0

Phương trình lượng giác thường gặp

Phương trình lượng giác thường gặp

Mục đích của giải phương trình lượng giác là biến đổi để đưa về các Phương trình lượng giác cơ bản. Một số dạng phương trình lượng giác thường gặp dưới đây cũng không nằm ngoài quy luật đó. Phần bài tập, mời các em học sinh xem trong bài Bài tập phương trình lượng giác thường gặp.

1. Phương trình đa thức đối với một hàm số lượng giác

Cụ thể hơn, chúng ta gặp các phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác. Nâng cao hơn thì sẽ là phương trình bậc ba, phương trình trùng phương bậc bốn đối với một hàm số lượng giác.

Các giải. Đặt ẩn phụ đưa về phương trình $ f(t)=0 $ trong đó $ t $ là một hàm số lượng giác

Chú ý điều kiện cho ẩn phụ nếu có, chẳng hạn đặt $ t=\sin x $ hoặc $ t=\cos x $ thì cần điều kiện $ |t|\le1 $.

Ví dụ 1. Giải phương trình $2\cos^{2}x+\cos x-3=0$.

Hướng dẫn.

Có thể đặt $ t=\cos x $, điều kiện $ |t|\le1 $ và đưa về phương trình $$2t^2+t-3=0.$$

Giải phương trình tìm được $t$ và từ đó tìm được $x$. Tuy nhiên, chúng ta có thể làm ngắn gọn hơn như sau:

Phương trình đã cho tương đương với \begin{align} &2(\cos x-1)(\cos x+\frac{3}{2})=0 \\
\Leftrightarrow &\Bigg[\begin{array}{l} \cos x=1\\ \cos =-\frac{3}{2}\text{ (vô nghiệm)} \end{array} \\
\Leftrightarrow &x=k2\pi.\end{align}

Ví dụ 2. Giải phương trình $\tan2x-2\cot2x+1=0.$

Hướng dẫn. Điều kiện $\begin{cases} \cos2x & \ne0\\ \sin2x & \ne0 \end{cases}\Leftrightarrow\sin4x\ne0\Leftrightarrow x\ne k\frac{\pi}{4}$.

Với điều kiện đó, phương trình đã cho tương đương với:\begin{align} & \tan2x-2\frac{1}{\tan2x}+1=0\\
\Leftrightarrow&\tan^{2}2x+\tan2x-2=0 \\
\Leftrightarrow&(\tan2x-1)(\tan2x+2)=0\\
\Leftrightarrow&\Bigg[\begin{array}{c}
\tan2x=1\\
\tan2x=-2
\end{array}\\
\Leftrightarrow&\Bigg[\begin{array}{c}
x=\frac{\pi}{8}+k\frac{\pi}{2}\\
x=\frac{1}{2}\arctan(-2)+k\frac{\pi}{2}
\end{array}
\end{align}
Ví dụ 3. Giải các phương trình lượng giác sau:

  1. $ 2\cos x\cos2x=1+\cos2x+\cos3x $
  2. $ 5(1+\cos x)=2+\sin^4x-\cos^4 x $
  3. $ \sin^4 x+\cos^4 x=\sin2x-\frac{1}{2} $
  4. $ 2\cos3x\cos x-4\sin^2 2x=0 $
  5. $ \frac{1}{\sin^2 x \cos^2 x}+\frac{1}{\sin x\cos x}=2 $
  6. $ \tan x+\frac{3}{\cot x}-4=0 $
  7. $ \tan x+4\cot x+5=0 $
  8. $ \frac{3}{\cos^2 x}=3+2\tan^2x $
  9. $ \cos^2 x-2\cos x+\frac{2}{\cos x}+\frac{1}{\cos^2 x}=1 $

Đáp số.

