SKKN Một số kinh nghiệm ứng dụng đường thẳng Simson trong bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán lớp 9
Xem bản đầy đủ trên google drive: TẠI ĐÂY
Các thầy cô cần file liên hệ với chúng tôi tại fanpage facebook O2 Education
Hoặc xem nhiều SKKN hơn tại: Tổng hợp SKKN luận văn luận án O2 Education
Điều kiện hoàn cảnh tạo ra sáng kiến:
Toán học là một môn khoa học rất quan trọng trong tất cả các lĩnh vực.
Trong bất kì hoàn cảnh nào chúng ta cũng không thể thiếu kiến thức về Toán.
Nghiên cứu về Toán cũng là nghiên cứu một phần của thế giới.
Toán học là một bộ môn khoa học tự nhiên mang tính trừu tượng, tính
logíc cao. Cùng với sự phát triển của đất nước, sự nghiệp Giáo dục và Đào tạo
cũng đổi mới không ngừng. Nghị quyết số 29-NQ/TW ngày 04/11/2013 đã
được Hội nghị trung ương 8 (khoá XI) thông qua, đề ra quan điểm chỉ đạo về
đổi mới căn bản toàn diện Giáo dục và Đào tạo đáp ứng yêu cầu công nghiệp
hoá, hiện đại hoá trong điều kiện kinh tế thị trường định hướng xã hội chủ
nghĩa.
Với vai trò là môn học công cụ, bộ môn Toán đã góp phần tạo điều kiện
cho các em học sinh học tốt các môn học khác.
Với phân môn Hình học là môn khoa học rèn luyện cho học sinh khả
năng đo đạc, tính toán, suy luận logíc, phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh.
Đặc biệt là rèn luyện cho học sinh khá, giỏi nâng cao được năng lực tư duy,
tính độc lập, sáng tạo linh hoạt trong cách tìm lời giải bài toán. Vì vậy bộ môn
Hình học càng có ý nghĩa quan trọng. Việc bồi dưỡng học sinh khá, giỏi
không đơn thuần chỉ cung cấp cho các em học sinh một số kiến thức cơ bản
thông qua việc làm bài tập hoặc làm nhiều bài tập khó, hay mà giáo viên phải
biết rèn luyện khả năng sáng tạo, khả năng nghiên cứu sâu bài toán, khả năng
biết sử dụng kết quả những bài toán đã làm được để giải quyết các bài toán
khác. Với bộ môn Hình học việc rèn luyện năng lực tư duy trừu tượng và
phán đoán lôgíc là rất quan trọng. Một trong những nội dung khó của phân môn
Hình học lớp 9 đó là các bài toán liên quan đến các đường đặc biệt. Đây là dạng
toán thường xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi cấp huyện và cấp tỉnh.
Trong các đường thẳng đặc biệt đó thì đường thẳng Simson có nhiều
ứng dụng không chỉ trong việc giải toán mà còn giúp giáo viên và học sinh
sáng tạo trong việc ra đề bài theo mức độ khó dễ khác nhau, giúp nâng cao
năng lực tư duy cho học sinh không chỉ ở cấp THCS mà còn ở các cấp học
cao hơn.
Qua kinh nghiệm giảng dạy thực tế, đặc biệt là qua nhiều năm làm
công tác bồi dưỡng học sinh giỏi tôi nhận thấy học sinh tiếp cận các bài toán
dạng này chưa hiệu quả, thiếu định hướng. Chính vì các lí do đó, tôi chọn đề
3
tài “Một số kinh nghiệm ứng dụng đường thẳng Simson trong bồi dưỡng
học sinh giỏi môn Toán lớp 9” để nghiên cứu.
Mục đích nghiên cứu của đề tài là tìm hiểu khái niệm, các tính chất
hình học của đường thẳng Simson. Ứng dụng đường thẳng Simson vào giải
quyết các bài tập hình học lớp 9.
Thông qua việc nghiên cứu để góp phần nâng cao chất lượng, hiệu quả
dạy và học môn hình học trong nhà trường, nâng cao hơn nữa chất lượng bồi
dưỡng học sinh giỏi.
B. Mô tả giải pháp kỹ thuật:
I. Mô tả giải pháp kỹ thuật trước khi tạo ra sáng kiến:
– Trước khi áp dụng sáng kiến ” Một số kinh nghiệm ứng dụng đường
thẳng Simson trong bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán lớp 9” tôi thường
chỉ chú trọng cho học sinh giải các bài tập một cách đơn lẻ, chưa có nhiều sự
liên hệ giữa các bài tập với nhau.
– Chưa quan tâm nhiều đến những đường đặc biệt trong hình vẽ, chưa tạo
ra được nhiều tình huống có vấn đề, chưa tạo ra được nhiều hứng thú trong
học tập cho học sinh.
II. Mô tả giải pháp kỹ thuật sau khi có sáng kiến:
1. Giải pháp thực hiện:
– Hình thành các tình huống có vấn đề liên quan đến đường thẳng
Simson.
– Tăng cường các hoạt động tìm tòi, quan sát, dự đoán tiếp cận lời giải.
– Nắm vững kiến thức cơ bản, huy động, vận dụng kiến thức cơ bản, vận
dụng những kết quả đã chứng minh được vào giải quyết các vấn đề có liên
quan.
2. Kiến thức cần truyền đạt:
Xuất phát từ điều mong muốn rèn luyện được khả năng sáng tạo, biết
phát hiện ra những đường đặc biệt trong hình vẽ, biết sử dụng kết quả bài toán
đã làm được vào việc giải quyết các bài toán khác. Trong đề tài này do khuôn
khổ, giới hạn của đề tài tôi chỉ đưa ra một số dạng cơ bản và một số bài tập
điển hình cho dạng toán.
3. Tổ chức thực hiện:
3.1. Đường thẳng Simson:
4
Bài toán 1. Cho ABC nội tiếp đường tròn (O). M là một điểm tuỳ ý trên
đường trong (O). Gọi D, E, F lần lượt là hình chiếu của điểm M trên BC, AC,
AB. Chứng minh rằng: Ba điểm D, E, F thẳng hàng.
O
M
F
E
D
B C
A
Không mất tính tổng quát, giả sử M thuộc cung BC không chứa A.
Xét tứ giác BFMD có MDB MFB 90 90 180 0 0 0
Dó đó tứ giác BFMD nội tiếp đường tròn
Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác BFMD có MDF và MBF là 2 góc nội tiếp
cùng chắn MF nên MDF MBF (1)
Ta có tứ giác ABMC nội tiếp đường tròn (O). Suy ra ABM ACM 1800
Ta có MBF ABM 1800 (Tổng hai góc kề bù)
Suy ra MBF ACM hay MBF ECM (2)
Từ (1) và (2) suy ra MDF ECM (3)
Ta có MDC MEC 900
Suy ra D và E cùng thuộc đường tròn đường kính MC
Suy ra tứ giác MDEC nội tiếp đường tròn
5
Suy ra ECM MDE 1800 (4)
Từ (3) và (4) suy ra MDE MDF 1800
Suy ra 3 điểm D, E, F thẳng hàng.
* Đường thẳng đi qua 3 điểm D, E, F gọi là đường thẳng Simson của
ABC ứng với điểm M.
* Vấn đề đặt ra là: Cho ABC , M là một điểm nằm trong mặt phẳng chứa
tam giác ABC. Gọi D, E, F lần lượt là hình chiếu của M trên BC, CA, AB và
D, E, F thẳng hàng thì điểm M có nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC hay không?
O
M
F
E
D
B C
A
Ta có MD BC ME AC MF AB ; ; (gt)
Suy ra MDB MFB MDC MEC 90 ; 90 ; 90 ; 90 0 0 0 0
Xét tứ giác MDBF có MDB MFB 90 90 180 0 0 0
Do đó tứ giác MDBF nội tiếp đường tròn.
Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác MDBF có BMF và BDF là 2 góc nội tiếp
cùng chắn BF .
Suy ra BMF = BDF (1)
Ta có MDC MEC 900
6
Suy ra D và E cùng thuộc đường tròn đường kính MC
Suy ra tứ giác MDEC nội tiếp đường tròn.
Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác MDEC có EDC và EMC là 2 góc nội tiếp
cùng chắn CE .
Suy ra EDC = EMC (2)
Ta có 3 điểm D, E, F thẳng hàng nên EDC BDF
Suy ra EMC BMF
Suy ra EMC BME BMF BME
Suy ra BMC EMF
Xét tứ giác AEMF có AEM AFM 90 90 180 0 0 0
Do đó tứ giác AEMF nội tiếp đường tròn
Suy ra A EMF 1800
Mà BMC EMF (cmt)
Suy ra A BMC 1800
Suy ra tứ giác ABMC nội tiếp đường tròn.
Suy ra M thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Từ đó ta có bài toán 2 như sau:
Bài toán 2. Cho ABC , M là một điểm nằm trong mặt phẳng chứa tam giác
ABC. Gọi D, E, F lần lượt là hình chiếu của M trên BC, CA, AB và D, E, F
thẳng hàng. Chứng minh điểm M nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC
Từ hai bài toán trên ta có kết quả:
Cho tam giác ABC , M là điểm nằm trong mặt phẳng chứa tam giác
và không trùng với các đỉnh của tam giác. Gọi D E F , , lần lượt là hình
chiếu của M trên ba cạnh của tam giác ABC . Điều kiện cần và đủ để
7
điểm M nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là 3 điểm D E F , ,
thẳng hàng.
Như vậy với mỗi điểm M ta có một đường thẳng Simson đối với tam giác
ABC
– Ở bài toán 1: Trong trường hợp điểm M đối xứng với A qua O thì
đường thẳng Simson của ABC ứng với điểm M có gì đặc biệt?
Trong trường hợp điểm M đối xứng với A qua O thì AM là đường kính
của đường tròn (O) và điểm M thuộc đường tròn (O).
Áp dụng hệ quả góc nội tiếp ta có ABM ACM 90 ; 90 0 0
Suy ra MB AB MC AC ;
Suy ra E trùng với B; F trùng với C
Khi đó 3 điểm D, E, F cùng nằm trên đường thẳng BC
Vậy trong trường hợp điểm M đối xứng với A qua O thì đường thẳng
Simson của ABC ứng với điểm M trùng với đường thẳng BC
Tương tự trong trường hợp điểm M đối xứng với B qua O thì đường
thẳng Simson của ABC ứng với điểm M trùng với đường thẳng AC.
8
Trong trường hợp điểm M đối xứng với C qua O thì đường thẳng Simson
của ABC ứng với điểm M trùng với đường thẳng AB
– Ở bài toán 1: Trong trường hợp M là điểm chính giữa của cung BC
không chứa A và ABC vuông tại A thì đường thẳng Simson của ABC
ứng với điểm M và tâm của đường tròn ngoại tiếp ABC có mối qua hệ
đặc đặc biệt gì?
Trong trường hợp M là điểm chính giữa của cung BC không chứa A và
ABC vuông tại A thì BC là đường kính của đường tròn (O) và MO vuông
góc với BC tại O.
Suy ra D trùng với O
Ta dễ dàng chứng minh được 3 điểm D, E, F thẳng hàng
Vậy trong trường hợp M là điểm chính giữa của cung BC không chứa A
và ABC vuông tại A thì đường thẳng Simson của ABC ứng với điểm M
đi qua tâm của đường trong ngoại tiếp ABC
3.2. Ứng dụng đường thẳng Simson vào giải các bài toán hình học lớp 9
a. Ứng dựng đường thẳng Simson vào giải các bài toán chứng minh 3
điểm thẳng hàng
9
Bài 3.2.1. Cho ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn (O), đường kính
AD. Gọi E và F lần lượt là hình chiếu vuông góc của C trên AB và AD . Lấy
M là trung điểm của BC. Chứng minh 3 điểm E, M, F thẳng hàng.
Phân tích: Vì E và F lần lượt là hình chiếu vuông góc của C lên AB và AD
nên ta sẽ nghĩ đến đường thẳng Simson của ABD ứng với điểm C. Việc còn
thiếu chân đường vuông góc kẻ từ điểm C đến đường thẳng BD gợi ý cho
chúng ta vẽ thêm đường phụ để sử dụng đường thẳng Simson
Cách 1: G
F
E
D
O
B M C
A
Gọi G là hình chiếu vuông góc của C trên BD
Nên E, F, G thẳng hàng (đường thẳng Simson)
Xét tứ giác BECG có CEB EBG BGC 900
Do đó tứ giác BECG là hình chữ nhật
Do đó 2 đường chéo EG và BC cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường
Suy ra EG đi qua M
Suy ra 3 điểm E, M, F thẳng hàng.
Cách 2:
10
F
E
D
O
B M C
A
Tứ giác FEAC nội tiếp đường tròn
Suy ra FEC FAC (1)
Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn
Suy ra FAC CBD (2)
CE BD / / . Suy ra CBD BCE (3)
Ta dễ dàng chứng minh được ME = MC. Suy ra MEC cân tại M
Suy ra BCE MEC (4)
Từ (1), (2), (3), (4) suy ra FEC MEC
Suy ra 2 tia FE và ME trùng nhau
Suy ra 3 điểm E, M, F thẳng hàng.
* Qua 2 cách làm trên ta thấy việc kẻ thêm đường phụ để ứng dụng
đường thẳng Simson vào giải toán giúp cho chúng ta dễ dàng tìm ra cách
chứng minh hơn.
Bài 3.2.2. Cho đường tròn (O) đường kính AB, C là điểm nằm trên đường
tròn. Đường phân giác của ACB cắt đường tròn (O) tại M. Gọi D và E lần
lượt là hình chiếu của M trên BC và CA. Chứng minh 3 điểm O, D, E thẳng
hàng.
11
D
M
E
O
C
B
A
Phân tích: Vì D và E lần lượt là hình chiếu của M trên BC và CA nên chỉ
việc chứng minh MO vuông góc với AB ta sẽ có đường thẳng Simson của
ABC ứng với điểm M
Giải:
Xét đường tròn (O) có CM là phân giác của ACB suy ra ACM BCM
Suy ra MA MB
Suy ra MO AB
Ta có MD BC ME AC ; (gt)
Theo kết quả bài toán 1 ta có 3 điểm D, O, E thẳng hàng (Đường thẳng
Simson của điểm M đối với tam giác ABC)
Bài 3.2.3. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). M là một điểm
trên cung BC không chứa A. Đường tròn (I) đường kính MB và đường tròn
(J) đường kính MC cắt nhau ở K. Đường tròn (I) đường kính MB cắt AB tại P
(P khác B). Đường tròn (J) đường kính MC cắt AC tại Q (Q khác C). Chứng
minh 3 điểm P, K, Q thẳng hàng.
12
K
O
J
I
P
Q
M
B C
A
Phân tích: Sử dụng hệ quả góc nội tiếp ta dễ dàng chứng minh được P, K, Q
lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ M đến AB, BC, CA. Từ đó ta sẽ nghĩ
đến đường thẳng Simson của tam giác ABC ứng với điểm M.
Giải
Xét đường tròn đường kính MB có MKB ; MPB là những góc nội tiếp chắn
nửa đường tròn
Suy ra MKB 900 ; MPB 900
Xét đường tròn đường kính MC có MKC ; MQC là những góc nội tiếp chắn
nửa đường tròn
Suy ra MKC 900 ; MQC 900
Ta có MKB MKC 90 90 180 0 0 0
Nên 3 điểm B, K, C thẳng hàng
Ta có MKB 900 ; MPB 900; MQC 900 (cmt)
Suy ra MP AB MQ AC MK BC ; ;
Suy ra 3 diểm P, K, Q thẳng hàng (Đường thẳng Simson của tam giác ABC
ứng với điểm M).
13
Bài 3.2.4. Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O), AD là phân giác
trong của góc A (D thuộc BC). Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của
D lên AB, AC. Qua D vẽ đường thẳng vuông góc với BC cắt trung tuyến AM
của tam giác ABC tại K. Chứng minh 3 điểm P, K, Q thẳng hàng
| K D O |
M
V
E
U
Q
P
C
B
A
Phân tích: Ở bài toán này việc nhận biết đường thẳng Simson không dễ dàng
như những bài trước vì điểm M nằm trên BC. Gọi E là giao điểm của AD với
đường tròn (O). Vì AD là phân giác của góc A nên E là điểm chính giữa của
cung nhỏ BC. Suy ra EM vuông góc với BC. Từ đó ta sẽ kẻ EU vuông góc
với AB tại U và EV vuông góc với AC tại V ta sẽ có đường thẳng Simson của
tam giác ABC ứng với điểm E. Khi đó ta chỉ việc chứng minh PK và QK
cùng song song với UV thì sẽ suy ra điều phải chứng minh.
Giải
Gọi E là giao điểm của AD với đường tròn (O). Vì AD là phân giác của góc
A. Suy ra BAE CAE
Suy ra EB EC
Suy ra E là điểm chính giữa của cung nhỏ BC
Suy ra OE BC tại trung điểm của BC. Mà M là trung điểm của BC
Suy ra OE BC tại M
Gọi U, V lần lượt là hình chiếu vuông góc của E lên AB, AC
14
Khi đó ta có 3 điểm U, M, V thẳng hàng (Đường thẳng Simson của tam giác
ABC ứng với điểm E).
Ta có DP AB EU AB ; . Suy ra DP EU / / AP AD
AU AE
DQ AC EV AC ; . Suy ra DQ EV / / AQ AD
AV AE
Suy ra AP AQ PQ UV / /
AU AV
Ta có DK BC EM BC ; . Suy ra DK EM / / AK AD
AM AE
Suy ra AP AK
AU AM
Suy ra PK UM / / . Suy ra PK UV / /
Ta có PQ UV / / (cmt)
Suy ra P, K, Q thẳng hàng
b. Ứng dựng đường thẳng Simson vào giải các bài toán chứng minh đẳng
thức hình học:
Bài 3.3.1. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn, M là điểm thuộc cung BC
không chứa A. Gọi D, E, H lần lượt là hình chiếu của M lên các cạnh BC,
CA, AB. Chứng minh BC AC AB
MD ME MH
| I |
O
H M
E
D
B C
A
15
Phân tích : Dễ dàng nhận thấy đường thẳng Simson là đường thẳng đi qua 3
điểm H, D, E, các bài toán về tỉ số thường liên quan đến tỉ số đồng dạng, diện
tích hoặc tỉ số lượng giác. Từ việc phân tích bài toán, sử dụng tính chất các tứ
giác nội tiếp để có các góc bằng nhau, có thể nghĩ đến việc chứng minh tam
giác đồng dạng hoặc tỉ số lượng giác đều giải quyết được bài toán
Áp dụng kết quả bài toán 1 ta có 3 điểm H, D, E thẳng hàng
Xét tứ giác MHBD có MDB MHB 90 90 180 0 0 0
Do đó tứ giác MHBD nội tiếp đường tròn
Suy ra MHE MBC
Xét tứ giác MDEC có MDC MEC 900
Suy ra D và E cùng thuộc đường tròn đường kính MC
Suy ra tứ giác MDEC nội tiếp đường tròn
Suy ra MEH MCB
Xét MEH và MCB có MEH MCB (cmt)
MHE MBC (cmt)
Do đó MEH đồng dạng với MCB
Kẻ MI HE
Suy ra BC HE
MD MI
MHD MBC MAC
MDH MBH MCA
Suy ra MHD đồng dạng với MAC
Suy ra AC HD
ME MI
Tương tự ta chứng minh được MED đồng dạng với MAB
16
Suy ra AB DE
MH MI
Suy ra AC AB HD DE HE
ME MH MI MI
Mà BC HE
MD MI
(cmt)
Suy ra BC AC AB
MD ME MH
– Ở bài toán trên nếu tam giác ABC đều thì AB = AC = BC. Từ kết quả bài
toán trên ta sẽ có 1 1 1
MD ME MH
. Từ đó ta có bài toán mới như sau
Bài toán 3.3.2. Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O), M là điểm
trên cung nhỏ BC. Gọi D, E, H lần lượt là hình chiếu của M lên các cạnh BC,
CA, AB. Chứng minh rằng 1 1 1
MD ME MH
Qua các bài toán trên ta thấy việc ứng dụng các đường thẳng đặc
biệt để biến đổi về tam giác đồng dạng hoặc dùng tỉ số lượng giác sẽ giúp
học sinh có định hướng dễ dàng hơn khi gặp các bài toán tương tự
c. Ứng dựng đường thẳng Simson vào giải các bài toán chứng minh
đường thẳng đi qua điểm cố:
Bài 3.4.1. Cho tam giác ABC, M là điểm thay đổi trên đường tròn ngoại tiếp
tam giác ABC. Gọi K, P, Q lần lượt là các điểm đối xứng của M qua BC, CA,
AB. Chứng minh rằng 3 điểm P, K, Q cùng nằm trên một đường thẳng và
đường thẳng này luôn đi qua một điểm cố định.
17
Gọi D, E, F lần lượt là giao điểm của MK, MP, MQ với BC, CA, AB
Suy ra MD BC ME AC MF AB ; ;
Suy ra D, E, F thẳng hàng
Suy ra ED là đường trung bình của MKP
DF là đường trung bình của MKQ
Suy ra Q, K, P thẳng hàng và EF // PQ
Gọi H là trực tâm của tam giác ABC , I, J là các điểm đối xứng của H qua
AC, AB. Suy ra I, J thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
Suy ra QHJ MJH MAC
Tương tự PHI MIH MAB
Suy ra QHJ PHI IHJ MAC MAB IHJ A IHJ 1800
Suy ra P, Q, H thẳng hàng
Suy ra đường thẳng PQ luôn đi qua trực tâm H của ABC
(Đường thẳng này có tên là đường thẳng Steiner)
Bài 3.4.2. Cho đường tròn (O; R) và đường thẳng d không cắt đường trong
(O; R). Gọi M là một điểm thay đổi nằm trên đường thẳng d. Từ M kẻ hai tiếp
tuyến MA, MB đến đường tròn (O; R) (A, B là hai tiếp điểm). Gọi K là hình
chiếu vuông góc của O lên đường thẳng d, E và F lần lượt là hình chiếu vuông
18
góc của K lên MA, MB. Chứng minh rằng khi điểm M thay đổi trên đường
thẳng d thì đường thẳng EF luôn đi qua một điểm cố định.
Phân tích: Vì E và F lần lượt là hình chiếu vuông góc của K lên MA và MB
nên ta sẽ nghĩ đến đường thẳng Simson của MAB ứng với điểm K. Điều này
gợi ý cho chúng ta vẽ thêm đường phụ để sử dụng đường thẳng Simson
Giải:
Từ K kẻ KD vuông góc với AB tại D.
Ta dễ dàng chứng minh được 3 điểm E, F, D thẳng hàng
(đường thẳng Simson của MAB ứng với điểm K)
Gọi J là giao điểm của AB và OK; I là giao điểm của OK và DF; H là giao
điểm của AB và OM
Xét đường tròn (O; R) có MA, MB là hai tiếp tuyến; A, B là hai tiếp điểm
Suy ra MA = MB
Ta có OA = OB = R
19
Suy ra MO là đường trung trực của đoạn AB
Suy ra MO AB tại H
Ta có KD AB
Suy ra MO // KD
Suy ra KOM OKD hay KOM IKD (1)
Xét tứ giác KDAE có KDA KEA 90 90 180 0 0 0
Do đó tứ giác KDAE nội tiếp đường tròn
Suy ra KDE KAE hay KDI KAM
Ta dễ dàng chứng minh được tứ giác KAOM nội tiếp đường tròn
Suy ra KOM KAM
Suy ra KDI KOM (2)
Từ (1) và (2) suy ra KDI IKD
Suy ra IKD cân tại I
Suy ra ID = IK
Ta có KDI IDJ 900
IKD IJD 900 (vì KDJ vuông tại D)
Ta có KDI IKD (cmt)
Suy ra IDJ IJD
Suy ra IDJ cân tại I
Suy ra IJ = ID. Mà ID = IK (cmt)
Suy ra IK = IJ
Suy ra I là trung điểm của đoạn KJ
Xét OHJ và OKM có OHJ OKM 900 ; chung HOJ
Do đó OHJ đồng dạng với OKM (gg)
20
Suy ra OH OJ
OK OM
Suy ra OJ OH OM .
OK
Ta dễ dàng chứng minh được OH OM R . 2
Suy ra
2
OJ R
OK
(không đổi)
Suy ra J cố định
Ta có K, J cố định. Mà I là trung điểm của KJ
Suy ra I cố định
Suy ra EF đi qua điểm I cố định
d. Ứng dựng đường thẳng Simson vào giải các bài toán cực trị hình học
Bài toán 3.5.1 Cho đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác ABC, M là một
điểm thuộc cung BC không chứa A. Gọi E, F là hình chiếu của M lên các
cạnh AC và AB. Xác định vị trí của M để EF lớn nhất.
Phân tích : Ta dễ dàng nhận ra EF là đường thẳng Simson của tam giác ABC
ứng với điểm M Từ đó dẫn đến ý thưởng vẽ thêm điểm D là hình chiếu của M
trên BC và tìm lời giải của bài toán
Giải
D
E
B F
A
C
M
21
Gọi D là hình chiếu của M trên BC. Ta có D, E, F thẳng hàng
(đường thẳng Simson)
Bốn điểm F, D, B, M cùng thuộc một đường tròn nên MBD MFD
Bốn điểm E, D, C, M cùng thuộc một đường tròn nên MCD MED
Từ đó ta có MBC đồng dạng với MFE (g.g)
EF MF ME
1 EF BC
BC MB MC
Đẳng thức xảy ra khi F trùng với B và E trùng với C, khi đó
MBA MCA 90 0
Suy ra AM là đường kính của đường tròn tâm O
Suy ra M là điểm đối xứng với A qua O.
– Trở lại bài 3.4.1.
Ta dễ dàng chứng minh được EF là đường trung bình của MPQ
Suy ra EF
2
PQ
Suy ra PQ = 2. EF
Vậy PQ lớn nhất EF lớn nhất M là điểm đối xứng với A qua O.
Từ đó ta có bài toán mới
Bài toán 3.5.2. Cho tam giác ABC, M là điểm thay đổi trên đường tròn ngoại
tiếp tam giác ABC. Gọi K, P, Q lần lượt là các điểm đối xứng của M qua BC,
CA, AB. Chứng minh rằng 3 điểm P, K, Q cùng nằm trên một đường thẳng.
Xác định vị trí của M để độ dài đoạn PQ đạt giá trị lớn nhất.
22
e. Ứng dụng đường thẳng Simson vào giải các bài toán quan hệ hình học
Bài 3.6.1. Cho ABC nội tiếp đường tròn (O). Gọi M và N là các điểm thuộc
đường tròn (O) sao cho CM và CN đối xứng với nhau qua phân giác của C .
Gọi D, E, F theo thứ tự là chân đường vuông góc hạ từ M đến AB, AC, BC.
Chứng minh rằng 3 điểm D, E, F thẳng hàng và đường thẳng đi qua 3 điểm D,
E, F vuông góc với CN.
Áp dụng kết quả bài 1 ta chứng minh được 3 điểm D, E, F thẳng hàng.
Gọi K là giao điểm của của EF và CN
Từ giả thiết suy ra CEM CFM 900
Suy ra E và F cùng thuộc đường tròn đường kính CM
Suy ra tứ giác CFEM nội tiếp đường tròn
Suy ra CME CFE 1800
Ta có CFK CFE 1800
Suy ra CME CFK
Từ giả thiết dễ chứng minh được MCE FCK
23
Suy ra CFK KCF CME MCE 900 (vì CME vuông tại E)
Suy ra FKC 900
Suy ra đường thẳng đi qua 3 điểm D, E, F vuông góc với CN
– Trở lại bài toán 3.1.4. ta dễ dàng chứng minh được EF là đường trung
bình của PKLnên suy ra đường thẳng EF đi qua trung điểm của đoạn
PH. Từ đó ta có bài toán mới như sau:
Bài 3.6.2. Cho ABC , trực tâm H, điểm P thuộc đường tròn ngoại tiếp
ABC . Chứng minh rằng đường thẳng Simson của ABC ứng với điểm P đi
qua trung điểm của HP.
Gọi D, E, F theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của P trên BC, AB, AC
Suy ra 3 điểm D, E, F thẳng hàng (Đường thẳng Simson của ABC ứng với
điểm P)
Gọi K và L theo thứ tự là các điểm đối xứng của P qua AB, AC.
Theo kết quả bài 3.4.1 ta có 3 điểm K, H, L thẳng hàng
24
PKL có EF là đường trung bình nên suy ra đường thẳng EF đi qua trung
điểm của đoạn PH.
Bài toán 3.6.3. Cho hai đường tròn cùng bán kính (O) và (O’) cắt nhau tại
hai điểm A, B (O, O’ khác phía nhau đối với đường thẳng AB). Qua A vẽ cát
tuyến cắt (O) tại C, cắt (O’) tại D (C, D khác A và CD không vuông góc với
AB). Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của B lên hai tiếp tuyến tại C
của (O) và tại D của (O’). Chứng minh EF đi qua trung điểm M của CD.
Phân tích
Nhận thấy: Điểm B nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác PCD và có hình
chiếu vuông góc lần lượt xuống các đường thẳng chứa ba cạnh của tam giác
PCD là E, M, F nên ta có E, M, F thẳng hàng (đường thẳng simso
Xem bản đầy đủ trên google drive: TẠI ĐÂY
Các thầy cô cần file liên hệ với chúng tôi tại fanpage facebook O2 Education
Hoặc xem nhiều SKKN hơn tại: Tổng hợp SKKN luận văn luận án O2 Education