âm thanh lớp học, loa trợ giảng

SKKN Một số giải pháp giúp học sinh lớp 7 học tốt dạng toán Tỉ lệ thức – Dãy tỉ số bằng nhau

SKKN Một số giải pháp giúp học sinh lớp 7 học tốt dạng toán Tỉ lệ thức – Dãy tỉ số bằng nhau

Xem bản đầy đủ trên google drive: TẠI ĐÂY

Các thầy cô cần file liên hệ với chúng tôi tại fanpage facebook O2 Education

Hoặc xem nhiều SKKN hơn tại:  Tổng hợp SKKN luận văn luận án O2 Education

ĐIỀU KIỆN HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN
Trong giai đoạn đổi mới của đất nước, Đảng ta chủ trương đẩy mạnh hơn
nữa công tác giáo dục và coi đây là một trong những yếu tố quan trọng góp phần
phát triển kinh tế xã hội. Giáo dục phổ thông nước ta đang thực hiện bước
chuyển từ chương trình giáo dục tiếp cận nội dung sang tiếp cận năng lực của
người học, nghĩa là từ chỗ quan tâm đến việc học sinh học được cái gì đến chỗ
quan tâm học sinh vận dụng được cái gì qua việc học.
Mục đích của đổi mới giáo dục hiện nay là tập trung phát triển trí tuệ, thể
chất, hình thành phẩm chất, năng lực công dân, phát hiện và bồi dưỡng năng khiếu,
định hướng nghề nghiệp cho học sinh. Nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện, chú
trọng giáo dục lý tưởng, truyền thống, đạo đức, lối sống, ngoại ngữ, tin học, năng
lực và kỹ năng thực hành, vận dụng kiến thức vào thực tiễn. Phát triển khả năng
sáng tạo, tự học.
Năm học 2017 – 2018 là năm học tích cực triển khai chương trình hành
động thực hiện Nghị quyết số 29-NQ/TW ngày 04/11/2013 hội nghị Ban chấp
hành Trung ương 8 khóa XI về Đổi mới căn bản, toàn diện Giáo dục và Đào tạo.
Năm học tiếp tục nâng cao hiệu lực và hiệu quả công tác quản lí, tăng quyền chủ
động của các nhà trường trong việc thực hiện kế hoạch giáo dục. Đổi mới mạnh
mẽ phương pháp dạy học, hình thức tổ chức dạy học, kiểm tra đánh giá nhằm
nâng cao chất lượng và hiệu quả hoạt động giáo dục. Mục tiêu của giáo dục là
“Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực và bồi dưỡng nhân tài”.
Theo tinh thần đó, các yếu tố của quá trình giáo dục trong nhà trường phổ
thông cần được tiếp cận theo định hướng đổi mới. Việc xây dựng các chủ đề dạy
học một cách hợp lý, khiến cho kiến thức môn học trở nên sinh động, hấp dẫn,
có ưu thế trong việc tạo ra động cơ, hứng thú học tập cho học sinh. Trong
chương trình THCS thì Toán lớp 7 rất quan trọng và tương đối khó. Qua thực tế
7
giảng dạy kết hợp với dự giờ, trao đổi với các đồng nghiệp bản thân tôi nhận
thấy các em học sinh còn nhiều lúng túng, mơ hồ khi chứng minh một bài Toán
Hình Học hay còn nhầm lẫn sai sót khi làm Toán Đại số, bởi trong sách giáo
khoa không đưa ra một phương pháp cụ thể nào, và không có một khuôn mẫu
chung nào cho cách trình bày theo từng phân môn học. Vì lẽ đó cách trình bày
lời giải của các em rất đa dạng, còn nhiều khi sai sót, ngộ nhận. Do đó việc giúp
các em nhận biết và hiểu được bản chất của từng bài Toán là rất quan trọng, từ
đó giúp các em có một lời giải chính xác, nhanh chóng và đạt hiệu quả cao.
Đồng thời tạo cho các em có hứng thú trong việc học bộ môn Toán, nhất là với
các em học sinh của trường THCS Trần Đăng Ninh, thành phố Nam Định.
Trong những năm gần đây, ngành Giáo dục thành phố Nam Định
nói chung, trường THCS Trần Đăng Ninh nói riêng đã luôn chú trọng đến công
tác dạy học, bồi dưỡng HSG môn Toán và đã đạt được một số thành tích đáng
kể. Qua nhiều năm công tác và trực tiếp giảng dạy bộ môn Toán ở trường THCS
Trần Đăng Ninh, bản thân tôi luôn tự trau dồi kiến thức, học hỏi đồng nghiệp và
mạnh dạn nghiên cứu đề tài: “Một số giải pháp giúp học sinh lớp 7 học tốt
dạng toán tỉ lệ thức – dãy tỉ số bằng nhau “.
.
8
PHẦN II: MÔ TẢ GIẢI PHÁP KỸ THUẬT:
II.1. Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến:

1.1 Thực trạng:

Khi mới giảng dạy môn Toán lớp 7 ở trường THCS Trần Đăng Ninh, với
học sinh đại trà tôi chỉ dạy học sinh như sách giáo khoa, hướng dẫn học sinh các
ví dụ cơ bản để học sinh có thể làm được bài tập của sách giáo khoa, cũng như
các bài tập đơn giản trong sách bài tập. Do đó trong các kì kiểm tra cuối kì và
cuối năm học khi gặp những bài tập nâng cao hay các bài tập tổng hợp, nhiều
học sinh bắt đầu lúng túng, khó khăn để tìm ra hướng giải, thậm chí các em còn
mắc phải những sai lầm không đáng có, dẫn đến việc các em lo lắng không còn
hứng thú trong các tiết học Toán, hoặc chỉ chờ để giáo viên chữa bài và chép
vào vở, hiệu quả của các tiết học vì thế bị ảnh hưởng nhiều. Vì vậy không phát
huy hết được năng lực học Toán của học sinh, làm giảm sự hứng thú của các em
dẫn đến học sinh ngày càng thấy học Toán đã khó lại khô khan, phức tạp và làm
mất đi ở các em tình yêu, sự đam mê với môn Toán.
Tôi đã suy nghĩ, trăn trở rất nhiều, và đặt ra câu hỏi cho bản thân: làm thế
nào để giúp học sinh tiếp thu bài giảng dễ dàng hơn, các em hiểu bài hơn và thấy
hứng thú hơn trong giờ học Toán. Tôi cũng đã tìm tòi, tham khảo sách, báo, học
hỏi kinh nghiệm của đồng nghiệp, để tìm phương pháp giảng dạy phù hợp với
các em. Bản thân tôi trong quá trình soạn bài, chuẩn bị bài cho một tiết dạy cũng
phải tìm nhiều dạng bài tập khác nhau, từ cơ bản đến phức tạp, suy nghĩ mọi
tình huống có thể xảy ra, để hướng dẫn học sinh sao cho các em hiểu bài, và để
tiết dạy đạt hiệu quả cao nhất.
Qua thực tế giảng dạy và kết hợp kiểm tra, dự giờ đồng nghiệp tôi nhận thấy:
trước một bài Toán nhiều em học sinh đã rất lúng túng hoặc vội vã, không đọc kĩ
đề, chưa hiểu rõ yêu cầu của đề dẫn đến xác định sai hướng giải, mắc sai lầm
trong bài giải hoặc có bài giải không hoàn chỉnh. Nguyên nhân có thể do các em
chưa chăm học nên quên kiến thức, cũng có những em chưa biết vận dụng kiến
thức một cách hợp lý vào làm Toán, hoặc đôi khi do bài quá khó so với lực học
của các em. Phần lớn các em mới chỉ biết vận dụng kiến thức vào các bài toán
9
đơn giản với yêu cầu vừa phải, chưa biết kết hợp các phương pháp vào giải các
bài toán tổng hợp, các bài toán khó với yêu cầu cao hơn.

1.2 Đối tượng nghiên cứu:

