SKKN Kỹ thuật dạy các dạng về so sánh trong chương trình toán 6

SKKN Kỹ thuật dạy các dạng về so sánh trong chương trình toán 6

Xem bản đầy đủ trên google drive: TẠI ĐÂY

Các thầy cô cần file liên hệ với chúng tôi tại fanpage facebook O2 Education

Hoặc xem nhiều SKKN hơn tại:  Tổng hợp SKKN luận văn luận án O2 Education

ĐIỂU KIỆN HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN
❖ Điều kiện khách quan:
– Căn cứ vào nhiệm vụ và mục tiêu giáo dục hiện nay, do nhu cầu của việc đổi
mới nội dung, phương pháp giáo dục.
Hiện nay, Đảng ta chủ trương đẩy mạnh hơn nữa công tác giáo dục và coi
đây là một trong những yếu tố quan trọng góp phần phát triển kinh tế xã hội. Giáo
dục phổ thông nước ta đang thực hiện bước chuyển từ chương trình giáo dục tiếp
cận nội dung sang tiếp cận năng lực của người học, nghĩa là từ chỗ quan tâm đến
việc học sinh học được cái gì đến chỗ quan tâm học sinh vận dụng được cái gì
qua việc học.
Mục đích của đổi mới giáo dục hiện nay là tập trung phát triển trí tuệ, thể
chất, hình thành phẩm chất, năng lực công dân, phát hiện và bồi dưỡng năng khiếu,
định hướng nghề nghiệp cho học sinh. Nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện,
chú trọng giáo dục lý tưởng, truyền thống, đạo đức, lối sống, ngoại ngữ, tin học,
năng lực và kỹ năng thực hành, vận dụng kiến thức vào thực tiễn. Phát triển khả
năng sáng tạo, tự học của người học.
Năm học 2020-2021 là năm tiếp tục tích cực triển khai chương trình hành
động thực hiện nghị quyết số 29-NQ/TW ngày 04/11/2013 hội nghị Ban chấp
hành Trung ương 8 khóa XI về đổi mới căn bản, toàn diện Giáo dục và đào tạo:
“Tiếp tục đổi mới mạnh mẽ phương pháp dạy và học theo hướng hiện đại; phát
huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo và vận dụng kiến thức, kỹ năng của người
học; khắc phục lối truyền thụ áp đặt một chiều, ghi nhớ máy móc. Tập trung dạy
cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo cơ sở để người học tự cập nhật và
đổi mới tri thức, kỹ năng, phát triển năng lực. Chuyển từ học chủ yếu trên lớp
sang tổ chức hình thức học tập đa dạng, chú ý các hoạt động xã hội, ngoại khóa,
nghiên cứu khoa học. Đẩy mạnh ứng dụng công nghệ thông tin và truyền thông
trong dạy và học”. Để thực hiện tốt mục tiêu về đổi mới căn bản, toàn diện
2
GD&ĐT theo Nghị quyết số 29-NQ/TW, cần có nhận thức đúng về bản chất của
đổi mới phương pháp dạy học theo định hướng phát triển năng lực người học và
một số biện pháp đổi mới phương pháp dạy học theo hướng này. Bộ Giáo dục và
Đào tạo đã ban hành chương trình GDPT mới với yêu cầu phát triển 5 phẩm chất
chủ yếu và 10 năng lực cốt lõi cho học sinh.
– Do tri thức ngày càng nhiều nên việc hướng dẫn học sinh tiếp thu tri thức cần
chủ động và có phương pháp.
3
Để đảm bảo được các yêu cầu trên phải thực hiện chuyển từ phương pháp
dạy học theo lối “truyền thụ một chiều” sang dạy cách học, cách vận dụng kiến
thức, rèn luyện kỹ năng, hình thành năng lực và phẩm chất. Tăng cường việc học
tập trong nhóm, đổi mới quan hệ giáo viên – học sinh theo hướng cộng tác có ý
nghĩa quan trọng nhằm phát triển năng lực xã hội. Bên cạnh việc học tập những
tri thức và kỹ năng riêng lẻ của các môn học chuyên môn cần bổ sung các chủ đề
học tập tích hợp liên môn nhằm phát triển năng lực giải quyết các vấn đề phức
hợp.
Phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động của người học, hình thành và
phát triển năng lực tự học (sử dụng sách giáo khoa, nghe, ghi chép, tìm kiếm thông
tin…), trên cơ sở đó trau dồi các phẩm chất linh hoạt, độc lập, sáng tạo của tư
duy. Có thể chọn lựa một cách linh hoạt các phương pháp chung và phương pháp
đặc thù của môn học để thực hiện. Tuy nhiên dù sử dụng bất kỳ phương pháp nào
cũng phải đảm bảo được nguyên tắc “Học sinh tự mình hoàn thành nhiệm vụ nhận
thức với sự tổ chức, hướng dẫn của giáo viên”.
4
Theo tinh thần đó, các yếu tố của quá trình giáo dục trong nhà trường phổ
thông cần được tiếp cận theo định hướng mới. Việc xây dựng các chủ đề dạy học
một cách hợp lý, khiến cho kiến thức môn học trở nên sinh động, hấp dẫn, có ưu
thế tạo ra động cơ, hứng thú học tập cho học sinh.
❖ Điều kiện chủ quan:
– Lợi ích của môn Toán:
Toán học là công cụ giúp học tốt các môn học khác, chính vì vậy nó đóng một
vai trò vô cùng quan trọng trong nhà trường. Bên cạnh đó nó còn có tiềm năng
phát triển các năng lực tư duy và phẩm chất trí tuệ, giúp học sinh hoạt động có
hiệu quả trong mọi lĩnh vực của đời sống sản xuất.
Toán học mang sẵn trong đó chẳng những phương pháp quy nạp thực nghiệm,
mà cả phương pháp suy diễn lôgic. Nó tạo cho người học có cơ hội rèn luyện khả
năng suy đoán và tưởng tượng. Toán học còn có tiềm năng phát triển phẩm chất
đạo đức, góp phần hình thành thế giới quan khoa học cho học sinh. Toán học ra
đời từ thực tiễn và lại quay trở về phục vụ thực tiễn. Toán học còn hình thành và
hoàn thiện những nét nhân cách như say mê và có hoài bão trong học tập, mong
5
muốn được đóng góp một phần nhỏ của mình cho sự nghiệp chung của đất nước,
ý chí vượt khó, bảo vệ chân lý, cảm nhận được cái đẹp, trung thực, tự tin, khiêm
tốn,…. Biết tự đánh giá mình, tự rèn luyện để đạt tới một nhân cách hoàn thiện
toàn diện hơn. Mặt khác toán học còn có nhiệm vụ hình thành cho HS những kỹ
năng:
Tuy nhiên cả ba kỹ năng trên đều có quan hệ mật thiết với nhau. Kỹ năng thứ
nhất là cơ sở để rèn luyện hai kỹ năng kia. Chính vì vậy kỹ năng vận dụng kiến
thức để giải bài tập toán là vô cùng quan trọng đối với học sinh. Trong đó việc
trình bày lời giải một bài toán chính là thước đo cho kỹ năng trên. Để có một lời
giải tốt thì học sinh cần có kiến thức, các kỹ năng cơ bản và ngược lại có kiến
thức, có các kỹ năng cơ bản thì học sinh sẽ trình bày tốt lời giải một bài toán.
– Vị trí của bài toán so sánh số trong chương trình trung học cơ sở:
Trong môn Toán, mảng kiến thức về so sánh số chiếm một vị trí hết sức quan
trọng. Nó là cơ sở, nền tảng vững chắc cho các mức độ tiếp theo như: so sánh hai
biểu thức, bất đẳng thức…
Thực tế cho thấy ở chương trình toán học THCS học sinh được tiếp cận với
dạng toán này nhưng ở mức độ đơn giản và riêng lẻ. Tuy nhiên trong hầu hết các
đề thi đều có sử dụng mảng kiến thức này. Cấp độ mà các đề thi sử dụng lại thường
6
là ở mức vận dụng cao. Để giải các bài toán ở dạng này luôn đòi hỏi học sinh phải
có khả năng phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hóa, khái quát hóa … Vì thế
khi dạy học về dạng toán này giáo viên phải rất vất vả trong việc hướng dẫn, tuyển
chọn những bài tập sao cho phù hợp.
Để giải quyết được những vấn đề đó tôi đã tự biên soạn cho mình nội dung
về chuyên đề “So sánh” trong chương trình toán 6 cho phù hợp với đối tượng học
sinh, phát triển được các năng lực, phẩm chất của học sinh. Nếu học sinh biết giải
và giải thành thạo loại toán này thì việc học bộ môn Toán, đặc biệt là các chuyên
đề khó sẽ không còn là rào cản hay thách thức đối với học sinh, giúp học sinh đam
mê học toán, các bài giảng như những con đường giúp học sinh có thể tự đi tiếp
để khám phá những kiến thức sâu hơn và nâng cao hơn nữa của Toán học.
Đặc biệt, trong các tiết dạy khi tôi có câu hỏi hoặc bài tập khó dành cho các đối
tượng học sinh giỏi các em rất phấn khởi thi đua nhau giải, rồi cũng có lúc cả lớp
mặt buồn thiu vì không ai làm được. Đến lúc tôi chữa bài những ánh mắt của các
em nhìn tôi không chớp và miệng như nuốt từng lời của tôi. Động lực đó thôi thúc
tôi, càng làm tôi trăn trở hơn trong mỗi tiết dạy. Tôi đã tìm tòi và tự biên soạn cho
mình nhiều chuyên đề phù hợp với tất cả các đối tượng học sinh trong lớp để giúp
các em học sinh có nền tảng kiến thức vững chắc, dễ dàng mở rộng và nâng cao
kiến thức sau này. Một trong những chuyên đề mà tôi tâm đắc nhất là “ Phát triển
năng lực giải toán của học sinh thông qua các bài toán về so sánh trong chương
trình toán 6”.
II. MÔ TẢ GIẢI PHÁP KỸ THUẬT
1. Mô tả giải pháp kỹ thuật trước khi tạo ra sáng kiến
❖ Về phía giáo viên:
Khi chưa có sáng kiến tôi đã tiến hành giảng dạy nội dung, các dạng toán về so
sánh như sau: Tôi cung cấp cho học sinh đầy đủ phần lý thuyết trong sách giáo
khoa và có bổ sung một số các ví dụ về so sánh hai phân số, các cách so sánh các
luỹ thừa. Các bài tập tôi hướng dẫn học sinh cũng từ sách giáo khoa, sách bài tập
7
và đến từ các loại sách tham khảo nhưng không chia theo dạng . Đến các kì kiểm
tra khảo sát chất lượng, tôi sưu tầm bộ đề kiểm tra, dành một phần thời lượng để
chữa các bài tập khó trong bộ đề, tìm thêm các bài tương tự cho học sinh luyện
tập.
❖ Về phía học sinh:
Học sinh chưa nắm được các phương pháp giải bài toán về so sánh, chưa nhận
biết được các dạng toán cơ bản nên khi vận dụng chưa linh hoạt. Khi chữa theo
bộ đề các em tiếp cận các bài so sánh ở dạng phức tạp theo kiểu riêng lẻ, chính vì
vậy không có sự liên kết logic giữa các bài tập hoặc không hình thành được tính
đặc trưng của từng dạng toán. Đôi khi học sinh cảm thấy bất ngờ với lời giải của
giáo viên và chỉ tiếp thu theo kiểu bị động, bắt chước. Như vậy sẽ dẫn tới tâm lí
“sợ bài khó” không còn hứng thú học tập bộ môn và lòng say mê khám phá với
các kiến thức mới lạ.
❖ Về sách giáo khoa và sách bài tập:
– Các bài tập thuộc dạng toán so sánh trong sgk đều là các bài tập cơ bản
– Các bài tập trong sách bài tập có sự mở rộng nâng cao ở nhiều dạng:
• Bài 60/Tr13/SBT Toán 6 tập 1: So sánh a và b mà không tính cụ thể giá trị
của chúng a = 2002.2002 và b = 2000.2004
• Bài 65/Tr29/ Toán 6 tập 1: Bằng cách tính, em hãy cho biết số nào lớn hơn
trong hai số sau
3 2 4 2
5 2 10
a ) 2 và 3 b ) 2 và 4
c ) 2 và 5 d )2 và 100
• Bài 6.7/SBT Toán 6 tập 2 -Tr17: So sánh: = = + +
+ +
18 17
19 18
17 1 17 1
A và B
17 1 17 1
• Bài 6.8/SBT Toán 6 tập 2 -Tr17: So sánh: = = + +
+ +
99 98
89 88
98 1 98 1
C và D
98 1 98 1
• Bài 73/SBT Toán 6 tập 2 – Tr20: Cho
S = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + + + + + + +
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Hãy so sánh S và 1
2
8
• Bài 8.4/SBT Toán 6 tập 2 – Tr21:
Cho tổng A = 1 1 1 1 1 + + + + + …
10 11 12 99 100
Chứng tỏ rằng A > 1
• Bài 9.7/SBT Toán 6 tập 2 – Tr24 :

Chứng tỏ rằng:

D … 1 = + + + +  1 1 1 1 2 2 2 2
2 3 4 10
• Bài 11.4/SBT Toán 6 tập 2 – Tr28:
Chứng tỏ rằng: 1 1 1 1 2 + + + +  …
101 102 299 300 3
• Bài 11.6/SBT Toán 6 tập 2 – Tr28:
Chứng tỏ rằng: 1 1 1 1 + + + +  … 2
5 6 7 17
• Bài III.5/SBT Toán 6 tập 2 – Tr41:
Chứng minh rằng: S … 1 = + + + +  1 1 1 1 2 3 20
2 2 2 2
• Bài III.6/SBT Toán 6 tập 2 – Tr41: Có bao nhiêu cách viết phân số 1
5
dưới
dạng tổng của hai phân số 1 1 +
a b
với 0 < a < b?
• Bài III.7/SBT Toán 6 tập 2 – Tr41: Tìm số tự nhiên có hai chữ số sao cho
tỉ số giữa số đó với tổng các chữ số của nó là lớn nhất.
• Bài III.8/SBT Toán 6 tập 2 – Tr41:Có thể tìm được hai chữ số a và b sao
cho phân số a
b
bằng số thập phân a,b hay không?
Như vậy: SBT đưa ra khá nhiều bài tập khó nhưng không phân chia theo dạng,
các phương pháp giải chưa cụ thể, chia có tính logic dẫn đến việc khó khăn trong
tiếp thu kiến thức của học sinh .
❖ Về sách tham khảo:
Hiện nay có quá nhiều các loại sách tham khảo bán tràn lan trên thị trường.
9
Tôi đã mua nhiều sách tham khảo và tìm đọc nội dung về so sánh số. Tôi nhận
thấy các sách tham khảo thường viết rất nhiều nội dung, nên việc đề cập đến nội
dung so sánh thường rất sơ lược, hoặc không bao quát hết tất cả các kỹ thuật về
so sánh .
Đặc biệt: Một số bài có hướng dẫn giải chưa hay.
Ví dụ: Bài 477 NC&PT trang 35 như sau:
Cho biểu thức
Chứng minh rằng 0,2 < A < 0,4
Hướng dẫn giải trong sách NC & PT trang 35

Ta có:

1 1 1 1 1 1 1 1 – + – + – + … + –
2 3 4 5 6 7 98 99
=
     
     
     
A
Biểu thức trong dấu ngoặc thứ nhất bằng 13
60
nên lớn hơn 12
60
, tức là lớn hơn 0,2,
còn các dấu ngoặc sau đều dương, do đó A > 0,2

Ta có:

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 – + – + – – – … – – –
2 3 4 5 6 7 8 97 98 99
=
     
     
     
A
Biểu thức trong dấu ngoặc thứ nhất nhỏ hơn 2
5
, còn các dấu ngoặc sau đều dương,
dó đó A < 0,4. Như vậy: 0,2 < A < 0,4
Nhận xét: Nhiều học sinh khá bất ngờ với cách giải này. Cách làm này chưa giúp
học sinh khai thác hết quy luật của bài toán, khó gắn kết với các dạng đã biết từ
trước, dẫn đến sự gò ép trong lời giải.
2. Mô tả giải pháp kỹ thuật sau khi tạo ra sáng kiến:
Trong quá trình giảng dạy với sự cố gắng của bản thân, lòng yêu nghề và sự
giúp đỡ tận tình của BGH nhà trường, của đồng nghiệp. Tôi đã tự biên soạn cho
mình nội dung kiến thức về các dạng toán về so sánh trong chương trình toán 6,
đặc biệt chú trọng đến việc phát triển các thao tác tư duy như: phân tích, tổng hợp,
1 1 1 1 1 1
…
2 3 4 5 98 99
A = – + – + + –
10
so sánh, trừu tượng hóa, khái quát hóa…. thông qua các bài toán với cách thức
như sau:
Nội dung cụ thể :
PHẦN 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Ta đã biết rằng với hai số a và b bất kỳ, chỉ có một trong ba quan hệ:
a = b, a > b, a < b
Ta gọi a > b, a < b là các bất đẳng thức.
Ta đã biết các tính chất sau của bất đẳng thức:
1) Tính chất bắc cầu:
Nếu a > b, b > c thì a > c
2) Tính chất đơn điệu của phép cộng
Nếu a > b thì a+c > b+c
3) Tính chất đơn điệu của phép nhân:
Nếu a > b thì ac > bc ( với c > 0)
11
4) Cộng từng vế hai bất đẳng thức cùng chiều:
Nếu a > b, c > d thì a+c > b+d
5) Nếu a b a c b c c     : : ( 0)
6) Nếu a b a c b c c     : : ( 0)
7) Nếu 0
0
a b
ac bd
c d
  
  
  
PHẦN 2. CÁC BÀI TOÁN VỀ SO SÁNH LUỸ THỪA
2.1: Hình thành giải pháp: Xây dựng các cách về so sánh hai luỹ thừa
Bài toán 1: So sánh hai luỹ thừa sau:
và và 1 và 11
➢ Kết luận:
+Tất cả các luỹ thừa có cơ số bằng 0 ( số mũ khác 0) đều bằng nhau và bằng 0
+ Tất cả các luỹ thừa có cơ số bằng 1 đều bằng nhau và bằng 1
+ Tất cả các luỹ thừa có số mũ bằng 0 (cơ số khác 0) đều bằng nhau và bằng 1
? Với hai lũy thừa có cơ số và số mũ đều khác 0 và 1thì sao?
Bài toán 2: Bằng cách tính, em hãy cho biết số nào lớn hơn trong hai số sau?
a) 23 và 32 b) 24 và 42 c) 25 và 52 d) 210 và 100
Học sinh tự làm bài tập 2, Gv uốn nắn sửa chữa cách trình bày.
Ɂ Vấn đề đặt ra: Nếu hai luỹ thừa không tính ( giá trị quá lớn) được liệu có so
sánh được không bằng cách trên không?
Bài toán 3: So sánh
a) 168và 325 b) 3200 và 2300
GV gợi ý : Để so sánh hai luỹ thừa ta có thể đưa chúng về cùng cơ số hoặc cùng
số mũ
➢ Kết luận:
Với a, b, m, n là các số tự nhiên ( a,b khác 0)
– Nếu m n  Thì a a m n  (a 1)
a)050 099 b)11000 2011 c)20110 0
12
– Nếu a b  Thì a b m m  (m  0)
Ɂ Phát triển vấn đề:
Đến đây có thể học sinh thắc mắc, nếu có hai luỹ thừa không tính được gia trị cụ
thể, cũng không đưa được về cùng cơ số hoặc cũng không đưa được về cùng số
mũ liệu có so sánh được không?
Bài toán 4: So sánh
a) 178và b) và
? Có đưa hai lũy thừa này về cùng cơ số hoặc cùng số mũ được không?
GV: Giới thiệu cách so sánh với số trung gian
Lời giải :
a) Ta có: 17 16 8 8 
8 4 8 32
5 5 5 25
32 25
16 (2 ) 2
32 (2 ) 2
2 2
= =
= =

Mà 17 16 32 8 8 5  
Vậy 17 32 8 5 
➢ Chốt lại vấn đề: so sánh hai lũy thừa
+ Cách 1: Tính giá trị (chỉ dùng cho những luỹ thừa có giá trị nhỏ)
+ Cách 2: Đưa hai lũy thừa về hai lũy thừa có cùng cơ số hoặc cùng số mũ
+ Cách 3: So sánh với số trung gian
Mở rộng:
GV: Khi học về số nguyên âm ta lại được bổ sung luỹ thừa với cơ số là số nguyên
âm. Phần phân số ta lại bổ sung lũy thừa với cơ số là phân số
VD: Hãy so sánh a) và
b) và
❖ Kết luận chung:
➢Với hai luỹ thừa có cơ số là số tự nhiên ta phát biểu như sau:
– TH1: chúng có cùng cơ số là a, số mũ m > n
325 3200 1674
(-8)100 (-16)74
(-8)101 (-16)75
13
+Nếu a = 0,m n ; 0  thì a a m n = = 0
+ Nếu a = 1 thì a a m n =
+ Nếu a > 1 thì a a m n 
+ Nếu 0 < a < 1 thì a a m n 
– TH2: chúng có cùng số mũ là m
+ Nếu m = 0; thì a b m m = (a b 0 ,  )
+ Nếu m 0  , 0 a b   thì a b m m 
➢ Để so sánh hai luỹ thừa có cơ số nguyên âm ta đưa về so sánh hai lũy thừa có
cơ số là số tự nhiên, chú ý tính chất : Nếu a b  thì –  – a b .
❖ Đặt vấn đề:
Bài toán so sánh hai lũy thừa giúp ta có thể giải quyết tốt các dạng bài toán khác
như thế nào?
2.2: Ứng dụng của so sánh hai luỹ thừa
Bài toán 5: Chứng minh rằng số 2100 là số có 31 chữ số khi viết kết quả của
nó trong hệ thập phân
Hướng dẫn:
GV: Nếu số 2100 có 31 chữ số thì nó lớn hơn bao nhiêu và nhỏ hơn số nào?
Lời giải:
Ta có:
100 10 10 10
30 3 10 10
2 (2 ) 1024
10 (10 ) 1000
= =
= =
Vì 1024 1000 10 10  Nên 2 10 (1) 100 30 
Lại có:
100 31 63 6 31 7
31 31 31 31 31 28 3 31 7
2 2 .2 .2 2 .512 .64
10 (2.5) 2 .5 2 .5 .5 2 .625 .125
= =
= = = =
Vì 2 .512 .64 2 .625 .125 31 7 31 7  Nên 2 10 (2) 100 31 
14
Từ (1) và (2) suy ra: 10 2 10 30 31 31   do đó 231 là số có 31 chữ số khi viết kết quả
của nó trong hệ thập phân .
2.3: Bài tập luyện
Bài tập 1: So sánh
a) 1255 và 257 b) 920 và 2713
c) 354 và 281 d) 1030 và 2100
e) 540 và 62010 f) 3500 và 7300
Bài tập 2: So sánh
a) 9920 và 999910 b) 202303 và 303202
c) 528 và 2614 d) 530 và 12410
e) 1020 và 9010 f) 530 và 350
Bài tập 3: So sánh
a) 85 và 3.47 b) 321 và 231
c) 111979 và 371320 d) 1010 và 48.505
e) 199010+ 19909 và 199110 f) 5299 và 3501
g) 323 và 515 h) 12723 và 51318
i) 3111 và 1714 k) 637 và 1612
n) 1340 và 2161 m) 5217 và 11972
o) 220 và 7.217 p) 521 và 4.520
q) 5300 và 3453 r) 12580 và 25118

s) 1512 và 813.1255 Bài tập 4: So sánh hai số và

t) 2435 và 3.278

Lời giải
GV: Chỉ ra bài toán tương tự của bài toán này?
Bài toán tổng quát
a = (202000 +112000)2001 b = (202001 +112001)2000
2000 2000 2000 2001 2001 2000
2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000 2000
(20 .20 11 .20) (20 11 )
(20 11 ) .(20 11 ) (20 11 ) .20
= +  +
a = + +  +
15
A a b B a b = + = + ( ) ( ) n n m m m n ( với a >b và m > n )
Hãy so sánh A và B
Bài tập 5: So sánh A và B biết:
a) A = + + + + + + 1 2 2 2 … 2 2 2 3 49 50 và B =1613
b) A = + + + + + 1 2 2 2 … 2 2 3 9 và B = 5.28
c) A = – + – + + – + 1 2 2 2 … 2 2 2 2 3 198 199 200 và 1.3240
3
B =
Hướng dẫn: Tính gọn biểu thức A rồi so sánh kết quả với biểu thức B
Bài tập 6:
Số 22 và 52 viết liền nhau được số 425 có 3 chữ số, số 23 và 53 viết liền nhau được
số 8125 có 4 chữ số, số 24 và 54 viết liền nhau được số 16625 có 5 chữ số. Chứng
minh rằng số 21991 và 51991 viết liền nhau được số có 1992 chữ số
Bài tập 7:
Viết liền nhau các kết quả của các lũy thừa 450 và 2550 ta được một số tự nhiên có
bao nhiêu chữ số.
PHẦN 3. CÁC BÀI TOÁN VỀ SO SÁNH PHÂN SỐ
3.1: So sánh hai phân số cơ bản
Bài toán 6: So sánh các phân số sau:
a) 5
9
và 7
8
12
;
24
–
và 15
-42
b) 25
88
–
và 50
-157
45
;
125
và 7
72
c) 21
49
–
và
74
46
–
2021
;
2020
và 2019
2021
;
351
572
và 350
573
d) 877
876
và 884
883
;
142
143
và 358
359
;
21
52
và 213
523
16
❖ Kết luận:
➢ So sánh hai phân số có tử số và mẫu số là các số nguyên dương:
Cách 1: Đưa về cùng mẫu số
Cách 2: Đưa về cùng tử số :
Cách 3: So sánh với số trung gian
Cách 4: So sánh bằng cách so sánh phần bù đến 1 hoặc phần thừa so với 1
➢ So sánh hai phân số có tử số và mẫu số khác nhau về dấu
Cần chú ý: Nếu a c
b d
 Thì a c
b d
– –

Bài tập luyện:
Bài tập 6.1: So sánh
2020.2021 1
a)
2020.2021
– và 2021.2022 1
2021.2022
–
2019.2020
b)
2019.2020 1 +
và 2020.2021
2020.2021 1 +
Bài tập 6.2: So sánh M N ? 2020 2021 2020 2021
2021 2022 2021 2022
+
= + =
+
và
Ta có :
2020 2020
2021 2021 2022
2021 2021
2022 2021 2022

 + 

 +  
Cộng theo từng vế ta có kết quả M > N.
Bài tập 6.3: So sánh
( ) 2
2
5 11.13 22.26 138 690
?
22.26 44.54 137 548
– –
= =
– –
M và N
Gợi ý: Rút gọn 5 1 138 1 1 1 .
4 4 137 137
M và N M N = = + = = +  
Bài tập 6.4: So sánh
8 8
8 8
10 2 10
?
10 1 10 3
+
= =
– –
A và B
Giải :

Ta có

8 8
3 3
1 1
10 1 10 3
= =
– –
A và B
17
Mà
Bài tập 6.5: So sánh A và B biết rằng
15 16
16 17
10 1 10 1
A ; B
10 1 10 1
+ +
= =
+ +
Gợi ý:
Trước hết ta so sánh 10A với 10B
Ta có:
+
= = +
+ +
+
= = +
+ +
16
16 16
17
17 17
10 10 9
10A 1
10 1 10 1
10 10 9
10B 1
10 1 10 1
Do đó 10A > 10B, suy ra A > B
Phát triển bài tập 6.5 :
Yêu cầu HS thay đổi các dữ kiện về cơ số, số mũ, phép tính để được các bài
toán mới
1) Thay cơ số 10 thành cơ số 3
2) Thay đổi số mũ
3) Thay đổi số 1
4) Thay đổi mẫu số thành tử số
5) Thay đổi phép tính
10 10
10 10
20 1 20 1
A và B
20 1 20 3
+ –
= =
– –
8 8
3 3
10 1 10 3
   A B
– –
16
18
10 1
10 1
A = +
+
18
20
10 1
10 1
B = +
+
16
18
10 2
10 2
A = +
+
18
20
10 2
10 2
B = +
+
16
15
10 1
10 1
A = +
+
17
16
10 1
10 1
B = +
+
18
3.2: Sử dụng các bài toán phụ để so sánh
Bài toán phụ số 1: Cho hai phân số a
b
và c ( , , , ; , 0) a b c d Z b d  
d
Chứng tỏ rằng a c < khi ad < bc
b d
và ngược lại
? Em hiểu yêu cầu đề bài trên như thế nào?
HS: Ta phải giải hai bài toán

Bài toán số 1: Cho chứng tỏ

ad <bc
Bài toán số 2: Cho ad <bc chứng tỏ
? Điều kiện chung của bài toán là gì? Nêu cách làm?
HS: điều kiện chung là a,b,c,d Z;b,d >0  .
Cách làm: Bài 1: nhân cả hai vế với b.d > 0 .
Bài 2: chia cả 2 vế cho b.d > 0
GV: Từ kết qủa của bài toán em rút ra cách so sánh hai phân số như thế nào?
❖ Kết luận:
Trong hai phân số có mẫu số đều dương, phân số nào có tử nằm trong tích chéo
lớn hơn thì phân số đó lớn hơn .
Ứng dụng BTP số 1:
Bài toán 7: So sánh hai phân số sau:
12 13 64 73 19 17
a) ; b) ; c) ;
49 47 85 81 31 35
67 73 456 123 149 449
d) ; e) ; g) ;
77 83 461 128 157 457

Bài toán phụ số 2: Với a,b,n

 N*
– Nếu a = b thì a a + n =
b b+ n
– Nếu a < b thì 0 < < <1 a a + n
b b+ n
a c
b d

a c
b d

19
– Nếu a > b thì a a + n > >1
b b+ n
HS: Nêu các cách chứng minh bài toán trên
Trường hợp 1: nhân 2 vế với n rồi cộng hai vế với ab
Trường hợp 2,3: sử dụng phần bù hoặc đưa về cùng tử hoặc cùng mẫu
❖ Kết luận:
Một phân số có tử và mẫu đều là số nguyên dương. Nếu cộng tử và mẫu của
phân số đó với cùng một số tự nhiên n khác 0 thì
– Giá trị phân số không đồi nếu tử bằng mẫu
– Giá trị của phân số tăng lên nếu tử nhỏ hơn mẫu
– Giá trị của phân số giảm đi nếu tử lớn hơn mẫu
Ứng dụng BTP số 2:
Bài toán 8: Chứng minh < 2
Hướng dẫn
? Phân số nhỏ hơn phân số nào? Vận dụng kết luận nào?

HS: Dựa vào kết luận thứ 3 ta có

Vì là phân số lớn hơn 1, có tử và mẫu đều dương do đó khi cộng cả tử và mẫu
của phân số đó với 1 số lớn hơn 1 ta được phân số mới có giá trị nhỏ hơn phân số
ban đầu
? Phân số cũng nhỏ hơn phân số nào?

? Hãy so sánh và ?

? Hãy so sánh và ?
? Tương tự nhỏ hơn biểu thức nào?
8
20
19
 
 
 
20
19
20 19
19 18

19
18
20
19
2
20
19
 
 
 
20 19
.
19 18
3
20
19
 
 
 
20 19 18
. .
19 18 17
8
20
19
 
 
 
20
HS:
? nhỏ hơn số tự nhiên gần nhất là số nào?
GV: Ta đó chứng minh được < 2

Bài toán 9: Cho A =

Chứng minh:

1 3 5 199 . . ….
2 4 6 200
2 1
201
A 
Gợi ý:

Ta có : A =

1 3 5 199
. . ….
2 4 6 200
(1)
Và A < 2 4 6 200 . . ….
3 201 5 7 (2)
Từ (1) và (2) suy ra 1
201

2
A
Khai thác bài toán 9:

vận dụng kết luận nào

………….
Nếu
Thì A > B (với B là biểu thức nào?)
HS:
? Hãy tính tích A.B ?
? Ta chứng minh được A2 lớn hơn số nào? Tại sao?
Gợi ý : Có nhận xét gì về hai biểu thức :

và

Từ đó suy ra A2 101
8
20 20 19 13 20
. ….
19 19 18 12 12
 
   =
 
20
12
8
20
19
 
 
 
2 3
?
1 2
 
  
 
4
?
3

6
?
5

100
?
99

2 4 6 100
. . ….
1 3 5 99
A =
3 5 7 101
. . …
2 4 6 100
B =
2
2 4 6 100
. . ….
1 3 5 99
 
 
 
2 4 6 100 3 5 7 101
. . …. . . . …
1 3 5 99 2 4 6 100
   
   
   
21
? Với kết quả A2 101, mà A là số dương thì ta có thể chứng minh được A lớn
hơn số tự nhiên nào?
? Tại sao khẳng định được A dương và khẳng định A dương để làm gì?
? Nếu A âm mà A2 101 thì kết luận gì về A?
Từ đó ta có bài toán sau:
Bài toán 9.1:
Cho A = . Chứng minh rằng A > 10
Giải: Nhận xét:
; ; ; …………. ;
Khai thác tiếp bài 9.1:
Tương tự ta có thể chứng minh A<C,C là biểu thức nào?
HS:
Ta có thể chứng minh
Ta có thể chứng minh
? Hãy chứng minh A < 15
GV: Cả hai yêu cầu của bài toán này ta có thể viết gộp lại như thế nào?
Bài tập 9.2:
Cho A = . Chứng minh rằng 10 < A < 15
Bài toán phụ số 3:
Cho dãy số tự nhiên liên tiếp có n+1 số (n+1 là số chẵn ) gồm
a; a+1; a+2; a+3; …; a+n-1; a+n (n+1  4)
2 4 6 100
. . ….
1 3 5 99
2 3
1 2

4 5
3 4

6 7
5 6

100 101
99 100

2
2 2 2
2 4 6 100 3 5 7 101
. . …. . . ….
1 3 5 99 2 4 6 100
2 4 6 100 2 4 6 100 3 5 7 101
. . …. . . …. . . . ….
1 3 5 99 1 3 5 99 2 4 6 100
101
100 10
A
A A
A A
= 
     
 =       
     
 
   
2 3 5 7 99
. . . ….
1 2 4 6 98
C =
A2  ?
A  ?
2 4 6 100
. . ….
1 3 5 99
22
Chứng minh : a(a+n) < (a+1)(a+n-1) < ….< (a+ 1
2
n+
)(a+ 1
2
n+
+1)
Đặt vấn đề:
Cho dãy số tự nhiên liên tiếp: 1; 2; 3; …; 2012
? Hãy so sánh các tích sau: 1.2012; 2.2011; 3.2010;…; 1006.1007?
(Ghép các số trên thành từng cặp số ở đầu và hai số cách đều hai số ở đầu)
? Em có kết luận gì về các tích đó
HS: Tích hai số ở đầu là nhỏ nhất và tích hai số thuộc cặp trong cùng lớn nhất
GV: Từ đó em hãy nêu dự đoán về bài toán tổng quát?
HS: Cho dãy số tự nhiên liên tiếp có n+1 số, n+1 là số chẵn là:
a; a+1; a+2; a+3; …; a+n-1; a+n (n+1 )
Ta chứng minh được: a(a+n) < (a+1)(a+n-1) < ….< (a+ )(a+ )
Hướng dẫn chứng minh:
? Hãy chứng minh a(a+n) < (a+1)(a+n-1)?
GV: Ta chỉ cần chứng minh BĐT đầu tiên còn tất cả các BĐT tiếp theo được suy
ra từ BĐT đầu tiên đó .
GV: Ví dụ BĐT tiếp theo là (a+1)(a+n-1) < (a+2)(a+n-2)
Đặt a+1 = b; n-1 = m ta có BĐT mới là b(b+m) < (b+1)(b+m-1) quay lại BĐT
có dạng a(a+n) < (a+1)(a+n-1) và BĐT này đã chứng minh .
Kết luận: hai số thuộc cặp ngoài cùng có tích nhỏ nhất, hai số thuộc cặp trong
cùng có tích lớn nhất.
Ứng dụng BTP số 3:
Bài toán 10: Chứng minh rằng :
Lời giải:
Gọi C = + + … + + 1 1 1 1
101 102 199 200
Ta ghép các phân số ở hai đầu và các phân số cách đều hai đầu thành 50 cặp
 4
1
2
n + 1
1
2
n +
+
5 1 1 1 1 3
…
8 101 102 103 200 4
 + + + + 
23
1 1 1 1 1 1
…
101 200 102 199 150 151
301 301 301
…
101.200 102.199 150.151
1 1 1
301. …
101.200 102.199 150.151
     
= + + + + + +      
     
= + + +
= + + +
 
 
 
C C C
Xét mẫu của 50 phân số trong dấu ngoặc, theo BTP số 3 thì 101.200 có giá trị nhỏ
nhất, 150.200 có giá trị lớn nhất.
Suy ra, trong 50 phân số trong dấu ngoặc thì 1
101.200
lớn nhất, còn 1
150.151
có giá
trị nhỏ nhất.
Do đó
1 301 303 3
301. .50
101.200 404 404 4
1 301 300 300 5
301. .50
150.151 453 453 480 8
 =  =
 =   =

C C
Bài tập 10.1: Chứng minh: 101 1 1 1 1 … 51
51 1 2 3 100
 + + + + 
3.3: So sánh một tổng với một số bằng cách chia đoạn
Bài toán 11: a) Cho tổng : .Chứng minh:
b) Cho . Chứng minh rằng
Giải:
a) Tổng S có 30 số hạng, cứ nhóm 10 số hạng làm thành một nhóm.
Giữ nguyên tử, nếu thay mẫu bằng một mẫu khác lớn hơn thì giá trị của phân số
sẽ giảm đi. Ngược lại, nếu thay mẫu bằng mộ mẫu khác nhỏ hơn thì giá trị của
phân số sẽ tăng lên.

Ta có :

1 1 1
…
31 32 60
S = + + + 3 4
5 5
  S
1 1 1 1
…
16 17 18 75
B = + + + + 3 1 2
4 40
  B
1 1 1 1 1 1 1 1 1
… … …
31 32 40 41 42 50 51 52 60
S = + + + + + + + + + + +            
     

1 1 1 1 1 1 1 1 1
… … …
30 30 30 40 40 40 50 50 50
S  + + + + + + + + + + +            
     
24
hay tức là:
Suy ra (1)

Mặt khác:

tức là :
Suy ra (2).
Từ (1) và (2) suy ra đpcm.
b) Cho . Chứng minh rằng
Gợi ý:
Phát triển bài toán 11: Dạng chưa có sẵn tổng để chia đoạn
Bài tập 11.1: Cho . So sánh A với và

Bài tập 11.2: Cho

. Chứng minh rằng:

A 1 … 1 1 1 1 100
2 3 4 2 1
= + + + + +
–
a) A < 100
b) A > 50
Gợi ý:
a) Để chứng tỏ A < 100, ta chia A thành 100 nhóm
2 3 99 100
1 1 1 1 1 1 1 1
A 1 … … … …
2 3 7 15 2 2 2 2 1
       
= + + + + + + + + + + + +        
        –
10 10 10
30 40 50
S  + + 47 48
60 60
 
4 5
S 
1 1 1 1 1 1 1 1 1
… … …
40 40 40 50 50 50 60 60 60
S  + + + + + + + + + + +            
     

10 10 10
40 50 60
S  + + 37 36
60 60
 
3 5
S 
1 1 1 1
…
16 17 18 75
B = + + + + 3 1 2
4 40
  B
1 1 1 1
…
16 17 18 75
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
… … … 20.
16 17 18 35 36 37 38 55 56 57 58 75 35 55 75
1 1 1 1
…
16 17 18 75
1 1 1 1 1 1 1 1
… … …
16 17 30 31 32 45 46 47
B B
= + + + + =
       
= + + + + + + + + + + + + + +  + +        
       
= + + + + =
   
= + + + + + + + + + + +    
   
1 1 1 1
…
60 61 32 75
1 1 1 1
15.
15 30 45 60
   
    + + + +
   
 
 + + +  
 
1 1 1
…
1.2 3.4 199.200
A = + + + 5
8
3 4
25
Thay các phân số trong mỗi dấu ngoặc bằng phân số lớn nhất trong dâu ngoặc đó,
ta được:
99
99
1 1 1 1
A 1 .2 .4 .8 … .2 100
2 4 8 2
 + + + + + =
b) Để chứng tỏ rằng A > 50, ta thêm và bớt 1100
2
rồi viết A dưới dạng:
2 3 4 99 100 100
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
A 1 … … … …
2 3 5 9 2 2 2 2 1 2 2
       
= + + + + + + + + + + + + + –        
        +
Thay các phân số trong mỗi dấu ngoặc bằng phân số nhỏ nhất trong dấu ngoặc đó,
ta được:
2 99
2 3 100 100
100
1 1 1 1 1
A 1 . .2 .2 … .2
2 2 2 2 2
1 1
1 .100 50
2 2
 + + + + + –
= + – 
Bài tập 11.3: Chứng minh rằng tồn tại số tự nhiên n để
Hướng dẫn:
Chỉ ra có giá trị của n và chứng minh giá trị đó thoả mãn
Ví dụ chọn n 2 = 4027, rồi giải tương tự như bài 11.2
Ta được 1 … 1 .4027 2014,5 2014 1 1 1 4027 1
2 3 2 2
+ + + +  + = 
Bài tập 11.4: Cho
Chứng minh rằng: a) 100 5
8
A 
b) 100 6
7
A 
Bài tập 11.5: Cho
Chứng minh rằng: a)
1 1 1 1
1 … 2014
2 3 4 n
+ + + + + 
102 103 104 201
…
101 102 103 200
A = + + + +
100 101 102 199
…
101 102 103 200
A = + + + +
3
99
8
A 
1
) 99
7
b A 
26
Bài tập 11.6: Cho
Chứng minh rằng A > 50
Bài tập 11.7: Cho
Chứng minh rằng: A > 40 ; A < 92
Bài tập 11.8: Cho
Chứng minh rằng: A > 65 ; A < 92
3.4: So sánh một tổng với một số bằng cách so sánh tổng đó với một tổng
trung gian tính được.

Bài toán 12: Cho A=

2 2 2 2
1 1 1 1
…
2 3 4 100
+ + + +
Chứng minh rằng A 1
Hướng dẫn:
So sánh tổng A với một tổng mà ta đó biết cách tính như sau:
Nhận xét: 1 1 1 1 1 1 2 2 2 ; ;…..;
2 3 100 1.2 2.3 99.100
  
Do đó A < 1 1 1
100
– 
GV: Tương tự như trên, em hãy tìm xem ta có thể chứng minh tổng A lớn hơn
bao nhiêu?
HS: Nhận xét: 1 1 1 1 1 1 2 2 2 ; ;…..;
2 3 100 2.3 3.4 100.101
  
Do đó A > 1 1 99
2 101 202
– =
GV: Ghi lại
A 1
99
99 A 1
A 202
202
 

   
  
(Giới thiệu BĐT kép)
Kết luận: Qua bài tập trên, với số hạng tổng quát ta có:
139 138 137 40
…
101 102 103 200
A = + + + +
123 124 125 24
…
101 102 103 200
A = + + + +
45 46 47 144
…
101 102 103 200
A = + + + +
2
1 1 1
n n n n n ( 1) ( 1)
 
+ –
27
Khai thác bài toán 12:
GV: Nếu giữa lại không đánh giá phân số đầu tiên, và đánh giá các phân số còn
lại như trên ta được kết quả thế nào?
HS: Ta chứng minh được A nhỏ hơn 3
4
GV: Phân số 3
4
nhỏ hơn 1, nếu cứ làm như thế thì ta có kết quả như thế nào?
HS: Ta còn chứng minh được A nhỏ hơn số khác nữa.
GV: Tuy nhiên người ta chỉ dừng lại ở số 3
4
vì các con số khác có mẫu số to,
(gọi là các con số không đẹp). Tương tự như vậy ta cũng có thể so sánh tổng A
lớn hơn số khác.
Phát triển bài toán 12 :

Bài tập 12.1: Cho

Chứng minh B <
Bài tập 12.2: Hãy so sánh
với
Bài tập 12.3: Hãy so sánh
với
Bài tập 12.4: Hãy so sánh
với
Bài tập 12.5: Chứng minh rằng:
Bài tập 12.6: Chứng minh rằng
không là số tự nhiên
2 2 2 2
1 1 1 1
…
3 5 7 99
B = + + + +
49
200
2 2 2 2
1 1 1 1
1 …
2 3 4 100
B = – – – – – 1
4
2 2 2 2
1 1 1 1
1 …
2 3 4 100
B = – – – – – 3
5
2 2 2 2
1 1 1 1
1 …
2 3 4 100
B = – – – – – 1
2
1 1 1 1
… 1
2! 3! 4! 100!
+ + + + 
1 1 1 1
…
2! 3! 4! 100!
+ + + +
28
Bài toán 13: Cho biểu thức
.
Chứng minh rằng 0,2 < A < 0,4
Hướng dẫn giải
* Cách 1 : ( theo bài 477 NC&PT trang 35)

Ta có:

1 1 1 1 1 1 1 1 …
2 3 4 5 6 7 98 99
A = – + – + – + + –
     
     
     
Biểu thức trong dấu ngoặc thứ nhất bằng 13
60
nên lớn hơn 12
60
, tức là lớn hơn 0,2,
còn các dấu ngoặc sau đều dương, do đó A > 0,2
Ta có: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 …
2 3 4 5 6 7 8 97 98 99
A = – + – + – – – – – –
     
     
     
Biểu thức trong dấu ngoặc thứ nhất nhỏ hơn 2
5
, còn các dấu ngoặc sau đều dương,
dó đó A < 0,4
* Cách 2: Cách giải của tôi như sau:
Ta có: A =                 – + – + – + + –
       
1 1 1 1 1 1 1 1
…
2 3 4 5 6 7 98 99
Tương tự, ta có:
Phát triển bài toán 13 :
1 1 1 1 1 1
…
2 3 4 5 98 99
A = – + – + + –
1 1 1
…
2.3 4.5 98.99
A = + + +
1 1 1 1 1 1
; ;…;
2.3 2.4 4.5 4.6 98.99 98.100
1 1 1
…
2.4 4.6 98.100
1 1 1 1 1 1 1
. …
2 2 4 4 6 98 100
1 1 1 49
. 0,2
2 2 100 200
A A A
  
  + + +
 
  – + – + + –  
 
 
  – =   
 
1 1 1 1
. 0,4
6 2 3 99
A  + –     
 
29
Bài tập 13.1: Cho .
Chứng minh rằng: < A <
Bài tập 13.2: Cho . Chứng minh rằng: A <
Bài tập 13.3: Cho .
Chứng minh ( sử dụng tính chất : n(n-1) < n2 < n(n+1))
Bài tập 13.4: Cho .
Chứng minh: ( sử dụng tính chất 🙁 n+1)(n-1) < n2 )
Bài tập 13.5: Cho .
Chứng minh: ( sử dụng tính chất 🙁 n+1)(n-1) < n2)
Bài tập 13.6: Cho .
Chứng minh: ( sử dụng tính chất : ( n+2)(n-2 ) < n 2)
Bài tập 13.7: Cho .
Chứng minh: ( sử dụng tính chất : (n+3)(n-3) < n2 )

Bài tập 13.8: Cho

.

1 1 1 1 1 1
…
4 6 8 10 100 102
A = – + – + –
3
52
1 8
1 1 1 1 1 1
…
4 6 8 10 2012 2014
A = – + – + – 1
8
2 2 2 92
1
…
1 4
1 3
1 2
A = + + + +
8 9
2 5
 A 
2 2 2 20072
2
…
2 7
2 5
2 3
A = + + + +
2008
1003
A 
2 2 2 20062
1
…
1 8
1 6
1 4
B = + + + +
2007
334
B 
2 2 4092
1
…
1 9
1 5
S = + + +
12
1
S 
2 2 2 3052
9
…
17
9
11
9
9 5
A = + + + +
3 4
A 
2012
200.202
…
49
48
25
24
8 9
B = + + + +
30
Chứng minh: ( sử dụng tính chất : ( n+1)n > n2)
PHẦN 4: MỞ RỘNG, PHÁT TRIỂN CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN SO
SÁNH:
4.1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức
Bài toán 14 : Tìm số tự nhiên có hai chữ số sao cho tỉ số của hai số đó và tổng
các chữ số của nó là:
a) Lớn nhất
b) Nhỏ nhất
Giải: Gọi tỉ số giữa và a+b là k
Ta có:
a) k lớn nhất lớn nhất nhỏ nhất
nhỏ nhất b=0 và a bất kỳ từ 1 đến 9
Có chín số 10, 20, 30, …, 90 thoả mãn bài toán có tỉ số giữa số đó với tổng các
chữ số của nó bằng 10
b) k nhỏ nhất nhỏ nhất lớn nhất
lớn nhất blớn nhất và anhỏ nhất b=9, a=1
Số phải tìm là 19, tỉ số của số đó và tổng các chữ số của nó bằng:
Bài toán 15: Tìm số nguyên x sao cho biểu thức 14
4
x
A
x
–
=
–
đạt giá trị lớn nhất
Giải: Ta có: (4 10 ) 1 10
4 4
x
A
x x
– +
= = +
– –
Để
max
10
4
A
x

–
đạt giá trị lớn nhất
+ –  TH x 1: 4 0 thì 10 0
4 x

–
( loại)
B  99,75
ab
10 9 9
1 1
1
ab a b a
k
a b a b a b b
a
+
= = = + = +
+ + +
+

9
1 b
a
+
 1 b
a
+
b a
 

9
1 b
a
+
 1 b
a
+
b a
 
19
1,9
1 9
=
+
31
+ –    TH x x 2: 4 0 4 thì 10
4- x
đạt giá trị lớn nhất
 – 4 x đạt giá trị nhỏ nhất  x lớn nhất  = x 3
Vậy x = 3 thì giá trị lớn nhất của a là 11
Bài tập luyện:
Bài tập 14.1: Tìm các phân số có tử và mẫu đều dương sao cho tổng của phân số
đó với số nghịch đảo của nó có giá trị nhỏ nhất.
Bài tập 14.2: Tìm giá trị lớn nhất của thương của một số tự nhiên có ba chữ số và
tổng các chữ số của nó.
Bài tập 14.3: Tìm giá trị nhỏ nhất của thương của một số tự nhiên có ba chữ số
và tổng các chữ số của nó.
Bài tập 15.1: Tìm số nguyên x sao cho biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất
5 19 7
) )
4 5
x x
a A b B
x x
– –
= =
– –
Bài tập 15.2: Tìm số nguyên x sao cho biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất
3 7 10 25
) )
1 2 4
x x
a A b B
x x
+ +
= =
– +
4.2: Dùng bất đẳng thức để tìm khoảng giá trị của số phải tìm
Đặt vấn đề: Khi giải một số bài toán có xuất hiện các chữ, để giải quyết bài toán
được thuận lợi người ta thường sắp xếp các chữ. Khi nào ta sắp xếp được các chữ
và sắp xếp như thế nào?
Bài toán 16: Tìm số nguyên dương x và y sao cho:

Xem bản đầy đủ trên google drive: TẠI ĐÂY

Các thầy cô cần file liên hệ với chúng tôi tại fanpage facebook O2 Education

Hoặc xem nhiều SKKN hơn tại:  Tổng hợp SKKN luận văn luận án O2 Education