mặt phẳng $ (A’CN) $, còn mặt phẳng $ (AIB’) $ chính là mặt phẳng $ (AMB’). $ Hai mặt phẳng này song song vì có $ AM\parallel A’N $ và $ B’M\parallel CN. $
4. Bài tập chứng minh 2 mặt phẳng song song
Bài 1. Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình bình hành tâm $O$. Gọi $M, N, P, Q$ là trung điểm $SA, SD, AB, ON.$ Chứng minh: $(OMN) \parallel (SBC)$. Chứng minh: $PQ \parallel (SBC)$.
Bài 2. Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình bình hành tâm $O$. Gọi $M, N, P$ là trung điểm $SA, CD, AD.$ Chứng minh $(OMN) \parallel (SBC)$. Gọi $I$ là điểm trên $MP$. Chứng minh: $OI \parallel (SCD)$.
Bài 3. Cho hình chóp $S.ABCD$, đáy là hình bình hành. Gọi $M, N, P, Q$ là trung điểm $BC, AB, SB, AD.$ Chứng minh $(MNP) \parallel (SAC)$, $PQ \parallel (SCD)$. Gọi $I$ là giao điểm $AM$ và $BD, JSA$ sao cho $AJ = 2JS$, chứng minh $IJ \parallel (SBC)$. Gọi $K$ là một điểm trên $AC$, tìm giao tuyến $(SKM)$ và $(MNC)$.
Bài 4. Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình bình hành. Gọi $I, J, G, P, Q$ là trung điểm $DC, AB, SB, BG, BI.$ Chứng minh $(IJG) \parallel (SAD)$, $PQ \parallel (SAD)$. Tìm giao tuyến của $(SAC)$ và $(IJG)$; $(ACG)$ và $(SAD)$.
Bài 5. Cho hai hình bình hành $ABCD$ và $ABEF$ không đồng phẳng. Gọi $I, J, K$ là trung điểm $AB, CD, EF.$ Chứng minh $(ADF) \parallel (BCE)$; $(DIK) \parallel (JBE)$.
Để hiểu khối đa diện là gì thì trước tiên chúng ta tìm hiểu khái niệm hình đa diện.
Hình đa diện là hình gồm một số hữu hạn đa giác phẳng thỏa mãn hai điều kiện:
Hai đa giác bất kì hoặc không có điểm chung, hoặc có một đỉnh chung, hoặc có một cạnh chung.
Mỗi cạnh của một đa giác là cạnh chung của đúng hai đa giác.
Một số hình là hình đa diện
Một số hình là không phải là hình đa diện
Các thành phần của một hình đa diện:
Đỉnh của các đa giác tạo nên hình đa diện được gọi là đỉnh của khối đa diện.
Cạnh của các đa giác tạo nên hình đa diện được gọi là cạnh của khối đa diện.
Các đa giác tạo nên hình đa diện được gọi là mặt của hình đa diện.
Hình đa diện chia không gian thành hai phần (phần bên trong và phần bên ngoài). Hình đa diện cùng với phần không gian bên trong của nó gọi là khối đa diện.
2. Khối đa diện lồi
Khối đa diện lồi là khối đa diện mà tất cả các đoạn thẳng nối hai điểm bất kỳ của nó luôn nằm hoàn toàn trong khối đa diện đó.
Một số khối đa diện lồi thường gặp
Công thức Euler cho khối đa diện
Với một khối đa diện (hình đa diện) bất kỳ, số đỉnh D, số mặt M và số cạnh C thì luôn có hệ thức $$D+M-C=2.$$
Ví dụ với hình lập phương ta có D = 8, M = 6, C = 12, và 8 + 6 – 12 = 2. Bạn có thể kiểm tra với một vài hình đa diện nữa để thấy công thức luôn đúng.
3. Khối đa diện đều
Khối đa diện đều là khối đa diện lồi thỏa mãn 2 tính chất như sau:
Mỗi mặt là một đa giác đều gồm $n$ cạnh;
Mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng $m$mặt.
Khối đa diện đều đó được gọi là khối đa diện đều loại {n;m}. Người ta thấy chỉ có 5 loại khối đa diện đều như trong bảng sau:
Loại
Tên gọi
Số đỉnh
Số cạnh
Số mặt
Số mặt phẳng đối xứng
{3;3}
Hình tứ diện đều
4
6
4
6
{4;3}
Hình lập phương
8
12
6
9
{3;4}
Hình bát diện đều
6
12
8
9
{5;3}
Hình mười hai mặt đều
20
30
12
15
{3;5}
Hình hai mươi mặt đều
12
30
20
15
5 loại khối đa diện đều
Hình vẽ 5 loại khối đa diện đều
Lịch ngũ giác có dạng khối 12 mặt đều
Đối với một khối đa diện đều thuộc loại {n;m}, ngoài công thức Euler $D+M-C=2$ thì còn có hệ thức sau $$p\times D=2\times C=m\times M$$
Một ứng dụng của phép toán nhân véc-tơ với một số thực chính là chứng minh thẳng hàng, song song, đồng quy bằng phương pháp véc-tơ. Trong bài học này, chúng tôi xin giới thiệu phương pháp và các ví dụ, bài tập chứng minh thẳng hàng bằng vectơ.
Muốn chứng minh ba điểm $ A, B, C$ thẳng hàng bằng vectơ, chúng ta có hai cách sau:
Chỉ ra $ \overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {AC}, $ với $ k$ là một số thực nào đó.
Sử dụng kết quả: Điều kiện cần và đủ để ba điểm $ A, B, C$ thẳng hàng là $$ \overrightarrow {MC} = t\overrightarrow {MA} + (1 – t)\overrightarrow {MB}, $$ với điểm tuỳ ý $ M$ và số thực $ t$ bất kỳ.
Lưu ý khi chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng phương pháp véctơ.
Đẳng thức $ \overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {AC}$ có thể thay bởi $\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{BC}, \overrightarrow{BC}=k\overrightarrow{AB}$… miễn là hai véc-tơ đó có các điểm đầu và cuối là 2 trong 3 điểm $A,B,C$.
Để có được đẳng thức $ \overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {AC}$ ta có thể:
Biến đổi sử dụng các quy tắc véc-tơ đã học (quy tắc 3 điểm, quy tắc trung điểm, quy tắc trọng tâm);
Biểu diễn (phân tích) các $ \overrightarrow {AB}, \overrightarrow {AC}$ qua 2 véc-tơ không cùng phương đã biết.
2. Ví dụ chứng minh thẳng hàng bằng vectơ
Ví dụ 1. Cho hình bình hành $ ABCD. $ Gọi $ I $ là trung điểm của $ CD. $ Lấy điểm $ M $ trên đoạn $ BI $ sao cho $ BM = 2MI. $ Chứng minh ba điểm $ A,M,C $ thẳng hàng.
Hướng dẫn. Từ giả thiết ta có $$ \overrightarrow{BM}=2\overrightarrow{MI} $$ Suy ra $ \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{MI}.$ (*)
Mặt khác, vì $ ABCD$ là hình bình hành nên $ \overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CD}$.
Mà $ I$ là trung điểm $ CD$ nên $ \overrightarrow{CD}=2\overrightarrow{CI}$. Thay vào đẳng thức (*) ở trên ta có \begin{align}
&2\overrightarrow{CI} +\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{MI}\\
\Leftrightarrow &\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{MI}+2\overrightarrow{IC}\\
\Leftrightarrow &\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{MC}
\end{align} Đẳng thức $ \overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{MC}$ chứng tỏ ba điểm $ A,M,C$ thẳng hàng.
Qua ví dụ này chúng ta có nhận xét sau. Muốn chứng minh ba điểm $ A,M,C $ thẳng hàng ta phải từ các đẳng thức véc-tơ đã có, biến đổi để xuất hiện được các véc-tơ $\overrightarrow{AM},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{MC}…$.
Ví dụ 2. Cho tam giác $ ABC$, lấy các điểm $ I, J$ thoả mãn $$\overrightarrow {IA} = 2\overrightarrow {IB}, 3\overrightarrow {JA} + 2\overrightarrow {JC} = \vec 0.$$Chứng minh rằng đường thẳng $ IJ$ đi qua trọng tâm $ G$ của tam giác $ABC$.
Hướng dẫn. Ta có $ G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ thì với điểm $J$ bất kỳ, ta luôn có $$ \overrightarrow{JA}+\overrightarrow{JB}+\overrightarrow{JC}=3\overrightarrow{JG} $$ Nên suy ra $$ 2\overrightarrow{JA}+2\overrightarrow{JB}+2\overrightarrow{JC}=6\overrightarrow{JG} $$ Thay giả thiết $ 2\overrightarrow{JC}=-3\overrightarrow{JA}$ vào ta được $$ 2\overrightarrow{JA}+2\overrightarrow{JB}-3\overrightarrow{JA}=6\overrightarrow{JG} $$ hay $$ 2\overrightarrow{JB}= 6\overrightarrow{JG}+\overrightarrow{JA}.$$ Mặt khác, từ đẳng thức $ \overrightarrow{IA}=2\overrightarrow{IB}$ ta sử dụng quy tắc 3 điểm thì có $$ \overrightarrow{IJ}+\overrightarrow{JA}=2\overrightarrow{IJ}+2\overrightarrow{JB} $$ Tiếp tục thay kết quả $ 2\overrightarrow{JB}= 6\overrightarrow{JG}+\overrightarrow{JA}$ vừa có ở phần trước vào ta được $$ \overrightarrow{IJ}+\overrightarrow{JA}=2\overrightarrow{IJ}+6\overrightarrow{JG}+\overrightarrow{JA} $$
Thu gọn, ta được $$ \overrightarrow{IJ}=-6\overrightarrow{JG}. $$ Đẳng thức này chứng tỏ ba điểm $ I,J,G$ thẳng hàng.
Ví dụ 3. Cho tam giác $ABC$, lấy các điểm $ M, N, P$ thoả mãn: $$ \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} = \vec 0, 3\overrightarrow {AN} – 2\overrightarrow {AC} = \vec 0, \overrightarrow {PB} = 2\overrightarrow {PC}. $$ Chứng minh rằng $ M, N, P$ thẳng hàng.
Hướng dẫn.
Từ đẳng thức $ 3\overrightarrow{AN}-2\overrightarrow{AC}=\vec{0}$ ta sử dụng quy tắc 3 điểm thì được \begin{align}
&3\overrightarrow{AM}+3\overrightarrow{MN}-2\overrightarrow{AP}-2\overrightarrow{PC}=\vec{0}\\
\Leftrightarrow &\overrightarrow{AM} + 3\overrightarrow{MN}+2\overrightarrow{PM}-2\overrightarrow{PC}=\vec{0}
\end{align}
Thay giả thiết $ \overrightarrow{AM}=\overrightarrow{MB}$ và $ 2\overrightarrow {PC}=\overrightarrow {PB}$ vào ta được \begin{align}
&\overrightarrow{AM} + 3\overrightarrow{MN}+2\overrightarrow{PM}-2\overrightarrow{PC}=\vec{0}\\
\Leftrightarrow &\overrightarrow{MB} + 3\overrightarrow{MN}+2\overrightarrow{PM} +\overrightarrow{BP}=\vec{0}\\
\Leftrightarrow &\overrightarrow{MP} + 3\overrightarrow{MN}+2\overrightarrow{PM}=\vec{0}\\
\Leftrightarrow & 3\overrightarrow{MN} =\overrightarrow{MP}.
