âm thanh lớp học, loa trợ giảng

SKKN Kinh nghiệm phát triển các bài hình trong sách giáo khoa Toán 7 theo hướng dạy học phân hóa

SKKN Kinh nghiệm phát triển các bài hình trong sách giáo khoa Toán 7 theo hướng dạy học phân hóa

Xem bản đầy đủ trên google drive: TẠI ĐÂY

Các thầy cô cần file liên hệ với chúng tôi tại fanpage facebook O2 Education

Hoặc xem nhiều SKKN hơn tại:  Tổng hợp SKKN luận văn luận án O2 Education

ĐIỀU KIỆN HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN
Chúng ta đang sống trong thời đại Cách mạng Công nghiệp lần thứ tư đã
và đang diễn ra một cách nhanh chóng, mạnh mẽ, gây tác động sâu sắc đến mọi
lĩnh vực của đời sống xã hội. Trong kỷ nguyên số hóa, giáo dục đang có sự thay
đổi sâu rộng từ môi trường giáo dục, vai trò của người dạy, người học đến
phương pháp dạy học. Giáo dục phổ thông trong bối cảnh Cách mạng công
nghiệp 4.0 cũng đang thay đổi lớn trong mục tiêu và cách thức dạy học, chuyển
từ truyền thụ kiến thức sang khai phóng tiềm năng, đồng thời trao quyền sáng
tạo cho từng học sinh. Người dạy sẽ chuyển sang vai trò mới là người thiết kế,
xúc tác, cố vấn và tạo môi trường học tập. Mục tiêu chương trình được thay đổi
từ chỗ chủ yếu yêu cầu học sinh trả lời câu hỏi “Biết cái gì?” thành luôn đặt ra
câu hỏi “Biết làm gì từ những điều đã biết?”. Mục tiêu cuối cùng của dạy học
không phải là biết thật nhiều mà là năng lực cần có để sống tốt hơn, làm việc
hiệu quả hơn, đáp ứng được những yêu cầu của xã hội đang thay đổi từng ngày.
Dạy học theo định hướng phát triển năng lực nhằm mục tiêu phát triển
năng lực chuyên môn bao gồm tri thức, kỹ năng chuyên môn, phát triển năng lực
phương pháp, năng lực xã hội và năng lực cá thể, hình thành các phẩm chất của
người lao động trong thời đại mới.
Dạy học theo định hướng phát triển năng lực chính là hướng tới phân hóa
các đối tượng học sinh. Theo đó, giáo viên cần nắm bắt đầy đủ các đặc điểm về
khả năng tư duy, phong cách và sở thích học tập của học sinh để thực hiện các
tác động phù hợp nhằm phát triển năng lực tư duy dựa trên khả năng đã có của
các em. Trong quá trình đó, toán học đóng góp một phần quan trọng, đặc biệt là
phân môn hình học. Bởi vì khả năng tư duy của học sinh được bộc lộ khá rõ nét
trong quá trình học hình. Thực tế cho thấy, nhiều học sinh chưa có phương pháp
học hình, không biết cách sử dụng hiệu quả tài liệu học tập và thường gặp nhiều
khó khăn khi giải các bài tập hình. Do đó tỉ lệ học sinh đạt mức khá giỏi hình
còn thấp. Thực hiện đổi mới phương pháp, với mục tiêu là đảm bảo những yêu
cầu cơ bản đối với đối tượng đại trà đồng thời phát triển được năng lực tư duy
hình học của đối tượng khá giỏi trong môi trường lớp học có nhiều đối tượng
học sinh trình độ khác nhau, cũng như rèn luyện cho học sinh thói quen và
phương pháp tự học, tôi chú trọng tới việc khai thác, phát triển các bài tập hình
học đặc biệt là các bài trong sách giáo khoa. Hầu hết các bài tập trong sách giáo
khoa đều ở mức độ cơ bản. Chúng được tôi phát triển thêm theo hướng mà các
kiến thức trọng tâm được nhắc lại, phương pháp chứng minh được tái hiện trong
một hình vẽ mới gồm các yêu cầu phù hợp với nhiều đối tượng học sinh. Với
học sinh lớp 7, hình học là một phần vẫn còn khá mới mẻ và trừu tượng cả về
mặt kiến thức lẫn phương pháp. Vì vậy, tôi nghĩ rằng, cần phải làm thường
xuyên để hình thành thói quen và phương pháp học tập cho các em ngay từ lớp
7.
3
II. MÔ TẢ GIẢI PHÁP
1. Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến
1.1. Vài nét về dạy học phân hóa
Dạy học phân hóa chính là cách dạy học tích cực, dạy học chú trọng rèn
luyện phương pháp tự học. Nếu rèn luyện cho người học có được phương pháp,
kĩ năng, thói quen, ý chí tự học, biết linh hoạt ứng dụng những điều đã học vào
những tình huống mới, biết tự lực phát hiện và giải quyết những vấn đề đặt ra thì
sẽ tạo cho họ lòng ham học, khơi dậy nội lực vốn có trong mỗi con người, kết
quả học tập sẽ được nhân lên gấp bội, người học sẽ không chỉ “học một biết
mười” như cha ông ta thường nói mà người học còn chuẩn bị để tiếp tục tự học
khi đã vào đời, dễ dàng thích ứng với cuộc sống lao động, công tác trong xã hội.
Dạy học phân hóa đáp ứng yêu cầu cá thế hoá hoạt động học tập theo nhu
cầu và khả năng của mỗi học sinh, đáp ứng với sở thích, phong cách học tập
khác nhau của cá nhân học sinh. Nhờ có các phương tiện dạy học hiện đại, yêu
cầu phân hóa dễ dàng được triển khai hơn. Thực hiện dạy học tích cực, vai trò
của giáo viên không hề bị hạ thấp mà trái lại có yêu cầu cao hơn nhiều.
1.2. Các bước dạy giải bài tập hình
Khi dạy học sinh giải một bài tập hình tôi thường thực hiện theo các bước:
Bước 1: Vẽ hình, ghi giả thiết kết luận
Những lưu ý ở bước này đó là: không vẽ hình trong trường hợp đặc biệt
của bài toán nếu không cho đặc biệt (vì dễ bị ngộ nhận tính chất), đôi khi phải
vẽ hình xuất phát từ kết luận (ví dụ cho tam giác ABC có 2 đường trung tuyến
BM và CN. Biết BM = CN. Chứng minh tam giác ABC cân), cần chú ý các bài
toán có giả thiết riêng.
Bước 2: Hướng dẫn phân tích, tìm hướng giải
Tôi thường hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp phân tích đi lên và
tổng hợp, dự đoán nhờ nhận xét trực quan, thực hành hoặc hoạt động thực tiễn,
chú ý xem xét yếu tố đã có, tương tự cái đã có.
Bước 3: Hướng dẫn trình bày lời giải.
Bước 4: Kiểm tra lời giải
Bước 5: Khai thác, phát triển bài toán
Tuy vậy tôi chưa thực sự chú trọng tới bước khai thác, phát triển bài toán
nhất là từ tài liệu mà học sinh nào cũng có là sách giáo khoa để rèn cho học sinh
phương pháp tự học cũng như hứng thú từ những bài tập đơn giản trong sách.
1.3. Thực trạng dạy và học hình
Thực tế trong nhiều trường THCS cho thấy, tổ chức lớp hiện nay vẫn có
số lượng học sinh khá đông, chênh lệch nhiều về trình độ. Trong khi đó, giáo
viên dạy trên lớp hay giao bài đồng loạt không sát khả năng, yêu cầu quá sức
hay yêu cầu quá dễ và việc dạy giải bài tập hình hầu hết mới chỉ dừng lại ở bước
4. Tất cả đều không tạo được động lực học tập, không có tác dụng phát triển
năng lực ở nhiều đối tượng học sinh thậm chí còn gây tâm lí chán nản.
4
2. Mô tả giải pháp sau khi có sáng kiến
2.1. Chuẩn bị các điều kiện áp dụng
Để hoạt động phát triển các bài toán có hiệu quả trong việc nâng cao năng
lực nhất là với đối tượng khá giỏi thì cần
– Khảo sát để nắm được trình độ, khả năng học tập, sở thích, phong cách học tập,
kinh nghiệm của học sinh, phân chia học sinh thành các nhóm trình độ khác
nhau.
– Tư vấn, hướng dẫn phương pháp học tập học sinh để nắm vững các định nghĩa,
định lí hình học. Học sinh hiểu được vai trò và những lợi ích của học tập tích
cực và chủ động.
2.2. Các giải pháp
– Trong quá trình giảng dạy, khi dạy khái niệm tôi chú ý làm tốt khâu dạy học
sinh thể hiện khái niệm (vẽ hình), hướng dẫn học sinh bổ sung, tổng kết phương
pháp chứng minh hình sau khi học một khái niệm hoặc định lí hình học mới. Đối
với học sinh khá giỏi, tôi cung cấp cho học sinh những hiểu biết về: đặc biệt
hóa, tổng quát hóa, tương tự, phương pháp phản chứng, các loại mệnh đề thuận,
đảo, phản, phản đảo ngay khi có cơ hội trong các tiết lí thuyết để bồi dưỡng cho
học sinh khả năng tự học, thói quen xem xét một vấn đề, mở rộng, phát hiện đề
xuất các vấn đề mới.
– Trong quá trình dạy giải các bài tập, tôi khai thác, phát triển thêm các bài tập,
đặc biệt là các bài tập trong sách giáo khoa, qua đó rèn cho học sinh phương
pháp tự học cũng như hứng thú học tập bộ môn.
Ở bước này tùy thuộc đối tượng học sinh hay nội dung bài mà tôi có thể
sử dụng hoặc hướng dẫn học sinh các kĩ thuật để có bài toán mới như: đặc biệt
hóa, tổng quát hóa, tương tự, thiết lập mệnh đề đảo (đổi chỗ giả thiết và kết luận
cho nhau, hoặc giữ lại một phần giả thiết của mệnh đề thuận làm giả thiết
chung), bổ sung yếu tố mới, thay đổi một yếu tố hoặc nêu một bài toán mà việc
giải quyết sẽ cho một kết quả mới.
– Đối với đa số các bài toán, yêu cầu đối với học sinh đại trà thường là dừng lại
ở ý thứ nhất hoặc thứ hai của bài toán, còn đối tượng khá giỏi thì yêu cầu sẽ cao
hơn. Sau đây là một số ví dụ mà tôi đã thực hiện:
Chủ đề “Tổng 3 góc của một tam giác”
* Hình 57 của bài tập 6 trang 109 SGK Toán 7 tập 1

Tìm số đo x trên hìnhThông thường học sinh sẽ đề xuất
cách giải như sau: Tính số đo của
hoặc rồi từ đó tính số đo
x.

x
600
N I P
M NMI NPM
5
Phát triển:
? Nếu thay đổi số đo của INM không phải là 600 nữa mà là 350. Vậy x bằng bao
nhiêu? Hoặc thay bằng 470 thì số đo x bằng bao nhiêu?
? So sánh số đo x với INM trong từng trường hợp
? Nếu không cho số đo INM thì có thể chứng minh số đo x bằng INM như thế
nào?
Từ đó học sinh có thể lựa chọn một trong 2 cách trình bày:
Có MI ⊥ NP tại I (gt)
 = MIN 900 (đ/n 2 đường thẳng vuông góc)
 IMN vuông ở I (đ/n tam giác vuông)
 + = INM IMN 900 (trong tam giác vuông 2 góc nhọn phụ nhau)
Thay số ta được 60 90 0 0 + = IMN  = IMN 300
Có MNP vuông ở M (gt)
 = PMN 900 (đ/n tam giác vuông)
 + = IMN IMP 900
Thay số ta được  + = 30 90 0 0 IMP  = IMP 600
Hoặc: Có MI ⊥ NP tại I (gt)
 = MIN 900 (đ/n 2 đường thẳng vuông góc)
 IMN vuông ở I (đ/n tam giác vuông)
 + = INM IMN 900 (trong tam giác vuông 2 góc nhọn phụ nhau) (1)
Có MNP vuông ở M (gt)  = PMN 900 (đ/n tam giác vuông)
 + = IMN IMP 900 (2)
Từ (1) và (2)  = IMP INM (cùng phụ với IMN )
Mà INM = 600 (gt)  = IMP 600
Lưu ý: Một phương pháp chứng minh 2 góc thường sử dụng đó là chứng minh 2
góc cùng phụ với góc thứ 3 (hoặc phụ với 2 góc bằng nhau)
* Tương tự như trên học sinh có thể giải quyết ngay được các yêu cầu của
bài tập 7 trang 109 SGK Toán 7 tập 1
B H C
A

Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ AH
vuông góc với BC (H BC).
a) Tìm các cặp góc phụ nhau trong hình vẽ.
b) Tìm các cặp góc nhọn bằng nhau trong hình
vẽ.

 Phát triển (dành cho đối tượng khá giỏi trong lớp):
6
Q
P
H
B
A
C

c) Các tia phân giác của các góc
và cắt nhau ở P. Chứng minh
và là 2 góc phụ nhau.
d) Tia phân giác của cắt CP tại Q.
Tính

BAH
ACH PAC PCA CAH AQC
Hướng dẫn:
c) Có AP là tia phân giác của BAH 1
2
 = BAP BAH
Có CP là tia phân giác của ACH 1
2
 = PCA ACH
Lại có BAH = ACH  = BAP PCA
Mà BAP PAC BAC + = = 900  + = PCA PAC 900 (đpcm)
d) Có AQ là tia phân giác của CAH 1
2
 = QAH CAH
Có AP là tia phân giác của BAH 1
2
 = HAP BAH
Do đó QAH PAH CAH BAH + = + 12( )  = = QAP BAC 12 450
Xét  PAC có PCA PAC APC + + =1800
Mà PCA PAC + = 900 (cmt)  = APC 900
Có AQC là góc ngoài của  APQ nên
AQC APQ PAQ = + = 900 + 450 = 1350
Hoặc: Có AQ là tia phân giác của CAH 1
2
 = QAC CAH
CP là tia phân giác của 1
2
 = PCA ACH hay 1
2
QCA ACH =
Do đó QAC QCA HAC ACH + = + 12( )
Lại có  HAC vuông ở H  + = HAC ACH 900
Do đó QAC QCA + = 450
Mà QAC QCA AQC + + =1800
 = AQC 1350
Song song với đó, các đối tượng học sinh còn lại sẽ thực hiện giải bài tập sau:
Cho tam giác ABC, các tia phân giác của các góc B và C của tam giác cắt
nhau ở điểm I.
7
I
B C
A

a) Chứng minh
b) Cho . Tính

IBC ICB ABC ACB + = + 12( )
BAC = 600 BIC
*Bài tập 8 trang 109 sách giáo khoa Toán 7 tập 1
x
y
B C
A

Cho tam giác ABC có . Gọi
Ax là tia phân giác của góc ngoài ở đỉnh A.
Hãy chứng tỏ Ax // BC.

B C = = 400Phát triển: Yêu cầu học sinh tổng quát bài toán ta được bài toán
y
x
B C
A

Cho tam giác ABC có . Gọi Ax
là tia phân giác của góc ngoài ở đỉnh A.
Hãy chứng tỏ Ax // BC.
Hướng dẫn:
Có là góc ngoài của tam giác ABC

Có Ax là tia phân giác của
Do đó
Ax // BC

B C = CAy  = + CAy B C
B C =  = CAy C 2 1
2
 = C CAy
CAy
1 2
 = xAC CAy
1
2
C xAC CAy = =    
  Chủ đề “Ba trường hợp bằng nhau của tam giác”
*Bài tập 26 trang 118 sách giáo khoa Toán 7 tập 1
Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MA lấy
điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh rằng AB // CE.
Bổ sung: Trên cạnh AB lấy điểm P. Trên tia đối của tia MP lấy Q sao cho MQ =
MP. Chứng minh 3 điểm C, Q, E thẳng hàng.
8
Q
P
E
B M C
A

Hướng dẫn:
Chứng minh tương tự AB // CE ta có
BP // CQ hay BA // CQ
Mà BA // CE nên suy ra 2 đường
thẳng CE và CQ trùng nhau (tiên đề
Ơclit), ta có đpcm.

Phát triển:
Q
P
E
B M C
A

Cho tam giác ABC, M là trung điểm của
BC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao
cho ME = MA.
a) Chứng minh rằng AB // CE.
b) Trên các đoạn thẳng AB, CE lần lượt
lấy các điểm P, Q sao cho BP = CQ.
Chứng minh M là trung điểm của PQ.

Hướng dẫn:
b) Có AB // CE
 = PBM QCM (2 góc so le trong)
Chứng minh được  =  MBP MCQ (BM = CM, BP = CQ, PBM QCM = )
 = PMB QMC và MP = MQ (1)
Có PMB QMC =
Lại có PMB PMC + =1800
 + = QMC PMC 1800
3 điểm P, M, Q thẳng hàng (2)
Từ (1) và (2) suy ra M là trung điểm của PQ
*Bài tập 35 trang 123 sách giáo khoa Toán 7 tập 1
Cho góc xOy khác góc bẹt, Ot là tia phân giác của góc đó. Qua điểm H thuộc
tia Ot, kẻ đường thẳng vuông góc với Ot, nó cắt Ox và Oy theo thứ tự ở A và B.
9
H
C
t
B
A
O y
x

a) Chứng minh OA = OB
b) Lấy điểm C thuộc tia Ot,
chứng minh rằng CA = CB và

OAC OBC =
Phát triển:
Bài 1.
H
B
A
C
O y
x

Cho góc xOy khác góc bẹt, OC là
tia phân giác của góc xOy. Kẻ CA
Ox (A Ox), CB Oy (B Oy).
a) Chứng minh OA = OB và CO là
tia phân giác của góc ACB.
b) Chứng minh OC là đường trung
trực của AB.
Hướng dẫn:
b) Gọi H là giao điểm của OC và AB.
Chứng minh H là trung điểm của AB
và OC vuông góc với OC tại H.


 ⊥  Bài 2.
H
B
A
C
O y
x

Cho góc xOy khác góc bẹt, OC là
tia phân giác của góc xOy. Kẻ CA
Ox (A Ox), CB Oy (B Oy).
a) Chứng minh OA = OB và CO là
tia phân giác của góc ACB.
b) Gọi H là trung điểm của AB.
Chứng minh 3 điểm O, H, C thẳng
hàng.


 ⊥  Các em học sinh không thuộc nhóm khá giỏi thì không bắt buộc thực hiện yêu
cầu chứng minh 3 điểm O, H, C thẳng hàng.
Hướng dẫn:
10
b) Chứng minh OH là tia phân giác của góc xOy kết hợp với OC là tia phân giác
của góc xOy ta có đpcm.
Bài 3.
Q
P
I
B
A
C
O y
x

Cho góc xOy khác góc bẹt, OC là
tia phân giác của góc xOy. Kẻ CA
Ox (A Ox), CB Oy (B Oy).
a) Chứng minh OA = OB và CO là
tia phân giác của góc ACB.
b) Trên đoạn thẳng OA lấy P, trên tia
By lấy Q sao cho BQ = AP, gọi I là
trung điểm của PQ. Chứng minh CI
PQ.


 ⊥  ⊥ *Bài tập 36 trang 123 sách giáo khoa Toán 7 tập 1
H

Trên hình 100 SGK ta có OA = OB,
Chứng minh AC = BD
Bổ sung: Gọi giao điểm của AC và BD là
I. Chứng minh và OI là
đường trung trực của CD.
Hướng dẫn:
+) ( ; AD = BC;
)

OAC OBD =  =  IAD IBC  =  IAD IBC IAD IBC = IDA ICB = +) Gọi H là giao điểm của OI và CD. Có thể c/m  =  IAO IBO(c.g.c)
 = AOI BOI hay DOH COH =   =  DOH COH (c.g.c).
Từ đó c/m được OH vuông góc với CD và H là trung điểm của CD suy ra đpcm
Phát triển: Đặc biệt OAC OBD = = 900 , thêm yếu tố mới và thay đổi yêu cầu
chứng minh để học sinh có cơ hội ôn tập lại kiến thức cũ, tôi có bài toán sau:
K
I
D
C
A B
O

Cho hình vẽ trong đó OA = OB, AC
OD; BD OC, K là trung điểm của CD.
Chứng minh:
a) AC = BD
b) OI là tia phân giác của
c)
d) Ba điểm O, I, K thẳng hàng
Hướng dẫn:
c) (2 cạnh góc vuông)


⊥ AOC
 =  ADC BCD
 =  ADC BCDd) Chứng minh OI và OK cùng là tia phân giác của góc DOC
11
*Bài tập 43 trang 125 sách giáo khoa Toán 7 tập 1
E
y
x
C D
B
A
O

Cho góc xOy khác góc bẹt. Lấy các
điểm A, B thuộc tia Ox sao cho OA <
OB. Lấy các điểm C, D thuộc tia Oy
sao cho OC = OA, OD = OB. Gọi E là
giao điểm của AD và BC. Chứng minh
rằng:
a) AD = BC
b)
c) OE là tia phân giác của góc xOy.
Bổ sung: Chứng minh AC // BD

 =  EAB ECD
Hướng dẫn:
Chứng minh AC // BD có thể chứng minh AC và BD cùng vuông góc với OE.
Phát triển: Đặc biệt hóa vị trí của điểm A với A là trung điểm của OB, bổ sung
thêm yếu tố mới tôi có bài toán.
Bài 1.
M
y
E
C D
B
A
x
O

Cho góc xOy khác góc bẹt. Lấy các
điểm B, D lầ lượt thuộc các tia Ox, Oy
sao cho OD = OB. Gọi A, C lần lượt là
trung điểm của các đoạn thẳng OB và
OD. Gọi E là giao điểm của AD và BC.
Chứng minh rằng:
a) và EB = ED
b)
c) Trên tia đối của tia CE lấy điểm M sao
cho CM = CE. Chứng minh BD DM.

 =  OAD OCB EBD EDB =
⊥ Hướng dẫn: c) Chứng minh OE ⊥ BD và MD // OE ta suy ra BD ⊥ DM
Đặc biệt hóa góc xOy với xOy là góc vuông, bổ sung thêm yếu tố mới tôi có bài
toán
Bài 2.
Cho góc xOy vuông. Lấy các điểm A, B thuộc tia Ox sao cho OA < OB. Lấy
các điểm C, D thuộc tia Oy sao cho OC = OA, OD = OB. Gọi E là giao điểm
của AD và BC. Chứng minh rằng:
a) OBC ODA =
b) EB = ED
c) OE là tia phân giác của góc xOy.
12
d) Qua O vẽ đường thẳng vuông góc với OE, lấy trên đường thẳng đó điểm F
sao cho F và A nằm khác phía so với OE và OF = OE. Chứng minh BE ⊥ DF.
H

Hướng dẫn:
d) Gọi H là giao điểm của BC và DF
Chứng minh
Lại có và

BE DF.

 =  OBE ODF
 = OBE ODF
OCB HCD = OCB OBE + = 900
 HCD HDC + = 900
CHD HCD HDC + + = 1800  CHD = 900 
⊥ Chủ đề “Tam giác cân”
*Bài tập 51 trang 128 sách giáo khoa Toán 7 tập 1
H

Cho tam giác ABC cân tại A. Lấy điểm D
thuộc cạnh AC, điểm E thuộc cạnh AB sao cho
AD = AE.
a) So sánh và
b) Gọi I là giao điểm của BD và CE. Tam giác
IBC là tam giác gì? Vì sao?
Bổ sung: Gọi H là trung điểm của BC. Chứng
minh 3 điểm A, I, H thẳng hàng.
Hướng dẫn:
Chứng minh IH và AH cùng vuông góc hoặc
AI và AH cùng là tia phân giác của với
BC suy ra 3 điểm A, I, H thẳng hàng.

ABD ACE
CAB Phát triển: Đặc biệt hóa vị trí các điểm D và E ví dụ như BD, CE là các đường
trung tuyến, các đường cao, đường phân giác, bổ sung thêm yếu tố mới vào ta sẽ
có nhiều bài tập cho các đối tượng học sinh khác nhau. Chẳng hạn như một số
bài toán sau:
Bài 1.
Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi BD là tia phân giác của ABC (D AC),
CE là tia phân giác của ACB (E AB).
a) Chứng minh  =  ABD ACE
b) Gọi I là giao điểm của BD và CE. Chứng minh AI ⊥ DE
13
c) Qua A kẻ đường thẳng song song với BC, cắt tia BD ở điểm K, cắt tia CE ở
điểm P. Chứng minh AC = AK và  CPK vuông.
P K
I
E D
B C
A
Hướng dẫn:
b) Chứng minh  IBC cân tại I  IB = IC
Chứng minh  IAB =  IAC (c.c.c)  EAI DAI =
Từ đó gọi H là giao điểm của AI và DE ta có thể chứng minh được AI ⊥ DE
theo đ/n 2 đường thẳng vuông góc.
c) Chứng minh  ABK cân ở A AK = AB
Kết hợp với AB = AC ta được AC = AK
 ACK cân ở A  ACK AKC =
Chứng minh  ACP cân ở A  ACP APC =
Lại có ACK AKC ACP APC + + + =1800
Do đó ACK ACP + = 900  = PCK 900
  CPK vuông tại C.
Bài 2.
M
I
E D
B C
A

Cho tam giác ABC cân tại A. Lấy điểm D
thuộc cạnh AC, điểm E thuộc cạnh AB sao
cho AD = AE. Gọi I là trung điểm của DE.
a) Chứng minh AI là tia phân giác của
b) Trên tia đối của tia IB lấy điểm M sao cho
I là trung điểm của BM. Chứng minh
DMC cân.
c) Chứng minh và MC BC

BAC
 BAC DMC = 2 ⊥ Hướng dẫn:
b) Chứng minh DM = BE kết hợp DC = BE ta có DM = DC
  DMC cân ở D
c) Chứng minh DM // BE  = BAC ADM
14
Chứng minh ADM DMC = 2 . Từ đó ta được BAC DMC = 2
+ Chứng minh MC // AI ( 1
2
IAD DCM BAC = = ) kết hợp chứng minh AI ⊥ BC
suy ra MC ⊥ BC
Hoặc Có BAC ABC ACB + + =1800
Mà BAC DMC = 2 ; ABC ACB =
 + = 2 2 180 DMC ACB 0
 + = DMC ACB 900 Lại có DCM DMC =
 + = DCM ACB 900
 = BCM 900  MC ⊥ BC
Bài 3.
Q P
I
E D
B C
A

Cho tam giác ABC cân tại A. Các
điểm D, E lần lượt là trung điểm của
AC, AB.
a) So sánh và
b) Gọi I là giao điểm của BD và CE.
Tam giác IBC là tam giác gì? Vì sao?
c) Trên tia đối của tia DB lấy điểm P
sao cho DP = DB. Trên tia đối của tia
EC lấy điểm Q sao cho EQ = EC.
Chứng minh A là trung điểm của PQ.

ABD ACE
Hướng dẫn:
c) Chứng minh AP // BC và AP = BC
và AQ // BC và AQ = BC
AP = AQ (= BC) và A, P, Q thẳng hàng (tiên đề Ơclit)
 A là trung điểm của PQ.
Bài 4.
F
E D
I
B C
A

Cho tam giác ABC cân tại A ( nhọn).
Kẻ BD AC (D AC), CE AB (E AB)
a) Chứng minh
b) Gọi I là giao điểm của BD và CE. Chứng
minh AI là tia phân giác của .
c) Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với AB,
đường thẳng đó cắt tia BD tại điểm F.
Chứng minh FAI cân.

BAC ⊥  ⊥   =  EBC DCB
BAC  Hướng dẫn:
15
c) Có FAI IAB FAB + = = 900 (1)
Có DAI vuông ở D  + = FIA IAD 900 (2)
Lại có AI là tia phân giác của BAC
 = IAD IAB (3)
Từ (1), (2) và (3) ta được FIA FAI =   FAI cân ở F
Bài 5.
K
Q
P
I
E
D
B C
A

Cho tam giác ABC cân tại A
( nhọn). Kẻ BD AC (D AC), CE
AB (E AB)
a) Chứng minh AD = AE
b) Gọi I là giao điểm của BD và CE.Chứng
minh IA BC.
c) Từ B kẻ đường thẳng vuông góc với AB,
đường thẳng đó cắt tia AC tại điểm P. Trên
tia BD lấy điểm Q sao cho BQ = BP.
Chứng minh PQ // AI

BAC ⊥  ⊥  ⊥ Hướng dẫn:
b) Chứng minh  IBC cân tại I (2 góc bằng nhau)  IB = IC
Chứng minh  IAB =  IAC (c.c.c)  BAI CAI =
Từ đó gọi H là giao điểm của AI và BC ta có thể chứng minh được AI ⊥ BC
theo đ/n 2 đường thẳng vuông góc.
c) Gọi K là giao điểm của BC và PQ.
Chứng minh QBK PBK = (phụ với 2 góc bằng nhau ACB và ABC )
Từ đó chứng minh được  =  QBK PBK (c.g.c)
Suy ra được BK ⊥ PQ
Lại có IA ⊥ BC ta được PQ // AI
Bài 6.
Cho tam giác ABC cân tại A. Các điểm D, E lần lượt là trung điểm của AC,
AB.
a) So sánh BD và CE
b) Gọi I là giao điểm của BD và CE. Chứng minh tam giác IBC cân
c) Trên tia đối của tia DB lấy điểm P sao cho DP = DB. Trên tia đối của tia CA
lấy điểm Q sao cho CQ = CA. Chứng minh BC là tia phân giác của PBQ
d) Gọi K là trung điểm của BQ. Chứng minh 3 điểm P, C, K thẳng hàng.
16
(Có thể biến đổi câu d: Chứng minh PC đi qua trung điểm K của BQ)
K
P Q
I
E D
B C
A

Hướng dẫn:
c) Chứng minh được CP = BA và CP //
BA
Mà BA = AC = CQ nên CP = CQ
Có CP // BA
Lại có và
Do đó ta có (c.g.c)
, ta có đpcm.
d) Chứng minh BD = BK
(
)
Từ đó c/m được (c.g.c)

 + = BCP ABC 1800
BCQ ACB + =1800 ACB ABC =
 = BCP BCQ
 =  BCP BCQ  = CBP CBQ1 1
2 2
= = BP BQ  =  BCD BCK  = BCD BCK Mà BCD ABC =  = ABC BCK
CK // AB. Kết hợp với CP // AB ta được 3 điểm P, C, K thẳng hàng.
Bài 7.
P Q
I
E D
B C
A

Cho tam giác ABC cân tại A. Các
điểm D, E lần lượt là trung điểm của AC,
AB.
a) So sánh BD và CE
b) Gọi I là giao điểm của BD và CE.
Chứng minh IB = IC.
c) Trên tia đối của tia DB lấy điểm P sao
cho DP = DB. Chứng minh tam giác ACP
cân.
d) Trên tia đối của tia CA lấy điểm Q sao
cho CQ = CA. Chứng minh BQ = 2CE

Hướng dẫn:
c) Chứng minh CP = CA (= AB)
d) Tương tự như bài trên ta chứng minh được  =  BCP BCQ suy ra BP = BQ
Mặt khác BP = 2BD = 2CE
Do đó ta được BQ = 2CE
17
Bài 8.
Cho tam giác ABC cân tại A. Lấy điểm E thuộc cạnh AB và điểm D thuộc
tia đối của tia CA sao cho CD = BE. Chứng minh rằng BC đi qua trung điểm
của DE.
F I
D
E
C
B
A

Hình aHình b

N
M I
D
E
C
B
A
Hướng dẫn:
Gọi giao điểm của DE và BC là I. Ta cần chứng minh ID = IE. Dựa trên
các phương pháp chứng minh 2 đoạn thẳng bằng nhau ta sẽ tìm cách gắn chúng
vào các cặp tam giác bằng nhau. Có thể làm như sau:
– Từ E kẻ đường thẳng song song với AC, cắt BC ở F (Hình a). Ta chứng minh
tam giác IEF bằng tam giác ICD từ đó suy ra đpcm
– Hoặc kẻ EM và DN vuông góc với BC (Hình b). Ta chứng minh được tam giác
IEM bằng tam giác IDN từ đó suy ra đpcm.
Chủ đề “Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông”
*Bài tập 63 trang 136 sách giáo khoa Toán 7 tập 1
B H C
A

Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ AH vuông
góc với BC (H BC). Chứng minh rằng:
a) HB = HC
b)

 BAH CAH =
Phát triển: Lập mệnh đề đảo ta có hai bài toán
Bài 1.
18
Cho tam giác ABC. Kẻ AH vuông góc với BC (H  BC). Biết HB = HC .
Chứng minh rằng tam giác ABC cân ở A.
Bài 2.
Cho tam giác ABC. Kẻ AH vuông góc với BC (H  BC). Cho biết
BAH CAH = . Chứng minh rằng tam giác ABC cân ở A.
B H C
A
B H C
A
*Bài tập 65 trang 137 sách giáo khoa Toán 7 tập 1
P
I
K H
B C
A

Cho tam giác ABC cân tại A ( ). Vẽ
BH AC ( H AC), CK AB (KAB).
a) Chứng minh rằng: AH = AK.
b) Gọi I là giao điểm của BH và CK. Chứng
minh AI là tia phân giác của góc BAC.
Bổ sung: Đường thẳng qua B vuông góc với
AB và đường thẳng qua C vuông góc với AC
cắt nhau ở P. Chứng minh 3 điểm A, I, P
thẳng hàng.
Hướng dẫn: Chứng minh 3 điểm A, I, P
thẳng hàng có thể chứng minh AP và AI cùng
là tia phân giác của .

A  900 ⊥ ⊥ BAC Phát triển:
I
P
K B D
C
A

Cho tam giác ABC cân tại A ( ),
CK AB (KAB). Qua C vẽ đường
thẳng vuông góc với AC, cắt tia AB ở
điểm D.
a) Chứng minh CB là tia phân giác của
.
b) Tia phân giác của cắt CD ở P.
Chứng minh PB = PC.
c) Gọi giao điểm của AP và CK là I.
Chứng minh BI AC.

A  900 ⊥ KCD CAB ⊥ Hướng dẫn:
19

Xem bản đầy đủ trên google drive: TẠI ĐÂY

Các thầy cô cần file liên hệ với chúng tôi tại fanpage facebook O2 Education

Hoặc xem nhiều SKKN hơn tại:  Tổng hợp SKKN luận văn luận án O2 Education

Comments

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *