SKKN Một số hình thức khai thác và phát triển bài toán hình học lớp 8 trong tiết luyện tập

SKKN Một số hình thức khai thác và phát triển bài toán hình học lớp 8 trong tiết luyện tập

Xem bản đầy đủ trên google drive: TẠI ĐÂY

Các thầy cô cần file liên hệ với chúng tôi tại fanpage facebook O2 Education

Hoặc xem nhiều SKKN hơn tại:  Tổng hợp SKKN luận văn luận án O2 Education

ĐIỀU KIỆN HOÀN CẢNH TẠO RA SÁNG KIẾN
Trong những năm gần đây ngành Giáo dục và Đào tạo đã thực hiện việc đổi
mới một cách mạnh mẽ, đồng bộ cả mục tiêu, nội dung, phương pháp và phương
tiện dạy học, cũng như phương pháp kiểm tra đánh giá học sinh để có thể đào tạo
ra những sản phẩm, những lớp người lao động mới mà xã hội đang cần. Đặc biệt là
việc đổi mới chương trình GDPT tổng thể đang đòi hỏi người học hình thành và
phát triển được các năng lực và phẩm chất, có kiến thức, kĩ năng cơ bản, thiết yếu,
phát triển khả năng giải quyết vấn đề có tính tích hợp liên môn giữa môn Toán và
các môn học khác như Vật lí, Hoá học, Sinh học, Địa lí, Lịch sử, Tin học, Công
nghệ, Giáo dục thể chất, Nghệ thuật,… tạo cơ hội để học sinh được trải nghiệm
cũng như việc áp dụng toán học vào thực tiễn. Trong đó, việc đổi mới phương
pháp và phương tiện dạy học phải được đặc biệt chú ý.
Cốt lõi của phương pháp dạy học là phát huy tính tích cực nhận thức trong
học tập của học sinh, khơi dậy và phát triển khả năng tự học, nhằm hình thành cho
học sinh tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo, để tạo cho học sinh học tập một cách
tích cực, chủ động, chống lại thói quen học tập thụ động. Đó là hướng tới học tập
trong hoạt động và bằng hoạt động, tức là cho học sinh được suy nghĩ nhiều hơn,
thảo luận nhiều hơn, hoạt động nhiều hơn và phát huy khả năng tư duy, sáng tạo
nhiều hơn khi đứng trước một vấn đề của nội dung bài học hay một yêu cầu thực
tiễn của cuộc sống. Đây chính là tiêu chí, thước đo, đánh giá sự đổi mới phương
pháp dạy học.
Trên tinh thần đó, việc dạy học không chỉ phải thực hiện nhiệm vụ trang bị
cho học sinh, những kiến thức cần thiết về môn dạy, mà điều có ý nghĩa to lớn còn
ở chỗ dần dần hình thành và rèn luyện cho học sinh tính tích cực, độc lập sáng tạo
trong quá trình học tập, để học sinh có thể chủ động, tự lực, tự đào tạo, tự hoàn
thiện tri thức trong các hoạt động thực tiễn, hoạt động trải nghiệm sau này. Do đó,
việc thiết kế những nội dung dạy học cụ thể, nhằm tạo môi trường để tư duy nhận
thức của học sinh được hoạt động tích cực là rất cần thiết, từ đó phát triển năng lực
và phẩm chất cho học sinh.
2
Dạy toán học nhằm trang bị cho học sinh một hệ thống tri thức khoa học phổ
thông cơ bản tạo điều kiện cho các em được hình thành và phát triển các phẩm
chất, năng lực trí tuệ, đồng thời trang bị cho các em hệ thống tri thức đảm bảo đủ
để nghiên cứu và khám phá thế giới xung quanh, góp phần cải tạo thế giới, cải tạo
thiên nhiên mang lại cuộc sống ấm no hạnh phúc cho mọi người.
Ở trường THCS, trong dạy học Toán, song song với việc hình thành cho học
sinh một hệ thống các khái niệm, các định lí thì việc dạy học giải các bài toán có
tầm quan trọng đặc biệt và là một trong những vấn đề trung tâm của phương pháp
dạy học Toán ở trường phổ thông. Đối với học sinh THCS, có thể coi việc giải bài
toán là một hình thức chủ yếu của việc học toán.
Cùng với việc hình thành cho học sinh một hệ thống vững chắc các kiến
thức cơ bản để học sinh có thể vận dụng vào làm bài tập thì việc bồi dưỡng học
sinh khá giỏi là mục tiêu quan trọng trong quá trình giảng dạy. Do đó việc hướng
dẫn học sinh kĩ năng tìm tòi sáng tạo trong quá trình giải toán là rất cần thiết và
không thể thiếu được.
Trong chương trình Toán cấp THCS nói chung và môn hình học nói riêng là
một trong những môn học xuyên suốt 4 năm học của học sinh, bắt đầu từ những
bài toán liên quan đến điểm, đoạn thẳng, góc,… dành cho học sinh lớp 6 đến các
bài toán chứng minh ở lớp 7, 8, 9. Đây là một nội dung quan trọng trong môn toán
THCS và chiếm thời lượng lớn trong từng năm học. Để giải được các bài toán hình
là một trở ngại không nhỏ khiến cho nhiều học sinh không ít ngỡ ngàng và lúng
túng đặc biệt là các bài tập mang tính chất đòi hỏi học sinh phải có năng lực suy
luận và tư duy tốt. Thực ra, đây cũng là một trong những vấn đề khó. Đặc biệt, khi
các em học sinh khi tham gia làm bài kiểm tra, đánh giá giữa kỳ, cuối kỳ, thi học
sinh giỏi, thi tuyển vào lớp 10 để đạt được điểm số cao thì đây là một trong những
vấn đề quan trọng mà học sinh phải vượt qua.
Là một giáo viên giảng dạy Toán cấp THCS, bản thân tôi lại được trường
trực tiếp giao trách nhiệm dạy môn toán lớp 8, tôi cũng rất trăn trở về vấn đề này.
Vấn đề đặt ra là làm thế nào có thể giúp cho học sinh giải thành thạo các bài tập
hình học và khi gặp bất cứ một dạng toán hình nào thì các em cũng có thể tìm ra
3
cách giải một cách tốt nhất. Theo tôi nếu như giáo viên có sự dẫn dắt học sinh cẩn
thận, tỉ mỉ, trau dồi tư duy, sáng tạo cho học sinh từ việc nắm vững kiến thức đến
cách thức phân tích và giải từng dạng toán thì chắc rằng các em sẽ dễ dàng hơn khi
gặp dạng toán đó. Qua đó cũng bồi đắp thêm cho các em niềm say mê, hứng thú
trong học môn Toán. Tuy nhiên không phải bất cứ dạng bài tập hình nào cũng có
một nguyên tắc giải cụ thể. Đối với mỗi bài tập hình ít nhất người giáo viên cũng
cần mở ra cho học sinh kỹ năng nhận biết và phán đoán, khả năng áp dụng với
những bài tương tự mà học sinh đã làm được.
Trên cơ sở nhận thức được tầm quan trọng của việc nghiên cứu khoa học
giáo dục và nhiệm vụ của người làm công tác giáo dục cùng với năng lực và điều
kiện của bản thân cũng như để đáp ứng nhu cầu đổi mới phương pháp dạy học
trong nhà trường, là một giáo viên THCS nhiều năm giảng dạy môn Toán đặc biệt
là môn Hình học, tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến: “Một số hình thức khai thác và
phát triển bài toán Hình học lớp 8 trong tiết luyện tập”
Để có được bản báo cáo về sáng kiến trên, tôi đã tiến hành khảo sát và kiểm
tra kết quả học tập của học sinh trên lớp bằng cách hướng dẫn cho học sinh cách
thức phân tích, phát triển, tìm tòi mở rộng và tổng hợp kiển thức khi giải bài tập
hình học. Kết quả cho thấy việc áp dụng sáng kiến đã có ảnh hưởng rõ rệt đến kỹ
năng làm bài tập, chứng minh hình học của học sinh có nghĩa là có sự khác biệt lớn
giữa điểm khá giỏi của lớp so với trước khi áp dụng sáng kiến. Điều đó chứng tỏ
rằng việc khai thác và phát triển một số bài tập hình lớp 8 trong tiết luyện tập có
nâng cao khả năng suy luận hình học cho học sinh trường THCS Hải Phương nơi
tôi công tác.
II. MÔ TẢ GIẢI PHÁP
1. Mô tả giải pháp trước khi tạo ra sáng kiến
Khi giải bài tập hình học sinh thường lúng túng trong quá trình phân tích và
chứng minh và khi học sinh giải xong bài toán thì thường các em đã bằng lòng với
kết quả của mình kể cả những em có lực học khá, giỏi. Từ những lý do đó nếu thay
đổi một vài dữ kiện thì học sinh lúng túng và có thể sẽ rất khó khăn để hoàn thành
được bài tập mà giáo viên giao cho.
4
Để giải một bài toán đòi hỏi người giải phải biết phân tích để khai thác hết
giả thiết của bài toán, các điều kiện yêu cầu của đề bài, thể loại bài toán,… để từ đó
liên hệ đến các kiến thức liên quan và định hướng cách giải. Đại bộ phận học sinh
không hiểu rõ sự quan trọng cần thiết của việc phân tích và nhận định hướng giải,
nhiều học sinh không học lý thuyết đã vận dụng ngay, không giải được thì chán
nản, bỏ không giải, giải cho xong hoặc tham khảo cách giải bài trong sách giải bài
tập, trên mạng Internet,…
Thực tế qua việc thăm lớp, dự giờ, khảo sát, kiểm tra đánh giá, chấm trả các
bài kiểm tra, tôi nhận thấy hầu hết các em học sinh rất lúng túng trong việc chứng
minh hình học, khả năng tư duy và suy luận hình học của một số em còn yếu. Để
thống kê năng lực tiếp thu bài của học sinh tôi dùng nhiều hình thức, khi kiểm tra
miệng nhiều em học sinh trả lời rõ ràng mạch lạc nhưng mang tính chất học vẹt,
trong quá trình dạy để kiểm tra việc thực hành ứng dụng của học sinh tôi đưa ra
một số ví dụ thì đa số học sinh lúng túng trong việc đi phân tích tìm lời giải, các
em làm được cũng chỉ là đối tượng học sinh khá giỏi mà cũng chỉ làm được các
dạng cơ bản.
Trước thực trạng trên tôi đã điều tra và tổng hợp kết quả điểm khảo sát học
kỳ II môn Toán của lớp 8A và điểm Toán qua các kỳ khảo sát của khối 8 trường
THCS Hải Phương so với toàn huyện trong 2 năm học 2017 – 2018 và năm học
2018 – 2019 như sau:
* Năm học 2017 – 2018
+ Điểm khảo sát HKII lớp 8A

Lớp	Sĩ số	Điểm từ 8 – 10	Điểm từ 7 –7,75	Điểm từ 5 – 6,75	Điểm từ 3 – 4,75	Điểm từ 0 – 2,75
SL	%	SL	%	SL %	SL	%	SL	%
8A	44	9	20,45%	13	29,55%	17 38,64%	4	9,09%	1	2,27%

+ Xếp thứ các kỳ khảo sát môn Toán khối 8 trong toàn huyện
5

Môn Toán khối 8	Điểm TB toàn khối	Điểm TB 70% điểm cao	Điểm TB 10% điểm cao	Cộng XT	Xếp thứ Huyện (39 trường)
Điểm TB	Xếp thứ	Điểm TB	Xếp thứ	Điểm TB	Xếp thứ
Học kỳ I	6,13	10	7,16	10	9,38	7	47	8/39
Giữa HK2	5,66	7	6,81	9	9,0	8	40	9/39
Học kỳ II	6,45	4	7,12	5	9,1	5	23	6/39

* Năm học 2018 – 2019
+ Điểm khảo sát HKII lớp 8A

Lớp	Sĩ số	Điểm từ 8 – 10	Điểm từ 7 –7,75	Điểm từ 5 – 6,75	Điểm từ 3 – 4,75	Điểm từ 0 – 2,75
SL	%	SL	%	SL %	SL	%	SL	%
8A	45	10	22,22%	14	31,11%	15 33,34%	5	11,11%	1	2,22%

+ Xếp thứ các kỳ khảo sát môn Toán khối 8 trong toàn huyện

Môn Toán khối 8	Điểm TB toàn khối	Điểm TB 70% điểm cao	Điểm TB 10% điểm cao	Cộng XT	Xếp thứ Huyện (38 trường)
Điểm TB	Xếp thứ	Điểm TB	Xếp thứ	Điểm TB	Xếp thứ
Học kỳ I	4,86	13	6,03	6	7,7	7	45	9/38
Giữa HK2	5,72	9	6,94	6	9,1	8	38	7/38
Học kỳ II	6,07	8	7,16	7	9,0	7	37	6/38

6
Sau khi khảo sát và phân tích chất lượng qua 2 năm học trên tôi thấy rằng số
học sinh đạt điểm khá, giỏi còn hạn chế điều này chứng tỏ khả năng học sinh vận
dụng và vận dụng cao kiến thức để giải toán với số lượng chưa nhiều. Bên cạnh đó
số lượng điểm trung bình còn chiếm tỉ lệ cao chứng tỏ vẫn còn nhiều học sinh nắm
kiến thức chỉ dừng lại ở mức độ nhận biết và thông hiểu. Đi sâu vào thực tế kiểm
tra tôi thấy rằng học sinh hiểu và làm bài tập hình còn rất lúng túng, một số học
sinh làm được là học sinh khá, giỏi. Số còn lại chủ yếu là học sinh trung bình, yếu
chưa hình thành tư duy và kỹ năng chứng minh hình học, không biết giải và trình
bày bài toán như thế nào.
Thực tế một số học sinh tiếp thu bài còn chậm và vận dụng kiến thức từ lý
thuyết vào làm bài tập còn hạn chế. Học sinh còn nhầm lẫn và chưa biết cách giải
các bài toán hình học trong SGK và SBT còn nhiều, do thời lượng làm bài tập ít
nên chưa giải được những dạng toán mở rộng, nâng cao. Do đó với những câu hỏi
mang tính mở rộng thì số học sinh hoàn thành là rất ít nên kết quả học tập còn hạn
chế, nguyên nhân chủ yếu là:
* Về phía học sinh:
+ Học sinh thường có thói quen làm xong bài tập, trả lời đầy đủ các câu hỏi
tương ứng với mỗi bài tập ở sách giáo khoa và sách bài tập là xong, không suy
nghĩ được câu hỏi đó liên quan đến dạng câu hỏi nào khác và đã sử dụng các kiến
thức nào để giải để giải quyết bài tập đó.
+ Với học sinh trung bình, yếu khi giáo viên thay đổi cách hỏi thì cho là vấn
đề mới, khó nên không tự giác suy nghĩ, chưa biết quy bài toán lạ về quen.
+ Với học sinh khá, giỏi chưa có thói quen phân tích để tìm ra cách hỏi khác
của bài toán, chưa có thói quen tìm câu hỏi mở rộng cho từng câu đã làm, chưa tự
sâu chuỗi các kiến thức đã biết thành một hệ thống cùng dạng, cùng loại.
Đối với học sinh THCS thì Hình học là một môn học khó, trừu tượng, thực
tế cho thấy phần nhiều học sinh hiện nay vẫn còn tình trạng thụ động tiếp thu kiến
thức, hoặc chỉ là vận dụng máy móc kiến thức, chưa có tính sáng tạo, chưa phát
huy được năng lực tự học, tự nghiên cứu của bản thân, chỉ có một bộ phận học
sinh, những học sinh có khả năng suy luận, có tư duy nhạy bén là tỏ ra thích thú
7
khi học hình, số còn lại thường rơi vào tình trạng né tránh. Thường thì các em tỏ ra
lo sợ điều đó dẫn đến nhiều em chỉ tập trung học môn Đại số mà xa rời môn Hình
học.
* Về phía giáo viên:
+ Chưa chủ động đưa ra các dạng câu hỏi khác, chưa chủ động đào sâu, khai
thác thêm các dữ kiện của bài toán để phát triển bài toán vì cho rằng việc làm
đó mất nhiều công sức và ảnh hưởng đến thời gian học tập của lớp.
+ Chưa khai thác và phát triển bài toán một cách thường xuyên trong các tiết
học đặc biệt là các tiết luyện tập và ôn tập chương, chưa tạo thói quen cho học sinh
tiếp cận với cách phát triển bài tập hình học.
+ Việc ứng dụng, khai thác công nghệ thông tin, các trang thiết bị dạy học
hiện đại vào giảng dạy chưa thường xuyên hoặc áp dụng nhưng với hiệu quả chưa
cao.
Trong giảng dạy thực tế việc khai thác, nhìn nhận, phát triển một bài toán cơ
bản dưới nhiều góc độ khác nhau giúp học sinh hiểu được sâu sắc bài toán, kích
thích được sự tìm tòi khám phá và tổng hợp kiến thức đã học, đặc biệt rèn khả
năng suy luận, kỹ năng chứng minh hình học của học sinh, giúp các em phát hiện
và chứng minh các bài tập hình học một cách có căn cứ. Hơn nữa người giáo viên
phải xác định được việc dạy học sinh làm toán không chỉ dạy các em giải các bài
toán mà còn dạy học sinh hướng suy nghĩ, cách để giải bài toán. Chỉ có như vậy
học sinh mới có được phương pháp, có kỹ năng, kinh nghiệm và củng cố, khắc sâu
kiến thức. Chính vì vậy giáo viên cần hướng dẫn học sinh một số hình thức khai
thác và phát triển bài toán hình học từ những bài toán cơ bản dựa trên những kiến
thức mà các em đã được học, qua đó có thể giúp các em hình thành con đường và
cách thức cho việc giải dạng toán này đồng thời giáo dục tư tưởng, ý thức, thái độ,
lòng say mê toán học.
Nhận thức được điều này tôi đã trao đổi và tìm hiểu với các giáo viên trong
tổ Toán đặc biệt là nhóm Toán 8 của một số trường bạn trên địa bàn là THCS Hải
Anh, THCS Hải Long, THCS Thị Trấn Yên Định về tình hình nhận thức của học
sinh đối với bộ môn Hình học nói chung và môn Hình học lớp 8 nói riêng và được
8
các giáo viên nhóm Toán các trường bạn rất đồng tình. Từ đây tôi đã đi nghiên cứu
tìm hiểu và đưa ra sáng kiến và được áp dụng vào giảng dạy tại nhà trường nơi tôi
công tác và một số trường bạn trong 2 năm học 2019 – 2020 và 2020 – 2021 vừa
qua.
2. Mô tả giải pháp sau khi có sáng kiến
2.1. Mục tiêu của sáng kiến
Để thay đổi dần hiện trạng trên, tôi đưa ra giải pháp: “Một số hình thức
khai thác và phát triển bài toán Hình học lớp 8 trong tiết luyện tập “
Với giải pháp trên thì sáng kiến kinh nghiệm này góp phần hình thành và
phát triển năng lực toán học với yêu cầu cần đạt như: Nêu và trả lời được câu hỏi
khi lập luận, giải quyết vấn đề, thực hiện được việc lập luận hợp lí khi giải quyết
vấn đề, chứng minh được mệnh đề toán học không quá phức tạp, sử dụng được các
mô hình toán học để mô tả tình huống xuất hiện trong một số bài toán thực tiễn, sử
dụng ngôn ngữ để mô tả (mô hình hoá) một số quá trình, giải quyết một số vấn đề
thực tiễn đơn giản gắn với Hình học đáp ứng với mục tiêu chương trình Giáo dục
phổ thông mới.
Cụ thể khai thác và phát triển các kiến thức từ một số bài hình trong sách
giáo khoa và sách bài tập trong tiết luyện tập bằng các hình thức sau:
* Hình thức 1: Khai thác và phát triển bài toán tổng quát.
* Hình thức 2: Khai thác và phát triển bài toán tương tự.
* Hình thức 3: Khai thác và phát triển bài toán mới từ bài toán ban đầu.
* Hình thức 4: Khai thác và phát triển một số cách giải khác của bài toán.
* Hình thức 5: Khai thác và phát triển một số ứng dụng thực tiễn.
Ứng với mỗi hình thức trên, học sinh được hình thành và phát triển các năng
lực tư duy toán học và hình thành các phẩm chất thông qua phương pháp khai thác
và phát triển các bài tập cụ thể như:
+ Tìm các cách hỏi khác cho câu hỏi trong bài tập.
+ Cho thêm dữ kiện để phát triển các câu hỏi khác của bài toán
+ Hình thành các tình huống có vấn đề liên quan đến các cách giải cho một
bài toán.
9
+ Thay đổi dữ kiện để chuyển hóa bài toán thành bài toán mới.
+ Thêm bớt câu hỏi của bài toán để chuyển hóa từ bài toán khó thành bài
toán dễ hơn và ngược lại.
+ Phát hiện những khó khăn, vướng mắc, những sai lầm học sinh mắc phải
và tìm hướng khắc phục chúng khi giải bài tập.
+ Từng bước hình thành cho học sinh tự tìm ra cách hỏi, cách giải khác, xây
dựng câu hỏi khác của bài toán, đề xuất bài toán tương tự.
+ Tìm các ứng dụng thực tiễn để học sinh được trải nghiệm thông qua việc
vận dụng các kiến thức đã học để giải quyết các vấn đề thực tiễn đó.
Với việc khai thác các kiến thức bằng các hình thức như trên nhằm giúp học
sinh hiểu sâu sắc lý thuyết, sự liên kết giữa các đơn vị kiến thức của môn học của
nhiều dạng bài tập và việc vận dụng các kiến thức vào chứng minh hình học giúp
tiết kiệm thời gian hơn trong các tiết luyện tập đồng thời thúc đẩy ý thức tự học
của học sinh.
2.2. Nội dung sáng kiến
Hình học là một môn học lý thú, là loại bài toán khó tuy nhiên nó lôi cuốn
được nhiều đối tượng học sinh. Trong khi giải bài tập có nhiều phương pháp để
giải. Mỗi bài toán khi giải cần vận dụng linh hoạt các kiến thức có liên quan sao
cho phù hợp với đặc điểm của bài toán đó nhằm rèn luyện tư duy toán học một
cách linh hoạt, sáng tạo. Vì vậy, các bài toán về hình học luôn có mặt trong các kỳ
khảo sát chất lượng học kỳ, các kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện, chọn đội tuyển, học
sinh giỏi cấp tỉnh, các bài toán thi Olympic… là môn học có độ phân hóa cao.
Trước khi dạy bồi dưỡng các em bản thân tôi đã tìm hiểu qua các sách tham
khảo, sách nâng cao về hình học, các tài liệu có liên quan đến các kiến thức hình
học trong sách giáo khoa, tìm tòi trên mạng Internet những chuyên đề, hay thu thập
một số đề khảo sát chất lượng học kỳ, đề thi học sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh và
một số bài toán trong phần tự luyện Olympic.
Thật vậy, trong từng tiết dạy luyện tập hay ôn tập chương ta có thể tổng hợp
các kiến thức thông qua các hình thức khai thác và phát triển các kiến thức từ một
số bài tập cụ thể như: Khai thác và phát triển bài toán tổng quát, khai thác và phát
10
triển bài toán tương tự, khai thác và phát triển bài toán mới từ bài toán ban đầu,
khai thác và phát triển một số cách giải khác của bài toán, khai thác và phát triển
một số ứng dụng thực tiễn để tăng khả năng suy luận, khả năng khái quát hóa vấn
đề cho học sinh và đặc biệt là giảm thiểu thời gian trên lớp trong các tiết luyện tập.
2.3. Tổ chức thực hiện các giải pháp
Một số hình thức khai thác và phát triển bài toán Hình học lớp 8 trong tiết
luyện tập.
2.3.1. Hình thức 1: Khai thác và phát triển bài toán tổng quát
Từ một số bài toán cơ bản trong sách giáo khoa, ta có thể hướng dẫn học
sinh tìm hiểu những cách hỏi khác nhau có liên quan đến yêu cầu của bài toán
đồng thời khai thác thêm về giả thiết hoặc thêm và thay đổi một số yếu tố của đề
bài để phát triển các câu hỏi mang tính chất mở rộng, khái quát hóa.
Việc khái quát hoá bài toán là một vấn đề quan trọng, đó là thể hiện năng lực
tư duy, sáng tạo của học sinh. Để bồi dưỡng cho các em năng lực khái quát hoá
đúng đắn phải bồi dưỡng năng lực phân tích, tổng hợp, so sánh, vận dụng kiến thức
liên quan để biết tìm ra cách giải quyết vấn đề trong các trường hợp cụ thể.
Chẳng hạn bài tập 44 Sgk Toán 8 tập 1 trang 92, ngoài việc học sinh vận
dụng kiến thức về hình bình hành thì học sinh còn được vận dụng nhiều kiến thức
cũ đã học để chứng minh như kiến thức về đường trung bình của tam giác ở câu b,
e. Chứng minh ba điểm thẳng hàng ở câu c, tính chất đường ba trung tuyến và tính
chất trọng tâm của tam giác ở câu f,…
Bài toán 1.1: (Bài 44 trang 92- Sgk Toán 8 tập 1):
Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là trung điểm của AD, F là trung điểm
của BC. Chứng minh rằng BE = DF.
Khai thác và phát triển:
b) Giả sử ta nối AC cắt BE, DF tại M và N. Hãy so sánh độ dài các đoạn
thẳng AM, MN, NC ?
11
c) Nếu gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AC. Chứng minh 3 điểm B, O, D
thẳng hàng?
d) Chứng minh rằng BD, AC, EF đồng quy.
e) Giả sử AF cắt BE tại P, CE cắt DF tại Q. Chứng minh rằng: PQ// AD và
PQ = 1
2 AD.
f) Gọi I là trung điểm của CD. Chứng minh rằng IN.BE = IB.ME
(Câu f trích đề khảo sát Giữa HKI năm học 2015 – 2016/PGD&ĐT huyện
Hải Hậu)
Từ bài tập 44 (trang 92- Sgk Toán 8 tập 1) ở trên trong bài “Luyện tập: Hình
bình hành” ta đã khai thác và phát triển nhiều kiến thức thông qua các câu hỏi phụ
đã củng cố, tái hiện và khắc sâu kiến thức về hình bình hành và kiến thức về đường
trung bình của tam giác ở câu b, e, chứng minh ba điểm thẳng hàng ở câu c, tính
chất ba đường trung tuyến trong tam giác ở câu f,… nếu chỉ dừng lại ở bài 44/sgk thì
học sinh mới chỉ củng cố kiến thức về hình bình hành mà chưa vận dụng kiến thức
về hình bình hành để giải các bài toán có liên quan và ngược lại, từ đó sẽ không
phát huy được khả năng suy luận hình học và tư duy sáng tạo ở học sinh khi học
môn hình học.
Cụ thể hướng phát triển bài toán như sau:
Trước hết giáo viên cùng học sinh thực hiện yêu cầu bài tập 44 (trang 92- Sgk
Toán 8 tập 1) đó là đi chứng minh BE = DF.
M
N
O
P Q
B
A
C
D
E
F
I
12
Ta có tứ giác ABCD là hình bình hành (GT)
Suy ra AD // BC
và AD = BC (tính chất hình bình hành)
Ta có E là trung điểm của AD  EA = ED = 1
2 AD
và F là trung điểm của BC  FB = FC = 1
2 BC
Mà AD = BC
Do đó BF = ED
Xét tứ giác BEDF có BF = ED (Cmt)
BF // ED (vì AD // BC)
Suy ra BEDF là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
Suy ra BE = DF (2 cạnh đối hình bình hành)
* Từ bài toán trên nếu gọi M, N là giao điểm của AC với BE và DF.
Xét BCM ta dễ thấy F là trung điểm của BC và FN // BM
 N là trung điểm của CM
 NC = MN
Xét AND ta dễ thấy E là trung điểm của AD và EM // DN
 M là trung điểm của AN
 AM = MN
Do đó ta suy ra được AM = MN = NC
Từ những phân tích trên cho ta bài toán phát triển ở câu b:
Giả sử ta nối AC cắt BE, DF tại M và N. Hãy so sánh độ dài các đoạn thẳng
AM, MN, NC ?
B
A
C
D
E
F
13
Từ câu b, GV đã củng cố cho HS về tính chất hình bình hành (hai cạnh đối
song song BE // DF) bên cạnh đó củng cố cho HS kiến thức về đường trung bình
của tam giác để chứng minh, so sánh các đoạn thẳng giúp HS thấy được mối liên hệ
giữa kiến thức về hình bình hành với các kiến thức đã học và đây cũng chính là
hướng để khai thác và phát triển bài toán ở câu c.
Sau khi HS đã so sánh độ dài AM, MN, NC và chỉ ra được AM = MN = NC.
GV: Ngoài cách hỏi trên ta còn có những cách hỏi khác của câu này là:
1) Chứng minh rằng: AM = MN = NC
2) Chứng minh rằng: AN = CM; CN = 1
3 AC; CN = 12 AN; …
Từ đây HS có thể tự đưa ra các yêu cầu tương tự:
3) Tính các tỉ số CN
AC = ? ; AN CN = ? ; CM AN = ? …
Đây là thuận lợi giúp HS giải bài tập trắc nghiệm chọn đáp án đúng
trong đề kiểm tra và đề thi sau này.
4) Nếu cho biết độ dài đoạn thẳng AC. Hãy tính độ dài AM, MN, NC,
AN, CM ?
Từ câu b và những điều được mở rộng, liên hệ móc nối với nhau. HS củng cố
về tính chất hình bình hành, bên cạnh đó củng cố cho HS về đường trung bình của
tam giác để chứng minh, so sánh các đoạn thẳng đồng thời HS được tìm tòi các kiến
thức liên quan xoay quanh vấn đề đã được chứng tỏ.
*Nếu gọi O là trung điểm của AC
Ta có tứ giác ABCD là hình bình hành
 BD cắt AC tại trung điểm mỗi đường
M
N
B
A
C
D
E
F
14
Mà O là trung điểm của AC
 O cũng là trung điểm của BD
 B, O, D thẳng hàng
Ta có bài toán phát triển ở câu c: Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AC. Hãy
chứng minh 3 điểm B, O, D thẳng hàng?
Với câu c, GV đã củng cố cho HS về tính chất hai đường chéo cắt nhau tại
trung điểm mỗi đường hình bình hành và từ đây HS có thêm một cách mới để
chứng minh ba điểm thẳng hàng.
Thông qua hình thức hỏi mở rộng tương tự như ở câu b thì ở câu c này HS có
thể tự đặt ra câu hỏi xoay quanh O là trung điểm của BD:
1) Chứng minh rằng: BD đi qua O
2) Chứng minh rằng: BO = 1
2 BD;
GV đưa ra: Tìm xem O là trung điểm của đoạn nào nữa?
HS tự tìm ra: O là trung điểm của EF (Yêu cầu HS chứng minh)
Như vậy HS có thể tự phát triển trên cơ sở tương tự câu mà GV đã hướng
dẫn.
? Có nhận xét gì về vị trí của 3 đường thẳng BD, AC, EF ?
HS: Đồng quy tại điểm O  GV phát triển câu d
Dưới sự gợi ý của GV: HS hoàn toàn có thể tự nêu câu hỏi được
*Từ câu c ta có O là trung điểm của AC, BD, ta còn nhận thấy O là trung điểm của
EF
Từ đây ta có bài toán phát triển ở câu d:
Chứng minh rằng BD, AC, EF đồng quy.
M
N
O
B
A
C
D
E
F
15
Ở câu d là dạng bài tập mới, vận dụng tính chất hình bình hành (hai đường
chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường) để chứng minh O là trung điểm của ba
đoạn thẳng AC, BD, EF. Tức là AC, BD, EF đồng quy tại O. Và đây cũng là kiến
thức có liên quan đến đối xứng tâm mà HS sẽ được nghiên cứu trong tiết học tiếp
theo.
GV(nêu vấn đề): Nếu gọi P là giao điểm của AF và BE, Q là giao điểm CE và DF.
? PQ có đi qua điểm O không ?
HS: PQ có đi qua điểm O
GV: Như vậy ở hình vẽ trên ngoài ba đoạn thẳng AC, BD, EF đi qua điểm O
còn có PQ cũng đi qua điểm O.
? PQ có quan hệ gì với AD
HS: PQ // AD và PQ = 1
2 AD
GV(chiếu lên màn hình nội dung câu e):
Qua những phân tích trên ta có bài toán phát triển câu e:
Giả sử AF cắt BE tại điểm P, CE cắt DF tại điểm Q. Chứng minh rằng: PQ //
AD và PQ = 1
2 AD.
M
N
O
B
A
C
D
E
F
M
N
O
P Q
B
A
C
D
E
F
16
*Từ hình vẽ có nhận xét gì về vị trí của điểm N trong tam giác BCD
HS: N là giao điểm hai đường trung tuyến CO và DF nên N là trọng tâm tam
giác BCD
? Nếu I là trung điểm của CD thì ba điểm B, N, I có thẳng hàng không?
HS: B, N, I thẳng hàng (củng cố cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng thông
qua các đường đồng quy trong tam giác)
? Hãy tính tỉ số IN
IB = ? HS: IN 1 IB 3 
GV nêu vấn đề: Tương tự tính tỉ số ME
BE = ?
HS: ME 1
BE 3 
GV: Từ 2 tỉ số trên ta chứng minh được IN.BE = IB.ME
Từ đây GV phát triển câu f
Ta phát triển thành bài toán ở câu f: Gọi I là trung điểm của CD.
Chứng minh rằng IN.BE = IB.ME
Từ câu f, GV đã củng cố cho HS về tính ba đường trung tuyến, trọng tâm tam
giác và dần làm quen với việc so sánh tỉ số của hai đoạn thẳng. Với câu trên đã phát
huy được khả năng suy luận, sự sáng tạo của HS đặc biệt là HS khá giỏi.
Với bài tập 55/sgk Toán 8 tập 1 trang 96, ngoài việc học sinh vận dụng kiến
thức về đối xứng tâm thì học sinh còn được vận dụng nhiều kiến thức cũ đã học để
chứng minh như kiến thức về hình bình hành ở câu b, đối xứng trục ở câu d, hình
thang cân ở câu e, tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông ở câu e,…
M
N
O
P Q
B
A
C
D
E
F
I
17
Bài toán 1.2: (Bài 55 trang 96 – Sgk Toán 8 tập 1):
Cho hình bình hành ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo. Một
đường thẳng đi qua O cắt các cạnh AB và CD theo thứ tự tại M và N. Chứng minh
rằng điểm M đối xứng với điểm N qua điểm O.
Khai thác và phát triển:
b) Chứng minh rằng: Hình bình hành ABCD và hình bình hành AMCN có
cùng tâm đối xứng ?
c) Gọi E là điểm đối xứng của A qua B, F là điểm đối xứng của A qua D.
Chứng minh rằng: Điểm E và điểm F đối xứng nhau qua điểm C ?
d) Từ F kẻ FH vuông góc với AB tại H. Chứng minh rằng: F và H đối
xứng với nhau qua CD.
e) Chứng minh rằng: BCDH là hình thang cân.
Khai thác và phát triển kiến thức Bài 55 (trang 96- Sgk Toán 8 tập 1) ở trên
trong bài “Luyện tập: Đối xứng tâm” nhằm củng cố, tái hiện và khắc sâu kiến thức
về đối xứng tâm và các kiến thức về hình bình hành ở câu b, đối xứng trục ở câu d,
hình thang cân ở câu e,… nếu chỉ dừng lại ở bài 55/sgk thì học sinh mới chỉ củng
cố kiến thức về đối xứng tâm mà chưa vận dụng kiến thức tổng hợp để giải toán sẽ
không phát huy được khả năng suy luận hình học và tư duy sáng tạo ở học sinh.
Cụ thể hướng phát triển bài toán như sau:
Trước hết giáo viên cùng học sinh thực hiện yêu cầu bài tập 55 (trang 96- Sgk
Toán 8 tập 1) đó là đi chứng minh điểm M đối xứng với điểm N qua O
O
A B
D C
E
H F
M
N
I
18
Ta có tứ giác ABCD là hình bình hành (GT)
Suy ra AB // DC và O là trung điểm của AC (tính chất hình bình hành)
Suy ra OAM OCN   (2 góc so le trong bằng nhau)
và OA = OC
Xét OAM và OCN có
OAM OCN  (Cmt)
OA = OC (cmt)
AOM CON  (2 góc đối đỉnh bằng nhau)
Do đó OAM = OCN (g-c-g)
Suy ra OM = ON (2 cạnh tương ứng của 2 tam giác bằng nhau)
Mà O  MN. Suy ra O là trung điểm của MN
Suy ra M đối xứng với điểm N qua O (tính chất đối xứng tâm)
*Từ bài toán trên ta đã chứng minh được O là trung điểm của AC và MN
hay O là tâm đối xứng của hình bình hành AMCN
Mà ta cũng đã có ABCD là hình bình hành
Ta suy ra được O là tâm đối xứng của hình bình hành ABCD
Do đó ta suy ra được hình bình hành ABCD và hình bình hành AMCN có
cùng tâm đối xứng
Từ đó ta có bài toán phát triển ở câu b.
Chứng minh rằng: Hình bình hành ABCD và hình bình hành AMCN có
cùng tâm đối xứng ?
O
A B
D C
M
N
O
A B
D C
M
N
19
Với câu b, GV đã củng cố cho HS về kiến thức về hình có tâm đối xứng.
“Giao điểm hai đường chéo hình bình hành là tâm đối xứng của hình bình hành đó”
đồng thời củng cố cho HS các dấu hiệu nhận biết hình bình hành đã học ở bài trước.
GV (đặt câu hỏi nêu vấn đề): Những hình bình hành nào trong hình vẽ nhận
O là tâm đối xứng ?
HS: Liệt kê được 3 hình bình hành ABCD, AMCN và BMDN. Nghĩa là các
em đã tự đặt ra cho mình một yêu cầu chứng minh O là tâm đối xứng của hình bình
hành BMDN nữa.
GV: Khái quát O là tâm đối xứng của 3 hình bình hành.
*Giả sử lấy E là điểm đối xứng của A qua B, F là điểm đối xứng của A qua D
Gợi ý để HS chứng minh C là trung điểm của EF
Ta dễ thấy tứ giác BCFD và BDCE là hình bình hành
Nên ta có CF // BD; CF = BD
Và CE // BD ; CE = BD
 CE = CF
và E, C, F thẳng hàng
 C là trung điểm của EF
 Điểm E đối xứng với điểm F qua điểm C
Ta có bài toán phát triển ở câu c:
Gọi E là điểm đối xứng của A qua B, F là điểm đối xứng của A qua D.
Chứng minh rằng: Điểm E và điểm F đối xứng nhau qua điểm C ?
O
A B
D
C
E
F
M
N
20
Khi phát triển bài toán ở câu c thì HS được củng cố các kiến thức về tính
chất hình bình hành để chỉ ra các cặp cạnh đối song song và bằng nhau và để
chứng minh điểm C là trung điểm của EF thì HS cần nhắc lại các cách chứng minh
hai đoạn thẳng bằng nhau và các cách chứng minh ba điểm thẳng hàng.
Ngoài ra HS cũng có thể chứng minh dựa vào đường trung bình của tam giác
để chứng minh đó là:
DO là đường trung bình của AFC
 CF // DO, CF = 2DO (Tính chất đường trung bình của tam giác)
BO là đường trung bình của AEC
 CE // BO, CE = 2BO (Tính chất đường trung bình của tam giác)
Do đó E, C, F thẳng hàng và CE = CF
 C là trung điểm của EF
 Điểm E và điểm F đối xứng nhau qua điểm C
GV(Lưu ý HS): Ở câu này HS thường mắc sai lầm khi chỉ chứng minh xong
CE = CF đã suy ra C là trung điểm của EF mà đã ngộ nhận 3 điểm E, C, F đã thẳng
hàng.
GV: Ở đây nếu thay đổi dữ kiện ở câu c bằng cách: Qua C kẻ đường thẳng
song song với BD cắt AB, AD tại E và F.
1) Chứng minh rằng: E đối xứng với A qua B và F đối xứng với A qua D
2) Có nhận xét gì về mối quan hệ BD và EF
3) Hình bình hành ABCD cần có điều kiện gì để AC vuông góc với EF.
HS: Tìm ra được điều kiện hình bình hành ABCD có hai cạnh kề bằng nhau thì
AC  EF
GV: Khi hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau thì hình bình hành có tên gọi
khác là hình thoi mà các em sẽ được học trong các giờ học sau.
*Nếu từ F ta kẻ FH vuông góc với AB tại H.
Gọi I là giao điểm của CD và FH
Cách 1:
Ta có tứ giác ABCD là hình bình hành (GT)
 AB // CD (tính chất hình bình hành)
21
Mà H  AB, I  CD.
hay DI // AH
Xét AFH có D là trung điểm của AF
và DI // AH (Cmt)

 I là trung điểm của FH Ta có DI //AH mà AH  FH  DI  EH tại I	(1)
(2)

Từ (1) (2)  DI là đường trung trực của đoạn FH
 CD là đường trung trực của FH
 F và H đối xứng với nhau qua CD. (Đpcm)
Ngoài cách chứng minh trên, học sinh cũng có thể chứng minh CD là
đường trung trực của FH dựa vào tính chất đường trung trực của đoạn thẳng đó là
chứng minh 2 điểm cách đều 2 đầu mút của đoạn thẳng.
Cách 2:
Xét AHF vuông tại H có HD là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền
AF.
Suy ra DH = DF = DA = 1
2 AF (định lý áp dụng vào tam giác)

Suy ra D thuộc đường trung trực của đoạn HF Xét EHF vuông tại H

(3)

có HC là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền EF
Suy ra CH = CE = CF = 1
2 EF
Suy ra C thuộc đường trung trực của đoạn HF (4)
Từ (3) và (4) suy ra CD là đường trung trực của HF
 F và H đối xứng với nhau qua CD. (Đpcm)
Từ những phân tích trên ta có bài toán phát triển ở câu d:
Từ F kẻ FH vuông góc với AB tại H. Chứng minh rằng: F và H đối xứng với
nhau qua CD.
22
Ở câu d là dạng bài tập vận dụng kiến thức về đối xứng trục để chứng minh
hai điểm đối xứng nhau qua một đường thẳng, từ đây HS được củng cố kiến thức về
đối xứng trục đồng thời so sánh các kiến thức cũng như cách chứng minh bài tập về
đối xứng tâm và đối xứng trục.
Từ câu d, GV yêu cầu HS nhận xét hình dạng tứ giác BCDH và rút ra được tứ
giác BCDH là hình thang có hai đường chéo BD = HC nên là hình thang BCDH là
hình thang cân.
Ta phát triển thành bài toán ở câu e. Chứng minh rằng: BCDH là hình thang
cân.
Từ câu e, GV đã củng cố cho HS về các dấu hiệu nhận biết hình thang cân,
tính chất đường trung bình của tam giác. Ngoài ra HS cũng có thể chứng minh theo
cách 2 đó là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau (BHD CBH    vì cùng
bằng DAH ) nên hình thang BCDH là hình thang cân.
O
A B
D C
E
H F
M
N
I
O
A B
D C
E
H F
M
N
I
23
Bài toán 1.3: (Bài 46 trang 84- Sgk Toán 8 tập 2)
Trên hình vẽ, hãy chỉ ra các tam giác đồng dạng. Viết các tam giác này theo
thứ tự các đỉnh tương ứng và giải thích vì sao chúng đồng dạng ?
Khai thác và phát triển:
b) Nối A với C và D với F. Chứng minh BDF đồng dạng với BAC.
c) Kéo dài BH cắt AC tại E. Chứng minh rằng: AEF đồng dạng với
ABC và DEC đồng dạng với ABC
d) Chứng minh rằng: H là điểm cách đều 3 cạnh của DEF
e) Qua D kẻ đường thẳng song song với EF cắt AB, CF, AC lần lượt tại M,
N, P. Chứng minh rằng: SMFD = 1
2 SMFN
f) Gọi K là giao điểm của AD và EF. Chứng minh rằng: AH AK 1
DH HK  
(Trích đề khảo sát Giữa HKII năm học 2018 – 2019 / PGD&ĐT huyện Hải Hậu)
g) Vẽ EI song song với BC (I thuộc AD). Đường thẳng d qua A song song
với BC cắt CI tại J. Chứng minh 3 điểm J, F, D thẳng hàng.
(Trích đề khảo sát HKII năm học 2018 – 2019 / PGD&ĐT Quận Tân Phú)
Xét bài tập 46 (trang 84- Sgk Toán 8 tập 2) ở trên bên cạnh việc học sinh
vận dụng các tỉ số đồng dạng của hai tam giác để chứng minh yêu cầu của bài toán

N H E I P

K F

A
B C
d
M
D
J
G
24
thì học sinh còn khai thác và phát triển một số câu hỏi dựa theo giả thiết ban đầu
đó là vận dụng các trường hợp đồng dạng của hai tam giác, các tỉ số của hai tam
giác đồng dạng, tính chất đường phân giác trong tam giác, tỉ số diện tích của hai
tam giác đồng dạng, chứng minh 3 điểm thẳng hàng, chứng minh các tỉ số bằng
nhau cũng như chứng minh các hệ thức hình học có liên quan đến các tỉ số bằng
nhau, …
Trước hết ta đi thực hiện yêu cầu của bài 46 (trang 84- Sgk Toán 8 tập 2) (có
thể gọi yêu cầu trên là câu a của bài toán 1.3)
? Trên hình vẽ, hãy chỉ ra các tam giác đồng dạng. Viết các tam giác này
theo thứ tự các đỉnh tương ứng và giải thích vì sao chúng đồng dạng ?
* Các cặp tam giác đồng dạng từ hình vẽ trên:
+ Ta có: AFH đồng dạng với CDH (g-g)
Vì AFH CDH 90    0
và IDK IEC    (2 góc đối đỉnh)
+ Ta có: AFH đồng dạng với ADB (g-g)
Vì B là góc chung
và AFH ADB 90    0
+ Ta có: AFH đồng dạng với CFB (g-g)
Vì FAH DCH  ( do AFH đồng dạng với CDH )
và AFH CFB 90    0

H

F

A
B D C

25
+ Ta có: CHD đồng dạng với ADB (g-g)
Vì FAH DCH  ( do AFH đồng dạng với CDH )
Hay BAD DCH   và CDH ADB 90    0
(Ngoài cách trên HS có thể giải thích CHD đồng dạng với ADB
vì cùng đồng dạng với AFH )
+ Ta có: CHD đồng dạng với CFB
(vì cùng đồng dạng với AFH)
+ Ta có: ABD đồng dạng với ACF
(vì cùng đồng dạng với AFH)
Nhận xét:
Ở bài toán trên ta đã chỉ ra được các cặp tam giác đồng dang, từ đây củng
cố cho học sinh các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông cũng như trường
hợp góc – góc đặc biệt là khắc sâu các tính chất về tam giác đồng dạng và cách
viết các đỉnh tương ứng của hai tam giác đồng dạng.
Từ kết quả bài toán trên đó là ABD đồng dạng với CBF

BA BD
BC BF  (định nghĩa 2 tam giác đồng dạng)
Nếu kết hợp với B là góc chung
Ta suy ra được BDF đồng dạng với BAC (c-g-c)
Từ những phân tích trên đây ta có bài toán phát triển ở câu b: Nối A với C
và D với F. Chứng minh BDF đồng dạng với BAC ?

H

F

A
B D C

26
Chứng minh:
Áp dụng kết quả câu a
Ta có ABD đồng dạng với CBF

BA BD
BC BF  (định nghĩa 2 tam giác đồng dạng)
Xét BDF và BAC có
BA BD
BC BF  (Cmt)
B là góc chung
Do đó BDF đồng dạng với BAC (c-g-c)
Nhận xét:
Từ câu b, bên cạnh việc chứng minh 2 tam giác đồng dạng theo trường hợp
góc – góc, giáo viên đã củng cố cho HS phương pháp chứng minh 2 tam giác đồng
dạng theo trường hợp cạnh – góc – cạnh, cách viết các tỉ số tương ứng của hai tam
giác đồng dạng.
Sau khi HS đã chứng minh BDF đồng dạng với BAC.
GV: Ngoài cách hỏi trên ta còn có những cách hỏi khác của câu này là:
1) Chứng minh rằng: BD BF DF
BA BC AC  
2) Chứng minh rằng: BDF BAC    và BFD BCA   
3) Chứng minh tứ giác ACDF có tổng 2 góc đối bằng 1800
Từ đây GV có thể khuyến khích HS tự đưa ra các yêu cầu của bài toán nếu
biết chu vi hay diện tích của một trong hai tam giác và biết tỉ số đồng dạng của
chúng:
4) Tính chu vi của BDF biết chu vi của BAC là 18 cm và tỉ số đồng dạng
của BDF và BAC là k = 1
3 .
(HS sử dụng kiến thức về tỉ số chu vi của hai tam giác đồng dạng bằng tỉ số
đồng dạng)
5) Tính diện tích của BDF biết diện tích của BAC là 24 cm2 và tỉ số đồng
dạng của BDF và BAC là k = 3
4 .
27
(HS sử dụng kiến thức về tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng
bình phương tỉ số đồng dạng)
GV: Nếu từ hình vẽ trên ta kéo dài BH cắt AC tại E ta có BE là đường cao
của ABC, tương tự câu b ta cũng chứng minh được các tam giác AEF và
DEC cùng đồng dạng với ABC
Từ đây ta có bài toán phát triển ở câu c:
Kéo dài BH cắt AC tại E. Chứng minh rằng: AEF đồng dạng với ABC
và DEC đồng dạng với ABC
Chứng minh:
Xét ABC có AD và CF là hai đường cao cắt nhau tại H
Suy ra H là trực tâm của ABC
Do đó BH là đường cao của ABC
+ Xét AEB và AFC có
A là góc chung
AEB AFC    (= 900)
Do đó AEB đồng dạng với AFC (g-g)
Suy ra AE AB
AF AC  (định nghĩa 2 tam giác đồng dạng)
Xét AEF và ABC có
AE AB
AF AC  (Cmt)
Mà A là góc chung

H E

F

A
B D C

28
Do đó AEF đồng dạng với ABC (c-g-c)
+ Xét ACD và BCE có
C là góc chung
ADC BEC    (= 900)
Do đó ACD đồng dạng với BCE (g-g)
Suy ra CD CA
CE CB  (định nghĩa 2 tam giác đồng dạng)
Xét DEC và ABC có
CD CA
CE CB  (Cmt)
Mà C là góc chung.
Do đó DEC đồng dạng với ABC (c-g-c) (Đpcm)
Nhận xét:
Như vậy ở câu c ta đã chứng minh được AEF và DEC cùng đồng dạng
với ABC theo trường hợp cạnh – góc – cạnh.
Kết hợp với câu b ta cũng có BDF đồng dạng với ABC.
Từ đây ta suy ra các tam giác AEF, DEC, BDF, ABC đồng dạng
với nhau.
+ Nếu ta xét AEF đồng dạng với ABC
Suy ra AEF ABC    (1)
+ Nếu xét DEC đồng dạng với ABC
Suy ra CED ABC    (2)
Từ (1), (2) suy ra AEF CED    (vì = ABC  )
Do đó BEF BED    (vì cùng bù với 2 góc bằng nhau)
Hay EH là tia phân giác của DE F
Phân tích tương tự như trên ta cũng có FH là tia phân giác của EFD 
và DH là tia phân giác của EDF 
Hay H là giao điểm của ba đường phân giác của DEF
Suy ra H là điểm cách đều ba cạnh của DEF
29
Từ những phân tích trên ta có bài toán phát triển ở câu d: Chứng minh H
là điểm cách đều ba cạnh của DEF ?
Chứng minh:
+ Áp dụng kết quả câu c ta có AEF đồng dạng với ABC.
 AEF ABC  (2 góc tương ứng của 2 tam giác đồng dạng) (1)
Theo câu c ta có DEC đồng dạng với ABC.
 CED ABC  (2 góc tương ứng của 2 tam giác đồng dạng) (2)
Từ (1), (2) suy ra AEF CED    (vì = ABC  )
Mà AEF BEF BEA 90      0
CED BED BEC 90      0
Do đó BEF BED  
Hay EB là tia phân giác của DEF 
+ Chứng minh tương tự ta cũng có:
+ CFD CFE  
 FC là tia phân giác của EFD 
+ ADE ADF  
 DA là tia phân giác của EDF 
Xét DEF có EB, FC, DA là 3 đường phân giác DEF cắt nhau tại H
Suy ra H là giao điểm của ba đường phân giác của DEF
Suy ra H là điểm cách đều ba cạnh của DEF (Đpcm)

H E

F

A
B D C

30
Nhận xét:
Ở câu d ta đã chứng minh được H là điểm cách đều ba cạnh của DEF hay
ta có thể nói H là tâm đường tròn nội tiếp DEF và điều này chúng ta sẽ được
nghiên cứu sâu hơn trong chương trình môn hình học lớp 9.
Áp dụng kết quả câu d ta có AFE DFB  
Do đó nếu qua điểm D kẻ đường thẳng song song với EF cắt AB, FC,
AC lần lượt tại M, N, P
Khi đó ta có AFE FMD   (2 góc ở vị trí đồng vị)
Kết hợp với AFE DFM   (vì M thuộc FB)
Suy ra được FMD DFM  
Nên MDF cân tại D
Suy ra DM = DF (tính chất tam giác cân)
Cũng áp dụng kết quả câu d có EFC DFC 
Kết hợp với EFC DNF  (2 góc ở vị trí so le trong)
Suy ra DFC DNF 
Hay DFN DNF   (vì N thuộc FC)
Nên DNF cân tại D
suy ra DN = DF (tính chất tam giác cân)
Từ đây ta có DM = DN (vì cùng bằng DF)
Do đó ta chỉ ra được  DNF và  DMF có chung đường cao hạ từ F
xuống MN.
Kết hợp với DM = DN
Suy ra SMFD = SMFN
Hay SMFD = 1
2 SMFN
Từ những phân tích trên cho ta bài toán phát triển ở câu e:
Qua D kẻ đường thẳng song song với EF cắt AB, FC, AC lần lượt tại M,
N, P. Chứng minh: SMFD = 1
2 SMFN
31
Chứng minh:
Áp dụng kết quả câu d ta có AFE DFB  
Hay AFE DFM   (vì B thuộc MF)
mà AFE FMD   (2 góc ở vị trí đồng vị bằng nhau do MN // FE)
Suy ra được FMD DFM  
Suy ra MDF cân tại D

suy ra DM = DF (tính chất tam giác cân) Ta có EFC DFC  (theo câu d)

(3)

Mà EFC DNF  (2 góc ở vị trí so le trong do MN // FE)
Suy ra DFC DNF 
hay DFN DNF 
Do đó DNF cân tại D

suy ra DN = DF (tính chất tam giác cân) Từ (3) (4) suy ra DM = DN (vì cùng bằng DF)

(4)

Ta có DNF và DMF có chung đường cao hạ từ F xuống MN.
Mà DM = DN (Cmt)
Suy ra SMFD = SMFN
Hay SMFD = 1
2 SMFN (Đpcm)

N H E P

K F

A
B C
M
D

32
Nhận xét:
Như vậy thông qua câu e, chúng ta đã đi so sánh diện tích của hai tam giác
thông qua việc vận dụng kết quả câu d để chứng minh DM = DN hay FD là đường
trung tuyến ứng với cạnh MN của MFN đồng thời củng cố cho học sinh tính
chất diện tích của tam giác (đường trung tuyến trong tam giác chia ta

Xem bản đầy đủ trên google drive: TẠI ĐÂY

Các thầy cô cần file liên hệ với chúng tôi tại fanpage facebook O2 Education

Hoặc xem nhiều SKKN hơn tại:  Tổng hợp SKKN luận văn luận án O2 Education