\end{align}
Đẳng thức $3\overrightarrow{MN} =\overrightarrow{MP}$ chứng tỏ ba điểm $ M, N, P$ thẳng hàng.
Ví dụ 4. Xác định vị trí điểm $ C $ sao cho $$ \overrightarrow{CA}-2 \overrightarrow{CB}=\vec{0}. $$ Cho điểm $ M $ bất kỳ trong mặt phẳng và gọi $ \overrightarrow{MN} $ là véc-tơ định bởi $$ \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}-2 \overrightarrow{MB}. $$ Chứng tỏ đường thẳng $ MN $ luôn đi qua một điểm cố định.
Hướng dẫn.
Có $ \overrightarrow{CA}-2 \overrightarrow{CB}=\vec{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CB}, $ hay $ B $ là trung điểm của $ AC. $
Từ đẳng thức $ \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}-2 \overrightarrow{MB}$ ta sử dụng quy tắc ba điểm thì có \begin{align}
\overrightarrow{MN}&=\overrightarrow{MA}-2 \overrightarrow{MB}\\
&=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CA}-2(\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CB})\\
&=-\overrightarrow{MC} +\left(\overrightarrow{CA}-2 \overrightarrow{CB}\right)\\
&=-\overrightarrow{MC}.\end{align}
Vậy ba điểm $ M,N,C $ thẳng hàng hay đường thẳng $ MN $ luôn đi qua điểm $(C)$ cố định.
3. Bài tập chứng minh thẳng hàng bằng vectơ
Bài tập 1.Cho hình bình hành $ ABCD. $ Trên đoạn $ BC $ lấy điểm $ H, $ trên đoạn $ BD $ lấy điểm $ K $ sao cho: $ BH=CH, DK=2BK. $ Chứng minh $ A,K,H $ thẳng hàng.
Hướng dẫn. Phân tích véc-tơ $ \overrightarrow{AK},\overrightarrow{AH} $ theo các véc-tơ $ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}. $
Bài tập 2.Cho hình bình hành $ ABCD. $ Trên $ BC $ lấy điểm $ H, $ trên $ BD $ lấy điểm $ K $ sao cho: $$ \overrightarrow{BH}=\frac{1}{5}\overrightarrow{BC},\overrightarrow{BK}=\frac{1}{6}\overrightarrow{BD}. $$ Chứng minh $ A,K,H $ thẳng hàng. Hướng dẫn. Phân tích véc-tơ $ \overrightarrow{AK},\overrightarrow{AH} $ theo các véc-tơ $ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}. $
Bài tập 3. Cho tam giác $ ABC $ có $ M,N,P $ thỏa mãn $$ \overrightarrow{MB}=3\overrightarrow{MC},\overrightarrow{NA}+3\overrightarrow{NC}=\vec{0},\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}=\vec{0}. $$ Phân tích các véc-tơ $ \overrightarrow{MP},\overrightarrow{MN} $ theo hai véc-tơ $ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}. $ Suy ra $ M,N,P $ thẳng hàng.
Hướng dẫn. Có $ \overrightarrow{MP}=\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AM}, \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM}. $ Ta đi tính $ \overrightarrow{AP},\overrightarrow{AN},\overrightarrow{AM} $ theo $ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} $ được $ \overrightarrow{AP}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AN}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AM}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}. $ Từ đó phân tích $ \overrightarrow{MP},\overrightarrow{MN} $ theo $ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} $ và suy ra $ \overrightarrow{MP}=2\overrightarrow{MN}, $ do đó $ M,N,P $ thẳng hàng.
Bài tập 4. Cho tam giác $ ABC $ và hai điểm $ I,J $ thỏa mãn $$ \overrightarrow{IC}-\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IA}=\vec{0}, \overrightarrow{JA}+\overrightarrow{JB}-3\overrightarrow{JC}=\vec{0}. $$
Chứng minh $ I,G,B $ thẳng hàng với $ G $ là trọng tâm tam giác $ ABC $.
Chứng minh $ IJ $ cùng phương $ AC. $
Hướng dẫn.
Từ $ \overrightarrow{IC}-\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IA}=\vec{0} $ suy ra $ \overrightarrow{IG}=2\overrightarrow{GB}, $ do đó $ I,G,B $ thẳng hàng.
Ta có $ \overrightarrow{IC}-\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IA}=\vec{0} $, điều này tương đương với $$\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{IA}=\vec{0}. $$ Mặt khác $ \overrightarrow{JA}+\overrightarrow{JB}-3\overrightarrow{JC}=\vec{0}$ tương đương với $$\overrightarrow{JA}+(\overrightarrow{JA}+\overrightarrow{AB})-3(\overrightarrow{JA}+\overrightarrow{AC})=\vec{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{JA}-3\overrightarrow{AC}=\vec{0}.$$ Cộng từng vế hai đẳng thức được $ \overrightarrow{IJ}=2\overrightarrow{AC}, $ do đó $ IJ $ cùng phương $ AC. $
Bài tập 5.Cho tam giác $ ABC $ có $ M $ là điểm di động.
Dựng $ \overrightarrow{MN}=2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}. $ Chứng minh đường thẳng $ MN $ luôn đi qua một điểm cố định.
Gọi $ P $ là trung điểm $ CN, $ chứng minh rằng đường thẳng $ MP $ luôn đi qua một điểm cố định.
Kéo dài $ AB $ một đoạn $ BE=AB, $ gọi $ F $ là trung điểm $AC$, vẽ hình bình hành $ EAFG. $ Đường thẳng $ AG $ cắt $BC$ tại $ K. $ Tính tỉ số $ KB:KC. $
Hướng dẫn.
Gọi $ I $ là điểm xác định bởi $ 2\overrightarrow{IA}+3\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IC} $ thì $ I $ cố định. Khi đó $ \overrightarrow{MN}= 2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}=4\overrightarrow{MI}.$ Suy ra $ M,N,I $ thẳng hàng hay $ MN $ luôn đi qua điểm $ I $ cố định.
Vì $ P $ là trung điểm $ CN $ nên $ \overrightarrow{MP}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{MC})=\frac{1}{2}(2\overrightarrow{MA}+3\overrightarrow{MB}). $ Gọi $ J $ là điểm xác định bởi $ 2\overrightarrow{JA}+3\overrightarrow{JB}=\vec{0} $ thì $ J $ cố định. Khi đó $ \overrightarrow{MP}=…=\frac{5}{2}\overrightarrow{MJ} $ hay $ MP $ luôn đi qua điểm $ J $ cố định.
Để xác định giao điểm $ K $ của $ AG $ và $BC$ ta tính $ \overrightarrow{AG} $ theo $ \overrightarrow{AB} $ và $ \overrightarrow{AC}. $
Có $ \overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}. $ Do đó $ AG $ cắt $BC$ tại $ K$ mà $ 2\overrightarrow{KB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{KC} $ hay $ KB:KC=1:4. $
Bài tập 6. Cho $\Delta ABC$. Dựng $\overrightarrow{AB’}=\overrightarrow{BC},\overrightarrow{CA’}=\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC’}=\overrightarrow{CA}$. Chứng minh $A$ là trung điểm của $B’C’$. Chứng minh $AA’,BB’,CC’$ đồng quy.
Bài tập 7.Cho $\Delta ABC$ có điểm $I$ trên cạnh $AC$ sao cho $CI=\frac{1}{4}CA$, $J$ là điểm thỏa $\overrightarrow{BJ}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$. Chứng minh $\overrightarrow{BI}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$. Chứng minh $B,I,J$ thẳng hàng. Hãy dựng điểm $J$ thỏa mãn điều kiện đề bài.
Bài tập 8.Cho tam giác $ ABC $ có điểm $D$ định bởi $ \overrightarrow{BD}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BC} $ và $I$ là trung điểm $AD$. Gọi $ M $ là điểm thỏa mãn $ \overrightarrow{AM}=x\overrightarrow{AC} $ với $ x $ là số thực. Tính $ \overrightarrow{BI} $ theo $ \overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}. $ Tính $ \overrightarrow{BM} $ theo $ \overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}. $ Tìm $ x $ để ba điểm $ B,I,M $ thẳng hàng.
Hướng dẫn. Vì $ I $ là trung điểm $AD$ nên có $$ \overrightarrow{BI}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BD})=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{BC})=\frac{1}{2}\overrightarrow{BA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}. $$ Mặt khác, ta có $$ \overrightarrow{AM}=x\overrightarrow{AC} \Leftrightarrow \overrightarrow{BM}-\overrightarrow{BA}=x(\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}) \Leftrightarrow \overrightarrow{BM}=(1-x)\overrightarrow{BA}+x\overrightarrow{BC}. $$ Ba điểm $ B,I,M $ thẳng hàng khi và chỉ khi tồn tại số $ k $ sao cho $ \overrightarrow{BM}=k\overrightarrow{BI}$. Điều này tương đương với $$(1-x)\overrightarrow{BA}+x\overrightarrow{BC}=\frac{k}{2}\overrightarrow{BA}+\frac{k}{3}\overrightarrow{BC} \Leftrightarrow 2(1-x)=3x \Leftrightarrow x=\frac{2}{5}.$$
Như vậy, để chứng minh 3 điểm $ A,B,C$ thẳng hàng. Ta chỉ ra ba điểm $ A,B,C$ cùng thuộc hai mặt phẳng $(P)$ và mặt phẳng $(Q)$ nào đó. Tức là ta chỉ ra đường thẳng $ AB$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$. Sau đó chỉ ra điểm $ C$ cũng thuộc vào giao tuyến này, hay nói cách khác chỉ ra $ C$ cũng là một điểm chung của cả hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$.
2. Ví dụ chứng minh thẳng hàng trong hình học không gian
Ví dụ 1.Cho tam giác $ABC$ nằm ngoài mặt phẳng $ (\alpha). $ Giả sử các cạnh $ AB,BC,CA $ kéo dài lần lượt cắt mặt phẳng $(\alpha)$ tại $ D,E,F. $ Chứng minh ba điểm $ D,E,F $ thẳng hàng.
Hướng dẫn. Rõ ràng, ba điểm $ D,E,F $ cùng thuộc hai mặt phẳng $(ABC)$ và mặt phẳng $(\alpha)$. Nên chúng cùng nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng đó, nói cách khác ba điểm $D,E,F$ thẳng hàng.
Ví dụ 2. Cho hình chóp $ S.ABC $. Trên các đoạn $ SA, SB, SC $ lần lượt lấy các điểm $ A’,B’,C’ $ sao cho $ A’B’ $ cắt $AB$ tại $ I,A’C’$ cắt $AC$ tại $J,B’C’$ cắt $BC $ tại $ K. $ Chứng minh ba điểm $ I, J, K $ thẳng hàng.
Hướng dẫn.
Ta có $ I$ là giao điểm của hai đường thẳng $ A’B’$ và $ AB$. Mà $ AB$ nằm trong mặt phẳng $ (ABC)$, $ A’B’$ nằm trong mặt phẳng $(A’B’C’)$, nên suy ra $ I$ là một điểm chung của hai mặt phẳng $ (ABC)$ và $ (A’B’C’)$.
Chứng minh tương tự có $ J,K$ cũng là điểm chung của hai mặt phẳng $ (ABC)$ và $ (A’B’C’)$.
Suy ra, $ J,J,K$ cùng thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng $ (ABC)$ và $ (A’B’C’)$. Mà giao tuyến của hai mặt phẳng là một đường thẳng, suy ra $ I,J,K$ cùng thuộc một đường thẳng. Nói cách khác, ba điểm $ I,J,K$ thẳng hàng.
Ví dụ 3.Cho hình chóp tứ giác $ S.ABCD $ có $ M $ là điểm trên đoạn $ SC $. Tìm giao điểm $ N $ của $ SD $ với mặt phẳng $ (ABM) $. Giả sử $ AB $ cắt $ CD $ tại $ K, $ chứng minh ba điểm $ M, N, K $ thẳng hàng.
Hướng dẫn.
Trong mặt phẳng $ (ABCD)$, gọi $ O$ là giao điểm của $ AC$ và $ BD$. Trong mặt phẳng $ (SAC)$, gọi $ I$ là giao điểm của $ SO$ và $ AM$. Chỉ ra được $ N$ chính là giao điểm của $ BI$ và $ SD$.
Chúng ta có $ MN$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $ (ABM)$ và $ (SCD)$. Mặt khác, $ K$ cũng là điểm chung của hai mặt phẳng này nên suy ra $ K$ phải nằm trên giao tuyến $ MN$. Nói cách khác, ba điểm $ M,N,K$ thẳng hàng.
Ví dụ 4.Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành. Gọi $ M,N $ lần lượt là trung điểm của $ AB $ và $ SC $. Xác định giao điểm $ I,J $ của $ AN,MN $ với mặt phẳng $ (SBD). $ Chứng minh ba điểm $ I , J , B $ thẳng hàng.
Hướng dẫn. Chỉ ra $ I,J,B $ cùng thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng $ (ANB) $ và $ (SBD) $.
Ví dụ 5.Cho tứ giác hình chóp $ S.ABCD $ có $ I, J $ là hai điểm trên $ AD,SB $. Giả sử $ AD $ cắt $ BC $ tại $ O, OJ$ cắt $ SC $ tại $ M $. Tìm các giao điểm $ K,L $ của $ IJ,DJ $ và $ (SAC). $ Chứng minh bốn điểm $ A ,K ,L ,M $ thẳng hàng.
Hướng dẫn. Chỉ ra bốn điểm cùng thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng $ (SAC) $ và $ (AJO) $.
$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG} $ với mọi điểm $ M. $
Ví dụ 3. Cho tam giác $ ABC. $ Lần lượt lấy các điểm $ M, N, P $ trên các đoạn $ AB,BC,CA $ sao cho $ AB=3AM,BC=3BN,AC=3CP. $ Chứng minh rằng $$ \overrightarrow{AN}+\overrightarrow{BP}+\overrightarrow{CM}=\vec{0}. $$
Hướng dẫn. Ta có
\begin{align*}
\overrightarrow{BN}&=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC} \Leftrightarrow \overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AB}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}\\
\overrightarrow{CP}&=\frac{1}{3}\overrightarrow{CA} \Leftrightarrow \overrightarrow{BP}-\overrightarrow{BC}=\frac{1}{3}\overrightarrow{CA}\\
\overrightarrow{BN}&=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB} \Leftrightarrow \overrightarrow{CM}-\overrightarrow{CA}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}
\end{align*}
Cộng từng vế ba đẳng thức trên được $$ \overrightarrow{AN}+\overrightarrow{BP}+\overrightarrow{CM}-(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA})=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}) $$
Mà theo quy tắc ba điểm thì $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA} = \vec{0}$, nên đẳng thức trên tương đương với $\overrightarrow{AN}+\overrightarrow{BP}+\overrightarrow{CM}=\vec{0}. $
Ví dụ 4. Cho hình bình hành $ABCD$ tâm $ O. $ Chứng minh rằng
$$ \overrightarrow{BD}-\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}, \overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BA}=\vec{0}. $$
Ví dụ 5. Cho tam giác $ABC$ và một điểm $M$ tùy ý. Chứng minh rằng:
Ví dụ 7. Cho tam giác $ ABC $ với $ G $ là trọng tâm. Gọi $ B’ $ đối xứng với $ B $ qua $ G,G’ $ đối xứng với $ G $ qua $ B $ và $ M $ là trung điểm $ BC. $ Chứng minh rằng:
Gọi $ N $ là trung điểm $ AC. $ Ta có
$$ \overrightarrow{AB’}=\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GB’}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BG}=\frac{2}{3}(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN}). $$
Mà $ 2\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{AC},2\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC} $ nên
$$ \overrightarrow{AB’}=\frac{2}{3} \overrightarrow{AC}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}. $$
Tương tự có
$$ \overrightarrow{CB’}=-\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{AC}).$$
Có $ \overrightarrow{MB’}=\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB’}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{BG}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{AM}+\frac{2}{3}\overrightarrow{BN}=\frac{1}{6} \overrightarrow{AC}-\frac{5}{6}\overrightarrow{AB}. $
Ta có $ \overrightarrow{G’A}+\overrightarrow{G’C}=2\overrightarrow{G’N}=2(\overrightarrow{G’B}+\overrightarrow{BN})=\frac{10}{3}\overrightarrow{BN} $
Mà $ \overrightarrow{G’B}=\overrightarrow{BG}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BN} \Rightarrow 5\overrightarrow{G’B}=\frac{10}{3}\overrightarrow{BN}. $ Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
2.2. Phân tích véc-tơ theo hai véc-tơ không cùng phương cho trước
Để phân tích một véc-tơ $\vec{u}$ theo hai véc-tơ không cùng phương $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cho trước. (Biểu diễn một véc-tơ theo 2 vecto không cùng phương). Chúng ta sử dụng các quy tắc ba điểm, quy tắc hình bình hành (xem bài Tổng hiệu của hai véc-tơ), quy tắc trung điểm, quy tắc trọng tâm và định nghĩa tích của một vectơ với một số thực để tìm được một đẳng thức có dạng
$$\vec{u}=x \vec{a} + y \vec{b}$$
Chú ý rằng, cặp hệ số $x,y$ trong đẳng thức trên là duy nhất.
Ví dụ 1. Cho tam giác $ABC$. Điểm $M$ trên cạnh $BC$ sao cho $MB=2MC$. Hãy phân tích véc-tơ $\overrightarrow{AM}$ theo hai véc-tơ $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB},\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}$.
Hướng dẫn. Ta có
\begin{align*}
\overrightarrow{AM}&=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})\\
&=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}=\frac{1}{3}\overrightarrow{u}+\frac{2}{3}\overrightarrow{v}
\end{align*}
Ví dụ 2. Cho tam giác $ ABC $, gọi $ I $ là điểm trên $ BC $ kéo dài sao cho $ IB=3IC. $
Tính véc-tơ $ \overrightarrow{AI} $ theo các véc-tơ $ \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}. $
Gọi $ J,K $ là những điểm trên cạnh $ AC,AB $ sao cho $ \overrightarrow{JA}=2\overrightarrow{JC} $ và $ \overrightarrow{KB}=-3\overrightarrow{KA}. $ Tính $ \overrightarrow{JK} $ theo $ \overrightarrow{AB} $ và $ \overrightarrow{AC}.$
Tính $ \overrightarrow{ BC} $ theo $ \overrightarrow{ AI} $ và $ \overrightarrow{ JK}. $
Chỉ ra $ \overrightarrow{ AJ}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AC} $ và $ \overrightarrow{AK}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}. $ Do đó $ \overrightarrow{AK}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}-\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}. $
Ta có $ \begin{cases} \overrightarrow{ AI}=\frac{3}{2}\overrightarrow{ AC}-\frac{1}{2} \overrightarrow{ AB}\\ \overrightarrow{AK}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}-\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 6\overrightarrow{AI}=9 \overrightarrow{AC}-3\overrightarrow{AB}\\12\overrightarrow{JK}=3\overrightarrow{AB}-8 \overrightarrow{AC}\end{cases}
\Leftrightarrow \begin{cases} \overrightarrow{AB}=6\overrightarrow{AI}+12\overrightarrow{JK}\\ \overrightarrow{AC}=16\overrightarrow{AI}+36\overrightarrow{JK}\end{cases} $Trừ từng vế được $ \overrightarrow{BC}= \overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=-10\overrightarrow{AI}-24\overrightarrow{JK}. $
Ví dụ 3. Cho tam giác $ABC$ có $ D,E,F $ lần lượt là chân đường phân giác trong kẻ từ $ A,B,C $. Hãy phân tích véc-tơ $ AD $ theo hai véc-tơ $ AB,AC. $ Chứng minh rằng nếu có $ \overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{DF}=\vec{0} $ thì tam giác $ABC$ đều.
2.3. Xác định điểm thỏa mãn một đẳng thức véc-tơ cho trước
Ví dụ 1. Cho tam giác $ ABC $, hãy dựng các điểm $ I,J,K,L $ biết rằng
$ \overrightarrow{IA}-2\overrightarrow{IB}=\vec{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{AI}=2\overrightarrow{AB}. $ Vậy $ I $ là điểm đối xứng của điểm $ A $ qua $ B. $
Gọi $ G $ là trọng tâm tam giác $ ABC $ thì $ \overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{KC}=3\overrightarrow{KG}. $ Do đó $ \overrightarrow{GK}=\frac{1}{3}\overrightarrow{CB}. $
Ví dụ 2. Cho tam giác $ ABC $ và một điểm $M$ thỏa mãn $ \overrightarrow{BM}=k\overrightarrow{BC}. $ Chứng minh rằng $$ \overrightarrow{AM}=(1-k)\overrightarrow{AB}+k\overrightarrow{AC} $$
Hướng dẫn. Ta có $ \overrightarrow{BM}=k\overrightarrow{BC} \Leftrightarrow \overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AB}=k(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}) \Leftrightarrow \overrightarrow{AM}=(1-k)\overrightarrow{AB}+k\overrightarrow{AC}.$
Ví dụ 3. Cho hai điểm $ A,B $ và hai số $ \alpha,\beta $ thỏa mãn $ \alpha+\beta\ne0 $.
