Category: TOÁN HỌC

Giải phương trình chứa căn bằng cách phân tích thành tích
Giải phương trình chứa căn bằng cách phân tích thành tích

Giải phương trình chứa căn thức, bất PT chứa căn (PT, BPT vô tỷ) ngoài cách nâng lên lũy thừa thì chúng ta còn có thể phân tích thành tích các nhân tử, mỗi nhân tử là một PT, BPT đơn giản hơn.

Xem thêm:
Một số hằng đẳng thức hay sử dụng:
- $u+v=1+uv\Leftrightarrow \left( u-1 \right)\left( v-1 \right)=0$
- $au+bv=ab+vu\Leftrightarrow \left( u-b \right)\left( v-a \right)=0$
Sau đây, chúng ta cùng xem xét một số ví dụ.

1. Ví dụ giải phương trình, bất phương trình chứa căn bằng phân tích thành tích

Ví dụ 1. Giải phương trình $$\sqrt{x+3}+2x\sqrt{x+1}=2x+\sqrt{{{x}^{2}}+4x+3}$$ Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với
\begin{align*}
& \sqrt {x + 3} – \sqrt {\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)} – \left( {2x – 2x\sqrt {x + 1} } \right) = 0\\
\Leftrightarrow\;& \sqrt {x + 3} \left( {1 – \sqrt {x + 1} } \right) – 2x\left( {1 – \sqrt {x + 1} } \right) = 0 \\
\Leftrightarrow\;& \left( {1 – \sqrt {x + 1} } \right)\left( {\sqrt {x + 3} – 2x} \right) = 0\\
\Leftrightarrow\;& \left[ \begin{array}{l}
1 – \sqrt {x + 1} = 0\\
\sqrt {x + 3} – 2x = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = 1
\end{array} \right.
\end{align*} Đối chiếu điều kiện được nghiệm của phương trình là $ x=0,x=1. $

Ví dụ 2. Giải phương trình $$\sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{x+2}=1+\sqrt[3]{{{x}^{2}}+3x+2}$$ Hướng dẫn. Biến PT đổi thành $$\left( {\sqrt[3]{{x + 1}} – 1} \right)\left( {\sqrt[3]{{x + 2}} – 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = – 1
\end{array} \right.$$ Đáp số $ x=0,x=-1. $

Ví dụ 3. Giải phương trình $$\sqrt{{{x}^{2}}-3x+2}-\sqrt{2{{x}^{2}}-3x+1}\ge x-1$$ Hướng dẫn. Điều kiện $x\in ( -\infty ;\frac{1}{2} ]\cup \left\{ 1 \right\}\cup \left[ 2;+\infty \right)$ nên ta xét ba khả năng:
- $ x = 1 $ là nghiệm.
- $ x\ge 2 $: Bất phương trình tương đương với $\sqrt{x-2}\ge \sqrt{x-1}+\sqrt{2x-1}$ vô nghiệm.
- $x\le \frac{1}{2}$: Bất phương trình $\Leftrightarrow \sqrt{2-x}+\sqrt{1-x}\ge \sqrt{1-2x}$ có nghiệm $x\le \frac{1}{2}$.
Vậy bất phương trình có tập nghiệm $S=( -\infty ;\frac{1}{2} ]\cup \left\{ 1 \right\}$

Ví dụ 4. Giải bất phương trình $$ 14\sqrt{x+5}\ge 3x+23+7\sqrt{x-3} $$ Hướng dẫn. Điều kiện $ x\ge 3. $ Bất phương trình đã cho tương đương với
\begin{align*}
&x-3-7\sqrt{x-3}-4(x+5)+14\sqrt{x+5}\ge 0\\
\Leftrightarrow\;&\left(\sqrt{x-3}-2\sqrt{x+5}\right)\left(\sqrt{x-3}+2\sqrt{x+5}-7\right)\ge0
\end{align*} Đến đây chia ba trường hợp hoặc nhân liên hợp, được tập nghiệm là $ S=[3;4]. $

Ví dụ 5. Giải phương trình $${{x}^{2}}-2x-3=\sqrt{x+3}$$ Hướng dẫn. Biến đổi phương trình đã cho thành \[\begin{array}{l}
\,\,\,\,\,\,{x^2} – x + \frac{1}{4} = x + 3 + \sqrt {x + 3} + \frac{1}{4}\\
\Leftrightarrow {\left( {x – \frac{1}{2}} \right)^2} = {\left( {\sqrt {x + 3} + \frac{1}{2}} \right)^2}
\end{array}\] Đến đây tách thành hai phương trình đơn giản hơn. Đáp số. $x = \frac{{3 + \sqrt {17} }}{2} \vee x = 1 – \sqrt {13}$.

Ví dụ 6. Giải phương trình $$x-2\sqrt{x-1}-\sqrt{x}\left( x-1 \right)+\sqrt{{{x}^{2}}-x}=0$$ Hướng dẫn. Bình phương, biến đổi thành \[\begin{array}{l}
\,\,\,\,\,\,\,2x\sqrt {{x^2} – x} – 4\sqrt {{x^2} – x} + {x^3} – 4{x^2} + 6x – 4 = 0\\
\Leftrightarrow (x – 2)(2\sqrt {{x^2} – x} + {x^2} – 2x + 2) = 0
\end{array}\] Đáp số. $x=2$.

Ví dụ 7. Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của tham số $ m, $ phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: \[{{x}^{2}}+2x-8=\sqrt{m\left( x-2 \right)}\] Hướng dẫn. Điều kiện $x\ge 2$, do $ m > 0. $ PT tương đương với \[\left( {x – 2} \right)\left( {x + 4} \right) = \sqrt {m\left( {x – 2} \right)} .\]Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi PT \[{x^3} + 6{x^2} – 32 = 0\,\,\,\,\,\,\,(*)\] có một nghiệm khác 2.

Thật vậy, đặt $ f\left( x \right)={{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-32,x\ge 2 $ thì ta có \[f(2) = 0,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {\mkern 1mu} f\left( x \right) = + \infty ,f’\left( x \right) = 3{x^2} + 12x > 0,\forall x \ge 2\] Suy ra $ f(x) $ là hàm liên tục trên $ \left[ 2;+\infty \right) $ và đồng biến trên khoảng đó. Do đó, với mọi $m>0$ phương trình (*) luôn có nghiệm $ x_0 $ mà $2 < x_0 <+\infty $.

2. Bài tập phân tích thành tích giải phương trình, bất phương trình

Giải các phương trình, bất phương trình sau:

Bài 1. Giải phương trình $ (x+3)\sqrt{10-x^2}=x^2-x-12 $
Đáp số. $ x=-3 $

Bài 2. Giải phương trình $\left( {{x}^{2}}-3x \right)\sqrt{2{{x}^{2}}-3x-2}\ge 0$
Đáp số. $\left( -\infty ;-\frac{1}{2} \right]\cup \left\{ 2 \right\}\cup \left[ 3;+\infty \right)$

Bài 3. Giải bất phương trình $\left( x-3 \right)\sqrt{{{x}^{2}}+4}\le {{x}^{2}}-9$
Hướng dẫn. Xét ba trường hợp $ x=3, x>3 và x<3. $ Đáp số. $x<-\frac{5}{6}\vee x\ge 3$

Bài 4. Giải BPT $ \frac{\sqrt{ 12+x-x^2}}{x-11}\ge \frac{\sqrt{ 12+x-x^2}}{2x-9} $
Đáp số. $ -3;\left[-2,4\right] $

Bài 5. Giải bất phương trình chứa căn $\frac{\sqrt{51-2x-{{x}^{2}}}}{1-x}<1$
Hướng dẫn. Xét hai trường hợp của $ x-1. $ Đáp số. $1-\sqrt{52}\le x<-5\vee x>1$

Bài 6. Giải BPT $\frac{{{x}^{2}}}{{{\left( 1+\sqrt{1+x} \right)}^{2}}}>x-4$
Đáp số. $-1\le x<8$

Bài 7. Giải PT $ \sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{x+2}=1+\sqrt[3]{x^2+3x+2} $
Hướng dẫn. Nhóm thành $ \left(\sqrt[3]{x+1}-1\right) +\left(\sqrt[3]{x+2}-\sqrt[3]{x^2+3x+2}\right)=0$ rồi phân tích thành tích.
Đáp số. $ x=0,x=-1 $

Bài 8. Giải phương trình $\sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{{{x}^{2}}}=\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{{{x}^{2}}+x}$
Hướng dẫn. Nhận xét $ x=0 $ không là nghiệm, chia hai vế cho $ x $ được: $$\sqrt[3]{\frac{x+1}{x}}+\sqrt[3]{x}=1+\sqrt[3]{x+1}$$ $$\Leftrightarrow \left( \sqrt[3]{\frac{x+1}{x}}-1 \right)\left( \sqrt[3]{x}-1 \right)=0$$ Đáp số. $x=1$

Bài 9. Giải phương trình $\sqrt{x+3}+\frac{4x}{\sqrt{x+3}}=4\sqrt{x}$
Hướng dẫn. Chia cả hai vế cho $\sqrt{x+3}$ và biến đổi \[\begin{array}{l}
\,\,\,\,\,\,\,1 + \frac{{4x}}{{x + 3}} = 2\sqrt {\frac{{4x}}{{x + 3}}} \\
\Leftrightarrow {\left( {1 – \sqrt {\frac{{4x}}{{x + 3}}} } \right)^2} = 0\\
\Leftrightarrow x = 1.
\end{array}\]

Bài 10. Giải phương trình $ x+2\sqrt{7-x}=2\sqrt{x-1}+\sqrt{-x^2+8x-7}+1 $
Hướng dẫn. Biến đổi thành $ \left(x-1-2\sqrt{x-1}\right) +\left(2\sqrt{7-x}-\sqrt{(7-x)(x-1)}\right)=0$…
Đáp số. $ x=5,x=4 $

Bài 11. Giải phương trình $ \sqrt{x^2+10x+21}=3\sqrt{x+3}+2\sqrt{x+7}-6 $
Hướng dẫn. $ \sqrt{x+3}\left(\sqrt{x+7}-3\right)-2\left(\sqrt{x+7}-3\right)=0 $
Đáp số. $ x=1,x=2 $

Bài 12. Giải phương trình $ \sqrt{ x^2+3x}+2 \sqrt{ x+2}=2x+\sqrt{x+\frac{6}{x}+5} $
Hướng dẫn. \[\begin{array}{l}
x\sqrt {\frac{{x + 3}}{x}} – \sqrt {\frac{{(x + 2)(x + 3)}}{x}} + 2\sqrt {x + 2} – 2x = 0\\
\Leftrightarrow \left( {x – \sqrt {x – 2} } \right)\left( {\sqrt {\frac{{x + 3}}{x}} – 2} \right) = 0
\end{array}\] Đáp số. $ x=1,x=2 $

Bài 13. Giải phương trình $\sqrt{x+3}+2x\sqrt{x+1}=2x+\sqrt{x^2+4x+3}$
Hướng dẫn. Phân tích thành tích $ \left( \sqrt{x+3}-2x \right)\left( \sqrt{x+1}-1 \right)=0 $
Đáp số. $x=0,x=1$

Bài 14. Giải phương trình $ \sqrt{2x-1}+x^2-3x+1=0 $
Đáp số. $x= 1;x=2-\sqrt{2} $

Bài 15. Giải phương trình $\sqrt{x+3}+\frac{4x}{\sqrt{x+3}}=4\sqrt{x}$
Hướng dẫn. Chia cả hai vế cho $\sqrt{x+3}$ được $ \left( 1-\sqrt{\frac{4x}{x+3}} \right)^2=0 $
Đáp số. $x=1$

Bài 16. Giải phương trình $ 2 x^2-6x+10-5(x-2)\sqrt{x+1}=0 $
Hướng dẫn. Biến đổi thành \[\begin{array}{l}
2{(x – 2)^2} + 2(x + 1) – 5(x – 2)\sqrt {x + 1} = 0\\
\Leftrightarrow \left( {2(x – 2) – \sqrt {x + 1} } \right)\left( {(x – 2) – 2\sqrt {x + 1} } \right) = 0
\end{array}\] Đáp số. $ x=3,x=8 $

Bài 17. Giải phương trình $ 4x^2+\sqrt{ 2x+3}=8x+1 $
Hướng dẫn. $ 4x^2-6x+\frac{9}{4}=\left(\sqrt{2x+3}\right)^2-2\sqrt{2x+3}+\frac{1}{4}$
Đáp số. $x= \frac{5-\sqrt{21}}{4},x=\frac{3+\sqrt{17}}{4} $

Bài 18. Giải phương trình $ \sqrt{ x^2+x+2}=\frac{x^2+5x+2}{2x+2} $
Hướng dẫn. Nhân chéo, nhóm thành $$ \left(\sqrt{x^2+x+2}\right)^2-2x\sqrt{x^2+x+2}-2\sqrt{x^2+x+2}+4x=0 $$
Đáp số. $ x=1,x=-2 $

Bài 19. Giải phương trình $ 2\sqrt{2x+3}-\frac{3}{x}=x+2 $
Hướng dẫn. Biến đổi thành $ \frac{1}{x}\left(x-\sqrt{2x+3}\right)^2=0 $
Đáp số. $x=3$

Bài 20. $ \sqrt[3]{x-1}+\sqrt{x}=1+\sqrt[6]{x^5-2x^4+x^3} $
Hướng dẫn. Phân tích thành tích $ \left(1-\sqrt[3]{x-1}\right)(1-\sqrt{x})=0 $
Đáp số. $x=1,x=2$

Bài 21. Giải phương trình $ 2\sqrt{x+1}+\sqrt{2x^2+6x}=2\sqrt{2x}+\sqrt{x^2+4x+3} $
Hướng dẫn. Biến đổi thành $ \left(\sqrt{ x+1}-\sqrt{ 2x}\right)\left(2-\sqrt{x+3}\right)=0 $
Đáp số. $x=1$

Bài 22. Giải phương trình $ 4x\sqrt{x+7}+3x\sqrt{7x-3}=6x^2+2\sqrt{ 7x^2 +46x-21} $
Hướng dẫn. Phân tích thành tích $$ \left(2x-\sqrt{7x-3}\right)\left(2\sqrt{x+7}-3x\right)=0 $$Đáp số. $x=1,x=2,x=\frac{3}{4}$

Bài 23. Giải phương trình $\sqrt{\sqrt{3}-x}=x\sqrt{\sqrt{3}+x}$
Hướng dẫn. Biến đổi thành \[\begin{array}{l}
\,\,\,\,\,\,\,{x^3} + \sqrt 3 {x^2} + x – \sqrt 3 = 0\\
\Leftrightarrow {\left( {x + \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right)^3} = \frac{{10}}{{3\sqrt 3 }}
\end{array}\] Đáp số. $x=\frac{\sqrt[3]{10}-1}{\sqrt{3}}$

Bài 24. Giải phương trình $2\sqrt{x+3}=9{{x}^{2}}-x-4$
Hướng dẫn. Biến đổi thành ${{\left( 1+\sqrt{3+x} \right)}^{2}}=9{{x}^{2}}$
Đáp số. $x=1,x=\frac{-5-\sqrt{97}}{18}$

Bài 25. Giải phương trình $2+3\sqrt[3]{9{{x}^{2}}\left( x+2 \right)}=2x+3\sqrt[3]{3x{{\left( x+2 \right)}^{2}}}$
Hướng dẫn. Biến đổi thành $ \left( \sqrt[3]{x+2}-\sqrt[3]{3x} \right)^3=0 $
Đáp số. $x=1$

Bài 26. Giải phương trình $\sqrt[4]{x+1}+\sqrt{x}=1+\sqrt[4]{{{x}^{3}}+{{x}^{2}}}$
Đáp số. $x=0, x=1$

Bài 27. Giải phương trình $\sqrt{x+3}+2x\sqrt{x+1}=2x+\sqrt{{{x}^{2}}+4x+3}$
Hướng dẫn. Phân tích thành tích bằng biến đổi $$ au+bv=ab+uv \Leftrightarrow (u-b)(v-a)=0 $$Đáp số. $x=0, x=1$

Bài 28. Giải phương trình $2+3\sqrt[3]{9{{x}^{2}}\left( x+2 \right)}=2x+3\sqrt[3]{3x{{\left( x+2 \right)}^{2}}}$
Hướng dẫn. Sử dụng biến đổi $ a^3-b^3=0 \Leftrightarrow a=b$
Đáp số. $x=1$

Bài 29. Giải phương trình $4{{x}^{2}}+3x+3=4x\sqrt{x+3}+2\sqrt{2x-1}$
Hướng dẫn. Phân tích thành tích $$\left( 4{{x}^{2}}-4x\sqrt{x+3}+x+3 \right)\left( 1-2\sqrt{2x-1}+2x-1 \right)=0$$Đáp số. $x=1$

Bài 30. Giải phương trình $\frac{x^2}{\sqrt{3x-2}}-\sqrt{3x-2}=1-x$
Đáp số. $ x=1 $

Bài 31. Giải phương trình $\sqrt{{{x}^{3}}+{{x}^{2}}+3x+3}+\sqrt{2x}=\sqrt{{{x}^{2}}+3}+\sqrt{2{{x}^{2}}+2x}$
Hướng dẫn. Phân tích thành tích bằng biến đổi $$ au+bv=ab+uv \Leftrightarrow (u-b)(v-a)=0 $$ Đáp số. $x=0$
13/06/2020
ĐỀ THI TOÁN 12 HỌC KÌ II 2020 XUÂN TRƯỜNG B
ĐỀ THI TOÁN 12 HỌC KÌ II 2020 XUÂN TRƯỜNG B

Ngày 12/6/2020, trường THPT Xuân Trường B đã tổ chức thi Khảo sát học kì 2 năm học 2019-2020 các môn Toán, Văn, Anh và tổ hợp KHTN, KHXH. Chúng tôi xin giới thiệu đề thi Toán 12 học kì II gồm 50 câu hỏi trắc nghiệm theo cấu trúc ma trận đề minh họa tốt nghiệp 2020. File word đề thi và đáp án, xin mời thầy cô và các em học sinh tải ở cuối bài viết.

Xem thêm:
1. Đề thi toán 12 học kì II Mã đề 132

Câu 1: Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a.$ Cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy và $SA=a\sqrt{3}.$ Gọi $\varphi $ là góc giữa hai mặt phẳng $\left( SBC \right)$ và $\left( ABC \right).$ Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. $\varphi ={{60}^{0}}.$
B. $\varphi ={{30}^{0}}.$
C. $\sin \varphi =\frac{2\sqrt{5}}{5}.$
D. $\sin \varphi =\frac{\sqrt{5}}{5}.$

Câu 2: Cho hàm số $y=f(x)$ có bảng biến thiên như sau:

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. Hàm số $y=f(x)$ đạt cực đại tại $x=1.$
B. Hàm số $y=f(x)$ không đạt cực trị tại $x=-1.$
C. Hàm số $y=f(x)$ đạt cực tiểu tại $x=-2.$
D. Hàm số $y=f(x)$ đạt cực đại tại $x=-1.$

Câu 3: Thu gọn số phức $z=\left( 2+3i \right)\left( 2-3i \right)$ ta được

A. $z=13.$
B. $z=-9i.$
C. $z=4-9i.$
D. $z=4.$

Câu 4: Đồ thị của hàm số $y=f\left( x \right)$ có dạng như đường cong trong hình vẽ bên.

Số nghiệm dương của phương trình $f\left( x \right)=1$ là

A. $2.$
B. $3.$
C. $1.$
D. $0.$

Câu 5: Môđun của số phức $z=4-2i$ bằng

A. $\sqrt{12}.$
B. $20.$
C. $2.$
D. $2\sqrt{5}.$

Câu 6: Trong không gian $Oxyz,$ phương trình đường thẳng $d$ đi qua điểm $A\left( 1;2;3 \right)$ và có véctơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=(1;\,2;\,-3)$ là

A. $\left\{ \begin{align}& x=1+t \\& y=2+2t \\& z=3-3t \\ \end{align} \right..$
B. $\left\{ \begin{align}& x=1+t \\& y=2+2t \\& z=-3+3t \\ \end{align} \right..$
C. $x+2y-3z+4=0.$
D. $\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z+3}{3}.$

Câu 7: Bất phương trình ${{\log }_{3}}3x>2$ có tập nghiệm là

A. $\left( -\infty ;3 \right).$
B. $\left( -\infty ;0 \right).$
C. $\left( 3;+\infty \right).$
D. $\left( 0;+\infty \right).$

Câu 8: Biết ${{z}_{1}}$ và ${{z}_{2}}$ là hai nghiệm phức của phương trình $2{{z}^{2}}+\sqrt{3}z+3=0.$ Khi đó, giá trị của $z_{1}^{2}+z_{2}^{2}$ bằng

A. $9.$
B. $4.$
C. $\frac{-9}{4}.$
D. $\frac{9}{4}.$

Câu 9: Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)=\cos x.$

A. $\int{f\left( x \right)\text{d}x}=\frac{1}{2}\cos 2x+\text{C}.$
B. $\int{f\left( x \right)\text{d}x}=\sin x+\text{C}.$
C. $\int{f\left( x \right)\text{d}x}=-\sin x+\text{C}.$
D. $\int{f\left( x \right)\text{d}x}=\frac{1}{2}{{\cos }^{2}}x+\text{C}.$

Câu 10: Cho số thực $a>0,\,\,a\ne 1$ và các số thực dương $x,\,\,y$ bất kì. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

A. ${{\log }_{a}}\frac{x}{y}={{\log }_{a}}x+{{\log }_{a}}y.$
B. ${{\log }_{a}}\frac{x}{y}={{\log }_{a}}x.{{\log }_{a}}y.$
C. ${{\log }_{a}}\frac{x}{y}={{\log }_{a}}x-{{\log }_{a}}y.$
D. ${{\log }_{a}}\frac{x}{y}=\frac{{{\log }_{a}}x}{{{\log }_{a}}y}.$

Câu 11: Phương trình ${{4}^{3x-2}}=16$ có nghiệm là

A. $x=\frac{3}{4}.$
B. $x=\frac{4}{3}.$
C. $x=2.$
D. $x=4.$

Câu 12: Xét $\int\limits_{0}^{1}{{{\left( 2x-1 \right)}^{10}}\text{d}x},$ nếu đặt $u=2x-1$ thì $\int\limits_{0}^{1}{{{\left( 2x-1 \right)}^{10}}\text{d}x}$ bằng

A. $\frac{1}{2}\int\limits_{-1}^{1}{{{u}^{10}}\text{d}u}.$
B. $2\int\limits_{-1}^{1}{{{u}^{10}}\text{d}u}.$
C. $\frac{1}{2}\int\limits_{0}^{1}{{{u}^{10}}\text{d}u}.$
D. $\frac{1}{2}\int\limits_{-1}^{1}{{{u}^{10}}\text{d}x}.$

Câu 13: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đạo hàm ${f}’\left( x \right)={{\left( x+1 \right)}^{2}}{{\left( x-1 \right)}^{3}}\left( 2-x \right).$ Số điểm cực trị của hàm số $y=f\left( x \right)$ là

A. $6.$
B. $2.$
C. $1.$
D. $3.$

Câu 14: Đường thẳng có phương trình $x=1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số nào sau đây?

A. $y=\frac{1+x}{1-x}.$
B. $y=\frac{{{x}^{2}}+x-2}{2-x}.$
C. $y=\frac{x-2}{x+2}.$
D. $y=\frac{1+{{x}^{2}}}{1+x}.$

Câu 15: Đồ thị hàm số nào trong bốn hàm số sau đây luôn nằm dưới trục hoành?

A. $y=-{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+x-1.$
B. $y={{x}^{4}}-3{{x}^{2}}+3.$
C. $y=-{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}-2.$
D. $y=-{{x}^{4}}-4{{x}^{2}}+1.$

Câu 16: Cho số phức $z=6+7i$ có số phức liên hợp là $\overline{z}.$ Trên mặt phẳng toạ độ, điểm biểu diễn của số phức $\overline{z}$ là điểm nào dưới đây?

A. $P\left( -6;7 \right).$
B. $Q\left( -6;-7 \right).$
C. $M\left( 6;7 \right).$
D. $N\left( 6;-7 \right).$

Câu 17: Tìm tập xác định của hàm số $y={{\log }_{2}}\left( x-2 \right).$

A. $\left( 2;\,\,+\infty \right).$
B. $\left[ 2;\,\,+\infty \right).$
C. $\left( 0;+\infty \right).$
D. $\left( -\infty ;\,\,2 \right).$

Câu 18: Trong không gian $Oxyz,$ mặt cầu tâm $I\left( 2;-1;2 \right)$ và đi qua điểm$A\left( 2;0;1 \right)$có phương trình là

A. ${{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=2.$
B. ${{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z+2 \right)}^{2}}=2.$
C. ${{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}+{{\left( z-2 \right)}^{2}}=\sqrt{2}.$
D. ${{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}+{{\left( z+2 \right)}^{2}}=1.$

Câu 19: Trong không gian $Oxyz,$ cho mặt phẳng $\left( P \right):\,\,x+y-z-3=0$ và các điểm $M\left( 1;\,\,0;\,\,-1 \right)$,$N\left( 3;\,\,1;\,\,-1 \right)$, $P\left( 1;\,\,1;\,-1 \right),\,\,Q\left( 3;\,\,1;\,\,1 \right).$ Trong các điểm $M,\,\,N,\,\,P,\,\,Q,$ số điểm thuộc mặt phẳng $\left( P \right)$ là

A. $3.$
B. $4.$
C. $1.$
D. $2.$

Câu 20: Trong mặt phẳng, cho $6$ điểm phân biệt sao cho không có 3 điểm nào thẳng hàng. Hỏi có thể lập được bao nhiêu tam giác mà các đỉnh của nó thuộc tập 6 điểm đã cho?

A. $120.$
B. $20.$
C. $15.$
D. $60.$

Câu 21: Cho hai số phức ${{z}_{1}}=1+2i,{{z}_{2}}=2-3i.$ Phần ảo của số phức $3{{z}_{1}}-2{{z}_{2}}$ bằng

A. $11.$
B. $12.$
C. $10.$
D. $0.$

Câu 22: Cho cấp số nhân $\left( {{a}_{n}} \right)$ có ${{a}_{3}}=8$ và ${{a}_{6}}=64.$ Tìm số hạng thứ 10 của cấp số nhân đó.

A. ${{a}_{10}}=2048.$
B. ${{a}_{10}}=1024.$
C. ${{a}_{10}}=-1024.$
D. ${{a}_{10}}=512.$

Câu 23: Giá trị lớn nhất của hàm số $y=\dfrac{{{x}^{2}}+2x+2}{x+1}$trên $\left[ \frac{-1}{2};2 \right]$ bằng

A. $2.$
B. $\frac{10}{3}.$
C. $3.$
D. $\frac{8}{3}.$

Câu 24: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A. $(3;+\infty ).$
B. $(-1;2).$
C. $(1;3).$
D. $(-\infty ;1).$

Câu 25: Cho khối chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a.$ Cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy và $SA=a\sqrt{3}.$ Thể tích của khối chóp $S.ABC$ bằng

A. $\frac{3{{a}^{3}}}{4}.$
B. $\frac{{{a}^{3}}}{4}.$
C. $\frac{3{{a}^{3}}}{8}.$
D. $\frac{3{{a}^{3}}}{6}.$

Câu 26: Một khối nón có góc ở đỉnh bằng ${{60}^{0}}$ và diện tích đáy bằng $9\pi .$ Thể tích của khối nón bằng

A. $9\pi \sqrt{3}.$
B. $6\pi \sqrt{3}.$
C. $12\pi \sqrt{3}.$
D. $8\pi \sqrt{3}.$

Câu 27: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có một nguyên hàm là hàm số $y=F\left( x \right).$ Với $a,\,b\in \mathbb{R},$ khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)\text{d}x}=F\left( b \right)+F\left( a \right).$
B. $\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)\text{d}x}=F\left( b \right)F\left( a \right).$
C. $\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)\text{d}x}=F\left( a \right)-F\left( b \right).$
D. $\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)\text{d}x}=F\left( b \right)-F\left( a \right).$

Câu 28: Cho khối cầu $\left( S \right)$ có thể tích bằng $\frac{500}{3}\pi .$ Tính diện tích của mặt cầu $\left( S \right).$

A. $25\pi .$
B. $50\pi .$
C. $75\pi .$
D. $100\pi .$

Câu 29: Đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$ có dạng như đường cong trong hình vẽ bên.

Hàm số $y=f\left( x \right)$ là hàm số nào trong các hàm số sau đây?

A. $y=\frac{2x+1}{x+1}.$
B. $y=\frac{1-2x}{x+1}.$
C. $y=\frac{2x+1}{x-1}.$
D. $y=\frac{2x-1}{x+1}.$

Câu 30: Thể tích $V$ của khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h là

A. $V=\frac{1}{3}Bh.$
B. $V=Bh.$
C. $V=\frac{1}{2}Bh.$
D. $V=\frac{4}{3}Bh.$

Câu 31: Tính diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=\sin x,\,\,x=0,\,\,x=\frac{\pi }{4}$ và trục hoành.

A. $S=\sqrt{2}-1.$
B. $S=\frac{\sqrt{2}}{2}-1.$
C. $S=1-\frac{\sqrt{2}}{2}.$
D. $S=1+\frac{\sqrt{2}}{2}.$

Câu 32: Trong không gian $Oxyz,$ cho các điểm $A\left( 1;\,\,-2;\,\,5 \right),\,B\left( -3;\,\,4;\,-1 \right).$ Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn $AB$ là

A. $2x-3y+3z-1=0.$
B. $2x-3y-3z-1=0.$
C. $-2x+3y+3z-1=0.$
D. $2x-3y+3z+1=0.$

Câu 33: Trong không gian $Oxyz,$ cho 3 điểm $A\left( 1;\,\,2;\,\,-1 \right),\,\,B\left( -1;\,\,2;\,\,-1 \right),\,\,C\left( 2;\,\,0;\,\,-1 \right).$ Tìm tọa độ điểm $D$ sao cho tứ giác $ABCD$ là hình bình hành.

A. $D\left( 0;\,\,0;\,\,-1 \right).$
B. $D\left( 4;\,\,0;\,\,-1 \right).$
C. $D\left( -4;\,\,0;\,\,1 \right).$
D. $D\left( -4;\,0;\,\,-1 \right).$

Câu 34: Cho hình trụ có bán kính đáy bằng $R$ và thiết diện qua trục của nó là một hình vuông. Tính diện tích toàn phần của hình trụ đó.

A. $5\pi {{R}^{2}}.$
B. $2\pi {{R}^{2}}.$
C. $6\pi {{R}^{2}}.$
D. $3\pi {{R}^{2}}.$

Câu 35: Toạ độ hình chiếu vuông góc của điểm $M\left( 2;\,\,0;\,\,1 \right)$ lên đường thẳng $d:\,\left\{ \begin{align}
& x=1+t \\
& y=2t \\
& z=2+t \\
\end{align} \right.$ là điểm

A. $P\left( 0;\,\,-2;\,\,1 \right).$
B. $Q\left( 1;\,\,0;\,\,2 \right).$
C. $E\left( -1;\,\,0;\,\,-2 \right).$
D. $F\left( 0;\,\,-2;\,\,-1 \right).$

Câu 36: Trong một bản hợp ca, coi mọi ca sĩ đều hát với cùng một cường độ âm và cùng một tần số. Khi một ca sĩ hát thì mức cường độ âm là $67dB.$ Khi cả ban hợp ca cùng hát thì đo được mức cường độ âm là $80dB.$Biết mức cường độ âm $L$ được tính theo công thức $L=10\log \frac{I}{{{I}_{0}}},$ trong đó $I$ là cường độ âm và ${{I}_{0}}$ là cường độ âm chuẩn. Số ca sĩ trong ban hợp ca đó gần nhất với kết quả nào sau đây?

A. 20 người.
B. 19 người.
C. 16 người.
D. 18 người.

Câu 37: Đồ thị hàm số $y={{x}^{3}}+ax^2+b$ có dạng như đường cong trong hình vẽ bên.

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?

A. $a<0,\text{ }b<0.$
B. $a>0,\text{ }b<0.$
C. $a>0,\text{ }b>0.$
D. $a<0,\text{ }b>0.$

Câu 38: Cho khối nón tròn xoay có đường cao $h=20\,cm,$ bán kính đáy $r=25\,cm.$ Một mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua đỉnh của khối nón và có khoảng cách đến tâm $O$ của đáy bằng $12\,cm.$ Khi đó diện tích thiết diện của khối nón được cắt bởi $\left( P \right)$ bằng

A. $475\,c{{m}^{2}}.$
B. $550\,c{{m}^{2}}.$
C. $450\,c{{m}^{2}}.$
D. $500\,c{{m}^{2}}.$

Câu 39: Gọi $A$ là tập hợp các số tự nhiên có 9 chữ số đôi một khác nhau được lập từ tập $B=\left\{ 0;1;2;…;9 \right\}.$ Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên thuộc vào tập $A.$ Tính xác suất để chọn được số chia hết cho 3.

A. $\frac{11}{27}.$
B. $\frac{1}{9}.$
C. $\frac{8}{27}.$
D. $\frac{16}{27}.$

Câu 40: Bất phương trình ${{4}^{x}}<{{2}^{x+1}}+3$ có tập nghiệm là

A. $\left( -1;3 \right).$
B. $\left( 0;{{\log }_{2}}3 \right).$
C. $\left( {{\log }_{2}}3;5 \right).$
D. $\left( -\infty ;{{\log }_{2}}3 \right).$

Câu 41: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật với $AB=a,\text{ }AD=2a.$ Cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy, góc giữa $SD$ và mặt phẳng đáy bằng ${{60}^{0}}.$ Tính khoảng cách $d$ từ điểm $C$ đến mặt phẳng $\left( SBD \right)$ theo $a.$

A. $d=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$
B. $d=\frac{2a\sqrt{5}}{5}.$
C. $d=\frac{a\sqrt{5}}{2}.$
D. $d=\frac{\sqrt{3}}{2}.$

Câu 42: Tập tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $y=-\frac{1}{3}{{x}^{3}}+\left( m-1 \right)x+7$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$ là

A. $\left( 1;+\infty \right).$
B. $\left( -\infty ;1 \right).$
C. $\left( -\infty ;1 \right].$
D. $\left[ 2;+\infty \right).$

Câu 43: Cho $a$ là số thực dương khác $1.$ Đặt ${{\log }_{3}}a=\alpha ,$tính giá trị biểu thức $P={{\log }_{\frac{1}{3}}}a-{{\log }_{\sqrt{3}}}{{a}^{2}}+{{\log }_{a}}9$ theo $\alpha .$

A. $P=\frac{1-10{{\alpha }^{2}}}{\alpha }.$
B. $P=-3\alpha .$
C. $P=\frac{2-5{{\alpha }^{2}}}{\alpha }.$
D. $P=\frac{2\left( 1-{{\alpha }^{2}} \right)}{\alpha }.$

Câu 44: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ xác định và có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ đồng thời thỏa mãn $f\left( 0 \right)=\frac{1}{2},\,$ $f\left( x \right)>0,\,\forall x\in \mathbb{R}$ và ${f}’\left( x \right)=-{{e}^{x}}.{{f}^{2}}\left( x \right),\,\forall x\in \mathbb{R}.$ Biết $\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)\text{d}x}=a+\ln \frac{b}{e+c}$ với $a,\,b,\,c$ là các số tự nhiên. Tính $T=a+b+c.$

A. $T=4.$
B. $T=3.$
C. $T=2.$
D. $T=5.$

Câu 45: Cho khối trụ $\left( T \right),$ cắt khối trụ $\left( T \right)$ bởi một mặt phẳng $\left( P \right)$ song song với trục của khối trụ và cách trục một khoảng bằng $\sqrt{2}$ ta được thiết diện là một hình vuông có diện tích bằng $16.$Tính thể tích của khối trụ $\left( T \right).$

A. $8\pi .$
B. $32\pi .$
C. $16\pi .$
D. $24\pi .$

Câu 46: Xét hai số thực $a,\,b$ thay đổi thoả mãn $1<a<b.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=8{{\left( {{\log }_{\frac{b}{a}}}\frac{b}{\sqrt{a}} \right)}^{2}}+{{\left( 2{{\log }_{a}}b-1 \right)}^{2}}+3.$

A. $30.$
B. $21.$
C. $27.$
D. $12.$

Câu 47: Cho hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như đường cong trong hình vẽ bên. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình $f\left( f(\sin x) \right)=m$
có nghiệm thực thuộc khoảng $\left( 0;\pi \right)$ là

A. $\left[ -1;3 \right).$
B. $\left( -1;1 \right).$
C. $\left( -1;3 \right].$
D. $\left[ -1;1 \right).$

Câu 48: Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ là hàm đa thức có tất cả các hệ số đều là những số nguyên không âm nhỏ hơn $7$ và thoả mãn $f\left( 7 \right)=901.$ Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=f\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ -1;1 \right]$ bằng

A. $18.$
B. $13.$
C. $\frac{127}{27}.$
D. $\frac{478}{27}.$

Câu 49: Cho khối chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông tâm $O$ và có thể tích bằng $V.$ Gọi$M,\,N,\,P,\,Q$ lần lượt là trọng tâm của các tam giác $SAB,\,SBC,\,SCD,\,SDA.$ Thể tích khối chóp $O.MNPQ$ bằng

A. $\frac{4V}{27}.$
B. $\frac{2V}{27}.$
C. $\frac{V}{9}.$
D. $\frac{2V}{9}.$

Câu 50: Cho hàm số $f(x)=\left( {{e}^{x}}-\frac{1}{{{e}^{x}}} \right){{e}^{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}}.$ Có bao nhiêu số nguyên dương $m$ thỏa mãn bất phương trình $f\left( {{m}^{2}}-2 \right)+f\left( 2-6m \right)\le 0?$

A. $7.$
B. $6.$
C. $0.$
D. $5.$

———– HẾT ———-

2. Tải đề thi file word môn Toán HK2

Mời thầy cô và các em tải Đề thi Toán học kì II file word tại đây:
- Đề thi DE_THI_HK2_2020_XUAN_TRUONG_B-o2.edu.vn
- Đáp án DE_THI_HK2_2020_XUAN_TRUONG_B-DAP_AN-o2.edu.vn
13/06/2020

Toán 10 – Bài tập công thức lượng giác

Phân dạng Bài tập công thức lượng giác

1. Lý thuyết công thức lượng giác

1.1. Khái niệm các giá trị lượng giác

Sử dụng đường tròn lượng giác, chúng ta có các khái niệm và kết quả sau:

1.2. Giá trị lượng giác của các cung đặc biệt

Bạn cần nhớ giá trị lượng giác của các góc đặc biệt $ 0,\dfrac{\pi}{6},\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{3},\dfrac{\pi}{2},\pi $ như trong bảng sau:

1.3. Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt (cung liên kết)

Giá trị lượng giác của các cung có liên quan cos đối – sin bù – phụ chéo – khác $ \pi $ tan; hơn nhau ở tuổi 90…; hơn kém chẵn $ \pi $ thì sin-cos…

STT	Hai cung	Gọi là hai cung	Công thức	Cách nhớ
1	$\left( -a \right)$ và $a$	Đối nhau	$\cos (-a)=\cos a$ $\sin (-a)=-\sin a$ $\tan (-a)=-\tan a$ $\cot (-a)=-\cot a$	Cos đối
2	$\left( \pi -a \right)$ và$a$	Bù nhau	$\sin (\pi -a)=\sin a$ $\cos(\pi -a)=-\cos a$ $\tan (\pi -a)=-\tan a$ $\cot (\pi -a)=-\cot a$	Sin bù
3	$\left( \frac{\pi }{2}-a \right)$ và $a$	Phụ nhau	$\sin \left( \frac{\pi }{2}-a \right)=\cos a$ $\cos\left( \frac{\pi }{2}-a \right)=\sin a$ $\tan \left( \frac{\pi }{2}-a \right)=\cot a$ $\cot \left( \frac{\pi }{2}-a \right)=\tan a$	Phụ chéo
4	$\left( \pi +a \right)$ và $a$	Sai khác $\pi $	$\tan (\pi +a)=\tan a$ $\cot (\pi +a)=\cot a$ $\sin (\pi +a)=-\sin a$ $\cos(\pi +a)=-\cos a$	Khác $\pi $ tan, cot
5	$\left( \frac{\pi }{2}+a \right)$ và $a$	Hơn $\frac{\pi }{2}$	$\sin \left( \frac{\pi }{2}+a \right)=\cos a$ $\cos\left( \frac{\pi }{2}+a \right)=-\sin a$ $\tan \left( \frac{\pi }{2}+a \right)=-\cot a$ $\cot \left( \frac{\pi }{2}+a \right)=-\tan a$	2 cung hơn nhau $\frac{\pi }{2}$ thì sin ( cung lớn) = cos ( cung nhỏ)

Mời thầy cô và các em xem thêm ở bài Công thức lượng giác – Giá trị lượng giác của góc lớp 10

1.4. Các công thức lượng giác cơ bản

$ \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}, \cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x},\tan x\cot x=1 $
$ \sin^2x+\cos^2x=1, 1+\tan^2x=\dfrac{1}{\cos^2 x}, 1+\cot^2x=\dfrac{1}{\sin^2x} $

1.5. Công thức cộng

1.6. Công thức nhân và hạ bậc

1.7. Công thức biến đổi tổng thành tích và tích thành tổng

2. Các dạng toán và ví dụ điển hình

Ví dụ 1. Biểu diễn các cung có số đo: $ \dfrac{\pi}{4},\dfrac{5\pi}{4},\dfrac{\pi}{4}+k\pi,\dfrac{\pi}{6},\dfrac{13\pi}{6},\dfrac{\pi}{3}+k\dfrac{2\pi}{3},60^\circ+k120^\circ $ trên đường tròn lượng giác.

Ví dụ 2. Tính $ \tan 300^\circ,\sin(-780^\circ) $

Hướng dẫn.
$ \tan 300^\circ=-\sqrt{3},\sin(-780^\circ)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}. $

Ví dụ 3. Rút gọn các biểu thức

$ A=5\tan540^\circ+2\cos1170^\circ+4\sin990^\circ-3\cos540^\circ. $
$ B= 3\sin\dfrac{25\pi}{6}-3\tan\dfrac{13\pi}{4}+2\cos\dfrac{14\pi}{3}$
$ C=\dfrac{\sin(-234^\circ)-\cos216^\circ}{\sin144^\circ-\cos216^\circ}\cdot\tan36^\circ $
$ D=\sin(x+\pi)-\cos(\dfrac{\pi}{2}-x)+\cot(2\pi-x)+\tan(\dfrac{3\pi}{2}-x) $

Hướng dẫn.
$ A=-1, \quad B=-\dfrac{1}{2}, \quad C=1,\quad D=-2\sin x $

Ví dụ 4. Chứng minh các đẳng thức

$ \sin^4x+\cos^4x=1-2\sin^2x\cos^2x $
$ \sin^6x+\cos^6x=1-3\sin^2x\cos^2x $
$ \dfrac{1-\cos x}{\sin x}=\dfrac{\sin x}{1+\cos x} $
$ \dfrac{1+\cot x}{1-\cot x}=\dfrac{\tan x+1}{\tan x-1} $

Ví dụ 5. Rút gọn các biểu thức lượng giác sau:

$ A=(\tan x+\cot x)^2-(\tan x-\cot x)^2 $
$ B=(1-\sin^2x)\cot^2x+1-\cot^2x $
$ C=\tan x+\dfrac{\cos x}{1+\sin x} $
$ D=\dfrac{\cos x\tan x}{\sin^2x}-\cot x\cos x $

Hướng dẫn. $ A=4$, $B=\sin^2x$, $C=\dfrac{1}{\cos x}$, $D=\sin x $

Ví dụ 6. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào $ x $

$ A=\dfrac{\cot^2x-\cos^2x}{\cot^2x} $
$ B=\dfrac{(1-\tan^2x)^2}{4\tan^2x} $
$ C=2(\sin^6x+\cos^6x)-3(\sin^4x+\cos^4x) $

Hướng dẫn. $ A=1$, $B=-1$, $C=-1$

Ví dụ 7. Cho $ \cos\alpha=-\dfrac{3}{5} $ và $ 180^\circ<\alpha<270^\circ. $ Tính $ \sin\alpha,\tan\alpha,\cot\alpha? $

Hướng dẫn. $ \sin\alpha=-\dfrac{4}{5},\tan\alpha=\dfrac{4}{3},\cot\alpha=\dfrac{3}{4}. $

Ví dụ 8. Cho $ \tan\alpha=\dfrac{3}{4} $ và $ \pi<\alpha<\dfrac{3\pi}{2}. $ Tính Tính $ \sin\alpha,\tan\alpha,\cot\alpha? $

Hướng dẫn. $ \sin\alpha=-\dfrac{3}{5},\cos\alpha=-\dfrac{4}{5},\cot\alpha=\dfrac{4}{3}. $

3. Phân loại bài tập công thức lượng giác

Dạng 1. Tính giá trị lượng giác của một cung (góc)

Bài 1. Tính các giá trị lượng giác của góc, biết:

a) $\sin \alpha = \frac{2}{3},{\rm{ }}\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi $
b) $\cos \alpha = \frac{4}{5},{\rm{ }}\frac{{3\pi }}{2} < \alpha < 2\pi $
c) $\cos \alpha = – \frac{5}{7},{\rm{ }} – \pi < \alpha < – \frac{\pi }{2}$
d) $\tan \alpha = \frac{4}{3},{\rm{ }}\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}$
e) $\cot \alpha = – \sqrt 3 ,{\rm{ }} – \frac{{3\pi }}{2} < \alpha < – \pi $
f) $\tan \alpha = \frac{7}{3},{\rm{ 0}} < \alpha < \frac{\pi }{2}$

Bài 2. Cho $\tan \alpha = 3$, tính giá trị các biểu thức

a) $A = \frac{{2\sin \alpha – 3\cos \alpha }}{{4\sin \alpha + 3\cos \alpha }}$
b) $B = \frac{{3\sin \alpha – 5\cos \alpha }}{{5{{\sin }^3}\alpha – 4{{\cos }^3}\alpha }}$.

Bài 3. Cho $\cot \alpha = \frac{3}{5}$, tính giá trị các biểu thức

a) $A = \frac{{\sin \alpha + \cos \alpha }}{{\sin \alpha – \cos \alpha }}$
b) $B = \frac{{\sin \alpha .\cos \alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha – {{\cos }^2}\alpha }}$
c) $C = \frac{{3{{\sin }^2}\alpha + 12\sin \alpha \cos \alpha + 10{{\cos }^2}\alpha }}{{3{{\sin }^2}\alpha + \sin \alpha \cos \alpha – 2{{\cos }^2}\alpha }}$.

Bài 4. Tính giá trị các biểu thức lượng giác sau:

a) $A = \frac{{{{\sin }^2}\alpha – {{\cos }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha – 2{{\cos }^2}\alpha }}$ biết $\cot \alpha = 3$.
b) $A = \frac{{2{{\sin }^2}\alpha – {{\cos }^2}\alpha – 1}}{{ – 2{{\sin }^2}\alpha + 3{{\cos }^2}\alpha }}$ biết $\tan \alpha = \frac{1}{4}$.
c) $C = \frac{{\cot \alpha + \tan \alpha }}{{\cot \alpha – \tan \alpha }}$ biết $\sin \alpha = \frac{3}{5},{\rm{ 0}} < \alpha < \frac{\pi }{2}$.
d) $D = \frac{{\sin \alpha + 3\cos \alpha }}{{\tan \alpha }}$ biết $\sin \alpha = – \frac{4}{5},{\rm{ }}\frac{{3\pi }}{2} < \alpha < 2\pi $.
e) $E = \frac{{4\cot \alpha + 3}}{{1 – 5\sin \alpha }}$ biết $\cos \alpha = – \frac{1}{3},{\rm{ }}\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}$.
f) $F = \frac{{\sin \alpha – 3\cos \alpha }}{{\cos \alpha – 2\sin \alpha }}$ biết $\tan \alpha = 3$.

Bài 5. Cho $\tan \alpha + \cot \alpha = m$. Hãy tính giá trị các biểu thức lượng giác sau $m$:

a) ${\tan ^2}\alpha + {\cot ^2}\alpha $
b) $\left| {\tan \alpha – \cot \alpha } \right|$
c) ${\tan ^3}\alpha + {\cot ^3}\alpha $

Bài 6. Cho $\sin \alpha + \cos \alpha = m$. Hãy tính:

a) $\sin \alpha \cos \alpha $
b) $\left| {\sin \alpha – \cos \alpha } \right|$
c) ${\sin ^3}\alpha + {\cos ^3}\alpha $
d) ${\sin ^4}\alpha + {\cos ^4}\alpha $ e) ${\sin ^6}\alpha + {\cos ^6}\alpha $

Dùng công thức cộng
Bài 8. Tính giá trị các biểu thức lượng giác sau:

a) $\cos \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)$, biết $\sin x = \frac{1}{{\sqrt 3 }}$ và $0 < x < \frac{\pi }{2}.$
b) $\tan \left( {x – \frac{\pi }{4}} \right)$, biết $\cos x = – \frac{1}{3}$ và $\frac{\pi }{2} < x < \pi .$
c) $\cos \left( {a + b} \right),{\rm{ }}\sin \left( {a – b} \right),$ biết $\sin a = \frac{4}{5},{\rm{ }}{0^0} < a < {90^0}$ và $\sin b = \frac{2}{3},{90^0} < a < {180^0}$.

Bài 9.

a) Cho $\sin a = – \frac{{12}}{{13}}$, với $\pi < a < \frac{{3\pi }}{2}$. Tính $\tan \left( {\frac{\pi }{3} – a} \right)$.
b) Cho $\sin a = \frac{5}{{13}},{\rm{ }}\cos b = \frac{3}{5}$ với $\frac{\pi }{2} < a < \pi ,{\rm{ }}\frac{\pi }{2} < b < \pi $. Tính $\sin \left( {a – b} \right),{\rm{ }}\cos \left( {a + b} \right)$.
c) Cho $\tan a = \frac{1}{2},{\rm{ sin}}b = \frac{3}{5}$ với $0 < b < \frac{\pi }{2}$. Tính $\cot \left( {a – b} \right),{\rm{ tan}}\left( {a + b} \right)$.

Bài 10. Cho $\tan \alpha = – \frac{{15}}{8}$ với $\frac{{3\pi }}{2} < b < 2\pi $.

a) Tính $\sin \alpha ,{\rm{ }}\cos \alpha ,{\rm{ }}\cot \alpha $.
b) Tính $\sin \left( {\alpha – 7\pi } \right),{\rm{ }}\cos \left( {\alpha + \frac{{2\pi }}{3}} \right),{\rm{ }}\cot \left( {\frac{{3\pi }}{4} – \alpha } \right)$.

Bài 11. Cho $\sin \alpha = \frac{8}{{17}},{\rm{ sin}}\beta = \frac{{15}}{{17}},{\rm{ 0}} < \alpha < \frac{\pi }{2},{\rm{ 0}} < \beta < \frac{\pi }{2}.$ Chứng minh $\alpha + \beta = \frac{\pi }{2}$.

Dùng công thức nhân

Bài 12. Tính $\sin 2a,{\rm{ }}\cos 2a,{\rm{ }}\tan 2a$, biết

a) $\sin a = – 0,6$ và $\pi < a < \frac{{3\pi }}{2}$.
b) $\sin a = \frac{3}{5}$ và $\frac{\pi }{2} < a < \pi $.
c) $\cos a = – \frac{5}{{13}}$ và $\frac{\pi }{2} < a < \pi $.
d) $\tan a = \frac{4}{3}$ và $\pi < a < \frac{{3\pi }}{2}$.
e) $\tan a = 2$.
f) $\cos a = \frac{1}{4}$ và $\frac{{3\pi }}{2} < a < 2\pi $.
g) $\sin a + \cos a = \frac{1}{2}$ và $\frac{{3\pi }}{4} < a < \pi $.

Bài 13. Cho $\cos a = – \frac{5}{{13}}$ với $\pi < a < \frac{{3\pi }}{2}$. Tính giá trị $$\sin 2a,{\rm{ }}\cos 2a,{\rm{ }}\cot \left( {\frac{\pi }{4} – a} \right),\sin \left( {{{30}^0} + a} \right)$$

Bài 14. Cho $\sin 2a = \frac{4}{5}{\rm{ }}\left( {\frac{\pi }{4} < a < \frac{\pi }{2}} \right)$. Tính $\sin a,{\rm{ }}\cos 2a,{\rm{ }}\cos 4a,{\rm{ tan}}\left( {\frac{\pi }{4} – 2a} \right).$

Bài 15. Cho $\sin 2a = – \frac{5}{9}{\rm{ }}\left( {\frac{\pi }{2} < a < \pi } \right)$. Tính $\sin a,{\rm{ }}\cos a.$

Bài 16. Cho $\cos 2a = \frac{3}{5}{\rm{ }}\left( {\frac{{3\pi }}{4} < a < \pi } \right)$. Tính $\sin a,{\rm{ }}\cos a,{\rm{ }}\tan a$.

Dạng 2. Rút gọn biểu thức lượng giác:

Bài 1. Rút gọn các biểu thức sau (không dùng máy tính):

a) $A = \sin {170^0}.\cos {80^0} + \cos {10^0}.\sin {80^0}.$
b) $B = \frac{{\cos \left( { – {{288}^0}} \right)\cot {{72}^0}}}{{\tan \left( { – {{162}^0}} \right)\sin {{108}^0}}} – \tan {18^0}$.
c) $C = \frac{{\sin \left( { – {{243}^0}} \right) + \sin {{126}^0}}}{{\sin {{144}^0} – \cos {{126}^0}}}.\tan {36^0}$.
d) $D = \frac{{\left( {\cot {{44}^0} + \tan {{226}^0}} \right).\cos {{406}^0}}}{{\cos {{316}^0}}} – \cot {72^0}.\cot {18^0}$.

Bài 2. Rút gọn các biểu thức sau ( không dùng máy tính ):

a) $A = {\sin ^2}\left( {{{180}^0} – x} \right) + {\tan ^2}\left( {{{180}^0} – x} \right).{\tan ^2}\left( {{{270}^0} + x} \right) + \sin \left( {{{90}^0} + x} \right).\cos \left( {x – {{360}^0}} \right)$.
b) $B = \frac{{\cos \left( {x – {{90}^0}} \right)}}{{\sin \left( {{{180}^0} – x} \right)}} + \frac{{\tan \left( {x – {{180}^0}} \right)\cos \left( {x + {{180}^0}} \right)\sin \left( {{{270}^0} + x} \right)}}{{\tan \left( {{{270}^0} + x} \right)}}$.
c) $C = \frac{{\sin {{20}^0}.\sin {{30}^0}.\sin {{40}^0}.\sin {{50}^0}.\sin {{60}^0}.\sin {{70}^0}}}{{\cos {{10}^0}.\cos {{50}^0}}}.$
d) $D = \tan {1^0}.\tan {2^0}.\tan {3^0}…..\tan {88^0}.\tan {89^0}.$
e) $E = \cos \frac{\pi }{7} + \cos \frac{{2\pi }}{7} + …. + \cos \frac{{6\pi }}{7}$.

Bài 3. Rút gọn các biểu thức sau:

a) $A = \cos \left( {x – \frac{\pi }{2}} \right) + \sin \left( {x – \pi } \right)$.
b) $B = \cos \left( {\pi – x} \right) + \sin \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right)$.
c) $C = \cos \left( {\frac{\pi }{2} – x} \right) + \sin \left( {\frac{\pi }{2} – x} \right) – \cos \left( {\frac{\pi }{2} + x} \right) – \sin \left( {\frac{\pi }{2} + x} \right)$.
d) $D = \cos \left( {\frac{{3\pi }}{2} – x} \right) – \sin \left( {\frac{{3\pi }}{2} – x} \right) + \cos \left( {x – \frac{{7\pi }}{2}} \right) – \sin \left( {x – \frac{{7\pi }}{2}} \right).$
e) $E = \cos \left( {\frac{\pi }{2} – x} \right) + \cos \left( {\pi – x} \right) + \cos \left( {\frac{{3\pi }}{2} – x} \right) + \cos \left( {2\pi – x} \right).$
f) $F = \sin \left( {\frac{{5\pi }}{2} – x} \right) – \cos \left( {\frac{{13\pi }}{2} – x} \right) – 3\sin \left( {x – 5\pi } \right) – 2\sin x – \cos x.$

Bài 4. Rút gọn các biểu thức sau:

a) $A = \sin \left( {\pi – x} \right) – \cos \left( {\frac{\pi }{2} – x} \right) + \cot \left( {\pi + x} \right).\cot \left( {\frac{\pi }{2} – x} \right)$.
b) $B = \cos \left( {\frac{\pi }{2} + x} \right) + \cos \left( {2\pi – x} \right) + \cos \left( {3\pi + x} \right)$.
c) $C = \cot \left( {x – 4\pi } \right)\cos \left( {x – \frac{{3\pi }}{2}} \right) + \cos \left( {x + 6\pi } \right) – 2\sin \left( {x – \pi } \right)$.
d) $C = \sin \left( {x + 5\pi } \right) – \cos \left( {\frac{\pi }{2} – x} \right) + \cot \left( {4\pi – x} \right) + \tan \left( {\frac{\pi }{2} – x} \right)$.
e) $E = \cot \left( {x + 5\pi } \right).\cos \left( {x – \frac{{3\pi }}{2}} \right) + \cos \left( {x + 4\pi } \right) – 2\cos \left( {x + \frac{\pi }{2}} \right).$
f) $F = \cos \left( {x + 5\pi } \right) – 2\sin \left( {\frac{{11\pi }}{2} – x} \right) – \sin \left( {\frac{{11\pi }}{2} + x} \right).$

Công thức lượng giác cơ bản
Bài 5. Rút gọn các biểu thức sau:

a) $A = \left( {1 – {{\sin }^2}a} \right){\cot ^2}a + 1 – {\cot ^2}a.$ b) $B = {\cos ^4}a + {\sin ^2}a.{\cos ^2}a + {\sin ^2}a.$
c) $C = \frac{{{{\cos }^2}x – {{\cot }^2}x}}{{{{\sin }^2}x – {{\tan }^2}x}}$ d) $D = \frac{{{{\left( {\sin a + \cos a} \right)}^2} – 1}}{{\cot a – \sin a.\cos a}}$.
e) $E = \left( {1 + \cot a} \right).{\sin ^3}a + \left( {1 + \tan a} \right).{\cos ^3}a$ f) $F = \frac{{{{\sin }^2}x + 2{{\cos }^2}x – 1}}{{{{\cot }^2}a}}$.

Bài 6. Rút gọn các biểu thức sau:

a) $A = 1 – {\cos ^2}a + {\cot ^2}a.{\sin ^2}a$.
b) $B = \frac{{2{{\cos }^2}a – 1}}{{\sin a + \cos a}}$.
c) $C = \cot a – \frac{{\cos a}}{{\sin a + 1}}$
d) $D = \frac{{\sin a + 1}}{{\cos a}}.\left[ {1 – {{\left( {\frac{{1 – \sin a}}{{\cos a}}} \right)}^2}} \right].$
e) $E = \sqrt {\left( {1 + \cot a} \right).{{\sin }^2}a + \left( {1 + \tan a} \right).{{\cos }^2}a} $.

Bài 7. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến $x$.

a) $A = 3.{\cos ^2}x.\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right) – {\sin ^2}x\left( {1 + {{\cot }^2}x} \right)$
b) $B = \frac{{{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x – 1}}{{{{\sin }^2}x.{{\cos }^2}x}}$.
c) $C = \frac{{\cot {}^2x – {{\cos }^2}x}}{{\cot {}^2x}} + \frac{{\sin x.\cos x}}{{\cot x}}$
d) $D = \frac{2}{{\tan x – 1}} + \frac{{\cot x + 1}}{{\cot x – 1}}$.
e) $E = 3\left( {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x} \right) – 2\left( {{{\sin }^6}x + {{\cos }^6}x} \right)$ .
f) $F = {\left( {\tan x + \cot x} \right)^2} – {\left( {\tan x – \cot x} \right)^2}$.
g) $G = \sqrt {{{\sin }^4}x + 4{{\cos }^2}x} + \sqrt {{{\cos }^4}x + 4{{\sin }^2}x} $ .
h) $H = 2{\cos ^4}x – {\sin ^4}x + {\sin ^2}x.{\cos ^2}x + 3{\sin ^2}x$.

Công thức cộng, nhân, biến đổi

Bài 8. Rút gọn các biểu thức sau:

a) $A = \sin \left( {a + b} \right) + \sin \left( {\frac{\pi }{2} – a} \right).\sin \left( { – b} \right)$
b) $B = \cos \left( {\frac{\pi }{4} – a} \right).\cos \left( {\frac{\pi }{4} + a} \right) + \frac{1}{2}{\sin ^2}a$
c) $C = \cos \left( {\frac{\pi }{2} – a} \right).\sin \left( {\frac{\pi }{2} – b} \right) – \sin \left( {a – b} \right)$
d) $D = \cos a.\cos \left( {\frac{\pi }{3} – a} \right).\cos \left( {\frac{\pi }{3} + a} \right)$.
e) $E = \cos \left( {x + {{17}^0}} \right).\cos \left( {{{13}^0} – x} \right) – \sin \left( {{{17}^0} + x} \right).\sin \left( {{{13}^0} – x} \right)$.
f) $F = \sin \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right)\cos \left( {x – \frac{\pi }{6}} \right) – \cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right).\cos \left( {\frac{{2\pi }}{3} – x} \right)$.

Bài 9. Rút gọn các biểu thức sau:

a) $A = \frac{{\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) – \cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)}}{{\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) + \cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)}}$
b) $B = \frac{{\cot x – \tan x}}{{\cos 2x}}$.
c) $C = \frac{{\sin a + \sin 3a + \sin 5a}}{{\cos a + \cos 3a + \cos 5a}}$
d) $D = \frac{{\sin a.\cos 5a – \sin 5a.\cos 3a}}{{\cos 2a}}$.
e) $H = \sin x\left( {1 + 2\cos 2x + 2\cos 4x + 2\cos 6x} \right)$.

Bài 10. Rút gọn các biểu thức:

a) $A = \frac{{\sin a + \sin 2a}}{{1 + \cos a + \cos 2a}}$
b) $B = \frac{{4{{\sin }^2}a}}{{1 – {{\cos }^2}\frac{a}{2}}}$
c) $C = \frac{{1 + \cos a – \sin a}}{{1 – \cos a – \sin a}}$
d) $D = \frac{{1 + \sin a – 2{{\sin }^2}\left( {{{45}^0} – \frac{a}{2}} \right)}}{{4\cos \frac{a}{2}}}$.
e) $E = \frac{{\tan 2a}}{{\tan 4a – \tan 2a}}$
f) $F = \frac{{3 – 4\cos 2a + \cos 4a}}{{3 + 4\cos 2a + \cos 4a}}$
g) $G = \sqrt {1 + \sin a} – \sqrt {1 – \sin a} ,{\rm{ }}0 < a < \frac{\pi }{2}$ h) $H = \frac{{\sin a + \sin 3a + \sin 5a}}{{\cos a + \cos 3a + \cos 5a}}$

Bài 11. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến $x$.

a) $A = \sin 8x + 2{\cos ^2}\left( {{{45}^0} + 4x} \right)$
b) $B = \cos x + \cos \left( {x + \frac{{2\pi }}{3}} \right) + \cos \left( {x + \frac{{4\pi }}{3}} \right)$
c) $C = \cos \left( {x – \frac{\pi }{3}} \right)\cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) + \cos \left( {x + \frac{\pi }{6}} \right).\cos \left( {x + \frac{{3\pi }}{4}} \right)$
d) $D = \sin 2x – 2\sin \left( {x – {{15}^0}} \right).\cos \left( {x + {{15}^0}} \right)$.
e) $E = {\cos ^2}x + \sin \left( {x + {{30}^0}} \right).\sin \left( {x – {{30}^0}} \right)$

Bài 12. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến $x$.

a) $A = \sin 6x.\cot 3x – \cos 6x$
b) $B = \left( {\cot \frac{x}{3} – \tan \frac{x}{3}} \right).\tan \frac{{2x}}{3}$
c) $C = \frac{{{{\cos }^3}x – \cos 3x}}{{\cos x}} + \frac{{{{\sin }^3}x + \sin 3x}}{{\sin x}}$
d) $D = {\sin ^2}x + {\sin ^2}\left( {x + \frac{{2\pi }}{3}} \right) + {\sin ^2}\left( {\frac{{2\pi }}{3} – x} \right)$
e) $E = {\cos ^2}\left( {a – x} \right) + {\cos ^2}x – 2\cos a.\cos x.\cos \left( {a – x} \right)$
f) $F = {\left[ {\tan \left( {{{90}^0} – x} \right) – \cot \left( {{{90}^0} + x} \right)} \right]^2} – {\left[ {\cot \left( {{{180}^0} + x} \right) + \cot \left( {{{270}^0} + x} \right)} \right]^2}$.

Dạng 3. Chứng minh đẳng thức lượng giác

Bài 1. Chứng minh rằng với mọi góc $\alpha $ ta có:

a) $\sin \left( {\alpha + \frac{\pi }{2}} \right) = \cos \alpha $
b) $\cos \left( {\alpha + \frac{\pi }{2}} \right) = – \sin \alpha $
c) $\tan \left( {\alpha + \frac{\pi }{2}} \right) = – \cot \alpha $
d) $\cot \left( {\alpha + \frac{\pi }{2}} \right) = – \tan \alpha $.

Bài 2. Chứng minh các đẳng thức:

a) ${\tan ^2}\alpha – {\sin ^2}\alpha = {\tan ^2}\alpha .{\sin ^2}\alpha $
b) $\tan \alpha + \frac{{\cos \alpha }}{{1 + \sin \alpha }} = \frac{1}{{\cos \alpha }}$
c) $\frac{{{{\sin }^3}\alpha + {{\cos }^3}\alpha }}{{\sin \alpha + \cos \alpha }} = 1 – \sin \alpha .\cos \alpha $
d) $\frac{{{{\sin }^2}\alpha – {{\cos }^2}\alpha }}{{1 + 2\sin \alpha .\cos \alpha }} = \frac{{\tan \alpha – 1}}{{\tan \alpha + 1}}$
e) ${\sin ^4}\alpha + {\cos ^4}\alpha – {\sin ^6}\alpha – {\cos ^6}\alpha = {\sin ^2}\alpha .{\cos ^2}\alpha $
f) $2\left( {{{\sin }^6}\alpha – {{\cos }^6}\alpha } \right) + 1 = 3\left( {{{\sin }^4}\alpha + {{\cos }^4}\alpha } \right)$
g) ${\sin ^3}\alpha \left( {1 + \cot \alpha } \right) + {\cos ^3}\alpha \left( {1 + \tan \alpha } \right) = \sin \alpha + \cos \alpha $

Bài 3. Chứng minh các đẳng thức sau:

a) $\frac{{1 + {{\cos }^2}\alpha }}{{1 – {{\sin }^2}\alpha }} – \tan \alpha .\cot \alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}$ b)$\frac{{\sin \alpha + \cos \alpha – 1}}{{1 – \cos \alpha }} = \frac{{2\cos \alpha }}{{\sin \alpha – \cos \alpha + 1}}$
c) $\frac{{\sin \alpha }}{{\sin \alpha + \cos \alpha }} – \frac{{\cos \alpha }}{{\cos \alpha – \sin \alpha }} = \frac{{1 + {{\cot }^2}\alpha }}{{1 – {{\cot }^2}\alpha }}$
d) $\frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{\sin \alpha – \cos \alpha }} – \frac{{\sin \alpha + \cos \alpha }}{{{{\tan }^2}\alpha – 1}} = \sin \alpha + \cos \alpha $.

Sử dụng công thức cộng, nhân
Bài 4. Chứng minh các đẳng thức sau

a) $\cos x.\cos \left( {\frac{\pi }{3} – x} \right).\cos \left( {\frac{\pi }{3} + x} \right) = \frac{1}{4}\cos 3x$
b) $\frac{{\sin 2x + \sin x}}{{1 + \cos 2x + \cos x}} = \tan x$
c) $\sin 5x – 2\sin x\left( {\cos 4x + \cos 2x} \right) = \sin x$
d) $\frac{{1 + \cos x – \sin x}}{{1 – \cos x – \sin x}} = – \cot \frac{x}{2}$
e) $\frac{{\sin 2x}}{{1 + \cos 2x}}.\frac{{\cos x}}{{1 + \cos x}} = \tan \frac{x}{2}$
f) $\frac{{3 – 4\cos 2x + \cos 4x}}{{3 + 4\cos 2x + \cos 4x}} = {\tan ^4}x$

Bài 5. Chứng minh các đẳng thức sau:

a) $\sin \left( {a + b} \right).\sin \left( {a – b} \right) = {\sin ^2}a – {\sin ^2}b$
b) $\frac{{4\tan x\left( {1 – {{\tan }^2}x} \right)}}{{{{\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)}^2}}} = \sin 4x$
c) $\frac{{2\sin \left( {a + b} \right)}}{{\cos \left( {a + b} \right) + \cos \left( {a – b} \right)}} = \tan a + \tan b$
d) $\frac{{1 + {{\tan }^4}x}}{{{{\tan }^2}x + {{\cot }^2}x}} = {\tan ^2}x$
e) $\sin 2x – \sin 4x + \sin 6x = 4\sin x.\cos 2x.\cos 3x$
f) $\tan 3x – \tan 2x – \tan x = \tan x.\tan 2x.\tan 3x$
g) $\frac{{\cos x.\sin \left( {x – 3} \right) – \sin x.\cos \left( {x – 3} \right)}}{{\cos \left( {3 – \frac{\pi }{6}} \right) – \frac{1}{2}\sin 3}} = – \frac{{2\tan 3}}{{\sqrt 3 }}$

Dạng 4. Chứng minh đẳng thức lượng giác trong tam giác

Bài 1. Cho $\Delta ABC$. Chứng minh rằng:

a) $\sin \left( {A + B} \right) = \sin C$
b) $\cos \left( {A + B} \right) = – \cos C$
c) $\sin \frac{{A + B}}{2} = \cos \frac{C}{2}$
d) $\cos \frac{{A + B}}{2} = \sin \frac{C}{2}$
e) $\tan \frac{{A + B – C}}{2} = \cot C$.

Bài 2. Cho tam giác $ABC$. Chứng minh rằng:

a) $\sin A = \sin B.\cos C + \sin C.\cos B$
b) $\cos \frac{A}{2} = \sin \frac{B}{2}.\cos \frac{C}{2} + \sin \frac{C}{2}.\cos \frac{B}{2}$
c) $\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C = 4\sin A.\sin B.\sin C$
d) $\cos A + \cos B + \cos C = 1 + 4\sin \frac{A}{2}.\sin \frac{B}{2}.\sin \frac{C}{2}$.

Bài 3. Cho tam giác $ABC$. Chứng minh rằng:

a) $\cos B.\cos C – \sin B.\sin C + \cos A = 0$.
b) $\sin A + \sin B + \sin C = 4\cos \frac{A}{2}.\cos \frac{B}{2}.\cos \frac{C}{2}$.
c) $\cos 2A + \cos 2B + \cos 2C = – 1 – 4\cos A.\cos B.\cos C$.
d) $\tan \frac{A}{2}.\tan \frac{B}{2} + \tan \frac{B}{2}.\tan \frac{C}{2} + \tan \frac{C}{2}.\tan \frac{A}{2} = 1$

09/06/2020

Hướng dẫn sử dụng máy tính CASIO giải toán trắc nghiệm

1. Hướng dẫn sử dụng máy tính CASIO

Đối với hình thức thi trắc nghiệm thì việc thành thạo cách sử dụng máy tính CASIO, VINACAL… sẽ giúp chúng ta tiết kiệm được kha khá thời gian. Đặc biệt là các dạng toán mà có thể sử dụng máy tính để thử tính đúng/sai của từng phương án. Tài liệu này tôi viết đã khá lâu, hi vọng vẫn giúp ích được cho thầy cô phần nào.

MUA MÁY TÍNH CASIO 580VNX GIÁ TỐT

MUA MÁY TÍNH CASIO 580VNX GIÁ TỐT

2. Tải tài liệu hướng dẫn sử dụng máy tính CASIO

Mời thầy cô và các em tải tài liệu hướng dẫn tại đây o2 huong dan su dung may tinh casio giai toan trac nghiem

3. Sách hướng dẫn sử dụng máy tính CASIO

3.1. Sách hướng dẫn sử dụng fx 580vnx

Mời thầy cô và các em học sinh tải tại đây SÁCH HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG CASIO 580 VNX

Về những điểm mới, tính năng ưu việt, nổi trội của máy CASIO fx 580VNX, mời thầy cô và các em xem trong video sau:

https://www.youtube.com/watch?v=TYqS8uSQP30

3.2. Sách hướng dẫn sử dụng fx 570 VN Plus

MUA MÁY TÍNH CASIO 580VNX GIÁ TỐT

Mời thầy cô và các em học sinh tải tại đây Hướng dẫn sử dụng máy tính CASIO fx-570VN Plus

09/06/2020
Hàm số bậc nhất, phương trình bậc nhất, hệ phương trình bậc nhất
Hàm số bậc nhất, phương trình bậc nhất, hệ phương trình bậc nhất

Xem thêm Các dạng toán về căn bậc hai

1. HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC NHẤT

Bài 1: Với giá trị nào của $m$ và $n$ thì hàm số $$y = \left( {{m^2} – 5m + 6} \right){x^2} + \left( {{m^2} + mn – 6{n^2}} \right)x + 3$$ là hàm số bậc nhất?

Bài 2: Cho hai hàm số $f(x) = ax + \sqrt 3 $ và $g(x) = \left( {{a^2} + 1} \right)x – 1$. Chứng minh rằng:

a) Các hàm số $f(x) + g(x)$ và $g(x) – f(x)$ là hàm số đồng biến.
b) Hàm số $f(x) – g(x)$ là nghịch biến.

Bài 3: Trên mặt phẳng tọa độ vẽ tam giác ABC, biết $A(0;4),$ $B(3;0),$ $C (-2;0)$.

a) Tính diện tích tam giác $ABC$.
b) Tính độ dài các cạnh của tam giác $ABC$.

Bài 4: Vẽ trên cùng hệ trục tọa độ đồ thị của các hàm sốbậc nhất sau: $$\left( {{d_1}} \right):y = x + 2;\left( {{d_2}} \right): – \frac{1}{2}x + 1$$

a) Gọi $A$ là giao của hai đường thẳng. Tìm tọa độ điểm $A$.
b) Giả sử $\left( {{d_3}} \right)$ là đường thẳng đi qua điểm $K\left( {0;\frac{5}{2}} \right)$ và song song với trục hoành. Đường thẳng $\left( {{d_3}} \right)$ cắt $\left( {{d_1}} \right)$ và $\left( {{d_2}} \right)$ lần lượt tại $B$ và $C$. Tìm tọa độ của $B$ và $C$, tính diện tích tam giác $ABC$.

Bài 5: Chứng minh rằng khi $m$ thay đổi, đường thẳng $y = \frac{2}{{m – 1}}x + \frac{1}{{m – 1}}$ luôn luôn đi qua một điểm cố định.

Bài 6: Tìm tọa độ các giao điểm của các đường thẳng sau với trục $Ox$:
$$\left( d \right):y = x – 2, \left( {d’} \right):y = – x + 2$$ Tìm các giao điểm của $\left( d \right)$ và $\left( {d’} \right)$ với trục $Oy$. Vẽ hai đường thẳng đó trên cùng một hệ trục tọa độ. Nhận xét. Chứng minh điều nhận xét.

Bài 7: Trên cùng một mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy vẽ đồ thị các hàm số:
$$\begin{align}
& \left( {{d}_{1}} \right):y=x+2 \\
& \left( {{d}_{2}} \right):y=-\frac{3}{2}x+\frac{9}{2} \\
& \left( {{d}_{3}} \right):y=-\frac{1}{4}x-\frac{7}{4} \\
\end{align}$$ Căn cứ vào đồ thị cho biết tọa độ giao điểm $A$ của $\left( {{d}_{1}} \right)$, $\left( {{d}_{2}} \right)$; giao điểm $B$ của $\left( {{d}_{1}} \right)$, $\left( {{d}_{3}} \right)$ và giao điểm $C$ của $\left( {{d}_{2}} \right)$ và $\left( {{d}_{3}} \right)$.

Bài 8: Vẽ trên cùng hệ trục tọa độ đồ thị các hàm số $$\left( d \right):y = 2x, \left( {d’} \right):y = \left( {\sqrt 3 – 1} \right)x$$
Gọi $A$ là điểm trên đường thẳng $\left( d \right)$ có hoành độ bằng $\frac{2}{3}$, $B$ là điểm trên đường thẳng $\left( d’ \right)$ có hoành độ bằng 3. Tính độ dài đoạn thẳng $AB$.

Bài 9: Cho hàm số $y=\sqrt{2}x$.

a) Vẽ đồ thị hàm số.
b) Ba điểm $A, B, C$ thuộc đồ thị hàm số có hoành độ lần lượt là $-1; 1; 2$. Xác định tung độ của các điểm đó.
c) Tính khoảng cách từ các điểm A, B, C đến gốc tọa độ.

Bài 10: Chứng minh rằng khi tham số $a$ thay đổi, các đường thẳng lần lượt có phương trình sau luôn luôn đi qua một điểm cố định:

a) $ax-2y=6$
b) $a\left( x-1 \right)+3y=1$

2. GÓC TẠO BỞI ĐƯỜNG THẲNG VỚI HỆ TRỤC TỌA ĐỘ

Bài 1: a) Vẽ trên cùng hệ trục tọa độ các hàm số sau: $$\begin{array}{l}
\left( {{d_1}} \right):y = x + 1\\
\left( {{d_2}} \right):y = 2x + 1\\
\left( {{d_3}} \right):y = – x + 1
\end{array}$$ Có nhận xét gì về 3 đồ thị hàm số bậc nhất đó? Gọi ${\alpha _1},{\alpha _2},{\alpha _3}$ lần lược là góc tạo bởi $\left( {{d_1}} \right),\left( {{d_2}} \right),\left( {{d_3}} \right)$ với tia $Ox$. Tính ${\alpha _1},{\alpha _2},{\alpha _3}$.

Bài 2: Viết phương trình đường thẳng trong mỗi trường hợp sau:

a) Đi qua điểm $A\left( \frac{1}{2};\frac{7}{4} \right)$ và song song với đường thẳng $y=\frac{3}{2}x$.
b) Cắt trục $Oy$ tại điểm có tung độ bằng $3$ và đi qua $B\left( 2;1 \right)$.

Bài 3: Vẽ lên cùng hệ trục tọa độ các hàm số: $y=\sqrt{3}x$ và $y=x+1$.

a) Tìm số đo góc lập bởi mỗi đồ thị hàm số với $Ox$.
b) Giả sử $A$ là giao điểm của hai đồ thị, $B$ là giao điểm của đồ thị hàm số $y=\sqrt{3}x$ với $Ox$. Tính diện tích tam giác $ABC$.

Bài 4: Tìm hệ số góc của đường thẳng $\left( d \right):y=ax+2$ trong các trường hợp:

a) Đường thẳng đó đi qua điểm $A\left( 1;\frac{6-\sqrt{3}}{3} \right)$.
b) Cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng $-\sqrt{2}$.

Bài 5: Xác định hệ số góc $k$ của đường thẳng $y=kx+3-k$ trong mỗi trường hợp sau đây:

a) Đường thẳng song song với đồ thị hàm số $y=\frac{2}{3}x$.
b) Cắt trục tung có tung độ bằng $2$.
c) Cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng $3$.

Bài 6: Cho hàm số có phương trình $\left( d \right):y=\left( m-1 \right)x+m$

a) Xác định giá trị của $m$ để đường thẳng $\left( d \right)$ đi qua gốc tọa độ.
b) Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $1-\sqrt{2}$.
c) Xác định giá trị của $m$ để $\left( d \right)$ song song với đướng thẳng $y=-5x+1$.
c) Với giá trị nào của $m$ thì góc $\alpha $ tạo bởi đường thẳng $\left( d \right)$ với $Ox$ là góc tù? là góc vuông?

Bài 7: Cho hàm số $y=ax$ có đồ thị đi qua điểm $A\left( 3;\sqrt{3} \right)$. Xác định hệ số $a$ và tính góc tạo bởi đồ thị hàm số bậc nhất đó với $Ox$.

Bài 8: Trên mặt phẳng tọa độ cho 3 điểm $A\left( -2\sqrt{3};0 \right)$, $B\left( -2;0 \right)$, $C\left( 0;2 \right)$.
1. Tìm phương trình các hàm số có đồ thị là các đường thẳng $AB, BC$.
2. Tìm số đo các góc của tam giác $ABC$.
Bài 9: Tìm giá trị của $a$ để 3 đường thẳng:$$\begin{align} & \left( {{d}_{1}} \right):y=2x-5 \\ & \left( {{d}_{2}} \right):y=x+2 \\ & \left( {{d}_{3}} \right):y=ax-12 \\ \end{align}$$ đồng quy tại một điểm.

Bài 10: Cho hàm số $y=\left( 2m-3 \right)x-1$.

a) Tìm giá trị của $m$ để đồ thị hàm số song song với đường thẳng $y=-5x+3$.
b) Tìm giá trị của $m$ để hàm số đã cho và các đường thẳng $y=-x+1$ và $y=2x-5$ đồng quy.

3. HÀM SỐ QUY VỀ HÀM SỐ BẬC NHẤT

Bài 1: Vẽ đồ thị các hàm số:

a) $y = \left| x \right|$
b) $y = \left| {2x – 3} \right|$

Bài 2: Vẽ đồ thị của hai hàm số $y= \left| x \right| – 2$ và $y = 2 – \left| x \right|$ trên cùng hệ trục tọa độ.

Bài 3: Vẽ đồ thị hàm số $y = \left| {1 + x} \right| + 2\left| {1 – x} \right|$.

Bài 4: Vẽ đồ thị hàm số: $$y = \left\{ \begin{array}{ll}- 2x – 2& (x \le – 1)\\0& (x=-1)\\x – 2&(x \ge 1)\end{array} \right.$$

Bài 5: Vẽ đồ thị các hàm số:
1. $y = \left| {x – 1} \right| + \left| {x – 3} \right|$
2. $y = \left| {x – \left| x \right|} \right|$
3. $y = \sqrt {{x^2} – 6x + 9} $
4. $y = 2x + 1 + \sqrt {{x^2} – 4x + 4} $
5. $y = \sqrt {4{x^2} – 4x + 1} – x$
4. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Bài 1: Với mỗi phương trình cho dưới đây, hãy viết công thức nghiệm tổng quát và biểu diễn hình học tập nghiệm đó:

a) $2x – y = 3$
b) $4x – 0y = 6$
c) $0x – 2y = 3$

Bài 2: Cho phương trình bậc nhất hai ẩn $x, y$ sau: $$mx + y = m – 2$$
Chứng tỏ rằng với mọi $m \in R$ phương trình trên có một nghiệm là một nghiệm của phương trình $3x + 2y = – 1$.

Bài 3: Cho phương trình bậc nhất hai ẩn $x, y$ $$\left( {2m – 1} \right)x + my + 3 = 0$$

a) Tùy theo giá trị của m hãy viết công thức nghiệm tổng quát của phương trình.
b) Tìm nghiệm của phương trình không phụ thuộc giá trị của $m$.

Bài 4: Giải phương trình vô định $5x + 3y = 50$. Từ đó tìm nghiệm nguyên dương của phương trình trên.

Bài 5: Tìm nghiệm nguyên của các phương trình:

a) $16x + 40y = 27$
b) $5x – 13y = 2$
c) $32x + 48y = 112$

5. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

Bài 1: Giải các hệ phương trình sau:

a) $\left\{ \begin{array}{l} x – y = 1\\ 3x + 2y = 8 \end{array} \right.$
b) $\left\{ \begin{array}{l} 2x – 7y = 8\\ 12x + 11y = 3 \end{array} \right.$
c) $\left\{ \begin{array}{l}x + y = 5\\ 3x – 2y = 4 \end{array} \right.$
d) $\left\{ \begin{array}{l}\frac{{3x}}{4} + \frac{{7y}}{3} = 41\\\frac{{5x}}{2} – \frac{{3y}}{5} = 11\end{array} \right.$
e) $\left\{ \begin{array}{l}\left( {x + 5} \right)\left( {y – 2} \right) = \left( {x + 2} \right)\left( {y – 1} \right)\\\left( {x – 4} \right)\left( {y + 7} \right) = \left( {x – 3} \right)\left( {y + 4} \right)\end{array} \right.$
f) $\left\{ \begin{array}{l}\frac{4}{{x – 3}} + \frac{5}{{y + 1}} = 2\\\frac{5}{{x – 3}} + \frac{1}{{y + 1}} = \frac{{29}}{{20}}
\end{array} \right.$
g) $\left\{ \begin{array}{l}\frac{{x + y}}{3} + \frac{2}{3} = 3\\\frac{{4x – y}}{6} + \frac{x}{4} = 1\end{array} \right.$
h) $\left\{ \begin{array}{l}3\left( {x + 1} \right) + 2y = – x\\5\left( {x + y} \right) = – 3x + y – 5\end{array} \right.$
k) $\left\{ \begin{array}{l}- x + 2y = – 4\left( {x – 1} \right)\\5x + 3y = – \left( {x + y} \right) + 8\end{array} \right.$
l) $\left\{ \begin{array}{l}2\left( {2x + 3y} \right) = 3\left( {2x – 3y} \right) + 10\\4x – 3y = 4\left( {6y – 2x} \right) + 3
\end{array} \right.$
m) $\left\{ \begin{array}{l}\left( {\sqrt 3 – \sqrt 2 } \right)x + y = \sqrt 2 \\x + \left( {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right)y = \sqrt 6
\end{array} \right.$
n) $\left\{ \begin{array}{l}2x – 3y = 1\\2x + 5y = 9\end{array} \right.$
o) $\left\{ \begin{array}{l}3x – 7y = 10\\5x + 3y = 2\end{array} \right.$
p) $\left\{ \begin{array}{l}12x – 5y = 63\\8x + 15y = 13\end{array} \right.$
q) $\left\{ \begin{array}{l}12x + 7y = 71\\18x + 13y = 89\end{array} \right.$

Bài 2: Giải các hệ phương trình sau:

a) $\left\{ \begin{array}{l}4x + 3y = 13\\5x – 3y = – 31\end{array} \right.$
b) $\left\{ \begin{array}{l}7x + 5y = 19\\3x + 5y = 31\end{array} \right.$
c) $\left\{ \begin{array}{l}7x – 5y = 3\\3x + 10y = 62\end{array} \right.$
d) $\left\{ \begin{array}{l}x + 5y = – 5\\3x + 2y = 11\end{array} \right.$
e) $\left\{ \begin{array}{l}3x + 2y = 8\\4x – 3y = – 12\end{array} \right.$
f) $\left\{ \begin{array}{l}\frac{x}{2} + 3y = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\2x + 12y = 2\sqrt 2 \end{array} \right.$
g) $\left\{ \begin{array}{l}\left| {x – y} \right| + 2\left| {x + y – 1} \right| = 3\\2x + y = 1\end{array} \right.$
h) $\left\{ \begin{array}{l}\frac{3}{{y + 1}} + \frac{1}{{x + 2}} = 1\\\frac{4}{{y + 1}} – \frac{2}{{x + 2}} = 2\end{array} \right.$
i) $\left\{ \begin{array}{l}\frac{4}{{x – 3}} + \frac{5}{{y + 1}} = 2\\\frac{5}{{x – 3}} + \frac{1}{{y + 1}} = \frac{{29}}{{20}}\end{array} \right.$
k) $\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x + 1} + 6\sqrt y = 12\\3\sqrt {x + 1} 2\sqrt y = 1\end{array} \right.$
l) $\left\{ \begin{array}{l}xy + yz = – 39\\yz + zx = 16\\zx + xy = 25
\end{array} \right.$
m) $\left\{ \begin{array}{l}x + y + z + t = 14\\x + y – z – t = – 4\\x – y + z – t = – 4\\x – y – – z + t = 0
\end{array} \right.$

6. GIẢI BÀI TOÁN BẰNG LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Để giải một bài toán bằng cách lập hệ phương trình, chúng ta thực hiện các bước sau:
- Bước 1: Lập hệ phương trình.
  - Biểu diễn hai đại lượng phù hợp bằng ẩn số $x$ và $y$ (thường đặt ẩn số là những đại lượng đề bài yêu cầu cần tìm, ví dụ yêu cầu tính chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn thì chúng ta sẽ đặt $x$ là chiều dải mảnh vườn, $y$ là chiều rộng mảnh vườn…). Sau đó, đặt đơn vị và điều kiện của ẩn một cách thích hợp (ví dụ độ dài, thời gian hoàn thành công việc thì không thể là số âm…).
  - Biểu thị các đại lượng chưa biết còn lại qua ẩn.
  - Lập hai phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng và thành lập hệ hai ẩn từ các phương trình vừa tìm.
- Bước 2: Giải hệ phương trình nói trên.
- Bước 3: Kiểm tra nghiệm tìm được thỏa mãn điều kiện của bài toán và nêu kết luận của bài toán.
Bài 1: Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi 34 m. Nếu tăng chiều dài thêm 3 m và tăng chiều rộng thêm 2 m thì diện tích tăng thêm 45m². Hãy tính chiều dài, chiều rộng của mảnh vườn.

Hướng dẫn. Gọi chiều rộng và chiều dài của mảnh vườn là lần lượt là $x$ và $y$ (đơn vị m, điều kiện $x > 0, y > 0$).

Theo đề bài ta có, chu vi hình chữ nhật là: $$2(x + y) = 34$$ Khi tăng chiều dài thêm 3 m và tăng chiều rộng thêm 2 m thì ta được một hình chữ nhật mới có chiều dài $(y + 3)$ m, chiều rộng $(x +2)$ m nên có diện tích là $(x + 2)(y + 3)$. Do hình chữ nhật mới có diện tích tăng thêm 45 m² nên ta có phương trình: $$(x+2)(y+3)= xy + 45 $$ Từ đó, ta có hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l}
2\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}y} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}34\\
\left( {x + 2} \right)\left( {y + 3} \right) = {\rm{ }}xy{\rm{ }} + {\rm{ }}45
\end{array} \right.\] Giải hệ phương trình này tìm được $x=5$ và $y=12$.

Vậy, hình chữ nhật đã cho có chiều dài $12$ m và chiều rộng $5$ m.

Bài 2: Hai thị xã A và B cách nhau 90km. Một chiếc ôtô khởi hành từ A và một xe máy khởi hành từ B cùng một lúc ngược chiều nhau. Sau khi gặp nhau ôtô chạy thêm 30 phút nữa thì đến B, còn xe máy chạy thêm 2 giờ nữa mới đến A. Tìm vận tốc của mỗi xe.

Hướng dẫn. Gọi vận tốc của ôtô và xe máy lần lượt là $x$ và $y$ (đơn vị km/h, điều kiện $x > 0, y > 0$). Giả sử hai xe gặp nhau tại C. Do ôtô đi hết quãng đường BC trong 30 phút (bằng 0,5h) và xe máy đi hết quãng đường CA trong 2 giờ nên ta có:
- Quãng đường AC dài 2y (km), quãng đường BC dài 0,5x (km).
- Thời gian ôtô đi hết quãng đường AC là 2y/x (km/h).
- Thời gian xe máy đi trên quãng đường BC là 0,5x/y (km/h).
Do tổng quãng đường AB dài 90km và thời gian hai xe từ lúc xuất phát tới C bằng nhau nên ta có hệ phương trình \[\begin{array}{l}
\,\,\,\,\,\,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{0,5x + 2y = 90}\\
{\frac{{0,5x}}{y} = \frac{{2y}}{x}}
\end{array}} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{0,5x + 2y = 90}\\
{{x^2} = 4{y^2}}
\end{array}} \right.
\end{array}\] Vì $ x,y>0 $ nên từ phương trình $ {{x^2} = 4{y^2}} $ suy ra $x = 2y$. Thay vào phương trình còn lại của hệ, ta được
$$3y = 90 \Leftrightarrow y = 30$$ Suy ra, $x = 60$ (thỏa mãn điều kiện $x, y > 0$).
Vận tốc của ôtô là 60km/h và vận tốc của xe máy là 30km/h.

Bài 3: Tìm hai số có tổng bằng $31$ và có hiệu bằng $9$.

Bài 4: Tìm một số tự nhiên có hai chữ số. Biết rằng số đó gấp bảy lần chữ số hàng đơn vị và nếu đem số đó chia cho tổng các chữ số của nó thì được thương là $4$ và dư là $3$.

Bài 5: Một người đi xe đạp từ A đến B gồm đoạn lên dốc AC và đoạn xuống dốc CB. Thời gian đi AB là 4 giờ 20 phút, thời gian về BA là 4 giờ. Biết vận tốc lên dốc là 10 km/h và vận tốc xuống dốc là 15 km/h. Tính AC, CB.

Bài 6: Hai ôtô khởi hành cùng một lúc trên quãng đường từ A đến B dài 120 km. Mỗi giờ ôtô thứ nhất chạy nhanh hơn ôtô thứ hai là 10 km nên đến B trước ôtô thứ hai là 2/5 giờ. Tính vận tốc của mỗi ôtô?

Bài 7: Lúc 7 h, một người đi xe máy khởi hành từ A với vận tốc 40 km/h. Sau đó, lúc 8h30’ một người khác cũng đi xe máy từ A đuổi theo với vận tốc 60 km/h. Hỏi hai người gặp nhau lúc mấy giờ?

Bài 8: Một tàu thủy chạy trên khúc sông dài 80 km, cả đi lẫn về mất 8h20’. Tính vận tốc của tàu thủy khi nước yên lặng, biết rằng vận tốc của dòng nước là 4 km/h.

Bài 9: Hai ca nô cùng khởi hành từ hai bến A và B cách nhau 85 km đi ngược chiều nhau. Sau 1 giờ 40 phút thì gặp nhau. Tính vận tốc riêng của mỗi ca nô, biết rằng vận tốc ca nô đi xuôi lớn hơn vận tốc ca nô đi ngược 9km/h và vận tốc dòng nước là 3 km/h.

Bài 10: Một ca nô xuôi từ bến A đến bến B với vận tốc trung bình 30 km/h, sau đó lại ngược từ B trở về A. Thời gian đi xuôi ít hơn thời gian đi ngược là 40 phút. Tính khoảng cách giữa hai bến A và B, biết rằng vận tốc dòng nước là 3 km/h và vận tốc riêng của ca nô không đổi.

Bài 11: Một canô chạy trên sông trong 8 giờ, xuôi dòng 81km và ngược dòng 105km. Một lần khác cũng trên dòng sông đó, canô này chạy trong 4 giờ,xuôi dòng 54km và ngược dòng 42km. Hãy tính vận tốc khi xuôi dòng và vận tốc khi ngược dòng của ca nô, biết vận tốc dòng nước và vận tốc riêng của ca nô không đổi.

Bài 12: Một ô tô dự định đi từ A đến B trong một thời gian đã định. Nếu ô tô tằng vận tốc thêm 3km/h thì đến B sớm hơn 2 giờ. Nếu ô tô giảm vận tốc đi 3km/h thì sẽ đến B chậm hơn 3 giờ. Tính quãng đường AB.

Bài 13: Để hoàn thành một công việc, hai tổ phải làm chung trong 6 giờ. Sau 2 giờ làm chung thì tổ hai được điều đi làm việc khác, tổ một đã hoàn thành công việc còn lại trong 10 giờ. Hỏi nếu mỗi tổ làm riêng thì sau bao lâu sẽ làm xong công việc đó?

Bài 14: Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm. Do áp dụng kĩ thuật mới nên tổ I đã vượt mức 18% và tổ II đã vượt mức 21%. Vì vậy trong thời gian quy định họ đã hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm. Hỏi số sản phẩm được giao của mỗi tổ theo kế hoạch?

Bài 15: Hai đội công nhân cùng làm chung một công việc. Thời gian để đội I làm một mình xong công việc ít hơn thời gian đội II làm một mình xong công việc đó là 4 giờ. Tổng thời gian này gấp 4,5 lần thời gian hai đội cùng làm chung để xong công việc đó. Hỏi mỗi đội nếu làm một mình thì phải bao lâu mới làm xong công việc?

Bài 16: Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài bằng 7/4 chiều rộng và có diện tích bằng 1792m2. Tính chu vi của khu vườn ấy.

Bài 17: Có hai loại dung dịch chứa cùng một thứ axit, loại thứ nhất chứa 30% axit, loại thứ hai chứa 5% axit. Muốn có 50 lit dung dịch chứa 10% axit thì cần phải trộn lẫn bao nhiêu lít dung dịch của mỗi loại?

Bài 18: Giải hệ phương trình $$\left\{ \begin{array}{l} \left( {3x – 1} \right)\left( {2y + 3} \right) = \left( {2x – 1} \right)\left( {3y + 4} \right)\\ {x^2} – {y^2} = 2x – 5 \end{array} \right.$$

Bài 19: Giải phương trình: $\left| {x + 1} \right| + 2\left| {x – 1} \right| = x + 2 + \left| x \right| + 2\left| {x – 2} \right|$.

Bài 20: Với giá trị nào của $k$, hệ phương trình sau có nghiệm $$\left\{ \begin{array}{l} x + \left( {1 + k} \right)y = 0\\ \left( {1 – k} \right)x + ky = 1 + k \end{array} \right.$$
09/06/2020
Toán 9 – Các dạng toán về căn bậc hai
Toán 9 – Các dạng toán về căn bậc hai

Bài viết này tổng hợp các dạng toán về căn bậc hai trong chương trình Toán 9. Gồm các dạng toán sau:
- Khái niệm Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức $\sqrt{{{A}^{2}}}=\left| A \right|$,
- Các phép tính về căn thức bậc hai,
- Các phép biến đổi và rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai,
- Phương trình chứa căn thức bậc hai.
Lời giải chi tiết các bài tập sẽ được cập nhật sau, mời thầy cô và các em học sinh đón đọc.

Xem thêm Hàm số bậc nhất, phương trình bậc nhất, hệ phương trình bậc nhất

Đối với các em học sinh lớp 10, xin mời xem bài Cách giải phương trình chứa căn, bất phương trình chứa căn

1: CĂN BẬC HAI VÀ HẰNG ĐẲNG THỨC $\sqrt{{{A}^{2}}}=\left| A \right|$

Bài 1: Viết các biểu thức sau thành nhân tử:

a) $36{{x}^{2}}-5$
b) $25-3{{x}^{2}}$
c) $x-4$ với $x>0$
d) $11+9x$ với $x<0$
e) $31+7x$ với $x<0$

Bài 2: So sánh các số sau:

a) $1+\sqrt{2}$ và $\sqrt{3+2\sqrt{2}}$
b) $5+\sqrt{3}$ và $\sqrt{34-10\sqrt{3}}$
c) $\frac{1}{\sqrt{15}}$ và $\frac{1}{4}$
d) $\frac{1}{3\sqrt{3}}$ và $\frac{1}{\sqrt{37}}$

Bài 3: Rút gọn biểu thức $$\sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{3-\sqrt{29-12\sqrt{5}}}}$$

Bài 4: Chứng minh đẳng thức $$\left( \sqrt{7+4\sqrt{3}}+\sqrt{8-2\sqrt{15}} \right)-\left( \sqrt{8+2\sqrt{15}}+\sqrt{7-4\sqrt{3}} \right)=0$$

Bài 5: Giải phương trình:

a) $\sqrt{{{x}^{2}}-4x+4}+\sqrt{{{x}^{2}}+4x+4}=6$
b) $\sqrt{4+4x+{{x}^{2}}}=x-2$

Bài 6:

a) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $y = \sqrt { – {x^2} + 2x + 2} $.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $y = 5 + \sqrt {2{x^2} – 8x + 9} $
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $y = \sqrt {\frac{{{x^2}}}{9} + 2x + 10} $

2: CÁC PHÉP TÍNH VỀ CĂN BẬC HAI

Bài 1: Giải các phương trình:

a) $\dfrac{{\left( {5 – x} \right)\sqrt {5 – x} + \left( {x – 3} \right)\sqrt {x – 3} }}{{\sqrt {5 – x} + \sqrt {x – 3} }} = 2$
b) $\sqrt {x – 5} – \dfrac{{x – 14}}{{3 + \sqrt {x – 5} }} = 3$

Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của $$y=\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}$$ Từ đó giải phương trình $\sqrt{x-2}+\sqrt{4-x}={{x}^{2}}-6x+11$$

Bài 3: Tính:

a) $\dfrac{\sqrt{99999}}{\sqrt{11111}}$
b) $\left( 7\sqrt{3}-3\sqrt{7} \right):\sqrt{21}$
c) $\dfrac{x\sqrt{y}-y\sqrt{x}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}$ với $x>0;y>0;x\ne y$
d) $\left( x-2y \right)\sqrt{\dfrac{xy}{{{\left( x-2y \right)}^{2}}}}$ với $xy\ge 0$

Bài 4: Rút gọn các biểu thức:

A=$\sqrt{2}\left( \sqrt{2-\sqrt{3}} \right)\left( \sqrt{3}+1 \right)$
B=$\sqrt{2-\sqrt{3}}\left( \sqrt{6}-\sqrt{2} \right)\left( 2+\sqrt{3} \right)$

Bài 5: So sánh các sốsau đây:

a) $2+\sqrt{3}$ và $\sqrt{5+4\sqrt{3}}$
b) $\sqrt{3}+\sqrt{5}$ và $\sqrt{7+2\sqrt{15}}$
c) $\sqrt{4+\sqrt{7}}-\sqrt{4-\sqrt{7}}-\sqrt{2}$ với $0$

Bài 6: Rút gọn biểu thức:
$$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}+\sqrt{8}+4}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4}}$$

Bài 7: Rút gọn biểu thức:
$$\sqrt{2+\sqrt{3}}\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}.\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}.\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}$$

Bài 8: Giải phương trình: $\sqrt {x – \frac{1}{x}} + \sqrt {1 – \frac{1}{x}} = 0$

Bài 9: Cho biểu thức $$A=\sqrt{4-x}+\sqrt{4+x}$$

a) Tìm điều kiện của $x$ để biểu thức $A$ có nghĩa.
b) Tìm GTLN và GTNN của $A$.

Bài 10: Tính: $$X=\frac{{{\left( \sqrt{4+\sqrt{3}}+\sqrt{4-\sqrt{3}} \right)}^{2}}}{\sqrt{29+8\sqrt{13}}}$$

Bài 11: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$M=\sqrt {{x^2} – 4x + 4} + x – 3$$

3: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI ĐƠN GIẢN VÀ RÚT GỌN BIỂU THỨC CÓ CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI

Bài 1: Tính:

a) $\sqrt{125}-4\sqrt{45}+3\sqrt{20}-\sqrt{80}$
b) $2\sqrt{\frac{27}{4}}-\sqrt{\frac{48}{9}}-\frac{2}{5}\sqrt{\frac{75}{16}}$
c) $\dfrac{x\sqrt{x}+y\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}-\sqrt{xy}$ với $x>0;y>0$

Bài 2: Phân tích thành nhân tử:

a) $ab+b\sqrt{a}+\sqrt{a}+1$
b) $\sqrt{{{x}^{3}}}-\sqrt{{{y}^{3}}}+\sqrt{{{x}^{2}}y}-\sqrt{x{{y}^{2}}}$
c) $\sqrt{{{a}^{3}}b}+\sqrt{a{{b}^{3}}}+\sqrt{{{\left( a+b \right)}^{2}}}$

Bài 3: Giải các phương trình:

a) $\sqrt{4x-8}+5\sqrt{x-2}-\sqrt{9x-18}=20$
b) $5\sqrt{x-1}-\sqrt{36x-36}+\sqrt{9x-9}=\sqrt{8x+12}$

Bài 4: Trục căn thức ở mẫu:

a) $\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$
b) $\dfrac{2}{2\sqrt{2}-1}$
c) $\dfrac{1}{2\sqrt{2}+3\sqrt{3}}$
d) $\dfrac{3\sqrt{3}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}$

Bài 5: Cho biểu thức: $$\left( \frac{\sqrt{{{x}^{3}}}-\sqrt{{{a}^{3}}}}{\sqrt{x}-\sqrt{a}}+\sqrt{ax} \right)\left( \frac{\sqrt{x}-\sqrt{a}}{x-a} \right)$$ Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức.

Bài 6: Đưa thừa số vào trong dấu căn:

a) $\left( 2-a \right)\sqrt{\frac{2a}{a-2}}$ với $a>2$
b) $\left( x-5 \right)\sqrt{\frac{x}{25-{{x}^{2}}}}$ với $0<x<5$
c) $\left( a-b \right)\sqrt{\frac{3a}{{{b}^{2}}-{{a}^{2}}}}$ với $0<a<b$

Bài 7: Tính:

a) $\left( 3-\sqrt{5} \right)\left( \sqrt{3+\sqrt{5}} \right)+\left( 3+\sqrt{5} \right)\left( \sqrt{3-\sqrt{5}} \right)$
b) $\left( 2\sqrt{8}+3\sqrt{5}-7\sqrt{2} \right)\left( \sqrt{72}-5\sqrt{20}-2\sqrt{2} \right)$

Bài 8: Tính giá trị của các biểu thức sau:

$A=\dfrac{x+y+2\sqrt{xy}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}$ với $x=6+4\sqrt{2};y=5-2\sqrt{6}$
$B=\dfrac{a+b+2\sqrt{ab}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\dfrac{a-b}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}$ với $a,b\ge 0;a\ne b$

Bài 9: Giải các phương trình:

a) $\sqrt {4x + 12} + \sqrt {x + 3} – \frac{1}{4}\sqrt {16x + 48} = 6$
b)$\sqrt {20x} – 3\sqrt {5x} = 10 – \sqrt {45x} $
c) $\sqrt {{x^2} – 3x – 2} = x – 2$
d) $\sqrt{x+4\sqrt{x-4}}=3$
e) $\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}=2$

Bài 10: Cho biểu thức: $$A=\left( \frac{\sqrt{1+x}}{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}+\frac{1-x}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}-1+x} \right)\left( \sqrt{\frac{1}{{{x}^{2}}}-1}-\frac{1}{x} \right)$$

a) Tìm điều kiện để biểu thức $A$ xác định.
b) Rút gọn biểu thức $A$.
c) Tính giá trị của $A$ khi $x=\frac{1}{2}$, $x=-\frac{1}{2}$.

Bài 11: Tìm GTLN và GTNN của $$A=\sqrt{x-2011}+\sqrt{2012-x}$$

Bài 12: Đơn giản biểu thức $$M=\frac{\sqrt{a}+1}{a\sqrt{a}+a+\sqrt{a}}:\frac{1}{{{a}^{2}}-\sqrt{a}}$$ với $a>0\ne 1$.

4: BÀI TẬP VỀ CĂN BẬC BA.

Bài 1: Rút gọn các biểu thức:

a) $\sqrt[3]{27}-\sqrt[3]{-8}-\sqrt[3]{125}$
b) $\sqrt[3]{16}-\sqrt[3]{-54}-\sqrt[3]{128}$

Bài 2: Giải các phương trình:

a) $\left( 2\sqrt[3]{x}+5 \right)\left( 2\sqrt[3]{x}-5 \right)=-21$
b) $\left( \sqrt[3]{x}-1 \right)\left( \sqrt[3]{x-2} \right)=\sqrt[3]{{{x}^{2}}}-4$

Bài 3: Trục căn thức ở mẫu các biểu thức sau:

a) $\dfrac{6}{\sqrt[3]{7}-\sqrt[3]{4}}$
b) $\dfrac{2}{\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{5}}$
c) $\dfrac{1}{1-\sqrt[3]{5}}$

Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử:

a) $\sqrt[3]{15}-\sqrt[3]{21}$; $3-\sqrt[3]{3}$; $\sqrt[3]{{{a}^{2}}x}+\sqrt[3]{{{b}^{2}}x}$
b) $\sqrt[3]{6{{a}^{2}}b}-\sqrt[3]{9a{{b}^{2}}}$; $a-b-\sqrt[3]{a-b}$
c) $\sqrt[3]{{{a}^{3}}+{{b}^{3}}}-\sqrt[3]{{{a}^{2}}-ab+{{b}^{2}}}$

Bài 5: So sánh các số sau:

a) $2\sqrt[3]{3}$ và $\sqrt[3]{25}$
b) $2\sqrt[3]{3}$ và $3\sqrt[3]{2}$
c) $\sqrt[3]{20+14\sqrt{2}}+\sqrt[3]{20-14\sqrt{2}}$ và $2\sqrt{5}$

Bài 6: Tính giá trị các biểu thức:

a) A=$\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt[3]{7+5\sqrt{2}}}$
b) B=$\sqrt[3]{72-32\sqrt{5}}.\sqrt{7+3\sqrt{5}}$

Bài 7: Chứng minh các đẳng thức:

a) $\left( \sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{10}+\sqrt[3]{25} \right)\left( \sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{5} \right)=7$
b) $\left( \sqrt[3]{{{m}^{2}}}+\sqrt[3]{mn}+\sqrt[3]{{{n}^{2}}} \right)\left( \sqrt[3]{m}-\sqrt[3]{n} \right)=m-n$

Bài 8: Rút gọn các biểu thức:

a) $\dfrac{a}{2}\left( \sqrt[3]{{{a}^{2}}b}+\dfrac{b}{3{{a}^{2}}}\sqrt{\dfrac{15a}{{{b}^{2}}}}-\dfrac{4a}{5b}\sqrt[3]{\dfrac{b}{2{{a}^{2}}}} \right):\dfrac{2{{a}^{3}}}{15{{b}^{2}}}\sqrt{\dfrac{5{{a}^{2}}}{2b}}$
b) $\left[ \left( \dfrac{1}{a}-\sqrt[6]{\dfrac{1}{a}}+\sqrt[3]{{{a}^{2}}} \right)+\left( \dfrac{a}{{{a}^{2}}}\sqrt[6]{{{a}^{5}}}-\dfrac{3}{a}\sqrt[3]{{{a}^{2}}} \right) \right]a\sqrt[3]{a}$
c) $\sqrt{{{a}^{2}}+\sqrt[3]{{{a}^{4}}{{b}^{2}}}}+\sqrt{{{b}^{2}}+\sqrt[3]{{{a}^{2}}{{b}^{4}}}}$

Bài 9: Trục căn thức ở mẫu:

a) $\dfrac{3}{\sqrt[3]{4}+1}$
b) $\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}+\sqrt{3}}$
c) $\dfrac{1}{1+\sqrt[3]{2}+2\sqrt[3]{4}}$
d) $\dfrac{1}{\sqrt[3]{9}-\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{4}}$

Bài 7: Cho $a, b, c$ là các số thực dương, từng đôi một khác nhau. Chứng minh rằng:

a) $\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\ge 3$
b) $\left( a+b+c \right)\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}} \right)\ge 9abc$

Bài 8: Rút gọn biểu thức $$\frac{a+b}{a-b}\sqrt[3]{\frac{a{{\left( a-b \right)}^{6}}}{{{\left( a+b \right)}^{3}}}}$$

5: BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

Phương trình vô tỉ là phương trình có chứa ẩn trong căn, còn được gọi là phương trình chứa căn thức.

Giải các phương trình sau:

a) $\sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{7-x}=2$
b) $3{x^2} + 21x + 18 + 2\sqrt {{x^2} + 7x + 7} = 2$
c) $\dfrac{x}{{\sqrt {x + 2} }} + \dfrac{{\sqrt {x + 2} }}{x} = 2$
d) $\sqrt{81{{\left( 2-x \right)}^{2}}}-3=0$
e) $\dfrac{1}{11}\left( 17-3\sqrt{x-1} \right)=\dfrac{1}{15}\left( 23-4\sqrt{x-1} \right)$
f) $\sqrt {2 – y} = \sqrt {4 + y} $
g) $\sqrt {{z^2} – 1} = 1 – z$
h) $\sqrt {4 – 2z – {z^2}} = z – 2$
i) $\sqrt[3]{x-2}+\sqrt{x+1}=3$
k) $\sqrt{x+1}+\sqrt{x+3}+2\sqrt{\left( x-1 \right)\left( {{x}^{2}}-3x+5 \right)}=4-2x$
l) $\sqrt{x+2-4\sqrt{x-2}}+\sqrt{x+7-6\sqrt{x-2}}=1$
m) $2\sqrt[3]{2x-1}={{x}^{3}}+1$
n) $\sqrt[3]{\dfrac{{{x}^{3}}-3x-\left( {{x}^{2}}-1 \right)\sqrt{{{x}^{2}}-4}}{2}}=2-\sqrt{3}$
o) $\sqrt[3]{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}+\sqrt[3]{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}+\sqrt[3]{{{x}^{2}}-1}=1$
p) $\sqrt{x+4\sqrt{x}+4}=2$
q) $\sqrt{{{x}^{2}}-3x+5}=\sqrt{x+5}$
r) $2\sqrt{x-2\sqrt{x-1}}+\sqrt{x+2\sqrt{x-1}}=3$
s) $\dfrac{\sqrt{\left( x-1 \right)\left( x+4 \right)}}{\sqrt{x-1}}=x-2$
08/06/2020
Xác định thiết diện sử dụng quan hệ vuông góc trong không gian
Phương pháp xác định thiết diện sử dụng quan hệ vuông góc trong không gian

Xem thêm:
Bài toán xác định thiết diện, các phương pháp tìm thiết diện của một hình chóp khi cắt bởi một mặt phẳng đã được xét kĩ khi học về quan hệ song song trong không gian. Tuy nhiên, khi học sang chương quan hệ vuông góc trong không gian, học sinh tiếp tục gặp bài toán thiết diện cắt bởi một mặt phẳng mà mặt phẳng đó xác định bởi các kết quả sau đây.
- Trong không gian, có đúng một mặt phẳng đi qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng cho trước.
- Trong không gian, có đúng một mặt phẳng chứa một đường thẳng và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
Từ hai kết quả đó, chúng ta có hai bài toán cơ bản sau về thiết diện vuông góc.

1. Bài toán tìm thiết diện sử dụng quan hệ vuông góc

1.1. Thiết diện cắt bởi mặt phẳng đi qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng

Bài toán 1. Xác định thiết diện cắt bởi mặt phẳng $(P)$ mà $P$ đi qua điểm $M$ và vuông góc với đường thẳng $d$.

Cách 1. Ta tìm hai đường thẳng $a$ và $b$ cắt nhau và cùng vuông góc với đường thẳng $d$, trong đó có ít nhất một đường đi qua điểm $ M $. Khi đó mặt phẳng $(P)$ chính là mặt phẳng tạo bởi hai đường thẳng $ a $ và $ b $.

Cách 2. Ta tìm một mặt phẳng $(Q)$ nào đó vuông góc với đường thẳng $d$ thì mặt phẳng $(P)$ chính là mặt phẳng đi qua $M$ và song song với $ (Q) $.

1.2. Thiết diện cắt bởi mặt phẳng chứa một đường thẳng và vuông góc với một mặt phẳng

Bài toán 2. Xác định thiết diện tạo bởi mặt phẳng $(P)$ biết $P$ chứa đường thẳng $ a $ và mặt phẳng $(P)$ vuông góc với mặt phẳng $(Q)$.
Từ một điểm $ M $ trên đường thẳng $ a $, ta dựng đường thẳng $ b $ vuông góc với mặt phẳng $(Q)$ thì mặt phẳng $(P)$ chính là mặt phẳng tạo bởi $ a $ và $ b $

3. Các ví dụ xác định thiết diện vuông góc với một đường thẳng

Ví dụ 1. Cho tứ diện đều $ABCD$. Xác định thiết diện của tứ diện $ABCD$ và mặt phẳng trung trực của cạnh $BC$.

Hướng dẫn. Gọi $ M $ là trung điểm $ BC $ thì có $ BC $ vuông góc với $ AM $ và $ DM $ nên suy ra $ AMD $ chính là mặt phẳng $(P)$ trung trực của $ BC $. Thiết diện cần tìm là tam giác $ AMD $.

Ví dụ 2. Cho tứ diện đều $ABCD$. Trên cạnh $BC$ lấy điểm $ F $ sao cho $ BF<FC $. Gọi $ (P) $ là mặt phẳng đi qua $ F $ và vuông góc với cạnh $ BC $. Xác định thiết diện của tứ diện và mặt phẳng $(P)$.

Hướng dẫn. Trong mặt phẳng $ (ABC) $ kẻ $ FG $ vuông góc với $ BC $ (điểm $ G $ thuộc $ AB $ và $ GF $ song song với trung tuyến $ AI $). Trong mặt phẳng $ (BCD) $ kẻ $ FE $ vuông góc với $ BC $ (điểm $ E $ thuộc $ BD $ và $ FE $ song song với $ DI $).

Dễ dàng thấy ngay mặt phẳng $(P)$ chính là mặt phẳng $ FEG $ và thiết diện cần tìm chính là tam giác $ FEG $.

Ví dụ 3. Cho hình lập phương $ ABCD.A’B’C’D’ $ có cạnh bằng $ a $. Tính diện tích của thiết diện khi cắt hình lập phương này bởi mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng $ BD’ $.

Hướng dẫn. Gọi $ O $ là trung điểm $ BD’ $. Trong mặt phẳng $ (BDD’B’) $, kẻ đường thẳng đi qua $ O $ và vuông góc với $ BD $. Đường thẳng này cắt cạnh $ BD $ và $ B’D’ $ lần lượt tại $ E $ và $ F $. Chú ý rằng điểm $ E $ nằm trong đoạn $ BD $, xem hình vẽ sau để rõ hơn.

Trong mặt phẳng $(ABCD)$, qua $ E $ kẻ đường thẳng song song với $ AC $, đường thẳng này cắt $ AD $ và $ CD $ lần lượt tại $ M $ và $ N $. Vì $ AC $ vuông góc với mặt phẳng $ (BDD’B’) $ nên suy ra $ MN $ cũng vuông góc với mặt phẳng $ (BDD’B’) $. Do đó, đường thẳng $ MN $ vuông góc với đường thẳng $ BD $.

Như vậy có $$ \begin{cases} BD\perp EF\\ BD\perp MN \end{cases} $$ nên $ BD $ vuông góc với mặt phẳng chứa $ EF $ và $ MN $. Nói cách khác, mặt phẳng trung trực của $ BD $ chính là mặt phẳng chứa $ EF $ và $ MN $. Từ đó, dựng được thiết diện là lục giác đều màu vàng như trong hình vẽ. Cạnh của lục giác đều có độ dài bằng $ \frac{a\sqrt{2}}{2} $ nên từ đó tính được diện tích là $ \frac{3\sqrt{3}}{4} $.

Ví dụ 4. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $ a $, tâm là điểm $ O $. Cạnh $ SA=a\sqrt{2} $ và vuông góc với đáy. Gọi $ H $ là hình chiếu vuông góc của $ A $ lên $ SB $. Xác định thiết diện và tính diện tích thiết diện tạo bởi hình chóp và
- Mặt phẳng $(P)$ đi qua $ H $ và vuông góc với $ SB $.
- Mặt phẳng $(Q)$ đi qua $ B $ và vuông góc với $ SC $.
Hướng dẫn.

Mặt phẳng $(P)$ vuông góc với $ SB $ nên mặt phẳng $(P)$ chứa $ AH $. Trong mặt phẳng $ (SBC) $ kẻ đường thẳng qua $ H $ và vuông góc với $ SB $, đường thẳng này cắt $ SC $ tại $ M $ thì $ HM $ song song với $ BC $.

Mặt khác có $ AD $ vuông góc với $ SB $ (do $ AD $ vuông góc với mặt phẳng $ (SAB) $) nên suy ra mặt phẳng $(P)$ chính là mặt phẳng chứa $ AH,HM,AD $ và thiết diện cần tìm chính là hình thang $ AHMD $.

Dễ chứng minh được $ BD $ vuông góc với $ SC $ nên suy ra mặt phẳng $(Q)$ chứa $ BD $. Từ $ O $ kẻ $ OK $ vuông góc với $ SC $ tại $ K $. Thiết diện cần tìm chính là tam giác $ BDK $.

Ví dụ 5. Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy $ ABCD $ là hình thang vuông tại $ A $, đáy lớn $ AD=8 $ cm, $ BC = 6 $ cm. Cạnh $ SA =6$ cm và vuông góc với mặt phẳng $ (ABCD) $. Gọi $ M $ là trung điểm của cạnh $ AB $. Giả sử $ (P) $ là mặt phẳng đi qua $ M $ và vuông góc với $ AB $. Tính diện tích thiết diện tạo bởi $ (P) $ và hình chóp $ S.ABCD $.

Hướng dẫn. Dễ thấy $ AB $ vuông góc với mặt phẳng $ (SAD) $ nên suy ra mặt phẳng $(P)$ và $ SAD $ song song với nhau. Từ đó suy ra cách dựng như sau. Từ $ M $ kẻ $ MN $ song song với $ SA $, $ N $ thuộc $ SB $. Từ $ N $ kẻ $ NE $ song song với $ BC $, $ E $ thuộc $ SC $. Từ $ M $ kẻ $ MF$ song song với $ AD $, $ F $ thuộc $ CD $.
Thiết diện cần tìm là hình thang vuông $ MNEF $.

Có $ MN=\frac{1}{2}SA=3 $ cm, $ NE=\frac{1}{2}BC=3 $ cm, $ MF=\frac{BC+AD}{2}=7 $ cm. Do đó, diện tích hình thang vuông $ MNEF $ là
$$ MN\cdot \frac{NE+MF}{2}=15 $$

Ví dụ 6. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ và cạnh $SA$ vuông góc với đáy $\left(ABCD\right).$ Gọi $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng qua $A$ vuông góc với $SC.$ Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng $\left( \alpha \right).$

Hướng dẫn. Giả sử $\left( \alpha \right)$ cắt $SC$ tại $H$. Khi đó $AH \subset \left( \alpha \right) \bot SC $ nên suy ra $AH$ vuông góc với $SC.$
- Vì $BD \bot \left( {SAC} \right)$ nên suy ra $BD $ vuông góc với $ SC.$
- Mà $\left( \alpha \right) $ vuông góc với $SC.$
Suy ra, mặt phẳng $ \left( \alpha \right)\parallel BD.$ Do đó, chúng ta có được giao tuyến của hai mặt phẳng $ \left( \alpha \right) $ và $\left( {SBD} \right)$ là đường thẳng $ d$ song song với $BD.$

Mặt khác gọi $O$ là tâm hình vuông và $E$ là giao điểm của $AH $ và $SO $ thì $E $ phải thuộc vào đường thẳng $d.$

Suy ra giao tuyến $d$ chính là đường thẳng đi qua $E$, song song với $BD$ và lần lượt cắt $SB,SD$ tại $M,N$. Vậy thiết diện cần tìm là tứ giác $AMHN.$

3. Các ví dụ xác định thiết diện vuông góc với một mặt phẳng

Ví dụ 7. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $ a $, tâm là điểm $ O $. Cạnh $ SA=a\sqrt{2} $ và vuông góc với đáy. Xác định thiết diện và tính diện tích thiết diện tạo bởi hình chóp và mặt phẳng $(P)$ chứa $ AB $ và vuông góc với $ (SCD) $.

Hướng dẫn. Ta cần dựng một đường thẳng cắt $ AB $ và vuông góc với $ (SCD) $. Chú ý rằng mặt phẳng $ (SCD) $ và $ (SAD) $ vuông góc và cắt nhau theo giao tuyến $ AD $. Nên để dựng một đường thẳng vuông góc với $ (SCD) $, cách dễ nhất là trong mặt phẳng $ (SAD) $ ta dựng một đường thẳng vuông góc với giao tuyến này.

Trong mặt phẳng $ (SAD) $, hạ $ AH $ vuông góc với $ SD $ tại $ H $ thì dễ chứng minh được $ AH $ vuông góc với $ (SCD) $. Do đó, mặt phẳng $(P)$ chính là mặt phẳng xác định bởi hai đường thẳng cắt nhau $ AB $ và $ AH $. Từ $ H $ dựng đường thẳng song song với $ CD $, cắt $ SC $ tại $ K $. Thiết diện cần tìm là hình thang $ ABKH $.

Ví dụ 8. Cho hình chóp $ S.ABCD $ với $ ABCD $ là hình chữ nhật tâm $ O $ và $ AB = a $, $ AD = 2a $. Cạnh $ SA =a$ và vuông góc với đáy. Gọi $ (P) $ là mặt phẳng chứa $ SO $ và vuông góc với $ (SAD) $. Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng $(P)$ và hình chóp $ S.ABCD $.

Hướng dẫn. Nhận xét rằng $ AB $ vuông góc với $ (SAD) $ nên để dựng một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $ (SAD) $ ta chỉ việc kẻ song song với $ AB$. Qua $ O $ kẻ đường thẳng song song với $ AB $, đường thẳng này cắt $ BC,AD $ lần lượt tại $ E,F $. Thiết diện cần tìm chính là tam giác $ SEF $.

Tam giác $ SEF $ vuông tại $ F $ nên dễ dàng tính được diện tích bằng $ \frac{a^2\sqrt{2}}{2} $.

Ví dụ 9. Cho lăng trụ đứng $ ABC.A’B’C’ $ có đáy $ ABC $ là tam giác vuông tại $ B $. Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm $ BC $ và $ BB’ $. Giả sử $ (P) $ là mặt phẳng chứa $ MN $ và vuông góc với mặt phẳng $ (BCC’B’) $. Xác định thiết diện của lăng trụ khi cắt bởi mặt phẳng $(P)$.

Hướng dẫn. Dễ thấy $ AB $ vuông góc với mặt phẳng $ (BCC’B’) $ nên suy ra $ AB $ song song với mặt phẳng $(P)$. Do đó, cách dựng thiết diện như sau:
- Qua $ M $ kẻ đường thẳng song song với $ AB $, đường thẳng này cắt $ AC $ tại trung điểm $ Q $.
- Qua $ N $ kẻ đường thẳng song song với $ AB $, đường thẳng này cắt $ AA’ $ tại trung điểm $ P $.
Thiết diện cần tìm là hình thang $ MNPQ $.
07/06/2020
Bài tập cấp số cộng – cấp số nhân
Bài tập cấp số cộng – cấp số nhân

Xem thêm Báo cáo kinh nghiệm dạy Toán bằng tiếng Anh chương Cấp số cộng

1. Tóm tắt lý thuyết cấp số cộng và cấp số nhân

1.1. Cấp số cộng
- Định nghĩa. Dãy số $ (u_n) $ được xác định bởi $\begin{cases} u_1=u\\u_{n}=u_{n-1}+d \end{cases}$ được gọi là cấp số cộng với số hạng đầu bằng $ u $ và công sai $ d. $
- Tính chất 3 số hạng liên tiếp của cấp số cộng $$ u_k=\frac{u_{k-1}+u_{k+1}}{2} $$
- Công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng $$ u_n=u_1+(n-1)d $$
- Tổng $ n $ số hạng đầu tiên của cấp số cộng $$ S_n=u_1+u_2+…+u_n=\frac{n(u_1+u_n)}{2} $$
https://www.youtube.com/watch?v=ZbBZiMQnkbQ

1.2. Cấp số nhân
- Định nghĩa. Dãy số $ (u_n) $ được xác định bởi $\begin{cases} u_1=u\\u_{n}=u_{n-1}\cdot q \end{cases}$ được gọi là cấp số nhân với số hạng đầu bằng $ u$ và công bội $ q. $
- Công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân $$ u_n=u_1\cdot q^{n-1} $$
- Tính chất 3 số hạng liên tiếp của cấp số nhân $$ u_k^2=u_{k-1}.u_{k+1} $$
- Tổng $ n $ số hạng đầu tiên của cấp số nhân $$ S_n=u_1+u_2+…+u_n=u_1\frac{1-q^n}{1-q} \,\,\, (q\ne 1)$$
2. Bài tập cấp số cộng

Ví dụ 1. Cho cấp số cộng có $ u_1=10,d=-4. $ Tìm $ u_{10} $ và $ S_{10} $.

Hướng dẫn. Sử dụng công thức số hạng tổng quát, ta có số hạng thứ $10$ của cấp số cộng là $$ u_{10}=u_1 + (10-1)d = 10+9(-4)=-26 $$ Tổng $ 10 $ số hạng đầu tiên của cấp số cộng đã cho là $$ S_{10} = \frac{10\left(u_1+u_{10}\right)}{2}=-80 $$

Ví dụ 2. Cho ba số dương $ a, b, c $ lập thành cấp số cộng. Chứng minh rằng:
- ${{a}^{2}}+2bc={{c}^{2}}+2ab$
- ${{a}^{2}}+8bc={{(2b+c)}^{2}}$
- $({{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}}),({{a}^{2}}+ac+{{c}^{2}}),({{b}^{2}}+bc+{{c}^{2}})$ lập thành cấp số cộng
Hướng dẫn. Ta có ba số dương $ a, b, c $ lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi $ 2b=a+c $.
- ${{a}^{2}}+2bc={{c}^{2}}+2ab$ tương đương với $$ a^2+(a+c)c=c^2+(a+c)a $$ Khai triển hai vế đẳng thức này được điều hiển nhiên đúng.
- ${{a}^{2}}+8bc={{(2b+c)}^{2}}$ tương đương với $$ a^2+4c(a+c)=(a+c+c)^2 $$ Khai triển hai vế đẳng thức này được điều hiển nhiên đúng.
- $({{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}}),({{a}^{2}}+ac+{{c}^{2}}),({{b}^{2}}+bc+{{c}^{2}})$ lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi
  $$ ({{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}}) + ({{b}^{2}}+bc+{{c}^{2}}) = 2 ({{a}^{2}}+ac+{{c}^{2}})$$ Khai triển và rút gọn ta được \begin{align*}
  &ab+bc+2b^2=a^2+2ac+c^2\\
  \Leftrightarrow & (a+c)b+2b^2=(a+c)^2
  \end{align*} Thay $ a+c=2b $ vào hai vế đẳng thức trên ta được $ 4b^2=4b^2 $, đây là điều hiển nhiên đúng.
Ví dụ 3. Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng $ (u_n) $ biết
- $ \begin{cases} u_1-u_3+u_5=10\\ u_1+u_6=17 \end{cases} $
- $ \begin{cases} u_7-u_3=8\\u_2.u_{15}=75 \end{cases} $
- $ \begin{cases} u_1+u_4+u_5=25\\u2-u_8=-24 \end{cases} $
Ví dụ 4. Xác định $ x $ để ba số $ 10 – 3x, 2x^2 + 3, 7 – 4x $ lập thành một cấp số cộng.

Hướng dẫn. Ba số $ 10 – 3x, 2x^2 + 3, 7 – 4x $ lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi $$ 10-3x+7-4x=2(2x^2+3) $$ Giải phương trình này, tìm được $ x=1, x=-\frac{11}{4} $.

Ví dụ 5. Xác định một cấp số cộng có 3 số hạng, biết tổng của chúng bằng 9 và tổng bình phương là 125.

Giải: Gọi $d$ là công sai của cấp số cộng và ba số phải tìm là $(x – d),x, (x + d)$ thì ta có hệ phương trình:

$$ \begin{cases}
x-d+x+x+d=9\\ (x-d)^2+x^2+(x+d)^2=125
\end{cases} $$

Giải hệ trên, ta tìm được với $d = 7$ cấp số cộng đó là $-4, 3, 10$ và với $d = -7$ cấp số là $10;,3,-4$.

Ví dụ 6. Xác định 4 góc của một tứ giác lồi, biết rằng số đo 4 góc lập thành một cấp số cộng và góc lớn nhất bằng 5 lần góc nhỏ nhất.

Hướng dẫn. Gọi $d=2a$ là công sai thì bốn số phải tìm là $$x – 3a,x – a,x + a,x + 3a$$ Ta có hệ phương trình: $$ \begin{cases}
\left( x-3\text{a} \right)+\left( x-a \right)+\left( x+a \right)+\left( x+3a \right)=360^\circ\\
\left( x+3a \right)=5\left( x-3a \right)
\end{cases} $$ Giải hệ này, tìm được $ x=90^\circ $ và $ a=20^\circ $. Suy ra, bốn góc phải tìm là:A = 30⁰; B = 70⁰ ; C = 110⁰ ; D = 150⁰.

Ví dụ 7. Tìm tổng các số hạng liên tiếp từ thứ 6 đến thứ 14 của cấp số cộng có số hạng thứ ba là 16 và công sai bằng 4.

Ví dụ 8. Cho hàm số $ y=x^3-3x^2-9x+m $ có đồ thị là $ (C). $ Tìm $m$ để đồ thị $(C)$ cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng?

Hướng dẫn. Giả sử ba hoành độ là $ x_1,x_2,x_3 $. Từ $ x_1+x_3=2x_2 $ và Viét suy ra $ x_2=1. $ Từ đó tìm được $ m $ và thử lại. Đáp số $ m=11. $

Ví dụ 9. Tìm $m$ để đồ thị hàm số $ y=x^4-2(m-1)x^2+2m+1 $ cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt lập thành một cấp số cộng.
Đáp số. $ m=4 $ và $ m=-\frac{4}{9}. $

Ví dụ 10. Cho phương trình : ${{x}^{4}}+3{{x}^{2}}-\left( 24+m \right)x-26-n=0$. Tìm hệ thức liên hệ giữa $m$ và $n$ để phương trình có 3 nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}$ lập thành một cấp số cộng?

Hướng dẫn. Vì 3 nghiệm phân biệt : ${{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}}$ lập thành cấp số cộng , nên ta có thể đặt: $${{x}_{1}}={{x}_{0}}-d,{{x}_{2}}={{x}_{0}},{{x}_{3}}={{x}_{0}}+d\left( d\ne 0 \right)$$ Theo giả thiết ta có: $${x^3} + 3{x^2} – \left( {24 + m} \right)x – 26 – n = \left( {x – {x_1}} \right)\left( {x – {x_2}} \right)\left( {x – {x_3}} \right)$$

Nhân ra và đồng nhất hệ số ở hai vế của phương trình ta có hệ: $$\begin{array}{l}
\,\,\,\,\,\,\,\left\{ \begin{array}{l}
– 3{x_0} = 3\\
3x_0^2 – {d^2} = – \left( {24 + m} \right)\\
– x_0^3 + {x_0}{d^2} = – 26 – n
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_0} = – 1\\
3 – {d^2} = – 24 – m\\
1 – {d^2} = – 26 – n
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_0} = – 1\\
m = n
\end{array} \right.
\end{array}$$ Vậy với $m=n$ thì ba nghiệm phân biệt của phương trình lập thành cấp số cộng.

Ví dụ 11. Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình $ \sin^23x-5\sin3x+4=0 $ trên khoảng $ (0;50\pi) $.

Đáp số. $ \frac{3725\pi}{2} $.

3. Bài tập cấp số nhân

Ví dụ 1. Cho dãy số $({u_n})$ xác định bởi ${u_n} = \frac{5}{2}$ và ${u_{n + 1}} = 3{u_n} – 1$ với mọi $n \geqslant 1$. Chứng minh rằng dãy số $({v_n})$ xác định bởi ${v_n} = {u_n} = \frac{{ – 1}}{2}$ với mọi $n \geqslant 1$ là một cấp số nhân. Hãy cho biết số hạng đầu và công bội của cấp số nhân đó.

Hướng dẫn. Từ công thức xác định dãy số $ (u_n) $ và $ (v_n) $ ta có
$${v_{n + 1}} = {u_{n + 1}} – \frac{1}{2} = 3{u_n} – 1 – \frac{1}{2} = 3\left( {{u_n} – \frac{1}{2}} \right) = 3{v_n} \text{ với mọi }n\geqslant 1. $$ Ta thấy ngay, $ (v_n) $ là một cấp số nhân với số hạng đầu $ v_1=2 $ và công bội $ q=3. $

Ví dụ 2. Một cấp số nhân có 5 số hạng , công bội bằng một phần bốn số hạng thứ nhất , tổng của hai số hạng đầu bằng 24. Tìm cấp số nhân đó.

Hướng dẫn. Theo giả thiết ta có $$\begin{array}{l}
\,\,\,\,\,\,{u_1} + {u_2} = {u_1} + \frac{1}{4}\left( {{u_1}} \right) = 24\\
\Rightarrow {u_1} + \frac{1}{4}u_1^2 – 24 = 0\\
\Leftrightarrow {u_1} = – 12 \vee {u_1} = 8
\end{array}$$ Vậy có hai cấp số nhân tương ứng là $8,16,32,128$ hoặc $-12,36,-108,-972$.

Ví dụ 3. Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân $ (u_n) $ biết
- $ \begin{cases} u_4-u_2=72\\u_5-u_3=144 \end{cases} $
- $ \begin{cases} u_1-u_3+u_5=65\\u_1+u_7=325 \end{cases} $
Ví dụ 4. Tìm bốn góc của một tứ giác, biết rằng các góc đó lập thành cấp số nhân và góc cuối gấp 9 lần góc thứ hai.

Ví dụ 5. Tìm các số dương $ a,b $ sao cho $ a,a+2b,2a+b $ lập thành một cấp số cộng còn $ (b+1)^2,ab+5,(a+1)^2 $ lập thành một cấp số nhân.

Ví dụ 6. Tìm $m$ để phương trình $ x^3+2x^2+(m+1)x+2(m+1)=0 $ có ba nghiệm lập thành một cấp số nhân.

Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với $$ (x+2)(x^{2}+m+1)=0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}
x=-2 \\ x^{2}=-m-1\end{array}\right.$$
Phương trình đã cho có ba nghiệm khi và chỉ khi $$ \begin{cases}m<-1\\m\neq{-5}\end{cases} $$ Khi đó, ba nghiệm của phương trình là $$ x=-2;x=\sqrt{-m-1};x=-\sqrt{-m-1} $$ Chúng ta xét hai trường hợp:
- TH1. $ -5<m<-1 $ thì 3 nghiệm theo thứ tự là $$ -2;-\sqrt{-m-1};\sqrt{-m-1} $$ Để chúng lập thành cấp số nhân thì $$ -2\sqrt{-m-1}=-m-1 $$ Chú ý điều kiện $ -5<m<-1 $ nên phương trình ẩn $ m $ này vô nghiệm.
- TH2. $ m<-5 $ thì 3 nghiệm theo thứ tự là $$ -\sqrt{-m-1};-2;\sqrt{-m-1} $$ Để chúng lập thành cấp số nhân thì $$ 4=-(-m-1)\Leftrightarrow m=3 $$ So sánh với điều kiện, thấy giá trị này không thỏa mãn.
Tóm lại, không có giá trị nào của $ m $ thỏa mãn yêu cầu.

Ví dụ 7. Tính tổng $$ S=1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{3^{2015}} $$

Ví dụ 8. Tìm các số hạng đầu của cấp số nhân $(u_n)$ biết rằng $$ \begin{cases}
u_1+u_2+u_3+u_4=15\\
u_1^2+u_2^2+u_3^2+u_4^2=85
\end{cases} $$
Hướng dẫn. Giả sử cấp số nhân cần tìm có số hạng đầu bằng $ x $ và công bội $ q \ne 1$. Sử dụng công thức tổng $n$ số hạng đầu của một cấp số nhân, chúng ta có
$$ u_1+u_2+u_3+u_4=\frac{x\left(q^4-1\right)}{q-1}=15 $$ Bình phương hai vế ta được $$ x^2(q^4-1)^2/(q-1)^2 = 225 $$ Đối với tổng $ u_1^2+u_2^2+u_3^2+u_4^2$ ta có thể coi đây chính là tổng bốn số hạng đầu của một cấp số nhân với số hạng đầu là $ x^2 $ và công bội $ q^2 $ nên tổng của chúng là $$u_1^2+u_2^2+u_3^2+u_4^2=\frac{x^2\left(q^8-1\right)}{q^2-1}=85 $$

Chia từng vế hai phương trình trên ta được $$ \frac{\left(q^4-1\right)\left(q^2-1\right)}{\left(q-1\right)^2\left(q^8-1\right)} =\frac{225}{85}$$
Rút gọn rồi nhân chéo ta được phương trình $$ 14q^4 – 17q^3 – 17q^2 – 17q + 14 = 0 $$ Đến đây có thể sử dụng máy tính để giải, tìm được nghiệm $ q=2,q=\frac{1}{2} $. Hoặc đặt $ t=q+\frac{1}{q} $ và đưa về phương trình bậc hai ẩn $ t $.

Lời giải chi tiết cho ví dụ này, mời thầy cô và các em học sinh xem trong video sau:

https://www.youtube.com/watch?v=KnwhxAgPL04
05/06/2020
Đề thi GK2 Toán 11 Xuân Trường B Năm 2017

Đề thi GK2 Toán 11 Xuân Trường B Năm 2017

Đề thi GK2 Toán 11 Xuân Trường B – Nam Định năm 2017 gồm 25 câu trắc nghiệm và 3 câu tự luận về cấp số cộng, giới hạn dãy số, giới hạn hàm số, đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

1. Phần trắc nghiệm

Câu 1: Cho hai đường thẳng phân biệt $a, b$ và mặt phẳng $(P)$, trong đó $a\perp \left( P \right) $. Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. Nếu $b\perp a $ thì $b\parallel \left( P \right). $
B. Nếu $b\perp \left( P \right) $ thì $b\parallel a. $
C. Nếu $b\parallel \left( P \right) $ thì $b\perp a. $
D. Nếu $b\parallel a $ thì $b\perp \left( P \right). $

Câu 2: Cho dãy số $\left( {{u}_{n}} \right)$, biết ${{u}_{n}}={{2}^{n}}$. Ta có số hạng ${{u}_{n+1}}$ bằng
A. ${{2}^{n}}+1.$
B. ${{2}^{n}}+2.$
C. ${{2.2}^{n}}.$
D. $2\left( n+2 \right)$.

Câu 3: Giá trị của $\lim \frac{2{{n}^{2}}-1}{n-{{n}^{2}}}$ bằng
A. $2.$
B. $-2.$
C. $+\infty .$
D. $0.$

Câu 4: Cho dãy số 1, 6, 11, … là cấp số cộng. Tìm x, biết: $$\left( x+1 \right)+\left( x+6 \right)+\left( x+11 \right)+…+\left( x+96 \right)=980$$
A. $x=-\frac{1}{2}.$
B. $x=\frac{1}{2}.$
C. $x=-1.$
D. $x=1.$

Câu 5: Cho hai đường thẳng $a, b$ chéo nhau và vuông góc với nhau. Qua đường thẳng $b$ có mấy mặt phẳng vuông góc với đường thẳng $a$?
A. 1.
B. 0.
C. 2.
D. Vô số.

Câu 6: Cho hình chóp $S.ABC$ có tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$, $AB=a,SA=\sqrt{2}a$ và $SA\perp \left( ABC \right)$. Góc giữa đường thẳng $SC$ và mặt phẳng $(ABC)$ bằng:
A. ${{45}^\circ}.$
B. ${{30}^\circ}.$
C. ${{60}^\circ}.$
D. ${{90}^\circ}.$

Câu 7: Cho hình chóp $ S.ABC $ có tam giác $ ABC $ vuông tại $ B $, $SA\perp \left( ABC \right)$. Gọi $ M $ là trung điểm của $ AB $. Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ qua $ M $ và vuông góc với $ SB $ cắt hình chóp đã cho theo thiết diện là hình gì?
A. Hình thang vuông.
B. Tam giác.
C. Hình bình hành.
D. Hình chữ nhật.

Câu 8: Giá trị của $\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{x-2}{x-1}$ bằng
A. $\frac{1}{2}.$
B. $-\infty .$
C. $-\frac{3}{2}.$
D. $+\infty .$

Câu 9: Giá trị của $\lim \left( \sqrt{{{n}^{2}}+n}-n \right)$ bằng
A. $-\infty .$
B. 1.
C. $\frac{1}{2}.$
D. $+\infty .$

Câu 10: Cho cấp số cộng $\left( {{u}_{n}} \right)$, biết ${{u}_{n}}=3n-1$. Tìm công sai d của cấp số cộng đó.
A. $d=4.$
B. $d=5.$
C. $d=3.$
D. $d=2.$

Câu 11: Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy $ ABCD $ là hình vuông, $SA\perp \left( ABCD \right)$. Khi đó đường thẳng $
B. $ vuông góc với mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau:
A. $\left( SAD \right).$
B. $\left( SBC \right).$
C. $\left( SAC \right).$
D. $\left( SAB \right).$

Câu 12: Giá trị của $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \sqrt{{{x}^{2}}-1}-x \right)$ bằng
A. $-\infty .$
B. 0.
C. $+\infty .$
D. 1.

Câu 13: Tế bào E. Coli trong điều kiện nuôi cấy thích hợp cứ 20 phút lại phân đôi một lần. Nếu có 1000 tế bào thì sau đúng 3 giờ sẽ phân chia thành bao nhiêu tế bào?
A. $256000$ (tế bào).
B. $512000$ (tế bào).
C. $1024000$ (tế bào).
D. $2048000$ (tế bào).

Câu 14: Giá trị của $\underset{x\to -2}{\mathop{\lim }}\,\left( {{x}^{2}}-x+2 \right)$ bằng
A. $+\infty .$
B. 0.
C. 4.
D. 8.

Câu 15: Cho hình lập phương $ABCD.A’B’C’D’$ có cạnh bằng $a.$ Ta có $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC’}$ bằng
A. $\sqrt{3}{{a}^{2}}.$
B. 0.
C. ${{a}^{2}}.$
D. $\sqrt{2}{{a}^{2}}.$

Câu 16: Dãy số nào sau đây là dãy số giảm ?
A. $\left( {{u}_{n}} \right)$ với ${{u}_{n}}=\frac{{{\left( -1 \right)}^{n}}}{n}.$
B. $\left( {{u}_{n}} \right)$ với ${{u}_{n}}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}.$
C. $\left( {{u}_{n}} \right)$ với ${{u}_{n}}={{2}^{n}}.$
D. $\left( {{u}_{n}} \right)$ với ${{u}_{n}}=2+n.$

Câu 17: Cho cấp số cộng $\left( {{u}_{n}} \right)$ với ${{u}_{2}}=1$, công bội $d=2$. Tính tổng ${{S}_{20}}$ của 20 số hạng đầu.
A. ${{S}_{20}}=370.$
B. ${{S}_{20}}=390.$
C. ${{S}_{20}}=400.$
D. ${{S}_{20}}=360.$

Câu 18: Cho cấp số nhân $\left( {{u}_{n}} \right)$, biết ${{u}_{1}}=2,{{u}_{2}}=-6$. Khẳng định nào sau đây là đúng ?
A. ${{u}_{3}}=-14.$
B. ${{u}_{3}}=14.$
C. ${{u}_{3}}=-18.$
D. ${{u}_{3}}=18.$

Câu 19: Dãy số nào sau đây là cấp số nhân ?
A. $\left( {{u}_{n}} \right)$ với ${{u}_{n}}={{\left( -2 \right)}^{n}}.$
B. $\left( {{u}_{n}} \right)$ với ${{u}_{n}}=2n+1.$
C. $\left( {{u}_{n}} \right)$ với ${{u}_{n}}=\frac{n}{n+1}.$
D. $\left( {{u}_{n}} \right)$ với ${{u}_{n}}={{\left( -1 \right)}^{n}}n.$

Câu 20: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng ?
A. $\lim \left| {{u}_{n}} \right|=+\infty $ thì $\lim {{u}_{n}}=-\infty .$
B. $\lim {{u}_{n}}=-a$ thì $\lim \left| {{u}_{n}} \right|=a.$
C. $\lim \left| {{u}_{n}} \right|=+\infty $ thì $\lim {{u}_{n}}=+\infty .$
D. $\lim {{u}_{n}}=0$ thì $\lim \left| {{u}_{n}} \right|=0.$

Câu 21: Cho hình lập phương $ABCD.A’B’C’D’$. Ta có góc giữa hai đường thẳng $AB’$ và $DB$ bằng
A. ${{45}^\circ}.$
B. ${{60}^\circ}.$
C. ${{90}^\circ}.$
D. ${{120}^\circ}.$

Câu 22: Cho tứ diện $ABCD$ có $AB, BC, CD$ đôi một vuông góc. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. $BC\perp AD.$
B. $AC\perp CD.$
C. $CD\perp AD.$
D. $AC\perp BD.$

Câu 23: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính $AD$, $SA\perp \left( ABCD \right)$. Gọi $I$ là điểm cách đều các đỉnh của hình chóp đã cho. Khi đó điểm $I$ là trung điểm của
A. $SD.$
B. $SC.$
C. $SB.$
D. $AD.$

Câu 24: Tìm tất cả giá trị của tham số $a$ để $\underset{x\to -1}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}+\left( 1-a \right)x-a}{{{x}^{2}}+3x+2}=2$.
A. 2.
B. $-2.$
C. $3.$
D. $-3.$

Câu 25: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$. Đẳng thức nào sau đây là sai?
A. $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}=\overrightarrow{SC}+\overrightarrow{SD}.$
B. $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SC}+\overrightarrow{SD}=4.\overrightarrow{SO}.$
C. $\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SC}=\overrightarrow{SB}+\overrightarrow{SD}.$
D. $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}.$

2. Phần tự luận

Câu 1 (1,5 điểm).
a) Cho cấp số cộng $\left( {{u}_{n}} \right)$ với ${{u}_{10}}=25,\text{ }{{u}_{20}}=55$. Tìm công thức của số hạng tổng quát ${{u}_{n}}$.
b) Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn $\left( {{u}_{n}} \right)$, biết số hạng đầu ${{u}_{1}}=2$, công bội $q=-\frac{1}{2}$.

Câu 2 (2,0 điểm). Tính các giới hạn sau:
a) $\lim \frac{{{2}^{n}}+{{3}^{n+2}}}{{{4}^{n}}-1}$; b) $\lim \left( n+\sqrt[3]{{{n}^{2}}-{{n}^{3}}} \right)$;
c) $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{{{x}^{2}}-x}}{x}$; d) $\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{3-2x}+{{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+2x-2}{{{x}^{3}}-3x+2}$ .

Câu 3 (1,5 điểm). Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, $AB=a,\text{ }AD=\sqrt{2}a$, $SA=a$ và $SA\bot \left( ABCD \right) $.
a) Chứng minh: $BC\bot \left( SAB \right)$.
b) Kẻ đường cao $AH$ của tam giác SAD. Chứng minh:$AH\bot SC$.
c) Gọi $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng qua $A$ và vuông góc với $SC$. Tính góc giữa đường thẳng $BC$ và mặt phẳng $\left( \alpha \right)$.

———– Hết ———–

Mời thầy cô và các em tải đề thi Giữa học kì 2 năm 2017 môn Toán 11 tại đây 2017 GK2 Toan11

04/06/2020