Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x

Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x

Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x là một trong những dạng Phương trình lượng giác thường gặp.

1. Phương trình bậc nhất đối với $\sin x$ và $\cos x$

Dạng tổng quát: $a\sin x+b\cos x=c$ với ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ne 0$

Cách giải: Chia hai vế cho $\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$

Chú ý. Điều kiện nghiệm của phương trình là ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ge {{c}^{2}}$

Ví dụ 1. Giải các phương trình sau:

  1. $\sin x-\sqrt{3}\cos x=1$
  2. $\sin 2x+\cos 2x=\sqrt{2}$
  3. $3\sin x+4\cos x-5=0$
  4. $2\sin x-3\cos x=5$

Ví dụ 2. Giải các phương trình sau:

  1. $\sin x-\cos x=\sqrt{3}$
  2. $\sin x+\sqrt{3}\cos x=\sqrt{3}$
  3. $\sin x+2\cos x=\sqrt{5}$
  4. $\cos 7x-\sqrt{3}\sin 7x+\sqrt{2}=0$

Chú ý. Nhiều phương trình chưa có dạng đang xét thì cần sử dụng công thức lượng giác hoặc đặt ẩn phụ để đưa về dạng đang xét

Ví dụ 3. Giải các phương trình sau:

  1. ${{\cos }^{2}}x+\sqrt{12}\sin x\cos x=1+{{\sin }^{2}}x$
  2. $\sqrt{3}\sin x+\cos x=3+\frac{1}{\sqrt{3}\sin x+\cos x+1}$

Ví dụ 4. Giải các phương trình sau:

  1. $\sqrt{3}\sin x+\cos x=\frac{1}{\cos x}$
  2. $4\sin x+3\cos x+\frac{6}{4\sin x+3\cos x+1}=6$

Chú ý. Cách làm trên cũng được áp dụng khi giải các phương trình có dạng:

  • $a\sin u+b\cos u=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\sin v$
  • $a\sin u+b\cos u=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\cos v$
  • $a\sin u+b\cos u=\pm a\sin v\pm b\cos v$

Ví dụ 5. Giải các phương trình sau:

  1. $\sin x+\sqrt{3}\cos x=2\cos 5x$
  2. $2\sin x+3\cos x=2\cos 3x-2\sin 3x$
  3. $\sqrt{3}\sin 2x-\cos 2x=2\sin 3x$
  4. $\sin x-2\cos x=\cos 3x-2\sin 3x$
  5. $\frac{\cos x-2\sin x.\cos x}{2{{\cos }^{2}}x+\sin x-1}=\sqrt{3}$

Chú ý. Điều kiện có nghiệm của phương trình bậc nhất với $\sin x$ và $\cos x$ cũng được dùng để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của các hàm số lượng giác bằng phương pháp sử dụng định nghĩa tập giá trị.

Ví dụ 6. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của các hàm số sau:

  1. $y=2+3\sin x+4\cos x$
  2. $y=\frac{2+\cos x}{\sin x+\cos x-2}$
  3. $y=\sin x+\sqrt{3}\cos x+2$
  4. $y=f(x)=\frac{\sin x+2\cos x+1}{\sin x+\cos x+2}$
  5. $y=f(x)=3\sin 2x+4{{\cos }^{2}}x$

2. Phương trình thuần nhất bậc cao với sin x và cos x

Phương trình thuần nhất bậc hai với sin x và cos x

Dạng tổng quát: $$a{{\sin }^{2}}x+b\sin x\cos x+c{{\cos }^{2}}x=d$$

Cách giải 1: Chia hai vế cho ${{\cos }^{2}}x$ để đưa về phương trình bậc hai đối với $\tan x$

Ví dụ 1. Giải các phương trình:

  1. ${{\sin }^{2}}x+3\sin x\cos x+2{{\cos }^{2}}x=0$
  2. $4\sin x+3\sqrt{3}\sin x.\cos x-2{{\cos }^{2}}x=4$

Chú ý. Nếu chia hai vế cho ${{\sin }^{2}}x$ thì được phương trình bậc hai đối với $\cot x$

Ví dụ 2. Giải các phương trình:

  1. $3{{\sin }^{2}}x-\sqrt{3}\sin x\cos x+2{{\cos }^{2}}x=2$
  2. $\sin x+(1-\sqrt{3})\sin x\cos x-\sqrt{3}{{\cos }^{2}}x=0$
  3. ${{\sin }^{2}}x-3\sin x\cos x=1$

Chú ý. Trong nhiều trường hợp, phương trình chưa có dạng đang xét thì sử dụng công thức lượng giác biến đổi về dạng đang xét

Ví dụ 3. Giải phương trình:

  1. $3{{\sin }^{2}}x-4\sin 2x-2\cos 2x+5{{\cos }^{2}}x=0$
  2. \sqrt{3}\sin x+\cos x=\frac{1}{\cos x}$

Cách giải 2: Sử dụng công thức hạ bậc hoặc công thức nhân đôi thấy có dạng bậc nhất với sinx và cosx

Ví dụ 1. Giải các phương trình:

  1. ${{\sin }^{2}}x+3\sin x\cos x+2{{\cos }^{2}}x=0$
  2. $\sqrt{3}\sin x+\cos x=\frac{1}{\cos x}$
  3. $3{{\sin }^{2}}x-4\sin 2x-2\cos 2x+5{{\cos }^{2}}x=0$
  4. ${{\cos }^{2}}x-3\sin x\cos x-2{{\sin }^{2}}x-1=0$

2. Phương trình thuần nhất bậc cao (bậc 3) với sin x và cos x

Cách giải hoàn toàn tương tự như trên nhưng không sử dụng công thức hạ bậc mà chia hai vế cho $\sin x$ hoặc $\cos x$ với số mũ cao nhất.

Ví dụ. Giải các phương trình:

  1. $4{{\cos }^{3}}x+2{{\sin }^{3}}x-3\sin x=0$
  2. ${{\sin }^{3}}x+{{\cos }^{3}}x=\sin x-\cos x$
  3. ${{\sin }^{3}}x+{{\cos }^{3}}x=\sin x+\cos x$
  4. $4{{\sin }^{3}}x+3{{\cos }^{3}}x-3\sin x-{{\sin }^{2}}x\cos x=0$
  5. ${{\sin }^{4}}x+{{\cos }^{4}}x=1$

LUYỆN TẬP

Giải các phương trình:

  1. $\cos 7x.\cos 5x-\sqrt{3}\sin 2x=1-\sin 7x.\sin 5x$
  2. $4{{\sin }^{3}}x-1=3\sin x-\sqrt{3}\cos 3x$
  3. $4({{\sin }^{4}}x+{{\cos }^{4}}x)+\sqrt{3}\sin 4x=2$
  4. $\sqrt{2+\cos 2x+\sqrt{3}\sin 2x}=\sin x+\sqrt{3}\cos x$
  5. ${{\sin }^{2}}x-3\sin x\cos x+1=0$
  6. $4\sin x+6\cos x=\frac{1}{\cos x}$
  7. ${{\cos }^{3}}x-4{{\sin }^{3}}x-3\cos x.{{\sin }^{2}}x+\sin x=0$
  8. $2{{\cos }^{3}}x=\sin 3x$