Chứng minh rằng tồn tại duy nhất điểm $ I $ thỏa mãn $ \alpha \overrightarrow{IA}+\beta \overrightarrow{IB}=\vec{0} $
Với $ M $ là điểm bất kì thì $ \alpha \overrightarrow{MA}+\beta \overrightarrow{MB}=(\alpha+\beta)\overrightarrow{MI} $
Hướng dẫn.
Có $ \alpha \overrightarrow{IA}+\beta \overrightarrow{IB}=\vec{0} \Leftrightarrow \alpha \overrightarrow{IA}+\beta (\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AB})=\vec{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{AI}=\frac{\beta}{\alpha+\beta}\overrightarrow{AB}$
Do $ A,B $ cố định và hai số $ \alpha,\beta $ không đổi nên véc-tơ $ \frac{\beta}{\alpha+\beta}\overrightarrow{AB} $ không đổi.
Vậy tồn tại duy nhất điểm $ I $ thỏa mãn $ \alpha \overrightarrow{IA}+\beta \overrightarrow{IB}=\vec{0}.$
Ta có $ \alpha \overrightarrow{MA}+\beta \overrightarrow{MB}=\alpha(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA})+\beta(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB})=(\alpha+\beta)\overrightarrow{MI} +\alpha \overrightarrow{IA}+\beta \overrightarrow{IB}=(\alpha+\beta)\overrightarrow{MI}. $
Ví dụ 4. Cho hình bình hành $ABCD$ và điểm $M$ tùy ý. Hãy tìm số $ k $ và điểm điểm $ I $ cố định sao cho các đẳng thức sao thỏa mãn với mọi điểm $M$.
Gọi điểm $G$ là trọng tâm tam giác $ ABC $, thì $ \overrightarrow{MA}+ \overrightarrow{MB}+ \overrightarrow{MC}=3 \overrightarrow{MG}. $ Suy ra
$$ \overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+3\overrightarrow{MD}=3( \overrightarrow{MG}+ \overrightarrow{MD})=6\overrightarrow{MI} $$
trong đó $I$ là trung điểm của $ GD. $
Gọi $I$ là điểm thỏa mãn $ \overrightarrow{IA}+2 \overrightarrow{IB}=\vec{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{AI}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}. $ Khi đó $ \overrightarrow{MA}+2 \overrightarrow{MB}=( \overrightarrow{MI}+ \overrightarrow{IA})+2(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB})=3\overrightarrow{MI} $
Gọi $I$ là điểm thỏa mãn $ 2\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IC}=\vec{0} \Leftrightarrow 2\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{CB}=\vec{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{AI}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}. $
Khi đó $ 2\overrightarrow{MA}+ \overrightarrow{MB}- \overrightarrow{MC}=…=2 \overrightarrow{MI} $
2.4. Chứng minh thẳng hàng. Tìm quỹ tích.
Ví dụ 1. Cho hình bình hành $ ABCD. $ Gọi $ I $ là trung điểm của $ CD. $ Lấy điểm $ M $ trên đoạn $ BI $ sao cho $ BM = 2MI. $ Chứng minh ba điểm $ A,M,C $ thẳng hàng.
Hướng dẫn. Từ giả thiết có $\overrightarrow{BM}=2\overrightarrow{MI} $ nên \begin{align} \overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AB}&=2(\overrightarrow{AI}-\overrightarrow{AM}) \\ \Rightarrow \overrightarrow{AM}&=2\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{AB}. \end{align}
Mà $ 2\overrightarrow{AI}= \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD} $ nên $ 3\overrightarrow{AM}= \overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}=2 \overrightarrow{AC}. $ Điều này chứng tỏ $ A,M,C $ thẳng hàng.
Ví dụ 2. Cho tam giác $ ABC $ và $ I $ là trung điểm của $ BC. $ Tìm tập hợp các điểm $ M $ thỏa mãn
$$ |2\overrightarrow{MA}|=|\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}| $$
Hướng dẫn. Vì $ I $ là trung điểm của $ BC $ nên $ \overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{MI} $ nên $ $|2\overrightarrow{MA}|=|\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}| \Leftrightarrow |2\overrightarrow{MA}|=|2\overrightarrow{MI}| \Leftrightarrow MA=MI$$ Vậy tập hợp các điểm $ M $ là đường trung trực của $ AI. $
Ví dụ 3. Tìm điểm $ C $ trên đoạn $ AB $ sao cho: $ \overrightarrow{CA}-2 \overrightarrow{CB}=\vec{0}. $ Cho điểm $ M $ bất kỳ trong mặt phẳng và gọi $ \overrightarrow{MN} $ là véc-tơ định bởi: $ \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}-2 \overrightarrow{MB}. $ Chứng tỏ đường thẳng $ MN $ luôn đi qua một điểm cố định.
Hướng dẫn. Có $ \overrightarrow{CA}-2 \overrightarrow{CB}=\vec{0} \Leftrightarrow \overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CB}, $ hay $ B $ là trung điểm của $ AC. $ Suy ra $$ \overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}-2 \overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CA}-2(\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CB})=-\overrightarrow{MC}. $$ Vậy $ M,N,C $ thẳng hàng hay đường thẳng $ MN $ luôn đi qua điểm $(C)$ cố định.
Ví dụ 4. Cho tứ giác $ABCD$ có hai điểm $ M,N $ thay đổi trên cạnh $AB,CD$ sao cho $ \frac{AM}{AB}=\frac{CN}{CD}. $ Tìm quỹ tích trung điểm $ I $ của $ MN? $
Hướng dẫn. Theo giả thiết có $ \overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CN}=k\overrightarrow{CD}. $ với $ 0\le k\le1. $
Gọi $ P,Q $ lần lượt là trung điểm của $ AC,BD $ thì \begin{align*}
\overrightarrow{PI}&=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{CN})=\frac{1}{2}k(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD})\\
\overrightarrow{PQ}&=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD})
\end{align*} Suy ra $ \overrightarrow{PI}=k\overrightarrow{PQ} $ hay $ P,I,Q $ thẳng hàng. Mà $ 0\le k\le1 $ nên $ I $ thuộc đoạn $ PQ. $
Vậy tập hợp các trung điểm của đoạn $ MN $ là đoạn $ PQ. $
Ví dụ 5. Cho tam giác $ ABC $ có $ M $ là một điểm di động trên cạnh $ BC. $ Kẻ $ MP,MQ $ lần lượt song song với $ AC,AB $ và cắt $ AB,AC $ tại $ P,Q. $ Dựng cách hình bình hành $ BMPR $ và $ CMQS. $ Tìm quỹ tích trung điểm $ I $ của $ RS? $
Hướng dẫn. Ta có \begin{align*}
\overrightarrow{AR}&=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AM}\\
\overrightarrow{AS}&=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AQ}-\overrightarrow{AM}
\end{align*} Nên suy ra $$ 2\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AR}+\overrightarrow{AS}=\overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AM}. $$ Vì $ M $ thuộc đoạn $ BC $ nên $ \overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB}+(1-k) \overrightarrow{AC} $ với $ k\in [0,1]. $ Do đó $ \overrightarrow{AI}=(1-k)\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2} \overrightarrow{AC}=(1-k)\overrightarrow{AE}+k\overrightarrow{AF} $ với $ E,F $ là trung điểm $ AB,AC. $
Suy ra $ I $ thuộc đoạn $ EF. $
Nguồn gốc sinh ra véc-tơ là để biểu diễn các lực trong Vật lý, khi đó có một vấn đề được đặt ra là bài toán tổng hợp lực. Bài học này sẽ giúp trả lời vấn đề trên.
Trước khi học bài này, các em học sinh cần nắm vững kiến thức Véc-tơ là gì?
1. Phép cộng véc-tơ (tổng của hai véc-tơ)
1.1. Phép cộng hai véc-tơ
Phép cộng hai véc-tơ $ \vec{a}+\vec{b}$ trong mặt phẳng.
Từ điểm $ O $ bất kì, dựng $ \overrightarrow{OA}=\vec{a},\overrightarrow{AB}=\vec{b} $ thì véc-tơ $ \overrightarrow{OB}$ được gọi là tổng của hai véc-tơ $ \vec{a} $ và $ \vec{b} $, kí hiệu là $ \vec{a}+\vec{b}=\overrightarrow{OB}. $
Ví dụ 1. Cho tam giác $ ABC $, hãy dựng các véc-tơ:
$ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$,
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC} $.
Hướng dẫn.
Lấy một điểm $O$ bất kì trong mặt phẳng. Lần lượt dựng các véc-tơ $ \overrightarrow{OM}=\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{BC}$ thì ta có $$\overrightarrow{ON}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}.$$
Vẫn sử dụng điểm $O$ ở trên, ta dựng tiếp $\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{AC}$ thì ta có $$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}.$$
1.2. Quy tắc ba điểm
Chú ý rằng, định nghĩa trên hoàn toàn không phụ thuộc vào việc chọn vị trí điểm $ O $. Do đó ta có thể chọn nó trùng với điểm đầu của một trong hai véc-tơ và việc dựng các véc-tơ $\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{AB}$ sẽ trở nên dễ dàng hơn. Chẳng hạn, chúng ta chọn $O$ trùng với điểm đầu của $\vec{a}$ thì $\overrightarrow{OA}$ chính là $\vec{a}$ nên ta chỉ cần dựng $\overrightarrow{AB}$.
Khi đó, chúng ta có quy tắc ba điểm quy tắc ba điểm như sau:
Cho véc-tơ $\overrightarrow{AB}$ thì với một điểm $M$ tùy ý, ta luôn có $$ \overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB}. $$
Tức là, để di chuyển một vật từ vị trí $ A $ đến vị trí $ B $, thay vì đi thẳng trực tiếp từ $ A $ tới $ B $, chúng ta có thể đi từ $ A $ tới một điểm $ M $ nào đó, rồi mới từ $ M $ tới $ B. $ Quy tắc này cũng có thể mở rộng ra cho $ n $ điểm.
Lưu ý, về mặt bản chất, phép cộng hai véc-tơ $ \vec{a}$ và $\vec{b}$ là chúng ta thay thế (dựng) các véc-tơ đó bằng các véc-tơ lần lượt bằng $ \vec{a}, \vec{b}$. Nhưng các véc-tơ mới này có đặc điểm là chúng nối tiếp nhau (điểm đầu của véc-tơ này lại là điểm cuối của véc-tơ kia).
Hiển nhiên, nếu có $\vec{c}=\vec{b}$ thì $$\vec{a}+\vec{b}=\vec{a}+\vec{c}.$$
Ví dụ 2. Cho hình vuông $ ABCD $ có cạnh dài 5 cm, hãy tính độ dài của các véc-tơ:
$ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$,
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}$,
$ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}. $
Hướng dẫn. Sử dụng quy tắc ba điểm, ta có:
$ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$, nên suy ra $\left| \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right| =\left| \overrightarrow{AC}\right| = AC=5\sqrt{2}$ cm.
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AA}=\vec{0}$, vì $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BA}$. Do đó $\left|\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}\right| =0$.
$ \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}. $ Dựng $\overrightarrow{BE} =\overrightarrow{DC}$ thì $B$ là trung điểm $AE$. Khi đó, $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AE}$. Từ đó tìm được đáp số $10$ cm.
Ví dụ 3. Cho tam giác $ ABC $ vuông tại $ A, AB=a,AC=2a. $ Tính độ dài của véc-tơ $ \overrightarrow{AB}+ \overrightarrow{AC}$ và $ \overrightarrow{BA} +\overrightarrow{CB} $.
1.3. Quy tắc hình bình hành
Tứ giác $ ABCD $ là hình bình hành thì $$ \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}. $$
Chứng minh. Theo quy tắc ba điểm, chúng ta có $$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$$ Mặt khác, vì $ ABCD $ là hình bình hành nên dễ dàng chỉ ra được $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$, do đó $$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}.$$
Ví dụ 4. Cho hai lực $ \overrightarrow{F_1}, \overrightarrow{F_2} $ đều có độ lớn 50N, điểm đặt tại $ O $ và hợp với nhau góc $ 60^\circ. $ Tính độ lớn lực tổng hợp của hai lực này.
Hướng dẫn. Có $ \overrightarrow{F_1}+\overrightarrow{F_2}=\overrightarrow{F}=\overrightarrow{OF} $ trong đó tứ giác $ OF_1FF_2 $ là hình thoi. Do đó $ |\overrightarrow{F}|=50\sqrt{3} $ N.
Ví dụ 5. Cho hình vuông $ ABCD $ cạnh bằng $ a $, tâm là điểm $ O $. Hãy dựng và tính độ dài của các véc-tơ sau:
Ví dụ 7. Cho năm điểm $ A,B,C,D,E $, chứng minh rằng
$$\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {EA} = \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {ED} $$
Ví dụ 8. Cho sáu điểm $ A,B,C,D,E,F $, chứng minh rằng
$$\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BE} + \overrightarrow {CF} = \overrightarrow {AE} + \overrightarrow {BF} + \overrightarrow {CD} $$
Ví dụ 9. Cho hình bình hành $ABCD$ có tâm $ O. $ Chứng minh rằng
$$\overrightarrow{DO}+\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{AB},\quad \overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{BC}.$$
2. Phép trừ hai vecto (Hiệu của hai véc-tơ)
2.1. Véc-tơ đối
Hai véc-tơ đối nhau nếu chúng ngược hướng và có độ dài bằng nhau. Véc-tơ đối của $ \vec{a} $ được lí hiệu là $ -\vec{a}. $
Ví dụ 1. Cho hình bình hành $ABCD$, hãy chỉ ra một số cặp véc-tơ đối nhau.
Ví dụ 2. Cho hình bình hành $ABCD$ có tâm $ O $, chứng minh rằng
$$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\vec{0} $$
2.2. Hiệu của hai véc-tơ
Hiệu của hai véc-tơ $ \vec{a} $ và $ \vec{b} $ là tổng của $ \vec{a} $ và véc-tơ đối của $ \vec{b} $, kí hiệu là $ \vec{a}-\vec{b} $.
$$ \vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b}).$$
Ví dụ 3. Cho hình chữ nhật $ABCD$ có $ AB=3,AD=4. $ Dựng và tính độ dài của véc-tơ
\[ \overrightarrow{AB} – \overrightarrow{AD},\quad \overrightarrow{CA} – \overrightarrow{AB}. \]
Ví dụ 4. Cho tam giác đều $ ABC $ có cạnh bằng $ a $ và $ I $ là trung điểm của $ BC $. Tính độ dài của các véc-tơ
$$ \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC},\quad \overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BI}. $$
Ví dụ 5. Cho bốn điểm $A,B,C,D$. Chứng minh rằng
\[ \overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{BD} \]
Ví dụ 6. Cho tứ giác $ ABCD $ có $ O $ là trung điểm $ AB $. Chứng minh rằng
\[ \overrightarrow{OD} + \overrightarrow{OC} =\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}. \]
Ví dụ 7. Cho tam giác $ABC$ có $ M,N,P $ lần lượt là trung điểm của $ BC, CA, AB $ và $ O $ là một điểm tuỳ ý. Chứng minh rằng
\[ \overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BN} +\overrightarrow{CP} = \vec{0}. \]
\[ \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OM} + \overrightarrow {ON} + \overrightarrow {OP}.\]
Ví dụ 8. Cho sáu điểm $ A,B,C,D,E,F $. Chứng minh rằng
$\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\vec{0}\Leftrightarrow \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{MC}=\vec{0}\Leftrightarrow \overrightarrow{BA}=\overrightarrow{CM}$ hay $ BAMC $ là hình bình hành.
$\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{BC}=\vec{0}\Leftrightarrow \overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BM}=\vec{0}$ hay $ M $ là điểm tuỳ ý.
$\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}=\vec{0}\Leftrightarrow \overrightarrow{CB}+\overrightarrow{MA}=\vec{0}\Leftrightarrow \overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AM}$ hay $ CBMA $ là hình bình hành.
Ví dụ 10. Cho hai điểm $ A $ và $ B $ phân biệt, có thể tìm được điểm $ M $ thoả mãn một trong các điều kiện sau hay không?
Véc-tơ là một đoạn thẳng có hướng, tức là chỉ rõ điểm nào là điểm đầu (gốc), điểm nào là điểm cuối (ngọn).
Véc-tơ có điểm đầu là A, điểm cuối là B được kí hiệu là $\overrightarrow{AB}$.
Một véc-tơ nói chung được kí hiệu là $\vec{a}, \vec{b}, \vec{u},\vec{v},…$
Véc-tơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau được gọi là véc-tơ không, kí hiệu là $\vec{0}$.
Ví dụ 1. Cho tam giác $ABC$, hãy kể tên các véc-tơ có điểm đầu là $A$.
Ví dụ 2. Cho 4 điểm $ A, B, C, D$ phân biệt. Có thể xác định được bao nhiêu véc tơ khác nhau và khác $\overrightarrow{0}$, mà các điểm mút là hai trong bốn điểm đó.
2. Hai véc-tơ cùng phương
Đường thẳng chứa một véc-tơ được gọi là giá của véc-tơ đó.
Hai véc-tơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.
Nếu hai véc-tơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ cùng phương thì chúng có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.
Quy ước, véc-tơ $\vec{0}$ cùng phương với mọi véc-tơ.
Ví dụ 3. Cho hình bình hành $ABCD$ tâm $O$, hãy kể tên các véc-tơ khác $\vec{0}$ và cùng phương với véc-tơ $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{BO}$.
Hướng dẫn.
Các véc-tơ khác $\vec{0}$ và cùng phương với véc-tơ $\overrightarrow{AB}$ là $\overrightarrow{BA},\overrightarrow{DC},\overrightarrow{CD}$.
Các véc-tơ khác $\vec{0}$ và cùng phương với véc-tơ $\overrightarrow{BO}$ là $\overrightarrow{BD},\overrightarrow{DB},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OD}, \overrightarrow{DO}$.
Ví dụ 4. Cho lục giác đều $ABCDEF$ tâm là điểm $I$, hãy kể tên các véc-tơ khác $\vec{0}$ và cùng hướng với $\overrightarrow{AB}$, ngược hướng với $\overrightarrow{BC}$.
3. Độ dài của một véc-tơ
Độ dài của một véc-tơ là khoảng cách từ điểm đầu tới điểm cuối của véc-tơ đó. Độ dài của $\vec{a}$ kí hiệu là $|\vec{a}|$.
Độ dài của $\overrightarrow{AB}$ chính là độ dài đoạn thẳng $AB$.
Độ dài của $\vec{0}$ đương nhiên bằng $0$.
Ví dụ 5. Cho tam giác đều $ ABC $ có cạnh dài bằng $5 $ cm, $M$ là trung điểm của $BC$. Tính độ dài của các véc-tơ $\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{BM}, \overrightarrow{AM}$.
Ví dụ 6. Cho hình vuông $ABCD$ tâm $O$, cạnh bằng $a$. Tính độ dài của các véc-tơ $AC$, $DC$, $OB$.
4. Hai véc-tơ bằng nhau
Hai véc-tơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ được gọi là bằng nhau khi và chỉ khi chúng cùng hướng và có độ dài bằng nhau.
Để xác định một véc-tơ, chúng ta cần biết một trong hai điều kiện sau:
Điểm đầu và điểm cuối của véc-tơ.
Độ dài và hướng.
Ví dụ 7. Cho nửa lục giác đều $ ABCD $ nội tiếp trong đường tròn tâm $ O $ đường kính $ AD. $ Chỉ ra các véc-tơ bằng với $ \overrightarrow{BC}. $
Ví dụ 8. Cho tam giác đều $ ABC $. Các đẳng thức: $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}$, $| \overrightarrow{AB} |=| \overrightarrow{AC} |=| \overrightarrow{BC} |$ đúng hay sai? Vì sao?
Ví dụ 9. Cho tam giác $ABC$.
Hãy dựng điểm $D$ sao cho $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$.
Hãy dựng điểm $E$ sao cho $\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{CB}$.
Hãy dựng điểm $F$ sao cho $\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{BC}$.
Ví dụ 10. Cho ba điểm $ A, B, C $ phân biệt, chứng minh rằng nếu $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}$ thì ba điểm đó thẳng hàng.
Hướng dẫn. Vì $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}$ nên suy ra hai véc-tơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BC}$ phải cùng phương (tất nhiên chúng phải cùng hướng nhưng ở đây ta chỉ cần sử dụng kết quả cùng phương là đủ). Do đó, hai đường thẳng $AB$ và $BC$ phải song song hoặc trùng nhau. Đương nhiên $AB$ và $BC$ có một điểm chung là $A$ nên không thể song song. Tức là hai đường thẳng $AB$ và $BC$ trùng nhau, hay ba điểm $A,B,C$ thẳng hàng.
Ví dụ 11. Chứng minh rằng, tứ giác $ABCD$ là hình bình hành khi và chỉ khi $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$.
Hướng dẫn. Chúng ta cần chứng minh hai chiều thuận và đảo của bài toán này.
Thuận. Nếu tứ giác $ABCD$ là hình bình hành thì hiển nhiên chúng ta có hai kết quả sau:
$AB=CD$ hay chính là $|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{DC}|$,
Hai đường thẳng $AB$ và $CD$ song song, nên $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{DC}$ cùng phương. Hơn nữa, ta còn thấy chúng cùng hướng.
Từ hai điều trên, ta có quyền kết luận $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$.
Đảo. Nếu có $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ thì suy ra:
$|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{DC}|$, hay $AB=CD$,
Hai véc-tơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{DC}$ cùng hướng. Nên hai đường thẳng $AB$ và $CD$ song song hoặc trùng nhau. Hiển nhiên $AB$ và $CD$ không thể trùng nhau, vì khi đó sẽ không tồn tại tứ giác $ABCD$, nên suy ra $AB$ và $CD$ song song.
Từ hai điều trên, chúng ta có quyền kết luận, tứ giác $ABCD$ là hình bình hành.
Ví dụ 12. Cho hình bình hành $ ABCD $ và $ E $ là điểm đối xứng của $ C $ qua $ D. $ Chứng tỏ $ \overrightarrow{AE}=\overrightarrow{BD}. $
Ví dụ 13. Cho tứ giác $ABCD$. Gọi $M,N,P$ và $Q$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB,BC,CD$ và $DA$. Chứng minh: $\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{MQ}$ và $\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{NM}$.
Ví dụ 14. Cho tam giác $ABC$. Các điểm $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm các cạnh $AB$ và $AC$. So sánh độ dài của hai véc-tơ $\overrightarrow{NM}$ và $\overrightarrow{BC}$. Vì sao hai véc-tơ đó cùng phương?
Ví dụ 15. Cho điểm $ A $ cố định. Tìm tập hợp các điểm $ M $ sao cho $ |\overrightarrow{AM}|=4$ cm.
Hướng dẫn. Ta có $ |\overrightarrow{AM}|=4$ cm tương đương với $MA=4$ cm. Mà điểm $ A $ cố định nên suy ra tập hợp điểm $ M $ là đường tròn tâm $ A $ bán kính $ 4$ cm.
Từ vec-tơ là từ nhập từ tiếng Pháp vào Việt Nam. Tiếng Pháp viết là vecteur, đọc là véc-tơ, tiếng Anh viết là vector và đọc cũng thành véc-tơ. Phần lớn các thứ tiếng phương Tây khác cũng viết và đọc từ này tương tự như vậy. Nó có gốc La-tinh, xuất phát từ động từ vehere (mang đi, đưa đi, cưỡi đi). Nghĩa gốc của từ vector chính là “vật/người chở đi, mang đi, cưỡi đi”. Động từ vehere còn sinh ra một từ quen thuộc khác, là từ vehicle (hay vehicule tiếng Pháp), chính là cỗ xe để chở đi.
Với gốc như vậy, từ vector trong mỗi lĩnh vực khác nhau có thể có một nghĩa khác nhau. Chẳng hạn trong sinh vật học, nó được dùng với nghĩa “vật truyền cái gì đó”. Ví dụ như các con muỗi được gọi là vector của bệnh sốt rét (malaria).
Trong hình học ngày nay, vec-tơ được hiểu là một đại lượng vừa có hướng vừa có độ lớn. Những đại lượng mà chỉ có độ lớn thôi chứ không có hướng, ví dụ như độ dài, thể tích, khối lượng, v.v., thì được gọi là những đại lượng vô hướng(scalars). Những đại lượng mà có cả hướng lẫn độ lớn, như là vận tốc, gia tốc, lực, từ trường, v.v. thì được biểu diễn bằng các vec-tơ.
Để vẽ một vec-tơ, người ta có thể vẽ một đoạn thẳng nối từ một điểm A nào đó đến một điểm B nào đó trên mặt phẳng hay trong không gian. Hướng đi từ A đến B chính là hướng của vec-tơ , và độ lớn (đô dài) của đoạn thẳng AB chính là độ lớn của vec-tơ. Khái niệm đoạn thẳng có hướng (tức là vec-tơ) như vậy được một nhà bác học người Italia tên là Giusto Bellavitis (1803-1880) đề xuất vào giữa thế kỷ 19 (khoảng năm 1846) dưới tên gọi “bipoint”.
Bài toán xác định góc giữa hai mặt phẳng trong không gian là một dạng toán quan trọng xuất hiện trong các đề thi THPTQG, thi học kì 2 lớp 11. Ngoài tính góc giữa 2 mặt phẳng thì các em cần thành thạo Cách tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
Một số dạng toán hình học không gian quan trọng mà các em có thể ôn tập:
Góc giữa 2 mặt phẳng trong không gian bằng góc được tạo bởi hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.
Chú ý rằng góc giữa hai mặt phẳng có số đo từ $ 0^\circ $ đến $ 90^\circ. $
Nếu hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhau thì góc giữa chúng bằng $ 0^\circ. $ Trái lại, hai mặt phẳng phải cắt nhau theo giao tuyến là một đường thẳng nào đó, giả sử là $ \Delta $, thì ta có ba cách như dưới đây.
Bài toán. Xác định góc giữa hai mặt phẳng \((P)\) và \((Q)\) trong không gian.
1.1. Sử dụng định nghĩa góc giữa hai mặt phẳng trong không gian.
Tìm hai đường thẳng $ a $ và $ b $ lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng $(P)$ và $ (Q) $. Góc giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $ (Q) $ chính bằng góc giữa hai đường thẳng $ a $ và $ b $.
Vì chúng ta được quyền lựa chọn các đường thẳng $ a $ và $ b $ nên ta thường chọn sao cho hai đường thẳng này cắt nhau, để việc tính góc giữa chúng dễ dàng hơn.
1.2. Xác định góc giữa hai mặt phẳng bằng cách sử dụng giao tuyến
Xác định giao tuyến $ \Delta $ của hai mặt phẳng $ (P)$ và $(Q) $.
Tìm mặt phẳng $\left( R\right)$ vuông góc với giao tuyến $\Delta $.
Lần lượt tìm các giao tuyến $ a $ và $ b $ của mặt phẳng $\left( R\right)$ với hai mặt phẳng $ (P)$ và $(Q) $.
Tính góc giữa hai đường thẳng $ a $ và $ b $, đây chính là góc giữa hai mặt phẳng $ (P) $ và $ (Q) $.
Nhận xét. Thay vì tìm một mặt phẳng $(R)$ vuông góc với giao tuyến $ \Delta $, ta có thể đi tìm một điểm $ I $ nào đó trên $ \Delta $. Sau đó, từ điểm $ I $ này lần lượt dựng hai đường thẳng $ a $ và $ b $ nằm trong từng mặt phẳng rồi tính góc giữa chúng.
1.3. Tính góc giữa 2 mp bằng công thức diện tích hình chiếu
Giả sử góc giữa hai mặt phẳng $(P)$ và $ (Q) $ bằng $ \varphi $. Lấy trong mặt phẳng $(P)$ một đa giác $ (H) $ có diện tích $ S $, hình chiếu vuông góc của đa giác $ (H) $ lên mặt phẳng $(Q)$ là đa giác $ (H’) $ có diện tích $ S’ $. Khi đó ta luôn có công thức \[ S’=S\cos\varphi. \]
2. Ví dụ tính góc giữa 2 mặt phẳng trong không gian
Nếu bài viết hữu ích, bạn có thể tặng tôi 1 cốc cafe vào số tài khoản Agribank 3205215033513. Xin cảm ơn!
Ví dụ 1. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $ a $. Cạnh $ SA=a\sqrt{3} $ và vuông góc với đáy. Tính góc giữa hai mặt phẳng $ (SBC) $ và $ (ABCD), $ góc giữa mặt phẳng $ (SBD) $ và mặt phẳng $ (ABCD). $
Hướng dẫn. Để tính góc giữa hai mặt phẳng $ (SBC) $ và $ (ABCD)$, chúng ta sử dụng cách thứ 2.
Giao tuyến của hai mặt phẳng $ (SBC) $ và $ (ABCD)$ chính là $BC$.
Bây giờ, ta cần tìm (nếu chưa có sẵn thì chúng ta sẽ tự vẽ thêm) một mặt phẳng vuông góc với giao tuyến $BC$ này. Bạn nào phát hiện ra đó chính là mặt phẳng \( (SAB) \) thì tốt, nếu chưa thì chú ý hai điều sau:
Muốn có một mặt phẳng vuông góc với \( BC \) thì cần tìm mặt phẳng nào chứa hai đường thẳng cắt nhau và cùng vuông góc với \( BC \).
Đường thẳng \( BC \) đang vuông góc với những đường thẳng nào (chính là \( SA \) và \( AB \)).
Bước tiếp theo, sau khi có mặt phẳng \( (SAB) \) rồi, chúng ta sẽ tìm giao tuyến của nó với hai mặt phẳng ban đầu, chính là các đường thẳng \( AB \) và \( SB \)
Cuối cùng, chúng ta đi tính góc giữa hai đường thẳng \( AB \) và \( SB \), chính là góc \( SBA \), các em hãy tự tính xem góc này bằng bao nhiêu.
Để tính góc giữa hai mặt phẳng $ (SBD) $ và $ (ABCD)$, các em hãy thực hiện đúng các bước như trên. Gợi ý, góc giữa hai mặt phẳng này chính bằng góc $SOA$.
Nếu thấy bài viết hữu ích, bạn có thể ủng hộ chúng tôi bằng cách bấm vào các banner quảng cáo. Xin cảm ơn.
Ví dụ 2. Cho hình chóp $ S.ABC, $ có đáy $ ABC $ là tam giác vuông cân với $ BA = BC = a $; cạnh $ SA $ vuông góc với đáy và $ SA = a $. Gọi $ E, F $ lần lượt là trung điểm của các cạnh $ AB $ và $ AC. $
1. Tính góc giữa hai mặt phẳng $ (ABC) $ và $ (SBC). $ 2. Tính góc giữa hai mặt phẳng $ (SEF) $ và $ (SBC). $ 3. Tính góc giữa hai mặt phẳng $ (SAC) $ và $ (SBC). $
Hướng dẫn.
1. Góc giữa hai mặt phẳng $ (ABC) $ và $ (SBC) $ chính bằng góc $SBA$.
2. Giao tuyến của hai mặt phẳng $ (SEF) $ và $ (SBC) $ là đường thẳng \( d \) đi qua điểm \( S \) và song song với \( BC \). Do đó, chúng ta tìm một mặt phẳng vuông góc với giao tuyến \( d \) thì cũng chính là đi tìm một mặt phẳng vuông góc với đường thẳng \( BC \). Và, nhận thấy luôn mặt phẳng \( (SAB) \) vuông góc với \( BC \). Sau đó đi xác định giao tuyến của mặt phẳng $(SAB)$ với hai mặt phẳng ban đầu khá dễ dàng. Góc giữa hai mặt phẳng chính bằng góc \( BSE \) và đáp số $\cos({(SEF),(SBC)})=\frac{3}{\sqrt{10}}$.
3. Để tính góc giữa hai mặt phẳng $ (SAC) $ và $ (SBC)$, chúng ta có thể làm theo cách dựng mặt phẳng vuông góc với giao tuyến $SC$ của chúng. Tuy nhiên, cách này không phải bạn nào cũng biết cách tạo ra một mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu đó, nên ở đây thầy hướng dẫn theo cách sử dụng công thức diện tích hình chiếu.
Trong mặt phẳng \( (SBC) \) chúng ta chọn một đa giác mà dễ dàng tính được diện tích, chọn luôn tam giác \( SBC \). Đây là tam giác vuông tại \( B \) nên diện tích tính bởi $$ S_{SBC}=\frac{1}{2}SB\cdot BC $$ Tiếp theo, tìm hình chiếu của tam giác này lên mặt phẳng \( (SAC) \). Chúng ta có ngay hình chiếu vuông góc của \( C \) và \( S \) thì trùng với chính chúng luôn, nên chỉ cần tìm hình chiếu vuông góc của điểm \( B \) là đủ. Phát hiện được trung điểm \( F \) của \( AC \) chính là hình chiếu vuông góc của điểm \( B \) lên mặt phẳng \( (SAC) \) (hãy thử giải thích tại sao, nếu không được thì mời các em để lại bình luận dưới bài viết, thầy sẽ hướng dẫn). Như vậy, hình chiếu vuông góc của tam giác \( SBC \) lên mặt phẳng \( (SAC) \) chính là tam giác \( SCF \), tam giác này có diện tích \( S_{SCF}= \frac{1}{2}SA\cdot FC\). Theo công thức diện tích hình chiếu thì $$ S_{SCF}=S_{SBC}\cdot \cos\varphi $$ Thay số vào tìm được, $\left( {(SAC),(SBC)} \right)= 60^\circ$.
Nếu vẫn sử dụng cách dựng mặt phẳng vuông góc với giao tuyến \( SC \), thầy gợi ý là lần lượt gọi \( H,K \) là hình chiếu vuông góc của \( A \) lên \( SB,SC \) thì chứng minh được mặt phẳng \( (AHK) \) vuông góc với \( SC \). Góc giữa hai mặt phẳng cần tính chính bằng góc \( AKH \).
Ví dụ 3. Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy là hình vuông $ ABCD $ cạnh bằng $ a $, tâm của đáy là điểm $ O $. Cạnh bên $ SA $ vuông góc với đáy $(ABCD)$. Tính độ dài cạnh $ SA $ theo $ a $ để số đo của góc giữa hai mặt phẳng $ (SCB) $ và $ (SCD) $ bằng $ 60^\circ $.
Hướng dẫn. Dễ thấy giao tuyến của hai mặt phẳng $ (SCB) $ và $ (SCD) $ là đường thẳng \( SC \). Bây giờ, chúng ta cần tìm một mặt phẳng vuông góc với \( SC \). Trong tam giác \( SBC \) kẻ đường cao \( BH \) xuống cạnh \( SC \) thì chứng minh được \( DH \) cũng là đường cao của tam giác \( SCD \).
Suy ra \( SC \) vuông góc với mặt phẳng \( BHD \) và góc giữa hai mặt phẳng $ (SCB) $ và $ (SCD) $ chính là góc giữa \( BH \) và \( DH \). Tuy nhiên, không thể khẳng định được là góc \( \widehat{BHD} \) vì có thể góc này là góc tù. Tóm lại, chúng ta phải xét hai trường hợp:
\( \left((SCB),(SCD)\right) =\widehat{BHD} \) tức là \(\widehat{BHD}= 60^\circ \)
\( \left((SCB),(SCD)\right)=180^\circ – \widehat{BHD} \) tức là \(\widehat{BHD}= 120^\circ \)
Lần lượt xét hai trường hợp này, thấy trường hợp \(\widehat{BHD}= 120^\circ \) thỏa mãn yêu cầu và tìm được đáp số $ SA = a. $
Ví dụ 4.Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy là hình vuông cạnh $ a $, cạnh $ SA $ vuông góc với đáy và $SA = a\sqrt{3}$. Tính góc giữa các cặp mặt phẳng sau:
1. $ (SBC) $ và $ (ABC) $ 2. $ (SBD) $ và $ (ABD) $ 3. $ (SAB) $ và $ (SCD) $
Hướng dẫn. $ 60^\circ, \arctan\sqrt{6},30^\circ.$
Ví dụ 5.Cho hình chóp $ S.ABCD $, có đáy $ ABCD $ là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính $ AB = 2a; $ cạnh $ SA $ vuông góc với đáy và $SA = a\sqrt{3}$.
1. Tính góc giữa hai mặt phẳng $ (SAD) $ và $ (SBC). $ 2. Tính góc giữa hai mặt phẳng $ (SBC) $ và $ (SCD). $
Hướng dẫn. Sử dụng công thức diện tích hình chiếu (đơn giản) hoặc tính trực tiếp (phức tạp). Đáp số
Ví dụ 6. Cho hình thoi $ ABCD $ cạnh $ a $, tâm $O, OB = \frac{a\sqrt{3}}{3}; SA\perp (ABCD)$ và $SO = \frac{a\sqrt{6}}{3}$. Chứng minh góc $\widehat{ASC}$ vuông. Chứng minh hai mặt phẳng $ (SAB) $ và $ (SAD) $ vuông góc. Tính góc giữa hai mặt phẳng $ (SBC) $ và $ (ABC). $
Hướng dẫn. $ ({(SBC),(ABC)})=60^\circ. $
Ví dụ 7. Cho hình chóp $ S.ABCD $ có $ SA\perp (ABCD) $ và $SA = a\sqrt{2}$, đáy $ ABCD $ là hình thang vuông tại $ A $ và $ D $ với $ AB = 2a, AD = DC = a $. Tính góc giữa các cặp mặt phẳng: $ (SBC) $ và $ (ABC);(SAB)$ và $ (SBC);(SBC) $ và $ (SCD). $
Ví dụ 8.Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \( a \), cạnh bên \( SA = a \) và vuông góc với đáy. Gọi \( M; N \) lần lượt là trung điểm \( SB \) và \( SD \). Tính \( \sin \) của góc giữa hai mặt phẳng \( (AMN) \) và \( (SBD) \).
Ví dụ 9.Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \( a \), cạnh bên \( SA = a \) và vuông góc với đáy. Gọi \( E\) và \(F \) lần lượt là trung điểm \( SB \) và \( SD \). Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng \( (AEF) \) và \( (ABCD) \).
3. Bài tập tính góc giữa hai mặt phẳng trong không gian
Bài 1. Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình vuông tâm $O$ cạnh $a.$ Cạnh $ SA = a$ và vuông góc với đáy.
1. Chứng minh rằng mặt phẳng $(SAB)$ vuông góc với mặt phẳng $(SAD)$; $(SBC)$ vuông góc với $(SAB)$; $(SCD)$ vuông góc với $(SAD)$; $(SAC)$ vuông góc $(SBD)$. 2. Gọi $AI, AJ$ lần lượt là đường cao của các tam giác $SAB, SAC$, chứng minh rằng $(SCD)$ vuông góc với $(AIJ)$. Tính góc giữa hai mặt phẳng $(SBC) $ và $(ABCD)$; $(SBD) $ và $(ABCD)$.
Bài 2. Cho hình vuông $ABCD$ cạnh $a$ có $I, J$ lần lượt là trung điểm $AB, CD$. Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ tại $I$ lấy điểm $S$. Chứng minh rằng $BC\perp (SAB), CD\perp (SIJ)$; $(SAB)\perp (SBC), (SAB)\perp (SIJ)$. Gọi $M$ là trung điểm $BC$, chứng minh $(SIM)\perp (SBD)$. Giả sử $SI = a$, tính góc giữa hai mặt phẳng $(SCD)$ và $(ABCD)$.
Bài 3. Cho hình chóp đều $S.ABCD$, $O$ là tâm $ABCD$. Gọi $I$ là trung điểm $AB$, cho $SA = a, AB = a.$ Chứng minh rằng $(SAC)\perp (SBD)$, $(SOI)\perp (ABCD)$; $(SIO)\perp (SCD)$. Gọi $OJ$ là đường cao của tam giác $SOI$, chứng minh $OJ\perp SB$. Gọi $BK$ là đường cao của tam giác $SBC$, chứng minh rằng $(SCD) \perp (BDK)$. Tính góc giữa mặt bên và mặt đáy.
Bài 4. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật. Mặt bên $(SAB)$ vuông góc với đáy $(ABCD)$. Cho $AB = a, AD = a\sqrt{2}$. Chứng minh rằng $SA\perp (ABCD), (SAD)\perp (SCD)$. Gọi $AH$ là đường cao của…, chứng minh $AH\perp (SBC)$, $(SBC)\perp (AHC)$; $DH\perp SB$. Tính góc giữa $(SAC)$ và $(SAD)$.
Bài 5. Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình vuông cạnh bằng $a$ tâm là điểm $O$. Cạnh $ SA = a$ và vuông góc với đáy. Chứng minh rằng các mặt bên hình chóp là các tam giác vuông. Chứng minh $BD$ vuông góc với $SC$. Tính góc giữa $SC $ và $(ABCD)$, góc giữa hai mặt phẳng $(SBD)$ và $(ABCD)$. Tính góc giữa mặt phẳng $(SCD) $ và mặt phẳng $(ABCD)$. Tính diện tích hình chiếu của tam giác $ SCD$ trên $(ABCD)$.
Bài toán xác định thiết diện, các phương pháp tìm thiết diện của một hình chóp khi cắt bởi một mặt phẳng đã được xét kĩ khi học về quan hệ song song trong không gian. Tuy nhiên, khi học sang chương quan hệ vuông góc trong không gian, học sinh tiếp tục gặp bài toán thiết diện cắt bởi một mặt phẳng mà mặt phẳng đó xác định bởi các kết quả sau đây.
Trong không gian, có đúng một mặt phẳng đi qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng cho trước.
Trong không gian, có đúng một mặt phẳng chứa một đường thẳng và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
Từ hai kết quả đó, chúng ta có hai bài toán cơ bản sau về thiết diện vuông góc.
1. Bài toán tìm thiết diện sử dụng quan hệ vuông góc
1.1. Thiết diện cắt bởi mặt phẳng đi qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng
Bài toán 1. Xác định thiết diện cắt bởi mặt phẳng \((P)\) mà \(P\) đi qua điểm \(M\) và vuông góc với đường thẳng \(d\).
Cách 1. Ta tìm hai đường thẳng \(a\) và \(b\) cắt nhau và cùng vuông góc với đường thẳng \(d\), trong đó có ít nhất một đường đi qua điểm \( M \). Khi đó mặt phẳng \((P)\) chính là mặt phẳng tạo bởi hai đường thẳng \( a \) và \( b \).
Cách 2. Ta tìm một mặt phẳng \((Q)\) nào đó vuông góc với đường thẳng \(d\) thì mặt phẳng \((P)\) chính là mặt phẳng đi qua \(M\) và song song với \( (Q) \).
1.2. Thiết diện cắt bởi mặt phẳng chứa một đường thẳng và vuông góc với một mặt phẳng
Bài toán 2. Xác định thiết diện tạo bởi mặt phẳng \((P)\) biết \(P\) chứa đường thẳng \( a \) và mặt phẳng \((P)\) vuông góc với mặt phẳng \((Q)\).
Từ một điểm \( M \) trên đường thẳng \( a \), ta dựng đường thẳng \( b \) vuông góc với mặt phẳng \((Q)\) thì mặt phẳng \((P)\) chính là mặt phẳng tạo bởi \( a \) và \( b \)
3. Các ví dụ xác định thiết diện vuông góc với một đường thẳng
Ví dụ 1.Cho tứ diện đều $ABCD$. Xác định thiết diện của tứ diện $ABCD$ và mặt phẳng trung trực của cạnh $BC$.
Hướng dẫn. Gọi \( M \) là trung điểm \( BC \) thì có \( BC \) vuông góc với \( AM \) và \( DM \) nên suy ra \( AMD \) chính là mặt phẳng \((P)\) trung trực của \( BC \). Thiết diện cần tìm là tam giác \( AMD \).
Ví dụ 2.Cho tứ diện đều $ABCD$. Trên cạnh $BC$ lấy điểm \( F \) sao cho \( BF<FC \). Gọi \( (P) \) là mặt phẳng đi qua \( F \) và vuông góc với cạnh \( BC \). Xác định thiết diện của tứ diện và mặt phẳng \((P)\).
Hướng dẫn. Trong mặt phẳng \( (ABC) \) kẻ \( FG \) vuông góc với \( BC \) (điểm \( G \) thuộc \( AB \) và \( GF \) song song với trung tuyến \( AI \)). Trong mặt phẳng \( (BCD) \) kẻ \( FE \) vuông góc với \( BC \) (điểm \( E \) thuộc \( BD \) và \( FE \) song song với \( DI \)).
Dễ dàng thấy ngay mặt phẳng \((P)\) chính là mặt phẳng \( FEG \) và thiết diện cần tìm chính là tam giác \( FEG \).
Ví dụ 3.Cho hình lập phương \( ABCD.A’B’C’D’ \) có cạnh bằng \( a \). Tính diện tích của thiết diện khi cắt hình lập phương này bởi mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng \( BD’ \).
Hướng dẫn. Gọi \( O \) là trung điểm \( BD’ \). Trong mặt phẳng \( (BDD’B’) \), kẻ đường thẳng đi qua \( O \) và vuông góc với \( BD \). Đường thẳng này cắt cạnh \( BD \) và \( B’D’ \) lần lượt tại \( E \) và \( F \). Chú ý rằng điểm \( E \) nằm trong đoạn \( BD \), xem hình vẽ sau để rõ hơn.
Trong mặt phẳng \((ABCD)\), qua \( E \) kẻ đường thẳng song song với \( AC \), đường thẳng này cắt \( AD \) và \( CD \) lần lượt tại \( M \) và \( N \). Vì \( AC \) vuông góc với mặt phẳng \( (BDD’B’) \) nên suy ra \( MN \) cũng vuông góc với mặt phẳng \( (BDD’B’) \). Do đó, đường thẳng \( MN \) vuông góc với đường thẳng \( BD \).
Như vậy có $$ \begin{cases} BD\perp EF\\ BD\perp MN \end{cases} $$ nên \( BD \) vuông góc với mặt phẳng chứa \( EF \) và \( MN \). Nói cách khác, mặt phẳng trung trực của \( BD \) chính là mặt phẳng chứa \( EF \) và \( MN \). Từ đó, dựng được thiết diện là lục giác đều màu vàng như trong hình vẽ. Cạnh của lục giác đều có độ dài bằng \( \frac{a\sqrt{2}}{2} \) nên từ đó tính được diện tích là \( \frac{3\sqrt{3}}{4} \).
Ví dụ 4. Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \( a \), tâm là điểm \( O \). Cạnh \( SA=a\sqrt{2} \) và vuông góc với đáy. Gọi \( H \) là hình chiếu vuông góc của \( A \) lên \( SB \). Xác định thiết diện và tính diện tích thiết diện tạo bởi hình chóp và
Mặt phẳng \((P)\) đi qua \( H \) và vuông góc với \( SB \).
Mặt phẳng \((Q)\) đi qua \( B \) và vuông góc với \( SC \).
Hướng dẫn.
Mặt phẳng \((P)\) vuông góc với \( SB \) nên mặt phẳng \((P)\) chứa \( AH \). Trong mặt phẳng \( (SBC) \) kẻ đường thẳng qua \( H \) và vuông góc với \( SB \), đường thẳng này cắt \( SC \) tại \( M \) thì \( HM \) song song với \( BC \).
Mặt khác có \( AD \) vuông góc với \( SB \) (do \( AD \) vuông góc với mặt phẳng \( (SAB) \)) nên suy ra mặt phẳng \((P)\) chính là mặt phẳng chứa \( AH,HM,AD \) và thiết diện cần tìm chính là hình thang \( AHMD \).
Dễ chứng minh được \( BD \) vuông góc với \( SC \) nên suy ra mặt phẳng \((Q)\) chứa \( BD \). Từ \( O \) kẻ \( OK \) vuông góc với \( SC \) tại \( K \). Thiết diện cần tìm chính là tam giác \( BDK \).
Ví dụ 5. Cho hình chóp \( S.ABCD \) có đáy \( ABCD \) là hình thang vuông tại \( A \), đáy lớn \( AD=8 \) cm, \( BC = 6 \) cm. Cạnh \( SA =6\) cm và vuông góc với mặt phẳng \( (ABCD) \). Gọi \( M \) là trung điểm của cạnh \( AB \). Giả sử \( (P) \) là mặt phẳng đi qua \( M \) và vuông góc với \( AB \). Tính diện tích thiết diện tạo bởi \( (P) \) và hình chóp \( S.ABCD \).
Hướng dẫn. Dễ thấy \( AB \) vuông góc với mặt phẳng \( (SAD) \) nên suy ra mặt phẳng \((P)\) và \( SAD \) song song với nhau. Từ đó suy ra cách dựng như sau. Từ \( M \) kẻ \( MN \) song song với \( SA \), \( N \) thuộc \( SB \). Từ \( N \) kẻ \( NE \) song song với \( BC \), \( E \) thuộc \( SC \). Từ \( M \) kẻ \( MF\) song song với \( AD \), \( F \) thuộc \( CD \).
Thiết diện cần tìm là hình thang vuông \( MNEF \).
Có \( MN=\frac{1}{2}SA=3 \) cm, \( NE=\frac{1}{2}BC=3 \) cm, \( MF=\frac{BC+AD}{2}=7 \) cm. Do đó, diện tích hình thang vuông \( MNEF \) là
$$ MN\cdot \frac{NE+MF}{2}=15 $$
Ví dụ 6. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ và cạnh $SA$ vuông góc với đáy $\left(ABCD\right).$ Gọi $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng qua $A$ vuông góc với $SC.$ Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng $\left( \alpha \right).$
Hướng dẫn. Giả sử $\left( \alpha \right)$ cắt $SC$ tại $H$. Khi đó $AH \subset \left( \alpha \right) \bot SC $ nên suy ra $AH$ vuông góc với $SC.$
Vì $BD \bot \left( {SAC} \right)$ nên suy ra $BD $ vuông góc với $ SC.$
Mà $\left( \alpha \right) $ vuông góc với $SC.$
Suy ra, mặt phẳng $ \left( \alpha \right)\parallel BD.$ Do đó, chúng ta có được giao tuyến của hai mặt phẳng $ \left( \alpha \right) $ và $\left( {SBD} \right)$ là đường thẳng $ d$ song song với $BD.$
Mặt khác gọi $O$ là tâm hình vuông và $E$ là giao điểm của $AH $ và $SO $ thì $E $ phải thuộc vào đường thẳng $d.$
Suy ra giao tuyến $d$ chính là đường thẳng đi qua $E$, song song với $BD$ và lần lượt cắt $SB,SD$ tại $M,N$. Vậy thiết diện cần tìm là tứ giác $AMHN.$
3. Các ví dụ xác định thiết diện vuông góc với một mặt phẳng
Ví dụ 7.Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \( a \), tâm là điểm \( O \). Cạnh \( SA=a\sqrt{2} \) và vuông góc với đáy. Xác định thiết diện và tính diện tích thiết diện tạo bởi hình chóp và mặt phẳng \((P)\) chứa \( AB \) và vuông góc với \( (SCD) \).
Hướng dẫn. Ta cần dựng một đường thẳng cắt \( AB \) và vuông góc với \( (SCD) \). Chú ý rằng mặt phẳng \( (SCD) \) và \( (SAD) \) vuông góc và cắt nhau theo giao tuyến \( AD \). Nên để dựng một đường thẳng vuông góc với \( (SCD) \), cách dễ nhất là trong mặt phẳng \( (SAD) \) ta dựng một đường thẳng vuông góc với giao tuyến này.
Trong mặt phẳng \( (SAD) \), hạ \( AH \) vuông góc với \( SD \) tại \( H \) thì dễ chứng minh được \( AH \) vuông góc với \( (SCD) \). Do đó, mặt phẳng \((P)\) chính là mặt phẳng xác định bởi hai đường thẳng cắt nhau \( AB \) và \( AH \). Từ \( H \) dựng đường thẳng song song với \( CD \), cắt \( SC \) tại \( K \). Thiết diện cần tìm là hình thang \( ABKH \).
Ví dụ 8. Cho hình chóp \( S.ABCD \) với \( ABCD \) là hình chữ nhật tâm \( O \) và \( AB = a \), \( AD = 2a \). Cạnh \( SA =a\) và vuông góc với đáy. Gọi \( (P) \) là mặt phẳng chứa \( SO \) và vuông góc với \( (SAD) \). Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng \((P)\) và hình chóp \( S.ABCD \).
Hướng dẫn. Nhận xét rằng \( AB \) vuông góc với \( (SAD) \) nên để dựng một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng \( (SAD) \) ta chỉ việc kẻ song song với \( AB\). Qua \( O \) kẻ đường thẳng song song với \( AB \), đường thẳng này cắt \( BC,AD \) lần lượt tại \( E,F \). Thiết diện cần tìm chính là tam giác \( SEF \).
Tam giác \( SEF \) vuông tại \( F \) nên dễ dàng tính được diện tích bằng \( \frac{a^2\sqrt{2}}{2} \).
Ví dụ 9. Cho lăng trụ đứng \( ABC.A’B’C’ \) có đáy \( ABC \) là tam giác vuông tại \( B \). Gọi \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm \( BC \) và \( BB’ \). Giả sử \( (P) \) là mặt phẳng chứa \( MN \) và vuông góc với mặt phẳng \( (BCC’B’) \). Xác định thiết diện của lăng trụ khi cắt bởi mặt phẳng \((P)\).
Hướng dẫn. Dễ thấy \( AB \) vuông góc với mặt phẳng \( (BCC’B’) \) nên suy ra \( AB \) song song với mặt phẳng \((P)\). Do đó, cách dựng thiết diện như sau:
Qua \( M \) kẻ đường thẳng song song với \( AB \), đường thẳng này cắt \( AC \) tại trung điểm \( Q \).
Qua \( N \) kẻ đường thẳng song song với \( AB \), đường thẳng này cắt \( AA’ \) tại trung điểm \( P \).
Hướng dẫn. Gọi \( M \) là trung điểm \( BC \) thì có \( BC \) vuông góc với \( AM \) và \( DM \) nên suy ra \( AMD \) chính là mặt phẳng \((P)\) trung trực của \( BC \). Thiết diện cần tìm là tam giác \( AMD \).