  1. $ x=\frac{\pi}{2}+k\pi,x=\pm \frac{\pi}{3}+k2\pi.$
  2. $ x=\pm \frac{2\pi}{3}+k2\pi $
  3. $ x=\frac{\pi}{4}+k\pi $
  4. $ x=\frac{\pi}{2}+k\pi,x=\pm\frac{1}{2}\arccos\frac{5}{6}+k\pi $
  5. $ x=-\frac{\pi}{4}+k\pi,x=\frac{5\pi}{4}+k\pi $
  6. $ x=\frac{\pi}{4}+k\pi $
  7. $ x=-\frac{\pi}{4}+k\pi,x=\arctan(-4)+k\pi $
  8. $ x=k\pi $
  9. $ x=\pm\arccos\frac{3-\sqrt{5}}{2}+k2\pi $

Ví dụ 4. Giải các phương trình sau:

  1. $ 4\sin^3x-8\sin^2x+\sin x+3=0 $
  2. (CĐSPHN05) $ 4\cos^3x-2\cos x-1=\cos2x $
  3. (Luật2000) $ 4(\sin3x-\cos2x)=5(\sin x-1) $
  4. $ \sin2x+2\tan x=3 $

Hướng dẫn.

  1. $ \frac{\pi}{2}+k2\pi,-\frac{\pi}{6}+k2\pi,\frac{7\pi}{6}+k2\pi $
  2. $ \frac{\pi}{2}+k\pi,k2\pi,\pm \frac{2\pi}{3}+k2\pi $
  3. $ \frac{\pi}{2}+k2\pi,\arcsin(-\frac{1}{4})+k2\pi,\pi-\arcsin(-\frac{1}{4})+k2\pi $
  4. Sử dụng công thức biến đổi $ \sin2x $ theo $\tan x $. Đáp số $ x=\frac{\pi}{4}+k\pi. $

Ví dụ 5. [NNHN 2000] Giải phương trình $$ 2\cos 2x-8\cos x+7=\frac{1}{\cos x}$$

Hướng dẫn. Điều kiện $ \cos x\ne 0. $ Đặt $ t=\cos x $ ta được phương trình \begin{align} & 4t^3-8t^2+5t-1=0 \\
\Leftrightarrow &\left[\begin{array}{l}t=1 \\t=\frac{1}{2} \end{array}\right. \\
\Leftrightarrow &\left[\begin{array}{l}\cos x=1 \\ \cos x=\frac{1}{2} \end{array}\right. \\
\Leftrightarrow &\left[\begin{array}{l}x=k2\pi \\x=\pm \frac{\pi}{3}+k2\pi \end{array}\right.\end{align}

Ví dụ 6. Giải các phương trình sau:

  1. $ \cos(2x+\frac{\pi}{4})+\cos(2x-\frac{\pi}{4})+4\sin x=2+\sqrt{2}(1-\sin x) $
  2. $ 1-\cos(\pi+x)-\sin(\frac{3\pi+x}{2})=0 $
  3. $ \frac{4\sin^2 2x+6\sin^2 x-9-3\cos2x}{\cos x} =0$
  4. $ \cot(\frac{3\pi}{2}+x)-\tan^2x=\frac{\cos2x-1}{\cos^2x} $
  5. $ \cos2(x+\frac{\pi}{3})+4\cos(x-\frac{\pi}{6})=\frac{5}{2} $
  6. $ \cos^2(3x+\frac{\pi}{2})-\cos^23x-3\cos(\frac{\pi}{2}-3x)+2=0 $
  7. $ \sin^8x+\cos^8x=\frac{17}{16}\cos^22x $
  8. $ 8\cos^3(x+\frac{\pi}{3})=\cos3x $

Hướng dẫn.