Là các em học sinh lớp 7 trường THCS Trần Đăng Ninh.
1.3. Phạm vi áp dụng:
Đề tài: “Một số giải pháp giúp học sinh lớp 7 học tốt dạng toán tỉ lệ
thức – dãy tỉ số bằng nhau ” được áp dụng ở trường THCS Trần Đăng Ninh
trong thời gian từ năm học 2017-2018 đến nay và tiếp tục trong các năm học sau
trên tinh thần kế thừa và phát huy bài học kinh nghiệm vừa sửa chữa, bổ sung
cho phù hợp với các đối tượng học sinh và tình hình cụ thể từng lớp học.
1.4. Mục đích nghiên cứu:
Cá nhân tôi viết đề tài với mục đích trao đổi kinh nghiệm với đồng
nghiệp, để đề tài được áp dụng cho các khối lớp khác, môn khác trong trường
THCS Trần Đăng Ninh và các trường trung học cơ sở khác.
1.5 Phương pháp nghiên cứu:
– Phương pháp quan sát: Quan sát thực tế, thực trạng về công tác dạy và
học môn Toán lớp 7, quá trình học tập rèn luyện và ý thức phấn đấu cũng như
kết quả chất lượng đạt được của học sinh đối với môn Toán.
– Phương pháp nghiên cứu tài liệu: Nghiên cứu sách giáo khoa, báo Toán,
giáo trình có liên quan đến công tác dạy và học môn Toán lớp 7.
– Phương pháp học hỏi, kế thừa và phát huy: Nghiên cứu chất lượng bộ
môn Toán của những năm trước; nghiên cứu công tác chỉ đạo của nhà trường,
của tổ nhóm chuyên môn đối với công tác dạy và học môn Toán lớp 7.
II.2. Mô tả giải pháp sau khi áp dụng sáng kiến:
Từ thực trạng đó, qua quá trình giảng dạy, nghiên cứu tài liệu cũng như
dự giờ các đồng nghiệp, trao đổi cùng học sinh, tôi đề xuất một số giải pháp
nhằm nâng cao chất lượng dạy và học môn Toán lớp 7 áp dụng đối với các em
học sinh khối lớp 7 của trường THCS Trần Đăng Ninh trong dạy Toán, cụ thể
như sau:
10
2.1. Hệ thống các vấn đề lý thuyết cần cung cấp cho học sinh.
* Đối với học sinh đại trà: Cung cấp cho các em học sinh đầy đủ kiến thức
lý thuyết theo hệ thống rõ ràng: định nghĩa( khái niệm), các tính chất, các nhận
xét, chú ý …. Cung cấp cho các em các phương pháp giải từ đơn giản để giải
quyết bài Toán.
* Đối với học sinh khá, giỏi: Yêu cầu các em học sinh phải có lời giải rõ
ràng, chính xác mà ngắn gọn nhất bằng lập luận chặt chẽ, lôgic hơn, thậm chí
bằng nhiều phương pháp khác nhau. Cho các em so sánh ưu điểm của các cách
làm đó. Từ đó các em biết đặt đề toán tương tự và giải quyết bài toán bằng
phương pháp hợp lý nhất.
Để giúp học sinh học tốt bộ môn Toán lớp 7, tôi đưa ra các giải pháp về
kiến thức, kỹ năng và những gợi ý (biện pháp, kỹ thuật) để tháo gỡ (quy lạ về
quen) khi gặp phải những bài Toán phức tạp hơn. Sau khi dạy xong theo kế
hoạch, tôi tiến hành kiểm tra ở mỗi lớp thực nghiệm trong ba năm học liên tiếp
và đã đạt được kết quả rất tốt như sau:
*/ Lần thứ nhất: Năm học 2017 – 2018:

Biểu đồ %Sau khi áp dụng sáng kiến tại Lớp 7A2
(Năm học 2017 – 2018)

Tổng
số
HSĐiểm 10Điểm 8

dưới 10Điểm 5

dưới 830SL % SL % SL %7 23,3 14 46,7 9 30

11
*/ Lần thứ hai: Năm học 2018 – 2019:

Biểu đồ %Sau khi áp dụng sáng kiến tại Lớp 7A1
Năm học 2018- 2019

Tổng
số HS Điểm 10Điểm 8 →
dưới 10Điểm 5 →
dưới 830SL % SL % SL %11 36,7 14 46,7 5 16,6

*/ Lần thứ ba: Năm học 2019 – 2020:

Biểu đồ %Sau khi áp dụng sáng kiến tại Lớp 7A1
Năm học 2019 – 2020

Tổng
số HS Điểm 10Điểm 8 →
dưới 10Điểm 5 →
dưới 831SL % SL % SL %15 48,4 13 41,9 3 9,7

* Nhận xét chung: Kết quả học tập bộ môn Toán 7 ở lớp thực nghiệm ba năm
liên tiếp đều có tỷ lệ điểm 10 cao hơn, tỷ lệ điểm giỏi tăng hơn so với kết quả
học tập bộ môn Toán 7 ở tất cả các năm học trước đó.
12
2.2. Các giải pháp cụ thể
Tục ngữ có câu: ” Không thầy đố mày làm nên”, nếu học sinh có kiến thức
Toán cơ bản tốt, có tố chất thông minh mà không được bồi dưỡng rèn luyện tốt
thì sẽ không phát huy hết khả năng của mình, dẫn đến lãng phí nhân tài và
nguyên khí của đất nước. Vì thế giáo viên Toán phải phát huy năng lực bản thân
để phát hiện và bồi dưỡng tốt cho các em học sinh, phải tự biên soạn chương
trình bồi dưỡng môn Toán lớp 7 một cách hợp lí, khoa học, sáng tạo. Ngoài ra
giáo viên cần hướng dẫn cho các em phương pháp tự học, tự đọc, tự nghiên cứu
tài liệu ở nhà, hướng cho các em có ý chí quyết tâm, biết đặt ra mục tiêu của
mình cần vươn tới, đạt được cái đích mà mình đặt ra. Do đó:
2.2-1. Bồi dưỡng và có phương pháp phù hợp đến từng đối tượng học sinh.
– Trên cơ sở kế thừa và phát huy kết quả học tập bộ môn Toán của các em
từ những năm học trước và kết quả đạt được của môn Toán năm lớp 6, đồng thời
tham khảo ý kiến của các giáo viên đã từng dạy các em để nắm bắt khả năng, tố
chất, trí tuệ, niềm đam mê học Toán của từng học sinh để có phương pháp dạy
học phù hợp cho từng đối tượng học sinh ở năm học lớp 7.
– Giao nhiệm vụ cụ thể cho các em học sinh thực hiện trong hè, có thể
động viên các em học sinh tự đọc và nghiên cứu SGK Toán 7 để giải được cơ
bản các bài tập trong SGK, SBT Toán 7, bài nào chưa giải được thì đánh dấu lại
sau này thầy cô hướng dẫn.
– Trong năm học, bản thân tôi chú trọng việc dạy Toán theo nhóm đối
tượng có cùng năng lực hoặc cùng khả năng tiếp thu bài hoặc cùng ý thức quyết
tâm phấn đấu nhằm tiếp tục phát hiện thêm những em học sinh có tố chất môn
Toán tránh bỏ sót học sinh giỏi .
2.2-2. Lên kế hoạch và xây dựng chương trình bồi dưỡng
– Hiện nay có rất nhiều loại sách nâng cao của nhiều nhà xuất bản và các
tài liệu tham khảo trên mạng Internet thì vô cùng phong phú song chương trình
bồi dưỡng học sinh giỏi thì chưa có sách hướng dẫn chi tiết cho từng tiết, từng
buổi như trong chương trình chính khóa. Vì vậy việc lên kế hoạch và viết nội
13
dung dạy học Bồi dưỡng môn Toán phù hợp với từng đối tượng học sinh là việc
làm hết sức quan trọng, cần thiết và rất khó khăn.
Với cá nhân tôi, ngay sau khi nhận phân công chuyên môn là tôi bắt tay
ngay vào việc lập kế hoạch và biên soạn nội dung bồi dưỡng bao gồm cả học
sinh đại trà và học sinh khá giỏi theo hệ thống . Để tránh việc tiện đâu ôn đó
cho học sinh, tôi xây dựng chương trình bồi dưỡng theo từng chủ đề trên cơ sở
bám sát chương trình sách giáo khoa, sách bài tập, chuẩn kiến thức kĩ năng, kế
hoạch dạy học môn Toán 7, khung chương trình học môn Toán 7 và cấu trúc đề
thi các năm.
Chủ đề: “Tỉ lệ thức – Dãy tỉ số bằng nhau” được tôi xây dựng theo
trình tự sau:
I. Mục tiêu
II. Nội dung kiến thức, kĩ năng cần bồi dưỡng
III. Các dạng bài tập thường gặp
*) Dạng 1; 2; 3.
1) Phương pháp giải (có chú ý đến những phương pháp giải khác nhau)
2) Ví dụ (Các ví dụ mẫu có thể được phân tích cách làm, chỉ ra một số
sai lầm hay mắc phải hoặc lưu ý khi làm bài.)
3) Bài tập vận dụng (Sau khi trình bày các phương pháp tôi đưa ra một
số bài tập với mức độ vận dụng từ thấp đến cao nhằm củng cố các phương pháp
đã học cũng như sự linh hoạt khi làm bài của học sinh).
3.1 Bài tập cơ bản
3.2 Bài tập nâng cao
4) Bài học rút ra
IV. Đề kiểm tra hết chủ đề
V. Rút kinh nghiệm:
Cần lưu ý rằng: Tùy thuộc vào thời gian bồi dưỡng và khả năng tiếp thu
của học sinh mà lựa chọn mức độ bài khó và số lượng bài luyện tập nhiều hay ít.
14
2.2-3. Quá trình dạy Toán và bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 7
Bồi dưỡng Toán lớp 7 và bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 7 là một quá trình
lâu dài. Cần phải giúp học sinh thấy hứng thú và tính tích cực học tập , khơi
được ý thức độc lập nghiên cứu của học sinh.
– Thứ nhất là làm cho học sinh yêu thích môn học, khơi dậy trong các em
lòng hăng say học tập, ý chí phấn đấu dành kết quả cao nhất trong học tập, tạo ra
được khí thế thi đua học tập sôi nổi. Có như vậy các em mới tự giác học tập mà
không cần thầy cô hay cha mẹ thúc giục. Cách tốt nhất bồi dưỡng hứng thú cho
học sinh là hướng dẫn dìu dắt cho các em đạt được những thành công từ thấp lên
cao. Nhiều học sinh lúc đầu chưa bộc lộ rõ năng khiếu nhưng sau quá trình được
dìu dắt đã trưởng thành rất vững chắc và đạt thành tích cao. Để các em có thái
độ tích cực tôi thường tranh thủ giờ ra chơi, giờ sinh hoạt lớp phân tích, tâm sự,
chia sẻ cho các em hiểu về lợi ích sau này của việc học Toán chứ không đơn
thuần là ôn để thi là xong. Môn Toán sẽ còn theo các em rất lâu trong quá trình
học tập, nó hỗ trợ các em học tốt các môn học khác cũng như lợi ích của nó
trong công việc tương lai của các em, trong cuộc sống của các em sau này. Từ
đó các em thấy được tầm quan trọng của môn học và có thái độ tích cực hơn khi
học tập.
– Thứ hai là hướng dẫn học sinh phương pháp tự học ở nhà, biết độc lập
suy nghĩ, sáng tạo khi giải quyết vấn đề.
Trước khi dạy mỗi chủ đề tôi thường giao nhiệm vụ cho các em về nhà
nghiên cứu sách giáo khoa, sách bài tập, sách nâng cao và chuyên đề, sách nâng
cao và phát triển của nhà xuất bản Giáo dục để chia ra từng dạng bài, tìm ra
phương pháp giải cho từng dạng và làm bài tập ở các dạng đó. Việc làm này vừa
giúp các em khắc sâu được kiến thức và phương pháp giải của từng dạng toán
trong từng chủ đề vừa tiết kiệm được thời gian giảng dạy giáo viên lại vừa phát
huy được khả năng tự học, tự nghiên cứu của các em học sinh.
– Thứ ba là phải nắm vững phương châm: dạy chắc cơ bản rồi mới nâng
cao. Thông qua những bài luyện cụ thể để dạy phương pháp tư duy: dạy kiểu
dạng bài có quy luật trước, loại bài có tính đơn lẻ, đặc biệt sau. Để giải được các
15
bài toán tổng hợp và bài toán khó, học sinh cần phải hiểu kiến thức một cách cơ
bản, hệ thống, vững chắc, sâu sắc và có khả năng vận dụng linh hoạt.
+) Mỗi loại kiến thức (khái niệm, định nghĩa, tính chất, định lý…) đều có
nội hàm riêng và cách vận dụng (hay quy tắc, phương pháp) đặc trưng của nó.
Khi dạy cần phải thông qua một số bài thí dụ cụ thể để khắc sâu cho học sinh
đầy đủ, cặn kẽ nội hàm và phương pháp vận dụng của kiến thức đó. Được như
vậy, khi gặp hàng chục, hàng trăm bài khác, mặc dù có những chi tiết cụ thể
khác nhau nhưng học sinh vẫn làm được vì chúng giống nhau ở điểm cốt lõi.
+) Có những loại bài liên quan đến đến rất nhiều loại kiến thức kỹ năng
khác nhau, học sinh muốn làm được cần phải biết chia bài đó thành nhiều bài
toán nhỏ, trong mỗi bài nhỏ phải biết dùng kiến thức, kỹ năng nào. Muốn làm đ-
ược như vậy, học sinh phải nắm thật vững nội hàm và phương pháp vận dụng
của từng loại kiến thức, biết được chúng liên quan với nhau như thế nào (hay
từng kiến thức nằm trong một hệ thống như thế nào), từ đó mới biết khi nào cần
sử dụng kiến thức nào. Nói cách khác, phải dạy một cách cơ bản, vững chắc và
hệ thống. Nếu dạy được học sinh đến trình độ đó thì từ yêu cầu và điều kiện của
bài ra học sinh sẽ biết chia việc giải một bài toán khó ra nhiều công đoạn, mỗi
công đoạn dùng kiến thức, phương pháp phù hợp. Dù cho bài toán biến hoá
nhiều kiểu nhưng cũng không ra ngoài những kiến thức và phương pháp trong
chương trình đã học.
Lý do phải dạy theo nhưng phương châm nêu trên là vì:
+) Dạy chắc cơ bản trước rồi mới nâng cao: Các bài cơ bản là những bài
dễ, chỉ liên quan đến một hoặc vài loại kiến thức kỹ năng, cần phải luyện tập
nắm vững từng loại trước đã sau đó mới nâng cao dần những bài tổng hợp nhiều
loại kiến thức, học sinh đã nắm vững từng loại sẽ dễ dàng nhận ra và giải quyết
được. Đối với học sinh giỏi bước này có thể làm nhanh, hoặc cho tự làm nhưng
phải kiểm tra biết chắc chắn là chắc cơ bản rồi mới nâng cao, nếu bỏ qua bước
này trình độ của học sinh sẽ không ổn định và không vững chắc được.
+) Mỗi loại cần thông qua một hoặc hai bài điển hình, quan trọng là phải
rút ra phương pháp rồi cho thêm một số bài cho học sinh tự vận dụng cho thành
16
thạo phương pháp, cần kiểm tra thẩm định xem học sinh đã nắm chắc chắn chưa,
nếu chưa chắc chắn cần phải củng cố đến khi được mới thôi.
+) Hầu hết các bài đều có thể quy về một loại bài nào đó có quy tắc giải
chung, mỗi loại bài toán có một loại nguyên tắc, cứ xác định đúng loại bài, sử
dụng đúng nguyên tắc là giải quyết được. Nhưng cá biệt có một ít bài không
theo những nguyên tắc chung, thuộc những tình huống cá biệt, có thể sử dụng
những cách riêng, thường không rõ quy luật, nhưng giải quyết nhanh. Cần phải
coi trọng loại bài có nguyên tắc là chính. Loại sau chỉ nên giới thiệu sau khi đã
học kỹ loại trên, vì loại đó học bài nào chỉ biết bài đó mà không áp dụng cho
nhiều bài khác được.
Nên tránh:
+) Một số giáo viên mới dạy bồi dưỡng Toán lớp 7, dạy bồi dưỡng học
sinh giỏi Toán 7 thường hay nôn nóng, bỏ qua bước làm chắc cơ bản, cho ngay
bài khó, học sinh mới đầu đã gặp ngay một “mớ bòng bong”, không nhận ra và
ghi nhớ được từng đơn vị kiến thức kỹ năng, kết quả là không định hình được
phương pháp từ đơn giản đến phức tạp, càng học càng hoang mang.
+) Một số lại coi những bài đơn lẻ không có quy luật chung là quan trọng,
cho học sinh làm nhiều hơn và trước những bài có nguyên tắc chung (coi những
bài đó mới là “thông minh”), kết quả là học sinh bị rối loạn, không học được
phương pháp tư duy theo kiểu đúng đắn khoa học và thông thường là: mỗi loại
sự việc có một nguyên tắc giải quyết, chỉ cần nắm vững một số nguyên tắc là
giải quyết được hầu hết các sự việc.
– Thứ tư là phải đặc biệt chú ý đến kĩ năng trình bày bài làm của học sinh.
Thực tế đã cho thấy có những em rất thông minh nhưng chỉ chú trọng đến việc
giải ra kết quả còn việc trình bày thì không chặt chẽ, làm quá tắt hoặc viết không
rõ ràng con số, chữ. Đây chính là yếu tố làm mất điểm bài thi của các em mặc dù
đã tìm ra kết quả. Do đó khi bồi dưỡng các em trên lớp, với những bài tập mẫu
hay khi chữa bài tập, bài kiểm tra tôi đều giải rất chi tiết, cẩn thận vừa để giúp
các em hiểu sâu sắc bài toán vừa để các em học tập kĩ năng trình bày còn khi
chấm bài của các em tôi phạt lỗi kĩ năng rất nặng.
17
Chú ý đến kĩ năng trình bày song cũng không làm mất đi tính sáng tạo ở
các em, với những bài toán khó tôi chỉ gợi ý, hướng dẫn các em phân tích bài
toán để tìm ra cách giải chứ không giải hoàn chỉnh. Có như vậy khi gặp một
dạng toán mới chưa được học các em vẫn có thể tự suy nghĩ và định hướng được
cách làm.
2.2-4.Thời gian dạy bồi dưỡng:
Để chương trình bồi dưỡng Toán lớp 7, bồi dưỡng học sinh giỏi Toán
7 có hiệu quả thì nhà trường cần có kế hoạch bồi dưỡng học sinh giỏi liên tục
và đều đặn, không dồn ép ở tháng cuối trước khi thi vừa quá tải đối với học sinh
vừa ảnh hưởng đến quá trình tiếp thu kiến thức ở môn học khác của học sinh.
Trong tình hình cụ thể của mỗi nhà trường thì thời gian bồi dưỡng Toán
lớp 7, bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7 là không nhiều nên chúng ta phải nỗ lực
rất nhiều, phải tận dụng mọi thời gian để ôn luyện cho học sinh.
– Thứ nhất là trong các giờ học chính khóa ta thường phải chú ý đến đối
tượng học sinh giỏi: có những câu hỏi khó khơi gợi óc tư duy sáng tạo dành cho
các em, cuối giờ học cần giao thêm các bài tập khó cho các em.
– Thứ hai là trong các buổi bồi dưỡng theo lịch nhà trường thì phần chữa
bài tập về nhà của buổi học trước ta chỉ nên chữa những bài mà đa số các em
không làm được để tiết kiệm thời gian dạy chủ đề mới. Để làm được việc này ta
cần yêu cầu cá em hoàn thành phần bài tập về nhà trong một thời gian nhất định
rồi nộp lại cho giáo viên trước buổi học tiếp theo ít nhất một ngày để ta kiểm tra
việc làm bài tập về nhà, chữa sai, chấm điểm và nhận xét ưu, khuyết điểm của
từng em. Điều này không những tiết kiệm thời gian cho buổi học chính mà còn
giúp ta uốn nắn được kĩ năng làm bài cho từng em và đánh giá năng lực của các
em chính xác hơn.
– Thứ ba là đến giai đoạn trước khi thi học kỳ , thi học sinh giỏi khoảng
một tháng, tôi có tham mưu, đề xuất với ban giám hiệu, kết hợp với giáo viên bộ
môn và giáo viên chủ nhiệm tạo điều kiện cho các em tập trung cho môn thi (sau
khi thi sẽ học bù nếu cần ). Các em sẽ được nhà trường tạo điều kiện và giáo
viên dạy Toán chúng tôi sẽ giao thêm các bài tập, các đề thi của các năm trước,
18
các đề thi sưu tầm trên mạng cho các em giải để tập dượt trước khi thi và tôi
thường tranh thủ những tiết trống để đến hướng dẫn thêm cho các em làm bài
hoặc là chữa bài cho các em.
2.2-5. Vai trò của người thầy
Cố thủ tướng Phạm Văn Đồng đã từng nói: “Muốn có trò giỏi thì trước
hết phải có thầy giỏi”, nói thế không có nghĩa là cứ có thầy giỏi thì sẽ có trò
giỏi mà nó còn phụ thuộc vào nhiều yếu tố khác, tuy nhiên qua đó muốn khẳng
định rằng vai trò của người thầy trong công tác phát hiện và bồi dưỡng học sinh
giỏi Toán là hết sức quan trọng. Là một giáo viên dạy Toán, theo tôi chúng ta
phải là một người thầy vừa hồng vừa chuyên, hay nói theo cách khác là phải đủ
tâm vừa đủ tầm. Phải luôn có ý thức tự rèn luyện, tích lũy tri thức và kinh
nghiệm, trau dồi chuyên môn, đọc nhiều, hiểu sâu vấn đề mà mình dạy học sinh
theo phương châm biết mười dạy một. Phải thường xuyên tìm tòi các tư liệu, có
kiến thức nâng cao trên các phương tiện, đặc biệt là trên mạng Internet. Lựa
chọn trang Web nào hữu ích nhất, tiện dụng nhất, các tác giả giỏi, các đề thi hay,
các chuyên đề hấp dẫn, khả quan nhất để sưu tầm làm tài liệu giảng dạy …
Tôi nghĩ rằng người thầy có vai trò quyết định nhất đối với kết quả học
tập của các em học sinh, các em học sinh có vai trò quyết định trực tiếp đối
với kết quả của mình. Kết quả công tác bồi dưỡng học sinh giỏi có đạt cao
hay không, điều đó còn phụ thuộc rất lớn ở các em học sinh. Việc bồi dưỡng
học sinh giỏi Toán giống như chúng ta ươm một mầm non, nếu chúng ta biết
rào, biết thường xuyên chăm sóc, vun xới thì mầm non sẽ xanh tốt, phát triển.
Chủ đề: “Tỉ lệ thức – Dãy tỉ số bằng nhau” tôi thực hiện như sau:
19
CHỦ ĐỀ: TỈ LỆ THỨC – DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
I. Mục tiêu:
1. Kiến thức
– Giúp HS nắm vững định nghĩa và tính chất của tỉ lệ thức. Khắc sâu tính
chất của dãy tỉ số bằng nhau.
2. Kĩ năng
– Học sinh biết vận dụng các kiến thức về tỉ lệ thức để giải các dạng toán:
lập tỉ lệ thức, tìm 1 thành phần chưa biết của tỉ lệ thức, chứng minh tỉ lệ thức,
giải toán liên quan đến tỉ lệ thức.
– Học sinh vận dụng linh hoạt tính chất của dãy tỉ số bằng nhau để tìm số
hạng chưa biết của tỉ lệ thức, của dãy tỉ số bằng nhau, để biến đổi đẳng thức.
3. Thái độ.
Học sinh biết phân tích đề bài để tìm lời giải nhanh nhất, hợp lí nhất. Có
thái độ làm bài tích cực.
4. Định hướng phát triển năng lực:
Phát triển năng lực tính toán, năng lực sử dụng ngôn ngữ toán học, năng
lực tư duy lôgic, năng lực giải quyết vấn đề, năng lực hợp tác, năng lực sáng tạo,
năng lực tự học.
II. Kiến thức cơ bản:
1. Tỉ lệ thức
a/ Định nghĩa: Tỉ lệ thức là đẳng thức của 2 tỷ số.
Dạng tổng quát
c d
a b
= hoặc a : b = c : d .
b/ Tính chất :
1/ Nếu
c d
a b
= thì a.d = b.c (Tích 2 ngoại tỷ bằng tích 2 trung tỷ ).
2/ Nếu a.d = b.c và các số a,b,c,d đều khác 0 thì ta có các tỉ lệ thức sau:
c d
a b
=
,
a b
c d
=
,
d c
b a
=
,
d b
c a
=
(Từ một tỷ lệ thức ta có thể suy ra ba tỷ lệ thức khác bằng cách: hoán đổi
các trung tỷ , hoán đổi các ngoại tỷ hoặc hoán đổi cả trung tỷ và ngoại tỷ)
20
2.Tính chất dãy tỷ số bằng nhau:
Từ
b d
a c
b d
a c
c d
a b
c d
a b
– –
=
+ +
= = = =
Từ a c e
b d f
= = => = …………
– –
– –
=
+ +
+ +
= = =
b d f
a c e
b d f
a c e
e f
c d
a b
Từ a c e a c e k k
b d f b d f
 
= = =  =
 
( với giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
3.Chú ý:
+) Các số x, y, z tỉ lệ với các số a, b, c x y z
a b c
 = =
Ta còn viết x : y : z = a : b : c
+) Nâng cao: Ta còn có tính chất gọi là tính chất tổng hoặc hiệu tỉ l ệ.
Từ
a b c d
a c b d
b d a b c d
a c
  
 =
= = 
  
  =
III. Các dạng bài tập:
*) Dạng 1: Tìm số hạng chưa biết của tỉ lệ thức, của dãy tỉ số bằng nhau.
1.Phương pháp giải
– Từ tỉ lệ thức: a c
b d
=
 = a d b c . .
. . . .
; ; ;
b c a d a d b c
a b c d
d c b a
 = = = =
Muốn tìm ngoại tỉ chưa biết ta lấy tích của hai trung tỉ chia cho ngoại tỉ đã
biết, muốn tìm trung tỉ chưa biết ta lấy tích của hai ngoại tỉ chia cho trung tỉ
đã biết.
– Vận dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:
2.Ví dụ
VD1: Tìm x trong các tỉ lệ thức sau:
a) 2
15 3,5
x –
= b) 3,8 : (2x) = 1 2 : 2
4 3
Giải:
a) 2
15 3,5
x –
= => x .3,5 = 15 .(-2)
21
=> x. 3,5 = -30
=> x = 30
3,5

=> x = 60
7
– ( thỏa mãn bài ra)
Vậy x = 60
7

b) 3,8 : (2x) = 1 2 : 2
4 3
19 1 8
: (2 ) :
5 4 3
 = x
1 19 8
(2 ). .
4 5 3
1 152
(2 ).
4 15
152 1
2 :
15 4
608
2
15
x x
x x
 =
 =
 =
 =
608
: 2
15
 = x
304
15
 = x ( thỏa mãn bài ra)
Vậy 304
15
x =
VD 2: Tìm x, y biết:
a)
5 25
x y
=

và x + y = 60b) 5x = 3y và x – y = -5

Giải:
a) Ta có:
5 25
x y
=

và x + y = 60

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: 60 2
5 25 5 25 30
x y x y +
= = = =
+
+) Vì 2 2.5 10
x 5
=  = = x

+) Vì

2 2.25 50
25
y
=  = = y
Vậy x =10, y = 50 ( thỏa mãn bài ra)
22
b) Ta có: 5x = 3y =>
3 5
=
x y
mà x – y = -5
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: 5 2,5
3 5 3 5 2
– –
= = = =
– –
x y x y
+) Vì 2,5
3
=
x
=> x = 2,5.3 = 7,5
+) Vì 2,5
5
=
y
=> y = 2,5.5 = 12,5
Vậy x = 7,5 và y = 12,5 ( thỏa mãn bài ra)
3. Bài tập vận dụng
3.1/ Bài tập cơ bản
Bài 1. Tìm x trong các tỉ lệ thức sau :
a) 16
25
=
x
x
b) 37 x 3
x 13 7

=
+
c) 2 4
1 7
– +
=
– +
x x
x x
Giải:
a) 16
25
=
x
x
 = x x . 16.25
2 400
20
 =
 = 
x x
Vậy x – 20; 20thỏa mãn bài ra
Ta thấy trong tỉ lệ thức 16
25
x
x
= có 2 trung tỉ chưa biết giống nhau khi
làm ta đưa về lũy thừa bậc hai. Như vậy sau khi làm bài này học sinh có thể
đưa ra bài tập tương tự ( ví dụ cho đẳng thức có hai ngoại tỉ chưa biết giống
nhau) hoặc giáo viên có thể nâng cao mức độ bài tập( ví dụ cho các tỉ lệ thức
2 60
15 2
+
=
+
x
x
;
1 20
4 1

=
– –
x
x
và yêu cầu học sinh tìm x).
b) 37 x 3
x 13 7

=
+

*) Cách 1:*) Cách 2:
Áp dụng tính chất cơ bản của dãy tỉ số

37 x 3
x 13 7

=
+
37 x 3
x 13 7

=
+
37 13
3 7
– +
 =
x x

23
3.( 13) 7.(37 x)
3 39 259 7
10 220
22
 + = –
 + = –
 =
 =
x
x x
x
x

Vậy x = 22 thỏa mãn bài rabằng nhau ta có:
Vậy x = 22 thỏa mãn bài ra

37 13 37 13 50
5
3 7 3 7 10
22
– + – + +
= = = =
+
 =
x x x x
x
c) 2 4
1 7
x x
x x
– +
=
– +
 – + = – + ( 2).( 7) ( 1).( 4) x x x x
 + – – = – + – x 7 2 14 4 4 2 2 x x x x x
5 14 3 4
2 10
5
x x
x
x
 – = –
 =
 =
Vậy x = 5 thỏa mãn bài ra
Ta thấy trong tỉ lệ thức 2 4
1 7
x x
x x
– +
=
– +
thì x nằm ở cả 4 vị trí( 2 trung tỉ và
2 ngoại tỉ) mà hệ số đều bằng 1 do đó sau khi biến đổi thì x2 bị triệt tiêu. Ta
cũng có thể tìm x trong tỉ lệ thức trên bằng cách áp dụng tính chất dãy tỉ số
bằng nhau.
Bài 2: Tìm hai số x và y biết :

a)
và x + y = – 2
b)
và x.y = 2100
c)

2 5
x y
= 3 7
x y
= 3 4
x y
= x2 + y2 =100
Giải:
a) Ta có:
2 5
x y
= và x + y = – 2
*) Cách 1: Áp dụng tính chất cơ bản của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
4
2 7
2 5 2 5 7 10
7
 –
+ –   =
= = =  
+  = –
 
x
x y x y
y

Vậy
thỏa mãn bài ra.

4 10 ;
7 7
– –
x y = = *) Cách 2: Đặt (k 0) x = 2k ; y = 5k
2 5
= =  
x y
k
24
Mà x + y = – 2 => 2k + 5k = -2 => k = 2
– 7
4 10
;
7 7
– –
 = = x y

Vậy
thỏa mãn bài ra.

4 10 ;
7 7
– –
x y = = b) Ta có:
3 7
=
x y
và x.y = 2100

Đặt

(k 0) x=3k; y=7k
3 7
= =  
x y
k
Mà x.y = 2100 => 3k.7k = 2100 => k2 = 100 => k = 10
+) Nếu k = 10 3.10 30
7.10 70
 = =
 
 = =
x y
+) Nếu k = -10 3.( 10) 30
7.( 10) 70
 = – = –
 
 = – = –
x y

Vậythỏa mãn bài ra.
*) Chú ý: Đây là bài toán tìm hai số biết “tích” và “tỉ”.

30 30
;
70 70
  = = –
 
  = = –
x x
y y
c) Ta có:
3 4
=
x y
và x y 100 2 2 + =

Đặt

(k 0) x=3k; y=4k
3 4
= =  
x y
k
Mà x y k k 2 2 2 2 + =  + = 100 (3 ) (4 ) 100
9 16 100 25 100 4 2 2 2 2
2
 + =  =  =
 = 
k k k k
k
+) Nếu k = 2 x = 3 . 2 = 6
y= 4 . 2 = 8

 

+) Nếu k = -2 x = 3 . (-2) = -6
y = 4 . (-2) = -8

 

Vậy
6 6
;
8 8
  = = –
 
  = = –
x x
y y
thỏa mãn bài ra.
25
Bài 3: Tìm x, y và z biết:
x y z
a) và x y z 12
3 4 5
= = – + =
b) x : 4 y : 5 z : 6 và x y z 28 = = – – =
c) x : y : z 3: 5: 7 và x y z 25 = – + = –
Giải:
a) Ta có: x y z và x y z 12
3 4 5
= = – + =

*) Cách 1: Đặt
(với k khác 0)

3 , 4 , 5
3 4 5
x y z
= = =  = = = k x k y k z k Mà x – y + z = 12 => 3k – 4k + 5k = 12 => k = 3
=> x = 3.3 = 9; y = 3.4 = 12; z = 5.3 = 15
Vậy x = 9; y = 12; z = 15 thỏa mãn bài ra.
*) Cách 2: Áp dụng tính chất cơ bản của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
x y z x y z 12
3
3 4 5 3 4 5 4
– +
= = = = =
– +
x
3 x 3.3 9
3 y
3 y 4.3 12
4 z
3 z 5.3 15
5
 =  = =
=  = =
=  = =
Vậy x = 9; y = 12; z = 15 thỏa mãn bài ra.
b) Ta có: x : 4 y :5 z : 6 và x y z 28 = = – – =
Học sinh có thể làm tương tự câu a)
=> x = -16; y = -20; z = -24 ( thỏa mãn bài ra).
c) x : y : z 3:5: 7 và x y z 25
x y z
và x y z 25
3 5 7
= – + = –
 = = – + = –
Học sinh có thể làm tương tự câu a)
=> x = -15; y = -25; z = -35( thỏa mãn bài ra).
26
Bài 4: Tìm các số a, b, c biết rằng
a) a b c
2 3 4
= = và a + 2b – 3c = – 20
b) a: b: c = 2: 5: 7 và 3a + 2b – c = 27
c) ;
2 3 5 4
= =
a b b c
và a – b + c = – 49
d) 5a = 8b = 20c và a – b –c = 3
e)
12 9 5
= =
a b c
và abc = 20
Hướng dẫn: c) Viết
2 3
=
a b
thành
10 15
=
a b

5 4
=
b c
thành
15 12
=
b c
Giải:
a) Ta có:
2 3 4
a b c
= = và a + 2b – 3c = – 20

*) Cách 1: Đặt

(k 0) a=2k;b=3k;c=4k
2 3 4
= = =  
a b c
k
Mà a + 2b – 3c = – 20 => 2k + 6k – 12k = – 20 => k = 5
=>a = 10; b = 15; c = 20.
Vậy a = 10; b = 15; c = 20 thỏa mãn bài ra.
*) Cách 2: Từ 2 3
2 3 4 2 6 12
= =  = =
a b c a b c
mà a + 2b – 3c = – 20
Áp dụng tính chất cơ bản của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
2 3 2 3 20
5
2 6 12 2 6 12 4
+ – –
= = = = =
+ – –
a b c a b c
=> a = 10; b = 15; c = 20.
Vậy a = 10; b = 15; c = 20 thỏa mãn bài ra.
b) Ta có a: b: c = 2: 5: 7 và 3a + 2b – c = 27
=>
2 5 7
= =
a b c
và 3a + 2b – c = 27
Học sinh có thể làm tương tự câu a)
=> a = 6, b = 15, c = 21 (thỏa mãn bài ra).
c) Ta có: ;
2 3 5 4
= =
a b b c
và a – b + c = – 49
27
Vì ;
2 3 5 4 10 15 12
= =  = =
a b b c a b c
mà a – b + c = – 49
Học sinh làm tương tự câu a)
=> a = -70, b = -105, c = -84 (thỏa mãn bài ra).
d) Ta có: 5a = 8b = 20c và a – b –c = 3

Vì 5a = 8b = 20c
, mà a – b –c = 3

1 1 1
5 8 20
 = =
a b c
Học sinh có thể làm tương tự câu a)
=> a = 24, b = 15, c = 6 (thỏa mãn bài ra).
e) Ta có:
12 9 5
= =
a b c
và a.b.c = 20

Đặt

(k 0) a = 12k ; b = 9k ; c = 5k
12 9 5
= = =  
a b c
k
Mà a.b.c = 20 => 12k.9k.5k = 20 => k3 = 1
27
=> k = 1
3
1 1 1 5
12. 4; 9. 3; 5.
3 3 3 3
 = = = = = = a b c
Vậy a = 4; b = 3 ; c = 5
3
thỏa mãn bài ra.
Trong câu này ta cũng có thể làm như sau: Từ
12 9 5
= =
a b c
3
. .
. .
12 12 9 5 12.9.5
 
 = =  
 
a a b c a b c
mà a.b.c = 20
3
20 1
12 540 27
 
 = =  
 
a 1
12 3
 =
a
5
4; 3;
3
 = = = a b c .
3.2/ Bài tập nâng cao
Bài 5: Tìm các số a, b, c biết rằng
2 3 4
a b c
= = và a2 – b2 + 2c2 = 108
Hướng dẫn: Từ
2 3 4
a b c
= = suy ra
2 2 2
4 9 16
a b c
= =
28
Giải:

*) Cách 1: Đặt

(k 0) b = 2k ; b = 3k ; c = 4k
2 3 4
= = =  
a b c
k
Thay vào a2 – b2 + 2c2 = 108
Từ đó tìm được
4; 6; 8
4; 6; 8
 = = =

 = – = – = –
a b c
a b c
*) Cách 2: Từ
2 2 2 2 2 2 2
2 3 4 4 9 16 4 9 32
= =  = =  = =
a b c a b c a b c
(với a, b, c cùng dấu)
Mà a2 – b2 + 2c2 = 108
Áp dụng tính chất cơ bản của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
2 2 2 2 2 2 2 2 108
4
4 9 32 4 9 32 27
– +
= = = = =
– +
a b c a b c
2 2 2 2 2 2 2 2 108
4
4 9 32 4 9 32 27
– +
= = = = =
– +
a b c a b c
, mà a, b, c cùng dấu
4; 6; 8
4; 6; 8
 = = =
 
 = – = – = –
a b c
a b c
Vậy
4; 6; 8
4; 6; 8
 = = =

 = – = – = –
a b c
a b c
thỏa mãn bài ra.
Bài 6: Tìm cặp số (x, y) biết : 1+3y 1+5y 1+7y = =
12 5x 4x
Giải:
Ta có: 1+3y 1+5y 1+7y 1+3y 2+10y 1+7y = =  = =
12 5x 4x 12 10x 4x
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
+
= = = =

+
 =  =  =
1+3y 2+10y 1+7y (2+10y)-(1+7y) 1 3y
12 10x 4x 10x 4x 6x
1+3y 1 3y
6x 12 x 2
12 6x
Thay x = 2 vào bài ra ta có: 1+3y 1+5y =  = 10. 1+3y 12. 1+5y ( ) ( )
12 5.2
29
 + = +



10 30y 12 60y
30y=-2
1
y=
15
Vậy x = 2; y=-1
15
thỏa mãn bài ra.
Bài 7: Tìm x, y, z biết rằng: 4 6 8
2 3 4
x y z – – –
= = và x + y +z =27
Giải:
*) Cách 1: Đặt 4 6 8 (k 0)
2 3 4
x y z
– – – = = =  k
2 4
3 6
4 8
x k
y k
z k
 = +

 = + 

 = +
(*) mà x + y +z =27
=> 2k + 4 + 3k + 6 + 4k + 8 = 27
=> k = 1, thay vào (*)
=> x = 6; y= 9; z = 12 thỏa mãn bài ra.
Vậy x = 6; y= 9; z = 12
*) Cách 2: Ta có: 4 6 8
2 3 4
x y z – – –
= = và x + y +z =27
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
4 6 8 4 6 8 18 27 18
1
2 3 4 2 3 4 9 9
4 2.1 2 6
6 3.1 3 9
8 4.1 4 12
x y z x y z x y z
x x
y y
z z
– – – – + – + – + + – –
= = = = = =
+ +
  – = = =
 
 – = =  =  
 
  – = = =
Vậy x = 6; y= 9; z = 12 thỏa mãn bài ra.
Bài 8: Cho a b c
b c a
= = và a + b + c ≠ 0; a = 2015. Tính b, c ?
Giải:
Ta có: a b c
b c a
= =
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
a b c a b c 1
b c a b c a
+ +
= = = =
+ +
( vì a + b + c ≠ 0 )
30
1
1
1
a
a b
b b
b c
c c
c a
a

 =  =
 
 =  = 

 =  =

=> a = b = c , mà a = 2015 => b = c = 2015
Vậy b = c = 2015 thỏa mãn bài ra.
Bài 9: Tìm các số x, y, z biết: y z x z x y 1 2 3 1
x y z x y z
+ + + + + –
= = =
+ +
( với giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
Giải:
Ta có:
y z x z x y 1 2 3 1
x y z x y z
+ + + + + –
= = =
+ +
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
( )
( )
1 2 3 1 1 2 3
2.
2 x+y+z 0
y z x z x y y z x z x y
x y z x y z x y z
x y z
do
x y z
+ + + + + – + + + + + + + –
= = = =
+ + + +
+ +
= = 
+ +
Do đó
1
2 0,5 x y z
x y z
=  + + =
+ +
0,5
0,5
0,5
x y z
x z y
y z x
 + = –

 + = – 

 + = –
Thay vào bài ra, ta có:
0,5 1 0,5 2 0,5 3
x y z 2
x y z
– + – + – –
= = =
1,5 2,5 2,5
2
1,5 2
1 5 5
2,5 2 ; ;
2 6 6
2,5 2
x y z
x y z
x x
y y x y z
z z
– – – –
 = = =
 – =
 –
 – =  = = = 

- – =
Vậy
1 5 5
; ;
2 6 6
x y z

= = = thỏa mãn bài ra.
31
Bài 10: T×m x, y, z biÕt: x y z
x y
z
x z
y
z y
x
= + +
+ –
=
+ +
=
+ +1 1 2
(x, y, z  0 )
Giải:
Ta có: x y z
x y
z
x z
y
z y
x
= + +
+ –
=
+ +
=
+ +1 1 2
(x, y, z  0 )
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
1
1 1 2 1 1 2 2
0,5
0,5 0,5
0,5
x y z x y z
x y z
z y x z x y z y x z x y
x y z
x y z x z y
y z x
+ +
= = = + + = =
+ + + + + – + + + + + + + –
 + = –

 + + =  + = – 

 + = –
Thay vào bài ra ta có:
1
0,5 1 0,5 1 0,5 2 2
1
1,5 1,5 1,5 2
x y z
x y z
x y z
x y z
= = =
– + – + – –
 = = =
– – – –
1 1 1
; ;
2 2 2
x y z

 = = =
Vậy 1 1 1 ; ;
2 2 2
x y z

= = = thỏa mãn bài ra.
Bài 11: T×m x, y, z biÕt: 3 3 3
90 126 54
x y z
= = vµ x y z 2 2 2 + – = 585
Giải:
Ta có: 3 3 3
90 126 54 5 7 3
x y z x y z
= =  = =

Đặt
, mà

5 ; 7 ; 3 (k 0)
5 7 3
x y z
= = =  = = =  k x k y k z k x y z 2 2 2 + – = 585
( )2 2 2 ( ) ( )
2 2 2
2 2
5 7 3 585
25 49 9 585
65 585 9
3
k k k
k k k
k k
k
 + – =
 + – =
 =  =
 = 
+) Nếu k = 3 => x = 15; y = 21; z = 9
+) Nếu k = -3 => x = -15; y = -21; z = -9
Vậy 15; 21; 9
15; 21; 9
x y z
x y z
 = = =

 = – = – = –
thỏa mãn bài ra.
32
Bài 12: Tìm x , y biết : 2 1 4 5 2 4 4
5 9 7
x y x y
x
+ – + –
= =
Giải:
Ta có: 2 1 4 5 2 4 4
5 9 7
x y x y
x
+ – + –
= =
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
2 1 4 5 2 4 4 4 5 (2 4 4 2 1 ) ( )
5 9 7 7 5 7 5
x y x y y x y x
x x x
+ – + – – + – – +
= = = =
– –
4 5 4 5
7 5 9 2
9 7 5
y y
x x
x
– –
 =  – =  =

Thay x = 2 vào đề bài ta được: 2.2 1 4 5 7 4 5 9
5 9 2
y
y y
+ –
=  – =  =
Vậy 2; 7
2
x y = = thỏa mãn bài ra.
4. Bài học rút ra:
– Khi chưa áp dụng sáng kiến: Học sinh thường mắc một số sai lầm khi
tìm số hạng chưa biết của tỉ lệ thức, của dãy tỉ số bằng nhau cụ thể như sau:
+) Học sinh mắc sai lầm khi áp dụng .
.
x y x y
a b a b
= = hay . .
. .
x y z x y z
a b c a b c
= = =
dẫn đến lời giải sai.
Ví dụ 1: Bài 62 – SGK.T31: Tìm 2 số x, y biết rằng
2 5
x y
= và x.y = 10
Có em đã mắc sai lầm như sau:

2 5
x y
= và x.y = 10 => . 10 1
2 5 2.5 10
x y x y
= = = =
( Sai lầm vì nhầm tưởng đây là áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau)
=> x=2, y=5 (thỏa mãn bài ra).
Kết quả: Dẫn đến bài giải sai.
Ví dụ 2: Tìm các số a, b, c biết rằng a b c
2 3 4
= = và a.b.c = 600
Có em đã mắc sai lầm như sau:
Vì a b c
2 3 4
= = và a.b.c = 600 => a b c a.b.c 600 25
2 3 4 2.3.4 24
= = = = =
33
( Sai lầm vì nhầm tưởng đây là áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau)
=> a=50, b= 75, c= 100 (thỏa mãn bài ra).
Kết quả: Dẫn đến bài giải sai.
– Sau khi áp dụng sáng kiến: Học sinh khắc phục được các tồn tại mà khi
chưa áp dụng sáng kiến thường mắc phải:

Ví dụ 1: Bài 62 – SGK.T31: Tìm 2 số x, y biết rằng
và x.y = 10.

2 5
x y
= Học sinh làm đúng như sau:
Giải:
Ta có:
2 5
x y
= và x.y = 10

Đặt
mà x.y = 10

(k 0) x=2k;y=5k
2 5
x y
= =   k => 2k.5k = 10 => k2 = 1=> k = 1
Với k = 1 => x = 2, y = 5
Với k = -1 => x = -2, y = -5
Vậy 2; 5
2; 5
x y
x y
 = =

 = – = –
thỏa mãn bài ra.
Ví dụ 2: Tìm các số a, b, c biết rằng a b c
2 3 4
= = và a.b.c = 600
Học sinh làm đúng như sau:
Giải:
Ta có: a b c
2 3 4
= = và a.b.c = 600
Đặt a b c k (k 0) a=2k;b=3k;c=4k
2 3 4
= = =   mà a.b.c = 600
=> 2k.3k.4k = 600 => k2 = 25=> k = 5
Với k = 5 => a = 10, b = 15, c = 20
Với k = -5 => a = -10, b = -15, c = -20
Vậy 10; 15; 20
10; 15; 20
a b c
a b c
 = = =

 = – = – = –
thỏa mãn bài ra.
Do đó học sinh hoàn thành bài nhanh và đúng.
34
*) Dạng 2: Chứng minh tỉ lệ thức
1. Phương pháp giải
Cho tỉ lệ thức a c
b d
= . Để chứng minh tỉ lệ thức a c
b d

ta có thể làm như sau:

– Cách 1: Chứng minh hai tích chéo bằng nhau: a.d = b.c
– Cách 2: Chứng minh hai tỉ số a
b
và c
d
có cùng một giá trị. Nếu trong đề bài đã
cho trước một tỉ lệ thức ta đặt là k ( k khác 0) từ đó tính giá trị của mỗi tỉ số ở tỉ
lệ thức phải chứng minh theo k.
– Cách 3: Dùng các tính chất của tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau,

tính chất của đẳng thức, … để từ tỉ lệ thức đã cho
tạo ra được tỉ lệ thức cần

a c
b d
= chứng minh a c
b d
= .
*) Một số công thức cần chú ý:
– Với n  0, ta có: .
.
a n a
b n b
= ( nhân cả tử và mẫu của một phân số với cùng một số
khác không thì giá trị phân số không đổi)
– Với n  N*, ta có:
n n
a c a c
b d b d
   
=  =    
   
2. Ví dụ
VD1: Cho tỉ lệ thức a c
b d
= . Chứng minh rằng: a b c d
a b c d
+ +
=
– –
(Giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
Giải:
Cách 1: Ta có (a b c d ac ad bc bd + – = – + – )( ) (1)
(a b c d ac ad bc bd – + = + – – )( ) (2)
Mà a c
b d
=  = ad bc(3)
Từ (1 , 2 , 3 ) ( ) ( ) + – = – + (a b c d a b c d )( ) ( )( )

=>
.

a b c d
a b c d
+ +
=
– –

35
Vậy a b c d
a b c d
+ +
=
– –
(điều phải chứng minh)

Cách 2: Đặt
( với k ≠ 0 )

a c k a kb c kd ,
b d
= =  = = ( )
 = = = a b kb b k a b kb k b k k + + + – – – – b k ( +1 1 1) 1(1)
( )
c d kd d k c d kd d d k k + + + – – – – = = = d k ( +1 1 1) 1(2)
Từ (1) và (2) => a b c d
a b c d
+ +
=
– –
( vì cùng bằng 1
1
k k
+ –
)
Vậy a b c d
a b c d
+ +
=
– –
(điều phải chứng minh)
Cách 3: Ta có: a c a b
b d c d
=  =
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: a b a b a b
c d c d c d
+ –
= = =
+ –
a b c d
a b c d
+ +
 =
– –
Vậy a b c d
a b c d
+ +
=
– –
(điều phải chứng minh)
VD 2: Cho tỉ lệ thức a c
b d
= . Chứng minh rằng:
2 2
2 2
ab a b
cd c d

=

.
(Giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
Giải
Cách 1: Ta có: ab.(c2 – d2) = abc2 – abd2 = ac. bc – bd. ad (1)
cd.(a2 – b2) = cda2 – cdb2 = ac. ad – bd. bc (2)
Vì a c ad bc
b d
=  = (3)
Từ (1), (2), (3) => ab.(c2 – d2) = cd.(a2 – b2)
=>
2 2
2 2
ab a b
cd c d

=

Vậy
2 2
2 2
ab a b
cd c d

=

(điều phải chứng minh)
Cách 2: Vì a c a b
b d c d
=  =
2 2
2 2 .
a b a b ab
c d c d cd
 = = = (1)
36
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
2 2 2 2
2 2 2 2
a b a b
c d c d

= =

(2)
Từ (1) và (2) =>
2 2
2 2
ab a b
cd c d

=

Vậy
2 2
2 2
ab a b
cd c d

=

(điều phải chứng minh)
3. Bài tập vận dụng
3.1/ Bài tập cơ bản
Bài 1: Cho tỉ lệ thức a c
b d
= . Chứng minh rằng ta có các tỉ lệ thức sau
a) a b c d
a c
+ +
= b) a b c d
a c
– –
(với giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
Giải:

a) Đặt
( với k ≠ 0 )

a c k a kb c kd ,
b d
= =  = = ( )
a b kb b k b k 1 1(1)
a kb bk k
+ + + +
 = = =
( )
c d kd d k d k 1 1(2)
c kd dk k
+ + + +
= = =
Từ (1) và (2) => a b c d
a c
+ +
=

( vì cùng bằng

k 1
+ k
)
Vậy a b c d
a c
+ +
= (điều phải chứng minh)

b) Đặt
( với k ≠ 0 )

a c k a kb c kd ,
b d
= =  = = ( )
a b kb b k b k 1 1(1)
a kb bk k
– – – –
 = = =
( )
c d kd d k d k 1 1(2)
c kd dk k
– – – –
= = =
Từ (1) và (2) => a b c d
a c
– –
=

( vì cùng bằng

k 1
– k
)
Vậy a b c d
a c
– –
= (điều phải chứng minh)
37
Bài 2: Cho tỉ lệ thức a c
b d
= . Chứng minh rằng:
a) 3 2 5 3
3 2 5 3
a c a c
b d b d
+ –
=
+ –
b)
2 2
2 2
2 2
a c ac
b d bd

=

c) ( )
( )
2 2
ab a b
cd c d
+
=
+
( với giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
Giải:

a) Đặt
( với k ≠ 0 )

a c k a kb c kd ,
b d
= =  = = ( )
3 2 3 2 3 2 (1)
3 2 3 2 3 2
a c kb kd k b d
k
b d b d b d
+ + +
 = = =
+ + +
( )
5 3 5 3 5 3 (2)
5 3 5 3 5 3
a c kb kd k b d
k
b d b d b d
– – –
= = =
– – –
Từ (1) và (2) => 3 2 5 3
3 2 5 3
a c a c
b d b d
+ –
=
+ –
( vì cùng bằng k )
Vậy 3 2 5 3
3 2 5 3
a c a c
b d b d
+ –
=
+ –
(điều phải chứng minh)

b) Đặt
( với k ≠ 0 )

a c k a kb c kd ,
b d
= =  = = ( )
2 2 2 2
2
2 2 2
( )
a kb k b k 1
b b b
 = = =
( )
2 2 2 2 2
2
2 2 2
2 2 . .(2 )
2
2 2 2
c ac k d kb kd k d bd
k
d bd d bd d bd
– – –
= = =
– – –

Từ (1) và (2) =>( vì cùng bằng k2 )

2 2
2 2
2 2
a c ac
b d bd

=

Vậy
2 2
2 2
2 2
a c ac
b d bd

=

(điều phải chứng minh)

c) Đặt
( với k ≠ 0 )

a c k a kb c kd ,
b d
= =  = = ( )
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
( ) ( ) .( 1)
1
( ) ( ) .( 1)
a b kb b b k b
c d kd d d k d
+ + +
 = = =
+ + +
( )
2 2
2 2
. 2
.
ab kb b kb b
cd kd d kd d
= = =
Từ (1) và (2) => ( )
( )
2 2
ab a b
cd c d
+
=
+
( vì cùng bằng
2 2
b d
)
38
Vậy ( )
( )
2 2
ab a b
cd c d
+
=
+
(điều phải chứng minh)
Bài 3: Cho a2 = bc ( với b a b a c    0, , ). Chứng minh rằng: a b c a
a b c a
+ +
=
– –
.
Điều ngược lại có đúng không?
Giải:
*) Cho a2 = bc. Chứng minh: a b c a
a b c a
+ +
=
– –
Ta có a2 = bc => a c
b a
=

Đặt
( với k ≠ 0 )

a c k a kb c ka ,
b a
= =  = = .( 1) 1
(1)
.( 1) 1
a.( 1) 1
(2)
a.( 1) 1
a b bk b b k k
a b bk b b k k
c a ak a k k
c a ak a k k
+ + + +
= = = =
– – – –
+ + + +
= = =
– – – –
Từ (1) và (2) => a b c a
a b c a
+ +
=
– –
( vì cùng bằng 1
1
k k
+ –
)
Do đó a2 = bc thì a b c a
a b c a
+ +
=
– –
*) Cho a b c a
a b c a
+ +
=
– –
. Chứng minh: a2 = bc
Ta có a b c a
a b c a
+ +
=
– –
=> (a b c a a b c a + – = – + ). . ( ) ( ) ( )
2 2
2 2
2
2
2. 2.
ac a ab bc ac bc a ab
a bc bc a
bc a
a bc
 – – + = – + –
= – + = – +
 =
 =
Do đó a b c a
a b c a
+ +
=
– –
thì a2 = bc
Vậy a2 = bc a b c a
a b c a
+ +
 =
– –
Bài 4: Cho
c d
b c
a b
= = . Chứng minh rằng:
3
a b c a
b c d d
  + +
  =
  + +
39
Giải:

Đặt
( với k ≠ 0 )

a b c k a bk b ck c dk ; ;
b c d
= = =  = = = 3 3 3
a b c bk ck dk k b c d .( ) 3
k
b c d b c d b c d
      + + + + + +
 = = =      
      + + + + + + (1)
2 3
a bk bk bk 3
k
d b c b
k k
= = = = (2)
Từ (1) và (2) =>
3
a b c a
b c d d
  + +
  =
  + + ( vì cùng bằngk3 )
Vậy
3
a b c a
b c d d
  + +
  =
  + + (điều phải chứng minh)
Bài 5: Chứng minh rằng, nếu
c d
a b
= thì:
a)
c d
c d
a b
a b
5 3
5 3
5 3
5 3
+ –
=
+ –

b)

2 2
2
2 2
2
11 8
7 3
11 8
7 3
c d
c cd
a b
a ab
+ –
=
+ –
Giải:

a) Đặt
( với k ≠ 0 )

a c k a kb c kd ,
b d
= =  = = 5 3 5. 3 .(5. 3) 5. 3
(1)
5 3 5. 3 .(5. 3) 5. 3
5 3 5. 3 .(5. 3) 5. 3
(2)
5 3 5. 3 .(5. 3) 5. 3
a b bk b b k k
a b bk b b k k
c d dk d d k k
c d dk d d k k
+ + + +
 = = =
– – – –
+ + + +
= = =
– – – –
Từ (1) và (2) =>
c d
c d
a b
a b
5 3
5 3
5 3
5 3
+ –
=
+ –
( vì cùng bằng 5 3
5 3
k k
+ –
)
Vậy
c d
c d
a b
a b
5 3
5 3
5 3
5 3
+ –
=
+ –
(điều phải chứng minh)

b) Đặt
( với k ≠ 0 )

a c k a kb c kd ,
b d
= =  = = 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2
7 3 7.( ) 3. . .(7. 3) 7. 3
(1)
11 8 11.( ) 8 .(11. 8) 11. 8
7 3 7.( ) 3. . .(7. 3) 7. 3
(2)
11 8 11.( ) 8 .(11. 8) 11. 8
a ab bk bk b b k k k
a b bk b b k k k
c cd dk dk d d k k k
c d dk d d k k k
+ + + +
 = = =
– – – –
+ + + +
= = =
– – – –

Từ (1) và (2) =>( vì cùng bằng

2 2
2
2 2
2
11 8
7 3
11 8
7 3
c d
c cd
a b
a ab
+ –
=
+ –
7 3
11 8
k k
+ –
)
40

Vậy

2 2
2
2 2
2
11 8
7 3
11 8
7 3
c d
c cd
a b
a ab
+ –
=
+ –
(điều phải chứng minh)
Bµi 6: Cho
c d
a b
= (b, d  0) .Chøng minh r»ng:
a)
c d
c
a b
a
+
=
+
b)
c d
c d
a b
a b
+ –
=
+ –
2 2
2 2
c)
c d
c d
a b
a b
2
2
2
2
+ –
=
+ –
Giải:

a) Đặt
( với k ≠ 0 )

a c k a kb c kd ,
b d
= =  = = (1)
.( 1) 1
(2)
.( 1) 1
a bk bk k
a b bk b b k k
c dk dk k
c d dk d d k k
 = = =
+ + + +
= = =
+ + + +
Từ (1) và (2) =>
c d
c
a b
a
+
=
+
( vì cùng bằng
1
k
k +
)
Vậy
c d
c
a b
a
+
=
+
(điều phải chứng minh)

b) Đặt
( với k ≠ 0 )

a c k a kb c kd ,
b d
= =  = = 2 2. .(2. 1) 2. 1
(1)
2 2. .(2. 1) 2. 1
2 2. .(2. 1) 2. 1
2 2. .(2. 1) 2. 1
(2)
a b bk b b k k
a b bk b b k k
c d dk d d k k
c d dk d d k k
+ + + +
 = = =
– – – –
+ + + +
= = =
– – – –
Từ (1) và (2) =>
c d
c d
a b
a b
+ –
=
+ –
2 2
2 2
( vì cùng bằng 2 1
2 1
k k
+ –
)
Vậy
c d
c d
a b
a b
+ –
=
+ –
2 2
2 2
(điều phải chứng minh)

c) Đặt
( với k ≠ 0 )

a c k a kb c kd ,
b d
= =  = = 2 2. .(2. 1) 2. 1
(1)
2 2. .(2. 1) 2. 1
2 2. .(2. 1) 2. 1
(2)
2 2. .(2. 1) 2. 1
a b bk b b k k
a b bk b b k k
c d dk d d k k
c d dk d d k k
+ + + +
 = = =
– – – –
+ + + +
== = =
– – – –
Từ (1) và (2) =>
c d
c d
a b
a b
2
2
2
2
+ –
=
+ –
( vì cùng bằng 2 1
2 1
k k
+ –
)
Vậy
c d
c d
a b
a b
2
2
2
2
+ –
=
+ –
(điều phải chứng minh)
41
Bài 7:

Cho
. Chứng minh rằng:

a c (c,b 0)
c b
=  2 2
2 2
a c a
b c b
+
=
+
Giải:

Đặt
( với k ≠ 0 )

a c k a kc c kb ,
c b
= =  = = 2 2 2 2 2 2 2 2
2
2 2 2 2 2 2 2 2
2
( ) .(k 1) ( )
(1)
( ) .(k 1)
. (2)
a c kc c c c kb
k
b c b kb b b b
a kc k kb
k
b b b
+ + +
 = = = = =
+ + +
= = =
Từ (1) và (2) =>
2 2
2 2
a c a
b c b
+
=
+
( vì cùng bằng k2 )
Vậy
2 2
2 2
a c a
b c b
+
=
+
(điều phải chứng minh)
Trong bài toán này ta cũng có thể làm như sau:
+) Cách 2: Xét tích chéo
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
.( ) . . . .ab ab.(a b)
.( ) . . . .ab ab.(a b)
a b c a b a c a b a
b a c a b b c a b b
 + = + = + = +

  + = + = + = +

Do đó(điều phải chứng minh)

2 2
2 2 2 2
a b c b a c .( ) .( ) a c a 2 2
b c b
+
+ = +  =
+
+) Cách 3: Ta có :
( )
( ) ( )
2 2 2
2 2 2
.
0
.
a c a ab a a a b
a b
b c b ab b a b b
+ + +
= = = + 
+ + +
Do đó
2 2
2 2
a c a
b c b
+
=
+
(điều phải chứng minh)
3.2/ Bài tập nâng cao
Bài 8: Cho a,b,c  R và a,b,c  0 thoả mãn b2 = a.c.
Chứng minh rằng:
a c
=
2 2
( 2015 )
( 2015 )
a b
b c
+ +
Giải:
Ta có: b2 = a.c (với a,b,c  0 ) => a b
b c
=

Đặt
( với k ≠ 0 )

a b k a b k b c k . , .
b c
= =  = = 2 2 2 2 2 2
2
2 2 2 2 2 2
( 2015 ) ( . 2015. ) .( 2015) ( . )
( 2015 ) (c. 2015.c) .( 2015)
a b b k b b k b c k
k
b c k c k c c
+ + +
 = = = = =
+ + +
(1)
42
a b k c k k . ( . ). 2
k
c c c
= = = (2)
Từ (1) và (2) =>
a c
=
2 2
( 2015 )
( 2015 )
a b
b c
+ +
( vì cùng bằng k2 )
Vậy
a c
=
2 2
( 2015 )
( 2015 )
a b
b c
+ +
( với a,b,c  R và a,b,c  0 thoả mãn b2 = a.c)
Bài 9: BiÕt
2 2
2 2
a b ab
c d cd
+
=
+
với a,b,c, d  0 , c d  
Chứng minh rằng : a c
b d
=

hoặc

a d
b c
Giải:
Ta có: ( )
( )
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2. 2.
(1)
2. 2.
a b ab ab a b ab a b a b
c d cd cd c d cd c d c d
+ + + + +  
= = = = =  
+ + + + +  
( )
( )
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2. 2.
(2)
2. 2.
a b ab ab a b ab a b a b
c d cd cd c d cd c d c d
+ + – – –  
= = = = =  
+ + – – –  
Từ (1) và (2) =>
2 2
2 2
( ) ( )
( ) ( )
a b a b
c d c d
+ –
=
+ –
( vì cùng bằng
2 2
2 2
a b
c d
+ +
)
a b a b
c d c d
a b b a
c d c d
 + –
 =
+ –
 
 + –
  + – =
+) Nếu ( ) ( )
( ) ( )
2.
(3)
2.
a b a b a a a b a b
c d c d c d c d c c
+ – + + –
= = = =
+ – + + –
( ) ( )
( ) ( )
2.
(4)
2.
a b a b b b a b a b
c d c d c d c d d d
+ – + – –
= = = =
+ – + – –
Từ (3) và (4) => a b a c
c d b d
=  =
+) Nếu ( ) ( )
( ) ( )
2.
(5)
2.
a b b a b b a b b a
c d c d c d c d c c
+ – + + –
= = = =
+ – + + –
( ) ( )
( ) ( )
2.
(6)
2.
a b b a a a a b b a
c d c d c d c d d d
+ – + – –
= = = =
+ – + – –
Từ (5) và (6) => b a a d
c d b c
=  =
43
Vậy
2 2
2 2
a b ab
c d cd
+
=
+
với a,b,c, d  0 , c d   thì a c
b d
= hoặc a d
b c
Bài 10: Cho tØ lÖ thøc
c d
a b
= .
Chøng minh r»ng: 2 2
2 2
c d
a b
cd
ab
– –
= vµ 2 2
2 2 2
c d
a b
c d
a b
+ +
 =
 

+ +
Giải:
a) Vì ( )
2 2
a c a b a b 0 c 2 2
b d c d c d
=   =  =
=>
2 2 2 2
2 2 2 2
a b a b
c d c d

= =

mà a b
c d
= =>
2 2 2
. . 2 2 2
a b a a a a b
c d c c c c d

= = =

Vậy 2 2
2 2
c d
a b
cd
ab
– –
= ( điều phải chứng minh)

a) Vì
=>

a c a b 0 (c )
b d c d
=   = 2 2 2 2
2 2 2 2
a b a b
c d c d
+
= =
+
(1)

2 2 2
a b a b a b a b
c d c d c d c d
+ +      
= =  = =      
+ +       (2)
Từ (1) và (2) => 2 2
2 2 2
c d
a b
c d
a b
+ +
 =
 

+ +
Vậy 2 2
2 2 2
c d
a b
c d
a b
+ +
 =
 

+ +
( điều phải chứng minh)
Bài 11 : Cho dãy tỉ số bằng nhau
d
a b c d
c
a b c d
b
a b c d
a
2a b c d 2 2 + + + 2
=
+ + +
=
+ + +
=
+ + +
(với a b c d a b b c c d d a , , , 0; , , , 0  + + + +  )

Tính.

b c
d a
a b
c d
d a
b c
c d
a b
M
+ +
+
+ +
+
+ +
+
+ +
= Giải:
Ta có:
d
a b c d
c
a b c d
b
a b c d
a
2a b c d 2 2 + + + 2
=
+ + +
=
+ + +
=
+ + +
=>
2 2 2 2
a b c d a b c d a b c d a b c d 1 1 1 1
a b c d
+ + + + + + + + + + + +
– = – = – = –
=>
a b c d a b c d a b c d a b c d
a b c d
+ + + + + + + + + + + +
= = =
44

+) Nếu
=> a + b = b + c = c + d = d + a
Do đó:

a b c d a b c d + + +   = = =  = = = 0 1 1 1 1
a b c d
M a b b c c d d a 1 1 1 1 4
c d d a a b b c
+ + + +
= + + + = + + + =
+ + + +

Xem bản đầy đủ trên google drive: TẠI ĐÂY

Các thầy cô cần file liên hệ với chúng tôi tại fanpage facebook O2 Education

Hoặc xem nhiều SKKN hơn tại:  Tổng hợp SKKN luận văn luận án O2 Education

Comments

Leave a Reply

Your email address will not be published. Required fields are marked *