  1. $ -2(\sin x-\sqrt{2})(\sin x-\frac{1}{2})=0 $
  2. $ 1+\cos x+\cos\frac{x}{2}=0 \Leftrightarrow x=\pi+k4\pi,\pm \frac{4\pi}{3}+k4\pi $
  3. Đưa về phương trình bậc hai theo $ \cos2x. $ Đáp số $ \pm \frac{\pi}{3}+k\pi,\frac{\pi}{2}+k\pi $ (loại)
  4. Đưa về phương trình theo $ \tan x. $ Đáp số $ k\pi,\frac{\pi}{4}+k\pi $
  5. $ 1-2\sin^2(x+\frac{\pi}{3})+4\sin(x-\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{2})=\frac{5}{2}. $ Đáp số $ -\frac{\pi}{6}+k2\pi,\frac{\pi}{2}+k2\pi. $
  6. Đưa về phương trình bậc hai theo $ \sin3x. $ Đáp số $ \frac{\pi}{6}+k\frac{2\pi}{3},\frac{\pi}{18}+k\frac{2\pi}{3},\frac{5\pi}{18}+k\frac{2\pi}{3}. $
  7. Đưa về phương trình trùng phương theo $ \sin2x. $ Đáp số $ \pm \frac{\pi}{8}+k\pi, \pm \frac{3\pi}{8}+k\pi.$
  8. $ 8\cos^3(x+\frac{\pi}{3})=-\cos(3x+\pi) \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{6}+k\pi,\pm\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{3}+k2\pi,\pm\frac{3\pi}{4}-\frac{\pi}{3}+k2\pi. $

2. Phương trình bậc nhất đối với $ \sin x $ và $ \cos x $

Dạng phương trình: $$a\sin x+b\cos x=c,~~(a^{2}+b^{2}\ne0)$$

Cách giải: Chia cả hai vế của phương trình cho $\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ ta được \[ \frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\sin x+\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\cos x=\frac{c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \]
Đặt $\cos\alpha =\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}},\sin\alpha =\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$ đưa về phương trình $ \sin(x+\alpha)=\frac{c}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}. $ Đây chính là Phương trình lượng giác cơ bản đã biết cách giải.

Chú ý: Phương trình có nghiệm khi $ a^2+b^2\ge c^2 $

Ví dụ. Giải các phương trình sau:

  1. $ \sin x+\sqrt{3}\cos x=2 $
  2. $ \sin x+\cos x=1 $
  3. $ 3\sin x+4\cos x=5 $
  4. $\sin x+2\cos x=3$
  5. (CĐ08) $ \sin3x-\sqrt{3}\cos3x=2\sin2x $
  6. $ \cos7x\cos5x-\sqrt{3}\sin2x=1-\sin7x\sin5x $
  7. $ 3\cos^2 x=\sin^2 x+\sin 2x $
  8. $ \sin8x-\cos6x=\sqrt{3}(\sin 6c+\cos8x) $
  9. $ \sqrt{3}\sin x+\cos x=\frac{1}{\cos x} $
  10. $ \sin x(1-\sin x)=\cos x(\cos x-1) $
  11. $ (\sin2x+\sqrt{3}\cos2x)^2-5=\cos(2x-\frac{\pi}{6}) $
  12. $ \cos^4 x+\sin^4 (x+\frac{\pi}{4})=\frac{1}{4}. $
  13. $ 8\sin x=\frac{\sqrt{3}}{\cos x}+\frac{1}{\sin x} $
  14. $ 4(\sin^4x+\cos^4x)+\sqrt{3}\sin4x=2 $

Hướng dẫn.

  1. Bạn đọc tự làm.
  2. Bạn đọc tự làm.
  3. Bạn đọc tự làm.
  4. Phương trình vô nghiệm.
  5. Đưa về $ \sin(3x-\frac{\pi}{3})=\sin2x. $ Đáp số $ x=\frac{\pi}{3}+k2\pi,x=\frac{4\pi}{15}+k\frac{2\pi}{5}. $
  6. Đáp số $ x=k\pi,x=-\frac{\pi}{3}+k\pi. $
  7. Hạ bậc, đưa về $ 2\cos2x-\sin2x=-1. $
  8. Bạn đọc tự làm.
  9. Biến đổi thành $ \sqrt{3}\sin2x+\cos2x=1 $.
  10. Nhân vào được $ \sin x+\cos x=1. $ Đáp số $ x=k2\pi,x=\frac{\pi}{2}+k2\pi. $
  11. Đưa về phương trình bậc hai của $ \cos(2x-\frac{\pi}{6}). $ Đáp số $ x=\frac{7\pi}{12}+k\pi. $
  12. Hạ bậc, đưa về phương trình $ \sin2x+\cos2x=-1. $ Đáp số $ x=k\pi,x=\frac{\pi}{2}+k\pi. $
  13. Qui đồng được $ 3\cos x-4\cos x\cos2x=\sqrt{3}\sin x. $ Áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng được phương trình $2\cos3x=\cos x-\sqrt{3}\sin x \Leftrightarrow \cos3x=\cos(x-\frac{\pi}{3}). $ Đáp số $ x=-\frac{\pi}{6}+k\pi,x=\frac{\pi}{12}+k\frac{\pi}{2}. $
  14. Hạ bậc, đưa về phương trình $ \cos(4x-\frac{\pi}{3})=\cos\frac{2\pi}{3}. $ Đáp số $ x=\frac{\pi}{4}+k\frac{\pi}{2},x=-\frac{\pi}{12}+k\frac{\pi}{2}. $

3. Phương trình thuần nhất bậc hai đối với $ \sin x $ và $ \cos x $

Loại phương trình này còn được gọi là phương trình đẳng cấp bậc hai đối với $ \sin x $ và $ \cos x $. Dạng nâng cao, chúng ta có thể gặp phương trình thuần nhất bậc ba đối với $ \sin x $ và $ \cos x $, cách làm cũng tương tự.

Dạng phương trình $$a\sin^2 x+b\sin x\cos x+c\cos^2x=0$$
Cách giải. Ta xét hai trường hợp:

  • Nếu $ \cos x=0 \Leftrightarrow \sin x=\pm1.$ Ta thay vào phương trình xem có thỏa mãn không?
  • Nếu $ \cos x\ne0, $ chia cả hai vế phương trình cho $ \cos^2 x $ đưa về phương trình bậc hai đối với $ \tan x. $

Chú ý:

  • Có thể hạ bậc để đưa về phương trình bậc nhất với $ \sin2x $ và $ \cos2x. $
  • Phương trình $a\sin^2 x+b\sin x\cos x+c\cos^2x=d$ cũng giải tương tự bằng cách xét hai trường hợp, khi đó sử dụng $ \frac{1}{\cos^2 x}=1+\tan^2 x. $

Ví dụ 1. Giải các phương trình sau:

  1. $ \sin^2 x+2\sin x\cos x+3\cos^2x-3=0 $
  2. $ \sin^2x-3\sin x\cos x+1=0 $
  3. $ 4\sqrt{3}\sin x\cos x+4\cos^2x=2\sin^2x+\frac{5}{2} $
  4. $ \cos^2x+\frac{3}{2}\sin2x+1=0 $
  5. (An Ninh 98) $ \sqrt{3}\sin x+\cos x=\frac{1}{\cos x} $
  6. $ 3\sin^2(3\pi-x)+2\sin(\frac{5\pi}{2}+x)\cos(\frac{\pi}{2}+x)-5\sin^2(\frac{3\pi}{2}+x)=0 $

Hướng dẫn.

  1. $ x=k\pi,x=\frac{\pi}{4}+k\pi. $
  2. $ x=\frac{\pi}{4}+k\pi,x=\arctan(\frac{1}{2})+k\pi. $
  3. $ x=\frac{\pi}{3}+k\pi,x=\arctan(\frac{-\sqrt{3}}{9})+k\pi. $
  4. $ x=-\frac{\pi}{4}+k\pi,x=\arctan(-2)+k\pi. $
  5. $ x=k\pi,x=\frac{\pi}{3}+k\pi. $
  6. $ 3\sin^2x-2\sin x\cos x-5\sin^2x=0. $ Đáp số $ x=-\frac{\pi}{4}+k\pi,x=\arctan\frac{5}{3}+k\pi. $

Ví dụ 2. [Đại học Y Dược Thành phố Hồ Chí Minh 1997] Giải phương trình: $$ \sin x.\sin 2x+\sin 3x=6{{\cos }^{3}}x $$
Hướng dẫn. Phương trình đã cho tương đương với \[4{{\sin }^{3}}x-3\sin x-2{{\sin }^{2}}x\cos x+6{{\cos }^{3}}x=0\]
Tìm được $ \tan x=2, \tan x=\pm \sqrt{3}. $

Ví dụ 3. [TS Nha Trang 2000] Cho phương trình $$ \cos^2 x-\sin x\cos x-2\sin^2x-m=0 .$$

  1. Giải phương trình khi $ m=1. $
  2. Giải và biện luận theo $ m. $

Hướng dẫn.

  1. Khi $ m=1, $ đáp số $ x=k\pi,x=\arctan(-\frac{1}{3})+k\pi. $
  2. Ta xét hai trường hợp:
    • Nếu $ \cos^2 x=0 $ thì PT $ \Leftrightarrow 2\sin^2x=m. $ Do đó, phương trình có nghiệm khi và chỉ khi $$ -\frac{m}{2}=1 \Leftrightarrow m=-2. $$ Khi đó nghiệm là $ x=\frac{\pi}{2}+k\pi. $
    • Nếu $ \cos^2x\ne 0 \Leftrightarrow m\ne -2 $ thì ta chia hai vế của phương trình đã cho cho $ \cos^2 x $ được \begin{align*}
      &1-\tan x-2\tan^2 x-m(1+\tan^2x)=0\\
      \Leftrightarrow &(m+2)\tan^2x+\tan x+m-1=0
      \end{align*} là phương trình bậc hai có $ \Delta=-4m^2-4m+9. $

Từ đó có kết luận: Khi $ m\in(-\infty,\frac{1-\sqrt{10}}{2})\cup(\frac{1+\sqrt{10}}{2},+\infty)\setminus\{-2\} $ thì phương trình vô nghiệm và có nghiệm trong các trường hợp còn lại.

Ví dụ 4. Giải các phương trình sau:

  1. (NT96) $ \cos^3x-3\sin^3x+\sin x \cos^2x=3\cos x \sin^2x $
  2. (LHN96) $ 4\sin^3x+3\cos^3x-3\sin x=\sin^2x\cos x $
  3. (YHN99) $ \sin x+\cos x-4\sin^3x=0 $
  4. (QGHN96) $ 1+3\sin 2x=2\tan x $
  5. (QGHN98) $ 8\cos^3\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=\cos 3x $
  6. $ 2\sin x+2\sqrt{3} \cos x=\frac{\sqrt{3}}{\cos x}+\frac{1}{\sin x} $

Hướng dẫn.

  1. Chia hai vế cho $ \cos^3x $ được phương trình $ -3\tan^3x-3\tan^2x+\tan x+1=0. $ Đáp số $ x=-\frac{\pi}{4}+k\pi,\pm \frac{\pi}{3}+k\pi. $
  2. Chia hai vế cho $ \cos^3x $ được phương trình $ (\tan x-1)(\tan^2x-3)=0. $ Đáp số $ x=\frac{\pi}{4}+k\pi, x=\pm \frac{\pi}{3}+k\pi. $
  3. Chia hai vế cho $ \cos^3x, $ được phương trình $ (\tan x-1)(3\tan^2x+2\tan x+1)=0. $ Đáp số $ x=\frac{\pi}{4}+k\pi. $
  4. Điều kiện $ \cos x\ne0. $ Chia hai vế cho $ \cos^2x, $ được phương trình $$ (\tan x+1)(2\tan^2x-3\tan x-1)=0 $$ Đáp số $ x=-\frac{\pi}{4}+k\pi, x=\arctan\frac{3\pm \sqrt{17}}{4}+k\pi. $
  5. Biến đổi thành $ (\cos x-\sqrt{3}\sin x)^3-3\cos x+4\cos^3x=0. $ Chia hai vế cho $ \cos^3x $ được phương trình $$ 3\sqrt{3}\tan^3x-12\tan^2x+3\sqrt{3}\tan x=0 $$ Đáp số $ x=k\pi,x=\frac{\pi}{6}+k\pi,x=\frac{\pi}{3}+k\pi. $
  6. Điều kiện $ \sin x\cos x\ne0. $ Qui đồng rồi chia hai vế cho $ \cos^3x $ được phương trình \[ \sqrt{3}\tan x-\tan^2x-\sqrt{3}\tan x+1=0 \] Đáp số $ x=\pm \frac{\pi}{4}+k\pi, x=\frac{\pi}{6}+k\pi. $

4. Phương trình đối xứng đối với $ \sin x $ và $ \cos x $

Phương trình đối xứng đối với $ \sin x $ và $ \cos x $ có dấu hiệu nhận biết là: Khi thay $ \sin x $ bởi $ \cos x $ và $ \cos x $ bởi $ \sin x $ thì phương trình không thay đổi.

Cách giải. Đặt $t=\sin x\pm\cos x=\sqrt{2}\sin(x\pm \frac{\pi}{4})$, điều kiện $|t|\le\sqrt{2}$ thì $\sin x\cos x=\pm\frac{t^{2}-1}{2}$ đưa về phương trình đa thức đối với $ t. $

Lưu ý. Phương trình lượng giác đối xứng đối với $ \tan x $ và $ \cot x $ ta thay $ \tan x=\frac{\sin x}{\cos x},\cot x=\frac{\cos x}{\sin x} $ và chuyển về phương trình đối xứng với $ \sin x,\cos x $.

Ví dụ 1. Đánh giá lời giải sau:

Giải phương trình: $ \cos x-\sin x+\sin x\cos x=1. $
Đặt $ t=\cos x-\sin x, $ điều kiện $ |t|\le \sqrt{2}, $ thì $ \sin 2x=1-t^2. $ Phương trình trở thành $ t^2-2t+1=0 \Leftrightarrow t=1. $ Do đó $ \sin 2x=0 \Leftrightarrow x=k\frac{\pi}{2}. $

Hướng dẫn. Sai vì ở bước $ t=\cos x-\sin x $ ta bình phương để suy ra $ \sin x\cos x=\frac{1-t^2}{2} $ là phép biến đổi hệ quả!

Chú ý. Tìm được nghiệm $ t $, ta thay vào $ t=\sqrt{2}\sin(x\pm \frac{\pi}{4}) $ không được thay vào $ \sin x\cos x=\pm\frac{t^{2}-1}{2}. $

Ví dụ 2. Giải các phương trình sau:

  1. $ \sin x+\cos x-2\sin x\cos x-1=0 $
  2. $ (1-\sin x\cos x)(\sin x+\cos x)=\frac{\sqrt{2} }{2} $
  3. $ \cos x+\frac{1}{\cos x}+\sin x+\frac{1}{\sin x}=\frac{10}{3} $
  4. $ \sin^3x+\cos^3x=\frac{\sqrt{2} }{2} $
  5. $ \sin x-\cos x+7\sin2x=1 $
  6. $ (1+\sqrt{2})(\sin x-\cos x)+2\sin x\cos x=1+\sqrt{2}. $
  7. (NNHN2000) $ \sin2x+\sqrt{2}\sin(x-\frac{\pi}{4})=1. $

Hướng dẫn.

  1. Đặt $t=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4}),$ điều kiện $ |t|\le \sqrt{2}, $ được phương trình $ t-t^2=0.$ Đáp số $ x=… $
  2. Đặt $t=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4}),$ điều kiện $ |t|\le \sqrt{2}, $ được phương trình $$ t^3-3t+\sqrt{2}=0 \Leftrightarrow (t-\sqrt{2})(t^2+\sqrt{2} t-1)=0. $$ Đáp số $ x=\frac{\pi}{4}+k2\pi,x=-\frac{\pi}{4}+\arcsin\frac{1-\sqrt{3} }{2}+k2\pi,x=\frac{3\pi}{4}+\arcsin\frac{-1+\sqrt{3} }{2}+k2\pi. $
  3. Điều kiện $ \sin x\cos x\ne0. $ Qui đồng, đặt $ t=… $ Đáp số $ x=\frac{\pi}{4}\pm \arccos\frac{2-\sqrt{19}}{3\sqrt{2}}+k2\pi. $
  4. Đưa về phương trình $$ t^3+3t-\sqrt{2}=0 \Leftrightarrow -(t-\sqrt{2})(t^2+\sqrt{2} t-1)=0. $$ Đáp số $ x=\frac{\pi}{4}+k2\pi,x=-\frac{\pi}{4}+\arcsin\frac{1-\sqrt{3}}{2}+k2\pi,x=\frac{3\pi}{4}+\arcsin\frac{1-\sqrt{3} }{2}+k2\pi. $
  5. Đưa về PT $ -7t^2+t+6=0. $ Đáp số $ x=-\pi+k2\pi,x=\frac{\pi}{2}+k2\pi,x=-\frac{\pi}{4}\pm\arccos(\frac{3\sqrt{2}}{7})+k2\pi. $
  6. Đưa về phương trình $ t^2-(1+\sqrt{2})t+\sqrt{2}=0. $ Đáp số $ x=-\pi+k2\pi,x=\frac{\pi}{2}+k2\pi,x=\frac{3\pi}{4}+k2\pi. $
  7. Đưa về phương trình $ -t^2+t=0. $ Đáp số $ x=\pi_k2\pi,x=\frac{\pi}{2}+k2\pi,x=\frac{\pi}{4}+k2\pi. $

Ví dụ 3. [Đại Học Huế 2001] Cho phương trình: $$ {{\sin }^{4}}x+{{\cos }^{4}}x=m\sin 2x-\frac{1}{2} $$

  1. Giải phương trình với $ m=1 $
  2. Chứng minh rằng $ \forall \left| m \right|\ge 1 $ phương trình luôn có nghiệm.

Hướng dẫn.

  1. Biến đổi phương trình thành \[ {{\sin }^{2}}2x+2m\sin 2x-3=0\]
  2. Khi $ m=1, $ phương trình có nghiệm $ x=\frac{\pi }{4}+k\pi \left( k\in \mathbb{Z} \right) $ Sử dụng định lí đảo…

Ví dụ 4. [Vô địch NewYork 1973] Giải phương trình $$ {{\sin }^{8}}x+{{\cos }^{8}}x=\frac{97}{128}$$

Hướng dẫn. Hạ bậc, đưa về phương trình \[\Leftrightarrow {{\left( \cos 2x+1 \right)}^{4}}+{{\left( \cos 2x-1 \right)}^{4}}=\frac{97}{8}\]
Đặt $ t=\cos 2x. $ Đáp số $ x=\pm \frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{2}$.

Ví dụ 5. Giải các phương trình:

  1. $ \sqrt{2}(\sin x+\cos x)=\tan x+\cot x $
  2. $ 3(\tan x+\cot x)=2(2+\sin 2x) $

Hướng dẫn.

  1. Điều kiện $ \sin x\cos x\ne0. $ Phương trình đã cho tương đương với \begin{align*}
    &\sqrt{2}(\sin x+\cos x)=\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\sin x}\\
    \Leftrightarrow & \sqrt{2}(\sin x+\cos x)=\frac{2}{\sin 2x}
    \end{align*} Đặt $t=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4}),$ điều kiện $ |t| \le \sqrt{2}, $ được phương trình $$ t^3-t-\sqrt{2}=0 \Leftrightarrow (t-\sqrt{2})(t^2+\sqrt{2} t+1)=0.$$ Đáp số $ x=\frac{\pi}{4}+k\pi. $
  2. Đáp số $ x=\frac{\pi}{4}+k\pi. $

hocbaicungcon

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *